Tarkastellaan aihetta lausekkeiden muuntamisesta voimilla, mutta ensin tarkastellaan useita muunnoksia, jotka voidaan suorittaa millä tahansa lausekkeella, mukaan lukien voimalausekkeet. Opimme avaamaan hakasulkeet, antamaan samankaltaisia termejä, työskentelemään kanta- ja eksponentin kanssa, käyttämään potenssien ominaisuuksia.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mitä ovat tehoilmaisut?
Koulukurssilla harvat käyttävät ilmausta "voimailmaisut", mutta tämä termi löytyy jatkuvasti kokoelmista kokeeseen valmistautumiseen. Useimmissa tapauksissa lause tarkoittaa lausekkeita, joiden merkinnöissä on asteita. Tätä heijastamme määritelmässämme.
Määritelmä 1
Voiman ilmaisu on lauseke, joka sisältää asteita.
Annamme useita esimerkkejä potenssilausekkeista alkaen asteesta luonnollisella eksponentilla ja päättyen asteeseen reaalieksponentilla.
Yksinkertaisimpia potenssilausekkeita voidaan pitää luonnollisen eksponentin luvun potteina: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Sekä potenssit, joiden eksponentti on nolla: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Ja potenssit, joilla on negatiivinen kokonaislukupotenssi: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .
On hieman vaikeampaa työskennellä tutkinnolla, jolla on rationaaliset ja irrationaaliset eksponentit: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
Indikaattori voi olla muuttuja 3 x - 54 - 7 3 x - 58 tai logaritmi x 2 l g x − 5 x l g x.
Olemme käsitelleet kysymystä siitä, mitä voimailmaisut ovat. Katsotaanpa nyt niiden muutosta.
Valtalausekkeiden muunnosten päätyypit
Ensin tarkastellaan lausekkeiden perusidentiteettimuunnoksia, jotka voidaan suorittaa teholausekkeilla.
Esimerkki 1
Laske teholausekkeen arvo 2 3 (4 2 – 12).
Päätös
Toteutamme kaikki muutokset toimintajärjestyksen mukaisesti. Tässä tapauksessa aloitamme suorittamalla suluissa olevat toiminnot: korvaamme tutkinnon digitaalisella arvolla ja laskemme näiden kahden luvun välisen eron. Meillä on 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.
Meidän tehtävämme on korvata tutkinto 2 3 sen tarkoitus 8 ja laske tuote 8 4 = 32. Tässä on vastauksemme.
Vastaus: 2 3 (4 2 - 12) = 32 .
Esimerkki 2
Yksinkertaista ilmaisu voimilla 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
Päätös
Ongelman ehtona meille annettu lauseke sisältää samanlaisia termejä, jotka voimme tuoda: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
Vastaus: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .
Esimerkki 3
Ilmaise lauseke, jonka potenssit ovat 9 - b 3 · π - 1 2 tulona.
Päätös
Esitetään luku 9 potenssina 3 2 ja käytä lyhennettyä kertolaskua:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
Vastaus: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1.
Ja nyt siirrytään identtisten muunnosten analysointiin, joita voidaan soveltaa erityisesti teholausekkeisiin.
Työskentely kanta- ja eksponentin kanssa
Kanta- tai eksponenttiasteessa voi olla lukuja, muuttujia ja joitain lausekkeita. Esimerkiksi, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 ja . Tällaisten levyjen kanssa on vaikea työskennellä. On paljon helpompaa korvata eksponentin kantalauseke tai eksponentin lauseke identtisellä yhtäläisellä lausekkeella.
Tutkinnon ja indikaattorin muunnokset suoritetaan meille tiedossa olevien sääntöjen mukaisesti toisistaan erillään. Tärkeintä on, että muunnosten tuloksena saadaan lauseke, joka on identtinen alkuperäisen kanssa.
Transformaatioiden tarkoituksena on yksinkertaistaa alkuperäistä lauseketta tai saada ratkaisu ongelmaan. Esimerkiksi yllä antamassamme esimerkissä (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 voit suorittaa operaatioita päästäksesi tutkintoon 4 , 1 1 , 3 . Hakasulkeet avattaessa voimme tuoda samanlaisia termejä tutkinnon pohjaan (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) ja saat yksinkertaisemman muodon voimailmaisun a 2 (x + 1).
Virran ominaisuuksien käyttäminen
Asteiden ominaisuudet, jotka on kirjoitettu yhtäläisyyksiksi, ovat yksi tärkeimmistä työkaluista asteilla olevien lausekkeiden muuntamiseen. Esittelemme tässä tärkeimmät, ottaen huomioon a ja b ovat positiivisia lukuja ja r ja s- mielivaltaiset reaaliluvut:
Määritelmä 2
- a r a s = a r + s;
- a r: a s = a r − s ;
- (a b) r = a rbr;
- (a: b) r = a r: br;
- (a r) s = a r s .
Tapauksissa, joissa on kyse luonnollisista, kokonaisluvuista, positiivisista eksponenteista, lukujen a ja b rajoitukset voivat olla paljon vähemmän tiukkoja. Esimerkiksi, jos ajatellaan tasa-arvoa a m a n = a m + n, missä m ja n ovat luonnollisia lukuja, niin se on totta kaikille a:n arvoille, sekä positiivisille että negatiivisille, sekä arvoille a = 0.
Asteiden ominaisuuksia voidaan soveltaa rajoituksetta tapauksissa, joissa asteiden kanta on positiivinen tai sisältää muuttujia, joiden hyväksyttävien arvojen alue on sellainen, että kannat ottavat siitä vain positiivisia arvoja. Itse asiassa matematiikan koulun opetussuunnitelman puitteissa opiskelijan tehtävänä on valita sopiva ominaisuus ja soveltaa sitä oikein.
Yliopistoihin pääsyä valmisteltaessa voi tulla tehtäviä, joissa ominaisuuksien epätarkka soveltaminen johtaa ODZ:n kaventumiseen ja muihin ratkaisun vaikeuksiin. Tässä osiossa tarkastelemme vain kahta tällaista tapausta. Lisätietoja aiheesta löytyy aiheesta "Laukeiden muuntaminen eksponenttiominaisuuksien avulla".
Esimerkki 4
Edustaa ilmaisua a 2, 5 (a 2) - 3: a - 5, 5 tutkinnona pohjalla a.
Päätös
Aluksi käytämme eksponentio-ominaisuutta ja muunnamme toisen tekijän käyttämällä sitä (a 2) – 3. Sitten käytämme kerto- ja potenssien jakamisen ominaisuuksia samalla kantalla:
a 2 , 5 a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - ( - 5 , 5 ) ) = a 2.
Vastaus: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2 .
Potenssilausekkeiden muunnos asteiden ominaisuuden mukaan voidaan tehdä sekä vasemmalta oikealle että vastakkaiseen suuntaan.
Esimerkki 5
Etsi potenssilausekkeen arvo 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
Päätös
Jos sovellamme tasa-arvoa (a b) r = a r b r, oikealta vasemmalle, niin saadaan tulo muotoa 3 7 1 3 21 2 3 ja sitten 21 1 3 21 2 3 . Lisätään eksponentit, kun kerrotaan potenssit samoilla kantoilla: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.
On toinenkin tapa tehdä muunnoksia:
3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Vastaus: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Esimerkki 6
Annettu voimailmaisu a 1, 5 - a 0, 5 - 6, syötä uusi muuttuja t = a 0, 5.
Päätös
Kuvittele tutkinto a 1, 5 kuten a 0, 5 3. Aste-ominaisuuden käyttäminen asteessa (a r) s = a r s oikealta vasemmalle ja saa (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0, 5 - 6 . Tuloksena olevaan lausekkeeseen voit helposti lisätä uuden muuttujan t = a 0, 5: saada t 3 − t − 6.
Vastaus: t 3 − t − 6 .
Potensseja sisältävien murtolukujen muuntaminen
Käsittelemme yleensä kahta muunnelmaa murtolukuja sisältävistä potenssilausekkeista: lauseke on murtoluku, jolla on aste tai sisältää sellaisen murtoluvun. Kaikki perusmurtomuunnokset ovat sovellettavissa tällaisiin lausekkeisiin ilman rajoituksia. Niitä voidaan pienentää, tuoda uuteen nimittäjään, toimia erikseen osoittajan ja nimittäjän kanssa. Havainnollistetaan tätä esimerkein.
Esimerkki 7
Yksinkertaista teholauseke 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .
Päätös
Käsittelemme murto-osaa, joten teemme muunnoksia sekä osoittajassa että nimittäjässä:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
Laita miinus murtoluvun eteen muuttaaksesi nimittäjän etumerkkiä: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
Vastaus: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
Potensseja sisältävät murtoluvut pelkistetään uuteen nimittäjään samalla tavalla kuin rationaaliset murtoluvut. Tätä varten sinun on löydettävä lisätekijä ja kerrottava murtoluvun osoittaja ja nimittäjä sillä. On tarpeen valita lisätekijä siten, että se ei katoa yhdellekään muuttujien arvolle alkuperäisen lausekkeen ODZ-muuttujista.
Esimerkki 8
Tuo murtoluvut uuteen nimittäjään: a) a + 1 a 0, 7 nimittäjään a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 nimittäjään x + 8 y 1 2 .
Päätös
a) Valitsemme tekijän, jonka avulla voimme pelkistää uuteen nimittäjään. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , siksi otamme lisätekijänä a 0, 3. Muuttujan a sallittujen arvojen alue sisältää kaikkien positiivisten reaalilukujen joukon. Tällä alueella tutkinto a 0, 3 ei mene nollaan.
Kerrotaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä luvulla a 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
b) Kiinnitä huomiota nimittäjään:
x 2 3 - 2 x 1 3 v 1 6 + 4 v 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 v 1 6 + 2 v 1 6 2
Kerrotaan tämä lauseke luvulla x 1 3 + 2 · y 1 6 , saadaan kuutioiden x 1 3 ja 2 · y 1 6 summa, ts. x + 8 · y 1 2 . Tämä on uusi nimittäjämme, johon meidän on tuotava alkuperäinen murtoluku.
Joten löysimme lisäkertoimen x 1 3 + 2 · y 1 6 . Muuttujien hyväksyttävien arvojen alueella x ja y lauseke x 1 3 + 2 y 1 6 ei katoa, joten voimme kertoa murtoluvun osoittajan ja nimittäjän sillä:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 v 1 6 + 4 v 1 3 = = x 1 3 + 2 v 1 6 x 1 3 + 2 v 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 v 1 6 + 4 v 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
Vastaus: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 v 1 2 .
Esimerkki 9
Pienennä murto-osaa: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
Päätös
a) Käytä suurinta yhteistä nimittäjää (GCD), jolla osoittaja ja nimittäjä voidaan pienentää. Numeroille 30 ja 45 tämä on 15 . Voimme myös vähentää x 0, 5 + 1 ja x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .
Saamme:
30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)
b) Tässä identtisten tekijöiden läsnäolo ei ole ilmeistä. Sinun on suoritettava joitain muunnoksia saadaksesi samat tekijät osoittajassa ja nimittäjässä. Tätä varten laajennamme nimittäjä neliöiden erotuskaavalla:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
Vastaus: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
Tärkeimmät toiminnot murtoluvuilla ovat pelkistys uuteen nimittäjään ja murtolukujen pienentäminen. Molemmat toiminnot suoritetaan useiden sääntöjen mukaisesti. Murtolukuja lisättäessä ja vähennettäessä murtoluvut pelkistetään ensin yhteiseksi nimittäjäksi, jonka jälkeen suoritetaan operaatioita (yhteen- tai vähennyslasku) osoittajilla. Nimittäjä pysyy samana. Toimintamme tuloksena on uusi murtoluku, jonka osoittaja on osoittajien tulo ja nimittäjä nimittäjien tulo.
Esimerkki 10
Suorita vaiheet x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Päätös
Aloitetaan vähentämällä suluissa olevat murtoluvut. Tuodaan ne yhteiseen nimittäjään:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Vähennetään osoittajat:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
Nyt kerrotaan murtoluvut:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Vähennetään asteella x 1 2, saamme 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .
Lisäksi voit yksinkertaistaa nimittäjässä olevaa potenssilauseketta käyttämällä neliöiden erotuskaavaa: neliöt: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.
Vastaus: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
Esimerkki 11
Yksinkertaista teholauseke x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Päätös
Voimme pienentää murto-osuutta (x 2, 7 + 1) 2. Saamme murto-osan x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.
Jatketaan muunnoksia x potenssien x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Nyt voit käyttää jakopotenssien ominaisuutta samoilla perusteilla: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .
Siirrymme viimeisestä tuotteesta murto-osaan x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Vastaus: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .
Useimmissa tapauksissa on kätevämpää siirtää kertoimet negatiivisilla eksponenteilla osoittajasta nimittäjään ja päinvastoin muuttamalla eksponentin etumerkkiä. Tämä toimenpide yksinkertaistaa jatkopäätöstä. Otetaan esimerkki: potenssilauseke (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 voidaan korvata x 3 · (x + 1) 0, 2 .
Lausekkeiden muuntaminen juurilla ja voimavaroilla
Tehtävissä on potenssilausekkeita, jotka eivät sisällä vain asteita murto-osien eksponenteilla, vaan myös juuria. On toivottavaa pelkistää tällaiset ilmaisut vain juuriksi tai vain tehoiksi. Siirtyminen tutkintoihin on parempi, koska niiden kanssa on helpompi työskennellä. Tällainen siirtymä on erityisen edullinen, kun alkuperäisen lausekkeen muuttujien DPV mahdollistaa juurien korvaamisen potenssilla ilman, että tarvitsee käyttää moduulia tai jakaa DPV useisiin aikaväleihin.
Esimerkki 12
Ilmaise lauseke x 1 9 x x 3 6 potenssina.
Päätös
Muuttujan kelvollinen alue x määräytyy kahdella epätasa-arvolla x ≥ 0 ja x · x 3 ≥ 0 , jotka määrittelevät joukon [ 0 , + ∞) .
Tässä sarjassa meillä on oikeus siirtyä juurista voimiin:
x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6
Asteiden ominaisuuksia käyttämällä yksinkertaistamme tuloksena olevaa teholauseketta.
x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Vastaus: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .
Muunnetaan potenssit eksponentin muuttujilla
Nämä muunnokset ovat melko yksinkertaisia tehdä, jos käytät oikein tutkinnon ominaisuuksia. Esimerkiksi, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
Voimme korvata sen asteen tulon, jonka perusteella jonkin muuttujan ja luvun summa löytyy. Vasemmalla puolella tämä voidaan tehdä lausekkeen vasemman puolen ensimmäisellä ja viimeisellä termillä:
5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .
Jaetaan nyt yhtälön molemmat puolet 7 2 x. Tämä muuttujan x ODZ:n lauseke saa vain positiivisia arvoja:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
Vähennetään murtolukuja potenssien kanssa, saadaan: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .
Lopuksi potenssien suhde samoilla eksponenteilla korvataan suhteiden potenssilla, mikä johtaa yhtälöön 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , joka vastaa 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-2 = 0.
Otetaan käyttöön uusi muuttuja t = 5 7 x , joka pelkistää alkuperäisen eksponentiaaliyhtälön ratkaisun toisen asteen yhtälön 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 ratkaisuksi.
Lausekkeiden muuntaminen potenssien ja logaritmien avulla
Tehtävissä on myös potenssia ja logaritmeja sisältäviä lausekkeita. Esimerkkejä tällaisista lausekkeista ovat: 1 4 1 - 5 log 2 3 tai log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Tällaisten lausekkeiden muunnos suoritetaan käyttämällä edellä olevia logaritmien lähestymistapoja ja ominaisuuksia, joita olemme analysoineet yksityiskohtaisesti aiheessa "Logaritmien lausekkeiden muuntaminen".
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
minä Tehdä työtä n tekijät, joista jokainen on yhtä suuri a nimeltään n-luvun potenssi a ja merkitty an.
Esimerkkejä. Kirjoita tuote tutkintona.
1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.
Päätös.
1) mmmm=m 4, koska asteen määritelmän mukaan neljän tekijän tulo, joista jokainen on yhtä suuri m, tulee m:n neljäs potenssi.
2) aaabb=a3b2; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 c 3; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 + p 3 k-p 2 k 3 .
II. Operaatiota, jolla saadaan useiden yhtäläisten tekijöiden tulo, kutsutaan eksponentioksi. Lukua, joka on korotettu potenssiin, kutsutaan potenssin kantaksi. Lukua, joka osoittaa, mihin potenssiin kantaa nostetaan, kutsutaan eksponenttiksi. Niin, an- tutkinto, a- tutkinnon perusta n- eksponentti. Esimerkiksi:
2 3 — se on tutkinto. Määrä 2 - asteen kanta, eksponentti on yhtä suuri kuin 3 . Tutkinnon arvo 2 3 on yhtä suuri 8, kuten 2 3 = 2 2 2 = 8.
Esimerkkejä. Kirjoita seuraavat lausekkeet ilman eksponenttia.
5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a3-b3; 8) 2a 4 +3b 2 .
Päätös.
5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 - b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.
III. ja 0 =1 Mikä tahansa luku (paitsi nolla) nollatehoon on yhtä suuri kuin yksi. Esimerkiksi 25 0 =1.
IV. a 1 = aMikä tahansa luku ensimmäiseen potenssiin on yhtä suuri kuin itsensä.
v. olen∙ a n= olen + n Kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, kanta pysyy samana ja eksponentit laskea yhteen.
Esimerkkejä. Yksinkertaistaa:
9) a a 3 a 7; 10) b 0 + b 2 b 3; 11) c 2 c 0 c c 4 .
Päätös.
9) a 3 ja 7=a 1+3+7 =a11; 10) b 0 + b 2 b 3 = 1+b2+3 =1+b5;
11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .
VI. olen: a n= olen - nKun potenssit jaetaan samalla kantaluvulla, kanta jätetään samaksi ja jakajan eksponentti vähennetään osingon eksponenteista.
Esimerkkejä. Yksinkertaistaa:
12) a 8: a 3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .
12) a 8: a 3=a8-3 =a5; 13) m11:m4= m 11 - 4 = m7; neljätoista ) 5 6:5 4 = 5 2 = 5 5 = 25.
VII. (olen) n= amn Kun potenssi nostetaan potenssiksi, kanta pysyy samana ja eksponentit kerrotaan.
Esimerkkejä. Yksinkertaistaa:
15) (a 3) 4; 16) (s 5) 2.
15) (a 3) 4=a34 =a12; 16) (c) 5) 2=c 5 2 = c 10 .
Huomautus, joka, koska tuote ei muutu tekijöiden permutaatiosta, sitten:
15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .
Vminä II. (a ∙ b) n =a n ∙ b n Kun tuotetta nostetaan potenssiin, jokainen tekijä korotetaan tähän potenssiin.
Esimerkkejä. Yksinkertaistaa:
17) (2a 2) 5; 18) 0,26 56; 19) 0,25 2 40 2 .
Päätös.
17) (2a 2) 5\u003d 2 5 a 2 5 \u003d 32a 10; 18) 0,2 6 5 6= (0,2 5) 6 = 1 6 = 1;
19) 0,25 2 40 2\u003d (0,25 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100.
IX. Kun murto-osa nostetaan potenssiin, sekä murto-osan osoittaja että nimittäjä korotetaan tähän potenssiin.
Esimerkkejä. Yksinkertaistaa:
Päätös.
Sivu 1/1 1
Yksi algebran ja itse asiassa kaikessa matematiikan pääominaisuuksista on tutkinto. Tietenkin 2000-luvulla kaikki laskelmat voidaan suorittaa online-laskimella, mutta on parempi oppia tekemään se itse aivojen kehittämiseksi.
Tässä artikkelissa tarkastelemme tärkeimpiä tähän määritelmään liittyviä kysymyksiä. Nimittäin ymmärrämme, mikä se yleensä on ja mitkä ovat sen päätoiminnot, mitä ominaisuuksia matematiikassa on.
Katsotaanpa esimerkkejä siitä, miltä laskenta näyttää, mitkä ovat peruskaavat. Analysoimme suureiden päätyypit ja kuinka ne eroavat muista funktioista.
Ymmärrämme kuinka ratkaista erilaisia ongelmia käyttämällä tätä arvoa. Näytämme esimerkein kuinka nolla-asteeseen, irrationaaliseen, negatiiviseen jne.
Online eksponentiolaskin
Mikä on luvun aste
Mitä tarkoittaa ilmaus "nosta luku potenssiin"?
Luvun a aste n on suuruustekijöiden a tulo n kertaa peräkkäin.
Matemaattisesti se näyttää tältä:
a n = a * a * a * …a n .
Esimerkiksi:
- 2 3 = 2 kolmannessa vaiheessa. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 vaiheessa. kaksi = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 vaiheessa. neljä = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 5 vaiheessa. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
- 10 4 \u003d 10 4 vaiheessa. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.
Alla on taulukko neliöistä ja kuutioista 1-10.
Astetaulukko 1-10
Alla on tulokset luonnollisten lukujen nostamisesta positiivisiin potenssiin - "yhdestä sataan".
| Ch-lo | 2. luokka | 3. luokka |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Tutkinnon ominaisuudet
Mikä on ominaista sellaiselle matemaattiselle funktiolle? Katsotaanpa perusominaisuuksia.
Tiedemiehet ovat vahvistaneet seuraavan kaikille asteille tyypilliset merkit:
- a n*a m = (a) (n+m);
- a n: a m = (a) (n-m);
- (a b) m = (a) (b*m) .
Tarkastetaan esimerkeillä:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Toisaalta 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Vastaavasti: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Muuten 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Entä jos se on erilainen? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Kuten näet, säännöt toimivat.
Mutta kuinka olla yhteen- ja vähennyslaskulla? Kaikki on yksinkertaista. Ensin suoritetaan eksponentio ja vasta sitten yhteen- ja vähennyslasku.
Katsotaanpa esimerkkejä:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Mutta tässä tapauksessa sinun on ensin laskettava lisäys, koska suluissa on toimintoja: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Kuinka tuottaa laskelmia monimutkaisemmissa tapauksissa? Järjestys on sama:
- jos suluissa on, sinun on aloitettava niistä;
- sitten eksponentio;
- sitten suorita kerto- ja jakolaskuoperaatiot;
- yhteen- ja vähennyslaskujen jälkeen.
On tiettyjä ominaisuuksia, jotka eivät ole tyypillisiä kaikille asteille:
- N:nnen asteen juuri luvusta a asteeseen m kirjoitetaan seuraavasti: a m / n .
- Murtolukua nostettaessa potenssiin: sekä osoittaja että sen nimittäjä ovat tämän menettelyn alaisia.
- Kun eri lukujen tulo nostetaan potenssiin, lauseke vastaa näiden lukujen tuloa tietyllä potenssilla. Eli: (a * b) n = a n * b n .
- Kun nostat luvun negatiiviseen potenssiin, sinun on jaettava 1 numerolla samassa vaiheessa, mutta "+"-merkillä.
- Jos murto-osan nimittäjä on negatiivisessa potenssissa, tämä lauseke on yhtä suuri kuin osoittajan ja nimittäjän tulo positiivisessa potenssissa.
- Mikä tahansa luku potenssiin 0 = 1 ja askeleen. 1 = itselleen.
Nämä säännöt ovat tärkeitä yksittäisissä tapauksissa, käsittelemme niitä tarkemmin alla.
Aste negatiivisella eksponentilla
Mitä tehdä negatiivisella asteella, eli kun indikaattori on negatiivinen?
Perustuu ominaisuuksiin 4 ja 5(katso kohta yllä) se käy ilmi:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
Ja päinvastoin:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
Entä jos se on murto-osa?
(A / B) (- n) = (B / A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.
Tutkinto luonnollisella indikaattorilla
Se ymmärretään asteeksi, jonka eksponentit ovat yhtä suuret kuin kokonaisluvut.
Muistettavaa:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1… jne.
A1 = A, 11 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… jne.
Lisäksi, jos (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… niin tulos on +-merkillä. Jos negatiivinen luku nostetaan parittomaan potenssiin, niin päinvastoin.
Yleiset ominaisuudet ja kaikki edellä kuvatut erityispiirteet ovat myös niille ominaisia.
Murtoluku
Tämä näkymä voidaan kirjoittaa kaaviona: A m / n. Se luetaan seuraavasti: luvun A n:nnen asteen juuri luvun m potenssiin.
Murto-osoittimella voit tehdä mitä tahansa: pienentää, hajottaa osiin, nostaa toiseen asteeseen jne.
Aste irrationaalisella eksponentilla
Olkoon α irrationaalinen luku ja А ˃ 0.
Ymmärtääksesi tutkinnon olemuksen tällaisella indikaattorilla, Katsotaanpa erilaisia mahdollisia tapauksia:
- A \u003d 1. Tulos on yhtä suuri kuin 1. Koska on olemassa aksiooma - 1 on yhtä suuri kuin yksi kaikilla potenssilla;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 ovat rationaalilukuja;
- 0˂А˂1.
Tässä tapauksessa päinvastoin: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 samoissa olosuhteissa kuin toisessa kappaleessa.
Esimerkiksi eksponentti on luku π. Se on järkevää.
r 1 - tässä tapauksessa se on yhtä suuri kuin 3;
r 2 - on yhtä suuri kuin 4.
Sitten kun A = 1, 1 π = 1.
A = 2, sitten 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, sitten (½) 4˂ (½) π˂ (½) 3, 1/16˂ (½) π˂ 1/8.
Tällaisille asteille on tunnusomaista kaikki edellä kuvatut matemaattiset operaatiot ja erityisominaisuudet.
Johtopäätös
Tehdään yhteenveto - mitä varten nämä arvot ovat, mitkä ovat tällaisten toimintojen edut? Tietenkin ensinnäkin ne yksinkertaistavat matemaatikoiden ja ohjelmoijien elämää esimerkkejä ratkaistaessa, koska ne mahdollistavat laskelmien minimoinnin, algoritmien vähentämisen, tietojen systematisoinnin ja paljon muuta.
Missä muualla tästä tiedosta voi olla hyötyä? Millä tahansa ammattialalla: lääketiede, farmakologia, hammaslääketiede, rakentaminen, tekniikka, suunnittelu, suunnittelu jne.
Oppitunti aiheesta: "Säännöt potenssien kertomiseen ja jakamiseen samoilla ja eri eksponenteilla. Esimerkkejä"
Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia. Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.
Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 7
Käsikirja oppikirjalle Yu.N. Makarycheva käsikirja oppikirjalle A.G. Mordkovich
Oppitunnin tarkoitus: Opi suorittamaan operaatioita luvun potenssien kanssa.
Aluksi muistetaan käsite "luvun teho". Lauseke kuten $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ voidaan esittää muodossa $a^n$.
Päinvastoin on myös totta: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Tätä yhtäläisyyttä kutsutaan "tutkinnon kirjaamiseksi tuotteeksi". Se auttaa meitä päättämään, kuinka voimat kerrotaan ja jaetaan.
Muistaa:
a- tutkinnon perusta.
n- eksponentti.
Jos n = 1, mikä tarkoittaa numeroa a otettu kerran ja vastaavasti: $a^n= 1$.
Jos n = 0, sitten $a^0= 1$.
Miksi näin tapahtuu, voimme selvittää, kun tutustumme valtuuksien kertomis- ja jakamissääntöihin.
kertolaskusäännöt
a) Jos potenssit, joilla on sama kanta, kerrotaan.Kohteeseen $a^n * a^m$ kirjoitamme potenssit tulona: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m )$.
Kuvasta näkyy, että numero a ovat ottaneet n+m kertaa, niin $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Esimerkki.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Tätä ominaisuutta on kätevä käyttää työn yksinkertaistamiseksi, kun luku nostetaan suureen tehoon.
Esimerkki.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Jos potenssit kerrotaan eri kantaluvulla, mutta samalla eksponentilla.
Kohteeseen $a^n * b^n$ kirjoitamme potenssit tulona: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Jos vaihdamme tekijät ja laskemme tuloksena olevat parit, saamme: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Joten $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Esimerkki.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
jakosäännöt
a) Asteen kanta on sama, eksponentit ovat erilaisia.Harkitse asteen jakamista suuremmalla eksponentilla jakamalla aste pienemmällä eksponentilla.
Joten se on välttämätöntä $\frac(a^n)(a^m)$, missä n>m.
Kirjoitamme asteet murtolukuna:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Mukavuuden vuoksi kirjoitamme jaon yksinkertaisena murtolukuna.Nyt vähennetään murto-osaa.
Osoittautuu: $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
tarkoittaa, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Tämä ominaisuus auttaa selittämään tilanteen nostamalla luku nollan potenssiin. Oletetaan, että n=m, sitten $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Esimerkkejä.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Tutkinnon perusteet ovat erilaiset, indikaattorit ovat samat.
Oletetaan, että tarvitset $\frac(a^n)(b^n)$. Kirjoitamme lukujen potenssit murtolukuna:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Kuvitellaan mukavuuden vuoksi.
Murtolukujen ominaisuutta käyttämällä jaamme suuren osan pienten tuotteeksi, saamme.
$\underbrace(\frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Vastaavasti: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Esimerkki.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
On selvää, että lukuja, joilla on potenssit, voidaan lisätä muiden suureiden tapaan , lisäämällä ne yksitellen merkeineen.
Joten a 3:n ja b 2:n summa on a 3 + b 2 .
A 3 - b n ja h 5 - d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4 .
Kertoimet samojen muuttujien samat potenssit voidaan lisätä tai vähentää.
Joten 2a 2:n ja 3a 2:n summa on 5a 2 .
On myös selvää, että jos otetaan kaksi ruutua a, kolme ruutua a tai viisi ruutua a.
Mutta asteet erilaisia muuttujia ja erilaisia tutkintoja identtiset muuttujat, on lisättävä lisäämällä ne merkkeihinsä.
Joten 2:n ja 3:n summa on 2 + a 3:n summa.
On selvää, että a:n neliö ja a:n kuutio eivät ole kaksi kertaa a:n neliö, vaan kaksi kertaa a:n kuutio.
Arvojen a 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Vähennyslasku valtuudet suoritetaan samalla tavalla kuin lisääminen, paitsi että aliosan merkkejä on muutettava vastaavasti.
Tai:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -t 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Tehon kertolasku
Potensseilla varustetut luvut voidaan kertoa muiden suureiden tapaan kirjoittamalla ne peräkkäin joko kertolaskun kanssa tai ilman.
Joten tulos kertomalla a 3:lla b 2 on a 3 b 2 tai aaabb.
Tai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 v
Viimeisen esimerkin tulos voidaan järjestää lisäämällä samat muuttujat.
Lauseke saa muotoa: a 5 b 5 y 3 .
Vertaamalla useita lukuja (muuttujia) potenssiin, voimme nähdä, että jos mitkä tahansa niistä kerrotaan, niin tuloksena on luku (muuttuja), jonka potenssi on summa termien asteet.
Joten a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Tässä 5 on kertolaskutuloksen teho, joka on yhtä suuri kuin 2 + 3, termien potenssien summa.
Joten a n.a m = a m+n.
Kun a n , a otetaan tekijäksi niin monta kertaa kuin n:n potenssi on;
Ja a m , otetaan tekijäksi niin monta kertaa kuin aste m on yhtä suuri;
Niin, potenssit, joilla on sama kanta, voidaan kertoa lisäämällä eksponentit.
Joten a 2.a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Tai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Kerro (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastaus: x 4 - y 4.
Kerro (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Tämä sääntö pätee myös lukuihin, joiden eksponentit ovat - negatiivinen.
1. Joten a -2 .a -3 = a -5 . Tämä voidaan kirjoittaa muodossa (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Jos a + b kerrotaan a - b:llä, tulos on a 2 - b 2: eli
Kahden luvun summan tai erotuksen kertomisen tulos on yhtä suuri kuin niiden neliöiden summa tai erotus.
Jos kahden luvun summa ja erotus korotetaan neliö-, tulos on yhtä suuri kuin näiden lukujen summa tai erotus neljäs tutkinnon.
Joten (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2) ⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Toimivallan jako
Potenssiluvut voidaan jakaa kuten muutkin luvut vähentämällä jakajasta tai asettamalla ne murtolukumuotoon.
Joten a 3 b 2 jaettuna b 2:lla on a 3 .
Tai:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
5:n kirjoittaminen jaettuna 3:lla näyttää tältä $\frac(a^5)(a^3)$. Mutta tämä on yhtä kuin 2. Numerosarjassa
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mikä tahansa luku voidaan jakaa toisella, ja eksponentti on yhtä suuri ero jaollisten lukujen indikaattorit.
Kun potenssit jaetaan samalla kantalla, niiden eksponentit vähennetään..
Joten y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Eli $\frac(yyy)(yy) = y$.
Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . Eli $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Tai:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Sääntö koskee myös numeroita, joissa on negatiivinen asteen arvot.
Tulos jakamalla -5 luvulla -3 on -2.
Myös $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 tai $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
On välttämätöntä hallita valtuuksien kerto- ja jakamista hyvin, koska tällaisia operaatioita käytetään hyvin laajasti algebrassa.
Esimerkkejä esimerkkien ratkaisemisesta potenssien lukuja sisältävillä murtoluvuilla
1. Pienennä eksponentit muodossa $\frac(5a^4)(3a^2)$. Vastaus: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Pienennä eksponentit muodossa $\frac(6x^6)(3x^5)$. Vastaus: $\frac(2x)(1)$ tai 2x.
3. Pienennä eksponentit a 2 / a 3 ja a -3 / a -4 ja muodosta yhteinen nimittäjä.
a 2.a -4 on -2 ensimmäinen osoittaja.
a 3 .a -3 on a 0 = 1, toinen osoittaja.
a 3 .a -4 on -1, yhteinen osoittaja.
Yksinkertaistuksen jälkeen: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .
4. Pienennä eksponentit 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja muodosta yhteinen nimittäjä.
Vastaus: 2a 3 / 5a 7 ja 5a 5 / 5a 7 tai 2a 3 / 5a 2 ja 5/5a 2.
5. Kerro (a 3 + b)/b 4 luvulla (a - b)/3.
6. Kerro (a 5 + 1)/x 2 luvulla (b 2 - 1)/(x + a).
7. Kerro b 4 /a -2 luvulla h -3 /x ja a n /y -3 .
8. Jaa 4 /v 3 luvulla 3 /v 2 . Vastaus: a/y.
9. Jaa (h 3 - 1)/d 4 luvulla (d n + 1)/h.
