Koordinaattimenetelmän ydin geometristen ongelmien ratkaisemiseen

Koordinaattimenetelmällä tehtävän ongelmien ratkaisemisen ydin on ottaa käyttöön koordinaattijärjestelmä, joka on meille kätevä jossakin tapauksessa ja kirjoittaa kaikki tiedot uudelleen sen avulla. Sen jälkeen kaikki tuntemattomat suuret tai todisteet säilytetään tällä systeemillä. Keskustelimme toisessa artikkelissa pisteiden koordinaattien syöttämisestä missä tahansa koordinaattijärjestelmässä - emme käsittele sitä täällä.

Esittelemme tärkeimmät väitteet, joita käytetään koordinaattimenetelmässä.

Lausuma 1: Vektorin koordinaatit määräytyvät tämän vektorin lopun ja sen alun vastaavien koordinaattien välisen eron perusteella.

Lausuma 2: Janan keskipistekoordinaatit määritetään puoleksi sen rajojen vastaavien koordinaattien summasta.

Lausuma 3: Minkä tahansa vektorin $\overline(δ)$, jolla on tietyt koordinaatit $(δ_1,δ_2,δ_3)$, pituus määritetään kaavalla

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

Lausuma 4: Kahden koordinaattien $(δ_1,δ_2,δ_3)$ ja $(β_1,β_2,β_3)$ antama etäisyys määritetään kaavalla

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

Kaavio geometristen tehtävien ratkaisemiseksi koordinaattimenetelmällä

Geometristen ongelmien ratkaisemiseksi koordinaattimenetelmällä on parasta käyttää tätä kaaviota:

Analysoi mitä ongelmassa on annettu:

• Aseta tehtävälle sopivin koordinaattijärjestelmä;
• Matemaattisesti tehtävän ehto, ongelman kysymys kirjoitetaan ylös, tälle tehtävälle rakennetaan piirustus.

1. Kirjoita kaikki tehtävän tiedot valitun koordinaattijärjestelmän koordinaatteihin.

2. Laadi tarvittavat suhteet ongelman ehdosta ja yhdistä nämä suhteet myös löydettäviin (tehtävässä todistettuihin).
3. Saatu tulos käännetään geometrian kielelle.

Esimerkkejä koordinaattimenetelmällä ratkaistavista ongelmista

Seuraavat tehtävät voidaan erottaa päätehtävistä, jotka johtavat koordinaattimenetelmään (niiden ratkaisuja ei anneta tässä):

1. Tehtävät vektorin koordinaattien löytämiseksi sen lopusta ja alusta.
2. Segmentin jakamiseen liittyvät tehtävät kaikilta osin.
3. Todista, että kolme pistettä ovat samalla viivalla tai että neljä pistettä ovat samalla tasolla.
4. Tehtävät kahden annetun pisteen välisen etäisyyden selvittämiseksi.
5. Tehtäviä geometristen muotojen tilavuuksien ja alueiden löytämisessä.

Ensimmäisen ja neljännen ongelman ratkaisun tulokset esitämme yllä olevina päälauseina ja niitä käytetään melko usein muiden ongelmien ratkaisemiseen koordinaattimenetelmällä.

Esimerkkejä tehtävistä koordinaattimenetelmän soveltamiseen

Esimerkki 1

Etsi säännöllisen pyramidin sivu, jonka korkeus on $3 $ cm, jos pohjan sivu on $4 $ cm.

Otetaan meille säännöllinen pyramidi $ABCDS$, jonka korkeus on $SO$. Otetaan käyttöön koordinaattijärjestelmä, kuten kuvassa 1.

Koska piste $A$ on rakentamamme koordinaattijärjestelmän keskipiste, niin

Koska pisteet $B$ ja $D$ kuuluvat akseleille $Ox$ ja $Oy$, vastaavasti,

$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$

Koska piste $C$ kuuluu tasoon $Oxy$, niin

Koska pyramidi on säännöllinen, $O$ on janan $$ keskipiste. Lausunnon 2 mukaan saamme:

$O=(\frac(0+4)(2),\frac(0+4)(2),\frac(0+0)(2))=(2,2,0)$

Korkeudesta $SO$ lähtien

Geometrian oppituntikoe luokalla 11

Aihe: " Koordinaattien menetelmä avaruudessa”.

Kohde: Tarkista opiskelijoiden teoreettiset tiedot, taidot ja kyvyt soveltaa tätä tietoa ongelmien ratkaisussa vektori-, vektori-koordinaattisilla tavoilla.

Tehtävät:

1 .Luoda olosuhteet tiedon ja taitojen omaksumisen ohjaukselle (itsehillintä, keskinäinen valvonta).

2. Kehitä matemaattista ajattelua, puhetta, huomiokykyä.

3. Edistää aktiivisuutta, liikkuvuutta, kommunikointikykyä, opiskelijoiden yleistä kulttuuria.

Käyntilomake: työ ryhmissä.

Laitteet ja tietolähteet: näyttö, multimediaprojektori, laskentataulukko, luottokortit, testit.

Tuntien aikana

1. Mobilisoiva hetki.

Oppitunti CSR:n avulla; opiskelijat jaetaan 3 dynaamiseen ryhmään, joissa opiskelijat, joilla on hyväksyttävä, optimaalinen ja edistynyt taso. Jokaisella ryhmällä on koordinaattori, joka johtaa koko ryhmän työtä.

2 . Opiskelijoiden itsemäärääminen ennakoinnin perusteella.

Tehtävä:tavoitteen asettaminen suunnitelman mukaan: muista-opi-pyy.

Pääsykoe - Täytä tyhjät kohdat (tulosteissa)

pääsykoe

Täytä aukot…

1. Avaruuden pisteen läpi vedetään kolme pareittain kohtisuoraa viivaa

me, kullekin niistä, valitaan segmenttien suunta ja mittayksikkö,

sitten he sanovat, että se on asetettu …………. avaruudessa.

2. Suoria viivoja, joihin on valittu suunnat, kutsutaan nimellä ……………..,

ja niiden yhteinen kohta on …………. .

3. Suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa jokainen avaruuden piste M liittyy numeroiden kolmioon, jotka kutsuvat sitä …………………..

4. Avaruuden pisteen koordinaatteja kutsutaan …………………..

5. Vektoria, jonka pituus on yksi, kutsutaan …………..

6. Vektorit iykkutsutaan………….

7. Kertoimet xyz hajoamisessa a= xi + yj + zk nimeltään

……………vektori a .

8. Kahden tai useamman vektorin summan kukin koordinaatti on yhtä suuri kuin ……………..

9. Kahden vektorin eron kukin koordinaatti on yhtä suuri kuin ……………….

10. Jokainen vektorin ja luvun tulon koordinaatti on yhtä suuri kuin…………………..

11.Jokainen vektorin koordinaatti on yhtä suuri kuin…………….

12. Janan keskikohdan jokainen koordinaatti on yhtä suuri kuin………………….

13. Vektorin pituus a { xyz) lasketaan kaavalla ………………………

14. Pisteiden välinen etäisyys M 1(x 1 ; y 1; z 1) ja M 2 (x 2; y 2 ; z2) lasketaan kaavalla ……………………

15. Kahden vektorin skalaarituloa kutsutaan………………..

16. Nollasta poikkeavien vektorien skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla…………………..

17. Vektorien pistetuloa{ x 1; y 1; z 1} b { x 2 ; y 2 ; z 2) sisään ilmaistaan ​​kaavalla ……………………

Pääsykokeen molemminpuolinen tarkastus. Vastaukset testin tehtäviin näytöllä.

Arviointikriteeri:

1-2 virhettä - "5"

3-4 virhettä - "4"

5-6 virhettä - "3"

Muissa tapauksissa - "2"

3. Töiden tekeminen. (korteille).

Jokainen kortti sisältää kaksi tehtävää: Nro 1 - teoreettinen todisteineen, nro 2 sisältää tehtäviä.

Selitä työhön sisältyvien tehtävien vaikeusaste. Ryhmä suorittaa yhden tehtävän, mutta siinä on 2 osaa. Ryhmäkoordinaattori johtaa koko ryhmän työtä. Samasta tiedosta keskusteleminen usean kumppanin kanssa lisää vastuuta oman menestyksen lisäksi myös kollektiivisen työn tuloksista, millä on positiivinen vaikutus tiimin mikroilmastoon.

KORTTIA #1

1. Johda kaavat, jotka ilmaisevat janan keskikohdan koordinaatit sen päiden koordinaatteina.

2. Tehtävä: 1) Pisteet A (-3; 1; 2) ja B (1; -1; 2) annetaan

Löytö:

a) janan AB keskipisteen koordinaatit

b) vektorin AB koordinaatit ja pituus

2) Kuutio ABCDA1 B1 C1 D1 on annettu. Etsi kulma koordinaattimenetelmällä

linjojen AB1 ja A1 D välissä.

KORTTIA #2

Johda kaava vektorin pituuden laskemiseksi sen koordinaateista.

Tehtävä: 1) Annetut pisteet M(-4; 7; 0),N(0; -1; 2). Etsi etäisyys koordinaattien origosta janan M keskikohtaanN.

→ → → → →

2) Vektoritiedot a ja b. löytö b(a+b), jos a(-2;3;6),b=6i-8k

KORTTIA #3

Johda kaava pisteiden välisen etäisyyden laskemiseksi annetuilla koordinaatteilla.

Tehtävä: 1) Pisteet A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4) annetaan.

Osoita, että ∆ABC on tasakylkinen ja löydä sivujen keskipisteitä yhdistävän kolmion keskiviivan pituus.

2) Laske suorien AB ja SD välinen kulma, jos A(1;1;0),

B(3;-1;2), D(0;1;0).

KORTTIA #4

Johda kaavat nollasta poikkeavien vektorien välisen kulman kosinille annetuilla koordinaatteilla.

Tehtävä: 1) Suunnikkaan ABCD kolmen kärjen koordinaatit on annettu:

A(-6;-;4;0), B(6;-6;2), C(10;0;4). Etsi pisteen D koordinaatit.

2) Laske suorien AB ja CD välinen kulma, jos A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .

KORTTIA #5

Kerro meille kuinka lasketaan kahden suoran välinen kulma avaruudessa käyttämällä näiden viivojen suuntavektoreita. →→

Tehtävä: 1) Etsi vektorien skalaarituloa ja b, jos:

→ → → ^ →

a) | a| =4; | b| =√3 (ab)=30◦

b) a {2 ;-3; 1}, b = 3 i +2 k

2) Pisteet A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) ja D(2;4;4) on annettu. Todista, että ABCD on rombi.

4. Dynaamisten ryhmien työn tarkistaminen korteilla.

Kuuntelemme ryhmien edustajien puheita. Ryhmien työn arvioi opettaja oppilaiden osallistuessa.

5. Heijastus. Luottopisteet.

Loppukoe vastausvaihtoehdoilla (tulosteina).

1) Vektorit on annettu a {2 ;-4 ;3} b(-3; ─ ; 1). Etsi vektorin koordinaatit

→ 2

c = a+ b

a) (-5; 3 -; 4); b) (-1; -3,5; 4) c) (5; -4 -; 2) d) (-1; 3,5; -4)

2) Vektorit on annettu a(4; -3; 5) ja b(-3; 1; 2). Etsi vektorin koordinaatit

C=2 a – 3 b

a) (7; -2; 3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Laske vektorien skalaaritulom ja n, jos m = a + 2 b- c

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 a - b jos | a|=2 , ‌| b |=3, (ab‌) = 60°, c ┴ a , c ┴ b.

a)-1; b) -27; kohdassa 1; d) 35.

4) Vektorin pituus a { xyz) on yhtä suuri kuin 5. Etsi vektorin a jos koordinaatitx=2, z=-√5

a) 16; b) 4 tai -4; klo 9; d) 3 tai -3.

5) Etsi alue ∆ABC, jos A(1;-1;3); B(3;-1;1) ja C(-1;1;-3).

a) 4√3; b) √3; c) 2√3; d) √8.

Ristiinvalidointitesti. Testitehtävien vastauskoodit näytöllä: 1(b); 2(c);

3(a); 4(b); 5(c).

Arviointikriteeri:

Kaikki on oikein - "5"

1 virhe - "4"

2 virhettä - "3"

Muissa tapauksissa - "2"

Oppilaan tietotaulukko

Työskentele

kortit

lopullinen

testata

Luottopisteet

Tehtävät

teoria

harjoitella

1 ryhmä

2 ryhmää

3 ryhmää

Opiskelijoiden kokeeseen valmistautumisen arviointi.

Jos haluat käyttää esitysten esikatselua, luo Google-tili (tili) ja kirjaudu sisään: https://accounts.google.com

Diojen kuvatekstit:

Suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä avaruudessa. Vektorikoordinaatit.

Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä

Jos avaruuden pisteen läpi vedetään kolme pareittain kohtisuoraa viivaa, jokaiselle valitaan suunta ja segmenttien mittayksikkö, niin sanotaan, että avaruuteen asetetaan suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä.

Suoria viivoja, joihin on valittu suunnat, kutsutaan koordinaattiakseleiksi ja niiden yhteistä pistettä kutsutaan koordinaattien origoksi. Se merkitään yleensä kirjaimella O. Koordinaatistoakselit on merkitty seuraavasti: Ox, Oy, O z - ja niillä on nimet: abskissa-akseli, y-akseli, aplikaatioakseli.

Koko koordinaattijärjestelmä on merkitty Oxy z . Tasoja, jotka kulkevat koordinaattiakselien Ox ja Oy, Oy ja O z , O z ja Ox kautta, kutsutaan koordinaattitasoiksi ja niitä merkitään Oxy, Oy z , O z x.

Piste O jakaa kunkin koordinaattiakselin kahdeksi säteeksi. Sädettä, jonka suunta on sama kuin akselin suunta, kutsutaan positiiviseksi puoliakseliksi ja toista sädettä negatiiviseksi puoliakseliksi.

Suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa jokainen avaruuden piste M liittyy kolminkertaiseen numeroon, jota kutsutaan sen koordinaateiksi.

Kuvassa kuusi pistettä A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , F(0; 0; -3).

Vektorikoordinaatit

Mikä tahansa vektori voidaan hajottaa koordinaattivektoreiksi, ts. esittää muodossa, jossa laajennuskertoimet x, y, z on määritetty yksiselitteisesti.

Kertoimia x, y ja z vektorin laajennuksessa koordinaattivektoreilla kutsutaan vektorin koordinaatteiksi annetussa koordinaattijärjestelmässä.

Harkitse sääntöjä, joiden avulla voimme löytää niiden summan ja eron koordinaatit sekä tietyn vektorin tulon koordinaatit tietyllä luvulla käyttämällä näiden vektoreiden koordinaatteja.

kymmenen. Kukin kahden tai useamman vektorin summan koordinaatti on yhtä suuri kuin näiden vektorien vastaavien koordinaattien summa. Toisin sanoen, jos a (x 1, y 1, z 1) ja b (x 2, y 2, z 2 ) on annettu vektorit, niin vektorilla a + b on koordinaatit (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2).

20 . Kukin kahden vektorin eron koordinaatti on yhtä suuri kuin näiden vektorien vastaavien koordinaattien ero. Toisin sanoen, jos a (x 1, y 1, z 1) ja b (x 2 y 2; z 2) ovat vektoreita, niin vektorilla a - b on koordinaatit (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z 1 - z 2).

kolmekymmentä. Jokainen vektorin luvun tulon koordinaatti on yhtä suuri kuin vektorin vastaavan koordinaatin tulo kyseisellä luvulla. Toisin sanoen, jos a (x; y; x) on annettu vektori, α on tietty luku, niin vektorilla α a on koordinaatit (αx; αy; α z).

Aiheesta: metodologinen kehitys, esitykset ja muistiinpanot

Didaktinen moniste "Muistiinpanosarja opiskelijoille aiheesta "Koordinaattien menetelmä avaruudessa" oppituntien johtamiseen luentojen muodossa. Geometria luokka 10-11....

Oppitunnin tarkoitus: Testaa opiskelijoiden tietoja, taitoja ja kykyjä aiheesta "Koordinaattimenetelmän käyttö avaruudessa tehtävien ratkaisemiseen C2 KÄYTTÖ." Suunnitellut koulutustulokset: Oppilaat osoittavat: ...

Koordinaattimenetelmä on erittäin tehokas ja monipuolinen tapa löytää kulmat tai etäisyydet stereometristen kohteiden välillä avaruudessa. Jos matematiikan opettajasi on erittäin pätevä, hänen pitäisi tietää tämä. Muuten suosittelen "C"-osan vaihtamaan ohjaaja. Matematiikan C1-C6 tenttiin valmistautuminen sisältää yleensä alla kuvattujen perusalgoritmien ja -kaavojen analyysin.

Linjojen a ja b välinen kulma

Avaruudessa olevien viivojen välinen kulma on kulma niiden kanssa yhdensuuntaisten leikkaavien viivojen välillä. Tämä kulma on yhtä suuri kuin näiden viivojen suuntavektorien välinen kulma (tai täydentää sitä 180 asteeseen).

Mitä algoritmia matematiikan ohjaaja käyttää kulman löytämiseen?

1) Valitse mitkä tahansa vektorit ja joilla on linjojen a ja b suunnat (niiden kanssa yhdensuuntaiset).
2) Määritämme vektorien koordinaatit ja niiden alun ja lopun vastaavien koordinaattien perusteella (alkun koordinaatit on vähennettävä vektorin lopun koordinaateista).
3) Korvaamme löydetyt koordinaatit kaavaan:
. Itse kulman löytämiseksi sinun on löydettävä tuloksen kaarikossini.

Normaali lentokoneeseen

Tason normaali on mikä tahansa vektori, joka on kohtisuorassa tätä tasoa vastaan.
Miten löytää normaali? Normaalin koordinaattien löytämiseksi riittää, että tietää minkä tahansa kolmen pisteen M, N ja K koordinaatit, jotka sijaitsevat annetussa tasossa. Näiden koordinaattien avulla löydämme vektorien koordinaatit ja edellytämme, että ehdot täyttyvät. Yhdistäen vektorien skalaaritulon nollaan, muodostamme yhtälöjärjestelmän, jossa on kolme muuttujaa, joista voimme löytää normaalin koordinaatit.

Matematiikan opettajan huomautus : Järjestelmää ei tarvitse ratkaista kokonaan, koska riittää, että valitset vähintään yhden normaalin. Voit tehdä tämän korvaamalla minkä tahansa luvun (esimerkiksi yhden) minkä tahansa sen tuntemattoman koordinaatin sijasta ja ratkaisemalla kahden yhtälön järjestelmän kahdella jäljellä olevalla tuntemattomalla. Jos sillä ei ole ratkaisuja, niin tämä tarkoittaa, että normaaliperheessä ei ole ketään, jolla olisi yksikkö valitulle muuttujalle. Korvaa sitten toinen muuttuja (toinen koordinaatti) ja ratkaise uusi järjestelmä. Jos ohitat uudelleen, normaalillasi on yksikkö viimeisellä koordinaatilla, ja se osoittautuu yhdensuuntaiseksi jonkin koordinaattitason kanssa (tässä tapauksessa se on helppo löytää ilman järjestelmää).

Oletetaan, että meille annetaan suora ja taso suuntavektorin ja normaalin koordinaatilla
Suoran ja tason välinen kulma lasketaan seuraavalla kaavalla:

Olkoon ja mitkä tahansa kaksi normaalia annetuille tasoille. Tällöin tasojen välisen kulman kosini on yhtä suuri kuin normaalien välisen kulman kosinin moduuli:

Tason yhtälö avaruudessa

Pisteet, jotka täyttävät tasa-arvon, muodostavat tason normaalin kanssa. Kerroin vastaa poikkeaman (rinnakkaissiirtymän) määrästä kahden tason välillä, joilla on sama normaali normaali. Tason yhtälön kirjoittamista varten sinun on ensin löydettävä sen normaali (kuten yllä on kuvattu), ja sitten korvattava minkä tahansa tason pisteen koordinaatit yhdessä löydetyn normaalin koordinaattien kanssa yhtälöön ja löydettävä kerroin. .

Jotta voit käyttää koordinaattimenetelmää, sinun on tunnettava kaavat hyvin. Niitä on kolme:

Ensi silmäyksellä se näyttää uhkaavalta, mutta vain vähän harjoittelua - ja kaikki toimii hyvin.

Tehtävä. Etsi vektorien a = (4; 3; 0) ja b = (0; 12; 5) välisen kulman kosini.

Päätös. Koska meille on annettu vektorien koordinaatit, korvaamme ne ensimmäisellä kaavalla:

Tehtävä. Kirjoita yhtälö tasolle, joka kulkee pisteiden M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) ja K = (2; 1; 0) läpi, jos tiedetään, että se ei kulje läpi alkuperä.

Päätös. Tason yleinen yhtälö: Ax + By + Cz + D = 0, mutta koska haluttu taso ei kulje origon - pisteen (0; 0; 0) - läpi, asetetaan D = 1. Koska tämä taso kulkee Pisteiden M, N ja K kautta, näiden pisteiden koordinaattien tulisi muuttaa yhtälö todelliseksi numeeriseksi yhtälöksi.

Korvataan pisteen M = (2; 0; 1) koordinaatit x:n, y:n ja z:n sijasta. Meillä on:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Samalla tavalla pisteille N = (0; 1; 1) ja K = (2; 1; 0) saadaan yhtälöt:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Meillä on siis kolme yhtälöä ja kolme tuntematonta. Laadimme ja ratkaisemme yhtälöjärjestelmän:

Saimme, että tason yhtälö on muotoa: − 0.25x − 0.5y − 0.5z + 1 = 0.

Tehtävä. Taso saadaan yhtälöllä 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Etsi annettuun tasoon nähden kohtisuorassa olevan vektorin koordinaatit.

Päätös. Kolmannen kaavan avulla saamme n = (7; − 2; 4) - siinä kaikki!

Vektorien koordinaattien laskenta

Mutta entä jos ongelmassa ei ole vektoreita - on vain pisteitä, jotka sijaitsevat suorilla viivoilla, ja näiden suorien välinen kulma on laskettava? Se on yksinkertaista: tietäen pisteiden koordinaatit - vektorin alun ja lopun - voit laskea itse vektorin koordinaatit.

Vektorin koordinaattien löytämiseksi on tarpeen vähentää alun koordinaatit sen lopun koordinaateista.

Tämä lause toimii yhtä lailla sekä tasossa että avaruudessa. Ilmaisu "vähennä koordinaatit" tarkoittaa, että toisen pisteen x-koordinaatti vähennetään yhden pisteen x-koordinaatista, jolloin sama on tehtävä y- ja z-koordinaateilla. Tässä on joitain esimerkkejä:

Tehtävä. Avaruudessa on kolme pistettä, jotka on annettu niiden koordinaateilla: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) ja C = (− 4; 3; − 2). Etsi vektorien AB, AC ja BC koordinaatit.

Tarkastellaan vektoria AB: sen alku on pisteessä A ja sen loppu on pisteessä B. Siksi sen koordinaattien löytämiseksi on tarpeen vähentää pisteen A koordinaatit pisteen B koordinaateista:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Samoin vektorin AC alku on edelleen sama piste A, mutta loppu on piste C. Siksi meillä on:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

Lopuksi vektorin BC koordinaattien löytämiseksi on tarpeen vähentää pisteen B koordinaatit pisteen C koordinaateista:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Vastaus: AB = (2; − 7; 4); AC = (-5; -3; -5); BC = (-7; 4; -9)

Kiinnitä huomiota viimeisen vektorin BC koordinaattien laskemiseen: monet ihmiset tekevät virheitä työskennellessään negatiivisten lukujen kanssa. Tämä koskee muuttujaa y: pisteen B koordinaatti on y = − 1 ja pisteen C y = 3. Saamme täsmälleen 3 − (− 1) = 4, eikä 3 − 1, kuten monet luulevat. Älä tee noin typeriä virheitä!

Suuntavektorien laskeminen suorille viivoille

Jos luet huolellisesti tehtävän C2, tulet yllättymään huomatessasi, että siinä ei ole vektoreita. On vain suoria viivoja ja tasoja.

Aloitetaan suorista viivoista. Täällä kaikki on yksinkertaista: millä tahansa suoralla on vähintään kaksi eri pistettä ja päinvastoin mitkä tahansa kaksi eri pistettä määrittelevät yhden suoran...

Ymmärtääkö kukaan mitä edellisessä kappaleessa on kirjoitettu? En ymmärtänyt sitä itse, joten selitän sen yksinkertaisemmin: tehtävässä C2 suorat annetaan aina pisteparilla. Jos otetaan käyttöön koordinaattijärjestelmä ja tarkastellaan vektoria, jonka alku ja loppu on näissä pisteissä, saadaan suoralle ns. suuntausvektori:

Miksi tätä vektoria tarvitaan? Asia on siinä, että kahden suoran välinen kulma on niiden suuntavektorien välinen kulma. Näin ollen siirrymme käsittämättömistä suorista tiettyihin vektoreihin, joiden koordinaatit on helppo laskea. Kuinka helppoa? Katso esimerkkejä:

Tehtävä. Viivat AC ja BD 1 piirretään kuutioon ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Etsi näiden viivojen suuntavektorien koordinaatit.

Koska kuution reunojen pituutta ei ole määritelty ehdossa, asetetaan AB = 1. Otetaan käyttöön koordinaattijärjestelmä, jonka origo on pisteessä A ja akselit x, y, z suunnattu pitkin linjoja AB, AD ja AA 1, vastaavasti. Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB = 1.

Etsitään nyt suoran AC suuntavektorin koordinaatit. Tarvitsemme kaksi pistettä: A = (0; 0; 0) ja C = (1; 1; 0). Täältä saamme vektorin koordinaatit AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - tämä on suuntavektori.

Käsitellään nyt suoraa BD 1 . Siinä on myös kaksi pistettä: B = (1; 0; 0) ja D 1 = (0; 1; 1). Saamme suuntavektorin BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Vastaus: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Tehtävä. Säännölliseen kolmioprismaan ABCA 1 B 1 C 1 , jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, piirretään suorat AB 1 ja AC 1. Etsi näiden viivojen suuntavektorien koordinaatit.

Otetaan käyttöön koordinaattijärjestelmä: origo on pisteessä A, x-akseli osuu yhteen AB:n kanssa, z-akseli osuu AA 1:n kanssa, y-akseli muodostaa OXY-tason x-akselin kanssa, joka osuu yhteen ABC:n kanssa kone.

Ensin käsitellään suoraa AB 1 . Täällä kaikki on yksinkertaista: meillä on pisteet A = (0; 0; 0) ja B 1 = (1; 0; 1). Saamme suuntavektorin AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Etsitään nyt suuntavektori AC 1:lle. Kaikki on sama - ainoa ero on, että pisteellä C 1 on irrationaaliset koordinaatit. Joten A = (0; 0; 0), joten meillä on:

Vastaus: AB 1 = (1; 0; 1);

Pieni mutta erittäin tärkeä huomautus viimeisestä esimerkistä. Jos vektorin alku on sama kuin alkupiste, laskelmat yksinkertaistuvat suuresti: vektorin koordinaatit ovat yksinkertaisesti yhtä suuria kuin lopun koordinaatit. Valitettavasti tämä koskee vain vektoreita. Esimerkiksi tasojen kanssa työskennellessä koordinaattien alkuperän esiintyminen niissä vain vaikeuttaa laskelmia.

Tasojen normaalivektorien laskenta

Normaalit vektorit eivät ole vektoreita, jotka voivat hyvin tai jotka tuntuvat hyvältä. Määritelmän mukaan normaalivektori (normaali) tasoon nähden on vektori, joka on kohtisuorassa annettuun tasoon nähden.

Toisin sanoen normaali on vektori, joka on kohtisuorassa mihin tahansa vektoriin tietyssä tasossa. Varmasti olet törmännyt tällaiseen määritelmään - vektorien sijaan kyse oli kuitenkin suorista viivoista. Juuri edellä kuitenkin osoitettiin, että C2-tehtävässä voidaan toimia millä tahansa sopivalla esineellä - jopa suoralla, jopa vektorilla.

Muistutan vielä kerran, että mikä tahansa taso määritellään avaruudessa yhtälöllä Ax + By + Cz + D = 0, jossa A, B, C ja D ovat joitain kertoimia. Ratkaisun yleisyyttä heikentämättä voidaan olettaa D = 1, jos taso ei kulje origon läpi, tai D = 0, jos se kulkee. Joka tapauksessa tämän tason normaalivektorin koordinaatit ovat n = (A; B; C).

Taso voidaan siis myös onnistuneesti korvata vektorilla - samalla normaalilla. Mikä tahansa taso määritellään avaruudessa kolmella pisteellä. Kuinka löytää tason yhtälö (ja siten normaali), olemme jo keskustelleet artikkelin alussa. Tämä prosessi aiheuttaa kuitenkin ongelmia monille, joten annan vielä pari esimerkkiä:

Tehtävä. Leikkaus A 1 BC 1 piirretään kuutioon ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Etsi tämän jakson tason normaalivektori, jos origo on pisteessä A ja x-, y- ja z-akselit osuvat yhteen reunojen AB, AD ja AA 1 kanssa.

Koska taso ei kulje origon läpi, sen yhtälö näyttää tältä: Ax + By + Cz + 1 = 0, ts. kerroin D \u003d 1. Koska tämä taso kulkee pisteiden A 1, B ja C 1 kautta, näiden pisteiden koordinaatit muuttavat tason yhtälön oikeaksi numeeriseksi yhtälöksi.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Vastaavasti pisteille B = (1; 0; 0) ja C 1 = (1; 1; 1) saadaan yhtälöt:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Mutta kertoimet A = − 1 ja C = − 1 ovat jo meille tiedossa, joten on vielä löydettävä kerroin B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Saamme tason yhtälön: - A + B - C + 1 = 0, Siksi normaalivektorin koordinaatit ovat n = (- 1; 1; - 1).

Tehtävä. Kuutioon ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 piirretään leikkaus AA 1 C 1 C. Etsi tämän leikkauksen tason normaalivektori, jos origo on pisteessä A ja x-, y- ja z-akselit ovat yhtäpitäviä reunat AB, AD ja AA 1.

Tässä tapauksessa taso kulkee origon läpi, joten kerroin D \u003d 0, ja tason yhtälö näyttää tältä: Ax + By + Cz \u003d 0. Koska taso kulkee pisteiden A 1 ja C kautta, Näiden pisteiden koordinaatit muuttavat tason yhtälön oikeaksi numeeriseksi yhtälöksi.

Korvataan pisteen A koordinaatit 1 = (0; 0; 1) x:n, y:n ja z:n sijasta. Meillä on:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Vastaavasti pisteelle C = (1; 1; 0) saadaan yhtälö:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Olkoon B = 1. Silloin A = − B = − 1, ja koko tason yhtälö on: − A + B = 0. Siksi normaalivektorin koordinaatit ovat n = (− 1; 1; 0).

Yleisesti ottaen yllä olevissa ongelmissa on tarpeen muodostaa yhtälöjärjestelmä ja ratkaista se. Yhtälöitä ja muuttujia on kolme, mutta toisessa tapauksessa yksi niistä on vapaa, ts. ota mielivaltaiset arvot. Tästä syystä meillä on oikeus laittaa B = 1 - vaikuttamatta ratkaisun yleisyyteen ja vastauksen oikeellisuuteen.

Hyvin usein tehtävässä C2 vaaditaan työskentelyä pisteiden kanssa, jotka jakavat segmentin puoliksi. Tällaisten pisteiden koordinaatit on helppo laskea, jos janan päiden koordinaatit tunnetaan.

Joten annetaan jana sen päillä - pisteillä A \u003d (x a; y a; z a) ja B \u003d (x b; y b; z b). Sitten janan keskikohdan koordinaatit - merkitsemme sitä pisteellä H - voidaan löytää kaavalla:

Toisin sanoen janan keskikohdan koordinaatit ovat sen päiden koordinaattien aritmeettinen keskiarvo.

Tehtävä. Yksikkökuutio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sijoitetaan koordinaattijärjestelmään siten, että x-, y- ja z-akselit on suunnattu reunoja AB, AD ja AA 1 pitkin, ja origo osuu yhteen pisteen A kanssa. Piste K on reunan A 1 B keskipiste yksi . Etsi tämän pisteen koordinaatit.

Koska piste K on janan A 1 B 1 keskipiste, sen koordinaatit ovat yhtä suuria kuin päiden koordinaattien aritmeettinen keskiarvo. Kirjataan ylös päiden koordinaatit: A 1 = (0; 0; 1) ja B 1 = (1; 0; 1). Etsitään nyt pisteen K koordinaatit:

Tehtävä. Yksikkökuutio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sijoitetaan koordinaattijärjestelmään siten, että x-, y- ja z-akselit on suunnattu reunoja AB, AD ja AA 1 pitkin, ja origo on sama kuin piste A. Etsi koordinaatit pisteestä L, jossa ne leikkaavat neliön A 1 B 1 C 1 D 1 diagonaalit.

Planimetrian kulusta tiedetään, että neliön diagonaalien leikkauspiste on yhtä kaukana kaikista sen huipuista. Erityisesti A1L = C1L, so. piste L on janan A 1 C 1 keskipiste. Mutta A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), joten meillä on:

Vastaus: L = (0,5; 0,5; 1)