sinus numeroita a kutsutaan pisteen ordinaatiksi, joka kuvaa tätä numeroa numeroympyrässä. Kulman sini sisään a radiaania kutsutaan luvun siniksi a.

Sinus- numerotoiminto x. Hänen verkkotunnus

Sinialue- segmentti alkaen -1 ennen 1 , koska mikä tahansa tämän janan numero y-akselilla on jonkin ympyrän pisteen projektio, mutta mikään tämän janan ulkopuolella oleva piste ei ole minkään näistä pisteistä projektio.

Sinijakso

Sinimerkki:

1. sini on nolla , jossa n- mikä tahansa kokonaisluku;

2. sini on positiivinen , Missä n- mikä tahansa kokonaisluku;

3. sini on negatiivinen at

Missä n- mikä tahansa kokonaisluku.

Sinus-toiminto outo x ja -x, silloin niiden ordinaatit - sinit - ovat myös vastakkaisia. Eli kenelle tahansa x.

1. Sini kasvaa segmenteissä , missä n- mikä tahansa kokonaisluku.

2. Sini pienenee segmentissä , missä n- mikä tahansa kokonaisluku.

klo ;

klo .

Kosini

kosini numeroita a kutsutaan tätä lukua numeroympyrässä kuvaavan pisteen abskissaksi. Kulman kosini sisään a radiaania kutsutaan luvun kosiniksi a.

Kosini on numerofunktio. Hänen verkkotunnus- kaikkien lukujen joukko, koska mistä tahansa numerosta löydät sitä edustavan pisteen ordinaatin.

Kosinin alue- segmentti alkaen -1 ennen 1 , koska mikä tahansa tämän segmentin numero x-akselilla on jonkin ympyrän pisteen projektio, mutta mikään tämän janan ulkopuolella oleva piste ei ole minkään näistä pisteistä projektio.

kosinijakso on yhtä suuri kuin . Loppujen lopuksi joka kerta, kun numeroa edustavan pisteen sijainti toistetaan tarkasti.

Kosinimerkki:

1. kosini on nolla , jossa n- mikä tahansa kokonaisluku;

2. kosini on positiivinen , missä n- mikä tahansa kokonaisluku;

3. kosini on negatiivinen at , missä n- mikä tahansa kokonaisluku.

Kosini-toiminto jopa. Ensinnäkin tämän funktion toimialue on kaikkien lukujen joukko, ja siksi se on symmetrinen origon suhteen. Ja toiseksi, jos lykkäämme kahta vastakkaista numeroa alusta: x ja -x, silloin niiden abskissat - kosinit - ovat yhtä suuret. Eli

kenelle tahansa x.

1. Segmenttien kosini kasvaa , missä n- mikä tahansa kokonaisluku.

2. Segmenttien kosini pienenee , missä n- mikä tahansa kokonaisluku.

osoitteessa ;

klo .

Tangentti

tangentti luku on tämän luvun sinin ja tämän luvun kosinin suhde:.

tangentti kulma sisään a radiaania kutsutaan luvun tangentiksi a.

Tangentti on numerofunktio. Hänen verkkotunnus- kaikkien lukujen joukko, joiden kosini ei ole nolla, koska tangentin määritelmälle ei ole muita rajoituksia. Ja koska kosini on nolla kohdassa , niin , missä .

Tangenttialue

Tangenttijakso x(ei yhtä suuri), jotka eroavat toisistaan ​​, ja vedä suora viiva niiden läpi, niin tämä suora kulkee origon läpi ja leikkaa tangenttien rivin jossain pisteessä t. Joten käy ilmi, että eli numero on tangentin jakso.

Tangenttimerkki: tangentti on sinin ja kosinin suhde. Joten hän

1. on nolla, kun sini on nolla, eli milloin , missä n- mikä tahansa kokonaisluku.

2. on positiivinen, kun sinillä ja kosinilla on samat merkit. Tämä tapahtuu vain ensimmäisellä ja kolmannella neljänneksellä, eli silloin, kun , missä a- mikä tahansa kokonaisluku.

3. on negatiivinen, kun sinillä ja kosinilla on eri etumerkit. Tämä tapahtuu vain toisella ja neljännellä vuosineljänneksellä, eli silloin, kun , missä a- mikä tahansa kokonaisluku.

Tangentti-toiminto outo. Ensinnäkin tämän funktion määritelmäalue on symmetrinen origon suhteen. Ja toiseksi, . Sinin parittomuudesta ja kosinin tasaisuudesta johtuen tuloksena olevan murtoluvun osoittaja on yhtä suuri kuin ja sen nimittäjä on yhtä suuri kuin, mikä tarkoittaa, että itse murto-osa on yhtä suuri.

Joten kävi ilmi, että.

tarkoittaa, tangentti kasvaa sen määritelmäalueen jokaisessa osassa, eli kaikilla lomakkeen aikaväleillä , missä a- mikä tahansa kokonaisluku.

Kotangentti

Kotangentti luku on tämän luvun kosinin suhde tämän luvun siniin: . Kotangentti kulma sisään a radiaania kutsutaan luvun kotangentiksi a. Kotangentti on numerofunktio. Hänen verkkotunnus- kaikkien lukujen joukko, joiden sini ei ole nolla, koska kotangentin määritelmälle ei ole muita rajoituksia. Ja koska sini on nolla kohdassa , Sitten , missä

Kotangenttialue on kaikkien reaalilukujen joukko.

Kotangenttijakso on yhtä suuri kuin . Loppujen lopuksi, jos otamme kaksi mahdollista arvoa x(ei yhtä suuri ), jotka eroavat toisistaan ​​, ja vedä suora viiva niiden läpi, niin tämä suora kulkee origon läpi ja leikkaa kotangenttien rivin jossain pisteessä t. Joten käy ilmi, että eli että luku on kotangentin jakso.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
• Saatamme käyttää henkilötietoja myös sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai asianmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - suojellaksemme henkilökohtaisia ​​tietojasi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
• Saatamme käyttää henkilötietoja myös sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai asianmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - suojellaksemme henkilökohtaisia ​​tietojasi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Kulmien laskeminen trigonometrisellä ympyrällä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Se on melkein sama kuin edellisellä oppitunnilla. On kirveitä, ympyrä, kulma, kaikki on chin-chinaa. Lisätty neljännesnumerot (suuren neliön kulmissa) - ensimmäisestä neljänteen. Ja sitten yhtäkkiä kuka ei tiedä? Kuten näette, neljännekset (niitä kutsutaan myös kauniiksi sanaksi "kvadrantit") on numeroitu vastapäivään. Lisätty kulma-arvot akseleille. Kaikki on selvää, ei röyhelöitä.

Ja lisäsi vihreän nuolen. Plussalla. Mitä hän tarkoittaa? Haluan muistuttaa, että kulman kiinteä puoli aina naulattu positiiviseen akseliin OH. Jos siis kierrämme kulman liikkuvaa puolta plus nuoli, eli nousevissa vuosineljänneksissä, kulma katsotaan positiiviseksi. Esimerkiksi kuvassa on +60° positiivinen kulma.

Jos lykkäämme kulmia vastakkaiseen suuntaan, myötäpäivään, kulma katsotaan negatiiviseksi. Vie hiiri kuvan päälle (tai kosketa kuvaa tabletissa), näet sinisen nuolen, jossa on miinus. Tämä on kulmien negatiivisen lukeman suunta. Negatiivinen kulma (-60°) on esitetty esimerkkinä. Ja näet myös kuinka akseleiden numerot ovat muuttuneet ... Käänsin ne myös negatiivisiksi kulmiksi. Kvadranttien numerointi ei muutu.

Tästä yleensä alkavat ensimmäiset väärinkäsitykset. Kuinka niin!? Ja jos ympyrän negatiivinen kulma osuu yhteen positiivisen kanssa!? Ja yleensä käy ilmi, että samaa liikkuvan puolen (tai numeerisen ympyrän pisteen) sijaintia voidaan kutsua sekä negatiiviseksi että positiiviseksi kulmaksi!?

Joo. Tarkalleen. Oletetaan, että 90 asteen positiivinen kulma muodostaa ympyrän täysin sama asema negatiivisena kulmana miinus 270 astetta. Positiivinen kulma, esimerkiksi +110° astetta, kestää täysin sama asentoon, koska negatiivinen kulma on -250°.

Ei ongelmaa. Kaikki on oikein.) Positiivisen tai negatiivisen kulman laskennan valinta riippuu tehtävän ehdoista. Jos ehto ei kerro mitään pelkkää tekstiä kulman merkistä (kuten "määritä pienin positiivinen kulma" jne.), sitten työskentelemme meille sopivien arvojen kanssa.

Poikkeuksena (ja miten ilman niitä ?!) ovat trigonometriset epätasa-arvot, mutta siellä hallitsemme tämän tempun.

Ja nyt sinulle kysymys. Mistä tiedän, että 110° kulman sijainti on sama kuin -250° kulman sijainti?
Vihjaan, että tämä johtuu koko liikevaihdosta. 360°... Etkö ole selvä? Sitten piirrämme ympyrän. Piirrämme paperille. Kulman merkitseminen noin 110°. Ja uskoa kuinka paljon on jäljellä täyteen kierrokseen. Vain 250° jäljellä...

Sain sen? Ja nyt - huomio! Jos kulmat 110° ja -250° ovat ympyrän sisällä sama asema, mitä sitten? Kyllä, se, että kulmat ovat 110 ° ja -250 ° täysin sama sini, kosini, tangentti ja kotangentti!
Nuo. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) ja niin edelleen. Tämä on nyt todella tärkeää! Ja sinänsä - on paljon tehtäviä, joissa on tarpeen yksinkertaistaa lausekkeita ja pohjana myöhempään pelkistyskaavojen ja muiden trigonometrian monimutkaisuuksien kehittämiseen.

Tietenkin otin 110 ° ja -250 ° satunnaisesti, puhtaasti esimerkiksi. Kaikki nämä yhtäläisyydet toimivat kaikilla kulmilla, jotka ovat samassa paikassa ympyrässä. 60° ja -300°, -75° ja 285° ja niin edelleen. Huomaan heti, että näiden parien kulmat - eri. Mutta niillä on trigonometriset toiminnot - sama.

Luulen, että ymmärrät mitä negatiiviset näkökulmat ovat. Se on melko yksinkertaista. Vastapäivään on positiivinen luku. Matkan varrella se on negatiivinen. Harkitse kulmaa positiivinen tai negatiivinen riippuu meistä. Meidän halusta. No, ja tietysti enemmän tehtävästä... Toivottavasti ymmärrät kuinka trigonometrisissa funktioissa siirrytään negatiivisista positiivisiin kulmiin ja päinvastoin. Piirrä ympyrä, likimääräinen kulma ja katso kuinka paljon puuttuu ennen täyttä käännöstä, ts. jopa 360°.

Kulmat yli 360°.

Käsitellään kulmia, jotka ovat suurempia kuin 360 °. Ja sellaisia ​​asioita tapahtuu? Niitä on tietysti. Kuinka piirtää ne ympyrään? Ei ole ongelma! Oletetaan, että meidän on ymmärrettävä, missä neljänneksessä 1000 asteen kulma putoaa? Helposti! Teemme yhden täyden kierroksen vastapäivään (kulma annettiin meille positiivinen!). Kelaa taaksepäin 360°. No, mennään eteenpäin! Toinen käännös - se on jo osoittautunut 720 °. Kuinka paljon on jäljellä? 280°. Se ei riitä täyteen käännökseen ... Mutta kulma on yli 270 ° - ja tämä on kolmannen ja neljännen neljänneksen välinen raja. Joten 1000°:n kulmamme osuu neljännelle neljännekselle. Kaikki.

Kuten näet, se on melko yksinkertaista. Muistutan vielä kerran, että kulma 1000° ja kulma 280°, jotka saimme hylkäämällä "ylimääräiset" täyskäännökset, ovat tarkasti ottaen eri kulmat. Mutta näiden kulmien trigonometriset funktiot täysin sama! Nuo. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° jne. Jos olisin sini, en huomaisi eroa näiden kahden kulman välillä...

Miksi tämä kaikki on välttämätöntä? Miksi meidän täytyy kääntää kulmia yhdestä toiseen? Kyllä, kaikki samasta syystä.) Ilmaisujen yksinkertaistamiseksi. Ilmaisujen yksinkertaistaminen on itse asiassa koulumatematiikan päätehtävä. No, matkan varrella pää harjoittelee.)

No, harjoitellaanko?)

Vastaamme kysymyksiin. Yksinkertaista aluksi.

1. Millä neljänneksellä kulma -325° putoaa?

2. Millä neljänneksellä kulma 3000° putoaa?

3. Millä neljänneksellä kulma -3000° putoaa?

On ongelma? Tai epävarmuutta? Siirrymme kohtaan 555, Käytännön työ trigonometrisen ympyrän kanssa. Siellä, tämän "käytännön työn ..." ensimmäisessä oppitunnissa, kaikki on yksityiskohtaista ... sellaisia epävarmuuden kysymyksiä ei pitäisi!

4. Mikä on sin555°:n merkki?

5. Mikä on tg555°:n merkki?

Päättäväinen? Hieno! Epäillä? On välttämätöntä § 555 ... Muuten, siellä opit piirtämään tangentin ja kotangentin trigonometriseen ympyrään. Erittäin hyödyllinen asia.

Ja nyt viisaammat kysymykset.

6. Tuo lauseke sin777° pienimmän positiivisen kulman siniin.

7. Tuo lauseke cos777° suurimman negatiivisen kulman kosiniin.

8. Muunna lauseke cos(-777°) pienimmän positiivisen kulman kosiniksi.

9. Tuo lauseke sin777° suurimman negatiivisen kulman siniin.

Mitä, kysymykset 6-9 ymmällään? Totu siihen, kokeessa ei ole sellaisia ​​​​muotoja... Olkoon niin, minä käännän sen. Vain sinulle!

Sanat "pienennä lauseke ..." tarkoittavat lausekkeen muuttamista niin, että sen arvo on ei ole muuttunut ja ulkonäkö on muuttunut tehtävän mukaisesti. Joten tehtävissä 6 ja 9 meidän pitäisi saada sini, jonka sisällä on pienin positiivinen kulma. Kaikella muulla ei ole väliä.

Annan vastaukset järjestyksessä (sääntöjemme vastaisesti). Mutta mitä tehdä, on vain kaksi merkkiä ja vain neljä neljäsosaa ... Et hajoa vaihtoehdoissa.

6. sin57°.

7.cos (-57°).

8.cos57°.

9.-sin(-57°)

Oletan, että vastaukset kysymyksiin 6-9 hämmentyivät joitain ihmisiä. Erityisesti -sin (-57°), eikö?) Todellakin, kulmien laskennan perussäännöissä on tilaa virheille ... Siksi minun piti tehdä oppitunti: "Kuinka määrittää funktioiden merkit ja antaa kulmat trigonometriselle ympyrälle?" Kohdassa 555. Siellä tehtävät 4 - 9 on järjestetty. Hyvin lajiteltu, kaikkine sudenkuoppineen. Ja he ovat täällä.)

Seuraavalla oppitunnilla käsittelemme salaperäisiä radiaaneja ja numeroa "Pi". Opi muuttamaan asteet helposti ja oikein radiaaneiksi ja päinvastoin. Ja olemme yllättyneitä huomatessamme, että tämä perustieto sivustolla riittää jo ratkaista joitain epätyypillisiä trigonometriapulmia!

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Trigonometrisen funktion etumerkki riippuu yksinomaan koordinaattineljänneksestä, jossa numeerinen argumentti sijaitsee. Viime kerralla opimme kääntämään argumentit radiaanimittasta astemittaksi (katso oppitunti "Kulman radiaani ja astemitta") ja määrittämään sitten tämä sama koordinaattineljännes. Käsitellään nyt itse asiassa sinin, kosinin ja tangentin merkin määritelmää.

Kulman α sini on trigonometrisen ympyrän pisteen ordinaatti (koordinaatti y), joka syntyy, kun sädettä kierretään kulman α läpi.

Kulman α kosini on trigonometrisen ympyrän pisteen abskissa (x-koordinaatti), joka syntyy, kun säde pyörii kulman α läpi.

Kulman α tangentti on sinin ja kosinin suhde. Tai vastaavasti y-koordinaatin suhde x-koordinaattiin.

Merkintä: sin α = y ; cosa = x; tgα = y:x.

Kaikki nämä määritelmät ovat sinulle tuttuja lukion algebrakurssilta. Emme kuitenkaan ole kiinnostuneita itse määritelmistä, vaan trigonometrisen ympyrän seurauksista. Katso:

Sininen väri ilmaisee OY-akselin positiivista suuntaa (ordinaattinen akseli), punainen väri OX-akselin positiivista suuntaa (abskissa-akseli). Tässä "tutkassa" trigonometristen funktioiden merkit tulevat ilmeisiksi. Erityisesti:

1. sin α > 0, jos kulma α on I tai II koordinaattineljänneksessä. Tämä johtuu siitä, että määritelmän mukaan sini on ordinaatti (y-koordinaatti). Ja y-koordinaatti on positiivinen juuri I- ja II-koordinaattineljänneksissä;
2. cos α > 0, jos kulma α on I tai IV koordinaattineljänneksessä. Koska vain siellä x-koordinaatti (se on myös abskissa) on suurempi kuin nolla;
3. tg α > 0, jos kulma α on I- tai III-koordinaattikvadrantissa. Tämä seuraa määritelmästä: loppujen lopuksi tg α = y : x , joten se on positiivinen vain silloin, kun x:n ja y:n merkit ovat samat. Tämä tapahtuu 1. koordinaattineljänneksellä (tässä x > 0, y > 0) ja 3. koordinaattineljänneksellä (x< 0, y < 0).

Selvyyden vuoksi huomaamme kunkin trigonometrisen funktion merkit - sini, kosini ja tangentti - erillisessä "tutkassa". Saamme seuraavan kuvan:

Huomaa: päättelyssäni en koskaan puhunut neljännestä trigonometrisesta funktiosta - kotangentista. Tosiasia on, että kotangentin merkit ovat samat kuin tangentin merkit - siellä ei ole erityisiä sääntöjä.

Nyt ehdotan 27.9.2011 pidetyn matematiikan koekokeen tehtävän B11 kaltaisia ​​esimerkkejä. Paras tapa ymmärtää teoria on loppujen lopuksi käytäntö. Mieluummin paljon harjoittelua. Tehtävien ehtoja tietysti hieman muutettiin.

Tehtävä. Määritä trigonometristen funktioiden ja lausekkeiden merkit (itse funktioiden arvoja ei tarvitse ottaa huomioon):

1. sin(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. vaaleanruskea (5x/3);
4. sin(3π/4) cos(5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin(5π/6) cos(7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Toimintasuunnitelma on seuraava: ensin muunnetaan kaikki kulmat radiaanimittasta astemittaksi (π → 180°) ja sitten katsotaan missä koordinaattineljänneksessä tuloksena oleva luku sijaitsee. Neljännekset tuntemalla löydämme merkit helposti - juuri kuvattujen sääntöjen mukaan. Meillä on:

1. sin (3π/4) = sin (3 180°/4) = sin 135°. Koska 135° ∈ , tämä on kulma II koordinaattineljänneksestä. Mutta sini toisella neljänneksellä on positiivinen, joten sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Koska 210° ∈ , tämä on kulma III-koordinaattikvadrantista, jossa kaikki kosinit ovat negatiivisia. Siksi cos (7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. 300° ∈ lähtien olemme neljännessä IV, jossa tangentti saa negatiiviset arvot. Siksi tg (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Käsitellään siniä: koska 135° ∈ , tämä on toinen neljännes, jossa sinit ovat positiivisia, ts. sin (3π/4) > 0. Nyt työskentelemme kosinin kanssa: 150° ∈ - jälleen toinen neljännes, kosinit siellä ovat negatiivisia. Siksi cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Katsomme kosinia: 120° ∈ on II koordinaattineljännes, joten cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Saimme jälleen tuotteen, jossa eri merkkisiä tekijöitä. Koska "miinus kertaa plus antaa miinuksen", meillä on: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Työskentelemme sinin kanssa: koska 150° ∈ , puhumme II koordinaattineljänneksestä, jossa sinit ovat positiivisia. Siksi sin (5π/6) > 0. Vastaavasti 315° ∈ on IV-koordinaattineljännes, siellä olevat kosinit ovat positiivisia. Siksi cos (7π/4) > 0. Saimme kahden positiivisen luvun tulon - tällainen lauseke on aina positiivinen. Päättelemme: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Mutta kulma 135° ∈ on toinen neljännes, ts. rusketus (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Koska "miinus plus antaa miinusmerkin", meillä on: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Tarkastellaan kotangenttiargumenttia: 240° ∈ on III-koordinaattineljännes, joten ctg (4π/3) > 0. Vastaavasti meillä olevalle tangentille: 30° ∈ on I-koordinaattineljännes, ts. helpoin kulma. Siksi tg (π/6) > 0. Saimme jälleen kaksi positiivista lauseketta - myös niiden tulo on positiivinen. Siksi ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Lopuksi tarkastellaan muutamaa monimutkaisempaa ongelmaa. Trigonometrisen funktion etumerkin selvittämisen lisäksi tässä on tehtävä pieni laskutoimitus - aivan kuten todellisissa tehtävissä B11. Periaatteessa nämä ovat melkein todellisia tehtäviä, jotka todella löytyvät matematiikan kokeesta.

Tehtävä. Etsi sin α, jos sin 2 α = 0,64 ja α ∈ [π/2; π].

Koska sin 2 α = 0,64, meillä on: sin α = ±0,8. On vielä päätettävä: plus vai miinus? Oletuksena on, että kulma α ∈ [π/2; π] on II koordinaattineljännes, jossa kaikki sinit ovat positiivisia. Siksi sin α = 0,8 - etumerkkien epävarmuus on eliminoitu.

Tehtävä. Etsi cos α, jos cos 2 α = 0,04 ja α ∈ [π; 3π/2].

Toimimme samalla tavalla, ts. otamme neliöjuuren: cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2. Oletuksena on, että kulma α ∈ [π; 3π/2], so. puhumme III koordinaattineljänneksestä. Siellä kaikki kosinit ovat negatiivisia, joten cos α = −0,2.

Tehtävä. Etsi sin α, jos sin 2 α = 0,25 ja α ∈ .

Meillä on: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Jälleen tarkastellaan kulmaa: α ∈ on IV-koordinaattineljännes, jossa, kuten tiedät, sini on negatiivinen. Tästä päätämme: sin α = −0,5.

Tehtävä. Etsi tg α, jos tg 2 α = 9 ja α ∈ .

Kaikki on sama, vain tangentin osalta. Otetaan neliöjuuri: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Mutta ehdon mukaan kulma α ∈ on I-koordinaattineljännes. Kaikki trigonometriset funktiot, sis. tangentti, on positiivisia, joten tg α = 3. Siinä se!