Tässä videotunnissa aiheena "Function y \u003d x 2. Yhtälöiden graafinen ratkaisu. Tämän oppitunnin aikana opiskelijat pääsevät tutustumaan uuteen yhtälöiden ratkaisutapaan - graafiseen, joka perustuu funktiokaavioiden ominaisuuksien tuntemiseen. Opettaja näyttää, kuinka funktio y=x 2 ratkaistaan ​​graafisesti.

Aihe:Toiminto

Oppitunti:Toiminto. Yhtälöiden graafinen ratkaisu

Yhtälöiden graafinen ratkaisu perustuu funktiokaavioiden ja niiden ominaisuuksien tuntemiseen. Listaamme funktiot, joiden kuvaajat tunnemme:

1), kaavio on x-akselin suuntainen suora viiva, joka kulkee y-akselin pisteen kautta. Harkitse esimerkkiä: y=1:

Eri arvoille saadaan perhe x-akselin suuntaisia ​​suoria viivoja.

2) Suora verrannollisuusfunktio tämän funktion kuvaaja on origon kautta kulkeva suora. Harkitse esimerkkiä:

Olemme jo rakentaneet nämä kaaviot aiemmilla oppitunnilla, muista, että jokaisen rivin rakentamiseksi sinun on valittava piste, joka täyttää sen, ja otettava origo toiseksi pisteeksi.

Muista kertoimen k rooli: funktion kasvaessa suoran ja x-akselin positiivisen suunnan välinen kulma on terävä; kun funktio pienenee, suoran ja x-akselin positiivisen suunnan välinen kulma on tylpä. Lisäksi kahden samanmerkkisen parametrin k välillä on seuraava suhde: positiiviselle k:lle, mitä suurempi se on, sitä nopeammin funktio kasvaa, ja negatiivisella funktio pienenee nopeammin suurilla k modulo-arvoilla.

3) Lineaarinen funktio. Kun - saamme y-akselin leikkauspisteen ja kaikki tällaiset suorat kulkevat pisteen (0; m) kautta. Lisäksi funktion kasvaessa suoran ja x-akselin positiivisen suunnan välinen kulma on terävä; kun funktio pienenee, suoran ja x-akselin positiivisen suunnan välinen kulma on tylpä. Ja tietysti k:n arvo vaikuttaa funktion arvon muutosnopeuteen.

4). Tämän funktion kuvaaja on paraabeli.

Harkitse esimerkkejä.

Esimerkki 1 - ratkaise yhtälö graafisesti:

Emme tunne tämän tyyppisiä funktioita, joten meidän on muutettava annettu yhtälö, jotta voimme työskennellä tunnettujen funktioiden kanssa:

Saimme tuttuja funktioita yhtälön molemmissa osissa:

Rakennetaan funktioiden kuvaajia:

Kaavioissa on kaksi leikkauspistettä: (-1; 1); (2; 4)

Tarkistetaan löytyykö ratkaisu oikein, korvaa koordinaatit yhtälöön:

Ensimmäinen kohta löytyy oikein.

, , , , , ,

Toinen kohta löytyy myös oikein.

Joten yhtälön ratkaisut ovat ja

Toimimme samalla tavalla kuin edellisessä esimerkissä: muunnamme annetun yhtälön meille tunnetuiksi funktioiksi, piirrämme niiden graafit, etsimme leikkausvirrat ja tästä osoitamme ratkaisut.

Saamme kaksi toimintoa:

Rakennetaan kaavioita:

Näissä kaavioissa ei ole leikkauspisteitä, mikä tarkoittaa, että annetulla yhtälöllä ei ole ratkaisuja

Johtopäätös: tällä oppitunnilla kävimme läpi meille tuttuja funktioita ja niiden kaavioita, muistimme niiden ominaisuudet ja pohdimme graafista tapaa ratkaista yhtälöitä.

1. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 7. 6. painos. M.: Valaistuminen. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ja muut Algebra 7 .M .: Koulutus. 2006

Tehtävä 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et ai., Algebra 7, nro 494, s. 110;

Tehtävä 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. ja muut Algebra 7, nro 495, kohta 110;

Tehtävä 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et ai., Algebra 7, nro 496, s. 110;

Olkoon täydellinen toisen asteen yhtälö: A*x2+B*x+C=0, jossa A, B ja C ovat mitä tahansa lukuja ja A ei ole nolla. Tämä on toisen asteen yhtälön yleinen tapaus. On myös pelkistetty muoto, jossa A=1. Ratkaistaksesi graafisesti minkä tahansa yhtälön, sinun on siirrettävä termi, jolla on korkein aste, toiseen osaan ja rinnastettava molemmat osat johonkin muuttujaan.

Sen jälkeen A * x2 jää yhtälön vasemmalle puolelle ja B * x-C jää oikealle puolelle (voimme olettaa, että B on negatiivinen luku, tämä ei muuta olemusta). Saamme yhtälön A*x2=B*x-C=y. Selvyyden vuoksi tässä tapauksessa molemmat osat rinnastetaan muuttujaan y.

Piirustus ja tulosten käsittely

Nyt voimme kirjoittaa kaksi yhtälöä: y=A*x2 ja y=B*x-C. Seuraavaksi sinun on piirrettävä jokainen näistä funktioista. Kaavio y=A*x2 on paraabeli, jonka origossa on kärki, jonka haarat suunnataan ylös tai alas luvun A etumerkistä riippuen. Jos se on negatiivinen, haarat suunnataan alaspäin, jos se on positiivinen - ylöspäin.

Kaavio y=B*x-C on säännöllinen suora. Jos C=0, viiva kulkee origon kautta. Yleisessä tapauksessa se katkaisee ordinaatta-akselilta segmentin, joka on yhtä suuri kuin C. Tämän suoran kaltevuuskulma abskissa-akseliin nähden määräytyy kertoimella B. Se on yhtä suuri kuin tämän kulman kaltevuus.

Kun kuvaajat on rakennettu, nähdään, että ne leikkaavat kahdessa pisteessä. Näiden abskissalla olevien pisteiden koordinaatit määrittävät toisen asteen yhtälön juuret. Jotta voit määrittää ne tarkasti, sinun on rakennettava selkeästi kaavioita ja valittava oikea asteikko.

Toinen graafinen ratkaisu

On toinenkin tapa ratkaista toisen asteen yhtälö graafisesti. Ei ole tarpeen siirtää B*x+C yhtälön toiselle puolelle. Voit heti piirtää funktion y=A*x2+B*x+C. Tällainen graafi on paraabeli, jonka kärki on mielivaltaisessa pisteessä. Tämä menetelmä on monimutkaisempi kuin edellinen, mutta voit rakentaa vain yhden kaavion siten.

Ensin sinun on määritettävä paraabelin kärkipiste koordinaatteilla x0 ja y0. Sen abskissa lasketaan kaavalla x0=-B/2*a. Ordinaatin määrittämiseksi sinun on korvattava saatu abskissan arvo alkuperäisellä funktiolla. Matemaattisesti tämä lause kirjoitetaan seuraavasti: y0=y(x0).

Sitten sinun on löydettävä kaksi pistettä, jotka ovat symmetrisiä paraabelin akseliin nähden. Niistä alkuperäisen toiminnon täytyy kadota. Sen jälkeen voit rakentaa paraabelin. Sen leikkauspisteet X-akselin kanssa antavat neliöyhtälön kaksi juuria.

Lineaarisessa ohjelmoinnissa käytetään graafista menetelmää konveksien joukkojen määrittämiseen (ratkaisupolyhedron). Jos lineaarisen ohjelmoinnin pääongelmalla on optimaalinen suunnitelma, niin tavoitefunktio saa arvon yhdestä päätöspolyedrin kärjestä (katso kuva).

Palvelutehtävä. Tämän palvelun avulla voit ratkaista lineaarisen ohjelmoinnin ongelman geometrisella menetelmällä verkossa sekä saada ratkaisun kaksoisongelmaan (arvioida resurssien optimaalinen käyttö). Lisäksi ratkaisumalli luodaan Excelissä.

Ohje. Valitse rivien määrä (rajoitusten määrä).

Rajoitusten määrä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Jos muuttujia on enemmän kuin kaksi, järjestelmä on tuotava SZLP:hen (katso esimerkki ja esimerkki nro 2). Jos rajoite on kaksinkertainen, esimerkiksi 1 ≤ x 1 ≤ 4, niin se jaetaan kahteen osaan: x 1 ≥ 1, x 1 ≤ 4 (eli rivien lukumäärä kasvaa yhdellä).
Tämän palvelun avulla voit myös rakentaa toteutettavissa olevan ratkaisualueen (DDR).

Tämän laskimen kanssa käytetään myös seuraavia:
Yksinkertainen menetelmä LLP:n ratkaisemiseen

Ratkaisu kuljetusongelmaan
Matrix-peliratkaisu
Palvelua käyttämällä verkossa voit määrittää matriisipelin hinnan (ala- ja ylärajat), tarkistaa satulapisteen, löytää ratkaisun sekastrategiaan seuraavilla menetelmillä: minimax, simpleksimenetelmä, graafinen (geometrinen) menetelmä, Brownin menetelmä.
Kahden muuttujan funktion ääriarvo
Raja-laskenta

Lineaarisen ohjelmoinnin ongelman ratkaiseminen graafisella menetelmällä sisältää seuraavat vaiheet:

1. Linjat rakennetaan tasolle X 1 0X 2.
2. Puolitasot on määritelty.
3. Määritä päätöspolygoni;
4. Rakenna vektori N(c 1 ,c 2), joka ilmaisee tavoitefunktion suunnan;
5. Siirrä suoran kohteen funktiota c 1 x 2 + c 2 x 2= 0 vektorin N suunnassa ratkaisumonikulmion ääripisteeseen.
6. Laske pisteen koordinaatit ja tavoitefunktion arvo tässä pisteessä.

Tässä tapauksessa voi esiintyä seuraavia tilanteita:

Esimerkki. Yritys valmistaa kahdenlaisia ​​tuotteita - P1 ja P2. Tuotteiden valmistukseen käytetään kahden tyyppisiä raaka-aineita - C1 ja C2. Tuotantoyksikön tukkuhinta on: 5 CU P1:lle ja 4 c.u. P2:lle. Tyyppien P1 ja P2 raaka-aineiden kulutus tuotantoyksikköä kohti on esitetty taulukossa.
Taulukko - Tuotannon raaka-aineiden kulutus

Tuotteiden kysyntää koskevat rajoitukset on asetettu: P2-tuotteiden päivittäinen tuotanto ei saa ylittää P1-tuotteiden päivittäistä tuotantoa enintään yhdellä tonnilla; P2:n päivittäinen enimmäistuotanto ei saa ylittää 2 tonnia.
On määritettävä:
Kuinka monta tuotetta kustakin tyypistä yrityksen tulee valmistaa, jotta tuotteiden myynnistä saatava tuotto maksimoidaan?

1. Muotoile lineaarisen ohjelmointitehtävän matemaattinen malli.
2. Ratkaise lineaarinen ohjelmointitehtävä graafisesti (kahdelle muuttujalle).

Päätös.
Muotoilkaamme matemaattinen malli lineaarisen ohjelmointitehtävän ongelmasta.
x 1 - tuotanto P1, yksikköä.
x 2 - P2-tuotteiden tuotanto, yksiköt.
x 1, x 2 ≥ 0

Resurssirajoitukset
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6

Kysynnän rajat
x 1 +1 ≥ x 2
x2 ≤ 2

tavoitefunktio
5x1 + 4x2 → max

Sitten saamme seuraavan LLP:n:
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6
x 2 - x 1 ≤ 1
x2 ≤ 2
x 1, x 2 ≥ 0
5x1 + 4x2 → max

Ensimmäinen taso

Yhtälöiden, epäyhtälöiden, järjestelmien ratkaiseminen funktiokaavioiden avulla. Visuaalinen opas (2019)

Monet tehtävät, jotka olemme tottuneet laskemaan puhtaasti algebrallisesti, voidaan ratkaista paljon helpommin ja nopeammin, funktiokaavioiden käyttö auttaa meitä tässä. Sanot "miten niin?" piirtää jotain ja mitä piirtää? Luota minuun, joskus se on kätevämpää ja helpompaa. Aloittaisimmeko? Aloitetaan yhtälöistä!

Yhtälöiden graafinen ratkaisu

Lineaaristen yhtälöiden graafinen ratkaisu

Kuten jo tiedät, lineaarisen yhtälön kuvaaja on suora, mistä johtuu tämän tyypin nimi. Lineaariset yhtälöt on melko helppo ratkaista algebrallisesti - siirrämme kaikki tuntemattomat yhtälön toiselle puolelle, kaikki mitä tiedämme - toiselle, ja voila! Olemme löytäneet juuren. Nyt näytän sinulle, kuinka se tehdään graafinen tapa.

Joten sinulla on yhtälö:

Miten se ratkaistaan?
Vaihtoehto 1, ja yleisin on siirtää tuntemattomat toiselle puolelle ja tunnetut toiselle puolelle, saadaan:

Ja nyt rakennamme. Mitä sinä sait?

Mikä on mielestäsi yhtälömme juuri? Aivan oikein, kaavioiden leikkauspisteen koordinaatti:

Vastauksemme on

Se on graafisen ratkaisun koko viisaus. Kuten voit helposti tarkistaa, yhtälömme juuri on numero!

Kuten edellä sanoin, tämä on yleisin vaihtoehto, lähellä algebrallista ratkaisua, mutta voit ratkaista sen toisella tavalla. Vaihtoehtoisen ratkaisun harkitsemiseksi palataan yhtälöihimme:

Tällä kertaa emme siirrä mitään puolelta toiselle, vaan rakennamme kaavioita suoraan sellaisena kuin ne nyt ovat:

Rakennettu? Katso!

Mikä on ratkaisu tällä kertaa? Selvä. Sama on kaavioiden leikkauspisteen koordinaatti:

Ja jälleen, vastauksemme on.

Kuten näet, lineaarisilla yhtälöillä kaikki on erittäin yksinkertaista. On aika miettiä jotain monimutkaisempaa... Esimerkiksi toisen asteen yhtälöiden graafinen ratkaisu.

Toisen asteen yhtälöiden graafinen ratkaisu

Joten aloitetaan nyt toisen asteen yhtälön ratkaiseminen. Oletetaan, että sinun on löydettävä tämän yhtälön juuret:

Tietysti voit nyt aloittaa laskemisen diskriminantin kautta tai Vieta-lauseen mukaan, mutta monet hermot tekevät virheitä kertoessaan tai neliöiessään, varsinkin jos esimerkki on suurilla luvuilla, ja kuten tiedät, sinulla ei ole laskin kokeessa ... Yritetään siksi rentoutua hieman ja piirtää samalla kun ratkaiset tämän yhtälön.

Graafisesti tämän yhtälön ratkaisuja voidaan löytää eri tavoin. Harkitse eri vaihtoehtoja ja valitset itse niistä, joista pidät eniten.

Menetelmä 1. Suoraan

Rakennamme vain paraabelin tämän yhtälön mukaan:

Jotta se olisi nopeaa, annan sinulle pienen vihjeen: rakentaminen on kätevää aloittaa määrittämällä paraabelin kärki. Seuraavat kaavat auttavat määrittämään paraabelin kärjen koordinaatit:

Sanot: "Lopeta! Kaava on hyvin samanlainen kuin kaava erottelevan "kyllä, se on, ja tämä on valtava haitta" suorassa "paraabelin rakentamisessa sen juurten löytämiseksi. Lasketaan kuitenkin loppuun, ja sitten näytän sinulle, kuinka voit tehdä siitä paljon (paljon!) helpompaa!

Laskitko? Mitkä ovat paraabelin kärjen koordinaatit? Selvitetään se yhdessä:

Täsmälleen sama vastaus? Hyvin tehty! Ja nyt tiedämme jo kärjen koordinaatit, ja paraabelin rakentamiseen tarvitsemme lisää ... pisteitä. Mitä mieltä olette, kuinka monta vähimmäispistettä tarvitsemme? Oikein,.

Tiedät, että paraabeli on symmetrinen kärjensä suhteen, esimerkiksi:

Vastaavasti tarvitsemme kaksi pistettä lisää paraabelin vasempaan tai oikeaan haaraan, ja tulevaisuudessa heijastamme nämä pisteet symmetrisesti vastakkaisella puolella:

Palaamme paraabeliimme. Meidän tapauksessamme pointti. Tarvitsemme vastaavasti kaksi pistettä lisää, voimmeko ottaa positiivisia, mutta voimmeko ottaa negatiivisia? Mitkä ovat sinulle parhaat pisteet? Minulle on mukavampaa työskennellä positiivisten kanssa, joten lasken - ja -käskyillä.

Nyt meillä on kolme pistettä, ja voimme helposti rakentaa paraabelimme heijastamalla kaksi viimeistä pistettä sen huipulta:

Mikä on mielestäsi yhtälön ratkaisu? Aivan oikein, kohdat, joissa eli ja. Koska.

Ja jos sanomme niin, se tarkoittaa, että sen on myös oltava yhtä suuri, tai.

Vain? Olemme ratkaisseet yhtälön kanssasi monimutkaisella graafisella tavalla, tai niitä tulee lisää!

Tietysti voit tarkistaa vastauksemme algebrallisesti - voit laskea juuret Vieta-lauseen tai Diskriminantin kautta. Mitä sinä sait? sama? Sinä näet! Katsotaanpa nyt hyvin yksinkertaista graafista ratkaisua, olen varma, että pidät siitä kovasti!

Menetelmä 2. Jaa useisiin toimintoihin

Otetaan myös kaikki, yhtälömme: , mutta kirjoitamme sen hieman eri tavalla, nimittäin:

Voimmeko kirjoittaa näin? Voimme, koska muunnos on vastaava. Katsotaanpa pidemmälle.

Rakennetaan kaksi funktiota erikseen:

1. - Graafi on yksinkertainen paraabeli, jonka voit helposti rakentaa myös ilman kärkipisteen määrittämistä kaavoilla ja taulukon tekemistä muiden pisteiden määrittämiseksi.
2. - kaavio on suora, jonka voit yhtä helposti rakentaa arvoja arvioimalla ja omassa päässäsi ilman, että tarvitset edes laskinta.

Rakennettu? Vertaa siihen mitä sain:

Mikä on mielestäsi yhtälön juuri tässä tapauksessa? oikein! Koordinaatit, jotka saadaan risteämällä kaksi kuvaajaa, eli:

Vastaavasti tämän yhtälön ratkaisu on:

Mitä sanot? Samaa mieltä, tämä ratkaisumenetelmä on paljon helpompi kuin edellinen ja jopa helpompi kuin juurien etsiminen diskriminantin kautta! Jos näin on, kokeile tätä menetelmää seuraavan yhtälön ratkaisemiseksi:

Mitä sinä sait? Verrataanpa kaavioitamme:

Kaavioista näkyy, että vastaukset ovat:

onnistuitko? Hyvin tehty! Katsotaan nyt yhtälöitä hieman monimutkaisemmin, nimittäin sekayhtälöiden ratkaisua, eli yhtälöitä, jotka sisältävät erityyppisiä funktioita.

Sekayhtälöiden graafinen ratkaisu

Yritetään nyt ratkaista seuraava:

Tietenkin voit tuoda kaiken yhteiseen nimittäjään, löytää tuloksena olevan yhtälön juuret unohtamatta ottaa huomioon ODZ: tä, mutta yritämme jälleen ratkaista sen graafisesti, kuten teimme kaikissa aiemmissa tapauksissa.

Piirretään tällä kertaa seuraavat 2 kaaviota:

1. - kaavio on hyperboli
2. - Kaavio on suora viiva, jonka voit helposti rakentaa arvioimalla arvoja omassa päässäsi ilman, että tarvitset edes laskinta.

Tajusi? Aloita nyt rakentaminen.

Tässä on mitä minulle tapahtui:

Kun katsot tätä kuvaa, mitkä ovat yhtälömme juuret?

Aivan oikein ja. Tässä on vahvistus:

Yritä liittää juuremme yhtälöön. Tapahtui?

Selvä! Samaa mieltä, tällaisten yhtälöiden graafinen ratkaiseminen on ilo!

Yritä ratkaista yhtälö itse graafisesti:

Annan sinulle vihjeen: siirrä osa yhtälöstä oikealle, jotta molemmilla puolilla on yksinkertaisimmat funktiot rakentaa. Saitko vihjeen? Toimia!

Katsotaan nyt mitä sait:

Vastaavasti:

1. - kuutioinen paraabeli.
2. - tavallinen suora.

No, rakennamme:

Kuten kirjoitit muistiin pitkään, tämän yhtälön juuri on -.

Tämän ratkaistuaan suuri määrä Esimerkkejä, olen varma, että ymmärsit kuinka voit helposti ja nopeasti ratkaista yhtälöitä graafisesti. On aika selvittää, kuinka järjestelmät ratkaistaan ​​tällä tavalla.

Graafinen ratkaisu järjestelmiin

Systeemien graafinen ratkaisu ei pohjimmiltaan eroa yhtälöiden graafisesta ratkaisusta. Rakennamme myös kaksi kuvaajaa, ja niiden leikkauspisteet ovat tämän järjestelmän juuret. Yksi graafi on yksi yhtälö, toinen kaavio on toinen yhtälö. Kaikki on erittäin yksinkertaista!

Aloitetaan yksinkertaisimmista - lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen

Oletetaan, että meillä on seuraava järjestelmä:

Aluksi muutamme sen siten, että vasemmalla on kaikki, mikä liittyy, ja oikealla - mikä liittyy. Toisin sanoen kirjoitamme nämä yhtälöt funktiona meille tavallisessa muodossa:

Ja nyt rakennamme vain kaksi suoraa viivaa. Mikä on ratkaisu meidän tapauksessamme? oikein! Heidän risteyspisteensä! Ja tässä sinun on oltava erittäin, hyvin varovainen! Mieti miksi? Annan sinulle vihjeen: olemme tekemisissä järjestelmän kanssa: järjestelmässä on molemmat, ja... Saitko vihjeen?

Selvä! Järjestelmää ratkaistaessa meidän on tarkasteltava molempia koordinaatteja, eikä vain, kuten yhtälöitä ratkaistaessa! Toinen tärkeä seikka on kirjoittaa ne ylös oikein ja olla sekoittamatta sitä, missä meillä on arvo ja missä arvo on! Äänitetty? Verrataan nyt kaikkea järjestyksessä:

Ja vastaukset: i. Tee tarkistus - korvaa löydetyt juuret järjestelmään ja varmista, että ratkaisimme sen oikein graafisesti?

Epälineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen

Mutta entä jos yhden suoran sijasta meillä on toisen asteen yhtälö? Se on okei! Rakennat vain paraabelin suoran linjan sijaan! Älä usko? Yritä ratkaista seuraava järjestelmä:

Mikä on seuraava askeleemme? Aivan oikein, kirjoita se muistiin, jotta meidän on kätevää rakentaa kaavioita:

Ja nyt on kyse pienistä asioista – rakensin sen nopeasti ja tässä on ratkaisu sinulle! Rakennus:

Onko grafiikat samat? Merkitse nyt kuvaan järjestelmän ratkaisut ja kirjoita paljastuneet vastaukset oikein ylös!

Olenko tehnyt kaiken? Vertaa muistiinpanoihini:

Selvä? Hyvin tehty! Napsautat jo sellaisia ​​tehtäviä kuin pähkinöitä! Ja jos on, annetaan sinulle monimutkaisempi järjestelmä:

Mitä olemme tekemässä? oikein! Kirjoitamme järjestelmän niin, että se on kätevä rakentaa:

Annan sinulle pienen vihjeen, koska järjestelmä näyttää erittäin monimutkaiselta! Kun rakennat kaavioita, rakenna niitä "enemmän", ja mikä tärkeintä, älä ylläty risteyspisteiden lukumäärästä.

Mennään siis! Hengitetty ulos? Aloita nyt rakentaminen!

No miten? Kaunis? Kuinka monta risteyspistettä sait? Minulla on kolme! Verrataanpa kaavioitamme:

Samalla tavalla? Kirjoita nyt huolellisesti kaikki järjestelmämme ratkaisut:

Katso nyt järjestelmää uudelleen:

Voitko kuvitella, että ratkaisit sen vain 15 minuutissa? Samaa mieltä, matematiikka on edelleen yksinkertaista, varsinkin kun katsot lauseketta, et pelkää tehdä virhettä, vaan otat sen ja päätät! Olet iso poika!

Epäyhtälöiden graafinen ratkaisu

Lineaaristen epäyhtälöiden graafinen ratkaisu

Viimeisen esimerkin jälkeen olet tehtävässäsi! Hengitä nyt ulos - verrattuna edellisiin osiin, tämä on erittäin, erittäin helppoa!

Aloitamme tavalliseen tapaan lineaarisen epäyhtälön graafisella ratkaisulla. Esimerkiksi tämä:

Aluksi suoritamme yksinkertaisimmat muunnokset - avaamme täydellisten neliöiden sulut ja annamme samanlaiset ehdot:

Epäyhtälö ei ole tiukka, joten - ei sisälly väliin, ja ratkaisu on kaikki oikealla olevat pisteet, koska enemmän, enemmän ja niin edelleen:

Vastaus:

Siinä kaikki! Helposti? Ratkaistaan ​​yksinkertainen epäyhtälö kahdella muuttujalla:

Piirretään funktio koordinaattijärjestelmään.

Onko sinulla sellainen kaavio? Ja nyt tarkastelemme huolellisesti, mitä meillä on epätasa-arvossa? Pienempi? Joten maalaamme kaiken päälle, mikä on suoran linjamme vasemmalla puolella. Entä jos niitä olisi enemmän? Se on oikein, silloin he maalasivat kaiken, mikä on suoran linjamme oikealla puolella. Kaikki on yksinkertaista.

Kaikki tämän epätasa-arvon ratkaisut on varjostettu oranssilla. Siinä se, kahden muuttujan epäyhtälö on ratkaistu. Tämä tarkoittaa, että koordinaatit ja mikä tahansa piste varjostetulta alueelta ovat ratkaisuja.

Toissijaisten epäyhtälöiden graafinen ratkaisu

Nyt käsittelemme, kuinka graafisesti ratkaistaan ​​toisen asteen epäyhtälöt.

Mutta ennen kuin siirrymme suoraan asiaan, kerrotaanpa joitain asioita neliöfunktiosta.

Mistä syrjintä on vastuussa? Aivan oikein, kuvaajan sijainnille suhteessa akseliin (jos et muista tätä, niin lue varmasti teoria neliöfunktioista).

Joka tapauksessa, tässä pieni muistutus sinulle:

Nyt kun olemme päivittäneet kaiken materiaalin muistissamme, ryhdytään asiaan - ratkaisemme epätasa-arvon graafisesti.

Kerron sinulle heti, että sen ratkaisemiseksi on kaksi vaihtoehtoa.

Vaihtoehto 1

Kirjoitamme paraabelimme funktiona:

Kaavojen avulla määritämme paraabelin kärjen koordinaatit (samalla tavalla kuin ratkaisettaessa toisen asteen yhtälöitä):

Laskitko? Mitä sinä sait?

Otetaan nyt vielä kaksi erilaista pistettä ja lasketaan niille:

Alamme rakentaa paraabelin yhtä haaraa:

Heijastamme pisteemme symmetrisesti paraabelin toisessa haarassa:

Nyt takaisin eriarvoisuuteen.

Sen on oltava pienempi kuin nolla:

Koska epätasa-arvossamme on merkkiä tiukasti vähemmän, jätämme pois päätepisteet - "työntäämme ulos".

Vastaus:

Pitkä matka, eikö? Nyt näytän sinulle yksinkertaisemman version graafisesta ratkaisusta käyttäen samaa epäyhtälöä esimerkkinä:

Vaihtoehto 2

Palaamme eriarvoisuuteen ja merkitsemme tarvitsemamme välit:

Samaa mieltä, se on paljon nopeampi.

Kirjoitetaan nyt vastaus ylös:

Tarkastellaan toista ratkaisumenetelmää, joka yksinkertaistaa algebrallista osaa, mutta tärkeintä ei ole hämmentyä.

Kerro vasen ja oikea puoli luvulla:

Yritä ratkaista seuraava neliöllinen epäyhtälö itse haluamallasi tavalla: .

onnistuitko?

Katso kuinka kaaviostani muodostui:

Vastaus: .

Sekoitettujen epäyhtälöiden graafinen ratkaisu

Siirrytään nyt monimutkaisempiin epätasa-arvoihin!

Mitä pidät tästä:

Kamalaa, eikö? Rehellisesti sanottuna minulla ei ole aavistustakaan kuinka ratkaista tämä algebrallisesti ... Mutta se ei ole välttämätöntä. Graafisesti tässä ei ole mitään monimutkaista! Silmät pelkäävät, mutta kädet tekevät!

Ensimmäinen asia, josta aloitamme, on rakentaa kaksi kaaviota:

En kirjoita taulukkoa kaikille - olen varma, että pystyt tekemään sen täydellisesti yksin (tietysti on niin monia esimerkkejä ratkaistavaksi!).

Maalattu? Rakenna nyt kaksi kaaviota.

Verrataanko piirustuksiamme?

Onko sinulla samanlainen? Hieno! Laitetaan nyt leikkauspisteet ja määritetään värillä, minkä graafin pitäisi teoriassa olla suurempi, eli. Katso mitä lopulta tapahtui:

Ja nyt katsomme vain, missä valitsemamme kaavio on kaaviota korkeampi? Ota rohkeasti kynä ja maalaa tämä alue! Se on ratkaisu monimutkaiseen epätasa-arvoomme!

Millä aikaväleillä akselia pitkin olemme korkeammalla kuin? Oikein,. Tämä on vastaus!

No, nyt voit käsitellä mitä tahansa yhtälöä ja mitä tahansa järjestelmää, ja vielä enemmän mitä tahansa epätasa-arvoa!

LYHYESTI TÄRKEISTÄ

Algoritmi yhtälöiden ratkaisemiseksi funktiokaavioiden avulla:

1. Express kautta
2. Määritä funktion tyyppi
3. Rakennetaan kaavioita tuloksena olevista funktioista
4. Etsi kaavioiden leikkauspisteet
5. Kirjoita vastaus oikein (ottaen huomioon ODZ- ja epätasa-arvomerkit)
6. Tarkista vastaus (korvaa juuret yhtälössä tai järjestelmässä)

Lisätietoja funktiokaavioiden piirtämisestä on aiheessa "".

Oppitunnilla opiskelijat esittelivät ohjelman tietoja ja taitoja:

- tunnistaa funktiotyypit, rakentaa niiden kuvaajia;
– harjoitteli neliöfunktion rakentamisen taitoja;
– kehitti graafisia menetelmiä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi täysneliövalintamenetelmällä.

Halusin kiinnittää erityistä huomiota ongelmien ratkaisemiseen parametrin avulla, koska matematiikan USE tarjoaa paljon tämän tyyppisiä tehtäviä.

Mahdollisuuden soveltaa tämäntyyppistä työtä luokkahuoneessa sain opiskelijoilta itseltään, koska heillä on riittävä tietopohja, jota voidaan syventää ja laajentaa.

Oppilaiden valmiiksi valmistetut mallit säästävät oppitunnin aikaa. Oppitunnin aikana onnistuin toteuttamaan oppitunnin alussa tehtävät tehtävät ja saamaan odotetun tuloksen.

Liikuntaminuutin käyttö auttoi välttämään opiskelijoiden ylikuormitusta, ylläpitämään tuottavaa motivaatiota tiedon hankkimiseen.

Yleisesti ottaen olen tyytyväinen oppitunnin tulokseen, mutta uskon, että varamahdollisuuksia on vielä jäljellä: nykyaikaiset innovatiiviset teknologiset työkalut, joita meillä ei valitettavasti ole mahdollisuutta käyttää.

Oppitunnin tyyppi: opitun materiaalin yhdistäminen.

Oppitunnin tavoitteet:

• Yleissivistävä ja didaktinen:
  • kehittää erilaisia ​​tapoja opiskelijoiden henkiseen toimintaan;
  • muodostaa kyky ratkaista ongelmia itsenäisesti;
  • kouluttaa opiskelijoiden matemaattista kulttuuria;
  • kehittää opiskelijoiden intuitiota ja kykyä käyttää hankittua tietoa.
• Oppimistavoitteet:
  • tee yhteenveto aiemmin tutkituista tiedoista aiheesta "Klikaattiyhtälöiden graafinen ratkaisu";
  • toista toisen asteen funktioiden piirtäminen;
  • muodostaa taitoja käyttää algoritmeja toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen graafisella menetelmällä.
• Koulutuksellinen:
  • kiinnostuksen herättäminen koulutustoimintaan, matematiikan aiheeseen;
  • suvaitsevaisuuden muodostuminen (toleranssi), kyky työskennellä ryhmässä.

TUTKIEN AIKANA

I. Organisatorinen hetki

- Tänään tunnilla yleistetään ja konsolidoidaan asteen yhtälöiden graafista ratkaisua eri tavoin.
Tulevaisuudessa tarvitsemme näitä taitoja lukiossa matematiikan tunneilla ratkaistaessa trigonometrisiä ja logaritmia yhtälöitä, löydettäessä kaareva puolisuunnikkaan pinta-ala sekä fysiikan tunneilla.

II. Kotitehtävien tarkistaminen

Analysoidaan taululla nro 23,5 (g).

Ratkaise tämä yhtälö käyttämällä paraabelia ja suoraa viivaa.

Päätös:

x 2 + x - 6 = 0
Muunnetaan yhtälö: x 2 \u003d 6 - x
Esittelemme toiminnot:

y \u003d x 2; neliöfunktio y \u003d 6 - x lineaarinen,
kaavio yavl. paraabeli, kaavio yavl. suoraan,

Rakennamme funktioiden kuvaajia yhteen koordinaattijärjestelmään (mallin mukaan)

Meillä on kaksi risteyspistettä.

Neliöyhtälön ratkaisu on näiden pisteiden x 1 = - 3, x 2 = 2 abskissat.

Vastaus: - 3; 2.

III. Frontaalinen kysely

• Mikä on toisen asteen funktion kuvaaja?
• Voitko kertoa minulle algoritmin toisen asteen funktion kaavion piirtämiseen?
• Mikä on toisen asteen yhtälö?
• Anna esimerkkejä toisen asteen yhtälöistä?
• Kirjoita taululle esimerkkisi toisen asteen yhtälöstä. Mitkä ovat kertoimet?
• Mitä yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa?
• Kuinka monta tapaa tiedät toisen asteen yhtälöiden graafisesta ratkaisusta?
• Mitkä ovat graafiset menetelmät toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi:

IV. Materiaalin kiinnitys

Lautalla opiskelijat päättävät ensimmäisellä, toisella ja kolmannella tavalla.

Luokka ratkaisee neljännen

- x 2 + 6x - 5 \u003d 0

Muutan toisen asteen yhtälön korostaen binomiaalin koko neliötä:

- x 2 + 6x - 5 \u003d - (x 2 - 6x + 5) \u003d - (x 2 - 6x + 32 - 9 + 5) \u003d - ((x - 3) 2 - 4) \u003d - ( x - 3) 2+4

Saimme toisen asteen yhtälön:

- (x - 3) 2 + 4 \u003d 0

Esitellään funktio:

y \u003d - (x 2 - 3) 2 + 4

Neliöfunktio muotoa y \u003d a (x + L) 2 + m

Kaavio yavl. paraabeli, alaspäin suunnatut oksat, pääparaabelin siirtyminen Ox-akselia pitkin oikealle 3 yksikköä, Oy akselia pitkin 4 yksikköä ylöspäin, ylhäällä (3; 4).

Rakennamme mallin mukaan.

Löytyi paraabelin ja x-akselin leikkauspisteet. Näiden pisteiden abskissat yavl. tämän yhtälön ratkaisu. x=1, x=5.

Katsotaanpa laudalla muita graafisia ratkaisuja. Kommentoi tapaasi ratkaista toisen asteen yhtälöitä.

1 opiskelija

Päätös:

- x 2 + 6x - 5 \u003d 0

Esittelemme funktion y \u003d - x + 6x - 5, neliöfunktion, kuvaaja on paraabeli, haarat on suunnattu alaspäin, yläosa

x 0 \u003d - in / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9; piste (3; 9)
symmetria-akseli x = 3

Rakennamme mallin mukaan

Saimme leikkauspisteet Ox-akselin kanssa, näiden pisteiden abskissat ovat toisen asteen yhtälön ratkaisu. Kaksi juuria x 1 = 1, x 2 = 5

2 opiskelijaa

Päätös:

- x 2 + 6x - 5 \u003d 0

Muunnetaan: - x 2 + 6x \u003d 5

Esittelemme funktiot: y1 \u003d - x 2 + 6x, y2 \u003d 5, lineaarinen funktio, neliöfunktio, kaaviokuvaaja yavl. rivi y || Voi yavl. paraabeli, alaspäin suunnatut oksat, kärki x 0 \u003d - sisään / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9;
(3; 9).
symmetria-akseli x = 3
Rakennamme mallin mukaan
Löytyy risteyspisteitä
paraabelit ja suora, niiden abskissat ovat toisen asteen yhtälön ratkaisu. Kaksi juuria x 1 = 1, x 2 = 5
Joten sama yhtälö voidaan ratkaista eri tavoin, ja vastauksen tulisi olla sama.

V. Liikuntakasvatus

VI. Parametrin ongelman ratkaiseminen

Millä arvoilla R yhtälö x 2 + 6x + 8 = p:
- Eikö hänellä ole juuria?
- Onko yksi juuri?
Onko sillä kaksi juurta?
Miten tämä yhtälö eroaa edellisestä?
Aivan oikein, kirje!
Kutsumme tätä kirjettä nimellä parametri, R.
Kunhan hän ei kerro sinulle mitään. Mutta jatkamme erilaisten ongelmien ratkaisemista parametrin avulla.
Tänään ratkaisemme toisen asteen yhtälön parametrilla graafisella menetelmällä käyttämällä kolmatta menetelmää paraabelin ja x-akselin suuntaisen suoran avulla.
Opiskelija auttaa opettajaa ratkaisemaan taulun ääressä.
Mistä alamme päättää?

Laitetaan funktiot:

y 1 \u003d x 2 + 6x + 8 y 2 \u003d p lineaarinen funktio,
neliöfunktio, kuvaaja on suora
kaavio yavl. paraabeli,
alaspäin osoittavat oksat

x 0 \u003d - in / 2a,
x 0 = - 6/2 = - 3
y 0 \u003d (- 3) 2 + 6 (- 3) + 8 \u003d - 1
(– 3; – 1)

Symmetria-akseli x = 3, en rakenna taulukkoa, vaan otan mallin y = x 2 ja kiinnitän sen paraabelin yläosaan.
Paraabeli on rakennettu! Nyt meidän on vedettävä viiva y = p.
Mihin viiva pitäisi vetää? R saada kaksi juuria?
Mihin viiva pitäisi vetää? R saada yksi juuri?
Mihin viiva pitäisi vetää? R ilman juuria?
– Kuinka monta juuria yhtälöllämme voi olla?
Piditkö tehtävästä? Kiitos avusta! Luokka 5.

VII. Itsenäinen työ vaihtoehtojen mukaan (5 min.)

y \u003d x 2 - 5x + 6 y \u003d - x 2 + x - 6

Ratkaise toisen asteen yhtälö graafisesti valitsemalla sinulle sopiva tapa. Jos joku suorittaa tehtävän aikaisemmin, tarkista ratkaisusi toisella tavalla. Tämä saa lisäpisteitä.

VIII. Oppitunnin yhteenveto

- Mitä opit tämän päivän oppitunnilla?
- Tänään tunnilla ratkaisimme toisen asteen yhtälöitä graafisella menetelmällä, erilaisilla ratkaisumenetelmillä ja pohdimme graafista tapaa ratkaista toisen asteen yhtälö parametrilla!
- Siirrytään kotitehtäviin.

IX. Kotitehtävät

1. Kotitesti sivulla 147, Mordkovichin tehtäväkirjasta vaihtoehdoille I ja II.
2. Keskiviikkona ympyrällä ratkaistaan ​​V-metodi, (hyperboli ja suora).

X. Kirjallisuus:

1. A.G. Mordkovich. Algebra-8. Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille. Moskova: Mnemosyne, 2008
2. A.G. Mordkovich, L.A. Aleksandrova, T.N. Mishustin, E.E. Tulchinskaya. Algebra - 8. Osa 2. Tehtäväkirja oppilaitosten opiskelijoille. Moskova: Mnemosyne, 2008
3. A.G. Mordkovich. Algebra 7-9. Metodologinen opas opettajalle M .: Mnemosyne, 2004
4. LA. Aleksandrova. Algebra-8. Itsenäinen työskentely oppilaitosten opiskelijoille./Toim. A.G. Mordkovich. Moskova: Mnemosyne, 2009