Perusmäärittely. Vektorijärjestelmä muodostaa perustan, jos:

1) se on lineaarisesti riippumaton,

2) mikä tahansa sen läpi kulkeva avaruuden vektori ilmaistaan ​​lineaarisesti.

Esimerkki 1 Avaruuspohja: .

2. Vektorijärjestelmässä vektorit ovat perusta: , koska lineaarisesti vektoreina ilmaistuna.

Kommentti. Tietyn vektorijärjestelmän perustan löytämiseksi sinun on:

1) kirjoita vektorien koordinaatit matriisiin,

2) käyttäen alkeismuunnoksia, saa matriisi kolmion muotoon,

3) nollasta poikkeavat matriisin rivit ovat järjestelmän perusta,

4) vektorien lukumäärä kannassa on yhtä suuri kuin matriisin järjestys.

Kronecker-Capellin lause

Kronecker-Capellin lause antaa tyhjentävän vastauksen kysymykseen mielivaltaisen lineaariyhtälöjärjestelmän yhteensopivuudesta tuntemattomien kanssa.

Kronecker-Capellin lause. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä on johdonmukainen silloin ja vain, jos järjestelmän laajennetun matriisin järjestys on yhtä suuri kuin päämatriisin, .

Algoritmi johdonmukaisen lineaariyhtälöjärjestelmän kaikkien ratkaisujen löytämiseksi seuraa Kronecker-Capelli-lausetta ja seuraavia lauseita.

Lause. Jos johdonmukaisen järjestelmän arvo on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Lause. Jos johdonmukaisen järjestelmän arvo on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä, niin järjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja.

Algoritmi mielivaltaisen lineaariyhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi:

1. Etsi järjestelmän pää- ja laajennetun matriisien rivit. Jos ne eivät ole yhtä suuret (), järjestelmä on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja). Jos arvot ovat yhtä suuret ( , järjestelmä on johdonmukainen.

2. Yhteensopivalle järjestelmälle löydämme jonkinlaisen mollin, jonka järjestys määrää matriisin arvon (tällaista mollia kutsutaan perusarvoksi). Muodostetaan uusi yhtälöjärjestelmä, jossa tuntemattomien kertoimet sisältyvät perusmolliin (näitä tuntemattomia kutsutaan pää-tuntemattomiksi), hylkäämme loput yhtälöt. Jätetään tärkeimmät tuntemattomat kertoimilla vasemmalle ja siirretään loput tuntemattomat (niitä kutsutaan vapaiksi tuntemattomiksi) yhtälöiden oikealle puolelle.

3. Etsitään tärkeimpien tuntemattomien lausekkeet vapaiden tuntemattomien suhteen. Saamme järjestelmän yleisen ratkaisun.

4. Antamalla mielivaltaisia ​​arvoja vapaille tuntemattomille, saadaan vastaavat päätuntemattomien arvot. Siten löydämme erityisiä ratkaisuja alkuperäiseen yhtälöjärjestelmään.

Lineaarinen ohjelmointi. Peruskonseptit

Lineaarinen ohjelmointi on matemaattisen ohjelmoinnin haara, joka tutkii menetelmiä äärimmäisten ongelmien ratkaisemiseksi, joille on tunnusomaista muuttujien välinen lineaarinen suhde ja lineaarinen kriteeri.

Lineaarisen ohjelmointiongelman asettamisen välttämätön edellytys ovat resurssien saatavuuden, kysynnän määrän, yrityksen tuotantokapasiteetin ja muiden tuotantotekijöiden rajoitukset.

Lineaarisen ohjelmoinnin ydin on löytää tietyn funktion suurimman tai pienimmän arvon pisteet tietyn argumenteille ja generaattoreille asetettujen rajoitusten alaisena. rajoitusjärjestelmä , jolla on yleensä ääretön määrä ratkaisuja. Jokainen muuttujaarvojoukko (funktion argumentit F ), jotka täyttävät rajoitusjärjestelmän, kutsutaan hyväksyttävä suunnitelma lineaarisen ohjelmoinnin ongelmia. Toiminto F , jonka maksimi tai minimi on määritetty, kutsutaan tavoitefunktio tehtäviä. Hyväksyttävä suunnitelma, jossa toiminnon maksimi tai minimi saavutetaan F , kutsutaan optimaalinen suunnitelma tehtäviä.

Suunnitelmajoukon määrittelevän rajoitusjärjestelmän määräävät tuotantoolosuhteet. Lineaarinen ohjelmointiongelma ( ZLP ) on kannattavimman (optimaalisen) valinta toteutettavissa olevien suunnitelmien joukosta.

Lineaarisen ohjelmoinnin ongelman yleinen muotoilu on seuraava:

Muuttujia on joitain x \u003d (x 1, x 2, ... x n) ja näiden muuttujien funktio f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , joka on nimetty kohde toimintoja. Tehtävä on asetettu: löytää tavoitefunktion ääriarvo (maksimi tai minimi). f(x) edellyttäen, että muuttujat x kuuluvat jollekin alueelle G :

Toiminnon tyypistä riippuen f(x) ja alueet G ja erottaa matemaattisen ohjelmoinnin osat: neliöllinen ohjelmointi, kupera ohjelmointi, kokonaislukuohjelmointi jne. Lineaariseen ohjelmointiin on ominaista se, että
a) toiminto f(x) on muuttujien lineaarinen funktio x 1, x 2, ... x n
b) alue G järjestelmän määräämä lineaarinen tasa-arvoa tai eriarvoisuutta.

Luentoja algebrasta ja geometriasta. Lukukausi 1.

Luento 9. Vektoriavaruuden kanta.

Yhteenveto: vektorijärjestelmä, vektorijärjestelmän lineaarinen yhdistelmä, vektorijärjestelmän lineaarisen yhdistelmän kertoimet, perusta suoralla, tasossa ja avaruudessa, vektoriavaruuksien mitat viivalla, tasossa ja avaruudessa, hajotus vektori kannassa, vektorin koordinaatit kantaan nähden, yhtäläisyyslause kaksi vektoria, lineaarioperaatiot vektoreilla koordinaattimerkinnällä, ortonormaali vektorin kolmois, vektorin oikea ja vasen kolmoiskappale, ortonormaalikanta, vektorialgebran peruslause.

Luku 9

kohta 1. Pohjalla linjalla, tasossa ja avaruudessa.

Määritelmä. Mitä tahansa äärellistä vektoreiden joukkoa kutsutaan vektorijärjestelmäksi.

Määritelmä. Ilmaisu missä
kutsutaan vektorijärjestelmän lineaariseksi yhdistelmäksi
, ja numerot
kutsutaan tämän lineaarisen yhdistelmän kertoimiksi.

Olkoot L, Р ja S vastaavasti suora, taso ja pisteavaruus, ja
. Sitten
ovat vektoreiden vektoriavaruudet suunnattuina segmentteinä suoralla L, tasolla P ja avaruudessa S, vastaavasti.

kutsutaan mitä tahansa nollasta poikkeavaa vektoria
, eli mikä tahansa nollasta poikkeava vektori, joka on kollineaarinen suoran L kanssa:
Ja
.

Perusmerkintä
:
- perusta
.

Määritelmä. Vektoriavaruuden kanta
on mikä tahansa järjestys pari ei-kollineaarisia vektoreita avaruudessa
.

, Missä
,
- perusta
.

Määritelmä. Vektoriavaruuden kanta
on mikä tahansa avaruuden ei-koplanaaristen vektorien (eli jotka eivät sijaitse samassa tasossa) järjestetty kolmois
.

- perusta
.

Kommentti. Vektoriavaruuden kanta ei voi sisältää nollavektoria: avaruudessa
määritelmän mukaan avaruudessa
kaksi vektoria on kollineaarisia, jos vähintään yksi niistä on nolla avaruudessa
kolme vektoria ovat samantasoisia, eli ne sijaitsevat samassa tasossa, jos vähintään yksi kolmesta vektorista on nolla.

kohta 2. Vektorin hajoaminen kannassa.

Määritelmä. Antaa on mielivaltainen vektori,
on mielivaltainen vektorijärjestelmä. Jos tasa-arvo

sitten he sanovat, että vektori esitetään tietyn vektorijärjestelmän lineaarisena yhdistelmänä. Jos annettu vektorijärjestelmä
on vektoriavaruuden kanta, niin yhtälöä (1) kutsutaan vektorin hajotukseksi perusta
. Lineaariset yhdistelmäkertoimet
kutsutaan tässä tapauksessa vektorin koordinaatteiksi suhteessa perusteeseen
.

Lause. (Vektorin laajennuksesta kantaan.)

Mikä tahansa vektoriavaruuden vektori voidaan hajottaa sen perusteella ja lisäksi ainutlaatuisella tavalla.

Todiste. 1) Olkoon L mielivaltainen suora (tai akseli) ja
- perusta
. Ota mielivaltainen vektori
. Koska molemmat vektorit Ja kollineaarinen samalle riville L, sitten
. Käytetään lausetta kahden vektorin kollineaarisuudesta. Koska
, silloin on (olemassa) sellainen luku
, Mitä
ja siten olemme saaneet vektorin hajotuksen perusta
vektoriavaruus
.

Todistamme nyt tällaisen hajoamisen ainutlaatuisuuden. Oletetaan päinvastoin. Olkoon vektorilla kaksi hajotusta perusta
vektoriavaruus
:

Ja
, Missä
. Sitten
ja jakelulakia käyttämällä saamme:

Koska
, niin viimeisestä yhtälöstä seuraa, että
, jne.

2) Olkoon P nyt mielivaltainen taso ja
- perusta
. Antaa
tämän tason mielivaltainen vektori. Siirretään kaikkia kolmea vektoria mistä tahansa tämän tason pisteestä. Rakennetaan 4 suoraa viivaa. Piirretään suora viiva , jolla vektori sijaitsee , suora
, jolla vektori sijaitsee . Vektorin pään läpi piirrä vektorin suuntainen viiva ja vektorin suuntainen suora . Nämä 4 suoraa leikkaavat suunnikkaan. Katso alla kuva. 3. Suunkkaviivasäännön mukaan
, Ja
,
,
- perusta ,
- perusta
.

Nyt sen perusteella, mikä jo todistettiin tämän todisteen ensimmäisessä osassa, on olemassa lukuja
, Mitä

Ja
. Täältä saamme:

ja laajentamisen mahdollisuus pohjan suhteen on todistettu.

Todistakaamme nyt laajennuksen ainutlaatuisuus perustan suhteen. Oletetaan päinvastoin. Olkoon vektorilla kaksi hajotusta perusta
vektoriavaruus
:
Ja
. Saamme tasa-arvon

Missä pitäisi
. Jos
, Tuo
, ja siitä lähtien
, Tuo
ja laajenemiskertoimet ovat:
,
. Anna nyt
. Sitten
, Missä
. Kahden vektorin kollineaarisuuden lauseella tämä tarkoittaa sitä
. Olemme saaneet ristiriidan lauseen ehdon kanssa. Siten,
Ja
, jne.

3) Anna
- perusta
Anna olla
mielivaltainen vektori. Tehdään seuraavat rakenteet.

Laita sivuun kaikki kolme kantavektoria
ja vektori yhdestä pisteestä ja rakentaa 6 tasoa: taso, jossa kantavektorit sijaitsevat
, lentokone
ja lentokone
; pidemmälle vektorin loppuun asti piirrä kolme tasoa, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​juuri rakennettujen kolmen tason kanssa. Nämä 6 konetta leikkaavat laatikon:

Vektorien yhteenlaskusäännön mukaan saadaan yhtäläisyys:

. (1)

Rakentamisen mukaan
. Siten kahden vektorin kollineaarisuutta koskevasta lauseesta seuraa, että on olemassa luku
, sellaista
. Samoin
Ja
, Missä
. Nyt kun korvaamme nämä yhtäläisyydet (1), saamme:

ja laajentamisen mahdollisuus pohjan suhteen on todistettu.

Todistakaamme tällaisen hajoamisen ainutlaatuisuus. Oletetaan päinvastoin. Olkoon vektorilla kaksi hajotusta perusta
:

JA . Sitten

Huomaa, että oletuksena vektorit
ei-koplanaarisia, joten ne ovat pareittain ei-kollineaarisia.

Kaksi tapausta on mahdollista:
tai
.

a) Anna
, niin tasa-arvosta (3) seuraa:

. (4)

Yhtälöstä (4) seuraa, että vektori laajennettu perustan suhteen
, eli vektori sijaitsee vektoritasossa
ja siten vektorit
koplanaarinen, mikä on ristiriidassa ehdon kanssa.

b) Asiaa on jäljellä
, eli
. Sitten yhtälöstä (3) saadaan tai

Koska
on tasossa olevien vektoreiden avaruuden perusta, ja olemme jo osoittaneet laajennuksen ainutlaatuisuuden tason vektorien perusteella, yhtälöstä (5) seuraa, että
Ja
, jne.

Lause on todistettu.

Seuraus.

1) Vektoriavaruuden vektorijoukon välillä on yksi yhteen vastaavuus
ja reaalilukujen joukko R.

2) Vektoriavaruuden vektorijoukon välillä on yksi yhteen vastaavuus
ja karteesinen aukio

3) Vektoriavaruuden vektorijoukon välillä on yksi yhteen vastaavuus
ja karteesinen kuutio
sarja reaalilukuja R.

Todiste. Todistakaamme kolmas väite. Kaksi ensimmäistä todistetaan samalla tavalla.

Valitaan ja korjataan avaruudessa
jokin peruste
ja asenna näyttö
seuraavan säännön mukaan:

nuo. jokainen vektori liittyy järjestykseen koordinaattiensa joukkoon.

Koska kiinteällä perusteella jokaisella vektorilla on yksilöllinen koordinaattijoukko, säännön (6) antama vastaavuus on todellakin kartoitus.

Lauseen todistuksesta seuraa, että eri vektoreilla on erilaiset koordinaatit samaan kantaan nähden, ts. kartoitus (6) on injektio.

Antaa
mielivaltainen järjestys reaalilukujen joukko.

Harkitse vektoria
. Rakenteen mukaan tällä vektorilla on koordinaatit
. Siksi kartoitus (6) on surjektio.

Kartoitus, joka on sekä injektiivinen että surjektiivinen, on bijektiivinen, ts. yksitellen jne.

Seuraus on todistettu.

Lause. (Kahden vektorin yhtäläisyydestä.)

Kaksi vektoria ovat samanarvoisia silloin ja vain, jos niiden koordinaatit suhteessa samaan kantaan ovat samat.

Todistus seuraa välittömästi edellisestä seurauksesta.

kohta 3. Vektoriavaruuden mitta.

Määritelmä. Vektoriavaruuden kannassa olevien vektoreiden lukumäärää kutsutaan sen dimensioksi.

Nimitys:
on vektoriavaruuden V mitta.

Näin ollen tämän ja aiempien määritelmien mukaisesti meillä on:

1)
on suoran L vektoreiden vektoriavaruus.

- perusta
,
,
,
– vektorin hajoaminen
perusta
,
- vektorin koordinaatti suhteessa perusteeseen
.

2)
on tason Р vektoreiden vektoriavaruus.

- perusta
,
,
,
– vektorin hajoaminen
perusta
,
ovat vektorikoordinaatteja suhteessa perusteeseen
.

3)
on vektoreiden vektoriavaruus pisteiden S avaruudessa.

- perusta
,
,
– vektorin hajoaminen
perusta
,
ovat vektorikoordinaatteja suhteessa perusteeseen
.

Kommentti. Jos
, Tuo
ja voit valita perusteen
tilaa
Niin
- perusta
Ja
- perusta
. Sitten
, Ja
, .

Siten mitä tahansa suoran L, tason P ja avaruuden S vektoria voidaan laajentaa kantan suhteen
:

Nimitys. Vektoriyhtälölauseen perusteella voimme tunnistaa minkä tahansa vektorin, jolla on järjestetty reaalilukujen kolmoisosa, ja kirjoittaa:

Tämä on mahdollista vain, jos peruste
kiinteä, eikä sotkeutumisvaaraa ole.

Määritelmä. Reaalilukujen järjestetyn kolmiosan muodossa olevaa vektorin tietuetta kutsutaan vektoritietueen koordinaattimuodoksi:
.

kohta 4. Lineaariset operaatiot vektoreilla koordinaattimuodossa.

Antaa
- avaruuspohja
Ja
ovat sen kaksi mielivaltaista vektoria. Antaa
Ja
on näiden vektorien merkintä koordinaattimuodossa. Antaa edelleen,
on mielivaltainen reaaliluku. Näissä merkinnöissä seuraava lause pätee.

Lause. (Lineaarisissa operaatioissa vektoreilla koordinaattimuodossa.)

2)
.

Toisin sanoen, jotta voit lisätä kaksi vektoria, sinun on lisättävä niitä vastaavat koordinaatit ja kertoaksesi vektori numerolla, sinun on kerrottava tämän vektorin jokainen koordinaatti tietyllä numerolla.

Todiste. Koska lauseen ehdon mukaan käyttämällä vektoriavaruuden aksioomia, joihin sovelletaan vektorien yhteenlaskemista ja vektorin kertomista luvulla, saadaan:

Tämä tarkoittaa.

Toinen yhtäläisyys todistetaan samalla tavalla.

Lause on todistettu.

kohta 5. Ortogonaaliset vektorit. Ortonormaali perusta.

Määritelmä. Kahta vektoria kutsutaan ortogonaaliseksi, jos niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin suora kulma, ts.
.

Nimitys:
– vektorit Ja ortogonaalinen.

Määritelmä. Vector trio
kutsutaan ortogonaaliseksi, jos nämä vektorit ovat pareittain ortogonaalisia toisiinsa nähden, ts.
,
.

Määritelmä. Vector trio
kutsutaan ortonormaaliksi, jos se on ortogonaalinen ja kaikkien vektorien pituudet ovat yhtä:
.

Kommentti. Määritelmästä seuraa, että ortogonaalinen ja siten ortonormaali vektoreiden kolmois on ei-tasoinen.

Määritelmä. Järjestetty ei-koplanaarinen vektoreiden kolmio
, irtisanottu yhdestä pisteestä, kutsutaan oikeaksi (oikealle suunnatuksi), jos tarkasteltuna kolmannen vektorin lopusta tasoon, joka sisältää kaksi ensimmäistä vektoria Ja , ensimmäisen vektorin lyhin kierto toiselle tapahtuu vastapäivään. Muussa tapauksessa vektoreiden kolmikkoa kutsutaan vasemmaksi (vasemmalle suuntautuneeksi).

Tässä kuviossa 6 on esitetty vektoreiden oikea kolmikko
. Seuraava kuva 7 esittää vektoreiden vasemmanpuoleista triplettiä
:

Määritelmä. Perusta
vektoriavaruus
kutsutaan ortonormaaliksi jos
ortonormaali vektoreiden kolmois.

Nimitys. Seuraavassa käytämme oikeaa ortonormaalia perustaa
, katso seuraava kuva.

Lomakkeen ilmaisu nimeltään vektorien lineaarinen yhdistelmä A 1 , A 2 ,...,A n kertoimilla λ1, λ2,...,λn.

Vektorijärjestelmän lineaarisen riippuvuuden määrittäminen

Vektorijärjestelmä A 1 , A 2 ,...,A n nimeltään lineaarisesti riippuvainen, jos lukuja on nollasta poikkeava joukko λ1, λ2,...,λn, jonka alla vektoreiden lineaarinen yhdistelmä λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n yhtä kuin nolla vektori, eli yhtälöjärjestelmä: on nollasta poikkeava ratkaisu.
Joukko numeroita λ1, λ2,...,λn on nollasta poikkeava, jos ainakin yksi luvuista λ1, λ2,...,λn eroaa nollasta.

Vektorijärjestelmän lineaarisen riippumattomuuden määrittäminen

Vektorijärjestelmä A 1 , A 2 ,...,A n nimeltään lineaarisesti riippumaton, jos näiden vektorien lineaarinen yhdistelmä λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n on yhtä suuri kuin nollavektori vain nollajoukolle lukuja λ1, λ2,...,λn , eli yhtälöjärjestelmä: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n = Θ on ainutlaatuinen nollaratkaisu.

Esimerkki 29.1

Tarkista, onko vektorijärjestelmä lineaarisesti riippuvainen

Ratkaisu:

1. Muodostamme yhtälöjärjestelmän:

2. Ratkaisemme sen Gaussin menetelmällä. Systeemin Jordanian muunnokset on esitetty taulukossa 29.1. Laskettaessa järjestelmän oikeita osia ei kirjoiteta ylös, koska ne ovat yhtä suuria kuin nolla eivätkä muutu Jordan-muunnoksissa.

3. Taulukon kolmelta viimeiseltä riviltä kirjoitamme alkuperäistä vastaavan sallitun järjestelmän järjestelmä:

4. Saamme järjestelmän yleisen ratkaisun:

5. Asetettuasi oman harkintasi mukaan vapaan muuttujan arvon x 3 =1, saamme tietyn nollasta poikkeavan ratkaisun X=(-3,2,1).

Vastaus: Siten nollasta poikkeavalla lukujoukolla (-3,2,1) vektorien lineaarinen yhdistelmä on yhtä kuin nollavektori -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Siten, lineaarisesti riippuvainen vektorijärjestelmä.

Vektorijärjestelmien ominaisuudet

Kiinteistö (1)
Jos vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, niin ainakin yksi vektoreista hajoaa lopun suhteen ja päinvastoin, jos ainakin yksi järjestelmän vektoreista hajoaa lopun suhteen, niin järjestelmän vektorit ovat lineaarisesti riippuvaisia.

Kiinteistö (2)
Jos jokin vektoreiden alijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, niin koko järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen.

Kiinteistö (3)
Jos vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton, niin mikä tahansa sen alijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton.

Kiinteistö (4)
Mikä tahansa vektorijärjestelmä, joka sisältää nollavektorin, on lineaarisesti riippuvainen.

Kiinteistö (5)
M-ulotteisten vektorien järjestelmä on aina lineaarisesti riippuvainen, jos vektorien lukumäärä n on suurempi kuin niiden mitta (n>m)

Vektorijärjestelmän perusta

Vektorijärjestelmän perusta A 1 , A 2 ,..., A sellaisessa alijärjestelmässä B 1 , B 2 ,...,B r(kukin vektoreista B1,B2,...,Br on yksi vektoreista A1, A2,..., An), joka täyttää seuraavat ehdot:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä;
2. mikä tahansa vektori A j järjestelmän A 1 , A 2 ,..., A n ilmaistaan ​​lineaarisesti vektoreilla B 1 , B 2 ,..., B r

r on kantaan sisältyvien vektorien lukumäärä.

Lause 29.1 Vektorijärjestelmän yksikköperusteella.

Jos m-ulotteisten vektoreiden järjestelmä sisältää m erilaista yksikkövektoria E 1 E 2 ,..., E m , niin ne muodostavat järjestelmän perustan.

Algoritmi vektorijärjestelmän perustan löytämiseksi

Vektorijärjestelmän A 1 ,A 2 ,...,A n perustan löytämiseksi on tarpeen:

• Laadi homogeeninen yhtälöjärjestelmä, joka vastaa vektorijärjestelmää A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n = Θ
• tuo tämä järjestelmä