Harkitse seuraavaa kuvaa.

Se näyttää funktion y = x^3 - 3*x^2 kaavion. Tarkastellaan jotakin väliä, joka sisältää pisteen x = 0, esimerkiksi -1:stä 1:een. Tällaista väliä kutsutaan myös pisteen x = 0 lähialueeksi. Kuten käyrästä näkyy, tässä ympäristössä funktio y = x ^3 - 3*x^2 ottaa suurimman arvon täsmälleen pisteessä x = 0.

Toiminnon maksimi ja minimi

Tässä tapauksessa pistettä x = 0 kutsutaan funktion maksimipisteeksi. Analogisesti tämän kanssa pistettä x = 2 kutsutaan funktion y = x^3 - 3*x^2 minimipisteeksi. Koska tällä pisteellä on sellainen naapurusto, jossa arvo tässä kohdassa on minimaalinen kaikkien muiden tämän naapuruston arvojen joukossa.

piste maksimi funktiota f(x) kutsutaan pisteeksi x0, edellyttäen, että pisteellä x0 on sellainen ympäristö, että kaikille x:lle, jotka eivät ole yhtä suuria kuin x0 tästä naapurustosta, epäyhtälö f(x)< f(x0).

piste minimi funktiota f(x) kutsutaan pisteeksi x0 edellyttäen, että pisteen x0 naapurustossa on sellainen, että kaikille x:ille, jotka eivät ole yhtä suuria kuin x0 tästä naapurustosta, epäyhtälö f(x) > f(x0) täyttyy.

Funktioiden maksimi- ja minimipisteissä funktion derivaatan arvo on nolla. Mutta tämä ei ole riittävä ehto funktion olemassaololle maksimi- tai minimipisteessä.

Esimerkiksi funktion y = x^3 pisteessä x = 0 derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Mutta piste x = 0 ei ole funktion minimi- tai maksimipiste. Kuten tiedät, funktio y = x^3 kasvaa koko reaaliakselilla.

Näin ollen minimi- ja maksimipisteet ovat aina yhtälön f’(x) = 0 juuren joukossa. Mutta kaikki tämän yhtälön juuret eivät ole maksimi- tai minimipisteitä.

Kiinteät ja kriittiset pisteet

Pisteitä, joissa funktion derivaatan arvo on nolla, kutsutaan stationääripisteiksi. Maksimi- tai minimipisteitä voi olla myös kohdissa, joissa funktion derivaatta ei ole ollenkaan olemassa. Esimerkiksi y = |x| pisteessä x = 0 on minimi, mutta derivaatta ei ole olemassa tässä pisteessä. Tämä piste on funktion kriittinen piste.

Funktion kriittisiä pisteitä ovat pisteet, joissa derivaatta on yhtä suuri kuin nolla tai derivaatta ei ole olemassa tässä pisteessä, eli funktio tässä pisteessä on ei-differentioituva. Jotta funktion maksimi tai minimi voidaan löytää, riittävän ehdon on täytyttävä.

Olkoon f(x) jokin välillä (a;b) differentioituva funktio. Piste x0 kuuluu tähän väliin ja f'(x0) = 0. Sitten:

1. Jos funktio f (x) ja sen derivaatta vaihtaa etumerkkiä liikkuessaan stationaarisen pisteen x0 kautta plus-merkistä miinus-, niin piste x0 on funktion maksimipiste.

2. Jos funktio f (x) ja sen derivaatta vaihtaa etumerkkiä liikkuessaan stationaarisen pisteen x0 kautta "miinus" -sta "plussiksi", niin piste x0 on funktion minimipiste.

Kaksiulotteisessa avaruudessa kaksi suoraa leikkaa vain yhdessä pisteessä koordinaattien (x, y) avulla. Koska molemmat suorat kulkevat leikkauspisteensä kautta, koordinaattien (x, y) on täytettävä molemmat yhtälöt, jotka kuvaavat näitä suoria. Joillakin edistyneillä taidoilla voit löytää paraabelien ja muiden neliöllisten käyrien leikkauspisteet.

Askeleet

Kahden suoran leikkauspiste

Kirjoita jokaisen rivin yhtälö muistiin eristäen muuttuja "y" yhtälön vasemmalla puolella. Muut yhtälön ehdot tulee sijoittaa yhtälön oikealle puolelle. Ehkä yhtälö, joka annetaan sinulle "y":n sijaan, sisältää muuttujan f (x) tai g (x); tässä tapauksessa eristä tällainen muuttuja. Eristääksesi muuttujan, suorita asianmukaiset matemaattiset toiminnot yhtälön molemmille puolille.

• Jos suorien yhtälöitä ei ole annettu sinulle tiedossasi olevan tiedon perusteella.
• Esimerkki. Annetut suorat, joita kuvaavat yhtälöt ja y − 12 = − 2 x (\näyttötyyli y-12 = -2x). Eristääksesi "y" toisessa yhtälössä, lisää numero 12 yhtälön molemmille puolille:

1. Etsit molempien suorien leikkauspistettä, eli pistettä, jonka (x, y) koordinaatit täyttävät molemmat yhtälöt. Koska muuttuja "y" on kunkin yhtälön vasemmalla puolella, kunkin yhtälön oikealla puolella olevat lausekkeet voidaan rinnastaa. Kirjoita uusi yhtälö.

   • Esimerkki. Kuten y = x + 3 (\näyttötyyli y=x+3) ja y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x), niin voimme kirjoittaa seuraavan yhtälön: .

2. Etsi muuttujan "x" arvo. Uusi yhtälö sisältää vain yhden muuttujan "x". Löytääksesi "x", eristä tämä muuttuja yhtälön vasemmalta puolelta tekemällä sopiva laskelma yhtälön molemmille puolille. Sinun pitäisi päätyä yhtälöön, kuten x = __ (jos et voi tehdä sitä, katso tämä osa).

   • Esimerkki. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Lisätä 2x (\displaystyle 2x) yhtälön kummallekin puolelle:
   • 3x + 3 = 12 (\näyttötyyli 3x+3=12)
   • Vähennä 3 yhtälön kummaltakin puolelta:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Jaa yhtälön kumpikin puoli kolmella:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Käytä muuttujan "x" löydettyä arvoa muuttujan "y" arvon laskemiseen. Voit tehdä tämän korvaamalla löydetyn arvon "x" yhtälön (mikä tahansa) suoralla.

   • Esimerkki. x = 3 (\displaystyle x=3) ja y = x + 3 (\näyttötyyli y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\displaystyle y=6)

4. Tarkista vastaus. Voit tehdä tämän korvaamalla "x":n arvon toisella suoran yhtälöllä ja etsimällä "y":n arvon. Jos saat erilaisia ​​"y"-arvoja, tarkista, että laskelmasi ovat oikein.

   • Esimerkki: x = 3 (\displaystyle x=3) ja y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12–6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\displaystyle y=6)
   • Sinulla on sama "y"-arvo, joten laskelmissasi ei ole virheitä.

5. Kirjoita muistiin koordinaatit (x, y). Laskemalla "x" ja "y" arvot olet löytänyt kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit. Kirjoita leikkauspisteen koordinaatit muotoon (x, y).

   • Esimerkki. x = 3 (\displaystyle x=3) ja y=6 (\displaystyle y=6)
   • Siten kaksi suoraa leikkaa pisteen, jonka koordinaatit (3,6).

6. Laskelmat erikoistapauksissa. Joissakin tapauksissa muuttujan "x" arvoa ei löydy. Mutta se ei tarkoita, että olisit tehnyt virheen. Erikoistapaus tapahtuu, kun jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

   • Jos kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, ne eivät leikkaa. Tässä tapauksessa muuttuja "x" yksinkertaisesti pienennetään ja yhtälöstäsi tulee merkityksetön yhtälö (esim. 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). Kirjoita tässä tapauksessa vastaukseesi, että suorat eivät leikkaa tai ratkaisua ei ole.
   • Jos molemmat yhtälöt kuvaavat yhtä suoraa, leikkauspisteitä on ääretön määrä. Tässä tapauksessa muuttuja "x" yksinkertaisesti pienennetään ja yhtälöstäsi tulee tiukka yhtäläisyys (esim. 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). Kirjoita tässä tapauksessa vastaukseesi, että nämä kaksi riviä ovat samat.

   Ongelmia neliöfunktioiden kanssa

   1. Neliöfunktion määritelmä. Neliöfunktiossa yhdellä tai useammalla muuttujalla on toinen aste (mutta ei korkeampi), esimerkiksi x 2 (\displaystyle x^(2)) tai y 2 (\displaystyle y^(2)). Neliöfunktioiden kuvaajat ovat käyriä, jotka eivät välttämättä leikkaa tai leikkaa yhdessä tai kahdessa pisteessä. Tässä osiossa kerromme, kuinka voit löytää toisen asteen käyrien leikkauspisteen tai -pisteet.

   2. Kirjoita jokainen yhtälö uudelleen eristämällä muuttuja "y" yhtälön vasemmalla puolella. Muut yhtälön ehdot tulee sijoittaa yhtälön oikealle puolelle.

      • Esimerkki. Etsi kaavioiden leikkauspiste(t). x 2 + 2 x − y = − 1 (\näyttötyyli x^(2)+2x-y=-1) ja
      • Eristä muuttuja "y" yhtälön vasemmalla puolella:
      • ja y = x + 7 (\näyttötyyli y=x+7) .
      • Tässä esimerkissä sinulle annetaan yksi neliöfunktio ja yksi lineaarifunktio. Muista, että jos sinulle annetaan kaksi toisen asteen funktiota, laskelmat ovat samat kuin alla olevat vaiheet.

   3. Yhdistä kunkin yhtälön oikealla puolella olevat lausekkeet. Koska muuttuja "y" on kunkin yhtälön vasemmalla puolella, kunkin yhtälön oikealla puolella olevat lausekkeet voidaan rinnastaa.

      • Esimerkki. y = x 2 + 2 x + 1 (\näyttötyyli y=x^(2)+2x+1) ja y = x + 7 (\näyttötyyli y=x+7)

   4. Siirrä kaikki tuloksena olevan yhtälön ehdot sen vasemmalle puolelle ja kirjoita 0 oikealle puolelle. Voit tehdä tämän suorittamalla matemaattisia perustoimintoja. Tämän avulla voit ratkaista tuloksena olevan yhtälön.

      • Esimerkki. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\näyttötyyli x^(2)+2x+1=x+7)
      • Vähennä "x" yhtälön molemmilta puolilta:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\näyttötyyli x^(2)+x+1=7)
      • Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta:

   5. Ratkaise toisen asteen yhtälö. Siirtämällä kaikki yhtälön ehdot sen vasemmalle puolelle, saat toisen asteen yhtälön. Se voidaan ratkaista kolmella tavalla: käyttämällä erityistä kaavaa ja.

      • Esimerkki. x 2 + x − 6 = 0 (\näyttötyyli x^(2)+x-6=0)
      • Kun lasketaan yhtälö, saadaan kaksi binomia, jotka kerrottuna antavat alkuperäisen yhtälön. Esimerkissämme ensimmäinen jäsen x 2 (\displaystyle x^(2)) voidaan jakaa x*x:ksi. Tee seuraava merkintä: (x)(x) = 0
      • Esimerkissämme leikkauspiste -6 voidaan laskea seuraavasti: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • Esimerkissämme toinen termi on x (tai 1x). Lisää kukin leikkaustekijäpari (-6 esimerkissämme), kunnes saat 1. Esimerkissämme oikea leikkauskertoimien pari ovat -2 ja 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), kuten − 2 + 3 = 1 (\näyttötyyli -2+3=1).
      • Täytä aukot löydetyllä numeroparilla: .

   6. Älä unohda kahden kaavion toista leikkauspistettä. Jos ratkaiset ongelman nopeasti etkä kovin huolellisesti, voit unohtaa toisen leikkauspisteen. Näin löydät kahden leikkauspisteen "x"-koordinaatit:

      • Esimerkki (faktorointi). Jos yhtälössä (x − 2) (x + 3) = 0 (\näyttötyyli (x-2) (x+3)=0) yksi suluissa olevista lausekkeista on yhtä suuri kuin 0, silloin koko yhtälö on yhtä suuri kuin 0. Siksi voimme kirjoittaa sen näin: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) ja x + 3 = 0 (\näyttötyyli x+3=0) → x = − 3 (\näyttötyyli x=-3) (eli löysit kaksi yhtälön juuria).
      • Esimerkki (käytä kaavaa tai täyttä neliötä). Kun käytät jotakin näistä menetelmistä, neliöjuuri tulee näkyviin ratkaisuprosessiin. Esimerkiksi esimerkkimme yhtälö saa muodon x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Muista, että kun otat neliöjuuren, saat kaksi ratkaisua. Meidän tapauksessamme: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25)) = 5*5), ja 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Joten kirjoita kaksi yhtälöä ja löydä kaksi x-arvoa.

   7. Kuvaajat leikkaavat yhdessä pisteessä tai eivät leikkaa ollenkaan. Tällaisia ​​tilanteita esiintyy, kun seuraavat ehdot täyttyvät:

      • Jos kuvaajat leikkaavat yhdessä pisteessä, niin toisen asteen yhtälö jaetaan yhtäläisiksi tekijöiksi, esimerkiksi (x-1) (x-1) = 0, ja 0:n neliöjuuri näkyy kaavassa ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). Tässä tapauksessa yhtälöllä on vain yksi ratkaisu.
      • Jos kaaviot eivät leikkaa ollenkaan, yhtälö ei kerroin ja negatiivisen luvun neliöjuuri ilmestyy kaavaan (esim. − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). Kirjoita tässä tapauksessa vastaukseen, että ratkaisua ei ole.

Kriittiset kohdat ovat pisteet, joissa funktion derivaatta on nolla tai sitä ei ole olemassa. Jos derivaatta on 0, funktio siinä pisteessä ottaa paikallinen minimi tai maksimi. Kuvaajalla tällaisissa pisteissä funktiolla on vaakasuora asymptootti, eli tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa.

Tällaisia ​​pisteitä kutsutaan paikallaan. Jos näet jatkuvassa funktiokaaviossa "kumppan" tai "reiän", muista, että maksimi tai minimi saavutetaan kriittisessä pisteessä. Harkitse seuraavaa tehtävää esimerkkinä.

Esimerkki 1 Etsi funktion y=2x^3-3x^2+5 kriittiset pisteet.
Päätös. Algoritmi kriittisten pisteiden löytämiseksi on seuraava:

Funktiolla on siis kaksi kriittistä pistettä.

Lisäksi, jos sinun on tutkittava funktiota, määritämme derivaatan etumerkin kriittisen pisteen vasemmalla ja oikealla puolella. Jos derivaatta muuttaa etumerkin "-":sta "+":ksi kulkiessaan kriittisen pisteen läpi, funktio ottaa paikallinen minimi. Jos "+" - "-" pitäisi paikallinen maksimi.

Toinen kriittisten pisteiden tyyppi nämä ovat murto- ja irrationaalifunktioiden nimittäjän nollia

Funktiot logaritmeilla ja trigonometrioilla, joita ei ole määritelty näissä pisteissä


Kolmas kriittisten pisteiden tyyppi on paloittain jatkuvia toimintoja ja moduuleja.
Esimerkiksi millä tahansa moduulifunktiolla on minimi- tai maksimiarvo taukopisteessä.

Esimerkiksi moduuli y = | x -5 | pisteessä x = 5 on minimi (kriittinen piste).
Derivaata ei ole siinä, mutta oikealla ja vasemmalla se saa arvon 1 ja -1.

Yritä tunnistaa toimintojen kriittiset kohdat

1)
2)
3)
4)
5)

Jos vastauksena saat arvon
1) x = 4;
2) x=-1;x=1;
3) x = 9;
4) x = Pi*k;
5) x = 1.
sitten tiedät jo kuinka löytää kriittisiä kohtia ja pystyä selviytymään yksinkertaisesta kontrollista tai testeistä.

Tämä on artikkelini toinen osa, joka on omistettu laskennalliselle geometrialle. Uskon, että tämä artikkeli on mielenkiintoisempi kuin edellinen, koska palapelit ovat hieman vaikeampia.

Aloitetaan pisteen suhteellisesta sijainnista suhteessa suoraan, säteeseen ja segmenttiin.

Tehtävä 1

Määritä pisteen ja suoran suhteellinen sijainti: sijaitsee viivan yläpuolella, suoralla, viivan alla.

Päätös
On selvää, että jos suora on annettu sen yhtälöllä ax + + c = 0, niin tässä ei ole mitään ratkaistavaa. Riittää, kun korvataan pisteen koordinaatit suoran yhtälöön ja tarkistetaan, mikä se on. Jos se on suurempi kuin nolla, piste on ylemmässä puolitasossa, jos se on nolla, niin piste on suoralla, ja jos se on pienempi kuin nolla, piste on alemmalla puolitasolla. Mielenkiintoisempi on tapaus, jossa suora on annettu kahden pisteen koordinaatilla, kutsutaan niitä P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2). Tässä tapauksessa voidaan turvallisesti löytää kertoimet a, b ja c ja soveltaa edellistä päättelyä. Mutta meidän on ensin mietittävä, tarvitsemmeko sitä? Ei tietenkään! Kuten sanoin, vino tuote on vain laskennallisen geometrian helmi. Sovelletaan sitä. Tiedetään, että kahden vektorin vinotulo on positiivinen, jos kierto ensimmäisestä vektorista toiseen on vastapäivään, yhtä suuri kuin nolla, jos vektorit ovat kollineaarisia, ja negatiivinen, jos kierto tapahtuu myötäpäivään. Siksi meille riittää, että laskemme vektorien P 1 P 2 ja P 1 M vinotulon ja teemme johtopäätöksen sen etumerkin perusteella.

Tehtävä #2

Selvitä, kuuluuko piste säteeseen.

Päätös
Muistetaan, mitä säde on: säde on suora viiva, jonka toiselta puolelta rajoittaa piste ja toiselta puolelta ääretön. Toisin sanoen säteen antaa jokin lähtöpiste ja mikä tahansa siinä oleva piste. Olkoon piste P 1 (x 1 , y 1) säteen alku ja P 2 (x 2 , y 2) mikä tahansa säteeseen kuuluva piste. On selvää, että jos piste kuuluu säteeseen, niin se kuuluu myös näiden pisteiden kautta kulkevaan suoraan, mutta ei päinvastoin. Siksi linjaan kuuluminen on välttämätön, mutta ei riittävä edellytys säteeseen kuulumiselle. Siksi emme voi välttää vinotuotteen tarkistamista. Riittävän ehdon saavuttamiseksi on myös tarpeen laskea samojen vektorien skalaaritulo. Jos se on pienempi kuin nolla, piste ei kuulu säteeseen; jos se ei ole negatiivinen, piste sijaitsee säteellä. Miksi niin? Katsotaanpa piirrosta.

Joten jotta piste M(x, y) olisi säteellä, jonka alkupiste on P 1 (x 1 , y 1), jossa P 2 (x 2 , y 2) on säteellä, on välttämätöntä ja riittää täyttämään kaksi ehtoa:

2. (P 1 P 2 , P 1 M) ≥ 0 on skalaaritulo (piste sijaitsee säteellä)

Tehtävä nro 3

Selvitä, kuuluuko piste segmenttiin.

Päätös
Olkoot pisteet P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2) annetun janan päät. Jälleen välttämätön ehto pisteen kuulumiselle segmenttiin on sen kuuluminen suoralle viivalle, joka kulkee P 1 , P 2 :n kautta. Seuraavaksi meidän on määritettävä, onko piste pisteiden P 1 ja P 2 välissä, tässä auttaa meitä vain tällä kertaa muiden vektorien skalaaritulo: (MP 1 , MP 2). Jos se on pienempi tai yhtä suuri kuin nolla, piste sijaitsee janalla, muuten se on janan ulkopuolella. Miksi niin? Katsotaanpa kuvaa.

Joten jotta piste M(x, y) olisi janolla, jonka päät ovat P 1 (x 1 , y 1), P 2 (x 2, y 2), on välttämätöntä ja riittävää täyttää ehdot:
1. \u003d 0 - vinotulo (piste on viivalla)
2. (MP 1 ,MP 2) ≤ 0 – pistetulo (piste on P 1:n ja P 2:n välissä)

Tehtävä #4

Kahden pisteen suhteellinen sijainti suhteessa suoraan.

Päätös
Tässä tehtävässä on tarpeen määrittää kaksi pistettä suoran yhdeltä tai vastakkailta puolilta.

Jos pisteet ovat suoran vastakkaisilla puolilla, vinoilla tuloilla on erilaiset merkit, mikä tarkoittaa, että niiden tulo on negatiivinen. Jos pisteet sijaitsevat samalla puolella suoran suhteen, vinotulojen merkit ovat samat, mikä tarkoittaa, että niiden tulo on positiivinen.
Niin:
1. * < 0 – точки лежат по разные стороны.
2. * > 0 – pisteet ovat samalla puolella.
3. * = 0 - yksi (tai kaksi) pisteistä on suoralla.

Muuten, suoran ja janan leikkauspisteen olemassaolon määrittämisongelma ratkaistaan ​​täsmälleen samalla tavalla. Tarkemmin sanottuna tämä on sama ongelma: jana ja suora leikkaavat, kun janan päät ovat eri puolilla suhteessa suoraan tai kun janan päät ovat suoralla, eli se on välttämätöntä vaatia * ≤ 0.

Tehtävä nro 5

Selvitä, leikkaavatko kaksi suoraa.

Päätös
Oletetaan, että viivat eivät ole samat. On selvää, että suorat eivät leikkaa vain, jos ne ovat yhdensuuntaisia. Siksi, kun olemme löytäneet yhdensuuntaisuuden ehdon, voimme määrittää, leikkaavatko suorat.
Oletetaan, että suorat on annettu yhtälöillä a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 ja a 2 x + b 2 y + c 2 = 0. Tällöin yhdensuuntaisten suorien ehto on, että a 1 b 2 - a 2 b 1 = 0.
Jos suorat annetaan pisteillä P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2), M 1 (x 3, y 3), M 2 (x 4, y 4), niin ehto sillä niiden yhdensuuntaisuus on vektorien P 1 P 2 ja M 1 M 2 vinotulon tarkistamisessa: jos se on nolla, niin suorat ovat yhdensuuntaisia.

Yleensä kun suorat on annettu yhtälöillä, tarkistetaan myös suuntavektoreiksi kutsuttujen vektorien (-b 1 , a 1), (-b 2 , a 2) vinotulo.

Tehtävä nro 6

Selvitä, leikkaavatko kaksi janaa.

Päätös
Tämä on tehtävä, josta todella pidän. Segmentit leikkaavat, kun kunkin segmentin päät ovat toisen segmentin vastakkaisilla puolilla. Katsotaanpa kuvaa:

Joten meidän on tarkistettava, että kunkin segmentin päät ovat toisen segmentin suhteellisten päiden vastakkaisilla puolilla. Käytämme vektoreiden vinotuloa. Katso ensimmäinen kuva: > 0,< 0 => * < 0. Аналогично
* < 0. Вы наверно думаете, почему не меньше либо равно. А потому, что возможен следующий случай, при котором векторное произведение как раз и равно нулю, но отрезки не пересекаются:

Siksi meidän on tehtävä vielä yksi tarkistus, nimittäin: kuuluuko kunkin segmentin ainakin yksi pää toiseen (kuuluu janan pisteeseen). Olemme jo ratkaisseet tämän ongelman.

Joten, jotta segmenteillä olisi yhteisiä pisteitä, on välttämätöntä ja riittävää:
1. Segmenttien päät sijaitsevat eri puolilla suhteessa toiseen segmenttiin.
2. Ainakin yksi segmentin päistä kuuluu toiseen segmenttiin.

Tehtävä #7

Etäisyys pisteestä viivaan.

Päätös
Olkoon suora kahdella pisteellä P 1 (x 1, y 1) ja P 2 (x 2, y 2).

Edellisessä artikkelissa puhuimme siitä, että geometrisesti vino tulo on suuntaviivan suuntautunut alue, joten S P 1 P 2 M = 0,5*. Toisaalta jokainen oppilas tietää kaavan kolmion alueen löytämiseksi: puolet kantasta kertaa korkeus.
S P 1 P 2 M \u003d 0,5 * h * P 1 P 2.
Kun nämä alueet rinnastetaan, löydämme

Modulo otettiin, koska ensimmäinen alue on suunnattu.

Jos suora on annettu yhtälöllä ax + + c = 0, niin pisteen M kautta kohtisuorassa annettua suoraa vastaan ​​kulkevan suoran yhtälö on: a (y - y 0) - b (x - x 0) = 0. Nyt voit helposti ratkaista järjestelmän saaduista yhtälöistä, löytää niiden leikkauspisteen ja laskea etäisyyden aloituspisteestä löydettyyn: se on täsmälleen ρ = (ax 0 + x 0 + c) / √ (a 2 + b 2).

Tehtävä nro 8

Etäisyys pisteestä säteeseen.

Päätös
Tämä ongelma eroaa edellisestä siinä, että tässä tapauksessa se voi tapahtua niin, että pisteen kohtisuora ei putoa säteelle, vaan putoaa sen jatkoon.

Jos kohtisuora ei putoa säteeseen, on tarpeen löytää etäisyys pisteestä säteen alkuun - tämä on vastaus ongelmaan.

Kuinka määrittää, putoaako kohtisuora säteelle vai ei? Jos kohtisuora ei osu säteelle, niin kulma MP 1 P 2 on tylppä, muuten se on terävä (suora). Siksi vektorien skalaaritulon merkillä voimme määrittää, putoaako kohtisuora säteeseen vai ei:
1. (P 1 M, P 1 P 2)< 0 перпендикуляр не попадает на луч
2. (P 1 M, P 1 P 2) ≥ 0 kohtisuora osuu säteeseen

Tehtävä nro 9

Etäisyys pisteestä viivaan.

Päätös
Väittelemme samalla tavalla kuin edellisessä ongelmassa. Jos kohtisuora ei osu janalle, niin vastaus on etäisyys annetusta pisteestä janan päihin.

Sen määrittämiseksi, putoaako kohtisuora janalle, on edellisen tehtävän mukaisesti käytettävä vektorien skalaarituloa. Jos kohtisuora ei osu janan päälle, joko kulma MP 1 P 2 tai kulma MP 2 P 1 on tylpä. Siksi skalaaritulojen merkillä voimme määrittää, osuuko kohtisuora segmenttiin vai ei:
Jos (P 1 M, P 1 P 2)< 0 или (P 2 M, P 2 P 1) < 0 то перпендикуляр не падает на отрезок.

Tehtävä nro 10

Määritä pisteiden lukumäärä suoralla ja ympyrällä.

Päätös
Suoralla ja ympyrällä voi olla nolla, yksi tai kaksi leikkauspistettä. Katsotaanpa kuvia:

Täällä piirustuksista kaikki on selvää. Meillä on kaksi leikkauspistettä, jos etäisyys ympyrän keskipisteestä suoraan on pienempi kuin ympyrän säde. Yksi kosketuspiste, jos etäisyys keskustasta viivaan on yhtä suuri kuin säde. Ja lopuksi, ei leikkauspistettä, jos etäisyys ympyrän keskipisteestä suoraan on suurempi kuin ympyrän säde. Koska olemme jo ratkaisseet ongelman pisteen ja suoran välisen etäisyyden löytämisestä, tämä ongelma on myös ratkaistu.

Tehtävä nro 11

Kahden ympyrän keskinäinen järjestely.

Päätös
Mahdolliset ympyröiden järjestelytapaukset: leikkaa, kosketa, älä leikkaa.

Harkitse tilannetta, jossa ympyrät leikkaavat ja etsi niiden leikkausalue. Rakastan tätä ongelmaa erittäin paljon, koska käytin melko paljon aikaa sen ratkaisemiseen (se oli kauan sitten - ensimmäisenä vuonna).

Muistutetaan nyt, mitä sektori ja segmentti ovat.

Ympyröiden leikkauspiste koostuu kahdesta segmentistä O 1 AB ja O 2 AB.

Näyttäisi siltä, ​​että näiden segmenttien pinta-alat on laskettava yhteen ja se on siinä. Kaikki ei kuitenkaan ole niin yksinkertaista. On myös tarpeen määrittää, ovatko nämä kaavat aina totta. Osoittautuu, että ei!

Tarkastellaan tilannetta, jossa toisen ympyrän O 2 keskipiste osuu yhteen pisteen C kanssa. Tässä tapauksessa d 2 = 0 ja α:n arvoksi otetaan α = π. Tässä tapauksessa meillä on puoliympyrä, jonka pinta-ala on 1/2 πR 2 2 .

Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa toisen ympyrän O 2 keskipiste on pisteiden O 1 ja C välissä. Tässä tapauksessa saadaan negatiivinen arvo d 2 . Negatiivisen d2-arvon käyttäminen johtaa negatiiviseen arvoon α. Tässä tapauksessa oikean vastauksen saamiseksi α:aan on lisättävä 2π.

Johtopäätös

Se siitä. Emme ole käsitelleet kaikkia, mutta yleisimpiä laskennallisen geometrian ongelmia, jotka koskevat objektien suhteellista sijaintia.

Toivottavasti pidit siitä.

Toiminnon alue, laske sen derivaatta, löydä funktion derivaatan alue, etsi pisteitä muunnos derivaatan nollaksi, todista, että löydetyt pisteet kuuluvat alkuperäisen funktion määritelmäalueeseen.

Esimerkki 1 Tunnista kriittinen pisteitä funktiot y = (x - 3)² (x-2).

RatkaisuEtsi funktion toimialue, tässä tapauksessa ei ole rajoituksia: x ∈ (-∞; +∞); Laske derivaatta y’. Kahden tulon differentiaatiosääntöjen mukaan on: y' = ((x - 3)²)' (x - 2) + (x - 3)² (x - 2)' = 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3)² 1. Sen jälkeen saadaan toisen asteen yhtälö: y ' \u003d 3 x² - 16 x + 21.

Etsi funktion derivaatan alue: x ∈ (-∞; +∞) Ratkaise yhtälö 3 x² - 16 x + 21 = 0 löytääksesi, jolle se häviää: 3 x² - 16 x + 21 = 0 .

D \u003d 256 - 252 \u003d 4x1 \u003d (16 + 2) / 6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Joten derivaatta katoaa x-arvoille, jotka ovat yhtä suuria kuin 3 ja 7/3.

Selvitä, kuuluvatko löydetyt pisteitä alkuperäisen funktion alueet. Koska x (-∞; +∞), niin nämä molemmat pisteitä ovat kriittisiä.

Esimerkki 2 Tunnista kriittinen pisteitä funktiot y = x² - 2/x.

Ratkaisu Toimintoalue: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), koska x on nimittäjässä Laske derivaatta y’ = 2 x + 2/x².

Funktion derivaatan alue on sama kuin alkuperäisen: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Ratkaise yhtälö 2 x + 2/x² = 0:2 x = -2 /x² → x = -yksi.

Joten derivaatta katoaa kohdassa x = -1. Välttämätön mutta riittämätön kriittisyyden ehto täyttyy. Koska x=-1 osuu väliin (-∞; 0) ∪ (0; +∞), tämä piste on kriittinen.

Lähteet:

• Kriittinen myyntimäärä, kpl Kynnys

Monet naiset kärsivät premenstruaalisesta oireyhtymästä, joka ei ilmene vain tuskallisina tunteina, vaan myös lisääntyneinä ruokahaluina. Tämän seurauksena kriittiset päivät voivat hidastaa painonpudotusprosessia merkittävästi.

Lisääntyneen ruokahalun syyt kriittisten päivien aikana

Syy ruokahalun lisääntymiseen kriittisten päivien aikana on muutos naisen kehon yleisessä hormonaalisessa taustassa. Muutama päivä ennen kuukautisten alkamista progesteronihormonin taso nousee, keho virittyy mahdollisuuteen ja yrittää tehdä lisäenergiavarastoja kehon rasvan muodossa, vaikka nainen istuisi. Näin ollen painonmuutos kriittisinä päivinä on normaali ilmiö.

Kuinka syödä kuukautisten aikana

Yritä olla syömättä makeisia, makeisia ja muita korkeakalorisia ruokia, jotka sisältävät "pikaa" näinä päivinä. Niiden ylimäärä laskeutuu välittömästi rasvaan. Monet naiset haluavat tänä aikana todella syödä suklaata, tässä tapauksessa voit ostaa tummaa suklaata ja hemmotella itseäsi muutamalla viipaleella, mutta ei enempää. Kuukautisten aikana ei pidä käyttää alkoholijuomia, marinadeja, suolakurkkua, savustettua lihaa, siemeniä ja pähkinöitä. Suolakurkkua ja savustettua lihaa tulisi yleensä rajoittaa ruokavaliossa 6-8 päivää ennen kuukautisten alkamista, koska tällaiset tuotteet lisäävät kehon vesivarastoja, ja tälle ajanjaksolle on ominaista nesteen kertymisen lisääntyminen. Vähentääksesi suolan määrää ruokavaliossa, lisää sitä minimaalisena määränä valmiisiin aterioihin.

On suositeltavaa käyttää vähärasvaisia ​​maitotuotteita, kasviperäisiä ruokia, viljoja. Palkokasvit, keitetyt perunat, riisi ovat hyödyllisiä - tuotteet, jotka sisältävät "hitaita" hiilihydraatteja. Meren antimet, maksa, kala, naudanliha, siipikarja, munat, palkokasvit, kuivatut hedelmät auttavat täydentämään raudan menetystä. Vehnäleseistä on hyötyä. Turvotus on luonnollinen reaktio kuukautisten aikana. Kevyet diureettiset yrtit auttavat korjaamaan tilaa: basilika, tilli, persilja, selleri. Niitä voidaan käyttää mausteena. Kierron toisella puoliskolla on suositeltavaa käyttää proteiinituotteita (vähärasvainen liha ja kala, maitotuotteet), ja hiilihydraattien määrää ruokavaliossa tulisi vähentää mahdollisimman paljon.

Kriittisen volyymin taloudellinen käsite myynti vastaa yrityksen asemaa markkinoilla, joilla tavaroiden myynnistä saatavat tulot ovat minimaaliset. Tätä tilannetta kutsutaan kannattavuuspisteeksi, jolloin tuotteiden kysyntä laskee ja voitot tuskin kattavat kustannuksia. Kriittisen tilavuuden määrittäminen myynti käyttää useita menetelmiä.

Ohje

Työkierto ei rajoitu sen toimintaan - tuotantoon tai palveluihin. Tämä on tietyn rakenteen monimutkainen työ, mukaan lukien avainhenkilöiden, johtohenkilöiden, johtajien jne. sekä ekonomistien työ, jonka tehtävänä on yrityksen taloudellinen analyysi.

Tämän analyysin tarkoituksena on laskea joitain määriä, jotka tavalla tai toisella vaikuttavat lopullisen voiton suuruuteen. Nämä ovat erilaisia ​​tuotanto- ja myyntimääriä, täydet ja keskimääräiset, kysyntäindikaattorit jne. Päätehtävänä on tunnistaa sellainen tuotantomäärä, jolla saadaan vakaa suhde kustannusten ja voittojen välille.

Minimiäänenvoimakkuus myynti, jossa tulot kattavat kustannukset täysin, mutta eivät lisää yhtiön omaa pääomaa, kutsutaan kriittiseksi volyymiksi myynti. Tämän indikaattorin menetelmän laskemiseen on kolme menetelmää: yhtälömenetelmä, rajatulo ja grafiikka.

Kriittisen tilavuuden määrittäminen myynti ensimmäisen menetelmän mukaisesti tee yhtälö muodossa: Vp - Zper - Zpos \u003d Pp \u003d 0, missä: Vp - tulot myynti ja Zper ja Zpos - muuttuvat ja kiinteät kustannukset, Pp - voitto myynti ja.

Toisen menetelmän mukaan ensimmäinen termi, tulot myynti, edustavat tavarayksiköstä saadun rajatulon tuotteena tilavuuden mukaan myynti Sama koskee muuttuvia kustannuksia. Kiinteät kustannukset koskevat koko tavaraerää, joten jätä tämä komponentti yhteiseksi: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

Ilmaise N:n arvo tästä yhtälöstä, niin saat kriittisen tilavuuden myynti:N = Zpos / (MD - Zper1), missä Zper1 - muuttuvat kustannukset tavarayksikköä kohti.

Graafinen menetelmä sisältää rakentamisen. Piirrä koordinaattitasolle kaksi viivaa: tulofunktio alkaen myynti vähennettynä sekä kustannus- että tuottofunktio. Piirrä x-akselille tuotannon määrä ja y-akselille vastaavasta tavaramäärästä saadut tulot rahayksiköissä ilmaistuna. Näiden viivojen leikkauspiste vastaa kriittistä tilavuutta myynti, kannattavuustaso.

Lähteet:

• kuinka tunnistaa kriittinen työ

Kriittinen ajattelu on joukko arvioita, joiden perusteella tehdään tiettyjä johtopäätöksiä ja arvioidaan kritiikin kohteita. Se on erityisen tyypillistä kaikkien tieteenalojen tutkijoille ja tiedemiehille. Kriittinen ajattelu on tavallista ajattelua korkeammalla tasolla.

Kokemuksen arvo kriittisen ajattelun muodostumisessa

On vaikea analysoida ja tehdä johtopäätöksiä siitä, mitä ei ymmärrä hyvin. Siksi, jotta oppii ajattelemaan kriittisesti, on välttämätöntä tutkia esineitä kaikissa mahdollisissa yhteyksissä ja suhteissa muihin ilmiöihin. Ja myös erittäin tärkeää tässä tapauksessa on tiedon hallussapito tällaisista kohteista, kyky rakentaa loogisia tuomioketjuja ja tehdä järkeviä johtopäätöksiä.

Esimerkiksi taideteoksen arvon voi arvioida vain tuntemalla melko paljon muita kirjallisen toiminnan hedelmiä. Samalla ei ole paha olla ihmisen kehityshistorian, kirjallisuuden muodostumisen ja kirjallisuuskritiikin asiantuntija. Historiallisesta kontekstista erillään teos voi menettää merkityksensä. Jotta taideteoksen arviointi olisi riittävän kattava ja perusteltu, on hyödynnettävä myös kirjallista tietämystäsi, joka sisältää kirjallisen tekstin rakentamisen säännöt yksittäisten genrejen sisällä, erilaisten kirjallisten välineiden järjestelmän, luokittelun ja analyysin. kirjallisuuden olemassa olevista tyyleistä ja suuntauksista jne. Samalla on tärkeää tutkia myös juonen sisäistä logiikkaa, toimintojen järjestystä, hahmojen sijoittelua ja vuorovaikutusta taideteoksessa.

Kriittisen ajattelun piirteet

Muita kriittisen ajattelun ominaisuuksia ovat:
- tieto tutkittavasta kohteesta on vain lähtökohta myöhemmälle aivotoiminnalle, joka liittyy loogisten ketjujen rakentamiseen;
- johdonmukaisesti rakennettu ja terveeseen järkeen perustuva päättely johtaa todellisen ja virheellisen tiedon tunnistamiseen tutkittavasta kohteesta;
- kriittinen ajattelu liittyy aina tietystä kohteesta saatavilla olevan tiedon arviointiin ja siihen liittyviin johtopäätöksiin, kun taas arviointi puolestaan ​​liittyy olemassa oleviin taitoihin.

Toisin kuin tavallinen ajattelu, kriittinen ajattelu ei ole sokean uskon alaista. Kriittinen ajattelu mahdollistaa kokonaisen arvostelujärjestelmän käyttämisen kritiikin kohteen ymmärtämiseksi sen olemuksen ymmärtämiseksi, todellisen tiedon paljastamiseksi ja väärien kumoamiseksi. Se perustuu logiikkaan, tutkimuksen syvyyteen ja täydellisyyteen, arvioiden todenmukaisuuteen, riittävyyteen ja johdonmukaisuuteen. Samalla ilmeiset ja todistetut väitteet hyväksytään oletuksiksi, eivätkä ne vaadi toistuvaa näyttöä ja arviointia.