Jatketaan keskustelua pienimmästä yhteisestä kerrannaisesta, jonka aloitimme LCM - Pienin yhteinen monikerta, Määritelmä, Esimerkit -osiossa. Tässä aiheessa tarkastelemme tapoja löytää LCM kolmelle tai useammalle numerolle, analysoimme kysymystä negatiivisen luvun LCM:n löytämisestä.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pienimmän yhteiskerran (LCM) laskenta gcd:n kautta
Olemme jo määrittäneet suhteen pienimmän yhteiskerran ja suurimman yhteisen jakajan välille. Nyt opitaan määrittelemään LCM GCD:n kautta. Ensin selvitetään, kuinka tämä tehdään positiivisille luvuille.
Määritelmä 1
Voit löytää pienimmän yhteisen kerrannaisen suurimman yhteisen jakajan kautta käyttämällä kaavaa LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .
Esimerkki 1
On tarpeen löytää numeroiden 126 ja 70 LCM.
Päätös
Otetaan a = 126 , b = 70 . Korvaa arvot kaavassa, jolla lasketaan pienin yhteinen kerrannainen suurimman yhteisen jakajan kautta LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Löytää lukujen 70 ja 126 GCD:n. Tätä varten tarvitsemme Euclid-algoritmin: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , joten gcd (126 , 70) = 14 .
Lasketaan LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Vastaus: LCM (126, 70) = 630.
Esimerkki 2
Etsi numeroiden 68 ja 34 nok.
Päätös
GCD on tässä tapauksessa helppo löytää, koska 68 on jaollinen luvulla 34. Laske pienin yhteinen kerrannainen käyttämällä kaavaa: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Vastaus: LCM(68; 34) = 68.
Tässä esimerkissä käytimme sääntöä positiivisten kokonaislukujen a ja b pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi: jos ensimmäinen luku on jaollinen toisella, niin näiden lukujen LCM on yhtä suuri kuin ensimmäinen luku.
LCM:n löytäminen laskemalla luvut alkutekijöiksi
Tarkastellaan nyt tapaa löytää LCM, joka perustuu lukujen hajottamiseen alkutekijöiksi.
Määritelmä 2
Löytääksemme pienimmän yhteisen kerrannaisen meidän on suoritettava useita yksinkertaisia vaiheita:
- muodostamme kaikkien lukujen alkutekijöiden tulon, joille meidän on löydettävä LCM;
- jätämme pois kaikki päätekijät heidän hankituista tuotteistaan;
- yhteisten alkutekijöiden eliminoinnin jälkeen saatu tulo on yhtä suuri kuin annettujen lukujen LCM.
Tämä tapa löytää pienin yhteinen kerrannainen perustuu yhtälöön LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Jos katsot kaavaa, se tulee selväksi: lukujen a ja b tulo on yhtä suuri kuin kaikkien näiden kahden luvun laajenemiseen osallistuvien tekijöiden tulo. Tässä tapauksessa kahden luvun GCD on yhtä suuri kuin kaikkien näiden kahden luvun kertoimissa samanaikaisesti esiintyvien alkutekijöiden tulo.
Esimerkki 3
Meillä on kaksi numeroa 75 ja 210. Voimme erottaa ne seuraavasti: 75 = 3 5 5 ja 210 = 2 3 5 7. Jos teet kahden alkuperäisen luvun kaikkien tekijöiden tulon, saat: 2 3 3 5 5 5 7.
Jos jätetään pois sekä luvuille 3 että 5 yhteiset tekijät, saadaan seuraavan muotoinen tulo: 2 3 5 5 7 = 1050. Tämä tuote on LCM numeroille 75 ja 210.
Esimerkki 4
Etsi numeroiden LCM 441 ja 700 , jakaa molemmat luvut alkutekijöiksi.
Päätös
Etsitään kaikki ehdossa annettujen lukujen alkutekijät:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Saamme kaksi lukuketjua: 441 = 3 3 7 7 ja 700 = 2 2 5 5 7 .
Kaikkien näiden lukujen laajentamiseen osallistuneiden tekijöiden tulo näyttää tältä: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Etsitään yhteiset tekijät. Tämä luku on 7. Jätämme sen pois yleistuotteesta: 2 2 3 3 5 5 7 7. Osoittautuu, että NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Vastaus: LCM (441 , 700) = 44 100 .
Esitetään vielä yksi muotoilu menetelmästä LCM:n löytämiseksi hajottamalla luvut alkutekijöiksi.
Määritelmä 3
Aiemmin poistimme molemmille luvuille yhteisten tekijöiden kokonaismäärästä. Nyt teemme sen toisin:
- Jaetaan molemmat luvut alkutekijöiksi:
- lisää ensimmäisen luvun alkutekijöiden tuloon toisen luvun puuttuvat tekijät;
- saamme tuotteen, joka on haluttu kahden luvun LCM.
Esimerkki 5
Palataanpa numeroihin 75 ja 210 , joille etsimme jo LCM:ää yhdessä edellisistä esimerkeistä. Jaetaan ne yksinkertaisiin tekijöihin: 75 = 3 5 5 ja 210 = 2 3 5 7. Kertoimien 3, 5 ja tuloon 5 numero 75 lisää puuttuvat tekijät 2 ja 7 numerot 210. Saamme: 2 3 5 5 7 . Tämä on numeroiden 75 ja 210 LCM.
Esimerkki 6
On tarpeen laskea numeroiden 84 ja 648 LCM.
Päätös
Jaetaan ehdon luvut alkutekijöiksi: 84 = 2 2 3 7 ja 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Lisää kertoimien tuloon 2 , 2 , 3 ja 7
numerot 84 puuttuvat tekijät 2 , 3 , 3 ja
3
numerot 648. Saamme tuotteen 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Tämä on lukujen 84 ja 648 pienin yhteinen kerrannainen.
Vastaus: LCM (84 648) = 4536.
Kolmen tai useamman luvun LCM:n löytäminen
Riippumatta siitä, kuinka monen luvun kanssa olemme tekemisissä, toimintamme algoritmi on aina sama: löydämme johdonmukaisesti kahden luvun LCM:n. Tälle tapaukselle on olemassa teoreema.
Lause 1
Oletetaan, että meillä on kokonaislukuja a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k näistä luvuista löytyy peräkkäislaskennassa m 2 = LCM (a 1, a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , … , m k = LCM (m k − 1, a k) .
Katsotaan nyt, kuinka lausetta voidaan soveltaa tiettyihin ongelmiin.
Esimerkki 7
Sinun on laskettava pienin yhteinen kerrannainen neljästä luvusta 140 , 9 , 54 ja 250 .
Päätös
Esitellään merkintä: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.
Aloitetaan laskemalla m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Lasketaan euklidisen algoritmin avulla lukujen 140 ja 9 GCD: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Saamme: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Siksi m 2 = 1 260 .
Lasketaan nyt saman algoritmin mukaan m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Laskelmien aikana saadaan m 3 = 3 780.
Meidän on laskettava m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Toimimme saman algoritmin mukaan. Saamme m 4 \u003d 94 500.
Esimerkkiehdon neljän luvun LCM on 94500 .
Vastaus: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Kuten näette, laskelmat ovat yksinkertaisia, mutta melko työläitä. Ajan säästämiseksi voit siirtyä toiseen suuntaan.
Määritelmä 4
Tarjoamme sinulle seuraavan toiminta-algoritmin:
- hajottaa kaikki luvut alkutekijöiksi;
- ensimmäisen luvun tekijöiden tuloon lisätään puuttuvat tekijät toisen luvun tulosta;
- lisää kolmannen luvun puuttuvat tekijät edellisessä vaiheessa saatuun tuloon jne.;
- tuloksena oleva tulo on ehdon kaikkien lukujen pienin yhteinen kerrannainen.
Esimerkki 8
On tarpeen löytää viiden luvun 84, 6, 48, 7, 143 LCM.
Päätös
Jaetaan kaikki viisi lukua alkutekijöiksi: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Alkulukuja, joka on luku 7, ei voida ottaa huomioon alkutekijöissä. Tällaiset luvut osuvat yhteen niiden hajoamisen kanssa alkutekijöiksi.
Otetaan nyt luvun 84 alkutekijöiden 2, 2, 3 ja 7 tulo ja lisätään niihin toisen luvun puuttuvat tekijät. Olemme jakaneet luvun 6 2:ksi ja 3:ksi. Nämä tekijät ovat jo ensimmäisen luvun tulossa. Siksi jätämme ne pois.
Jatkamme puuttuvien kertoimien lisäämistä. Siirrymme numeroon 48, jonka alkutekijöiden tulosta otamme 2 ja 2. Sitten lisätään yksinkertainen kerroin 7 neljännestä numerosta ja kertoimet 11 ja 13 viidennestä. Saamme: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Tämä on viiden alkuperäisen luvun pienin yhteinen kerrannainen.
Vastaus: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Vähiten yhteisen negatiivisten lukujen löytäminen
Negatiivisten lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi nämä luvut on ensin korvattava luvuilla, joilla on vastakkainen etumerkki, ja sitten laskelmat tulee suorittaa yllä olevien algoritmien mukaisesti.
Esimerkki 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) ja LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Tällaiset toimet ovat sallittuja, koska jos se hyväksytään a ja − a- vastakkaiset numerot
sitten monikertojen joukko a osuu yhteen luvun kerrannaisten joukon kanssa − a.
Esimerkki 10
On tarpeen laskea negatiivisten lukujen LCM − 145 ja − 45 .
Päätös
Vaihdetaan numeroita − 145 ja − 45 vastakkaisiin numeroihinsa 145 ja 45 . Laskemme nyt algoritmia käyttämällä LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305, kun olemme aiemmin määrittäneet GCD:n Euclid-algoritmilla.
Saamme, että lukujen LCM − 145 ja − 45 on yhtä suuri 1 305 .
Vastaus: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Harkitse kolmea tapaa löytää pienin yhteinen monikerta.
Löytö Factoringin avulla
Ensimmäinen tapa on löytää pienin yhteinen kerrannainen laskemalla annetut luvut alkutekijöiksi.
Oletetaan, että meidän on löydettävä lukujen LCM: 99, 30 ja 28. Tätä varten jaamme nämä luvut alkutekijöiksi:
Jotta haluttu luku olisi jaollinen luvuilla 99, 30 ja 28, on välttämätöntä ja riittävää, että se sisältää kaikki näiden jakajien alkutekijät. Tätä varten meidän on otettava kaikki näiden lukujen alkutekijät suurimpaan esiintyvään potenssiin ja kerrottava ne yhteen:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Joten LCM (99, 30, 28) = 13 860. Mikään muu luku, joka on pienempi kuin 13 860, ei ole tasan jaollinen luvulla 99, 30 tai 28.
Löytääksesi annettujen lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen, sinun on laskettava ne alkutekijöihin, otettava sitten jokainen alkutekijä suurimmalla esiintyvällä eksponentilla ja kerrottava nämä tekijät yhteen.
Koska koalkiluvuilla ei ole yhteisiä alkutekijöitä, niiden pienin yhteinen kerrannainen on yhtä suuri kuin näiden lukujen tulo. Esimerkiksi kolme numeroa: 20, 49 ja 33 ovat koprime. Niin
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
Sama tulee tehdä, kun etsitään eri alkulukujen pienintä yhteistä kerrannaista. Esimerkiksi LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Haku valinnalla
Toinen tapa on löytää pienin yhteinen kerrannainen sovittamalla.
Esimerkki 1. Kun suurin annetuista luvuista on tasan jaollinen muilla annetuilla luvuilla, niin näiden lukujen LCM on yhtä suuri kuin niistä suurempi. Esimerkiksi annettu neljä numeroa: 60, 30, 10 ja 6. Jokainen niistä on jaollinen 60:llä, joten:
NOC(60; 30; 10; 6) = 60
Muissa tapauksissa pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi käytetään seuraavaa menettelyä:
- Määritä suurin luku annetuista luvuista.
- Seuraavaksi etsitään luvut, jotka ovat suurimman luvun kerrannaisia, kerrotaan se luonnollisilla luvuilla nousevassa järjestyksessä ja tarkistetaan, ovatko jäljelle jääneet annetut luvut jaettavissa saadulla tulolla.
Esimerkki 2. Annettu kolme numeroa 24, 3 ja 18. Määritä niistä suurin - tämä on luku 24. Etsi seuraavaksi luvun 24 kerrannaiset ja tarkista, onko jokainen niistä jaollinen luvulla 18 ja 3:lla:
24 1 = 24 on jaollinen 3:lla, mutta ei jaollinen 18:lla.
24 2 = 48 - jaollinen 3:lla, mutta ei jaollinen 18:lla.
24 3 \u003d 72 - jaollinen 3:lla ja 18:lla.
Joten LCM(24; 3; 18) = 72.
Etsiminen peräkkäisellä etsinnällä LCM
Kolmas tapa on löytää pienin yhteinen kerrannainen etsimällä peräkkäin LCM.
Kahden annetun luvun LCM on yhtä suuri kuin näiden lukujen tulo jaettuna niiden suurimmalla yhteisellä jakajalla.
Esimerkki 1. Etsi kahden annetun luvun LCM:t: 12 ja 8. Määritä niiden suurin yhteinen jakaja: GCD (12, 8) = 4. Kerro nämä luvut:
Jaamme tuotteen heidän GCD:hen:
Joten LCM(12; 8) = 24.
Kolmen tai useamman luvun LCM:n löytämiseksi käytetään seuraavaa menettelyä:
- Ensin löydetään minkä tahansa kahden annetuista numeroista LCM.
- Sitten löydetyn pienimmän yhteiskerran ja kolmannen annetun luvun LCM.
- Sitten tuloksena saadun pienimmän yhteiskerran ja neljännen luvun LCM ja niin edelleen.
- Siten LCM-haku jatkuu niin kauan kuin numeroita on.
Esimerkki 2. Etsitään kolmen annetun luvun LCM:t: 12, 8 ja 9. Olemme jo löytäneet edellisessä esimerkissä numeroiden 12 ja 8 LCM:n (tämä on luku 24). Vielä on löydettävä luvun 24 pienin yhteinen kerrannainen ja kolmas annettu luku - 9. Määritä niiden suurin yhteinen jakaja: gcd (24, 9) = 3. Kerro LCM luvulla 9:
Jaamme tuotteen heidän GCD:hen:
Joten LCM(12; 8; 9) = 72.
Kun summataan ja vähennetään algebrallisia murtolukuja, joilla on eri nimittäjä, murtoluvut johtavat ensin yhteinen nimittäjä. Tämä tarkoittaa, että he löytävät sellaisen yksittäisen nimittäjän, joka jaetaan kunkin lausekkeen osana olevan algebrallisen murtoluvun alkuperäisellä nimittäjällä.
Kuten tiedät, jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan (tai jaetaan) samalla luvulla kuin nollalla, murto-osan arvo ei muutu. Tämä on murto-osan pääominaisuus. Siksi, kun murtoluvut johtavat yhteiseen nimittäjään, itse asiassa kunkin murtoluvun alkuperäinen nimittäjä kerrotaan puuttuvalla tekijällä yhteiseksi nimittäjäksi. Tässä tapauksessa on tarpeen kertoa tällä kertoimella ja osion osoittajalla (se on erilainen jokaiselle murtoluvulle).
Esimerkiksi seuraava algebrallisten murtolukujen summa:
On tarpeen yksinkertaistaa lauseketta, eli lisätä kaksi algebrallista murtolukua. Tätä varten on ensinnäkin tarpeen vähentää termit-murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi. Ensimmäinen askel on löytää monomi, joka on jaollinen sekä 3x että 2y:llä. Tässä tapauksessa on toivottavaa, että se on pienin, ts. löytää pienin yhteiskerran (LCM) 3x ja 2y.
Numeerisia kertoimia ja muuttujia varten LCM etsitään erikseen. LCM(3, 2) = 6 ja LCM(x, y) = xy. Lisäksi löydetyt arvot kerrotaan: 6xy.
Nyt meidän on määritettävä, millä kertoimella meidän täytyy kertoa 3x saadaksemme 6xy:
6xy ÷ 3x = 2v
Tämä tarkoittaa, että kun ensimmäinen algebrallinen murto-osa vähennetään yhteiseksi nimittäjäksi, sen osoittaja on kerrottava 2y:llä (nimittäjä on jo kerrottu, kun se on vähennetty yhteiseen nimittäjään). Toisen murtoluvun osoittajan tekijää etsitään samalla tavalla. Se on yhtä suuri kuin 3x.
Siten saamme: 
Lisäksi on jo mahdollista toimia kuten murtoluvuilla, joilla on samat nimittäjät: osoittajat lisätään ja nimittäjään kirjoitetaan yksi yhteinen: 
Muunnosten jälkeen saadaan yksinkertaistettu lauseke, joka on yksi algebrallinen murtoluku, joka on kahden alkuperäisen summa: 
Alkuperäisen lausekkeen algebralliset murtoluvut voivat sisältää nimittäjiä, jotka ovat pikemminkin polynomeja kuin monomialeja (kuten yllä olevassa esimerkissä). Tässä tapauksessa kerro nimittäjät ennen yhteisen nimittäjän löytämistä (jos mahdollista). Lisäksi yhteinen nimittäjä kerätään eri tekijöistä. Jos tekijä on useissa alkunimittäjissä, se otetaan kerran. Jos tekijällä on eri asteet alkuperäisissä nimittäjissä, se otetaan suuremmalla. Esimerkiksi: 
Tässä polynomi a 2 - b 2 voidaan esittää tulona (a - b)(a + b). Kerroin 2a – 2b laajenee 2(a – b). Siten yhteinen nimittäjä on 2(a - b)(a + b).
Online-laskimen avulla voit nopeasti löytää kahden tai minkä tahansa muun luvun suurimman yhteisen jakajan ja pienimmän yhteisen kerrannaisen.
Laskin GCD:n ja NOC:n löytämiseksi
Etsi GCD ja NOC
GCD ja NOC löydetty: 5806
Kuinka käyttää laskinta
- Syötä numerot syöttökenttään
- Jos syötät vääriä merkkejä, syöttökenttä on korostettu punaisella
- paina painiketta "Etsi GCD ja NOC"
Kuinka syöttää numeroita
- Numerot syötetään välilyönnillä, pisteillä tai pilkuilla erotettuina
- Syötettyjen numeroiden pituutta ei ole rajoitettu, joten pitkien lukujen gcd:n ja lcm:n löytäminen ei ole vaikeaa
Mikä on NOD ja NOK?
Suurin yhteinen jakaja useista luvuista on suurin luonnollinen kokonaisluku, jolla kaikki alkuperäiset luvut ovat jaollisia ilman jäännöstä. Suurin yhteinen jakaja on lyhennetty GCD.
Vähiten yhteinen kerrannainen useita lukuja on pienin luku, joka on jaollinen kullakin alkuperäisellä luvulla ilman jäännöstä. Pienin yhteinen kerrannainen on lyhennetty NOC.
Kuinka tarkistaa, onko luku jaollinen toisella luvulla ilman jäännöstä?
Jos haluat selvittää, onko yksi luku jaollinen toisella ilman jäännöstä, voit käyttää joitain numeroiden jaollisuuden ominaisuuksia. Sitten niitä yhdistämällä voidaan tarkistaa joidenkin niistä ja niiden yhdistelmistä jaollisuus.
Joitakin merkkejä lukujen jaollisuudesta
1. Luvun jaollisuusmerkki kahdella
Sen määrittämiseksi, onko luku jaollinen kahdella (onko se parillinen), riittää, kun katsot tämän luvun viimeistä numeroa: jos se on 0, 2, 4, 6 tai 8, niin luku on parillinen, eli se on jaollinen kahdella.
Esimerkki: selvitä, onko luku 34938 jaollinen kahdella.
Päätös: katso viimeistä numeroa: 8 tarkoittaa, että luku on jaollinen kahdella.
2. Luvun jaollisuuden merkki kolmella
Luku on jaollinen kolmella, kun sen numeroiden summa on jaollinen kolmella. Jotta voit määrittää, onko luku jaollinen kolmella, sinun on laskettava numeroiden summa ja tarkistettava, onko se jaollinen kolmella. Vaikka numeroiden summa osoittautuisi erittäin suureksi, voit toistaa saman prosessin uudelleen.
Esimerkki: selvitä, onko luku 34938 jaollinen kolmella.
Päätös: laskemme numeroiden summan: 3+4+9+3+8 = 27. 27 on jaollinen kolmella, mikä tarkoittaa, että luku on jaollinen kolmella.
3. Luvun jaollisuuden merkki 5:llä
Luku on jaollinen viidellä, kun sen viimeinen numero on nolla tai viisi.
Esimerkki: selvitä, onko luku 34938 jaollinen viidellä.
Päätös: katso viimeistä numeroa: 8 tarkoittaa, että luku EI ole jaollinen viidellä.
4. Luvun jaollinen merkki 9:llä
Tämä merkki on hyvin samanlainen kuin kolmella jaollinen merkki: luku on jaollinen 9:llä, kun sen numeroiden summa on jaollinen 9:llä.
Esimerkki: selvitä, onko luku 34938 jaollinen 9:llä.
Päätös: laskemme numeroiden summan: 3+4+9+3+8 = 27. 27 on jaollinen 9:llä, mikä tarkoittaa, että luku on jaollinen yhdeksällä.
Kuinka löytää kahden luvun GCD ja LCM
Kuinka löytää kahden luvun GCD
Yksinkertaisin tapa laskea kahden luvun suurin yhteinen jakaja on etsiä näiden lukujen kaikki mahdolliset jakajat ja valita niistä suurin.
Harkitse tätä menetelmää käyttämällä esimerkkiä löytää GCD(28, 36):
- Jaamme molemmat luvut tekijöihin: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
- Löydämme yhteiset tekijät, eli ne, jotka molemmilla luvuilla ovat: 1, 2 ja 2.
- Laskemme näiden tekijöiden tulon: 1 2 2 \u003d 4 - tämä on lukujen 28 ja 36 suurin yhteinen jakaja.
Kuinka löytää kahden luvun LCM
On kaksi yleisintä tapaa löytää kahden luvun pienin kerrannainen. Ensimmäinen tapa on kirjoittaa kahden luvun ensimmäiset kerrannaiset ja sitten valita niistä sellainen luku, joka on yhteinen molemmille luvuille ja samalla pienin. Ja toinen on löytää näiden numeroiden GCD. Mietitäänpä sitä.
LCM:n laskemiseksi sinun on laskettava alkuperäisten lukujen tulo ja jaettava se sitten aiemmin löydetyllä GCD:llä. Etsitään LCM samoille numeroille 28 ja 36:
- Etsi lukujen 28 ja 36 tulo: 28 36 = 1008
- gcd(28, 36) tiedetään jo olevan 4
- LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 .
GCD:n ja LCM:n etsiminen useille numeroille
Suurin yhteinen jakaja löytyy useille luvuille, ei vain kahdelle. Tätä varten suurimmalle yhteiselle jakajalle löydettävät luvut jaetaan alkutekijöiksi, jolloin saadaan näiden lukujen yhteisten alkutekijöiden tulo. Voit myös löytää useiden numeroiden GCD:n käyttämällä seuraavaa suhdetta: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).
Samanlainen suhde pätee myös lukujen pienimpään yhteiseen kerrannaiseen: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Esimerkki: etsi GCD ja LCM numeroille 12, 32 ja 36.
- Ensin kerrotaan luvut: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
- Etsitään yhteiset tekijät: 1, 2 ja 2 .
- Heidän tuotteensa antaa gcd:n: 1 2 2 = 4
- Etsitään nyt LCM: tätä varten löydämme ensin LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
- Löytääksesi kaikkien kolmen luvun LCM:n, sinun on löydettävä GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12.
- LCM(12; 32; 36) = 96 36 / 12 = 288 .
Harkitse seuraavan ongelman ratkaisua. Pojan askel on 75 cm ja tytön askel 60 cm. On löydettävä pienin etäisyys, jolla molemmat ottavat kokonaislukumäärän askelia.
Päätös. Koko polun, jonka kaverit kulkevat, on oltava jaollinen 60:llä ja 70:llä ilman jäännöstä, koska jokaisen on otettava kokonaislukumäärä askeleita. Toisin sanoen vastauksen on oltava sekä 75:n että 60:n kerrannainen.
Ensin kirjoitetaan kaikki kerrannaisuudet luvulle 75. Saamme:
- 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .
Kirjoitetaan nyt luvut, joista tulee 60:n kerrannainen. Saamme:
- 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .
Nyt löydämme numerot, jotka ovat molemmilla riveillä.
- Yhteisiä lukujen kerrannaisia ovat numerot, 300, 600 jne.
Pienin niistä on luku 300. Tässä tapauksessa sitä kutsutaan lukujen 75 ja 60 pienimmäksi yhteiseksi kerrannaiseksi.
Palatakseni ongelman tilaan, pienin etäisyys, jolla pojat ottavat kokonaislukumäärän askelia, on 300 cm. Poika kulkee tätä tietä 4 askelta ja tytön tulee ottaa 5 askelta.
Vähiten yhteisen monikerran löytäminen
- Kahden luonnollisen luvun a ja b pienin yhteinen kerrannainen on pienin luonnollinen luku, joka on sekä a:n että b:n kerrannainen.
Kahden luvun pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi ei tarvitse kirjoittaa kaikkia näiden lukujen kerrannaisia peräkkäin.
Voit käyttää seuraavaa menetelmää.
Kuinka löytää pienin yhteinen kerrannainen
Ensin sinun on hajotettava nämä luvut alkutekijöiksi.
- 60 = 2*2*3*5,
- 75=3*5*5.
Nyt kirjoitetaan kaikki tekijät, jotka ovat ensimmäisen luvun (2,2,3,5) laajennuksessa, ja lisätään siihen kaikki puuttuvat tekijät toisen luvun (5) laajennuksesta.
Tuloksena saamme sarjan alkulukuja: 2,2,3,5,5. Näiden lukujen tulo on vähiten yhteinen tekijä näille luvuille. 2*2*3*5*5 = 300.
Yleinen kaavio pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi
- 1. Jaa luvut alkutekijöiksi.
- 2. Kirjoita muistiin tärkeimmät tekijät, jotka ovat osa jotakin niistä.
- 3. Lisää näihin tekijöihin kaikki ne, jotka ovat muun hajotuksessa, mutta eivät valitussa.
- 4. Etsi kaikkien kirjoitettujen tekijöiden tulo.
Tämä menetelmä on universaali. Sitä voidaan käyttää minkä tahansa luonnollisten lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseen.
