) ja nimittäjä nimittäjällä (saamme tuotteen nimittäjän).

Murtolukujen kertolaskukaava:

Esimerkiksi:

Ennen kuin jatkat osoittajien ja nimittäjien kertolaskua, on tarpeen tarkistaa murto-osien pienentämisen mahdollisuus. Jos onnistut vähentämään murto-osaa, sinun on helpompi jatkaa laskelmien tekemistä.

Tavallisen murtoluvun jako murtoluvulla.

Luonnollisen luvun murtolukujen jako.

Se ei ole niin pelottavaa kuin miltä näyttää. Kuten yhteenlaskussa, muunnamme kokonaisluvun murto-osaksi, jonka nimittäjässä on yksikkö. Esimerkiksi:

Sekaosien kertolasku.

Murtolukujen kertomista koskevat säännöt (sekoitetut):

• muuntaa sekafraktiot sopimattomiksi;
• kerrotaan murtolukujen osoittajat ja nimittäjät;
• vähennämme murto-osuutta;
• jos saamme väärän murtoluvun, niin muunnetaan väärä murto sekamurtoluvuksi.

Huomautus! Jos haluat kertoa sekamurteen toisella sekamurtoluvulla, sinun on ensin saatettava ne vääriin jakeisiin ja kerrottava sitten tavallisten jakeiden kertomissäännön mukaisesti.

Toinen tapa kertoa murto-osa luonnollisella luvulla.

On kätevämpää käyttää toista tapaa kertoa tavallinen murto luvulla.

Huomautus! Murtoluvun kertomiseksi luonnollisella luvulla on tarpeen jakaa murto-osan nimittäjä tällä luvulla ja jättää osoittaja ennalleen.

Yllä olevasta esimerkistä on selvää, että tätä vaihtoehtoa on helpompi käyttää, kun murtoluvun nimittäjä jaetaan ilman jäännöstä luonnollisella luvulla.

Monitasoiset murtoluvut.

Lukiossa löytyy usein kolmikerroksisia (tai useampia) murto-osia. Esimerkki:

Tällaisen murto-osan saattamiseksi tavanomaiseen muotoonsa käytetään jakoa 2 pisteellä:

Huomautus! Murtolukuja jaettaessa jakojärjestys on erittäin tärkeä. Ole varovainen, täällä on helppo hämmentää.

Huomautus, Esimerkiksi:

Kun jaetaan yksi millä tahansa murtoluvulla, tulos on sama murto-osa, vain käänteisesti:

Käytännön vinkkejä murtolukujen kertomiseen ja jakamiseen:

1. Murtolausekkeiden kanssa työskentelyssä tärkeintä on tarkkuus ja tarkkaavaisuus. Tee kaikki laskelmat huolellisesti ja tarkasti, keskittyneesti ja selkeästi. On parempi kirjoittaa luonnokseen muutama ylimääräinen rivi kuin hämmentyä päässäsi olevissa laskelmissa.

2. Tehtävissä, joissa on erityyppisiä murtolukuja - siirry tavallisten murtolukujen tyyppiin.

3. Vähennämme kaikkia murtolukuja, kunnes pelkistäminen ei ole enää mahdollista.

4. Tuomme monitasoiset murtolausekkeet tavallisiin lausekkeisiin käyttämällä 2 pisteen jakoa.

5. Jaamme mielessämme yksikön murto-osaan yksinkertaisesti kääntämällä murto-osan.

Murtoluvuilla voit suorittaa kaikki toiminnot, mukaan lukien jako. Tämä artikkeli näyttää tavallisten murtolukujen jaon. Määritelmät annetaan, esimerkkejä tarkastellaan. Tarkastellaanpa murtolukujen jakamista luonnollisilla luvuilla ja päinvastoin. Tarkastellaan tavallisen murtoluvun jakoa sekaluvulla.

Tavallisten jakeiden jako

Jako on kertolaskujen käänteisluku. Jakamisessa tuntematon tekijä on tunnetussa tulossa ja toinen tekijä, jossa sen annettu merkitys säilytetään tavallisilla murtoluvuilla.

Jos on tarpeen jakaa tavallinen murto-osa a b:llä c d, niin tällaisen luvun määrittämiseksi sinun on kerrottava jakajalla c d, tämä antaa lopulta osingon a b. Otetaan luku ja kirjoitetaan se a b · d c , missä d c on c d luvun käänteisluku. Yhtälöitä voidaan kirjoittaa käyttämällä kertolaskuominaisuuksia, nimittäin: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , jossa lauseke a b d c on a b:n jakaminen cd:llä.

Täältä saamme ja muotoilemme säännön tavallisten murtolukujen jakamiseksi:

Määritelmä 1

Tavallisen murtoluvun a b jakamiseksi c d:llä on välttämätöntä kertoa osinko jakajan käänteisluvulla.

Kirjoita sääntö lausekkeeksi: a b: c d = a b d c

Jakosäännöt pelkistetään kertolaskuksi. Pysyäksesi siinä, sinun on oltava hyvin perehtynyt tavallisten murtolukujen kertomiseen.

Siirrytään tavallisten murtolukujen jakoon.

Esimerkki 1

Suorita jako 9 7 luvuilla 5 3 . Kirjoita tulos murtolukuna.

Päätös

Luku 5 3 on luvun 3 5 käänteisluku. Sinun on käytettävä sääntöä tavallisten murtolukujen jakamiseen. Kirjoitamme tämän lausekkeen seuraavasti: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.

Vastaus: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Murtolukuja pienennettäessä tulee korostaa koko osa, jos osoittaja on suurempi kuin nimittäjä.

Esimerkki 2

Jaa 8 15: 24 65 . Kirjoita vastaus murtolukuna.

Päätös

Ratkaisu on siirtyä jakotilasta kertolaskuun. Kirjoitamme sen tähän muotoon: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

On tarpeen tehdä vähennys, ja tämä tehdään seuraavasti: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

Valitsemme kokonaislukuosan ja saamme 13 9 = 1 4 9 .

Vastaus: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Satunnaisen murtoluvun jako luonnollisella luvulla

Käytämme sääntöä murtoluvun jakamisesta luonnollisella luvulla: jakaaksesi a b luonnollisella luvulla n, sinun on kerrottava vain nimittäjä n:llä. Tästä saadaan lauseke: a b: n = a b · n .

Jakolasääntö on seuraus kertolaskusäännöstä. Siksi luonnollisen luvun esittäminen murtolukuna antaa tämän tyyppisen yhtälön: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

Harkitse tätä murto-osan jakoa luvulla.

Esimerkki 3

Jaa murto-osa 1645 luvulla 12.

Päätös

Käytä sääntöä murtoluvun jakamisesta luvulla. Saamme lausekkeen kuten 16 45: 12 = 16 45 12 .

Pienennetään murto-osaa. Saamme 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .

Vastaus: 16 45: 12 = 4 135 .

Luonnollisen luvun jako yhteisellä murtoluvulla

Jakosäännöt ovat samanlaiset noin sääntö luonnollisen luvun jakamisesta tavallisella murtoluvulla: luonnollisen luvun n jakamiseksi tavallisella a b:llä on tarpeen kertoa luku n murtoluvun a b käänteisluvulla.

Säännön perusteella meillä on n: a b \u003d n b a, ja luonnollisen luvun kertomissäännön ansiosta tavallisella murtoluvulla saamme lausekkeemme muodossa n: a b \u003d n b a. Tätä jakoa on tarkasteltava esimerkin avulla.

Esimerkki 4

Jaa 25 luvulla 15 28.

Päätös

Meidän on siirryttävä jakotilasta kertolaskuun. Kirjoitamme lausekkeen 25 muodossa: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Pienennetään murtolukua ja saadaan tulos murto-osan muodossa 46 2 3 .

Vastaus: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Yhteisen murtoluvun jako sekaluvulla

Kun jaat tavallisen murtoluvun sekaluvulla, voit helposti loistaa tavallisten murtolukujen jakamisesta. Sinun on muutettava sekaluku vääräksi murtoluvuksi.

Esimerkki 5

Jaa murto-osa 35 16 luvulla 3 1 8 .

Päätös

Koska 3 1 8 on sekaluku, esitetään se virheellisenä murtolukuna. Sitten saadaan 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Jaetaan nyt murtoluvut. Saamme 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Vastaus: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Sekaluvun jakaminen tapahtuu samalla tavalla kuin tavalliset luvut.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Oppitunnin sisältö

Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä

Murtolukujen lisäämistä on kahta tyyppiä:

1. Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä
2. Murtolukujen lisääminen eri nimittäjillä

Aloitetaan lisäämällä murtoluvut samoilla nimittäjillä. Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos haluat lisätä murto-osia, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen. Lisätään esimerkiksi murtoluvut ja . Lisäämme osoittajat ja jätämme nimittäjän ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu neljään osaan. Jos lisäät pizzan pizzaan, saat pizzan:

Esimerkki 2 Lisää murtoluvut ja .

Vastaus on väärä murto-osa. Jos tehtävän loppu tulee, on tapana päästä eroon vääristä murtoluvuista. Päästäksesi eroon väärästä murto-osasta, sinun on valittava siitä koko osa. Meidän tapauksessamme kokonaislukuosa jaetaan helposti - kaksi jaettuna kahdella on yhtä suuri kuin yksi:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kahteen osaan. Jos lisäät pizzaan lisää pizzoja, saat yhden kokonaisen pizzan:

Esimerkki 3. Lisää murtoluvut ja .

Lisää jälleen osoittajat ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kolmeen osaan. Jos lisäät pizzaan lisää pizzoja, saat pizzat:

Esimerkki 4 Etsi lausekkeen arvo

Tämä esimerkki on ratkaistu täsmälleen samalla tavalla kuin edelliset. Osoittajat on lisättävä ja nimittäjä jätettävä ennalleen:

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos lisäät pizzat pizzaan ja lisäät pizzoja, saat 1 kokonaisen pizzan ja lisää pizzoja.

Kuten näet, murto-osien lisääminen samoilla nimittäjillä ei ole vaikeaa. Riittää, kun ymmärrät seuraavat säännöt:

1. Jos haluat lisätä murto-osia, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen;

Murtolukujen lisääminen eri nimittäjillä

Nyt opimme lisäämään murtolukuja eri nimittäjillä. Murtolukuja lisättäessä näiden murtolukujen nimittäjien on oltava samat. Mutta ne eivät aina ole samoja.

Esimerkiksi murto-osia voidaan lisätä, koska niillä on samat nimittäjät.

Mutta murtolukuja ei voi lisätä kerralla, koska näillä murtoluvuilla on erilaiset nimittäjät. Tällaisissa tapauksissa murtoluvut on vähennettävä samaan (yhteiseen) nimittäjään.

On olemassa useita tapoja vähentää murtolukuja samaan nimittäjään. Tänään tarkastelemme vain yhtä niistä, koska muut menetelmät voivat tuntua monimutkaisilta aloittelijalle.

Tämän menetelmän ydin on siinä, että molempien murtolukujen nimittäjistä etsitään ensimmäinen (LCM). Sitten LCM jaetaan ensimmäisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan ensimmäinen lisäkerroin. He tekevät saman toisen murto-osan kanssa - LCM jaetaan toisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan toinen lisäkerroin.

Sitten murtolukujen osoittajat ja nimittäjät kerrotaan niiden lisätekijöillä. Näiden toimien seurauksena murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuvat murtoluvuiksi, joilla on sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka lisätä tällaisia ​​murtolukuja.

Esimerkki 1. Lisää jakeet ja

Ensinnäkin löydämme molempien murtolukujen nimittäjien pienimmän yhteisen kerrannaisen. Ensimmäisen murto-osan nimittäjä on luku 3 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 2. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 6

LCM (2 ja 3) = 6

Nyt takaisin murtolukuihin ja . Ensin jaamme LCM:n ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä ja saamme ensimmäisen lisätekijän. LCM on luku 6 ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 6 kolmella, saadaan 2.

Tuloksena oleva luku 2 on ensimmäinen lisätekijä. Kirjoitamme sen ensimmäiseen murto-osaan. Tätä varten teemme murto-osan yläpuolelle pienen vinon viivan ja kirjoitamme sen yläpuolelle löydetyn lisätekijän:

Teemme saman toisen murto-osan kanssa. Jaamme LCM:n toisen murto-osan nimittäjällä ja saamme toisen lisätekijän. LCM on luku 6 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 2. Jaa 6 kahdella, saadaan 3.

Tuloksena oleva luku 3 on toinen lisätekijä. Kirjoitamme sen toiseen murto-osaan. Teemme jälleen pienen vinon viivan toisen murto-osan yläpuolelle ja kirjoitamme löydetty lisätekijä sen yläpuolelle:

Nyt olemme valmiita lisäämään. On vielä kerrottava murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisätekijöillä:

Katsokaa tarkasti, mihin olemme tulleet. Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjä, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka lisätä tällaisia ​​murtolukuja. Täydennetään tämä esimerkki loppuun:

Näin esimerkki päättyy. Lisääminen käy ilmi.

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos lisäät pizzat pizzaan, saat yhden kokonaisen pizzan ja toisen kuudesosan pizzasta:

Murtolukujen pelkistys samaan (yhteiseen) nimittäjään voidaan kuvata myös kuvan avulla. Tuomalla murtoluvut ja yhteiseen nimittäjään, saamme murtoluvut ja . Näitä kahta fraktiota edustavat samat pizzaviipaleet. Ainoa ero on, että tällä kertaa ne jaetaan yhtä suuriin osuuksiin (samaan nimittäjään vähennettynä).

Ensimmäinen piirros esittää murto-osaa (neljä kappaletta kuudesta) ja toisessa kuvassa murto-osa (kolme kappaletta kuudesta). Laittamalla nämä palaset yhteen saadaan (seitsemän kappaletta kuudesta). Tämä murtoluku on virheellinen, joten olemme korostaneet siinä kokonaislukuosan. Tuloksena oli (yksi koko pizza ja toinen kuudes pizza).

Huomaa, että olemme maalanneet tämän esimerkin liian yksityiskohtaisesti. Oppilaitoksissa ei ole tapana kirjoittaa niin yksityiskohtaisesti. Sinun on pystyttävä nopeasti löytämään molempien nimittäjien ja niiden lisätekijöiden LCM sekä kertomaan nopeasti osoittajien ja nimittäjien löytämät lisätekijät. Koulussa ollessamme meidän pitäisi kirjoittaa tämä esimerkki seuraavasti:

Mutta kolikolla on myös toinen puoli. Jos yksityiskohtaisia ​​muistiinpanoja ei tehdä matematiikan opiskelun ensimmäisissä vaiheissa, niin kysymyksiä "Mistä tuo luku tulee?", "Miksi murtoluvut muuttuvat yhtäkkiä täysin erilaisiksi murtoluvuiksi? «.

Voit helpottaa eri nimittäjien murtolukujen lisäämistä seuraavien vaiheittaisten ohjeiden avulla:

1. Etsi murto-osien nimittäjien LCM;
2. Jaa LCM kunkin murto-osan nimittäjällä ja hanki jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin;
3. Kerro murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisäkertoimilla;
4. Lisää murtoluvut, joilla on samat nimittäjät;
5. Jos vastaus osoittautui vääräksi murtoluvuksi, valitse sen koko osa;

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo .

Käytetään yllä olevia ohjeita.

Vaihe 1. Etsi murto-osien nimittäjien LCM

Etsi molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Murtolukujen nimittäjät ovat luvut 2, 3 ja 4

Vaihe 2. Jaa LCM kunkin murto-osan nimittäjällä ja hanki jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin

Jaa LCM ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 2. Jaa 12 kahdella, saamme 6. Saimme ensimmäisen lisäkertoimen 6. Kirjoitetaan se ensimmäisen murtoluvun päälle:

Nyt jaamme LCM:n toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 12 kolmella, saamme 4. Saimme toisen lisäkertoimen 4. Kirjoitetaan se toisen murtoluvun päälle:

Nyt jaamme LCM:n kolmannen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja kolmannen murtoluvun nimittäjä on luku 4. Jaa 12 4:llä, saamme 3. Saimme kolmannen lisäkertoimen 3. Kirjoitetaan se kolmannen murtoluvun päälle:

Vaihe 3. Kerro murtolukujen osoittajat ja nimittäjät lisätekijöilläsi

Kerromme osoittajat ja nimittäjät lisätekijöillämme:

Vaihe 4. Lisää murtoluvut, joilla on samat nimittäjät

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla on samat (yhteiset) nimittäjät. On vielä lisättävä nämä jakeet. Lisää yhteen:

Lisäys ei mahtunut yhdelle riville, joten siirsimme jäljellä olevan lausekkeen seuraavalle riville. Tämä on sallittua matematiikassa. Kun lauseke ei mahdu yhdelle riville, se siirretään seuraavalle riville ja ensimmäisen rivin loppuun ja uuden rivin alkuun on laitettava yhtäläisyysmerkki (=). Toisen rivin yhtäläisyysmerkki osoittaa, että tämä on jatkoa ensimmäisellä rivillä olevalle lausekkeelle.

Vaihe 5. Jos vastaus osoittautui vääräksi murtoluvuksi, valitse koko osa siitä

Vastauksemme on väärä murto-osa. Meidän on erotettava siitä koko osa. Korostamme:

Sain vastauksen

Samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Murtolukuvähennystä on kahta tyyppiä:

1. Samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen
2. Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Ensin opetellaan vähentämään murtolukuja samoilla nimittäjillä. Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos haluat vähentää yhdestä murtoluvusta toisen, sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Etsitään esimerkiksi lausekkeen arvo. Tämän esimerkin ratkaisemiseksi on tarpeen vähentää toisen murto-osan osoittaja ensimmäisen murto-osan osoittajasta ja jättää nimittäjä ennalleen. Tehdään tämä:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu neljään osaan. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat:

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo.

Jälleen, vähennä ensimmäisen murto-osan osoittajasta toisen murto-osan osoittaja ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kolmeen osaan. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat:

Esimerkki 3 Etsi lausekkeen arvo

Tämä esimerkki on ratkaistu täsmälleen samalla tavalla kuin edelliset. Ensimmäisen murtoluvun osoittajasta sinun on vähennettävä jäljellä olevien murtolukujen osoittajat:

Kuten näet, samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentämisessä ei ole mitään monimutkaista. Riittää, kun ymmärrät seuraavat säännöt:

1. Jos haluat vähentää yhdestä murtoluvusta toisen, sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätettävä nimittäjä ennalleen;
2. Jos vastaus osoittautui vääräksi murto-osaksi, sinun on valittava siitä koko osa.

Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Esimerkiksi murto-osa voidaan vähentää murtoluvusta, koska näillä murtoluvuilla on samat nimittäjät. Mutta murto-osaa ei voida vähentää murtoluvusta, koska näillä murtoluvuilla on erilaiset nimittäjät. Tällaisissa tapauksissa murtoluvut on vähennettävä samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Yhteinen nimittäjä löytyy saman periaatteen mukaan, jota käytimme eri nimittäjillä olevia murtolukuja laskettaessa. Ensinnäkin, etsi molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Sitten LCM jaetaan ensimmäisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan ensimmäinen lisäkerroin, joka kirjoitetaan ensimmäisen murto-osan päälle. Vastaavasti LCM jaetaan toisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan toinen lisäkerroin, joka kirjoitetaan toisen murto-osan päälle.

Jakeet kerrotaan sitten niiden lisätekijöillä. Näiden operaatioiden seurauksena murtoluvut, joilla oli eri nimittäjä, muuttuvat murtoluvuiksi, joilla on sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia ​​murtolukuja.

Esimerkki 1 Etsi lausekkeen arvo:

Näillä murtoluvuilla on eri nimittäjät, joten sinun on saatettava ne samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Ensin löydetään molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Ensimmäisen murto-osan nimittäjä on luku 3 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 4. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 12

LCM (3 ja 4) = 12

Nyt takaisin murtolukuihin ja

Etsitään lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle. Tätä varten jaamme LCM:n ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 12 kolmella, saadaan 4. Kirjoitetaan neljä ensimmäisen murtoluvun päälle:

Teemme saman toisen murto-osan kanssa. Jaamme LCM:n toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12, ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 4. Jaa 12 4:llä, saadaan 3. Kirjoita kolmio toisen murtoluvun päälle:

Nyt olemme kaikki valmiita vähentämään. On vielä kerrottava jakeet niiden lisätekijöillä:

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjä, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia ​​murtolukuja. Täydennetään tämä esimerkki loppuun:

Sain vastauksen

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat.

Tämä on ratkaisun yksityiskohtainen versio. Koulussa meidän pitäisi ratkaista tämä esimerkki lyhyemmällä tavalla. Tällainen ratkaisu näyttäisi tältä:

Murtolukujen vähentäminen ja yhteiseksi nimittäjäksi voidaan kuvata myös kuvan avulla. Tuomalla nämä murtoluvut yhteiseen nimittäjään, saamme murtoluvut ja . Näitä murtolukuja edustavat samat pizzaviipaleet, mutta tällä kertaa ne jaetaan samoihin jakeisiin (pienennettynä samaan nimittäjään):

Ensimmäinen piirros näyttää murto-osan (kahdeksan kappaletta kahdestatoista) ja toisessa kuvassa murto-osaa (kolme kappaletta kahdestatoista). Leikkaamalla kolme kappaletta kahdeksasta kappaleesta saadaan viisi kappaletta kahdestatoista. Murtoluku kuvaa näitä viittä kappaletta.

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo

Näillä murtoluvuilla on eri nimittäjät, joten sinun on ensin saatettava ne samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Etsi näiden murtolukujen nimittäjien LCM.

Murtolukujen nimittäjät ovat luvut 10, 3 ja 5. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nyt löydämme lisätekijöitä jokaiselle murtoluvulle. Tätä varten jaamme LCM:n kunkin murtoluvun nimittäjällä.

Etsitään lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle. LCM on luku 30 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 10. Jaa 30 10:llä, saadaan ensimmäinen lisäkerroin 3. Kirjoitetaan se ensimmäisen murtoluvun päälle:

Nyt löydämme lisätekijän toiselle murtoluvulle. Jaa LCM toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 30 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 30 kolmella, saadaan toinen lisäkerroin 10. Kirjoitetaan se toisen murtoluvun päälle:

Nyt löydämme lisätekijän kolmannelle murtoluvulle. Jaa LCM kolmannen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 30 ja kolmannen murtoluvun nimittäjä on luku 5. Jaa 30 5:llä, saadaan kolmas lisätekijä 6. Kirjoitetaan se kolmannen murtoluvun päälle:

Nyt kaikki on valmis vähennettäväksi. On vielä kerrottava jakeet niiden lisätekijöillä:

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla on samat (yhteiset) nimittäjät. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia ​​murtolukuja. Lopetetaan tämä esimerkki.

Esimerkin jatko ei mahdu yhdelle riville, joten siirrämme jatkon seuraavalle riville. Älä unohda yhtäläisyysmerkkiä (=) uudella rivillä:

Vastaus osoittautui oikeaksi murto-osaksi, ja kaikki näyttää sopivan meille, mutta se on liian raskasta ja rumaa. Meidän pitäisi tehdä siitä helpompaa. Mitä voidaan tehdä? Voit pienentää tätä osuutta.

Murtoluvun pienentämiseksi sinun on jaettava sen osoittaja ja nimittäjä (gcd) luvuilla 20 ja 30.

Joten löydämme numeroiden 20 ja 30 GCD: n:

Nyt palataan esimerkkiimme ja jaetaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä löydetyllä GCD:llä, eli 10:llä

Sain vastauksen

Murtoluvun kertominen luvulla

Jos haluat kertoa murto-osan luvulla, sinun on kerrottava annetun murto-osan osoittaja tällä luvulla ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Esimerkki 1. Kerro murto luvulla 1.

Kerro murtoluvun osoittaja luvulla 1

Ilmoittautumisen voidaan ymmärtää kestävän puoli 1 kertaa. Esimerkiksi jos otat pizzan 1 kerran, saat pizzan

Kertolaitoista tiedämme, että jos kertoja ja kertoja vaihdetaan keskenään, tulo ei muutu. Jos lauseke kirjoitetaan muodossa , tulo on silti yhtä suuri kuin . Jälleen sääntö kokonaisluvun ja murtoluvun kertomisesta toimii:

Tämän merkinnän voidaan ymmärtää vievän puolet yksiköstä. Esimerkiksi, jos on 1 kokonainen pizza ja otamme siitä puolet, niin meillä on pizza:

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Kerro murtoluvun osoittaja 4:llä

Vastaus on väärä murto-osa. Otetaan siitä kokonainen osa:

Lauseke voidaan ymmärtää ottavan kaksi neljäsosaa 4 kertaa. Jos esimerkiksi otat pizzat 4 kertaa, saat kaksi kokonaista pizzaa.

Ja jos vaihdamme kertojan ja kertoimen paikoin, saamme lausekkeen. Se on myös yhtä suuri kuin 2. Tämä lauseke voidaan ymmärtää siten, että neljästä kokonaisesta pizzasta otetaan kaksi pizzaa:

Murtolukujen kertolasku

Jos haluat kertoa murtoluvut, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät. Jos vastaus on väärä murto-osa, sinun on valittava siitä koko osa.

Esimerkki 1 Etsi lausekkeen arvo.

Sain vastauksen. Tätä osuutta on toivottavaa pienentää. Fraktiota voidaan pienentää kahdella. Sitten lopullinen ratkaisu saa seuraavan muodon:

Ilmaus voidaan ymmärtää niin, että pizza otetaan puolikkaasta pizzasta. Oletetaan, että meillä on puoli pizzaa:

Kuinka ottaa kaksi kolmasosaa tästä puolikkaasta? Ensin sinun on jaettava tämä puolikas kolmeen yhtä suureen osaan:

Ja ota kaksi näistä kolmesta kappaleesta:

Haetaan pizzaa. Muista miltä pizza näyttää jaettuna kolmeen osaan:

Yksi siivu tästä pizzasta ja kaksi otamme viipaletta ovat samankokoisia:

Toisin sanoen puhumme samasta pizzan koosta. Siksi lausekkeen arvo on

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Kerro ensimmäisen murto-osan osoittaja toisen murto-osan osoittajalla ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä:

Vastaus on väärä murto-osa. Otetaan siitä kokonainen osa:

Esimerkki 3 Etsi lausekkeen arvo

Kerro ensimmäisen murto-osan osoittaja toisen murto-osan osoittajalla ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä:

Vastaus osoittautui oikeaksi murto-osaksi, mutta on hyvä, jos sitä pienennetään. Tämän murtoluvun pienentämiseksi sinun on jaettava tämän murtoluvun osoittaja ja nimittäjä lukujen 105 ja 450 suurimmalla yhteisellä jakajalla (GCD).

Joten etsitään numeroiden 105 ja 450 GCD:

Nyt jaamme nyt löytämämme GCD:n vastauksemme osoittajan ja nimittäjän, eli 15:llä

Esittää kokonaisluvun murtolukuna

Mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää murtolukuna. Esimerkiksi numero 5 voidaan esittää muodossa . Tästä viisi ei muuta sen merkitystä, koska ilmaus tarkoittaa "lukua viisi jaettuna yhdellä", ja tämä, kuten tiedätte, on yhtä suuri kuin viisi:

Käänteiset numerot

Nyt tutustumme erittäin mielenkiintoiseen matematiikan aiheeseen. Sitä kutsutaan "käänteisiksi numeroiksi".

Määritelmä. Käänteinen numeroona on luku, joka kerrottunaa antaa yksikön.

Korvataan tämä määritelmä muuttujan sijaan a numero 5 ja yritä lukea määritelmä:

Käänteinen numeroon 5 on luku, joka kerrottuna 5 antaa yksikön.

Onko mahdollista löytää luku, joka kerrottuna 5:llä antaa yhden? Osoittautuu, että voit. Esitetään viisi murtolukuna:

Kerro sitten tämä murto-osa itsellään, vaihda vain osoittaja ja nimittäjä. Toisin sanoen kerrotaan murto-osa itsellään, vain käänteisesti:

Mitä tästä tulee? Jos jatkamme tämän esimerkin ratkaisemista, saamme yhden:

Tämä tarkoittaa, että luvun 5 käänteisarvo on luku, koska kun 5 kerrotaan yhdellä, saadaan yksi.

Käänteisluku voidaan löytää myös mille tahansa muulle kokonaisluvulle.

Voit myös löytää käänteisluvun mille tahansa muulle murtoluvulle. Tätä varten riittää, että käännät sen.

Murtoluvun jako luvulla

Oletetaan, että meillä on puoli pizzaa:

Jaetaan se tasan kahdelle. Kuinka monta pizzaa kukin saa?

Voidaan nähdä, että puolet pizzasta jakamisen jälkeen saatiin kaksi samankokoista palaa, joista jokainen muodostaa pizzan. Joten kaikki saavat pizzan.

Jakeet jaetaan käänteislukuja käyttämällä. Käänteisluvuilla voit korvata jaon kertolaskulla.

Jos haluat jakaa murtoluvun luvulla, sinun on kerrottava tämä murto-osa jakajan käänteisluvulla.

Tämän säännön avulla kirjoitamme ylös pizzapuolikkaamme jakautumisen kahteen osaan.

Joten sinun on jaettava murto-osa luvulla 2. Tässä osinko on murto-osa ja jakaja on 2.

Jos haluat jakaa murtoluvun luvulla 2, sinun on kerrottava tämä murtoluku jakajan 2 käänteisluvulla. Jakajan 2 käänteisluku on murtoluku. Joten sinun on kerrottava

Murto-osa on yksi tai useampi osa kokonaisuudesta, joka yleensä otetaan yksikkönä (1). Kuten luonnollisten lukujen kanssa, voit suorittaa kaikki aritmeettiset perusoperaatiot murtoluvuilla (lisäys, vähennys, jako, kertolasku), tätä varten sinun on tiedettävä murtolukujen kanssa työskentelyn ominaisuudet ja erotettava niiden tyypit. Murtolukuja on useita tyyppejä: desimaali ja tavallinen tai yksinkertainen. Jokaisella murtotyypillä on omat erityispiirteensä, mutta kun olet perusteellisesti selvittänyt, kuinka käsitellä niitä kerran, voit ratkaista kaikki esimerkit murtoluvuilla, koska tiedät perusperiaatteet aritmeettisten laskutoimitusten suorittamiseksi murtoluvuilla. Katsotaanpa esimerkkejä murtoluvun jakamisesta kokonaisluvulla käyttämällä erilaisia ​​murtolukuja.

Kuinka jakaa murto-osa luonnollisella luvulla?
Kutsutaan tavallisia tai yksinkertaisia ​​murtolukuja, jotka on kirjoitettu sellaisen lukusuhteen muodossa, jossa osinko (osoittaja) on ilmoitettu murto-osan yläosassa ja murto-osan jakaja (nimittäjä) on osoitettu alla. Kuinka jakaa tällainen murto-osa kokonaisluvulla? Katsotaanpa esimerkkiä! Oletetaan, että meidän on jaettava 8/12 kahdella.

Tätä varten meidän on suoritettava sarja toimia:
Siten, jos kohtaamme tehtävän jakaa murto-osa kokonaisluvulla, ratkaisukaavio näyttää suunnilleen tältä:

Vastaavasti voit jakaa minkä tahansa tavallisen (yksinkertaisen) murtoluvun kokonaisluvulla.

Kuinka jakaa desimaali kokonaisluvulla?
Desimaalimurtoluku on murto-osa, joka saadaan jakamalla yksikkö kymmeneen, tuhanteen ja niin edelleen. Aritmeettiset toiminnot desimaaliluvuilla ovat melko yksinkertaisia.

Harkitse esimerkkiä murtoluvun jakamisesta kokonaisluvulla. Oletetaan, että meidän on jaettava desimaaliluku 0,925 luonnollisella luvulla 5.

Yhteenvetona keskitytään kahteen pääkohtaan, jotka ovat tärkeitä suoritettaessa desimaalimurtolukujen jakamista kokonaisluvulla:

• desimaaliluvun jakamiseen luonnollisella luvulla käytetään jakoa sarakkeeseen;
  
• Pilkku laitetaan yksityiseen, kun osingon kokonaislukuosan jako on valmis.
  

Näitä yksinkertaisia ​​sääntöjä noudattamalla voit aina helposti jakaa minkä tahansa desimaalin tai murtoluvun kokonaisluvulla.

Viime kerralla opimme lisäämään ja vähentämään murtolukuja (katso oppitunti "Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku"). Vaikein hetki näissä toimissa oli murto-osien tuominen yhteiselle nimittäjälle.

Nyt on aika käsitellä kerto- ja jakolaskua. Hyvä uutinen on, että nämä operaatiot ovat jopa helpompia kuin yhteen- ja vähennyslasku. Aluksi harkitse yksinkertaisinta tapausta, jossa on kaksi positiivista murto-osaa ilman selkeää kokonaislukuosaa.

Jos haluat kertoa kaksi murtolukua, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät erikseen. Ensimmäinen numero on uuden murtoluvun osoittaja, ja toinen on nimittäjä.

Kahden murto-osan jakamiseksi sinun on kerrottava ensimmäinen murto-osa "käänteisellä" toisella.

Nimitys:

Määritelmästä seuraa, että murtolukujen jako pelkistetään kertolaskuksi. Jos haluat kääntää murto-osan, vaihda osoittaja ja nimittäjä. Siksi koko oppitunnin käsittelemme pääasiassa kertolaskua.

Kertomisen seurauksena voi syntyä (ja usein syntyy) vähentynyt murto-osa - tietysti sitä on vähennettävä. Jos kaikkien vähennysten jälkeen murto-osa osoittautui vääräksi, koko osa tulee erottaa siinä. Mutta mitä täsmälleen kertomisessa ei tapahdu, on pelkistys yhteiseen nimittäjään: ei ristikkäisiä menetelmiä, maksimikertoimia ja pienimmät yhteiset kerrannaiset.

Määritelmän mukaan meillä on:

Murtolukujen kertominen kokonaislukuosalla ja negatiivisilla murtoluvuilla

Jos murtoluvuissa on kokonaislukuosa, ne on muutettava virheellisiksi - ja vasta sitten kerrottava edellä esitettyjen kaavioiden mukaisesti.

Jos murto-osan osoittajassa, nimittäjässä tai sen edessä on miinus, se voidaan ottaa pois kertolaskurajoista tai poistaa kokonaan seuraavien sääntöjen mukaisesti:

1. Plus-ajat miinus antaa miinuksen;
2. Kaksi negatiivista tekee myöntävän.

Tähän asti näitä sääntöjä on kohdattu vain negatiivisten murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskussa, kun koko osasta oli päästävä eroon. Tuotteelle ne voidaan yleistää useiden miinusten "polttamiseksi" kerralla:

1. Yliviivaamme miinukset pareittain, kunnes ne katoavat kokonaan. Äärimmäisessä tapauksessa yksi miinus voi selviytyä - se, joka ei löytänyt ottelua;
2. Jos miinuksia ei ole jäljellä, toimenpide on valmis - voit aloittaa kertomisen. Jos viimeistä miinusta ei ole yliviivattu, koska se ei löytänyt paria, poistamme sen kertolaskurajoista. Saat negatiivisen murto-osan.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Käännämme kaikki murtoluvut vääriksi ja poistamme sitten kertolaskurajojen ulkopuolella olevat miinukset. Jäljelle jäävä kerrotaan tavanomaisten sääntöjen mukaan. Saamme:

Muistutan vielä kerran, että miinus, joka tulee ennen murtolukua, jossa on korostettu kokonaislukuosa, viittaa nimenomaan koko murto-osaan, ei vain sen kokonaislukuosaan (tämä koskee kahta viimeistä esimerkkiä).

Kiinnitä huomiota myös negatiivisiin lukuihin: kerrottuna ne on suljettu suluissa. Tämä tehdään miinusten erottamiseksi kertomerkeistä ja koko merkinnän tarkentamiseksi.

Murtolukujen vähentäminen lennossa

Kertominen on erittäin työläs operaatio. Tässä olevat luvut ovat melko suuria, ja tehtävän yksinkertaistamiseksi voit yrittää pienentää murto-osaa entisestään ennen kertolaskua. Todellakin, pohjimmiltaan murtolukujen osoittajat ja nimittäjät ovat tavallisia tekijöitä, ja siksi niitä voidaan pienentää murtoluvun perusominaisuutta käyttämällä. Katso esimerkkejä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Määritelmän mukaan meillä on:

Kaikissa esimerkeissä on punaisella merkitty ne numerot, joita on vähennetty ja mikä niistä on jäljellä.

Huomaa: ensimmäisessä tapauksessa kertoimia pienennettiin kokonaan. Yksiköt jäivät paikoilleen, mikä voidaan yleisesti ottaen jättää pois. Toisessa esimerkissä ei ollut mahdollista saavuttaa täydellistä vähennystä, mutta laskelmien kokonaismäärä kuitenkin pieneni.

Älä kuitenkaan missään tapauksessa käytä tätä tekniikkaa, kun lisäät ja vähennät murtolukuja! Kyllä, joskus on samanlaisia ​​lukuja, joita haluat vain vähentää. Tässä, katso:

Et voi tehdä sitä!

Virhe johtuu siitä, että murtolukua lisättäessä summa näkyy murtoluvun osoittajassa, ei lukujen tulo. Siksi on mahdotonta soveltaa murtoluvun pääominaisuutta, koska tämä ominaisuus koskee nimenomaan lukujen kertomista.

Murtolukujen pienentämiseen ei yksinkertaisesti ole muuta syytä, joten oikea ratkaisu edelliseen ongelmaan näyttää tältä:

Oikea ratkaisu:

Kuten näette, oikea vastaus ei osoittautunut niin kauniiksi. Yleisesti ottaen ole varovainen.