LINEAARISTEN ERÄTASUOJEN RATKAISU

Numeeristen yhtälöiden ominaisuudet auttoivat meitä ratkaisemaan yhtälöitä, eli löytämään ne muuttujan arvot, joille yhtälö muuttuu todelliseksi numeeriseksi yhtälöksi. Samalla tavalla numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet auttavat meitä ratkaisemaan epäyhtälöitä muuttujan kanssa, eli löytämään ne muuttujan arvot, joille epäyhtälö muuttujan kanssa muuttuu todelliseksi numeeriseksi epäyhtälöksi. Jokaista tällaista muuttujan arvoa kutsutaan yleensä ratkaisuksi muuttujan epäyhtälöön.

Ajatellaanpa esimerkiksi eriarvoisuutta

2x + 5< 7.

Korvaaminen sen sijaan X merkitys 0 , saamme 5 < 7 - todellinen eriarvoisuus; tarkoittaa, x = 0 X merkitys 1 , saamme 7 < 7 - väärä epätasa-arvo; Siksi x = 1 ei ole ratkaisu tähän eriarvoisuuteen. Korvaaminen sen sijaan X merkitys -3 , saamme -6 + 5 < 7 , eli - 1 < 7 - todellinen eriarvoisuus; siten, x = -3 on ratkaisu tähän epätasa-arvoon. Korvaaminen sen sijaan X merkitys 2,5 , saamme 2 - 2,5 + 5 < 7 , eli 10 < 7 - väärä epätasa-arvo. tarkoittaa, x = 2,5 ei ole ratkaisu eriarvoisuuteen.

Mutta ymmärrät, että tämä on umpikuja: yksikään matemaatikko ei ratkaise epäyhtälöä tällä tavalla, koska kaikkia lukuja ei voida selvittää! Tässä sinun on käytettävä numeeristen epäyhtälöiden ominaisuuksia seuraavalla tavalla.

Olemme kiinnostuneita sellaisista luvuista X, jossa 2x + 5< 7 - oikea numeerinen epäyhtälö. Mutta sitten ja 2x + 5-5< 7 - 5 - todellinen eriarvoisuus (ominaisuuden 2 mukaan: sama luku lisättiin molempiin epäyhtälön osiin - 5 ). Meillä on yksinkertaisempi epätasa-arvo 2x< 2 . Jakamalla sen molemmat osat positiivisella luvulla 2 , saamme (ominaisuuden 3 perusteella) oikean epäyhtälön X< 1 .

Mitä se tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että eriarvoisuuden ratkaisu on mikä tahansa luku X, joka on vähemmän 1 . Nämä numerot täyttävät avoimen säteen (-∞, 1) . Yleensä sanotaan, että tämä säde on ratkaisu epätasa-arvoon 2x + 5< 7 (Olisi tarkempaa puhua ratkaisujoukosta, mutta matemaatikot, kuten aina, ovat sanoja taloudellisia). Näin ollen voimme käyttää kahta vaihtoehtoa kirjoittaaksemme ratkaisuja tähän epäyhtälöön: X< 1 tai (-∞, 1) .

Numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet antavat meille mahdollisuuden noudattaa seuraavia sääntöjä epäyhtälöiden ratkaisemisessa:

Sääntö 1. Mikä tahansa epäyhtälön termi voidaan siirtää yhdestä epäyhtälön osasta toiseen päinvastaisella merkillä ilman, että eriarvoisuuden etumerkkiä muutetaan.

Sääntö 2. Epäyhtälön molemmat osat voidaan kertoa tai jakaa samalla positiivisella luvulla muuttamatta epäyhtälön etumerkkiä.

Sääntö 3. Epäyhtälön molemmat osat voidaan kertoa tai jakaa samalla negatiivisella luvulla, samalla kun epäyhtälömerkki muutetaan päinvastaiseksi.

Käytämme näitä sääntöjä lineaaristen epäyhtälöiden eli muotoon pelkistyvien epäyhtälöiden ratkaisemiseen ax + b > 0(tai kirves + b< 0 ),

missä a ja b- mikä tahansa numero yhtä poikkeusta lukuun ottamatta: a ≠ 0.

Esimerkki 1

Ratkaise epätasa-arvo Zx - 5 ≥ 7x - 15.

Päätös.

Siirretään jäsen 7x eriarvoisuuden vasemmalle puolelle ja termi - 5 - epätasa-arvon oikealle puolelle, unohtamatta muuttaa jäsenen merkkejä 7x, ja jäsen -5 (meitä ohjaa sääntö 1). Sitten saamme

Zx - 7x ≥ - 15 + 5, eli - 4x ≥ - 10.

Jaa viimeisen epäyhtälön molemmat osat samalla negatiivisella luvulla - 4 , unohtamatta siirtyä päinvastaisen merkityksen epätasa-arvoon (säännön 3 ohjaamana). Saada X< 2,5 . Tämä on ratkaisu annettuun epätasa-arvoon.

Kuten sovimme, voit kirjoittaa ratkaisun käyttämällä numerorivin vastaavan intervallin merkintää: (-∞, 2,5] .

Vastaus: X< 2,5 , tai (-∞, 2,5] .

Epäyhtälöiden ja yhtälöiden osalta otetaan käyttöön ekvivalenssin käsite. Kaksi eriarvoisuutta f(x)< g(x) и r(x) < s(x) nimeltään vastaava jos niillä on samat ratkaisut (tai erityisesti jos molemmilla epäyhtälöillä ei ole ratkaisuja).

Yleensä epäyhtälöä ratkaistaessa tämä epäyhtälö pyritään korvaamaan yksinkertaisemmalla, mutta sitä vastaavalla. Tällaista korvaavaa kutsutaan vastaava epätasa-arvon muunnos. Nämä muunnokset on vain osoitettu edellä muotoilluissa säännöissä 1-3.

Esimerkki 2

Ratkaise epätasa-arvo

Päätös.

Kerro epäyhtälön molemmat puolet positiivisella luvulla 15 , jättäen epäyhtälömerkin ennalleen (sääntö 2), Tämä antaa meille mahdollisuuden päästä eroon nimittäjistä, eli siirtyä yksinkertaisempaan epäyhtälöön, joka vastaa annettua:

Käyttämällä sääntöä 1 viimeiselle epäyhtälölle, saamme sitä vastaavan yksinkertaisemman epäyhtälön:

Lopuksi sääntöä 3 soveltamalla saamme

Vastaus: tai

Lopuksi toteamme, että numeeristen epäyhtälöiden ominaisuuksia käyttämällä emme tietenkään voi ratkaista epäyhtälöä muuttujalla, vaan vain sellaisella, joka on suoritettu useiden yksinkertaisten muunnosten jälkeen (kuten ne, jotka suoritettiin esimerkeissä tämä kohta), on muodoltaan kirves > b(>-merkin sijaan voi tietysti olla mikä tahansa muu epätasa-arvomerkki, tiukka tai ei-tiukka).

§ 1 Lineaariset epätasa-arvot

Tällä oppitunnilla esittelemme lineaarisen epäyhtälön määritelmän. Harkitse lineaaristen epäyhtälöiden ratkaisemisessa käytettyjä ominaisuuksia. Opitaan ratkaisemaan lineaariset epäyhtälöt.

Lineaarinen epäyhtälö on muotoa ax + b > 0 tai ax + b oleva epäyhtälö< 0, где переменная или искомая величина, a и b- некоторые числа, причем a ≠ 0.

Koska epäyhtälö voi olla tiukka ja ei-tiukka, niin lineaariset epäyhtälöt voivat olla muodossa ax+ b ≥0, ax+ b ≤ 0.

Epäyhtälö on lineaarinen, koska x sisältyy epäyhtälöön alkuun asti.

Lineaarisen epäyhtälön ratkaisu on muuttujan x arvo, jossa epäyhtälö muuttuu todelliseksi numeeriseksi epäyhtälöksi.

Otetaan epäyhtälö 2x+5 > 0.

Korvaa x nollalla. Saamme 5 > 0. Tämä on oikea epäyhtälö. Joten x=0 on ratkaisu epäyhtälöön 2x+5>0.

Korvaamalla arvon -2,5 x:n sijaan, saadaan 0 > 0. Tämä on virheellinen epäyhtälö. Siksi x= -2,5 ei ole ratkaisu lineaariseen epäyhtälöön 2x + 5>0. Valitsemalla x:n arvot voidaan löytää useita tarkempia ratkaisuja.

Kaikkien ratkaisujen löytäminen tai sen todistaminen, että eriarvoisuudella ei ole ratkaisuja, tarkoittaa lineaarisen epäyhtälön ratkaisemista.

Epäyhtälöitä, joilla on samat ratkaisut, kutsutaan ekvivalentteiksi.

Epäyhtälöitä ratkaistaessa käytetään sääntöjä, joiden avulla saadaan helposti ratkaistavia ekvivalentteja epäyhtälöitä.

§ 2 Esimerkkejä lineaaristen epäyhtälöiden ratkaisemisesta

Ratkaistaan ​​epäyhtälö 2x+5>0. Ja ensimmäinen sääntö, jota tässä voidaan käyttää, on: jos siirretään eriarvoisuustermin yhdestä epätasa-arvosta toiseen päinvastaisella merkillä, muuttamatta eriarvoisuuden merkkiä, niin saadaan vastaava epäyhtälö.

Jaa epäyhtälön molemmat puolet kahdella. Saamme x > -2,5.

Vastaus voidaan kirjoittaa näin: x > -2,5 tai numeerisena välinä

Tuloksena on positiivisesti suunnattu avoin säde.

Avoin, koska epäyhtälömme on tiukka, mikä tarkoittaa, että luku -2,5 ei sisälly numeeriseen alueeseen.

Ratkaistaan ​​toinen lineaarinen epäyhtälö 3x - 3 ≥ 7x - 15.

Aivan kuten lineaarisia yhtälöitä ratkaistaessa, siirrämme termejä x:llä vasemmalle ja numeerisia termejä oikealle. Älä unohda muuttaa ehtojen etumerkkejä päinvastaisiksi siirron yhteydessä. Ensimmäisen säännön perusteella eriarvoisuusmerkki ei muutu.

Saamme 3x - 7x ≥ -15 + 3 tai -4x ≥ -12.

Seuraavaksi käytämme kolmatta sääntöä: jos epäyhtälön molemmat osat kerrotaan tai jaetaan samalla negatiivisella luvulla ja samalla vaihdetaan epäyhtälön etumerkki päinvastaiseksi, niin saadaan vastaava epäyhtälö.

Jaa epäyhtälön molemmat puolet -4:llä.

Saamme x ≤ 3.

Esitetään ratkaisu x-akselilla.

Tuloksena on negatiivisesti suunnattu suljettu säde. Suljettu, koska epäyhtälömme ei ole tiukka, mikä tarkoittaa, että numero 3 sisältyy numeeriseen väliin.

Harkitse monimutkaisemman lineaarisen epäyhtälön ratkaisua

Toisen säännön avulla kerromme epäyhtälön molemmat osat luvulla 15. Luku 15 on murtolukujen yhteinen nimittäjä.

Kerro osoittajat lisätekijöillä.

Saamme epäyhtälön 5x + 6x - 3 > 30x.

Ykkössäännön avulla siirrämme termit x:stä vasemmalle, numeeriset termit oikealle ja vaihdamme merkkejä siirryttäessä päinvastaiseen.

Saamme -19x > 3.

Käytä sääntöä kolme, jaa epäyhtälön molemmat puolet -19:llä. Tässä tapauksessa sinun on vaihdettava epätasa-arvon merkki päinvastaiseksi.

Esitetään ratkaisu x-akselilla.

Tuloksena on avoin säde, koska epäyhtälö on tiukka, mikä tarkoittaa, että luku ei sisälly numeeriseen alueeseen. Tämä on negatiivisesti suunnattu säde.

Ratkaisemme seuraavan epäyhtälön

Kerro epäyhtälön molemmat puolet neljällä.

Saamme 5 - 2x ≤ 8x. Siirrä termit x:stä vasemmalle, numeeriset termit oikealle

2x - 8x ≤ -5 tai -10x ≤ -5.

Jaa epäyhtälön molemmat puolet -10:llä. Tämä luku on negatiivinen, säännön 3 mukaan on tarpeen muuttaa eriarvoisuuden merkki päinvastaiseksi.

Saamme x≥0,5.

Esitetään ratkaisu x-akselilla.

Tuloksena on suljettu säde, koska epäyhtälö ei ole tiukka, mikä tarkoittaa, että luku 0,5 sisältyy numeeriseen väliin. Tämä on positiivisesti suunnattu säde.

Ratkaistaessa epäyhtälöitä muunnosten jälkeen, voi käydä ilmi, että kerroin kohdassa x on yhtä suuri kuin nolla, esimerkiksi 0∙x> b (tai 0∙x< b). Такое неравенство не имеет решений или решением является любое число.

Ratkaise epäyhtälö 2(x + 8) -5x< 4-3х.

Avataan kiinnikkeet 2x + 16 - 5x< 4 - 3х.

Käyttämällä ominaisuutta yksi siirrämme termit x:stä vasemmalle ja numerot oikealle, saamme 0∙x< -12. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 < -12. Это неверное неравенство.

Vastaus: ei ratkaisua tai tyhjä sarja.

Ratkaistaan ​​toinen epäyhtälö x > x - 1.

Siirretään x oikealta vasemmalle, saadaan 0∙x > -1. Millä tahansa x:n arvolla epäyhtälö muuttuu epäyhtälöksi 0 > -1. Tämä on oikea epätasa-arvo.

§ 3 Oppitunnin yhteenveto

Tärkeää muistaa:

Lineaarinen epäyhtälö on epäyhtälö, jonka muoto on ax + b > 0 (tai ax + b< 0, aх+ b ≥ 0, aх+ b≤ 0), где х - переменная, a и b- некоторые числа, причем a≠0.

Epätasa-arvon ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen löytämistä tai sen osoittamista, ettei ratkaisuja ole.

Lineaarisia epäyhtälöitä ratkaistaessa käytetään sääntöjä, joilla tämä epäyhtälö voidaan korvata helpommin ratkaistavilla ekvivalenteilla epäyhtälöillä:

1) jos epätasa-arvon termi siirretään epätasa-arvon yhdestä osasta toiseen päinvastaisella merkillä, muuttamatta eriarvoisuuden etumerkkiä, niin saadaan vastaava epäyhtälö;

2) jos epäyhtälön molemmat osat kerrotaan tai jaetaan samalla positiivisella luvulla muuttamatta epäyhtälön etumerkkiä, niin saadaan vastaava epäyhtälö;

3) jos epäyhtälön molemmat osat kerrotaan tai jaetaan samalla negatiivisella luvulla samalla kun epäyhtälön etumerkki vaihdetaan päinvastaiseksi, saadaan vastaava epäyhtälö.

Näiden sääntöjen soveltamisen tarkoituksena on vähentää lineaarinen epäyhtälö muotoon x > b/a tai x< b/a.

Lineaarisen epäyhtälön ratkaisu on numeerinen väli. Se voi olla avoin tai suljettu lukukeila, joka voi olla jompikumpi

positiivisesti ja negatiivisesti suunnattu.

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B., toimittanut Telyakovsky S.A. Algebra: oppikirja. 8 solulle. Yleissivistävä koulutus toimielimet. - M.: Koulutus, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebra. Luokka 8: kahdessa osassa. Osa 1: Proc. yleissivistävää koulutusta varten toimielimet. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Algebran oppituntien kehitys: luokka 8. - M .: VAKO, 2010.
4. Algebra luokka 8: tuntisuunnitelmat oppikirjan mukaan Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Opettaja, 2005.

Mitä sinun tulee tietää epätasa-arvokuvakkeista? Ikonien epätasa-arvo lisää (> ), tai pienempi (< ) kutsutaan tiukka. Ikonien kanssa enemmän tai yhtä paljon (≥ ), pienempi tai yhtä suuri (≤ ) kutsutaan ei-tiukka. Kuvake ei tasa-arvoinen (≠ ) on yksittäinen, mutta sinun on myös ratkaistava esimerkkejä tällaisella kuvakkeella koko ajan. Ja teemme.)

Itse kuvakkeella ei ole juurikaan vaikutusta ratkaisuprosessiin. Mutta ratkaisun lopussa, kun valitset lopullista vastausta, kuvakkeen merkitys näkyy täysillä! Kuten alla, esimerkeissä näemme. On joitain vitsejä...

Epätasa-arvo, kuten tasa-arvo, on uskollinen ja uskoton. Täällä kaikki on yksinkertaista, ilman temppuja. Sanotaanko 5 > 2 on oikea epätasa-arvo. 5 < 2 on väärin.

Tällainen valmistautuminen toimii epätasa-arvoa vastaan Millainen tahansa ja yksinkertaista kauhuun.) Sinun tarvitsee vain suorittaa kaksi (vain kaksi!) perustoimintoa oikein. Nämä toimet ovat tuttuja kaikille. Mutta mikä on tyypillistä, jambit näissä toimissa ovat suurin virhe eriarvoisuuksien ratkaisemisessa, kyllä ​​... Siksi nämä toimet on toistettava. Näitä toimia kutsutaan seuraavasti:

Eriarvoisuuksien identiteettimuunnokset.

Epäyhtälöiden identiteettimuunnokset ovat hyvin samanlaisia ​​kuin yhtälöiden identiteettimuunnokset. Itse asiassa tämä on suurin ongelma. Erot lipsahtaa ohi ja ... saapui.) Siksi korostan näitä eroja erityisesti. Joten, ensimmäinen identtinen epätasa-arvomuunnos:

1. Sama luku tai lauseke voidaan lisätä (vähentää) epäyhtälön molempiin osiin. Minkä tahansa. Epätasa-arvomerkki ei muutu.

Käytännössä tätä sääntöä sovelletaan termien siirtona epäyhtälön vasemmalta puolelta oikealle (ja päinvastoin) etumerkin muutoksella. Termin merkin muutoksella, ei epätasa-arvolla! Yksi-yhteen-sääntö on sama kuin yhtälöiden sääntö. Mutta seuraavat identtiset muunnokset epäyhtälöissä eroavat merkittävästi yhtälöiden muutoksista. Joten korostan ne punaisella:

2. Epäyhtälön molemmat osat voidaan kertoa (jakaa) samallapositiivinenmäärä. Mille tahansapositiivinen Ei muutu.

3. Epäyhtälön molemmat osat voidaan kertoa (jakaa) samallanegatiivinen määrä. Mille tahansanegatiivinenmäärä. Epätasa-arvomerkki tästämuuttuu päinvastaiseksi.

Muistat (toivottavasti...), että yhtälö voidaan kertoa/jakaa millä tahansa. Ja mille tahansa numerolle ja lausekkeelle, jossa on x. Kunhan se ei ole nolla. Hän, yhtälö, ei ole kuuma eikä kylmä tästä.) Se ei muutu. Mutta eriarvoisuudet ovat herkempiä kerto-/jakolaskulle.

Hyvä esimerkki pitkästä muistista. Kirjoitamme epätasa-arvon, joka ei aiheuta epäilyksiä:

5 > 2

Kerro molemmat puolet +3, saamme:

15 > 6

Onko vastalauseita? Ei ole vastalauseita.) Ja jos kerromme alkuperäisen epäyhtälön molemmat osat -3, saamme:

15 > -6

Ja tämä on suora valhe.) Täysi valhe! Ihmisten huijaaminen! Mutta heti kun eriarvoisuusmerkki käännetään, kaikki loksahtaa paikoilleen:

15 < -6

Valheista ja petoksesta - en vain vanno.) "Unohdin vaihtaa eriarvoisuusmerkkiä..."- Tämä Koti virhe epäyhtälöiden ratkaisemisessa. Tämä vähäpätöinen ja mutkaton sääntö on satuttanut niin monia ihmisiä! Jotka ovat unohtaneet ...) Joten vannon. Ehkä muistaa...)

Erityisen tarkkaavaiset huomaavat, että eriarvoisuutta ei voi kertoa lausekkeella x:llä. Kunnioita tarkkaavainen!) Ja miksi ei? Vastaus on yksinkertainen. Emme tunne tämän lausekkeen merkkiä x:llä. Se voi olla positiivinen, negatiivinen... Siksi emme tiedä mitä epäyhtälömerkkiä laitetaan kertolaskujen jälkeen. Muuttaako vai ei? Tuntematon. Tietenkin tämä rajoitus (kielto kertoa / jakaa epäyhtälö lausekkeella x:llä) voidaan ohittaa. Jos todella tarvitset sitä. Mutta tämä on muiden oppituntien aihe.

Se on kaikki identtisiä eriarvoisuuksien muunnoksia. Muistutan vielä kerran, että he työskentelevät minkä tahansa epätasa-arvoa. Ja nyt voit siirtyä tiettyihin tyyppeihin.

Lineaariset epäyhtälöt. Ratkaisu, esimerkkejä.

Lineaarisia epäyhtälöitä kutsutaan epäyhtälöiksi, joissa x on ensimmäisessä asteessa eikä x:llä ole jakoa. Tyyppi:

x+3 > 5x-5

Miten nämä eriarvoisuudet ratkaistaan? Ne on erittäin helppo ratkaista! Nimittäin: avulla vähennämme hämmentyneintä lineaarista epätasa-arvoa suoraan vastaukseen. Siinä koko ratkaisu. Korostan ratkaisun pääkohdat. Tyhmien virheiden välttämiseksi.)

Ratkaisemme tämän epätasa-arvon:

x+3 > 5x-5

Ratkaisemme samalla tavalla kuin lineaarinen yhtälö. Ainoalla erolla:

Kiinnitä huomiota eriarvoisuusmerkkiin!

Ensimmäinen vaihe on yleisin. Kun x - vasemmalle, ilman x - oikealle ... Tämä on ensimmäinen identtinen muunnos, yksinkertainen ja ongelmaton.) Älä vain unohda muuttaa siirrettyjen jäsenten merkkejä.

Epätasa-arvomerkki säilyy:

x-5x > -5-3

Esittelemme samanlaisia.

Epätasa-arvomerkki säilyy:

4x > -8

Jäljelle jää viimeinen identtinen muunnos: jaa molemmat osat -4:llä.

Jaettuna negatiivinen määrä.

Epätasa-arvomerkki käännetään:

X < 2

Tämä on vastaus.

Näin kaikki lineaariset epäyhtälöt ratkaistaan.

Huomio! Piste 2 on piirretty valkoiseksi, ts. maalaamaton. Tyhjä sisältä. Tämä tarkoittaa, että hän ei ole mukana vastauksessa! Piirsin hänet niin terveenä tarkoituksella. Tällaista pistettä (tyhjä, ei terve!)) matematiikassa kutsutaan rei'itetty kohta.

Loput numerot akselilla voidaan merkitä, mutta ei välttämättömiä. Ylimääräiset luvut, jotka eivät liity meidän eriarvoisuuteen, voivat olla hämmentäviä, kyllä... Pitää vain muistaa, että lukujen kasvu menee nuolen suuntaan, ts. numerot 3, 4, 5 jne. ovat oikealle kakkoset ja luvut 1, 0, -1 jne. - vasemmalle.

Epätasa-arvo x < 2 - tiukka. X on ehdottomasti pienempi kuin kaksi. Jos olet epävarma, tarkistus on yksinkertainen. Korvaamme epätasa-arvon epäilyttävän luvun ja ajattelemme: "Kaksi on vähemmän kuin kaksi? Ei tietenkään!" Tarkalleen. Epätasa-arvo 2 < 2 väärä. Deuce ei ole hyvä vastaus.

Onko yksittäinen tarpeeksi hyvä? Varmasti. Vähemmän ... Ja nolla on hyvä, ja -17 ja 0,34 ... Kyllä, kaikki luvut, jotka ovat pienempiä kuin kaksi, ovat hyviä! Ja jopa 1,9999 .... Ainakin vähän, mutta vähemmän!

Joten merkitsemme kaikki nämä numerot numeroakselille. Miten? Täällä on vaihtoehtoja. Ensimmäinen vaihtoehto on kuoriutuminen. Viemme hiiren kuvan päälle (tai kosketamme kuvaa tabletilla) ja näemme, että x-ehtoa vastaavien pallojen alue on varjostettu. < 2 . Siinä kaikki.

Tarkastellaan toista vaihtoehtoa toisessa esimerkissä:

X ≥ -0,5

Piirrä akseli, merkitse numero -0,5. Kuten tämä:

Huomasitko eron?) No, kyllä, on vaikea olla huomaamatta... Tämä piste on musta! Maalattu päälle. Tämä tarkoittaa, että -0,5 mukana vastauksessa. Täällä muuten, tarkistaa ja hämmentää jotakuta. Korvaamme:

-0,5 ≥ -0,5

Kuinka niin? -0,5 ei ole muuta kuin -0,5! Siellä on lisää kuvakkeita...

Se on okei. Ei-tiukassa epätasa-arvossa kaikki, mikä sopii kuvakkeeseen, sopii. Ja on yhtä suuri sopii ja lisää hyvä. Siksi -0,5 sisältyy vastaukseen.

Joten merkitsimme akselille -0,5, jää merkitä kaikki luvut, jotka ovat suurempia kuin -0,5. Tällä kertaa merkitsen sopivien x-arvojen alueen kahle(sanasta kaari) kuoriutumisen sijaan. Vie hiiri kuvan päälle ja katso tämä jousi.

Kuoriutumisen ja kaarien välillä ei ole erityistä eroa. Tee kuten opettaja sanoo. Jos opettajaa ei ole, vedä kädet. Monimutkaisemmissa tehtävissä kuoriutuminen on vähemmän ilmeistä. Voit hämmentyä.

Näin lineaariset epäyhtälöt piirretään akselille. Siirrymme seuraavaan epätasa-arvoon.

Kirjoita vastaus eriarvoisuuksiin.

Se oli hyvä yhtälöissä.) Löysimme x:n ja kirjoitimme vastauksen muistiin, esimerkiksi: x \u003d 3. Eriarvoisuuksissa vastausten kirjoittamiseen on kaksi muotoa. Yksi - lopullisen epätasa-arvon muodossa. Sopii yksinkertaisiin tapauksiin. Esimerkiksi:

X< 2.

Tämä on täydellinen vastaus.

Joskus on kirjoitettava sama asia, mutta eri muodossa, numeeristen aukkojen kautta. Sitten merkintä alkaa näyttää hyvin tieteelliseltä):

x ∈ (-∞; 2)

-kuvakkeen alla ∈ salaa sanaa "kuuluu".

Kirjoitus kuuluu näin: x kuuluu väliin miinus äärettömästä kahteen ei sisällä. Ihan loogista. X voi olla mikä tahansa luku kaikista mahdollisista luvuista miinus äärettömästä kahteen. Double X ei voi olla, minkä sana kertoo meille "ei sisällä".

Missä se vastaus on "ei sisällä"? Tämä tosiasia mainitaan vastauksessa. pyöristää suluissa heti kakkosen jälkeen. Jos kakkonen otettaisiin mukaan, sulkumerkit olisivat neliö. Tässä se on: ]. Seuraava esimerkki käyttää tällaista kiinnikettä.

Kirjoita vastaus muistiin: x ≥ -0,5 väliajoin:

x ∈ [-0,5; +∞)

Lukee: x kuuluu väliin miinus 0,5, mukaan lukien, plus äärettömyyteen asti.

Infinity ei voi koskaan käynnistyä. Se ei ole numero, se on symboli. Siksi tällaisissa merkinnöissä ääretön esiintyy aina suluissa.

Tämä tallennusmuoto on kätevä monimutkaisille vastauksille, joissa on useita aukkoja. Mutta - vain lopullisia vastauksia varten. Välituloksissa, joissa odotetaan lisäratkaisua, on parempi käyttää tavallista muotoa, yksinkertaisen epäyhtälön muodossa. Käsittelemme tätä asiaan liittyvissä aiheissa.

Suosittuja tehtäviä, joissa on eriarvoisuutta.

Itse lineaariset epäyhtälöt ovat yksinkertaisia. Siksi tehtävät muuttuvat usein vaikeammiksi. Joten ajatella, että se oli välttämätöntä. Tämä, jos tottumuksesta, ei ole kovin miellyttävää.) Mutta se on hyödyllistä. Näytän esimerkkejä tällaisista tehtävistä. Sinun ei tarvitse oppia niitä, se on tarpeetonta. Ja jotta ei pelätä tavattaessa samanlaisia ​​esimerkkejä. Pieni ajatus - ja kaikki on yksinkertaista!)

1. Etsi mitkä tahansa kaksi ratkaisua epäyhtälölle 3x - 3< 0

Jos ei ole kovin selvää mitä tehdä, muista matematiikan pääsääntö:

Jos et tiedä mitä tehdä, tee mitä voit!

X < 1

Mitä sitten? Ei mitään erityistä. Mitä meiltä kysytään? Meitä pyydetään löytämään kaksi tiettyä lukua, jotka ovat ratkaisu epäyhtälöön. Nuo. sopii vastaukseen. Kaksi minkä tahansa numeroita. Itse asiassa tämä on noloa.) Pari 0 ja 0,5 ovat sopivia. Pari -3 ja -8. Kyllä, näitä pareja on ääretön määrä! Mikä on oikea vastaus?!

Vastaan: kaikki! Mikä tahansa lukupari, joista jokainen on pienempi kuin yksi, olisi oikea vastaus. Kirjoita mitä haluat. Mennään pidemmälle.

2. Ratkaise epäyhtälö:

4x-3 ≠ 0

Tällaiset työt ovat harvinaisia. Mutta apuepäyhtälöinä esimerkiksi ODZ:tä löydettäessä tai funktion toimialuetta löydettäessä niitä kohdataan koko ajan. Tällainen lineaarinen epäyhtälö voidaan ratkaista tavallisena lineaarisena yhtälönä. Vain kaikkialla paitsi "="-merkkiä ( on yhtä suuri) laita merkki " ≠ " (ei tasa-arvoinen). Joten tulet vastaukseen, jossa on eriarvoisuusmerkki:

X ≠ 0,75

Monimutkaisemmissa esimerkeissä on parempi tehdä asiat toisin. Tee eriarvoisuudesta tasa-arvoinen. Kuten tämä:

4x-3 = 0

Ratkaise se rauhallisesti opetetulla tavalla ja saat vastauksen:

x = 0,75

Tärkeintä aivan lopussa, kun kirjoitat lopullista vastausta muistiin, on muistaa, että olemme löytäneet x, joka antaa tasa-arvo. Ja me tarvitsemme - eriarvoisuutta. Siksi emme vain tarvitse tätä X.) Ja meidän on kirjoitettava se ylös oikealla kuvakkeella:

X ≠ 0,75

Tämä lähestymistapa johtaa vähemmän virheisiin. Ne, jotka ratkaisevat yhtälöitä koneella. Ja niille, jotka eivät ratkaise yhtälöitä, epätasa-arvot ovat itse asiassa hyödyttömiä ...) Toinen esimerkki suositusta tehtävästä:

3. Etsi epäyhtälön pienin kokonaislukuratkaisu:

3 (x - 1) < 5x + 9

Ensin yksinkertaisesti ratkaisemme eriarvoisuuden. Avaamme sulut, siirrämme, annamme samanlaisia ​​... Saamme:

X > - 6

Eikö se tapahtunut!? Seurasitko merkkejä? Ja jäsenten merkkien takana ja eriarvoisuuden merkin takana ...

Kuvitellaanpa taas. Meidän on löydettävä tietty luku, joka vastaa sekä vastausta että ehtoa "pienin kokonaisluku". Jos se ei heti valkenee, voit ottaa minkä tahansa numeron ja selvittää sen. Onko kaksi suurempi kuin miinus kuusi? Varmasti! Onko sopivaa pienempi numero? Tietysti. Esimerkiksi nolla on suurempi kuin -6. Ja vielä vähemmän? Tarvitsemme pienimmän mahdollisen! Miinus kolme on enemmän kuin miinus kuusi! Voit jo ottaa mallin kiinni ja lopettaa typerän numeroiden lajittelun, eikö?)

Otetaan luku lähempänä -6:ta. Esimerkiksi -5. Vastaus suoritettu, -5 > - 6. Löydätkö toisen luvun, joka on pienempi kuin -5 mutta suurempi kuin -6? Voit esimerkiksi -5,5 ... Lopeta! Meille on kerrottu koko päätös! Ei rullaa -5,5! Entä miinus kuusi? Eee! Epäyhtälö on tiukka, miinus 6 ei ole pienempi kuin miinus 6!

Oikea vastaus on siis -5.

Toivon, että kaikki on selvää arvon valinnassa yleisestä ratkaisusta. Toinen esimerkki:

4. Ratkaise epäyhtälö:

7 < 3x+1 < 13

Miten! Sellaista ilmaisua kutsutaan kolminkertainen eriarvoisuus. Tarkkaan ottaen tämä on lyhennetty merkintä epätasa-arvojärjestelmästä. Mutta sinun on silti ratkaistava tällaiset kolminkertaiset epätasa-arvot joissakin tehtävissä... Se ratkeaa ilman järjestelmiä. Samoilla identtisillä muunnoksilla.

On tarpeen yksinkertaistaa, tuoda tämä epätasa-arvo puhtaaseen X:ään. Mutta... Mitä siirtää minne!? Tässä on aika muistaa, että vaihtaminen vasemmalle-oikealle on lyhennetty muoto ensimmäinen identtinen muunnos.

Ja koko lomake näyttää tältä: Voit lisätä/vähentää minkä tahansa luvun tai lausekkeen yhtälön molempiin osiin (epäyhtälö).

Tässä on kolme osaa. Joten käytämme identtisiä muunnoksia kaikkiin kolmeen osaan!

Joten päästään eroon epätasa-arvon keskiosassa olevasta. Vähennä yksi koko keskiosasta. Jotta epäyhtälö ei muutu, vähennämme yhden jäljellä olevista kahdesta osasta. Kuten tämä:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Jo parempi, eikö?) On vielä jaettava kaikki kolme osaa kolmeen:

2 < X < 4

Siinä kaikki. Tämä on vastaus. X voi olla mikä tahansa luku kahdesta (ei sisällä) neljään (ei sisällä). Tämä vastaus kirjoitetaan myös väliajoin, tällaiset merkinnät ovat neliöyhtälöissä. Siellä ne ovat yleisimmät.

Oppitunnin lopussa toistan tärkeimmän asian. Lineaaristen epäyhtälöiden ratkaisemisen onnistuminen riippuu kyvystä muuttaa ja yksinkertaistaa lineaarisia yhtälöitä. Jos samaan aikaan seuraa eriarvoisuusmerkkiä, ei tule ongelmia. Mitä toivon sinulle. Ei ongelmaa.)

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Saatuamme alustavat tiedot muuttujien epäyhtälöistä, siirrymme niiden ratkaisun kysymykseen. Analysoidaan lineaaristen epäyhtälöiden ratkaisua yhdellä muuttujalla ja kaikkia menetelmiä niiden ratkaisemiseksi algoritmien ja esimerkkien avulla. Vain lineaariset yhtälöt, joissa on yksi muuttuja, otetaan huomioon.

Mikä on lineaarinen epäyhtälö?

Ensin sinun on määritettävä lineaarinen yhtälö ja selvitettävä sen vakiomuoto ja kuinka se eroaa muista. Koulukurssista olemme saaneet, että eriarvoisuuksilla ei ole perustavanlaatuista eroa, joten on käytettävä useita määritelmiä.

Määritelmä 1

Lineaarinen epäyhtälö yhdellä muuttujalla x on muotoa a x + b > 0 oleva epäyhtälö, kun mitä tahansa epäyhtälömerkkiä käytetään >:n sijaan< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Määritelmä 2

Epäyhtälöt a x< c или a · x >c , jossa x on muuttuja ja a ja c joitakin lukuja, kutsutaan lineaariset epäyhtälöt yhdellä muuttujalla.

Koska mitään ei sanota siitä, voiko kerroin olla yhtä suuri kuin 0, niin tiukka epäyhtälö muotoa 0 x > c ja 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Niiden erot ovat:

• merkintä a · x + b > 0 ensimmäisessä ja a · x > c – toisessa;
• nollakertoimen a hyväksyttävyys, a ≠ 0 - ensimmäisessä ja a = 0 - toisessa.

Uskotaan, että epäyhtälöt a x + b > 0 ja a x > c ovat ekvivalentteja, koska ne saadaan siirtämällä termi osasta toiseen. Epäyhtälön 0 · x + 5 > 0 ratkaiseminen johtaa siihen, että se täytyy ratkaista, eikä tapaus a = 0 toimi.

Määritelmä 3

Oletetaan, että yhden muuttujan x lineaariset epäyhtälöt ovat muodon epäyhtälöitä a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 ja a x + b ≥ 0, jossa a ja b ovat reaalilukuja. X:n sijasta voi olla tavallinen luku.

Säännön perusteella meillä on, että 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 kutsutaan lineaariseksi.

Kuinka ratkaista lineaarinen epäyhtälö

Pääasiallinen tapa ratkaista tällaisia ​​epäyhtälöitä on käyttää ekvivalentteja muunnoksia löytääkseen alkeisyhtälöt x< p (≤ , >, ≥) , p on jokin luku, jos a ≠ 0 ja muotoa a< p (≤ , >, ≥) kun a = 0 .

Voit ratkaista epäyhtälön yhdellä muuttujalla käyttämällä intervallimenetelmää tai esittää sen graafisesti. Mitä tahansa niistä voidaan käyttää erikseen.

Käyttämällä vastaavia muunnoksia

Lineaarisen epäyhtälön ratkaisemiseksi muotoa a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , on tarpeen soveltaa ekvivalentteja epäyhtälön muunnoksia. Kerroin voi olla nolla tai ei. Harkitse molempia tapauksia. Selvyyden vuoksi on tarpeen noudattaa järjestelmää, joka koostuu kolmesta pisteestä: prosessin ydin, algoritmi, itse ratkaisu.

Määritelmä 4

Algoritmi lineaarisen epäyhtälön ratkaisemiseksi a x + b< 0 (≤ , >, ≥), jos ≠ 0

• luku b siirretään epäyhtälön oikealle puolelle päinvastaisella merkillä, jolloin pääsemme ekvivalenttiin a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• molemmat epäyhtälön osat jaetaan luvulla, joka ei ole yhtä suuri kuin 0. Lisäksi, kun a on positiivinen, merkki pysyy, kun a on negatiivinen, se muuttuu päinvastaiseksi.

Harkitse tämän algoritmin soveltamista esimerkkien ratkaisemiseen.

Esimerkki 1

Ratkaise epäyhtälö muotoa 3 · x + 12 ≤ 0 .

Päätös

Tällä lineaarisella epäyhtälöllä on a = 3 ja b = 12 . Siksi x:n kerroin a ei ole nolla. Sovelletaan yllä olevia algoritmeja ja ratkaistaan.

Termi 12 on siirrettävä toiseen epäyhtälön osaan, jonka edessä on etumerkki. Sitten saadaan epäyhtälö muotoa 3 · x ≤ − 12 . Molemmat osat on jaettava kolmella. Etumerkki ei muutu, koska 3 on positiivinen luku. Saamme, että (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , mikä antaa tulokseksi x ≤ − 4 .

Epäyhtälö muotoa x ≤ − 4 on ekvivalentti. Eli ratkaisu 3 x + 12 ≤ 0 on mikä tahansa reaaliluku, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin 4 . Vastaus kirjoitetaan epäyhtälönä x ≤ − 4 tai muodon (− ∞ , − 4 ] numerovälinä).

Koko yllä kuvattu algoritmi on kirjoitettu seuraavasti:

3 x + 12 < 0; 3 x ≤ -12; x ≤ − 4 .

Vastaus: x ≤ − 4 tai (− ∞ , − 4 ] .

Esimerkki 2

Ilmoita kaikki mahdolliset epäyhtälön − 2 , 7 · z > 0 ratkaisut.

Päätös

Ehdosta näemme, että kerroin a kohdassa z on yhtä suuri kuin -2, 7 ja b eksplisiittisesti puuttuu tai on yhtä suuri kuin nolla. Et voi käyttää algoritmin ensimmäistä vaihetta, vaan siirry heti toiseen.

Jaamme yhtälön molemmat osat numerolla - 2, 7. Koska luku on negatiivinen, on tarpeen muuttaa epäyhtälömerkki päinvastaiseksi. Eli saamme, että (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Kirjoitamme koko algoritmin lyhyessä muodossa:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Vastaus: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Esimerkki 3

Ratkaise epäyhtälö - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Päätös

Ehdon mukaan näemme, että epäyhtälö on ratkaistava kertoimella a muuttujalle x, joka on yhtä suuri kuin -5, kertoimella b, joka vastaa murto-osaa -15 22 . Epäyhtälö on ratkaistava algoritmia noudattaen, eli: siirrä - 15 22 toiseen osaan, jossa on vastakkainen etumerkki, jaa molemmat osat -5:llä, vaihda epäyhtälömerkki:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Viimeisessä oikean puolen siirrossa käytetään sääntöä luvun jakamisesta eri merkeillä 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, minkä jälkeen jaamme tavallisen murtoluvun luonnollisella luvulla - 15 22: 5 \ u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Vastaus: x ≥ - 3 22 ja [ - 3 22 + ∞) .

Tarkastellaan tilannetta, jossa a = 0. Lineaarinen lauseke muodosta a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Kaikki perustuu epätasa-arvon ratkaisun määritelmään. Mille tahansa x:n arvolle saadaan numeerinen epäyhtälö muotoa b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Käsittelemme kaikki tuomiot algoritmin muodossa lineaaristen epäyhtälöiden 0 x + b ratkaisemiseksi< 0 (≤ , > , ≥) :

Määritelmä 5

Muodon numeerinen epäyhtälö b< 0 (≤ , >, ≥) on tosi, silloin alkuperäisellä epäyhtälöllä on ratkaisu mille tahansa arvolle, ja epätosi, kun alkuperäisellä epäyhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Esimerkki 4

Ratkaise epäyhtälö 0 · x + 7 > 0 .

Päätös

Tämä lineaarinen epäyhtälö 0 · x + 7 > 0 voi ottaa minkä tahansa arvon x . Sitten saadaan epäyhtälö muotoa 7 > 0 . Viimeistä epäyhtälöä pidetään tosi, joten mikä tahansa luku voi olla sen ratkaisu.

Vastaus: intervalli (− ∞ , + ∞) .

Esimerkki 5

Etsi ratkaisu epäyhtälölle 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Päätös

Korvaamalla minkä tahansa luvun muuttuja x, saadaan, että epäyhtälö on muodossa − 12 , 7 ≥ 0 . Se on väärin. Eli 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 ei ole ratkaisuja.

Vastaus: ei ole ratkaisuja.

Tarkastellaan lineaaristen epäyhtälöiden ratkaisua, jossa molemmat kertoimet ovat nolla.

Esimerkki 6

Määritä ratkaisematon epäyhtälö arvoista 0 · x + 0 > 0 ja 0 · x + 0 ≥ 0 .

Päätös

Kun korvataan mikä tahansa luku x:n sijaan, saadaan kaksi epäyhtälöä, jotka ovat muotoa 0 > 0 ja 0 ≥ 0 . Ensimmäinen on virheellinen. Tämä tarkoittaa, että 0 x + 0 > 0:lla ei ole ratkaisuja ja 0 x + 0 ≥ 0:lla on ääretön määrä ratkaisuja, eli mikä tahansa luku.

Vastaus: epäyhtälöllä 0 x + 0 > 0 ei ole ratkaisuja ja 0 x + 0 ≥ 0:lla on ratkaisuja.

Tätä menetelmää tarkastellaan koulun matematiikan kurssilla. Intervallimenetelmällä voidaan ratkaista erilaisia ​​epäyhtälöitä, myös lineaarisia.

Intervallimenetelmää käytetään lineaarisille epäyhtälöille, kun kertoimen x arvo ei ole 0. Muussa tapauksessa sinun on laskettava toisella menetelmällä.

Määritelmä 6

Välitysmenetelmä on:

• funktion y = a x + b johdanto;
• etsi nollia jakaaksesi määritelmän alueiksi;
• merkkien määrittäminen niiden käsitteelle aikavälein.

Kootaan algoritmi lineaaristen yhtälöiden a x + b ratkaisemiseksi< 0 (≤ , >, ≥) arvolle ≠ 0 käyttämällä intervallimenetelmää:

• funktion y = a · x + b nollien löytäminen yhtälön ratkaisemiseksi, jonka muoto on a · x + b = 0 . Jos a ≠ 0, niin ratkaisu on ainoa juuri, joka saa merkinnän x 0;
• koordinaattiviivan rakentaminen pisteen kuvan kanssa, jonka koordinaatti on x 0, tiukalla epäyhtälöllä, piste on merkitty rei'itettynä, ei-tiukalla epäyhtälöllä se varjostetaan;
• funktion y = a x + b etumerkkien määrittäminen intervalleilla, tätä varten on tarpeen löytää funktion arvot intervallin pisteistä;
• epäyhtälön ratkaisu koordinaattiviivan merkeillä > tai ≥, viivoitus lisätään positiivisen aukon yläpuolelle,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Harkitse useita esimerkkejä lineaarisen epäyhtälön ratkaisemisesta intervallimenetelmällä.

Esimerkki 6

Ratkaise epäyhtälö − 3 · x + 12 > 0 .

Päätös

Algoritmista seuraa, että ensin on löydettävä yhtälön − 3 · x + 12 = 0 juuri. Saamme, että − 3 · x = − 12 , x = 4 . On tarpeen kuvata koordinaattiviiva, johon merkitsemme pisteen 4. Se puhkaistaan, koska eriarvoisuus on tiukkaa. Harkitse alla olevaa piirustusta.

On tarpeen määrittää välien merkit. Sen määrittämiseksi välillä (− ∞ , 4) on tarpeen laskea funktio y = − 3 · x + 12 kun x = 3 . Tästä saadaan, että − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Merkki erossa on positiivinen.

Määritämme etumerkin väliltä (4, + ∞), sitten korvaamme arvon x \u003d 5. Meillä on − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Suoritamme epäyhtälön ratkaisun merkillä > ja kuoriutuminen suoritetaan positiivisen aukon yli. Harkitse alla olevaa piirustusta.

Piirustuksesta näkyy, että halutulla ratkaisulla on muoto (− ∞ , 4) tai x< 4 .

Vastaus: (− ∞ , 4) tai x< 4 .

Graafisen esittämisen ymmärtämiseksi on tarpeen tarkastella 4 lineaarista epäyhtälöä esimerkkinä: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 ja 0, 5 x − 1 ≥ 0. Heidän ratkaisunsa ovat x< 2 , x ≤ 2 , x >2 ja x ≥ 2. Piirrä tätä varten lineaarifunktion y = 0 , 5 · x − 1 kaavio alla.

Se on selvää

Määritelmä 7

• epäyhtälön 0, 5 x − 1 ratkaisu< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• ratkaisu 0 , 5 x − 1 ≤ 0 on väli, jossa funktio y = 0, 5 x − 1 on alle 0 x tai osuu yhteen;
• ratkaisua 0 , 5 x − 1 > 0 pidetään välinä, jossa funktio sijaitsee O x:n yläpuolella;
• ratkaisu 0 , 5 x − 1 ≥ 0 on väli, jossa kuvaaja on suurempi kuin O x tai osuu yhteen.

Epäyhtälöiden graafisen ratkaisun tarkoitus on löytää aukot, jotka tulee kuvata kaaviossa. Tässä tapauksessa saamme, että vasemmalla puolella on y \u003d a x + b, ja oikealla puolella on y \u003d 0, ja se on sama kuin noin x.

Määritelmä 8

Funktio y = a x + b piirretään:

• samalla kun ratkaistaan ​​epäyhtälö a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• kun ratkaistaan ​​epäyhtälö a x + b ≤ 0, väli määritetään missä kuvaaja näytetään O x -akselin alapuolella tai osuu yhteen;
• kun ratkaistaan ​​epäyhtälö a x + b > 0, määritetään väli, jossa kuvaaja näytetään O x:n yläpuolella;
• kun ratkaistaan ​​epäyhtälö a x + b ≥ 0, väli määritetään missä kuvaaja on O x:n yläpuolella tai osuu yhteen.

Esimerkki 7

Ratkaise kaavion avulla epäyhtälö - 5 · x - 3 > 0.

Päätös

On tarpeen rakentaa graafi lineaarista funktiota - 5 · x - 3 > 0 . Tämä viiva pienenee, koska x:n kerroin on negatiivinen. Sen O x - 5 · x - 3 > 0 -leikkauspisteen koordinaatit määrittämiseksi saadaan arvo - 3 5 . Piirretään se kaavio.

Epäyhtälön ratkaisu merkillä >, niin sinun on kiinnitettävä huomiota väliin O x:n yläpuolella. Korostamme koneen tarvittavan osan punaisella ja saamme sen

Tarvittava rako on punaisen värin O x -osa. Näin ollen avoin lukusäde - ∞ , - 3 5 on epäyhtälön ratkaisu. Jos heillä olisi ehdon mukaan ei-tiukka epäyhtälö, niin pisteen arvo - 3 5 olisi myös ratkaisu epäyhtälöön. Ja olisi sama kuin O x.

Vastaus: - ∞ , - 3 5 tai x< - 3 5 .

Graafista ratkaisua käytetään, kun vasen puoli vastaa funktiota y = 0 x + b, eli y = b . Sitten viiva on yhdensuuntainen O x:n kanssa tai kohtaa b \u003d 0. Nämä tapaukset osoittavat, että epäyhtälöllä ei välttämättä ole ratkaisuja tai mikä tahansa luku voi olla ratkaisu.

Esimerkki 8

Määritä epäyhtälöistä 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Päätös

Esitys y = 0 x + 7 on y = 7, jolloin saadaan koordinaattitaso, jossa on O x:n suuntainen ja O x:n yläpuolella oleva suora. Joten 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Funktion y \u003d 0 x + 0 kuvaajaa pidetään y \u003d 0:na, eli viiva osuu yhteen O x:n kanssa. Tästä syystä epäyhtälöllä 0 · x + 0 ≥ 0 on monia ratkaisuja.

Vastaus: toisella epäyhtälöllä on ratkaisu mille tahansa x:n arvolle.

Lineaariset epäyhtälöt

Epäyhtälöiden ratkaisu voidaan pelkistää lineaarisen yhtälön ratkaisuksi, jota kutsutaan lineaarisiksi epäyhtälöiksi.

Näitä epätasa-arvoja pohdittiin koulun kurssilla, koska ne olivat eriarvoisuuksien ratkaisemisen erityinen tapaus, joka johti hakasulkeiden avaamiseen ja vastaavien termien vähentämiseen. Oletetaan esimerkiksi, että 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Yllä annetut epäyhtälöt pelkistetään aina lineaarisen yhtälön muotoon. Sen jälkeen suluissa avataan ja annetaan samanlaiset termit, siirretään eri osista vaihtamalla merkki päinvastaiseksi.

Kun pelkistetään epäyhtälö 5 − 2 x > 0 lineaariseksi, esitämme sen siten, että sen muoto on − 2 x + 5 > 0 ja toisen pelkistämiseksi saadaan 7 (x − 1 ) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . On tarpeen avata sulut, tuoda samanlaiset termit, siirtää kaikki termit vasemmalle ja tuoda samanlaiset termit. Se näyttää tältä:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Tämä tuo ratkaisun lineaariseen eriarvoisuuteen.

Näitä epäyhtälöitä pidetään lineaarisina, koska niillä on sama ratkaisuperiaate, jonka jälkeen ne on mahdollista pelkistää alkeeryhtälöiksi.

Tämän kaltaisen epätasa-arvon ratkaisemiseksi on välttämätöntä pelkistää se lineaariseksi. Se pitäisi tehdä näin:

Määritelmä 9

• avoimet sulut;
• kerää muuttujat vasemmalla ja numerot oikealla;
• tuoda samanlaiset ehdot;
• jaa molemmat osat kertoimella x .

Esimerkki 9

Ratkaise epäyhtälö 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Päätös

Laajennamme sulkuja, jolloin saadaan epäyhtälö muotoa 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Samankaltaisten termien pelkistämisen jälkeen saamme 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Kun termejä on siirretty vasemmalta oikealle, saadaan 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Näin ollen sen epäyhtälö on muotoa 32 ≤ 0 laskennassa saadusta tuloksesta 0 · x + 32 ≤ 0 . Voidaan nähdä, että epäyhtälö on epätosi, mikä tarkoittaa, että ehdon antamalla epäyhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Vastaus: ei ratkaisuja.

On syytä huomata, että on olemassa monia toisenlaisia ​​epätasa-arvoja, jotka voidaan pelkistää lineaariseksi tai yllä esitetyn kaltaiseksi epäyhtälöksi. Esimerkiksi 5 2 x − 1 ≥ 1 on eksponentiaalinen yhtälö, joka pelkistyy lineaariseen ratkaisuun 2 · x − 1 ≥ 0 . Nämä tapaukset otetaan huomioon tämän tyyppisiä epäyhtälöitä ratkaistaessa.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Oppitunnin sisältö

Määritelmät ja ominaisuudet

Kutsumme epäyhtälöksi kahta numeerista tai kirjaimellista lauseketta, jotka on yhdistetty merkeillä >,<, ≥, ≤ или ≠.

Esimerkki: 5 > 3

Tämä epäyhtälö sanoo, että luku 5 on suurempi kuin luku 3. Epäyhtälömerkin terävä kulma tulee suunnata pienempään numeroon. Tämä epäyhtälö on totta, koska 5 on suurempi kuin 3.

Jos vaa'an vasemmalle kattilaan asetetaan 5 kg painava vesimeloni ja oikealle 3 kg painava vesimeloni, vasen pannu painaa oikeanpuoleisen ja vaa'an näyttö näyttää, että vasen kattila on painavampi kuin oikea:

Jos 5 > 3 niin 3< 5 . То есть левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак <

Jos epäyhtälössä 5 > 3 koskematta vasenta ja oikeaa osaa, vaihda etumerkki muotoon< , то получится неравенство 5 < 3 . Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

Numeroita, jotka sijaitsevat epäyhtälön vasemmalla ja oikealla puolella, kutsutaan jäsenet tämä eriarvoisuus. Esimerkiksi epäyhtälössä 5 > 3 jäsenet ovat numerot 5 ja 3.

Tarkastellaan joitain tärkeitä ominaisuuksia epäyhtälölle 5 > 3 .
Tulevaisuudessa nämä ominaisuudet vaikuttavat myös muihin epätasa-arvoihin.

Kiinteistö 1.

Jos sama luku lisätään tai vähennetään epäyhtälön 5 > 3 vasempaan ja oikeaan osaan, niin epäyhtälön etumerkki ei muutu.

Lisätään esimerkiksi luku 4 epäyhtälön molempiin osiin. Sitten saadaan:

Yritetään nyt vähentää jokin luku epäyhtälön 5 > 3 molemmilta puolilta, sanotaan luku 2

Näemme, että vasen puoli on edelleen suurempi kuin oikea.

Tästä ominaisuudesta seuraa, että mikä tahansa epäyhtälön termi voidaan siirtää osasta toiseen vaihtamalla tämän termin etumerkkiä. Epätasa-arvomerkki ei muutu.

Esimerkiksi epäyhtälössä 5 > 3 siirretään termiä 5 vasemmalta puolelta oikealle muuttamalla tämän termin etumerkkiä. Kun termi 5 on siirretty oikealle, vasemmalle puolelle ei jää mitään, joten kirjoitamme sinne 0

0 > 3 − 5

0 > −2

Näemme, että vasen puoli on edelleen suurempi kuin oikea.

Kiinteistö 2.

Jos epäyhtälön molemmat osat kerrotaan tai jaetaan samalla positiivisella luvulla, niin epäyhtälön etumerkki ei muutu.

Kerrotaan esimerkiksi epäyhtälön 5 > 3 molemmat puolet jollain positiivisella luvulla, vaikkapa luvulla 2. Sitten saadaan:

Näemme, että vasen puoli on edelleen suurempi kuin oikea.

Nyt yritetään jakaa molemmat epäyhtälön 5 > 3 osat jollakin luvulla. Jaa ne 2:lla

Näemme, että vasen puoli on edelleen suurempi kuin oikea.

Kiinteistö 3.

Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan tai jaetaan samalla negatiivinen luku, silloin eriarvoisuusmerkki käännetään.

Kerrotaan esimerkiksi epäyhtälön 5 > 3 molemmat puolet jollain negatiivisella luvulla, esimerkiksi -2. Sitten saamme:

Nyt yritetään jakaa molemmat epäyhtälön 5 > 3 osat jollain negatiivisella luvulla. Jaetaan ne -1:llä

Näemme, että vasen puoli on tullut pienemmäksi kuin oikea. Eli eriarvoisuuden merkki on muuttunut päinvastaiseksi.

Sinänsä eriarvoisuus voidaan ymmärtää tietyksi ehdoksi. Jos ehto täyttyy, epätasa-arvo on totta. Päinvastoin, jos ehto ei täyty, epäyhtälö on väärä.

Esimerkiksi, jotta voit vastata kysymykseen, onko epäyhtälö 7 > 3 totta, sinun on tarkistettava, täyttyykö ehto "on 7 enemmän kuin 3" . Tiedämme, että luku 7 on suurempi kuin luku 3. Eli ehto täyttyy, ja siten epäyhtälö 7 > 3 on totta.

Epätasa-arvo 8< 6 не является верным, поскольку не выполняется условие "8 on pienempi kuin 6".

Toinen tapa määrittää, onko epäyhtälö oikea, on ottaa ero annetun epäyhtälön vasemmalta ja oikealta puolelta. Jos ero on positiivinen, vasen puoli on suurempi kuin oikea puoli. Toisaalta, jos ero on negatiivinen, vasen puoli on pienempi kuin oikea puoli. Tarkemmin sanottuna tämä sääntö näyttää tältä:

Määrä a lisää numeroa b jos ero a-b positiivinen. Määrä a pienempi kuin numero b jos ero a-b negatiivinen.

Esimerkiksi havaitsimme, että epäyhtälö 7 > 3 on totta, koska luku 7 on suurempi kuin luku 3. Todistetaan tämä yllä olevan säännön avulla.

Muodosta ero termeistä 7 ja 3. Sitten saadaan 7 − 3 = 4 . Säännön mukaan luku 7 on suurempi kuin luku 3, jos ero 7 − 3 on positiivinen. Meillä se on yhtä suuri kuin 4, eli ero on positiivinen. Joten luku 7 on suurempi kuin numero 3.

Tarkastetaan erotuksen avulla, onko epäyhtälö 3< 4 . Составим разность, получим 3 − 4 = −1 . Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

Tarkastetaan, onko epäyhtälö 5 > 8 totta. Laske ero, saamme 5 − 8 = −3. Säännön mukaan luku 5 on suurempi kuin luku 8, jos ero 5 − 8 on positiivinen. Eromme on −3, eli se ei ole positiivinen. Siis numero 5 ei enempää luku 3. Toisin sanoen epäyhtälö 5 > 8 ei ole totta.

Tiukka ja ei-tiukka eriarvoisuus

Epäyhtälöt, jotka sisältävät merkkejä >,< называют tiukka. Ja kutsutaan epäyhtälöitä, jotka sisältävät merkit ≥, ≤ ei-tiukka.

Pohdimme esimerkkejä tiukasta eriarvoisuudesta aiemmin. Nämä ovat epäyhtälöt 5 > 3, 7< 9 .

Ei-tiukka on esimerkiksi epäyhtälö 2 ≤ 5 . Tämä epätasa-arvo luetaan seuraavasti: "2 on pienempi tai yhtä suuri kuin 5" .

Merkintä 2 ≤ 5 on epätäydellinen. Täydellinen ennätys tästä epätasa-arvosta on seuraava:

2 < 5 tai 2 = 5

Silloin käy ilmi, että epäyhtälö 2 ≤ 5 koostuu kahdesta ehdosta: "kaksi vähemmän kuin viisi" ja "kaksi on viisi" .

Epätasainen epäyhtälö on tosi, jos ainakin yksi sen ehdoista täyttyy. Esimerkissämme ehto on totta "2 on pienempi kuin 5". Tämä tarkoittaa, että epäyhtälö 2 ≤ 5 on myös totta.

Esimerkki 2. Epäyhtälö 2 ≤ 2 on tosi, koska yksi sen ehdoista täyttyy, nimittäin 2 = 2.

Esimerkki 3. Epäyhtälö 5 ≤ 2 ei ole totta, koska mikään sen ehdoista ei täyty: ei myöskään 5< 2 ни 5 = 2 .

kaksinkertainen eriarvoisuus

Numero 3 on suurempi kuin numero 2 ja pienempi kuin numero 4 . Epäyhtälön muodossa tämä väite voidaan kirjoittaa seuraavasti: 2< 3 < 4 . Такое неравенство называют двойным.

Kaksinkertainen epätasa-arvo voi sisältää merkkejä ei-tiukkasta eriarvoisuudesta. Esimerkiksi jos numero 5 on suurempi tai yhtä suuri kuin numero 2 ja pienempi tai yhtä suuri kuin numero 7 , niin voimme kirjoittaa, että 2 ≤ 5 ≤ 7

Kirjoittaaksesi kaksois-epäyhtälön oikein, kirjoita ensin termi keskelle, sitten termi vasemmalle ja sitten termi oikealle.

Kirjoitetaan esimerkiksi, että luku 6 on suurempi kuin luku 4 ja pienempi kuin luku 9.

Kirjoita ensin ylös 6

Vasemmalla kirjoitamme, että tämä luku on suurempi kuin numero 4

Oikealla kirjoitamme, että luku 6 on pienempi kuin numero 9

Muuttuva epätasa-arvo

Epätasa-arvo, kuten tasa-arvo, voi sisältää muuttujan.

Esimerkiksi eriarvoisuus x> 2 sisältää muuttujan x. Yleensä tällainen epätasa-arvo on ratkaistava, eli selvitettävä, mille arvoille x tämä eriarvoisuus toteutuu.

Epäyhtälön ratkaiseminen tarkoittaa muuttujan tällaisten arvojen löytämistä x, jonka alla tämä epätasa-arvo toteutuu.

Kutsutaan muuttujan arvoa, jolla epäyhtälö tulee todeksi ratkaisemaan eriarvoisuutta.

Epätasa-arvo x> 2 tulee todeksi, kun x=3, x=4, x=5, x=6 ja niin edelleen loputtomiin. Näemme, että tällä epätasa-arvolla ei ole yhtä ratkaisua, vaan monia ratkaisuja.

Toisin sanoen ratkaisemalla eriarvoisuus x> 2 on kaikkien 2:ta suurempien lukujen joukko. Näille luvuille epäyhtälö on tosi. Esimerkkejä:

3 > 2

4 > 2

5 > 2

Numero 2, joka sijaitsee epäyhtälön oikealla puolella x> 2, soitamme rajaa tämä eriarvoisuus. Epäyhtälön merkistä riippuen raja voi kuulua tai olla kuulumatta epäyhtälön ratkaisujen joukkoon.

Esimerkissämme epätasa-arvoraja ei kuulu ratkaisujen joukkoon, koska kun korvataan luku 2 epäyhtälöön x> 2 käy ilmi ei oikein eriarvoisuus 2 > 2 . Luku 2 ei voi olla itseään suurempi, koska se on yhtä suuri kuin itsensä (2 = 2) .

Epätasa-arvo x> 2 on tiukka. Sen voi lukea näin: x on ehdottomasti suurempi kuin 2" . Eli kaikki muuttujan hyväksymät arvot x on oltava ehdottomasti suurempi kuin 2. Muuten epäyhtälö ei ole totta.

Jos meille annettaisiin ei-tiukka eriarvoisuus x≥ 2 , niin tämän epäyhtälön ratkaisut olisivat kaikki luvut, jotka ovat suurempia kuin 2, mukaan lukien itse luku 2. Tässä epäyhtälössä raja 2 kuuluu epäyhtälön ratkaisujen joukkoon, koska kun luku 2 korvataan eriarvoisuutta x≥ 2 saamme oikean epäyhtälön 2 ≥ 2 . Aiemmin sanottiin, että epätasainen epäyhtälö on tosi, jos ainakin yksi sen ehdoista täyttyy. Epäyhtälö 2 ≥ 2 täyttää ehdon 2 = 2 , joten myös epäyhtälö 2 ≥ 2 on totta.

Kuinka ratkaista epätasa-arvo

Epäyhtälöiden ratkaisuprosessi on monella tapaa samanlainen kuin yhtälöiden ratkaisuprosessi. Epäyhtälöitä ratkaistaessa käytämme tämän oppitunnin alussa tutkimiamme ominaisuuksia, kuten: termien siirtäminen epäyhtälön osasta toiseen, etumerkin vaihtaminen; kertomalla (tai jakamalla) epäyhtälön molemmat puolet samalla luvulla.

Näiden ominaisuuksien avulla voimme saada epäyhtälön, joka vastaa alkuperäistä epäyhtälöä. Ekvivalenttisia epäyhtälöitä kutsutaan epäyhtälöiksi, joiden ratkaisut ovat samat.

Yhtälöitä ratkottaessa suoritimme identtisiä muunnoksia, kunnes yhtälön vasemmalle puolelle jäi muuttuja ja tämän muuttujan oikealle puolelle (esim. x=2, x=5). Toisin sanoen alkuperäinen yhtälö korvattiin vastaavalla yhtälöllä, kunnes yhtälö on muotoa x = a, missä a muuttuva arvo x. Yhtälöstä riippuen juuria voi olla yksi, kaksi, ääretön määrä tai ei ollenkaan.

Ja epäyhtälöitä ratkaistaessa korvataan alkuperäinen epäyhtälö sitä vastaavalla epäyhtälöllä, kunnes tämän epäyhtälön muuttuja jää vasemmalle puolelle ja sen raja oikealle puolelle.

Esimerkki 1. Ratkaise epäyhtälö 2 x> 6

Joten sinun on löydettävä tällaiset arvot x , kun ne korvataan 2:lla x> 6 saamme oikean epäyhtälön.

Tämän oppitunnin alussa sanottiin, että jos molemmat epätasa-arvon osat jaetaan jollakin positiivisella luvulla, niin eriarvoisuuden merkki ei muutu. Jos tätä ominaisuutta sovelletaan epäyhtälöön, joka sisältää muuttujan, niin saadaan epäyhtälö, joka vastaa alkuperäistä epäyhtälöä.

Meidän tapauksessamme, jos erotamme molemmat epäyhtälön 2 osat x> 6 jollakin positiivisella luvulla, niin saadaan epäyhtälö, joka vastaa alkuperäistä epäyhtälöä 2 x> 6.

Jaetaan siis epäyhtälön molemmat puolet kahdella.

Vasemmalla puolella on muuttuja x, ja oikea puoli tuli yhtä suureksi kuin 3. Saimme ekvivalentin epäyhtälön x> 3. Tämä viimeistelee ratkaisun, koska muuttuja jää vasemmalle puolelle ja epäyhtälöraja oikealle puolelle.

Nyt voimme päätellä, että eriarvoisuuden ratkaisut x> 3 ovat kaikki lukuja, jotka ovat suurempia kuin 3. Nämä ovat luvut 4, 5, 6, 7 ja niin edelleen loputtomiin. Näille arvoille epätasa-arvo x> 3 olisi oikein.

4 > 3

5 > 3

6 > 3

7 > 3

Huomaa, että eriarvoisuus x> 3 on tiukka. " Muuttuja x on ehdottomasti suurempi kuin kolme."

Ja koska eriarvoisuus x> 3 vastaa alkuperäistä epäyhtälöä 2 x> 6 , silloin niiden ratkaisut ovat samat. Toisin sanoen arvot, jotka sopivat eriarvoisuuteen x> 3 sopii myös epätasa-arvoon 2 x> 6. Näytä se.

Otetaan esimerkiksi luku 5 ja korvataan se ensin saamallamme ekvivalenttiepäyhtälöllä x> 3 ja sitten alkuperäiseen 2 x> 6 .

Näemme, että molemmissa tapauksissa saadaan oikea epäyhtälö.

Kun epäyhtälö on ratkaistu, vastaus tulee kirjoittaa ns numeroväli seuraavalla tavalla:

Tämä lauseke sanoo, että muuttujan ottamat arvot x, kuuluvat numeeriseen väliin kolmesta plus äärettömään.

Toisin sanoen kaikki luvut kolmesta plus äärettömään ovat ratkaisuja epäyhtälöön x> 3. Merkki ∞ matematiikassa tarkoittaa ääretöntä.

Ottaen huomioon, että numeerisen intervallin käsite on erittäin tärkeä, tarkastelkaamme sitä yksityiskohtaisemmin.

Numeeriset jännevälit

Numeerinen ero nimeä koordinaattiviivan lukujoukko, jota voidaan kuvata epäyhtälöllä.

Oletetaan, että haluamme piirtää koordinaattiviivalle joukon numeroita 2:sta 8:aan. Tätä varten merkitse ensin koordinaattiviivalle pisteet koordinaatteilla 2 ja 8 ja valitse sitten vedoilla alue, joka sijaitsee koordinaattien 2 ja 8 välissä. 8. Näillä vedoilla on numeroiden rooli, jotka sijaitsevat numeroiden 2 ja 8 välissä

Soitetaan numeroita 2 ja 8 rajoja numeroväli. Piirrettäessä numeerista väliä sen rajojen pisteet eivät ole kuvattu pisteinä sellaisenaan, vaan ympyröinä, jotka voidaan nähdä.

Rajat voivat kuulua numeeriseen alueeseen tai eivät.

Jos rajat ei kuulu numeerinen intervalli, niin ne on kuvattu lomakkeen koordinaattiviivalla tyhjiä ympyröitä.

Jos rajat kuulua numeerinen väli, ympyröiden on oltava maalata päälle.

Piirustuksessamme ympyrät jätettiin tyhjiksi. Tämä tarkoitti, että rajat 2 ja 8 eivät kuulu numeeriseen aukkoon. Tämä tarkoittaa, että numeroalueemme sisältää kaikki luvut 2-8 lukuun ottamatta numeroita 2 ja 8.

Jos haluamme sisällyttää reunukset 2 ja 8 numeroalueeseen, ympyrät on täytettävä:

Tässä tapauksessa numeroalue sisältää kaikki numerot 2-8, mukaan lukien numerot 2 ja 8.

Kirjoituksessa numeerinen väli osoitetaan osoittamalla sen rajat pyöreillä tai hakasulkeilla.

Jos rajat ei kuulu suluissa.

Jos rajat kuulua numeerinen aukko, sitten reunat kehystetään hakasulkeet.

Kuvassa on kaksi numeroväliä 2-8 vastaavilla merkinnöillä:

Ensimmäisessä kuvassa numeerinen ero on merkitty suluissa, koska rajat 2 ja 8 ei kuulu tämä numeroväli.

Toisessa kuvassa numeerista aukkoa osoittaa hakasulkeet, koska rajat 2 ja 8 kuulua tämä numeroväli.

Numeeristen intervallien avulla voit kirjoittaa vastauksia epäyhtälöihin. Esimerkiksi vastaus kaksois-epäyhtälöön 2 ≤ x≤ 8 kirjoitetaan näin:

x ∈ [ 2 ; 8 ]

Eli ensin kirjoitetaan epäyhtälössä oleva muuttuja, jonka jälkeen ne osoittavat jäsenmerkin ∈ avulla mihin numeroväliin tämän muuttujan arvot kuuluvat. Tässä tapauksessa ilmaisu x∈ [ 2 ; 8] osoittaa, että muuttuja x, sisältyy epäyhtälöön 2 ≤ x≤ 8, ottaa kaikki arvot välillä 2 ja 8 mukaan lukien. Näille arvoille epätasa-arvo on totta.

Kiinnitä huomiota siihen, että vastaus kirjoitetaan hakasulkeilla, koska epäyhtälön rajat 2 ≤ x≤ 8 , eli luvut 2 ja 8 kuuluvat tämän epäyhtälön ratkaisujen joukkoon.

Epäyhtälön 2 ≤ ratkaisujen joukko x≤ 8 voidaan esittää myös käyttämällä koordinaattiviivaa:

Tässä numerovälin 2 ja 8 rajat vastaavat epäyhtälön 2 ≤ rajoja. x x 2 ≤ x≤ 8 .

Joissakin lähteissä kutsutaan rajoja, jotka eivät kuulu numeeriseen aukkoon avata .

Niitä kutsutaan avoimina, koska numeerinen väli pysyy avoimena, koska sen rajat eivät kuulu tähän numeeriseen väliin. Tyhjää ympyrää matematiikan koordinaattiviivalla kutsutaan rei'itetty kohta . Pisteen työntäminen tarkoittaa sen sulkemista pois numeerisesta intervallista tai epäyhtälön ratkaisujoukosta.

Ja siinä tapauksessa, että rajat kuuluvat numeeriseen väliin, niitä kutsutaan suljettu(tai suljettu), koska tällaiset rajat sulkevat (sulkevat) numeerisen aukon. Täytetty ympyrä koordinaattiviivalla osoittaa myös, että rajat ovat kiinni.

Numeerisia intervalleja on erilaisia. Tarkastellaan jokaista niistä.

numerosäde

numerosäde x ≥ a, missä a x- ratkaisemaan eriarvoisuutta.

Anna olla a= 3. Sitten epätasa-arvo x ≥ a ottaa muodon x≥ 3. Tämän epäyhtälön ratkaisut ovat kaikki luvut, jotka ovat suurempia kuin 3, mukaan lukien itse luku 3.

Piirrä epäyhtälön antama lukusäde x≥ 3, koordinaattiviivalla. Tee tämä merkitsemällä siihen piste koordinaatilla 3 ja loput alue sen oikealla puolella korosta viivoilla. Se on oikea puoli, joka erottuu eriarvoisuuden ratkaisuista x≥ 3 ovat lukuja suurempia kuin 3. Ja suuremmat luvut koordinaattiviivalla sijaitsevat oikealla

x≥ 3 , ja viivoilla merkitty alue vastaa arvojoukkoa x, jotka ovat ratkaisuja epätasa-arvoon x≥ 3 .

Piste 3, joka on lukusäteen raja, esitetään täytettynä ympyränä, koska epäyhtälön raja x≥ 3 kuuluu sen ratkaisujen joukkoon.

Kirjallisesti epäyhtälön antama numeroviiva x ≥ a,

[ a; +∞)

Voidaan nähdä, että toisella puolella reunusta kehystää hakasulku ja toisella pyöreä hakasulke. Tämä johtuu siitä, että yksi numeerisen säteen raja kuuluu siihen ja toinen ei, koska äärettömyydellä itsessään ei ole rajoja ja ymmärretään, että toisella puolella ei ole numeroa, joka sulkee tämän numeerisen säteen.

Ottaen huomioon, että yksi lukujonon rajoista on suljettu, tätä aukkoa kutsutaan usein suljettu lukusäde.

Kirjoitetaan vastaus eriarvoisuuteen x≥ 3 käyttämällä numerosäteen merkintää. Meillä on muuttuja a on 3

x ∈ [ 3 ; +∞)

Tämä lauseke sanoo, että muuttuja x sisältyy epätasa-arvoon x≥ 3, ottaa kaikki arvot 3:sta plus äärettömään.

Toisin sanoen kaikki luvut 3:sta plus äärettömään ovat ratkaisuja epäyhtälöön x≥ 3. Raja 3 kuuluu ratkaisujoukkoon, koska epäyhtälö x≥ 3 ei ole tiukka.

Suljettua lukusädettä kutsutaan myös lukuväliksi, joka saadaan epäyhtälöstä x ≤ a. Epätasa-arvoratkaisut x ≤ a a, mukaan lukien itse numero a.

Esimerkiksi jos a x≤ 2. Koordinaattiviivalla raja 2 esitetään täytettynä ympyränä ja koko alue sijoittuu vasemmalle, korostetaan viivoilla. Tällä kertaa vasen puoli on korostettu, koska ratkaisut epätasa-arvoon x≤ 2 ovat lukuja pienempiä kuin 2. Ja pienemmät luvut koordinaattiviivalla sijaitsevat vasemmalla

x≤ 2 , ja katkoviiva vastaa arvojoukkoa x, jotka ovat ratkaisuja epätasa-arvoon x≤ 2 .

Piste 2, joka on lukusäteen raja, esitetään täytettynä ympyränä, koska epäyhtälön raja x≤ 2 kuuluu sen ratkaisujen joukkoon.

Kirjoitetaan vastaus eriarvoisuuteen x≤ 2 käyttämällä numerosäteen merkintää:

x ∈ (−∞ ; 2 ]

x≤ 2. Raja 2 kuuluu ratkaisujen joukkoon, koska epäyhtälö x≤ 2 ei ole tiukka.

Avaa numerosäde

Avaa numerosäde kutsutaan numeeriseksi väliksi, joka saadaan epäyhtälöstä x > a, missä a on tämän epätasa-arvon raja, x- eriarvoisuuden ratkaisu.

Avoin lukurivi on monella tapaa samanlainen kuin suljettu numerorivi. Erona on, että raja a ei kuulu väliin, samoin kuin epäyhtälön rajaan x > a ei kuulu sen ratkaisujen joukkoon.

Anna olla a= 3. Sitten epätasa-arvo saa muodon x> 3. Tämän epäyhtälön ratkaisut ovat kaikki luvut, jotka ovat suurempia kuin 3, lukuun ottamatta lukua 3

Koordinaattiviivalla epäyhtälön antama avoimen lukusäteen raja x> 3 näytetään tyhjänä ympyränä. Koko oikealla oleva alue korostetaan viivoin:

Tässä piste 3 vastaa epätasa-arvon rajaa x > 3 , ja viivoilla korostettu alue vastaa arvojoukkoa x, jotka ovat ratkaisuja epätasa-arvoon x > 3. Piste 3, joka on avoimen numeerisen säteen raja, on esitetty tyhjänä ympyränä, koska epäyhtälön raja x > 3 ei kuulu sen ratkaisujen joukkoon.

x > a, merkitty seuraavasti:

(a; +∞)

Sulkumerkit osoittavat, että avoimen lukusäteen rajat eivät kuulu siihen.

Kirjoitetaan vastaus eriarvoisuuteen x> 3 avoimen numeerisen säteen merkinnällä:

x ∈ (3 ; +∞)

Tämä lauseke sanoo, että kaikki luvut 3:sta plus äärettömään ovat ratkaisuja epäyhtälöön x> 3. Raja 3 ei kuulu ratkaisujoukkoon, koska epäyhtälö x> 3 on tiukka.

Avointa lukusädettä kutsutaan myös lukuväliksi, joka saadaan epäyhtälöstä x< a , missä a on tämän epätasa-arvon raja, x– eriarvoisuuden ratkaisu . Epätasa-arvoratkaisut x< a ovat kaikki luvut pienempiä kuin a, lukuun ottamatta numeroa a.

Esimerkiksi jos a= 2 , niin epäyhtälö saa muodon x< 2. Koordinaattiviivalla raja 2 näkyy tyhjänä ympyränä ja koko vasemmalla oleva alue korostetaan viivoin:

Tässä piste 2 vastaa epätasa-arvon rajaa x< 2 , ja viivoilla merkitty alue vastaa arvojoukkoa x, jotka ovat ratkaisuja epätasa-arvoon x< 2. Piste 2, joka on avoimen numeerisen säteen raja, näytetään tyhjänä ympyränä, koska epäyhtälön raja x< 2 ei kuulu sen ratkaisujen joukkoon.

Kirjallisesti epäyhtälön antama avoin lukukeila x< a , merkitty seuraavasti:

(−∞ ; a)

Kirjoitetaan vastaus eriarvoisuuteen x< 2 avoimen numeerisen säteen merkinnällä:

x ∈ (−∞ ; 2)

Tämä lauseke sanoo, että kaikki luvut miinus äärettömästä kahteen ovat ratkaisuja epäyhtälölle x< 2. Raja 2 ei kuulu ratkaisujen joukkoon, koska epäyhtälö x< 2 on tiukka.

Jana

segmentti a ≤ x ≤ b, missä a ja b x- eriarvoisuuden ratkaisu.

Anna olla a = 2 , b= 8. Sitten epätasa-arvo a ≤ x ≤ b saa muotoa 2 ≤ x≤ 8. Epäyhtälön 2 ≤ ratkaisut x≤ 8 ovat kaikki luvut, jotka ovat suurempia kuin 2 ja pienempiä kuin 8. Lisäksi epäyhtälöiden 2 ja 8 rajat kuuluvat sen ratkaisujen joukkoon, koska epäyhtälö 2 ≤ x≤ 8 ei ole tiukka.

Piirrä kaksois-epäyhtälön 2 ≤ antama jana x≤ 8 koordinaattiviivalla. Voit tehdä tämän merkitsemällä siihen pisteet koordinaatilla 2 ja 8 ja merkitsemällä niiden välisen alueen vedoilla:

≤ x≤ 8 , ja katkoviiva vastaa arvojoukkoa x x≤ 8. Pisteet 2 ja 8, jotka ovat janan rajoja, on esitetty täytettyinä ympyröinä, koska epäyhtälön 2 rajat ≤ x≤ 8 kuuluvat sen ratkaisujen joukkoon.

Kirjeessä epäyhtälön antama segmentti a ≤ x ≤ b merkitty seuraavasti:

[ a; b ]

Hakasulkeet molemmilla puolilla osoittavat, että segmentin rajat kuulua häntä. Kirjoitetaan vastaus epäyhtälöön 2 ≤ x

x ∈ [ 2 ; 8 ]

Tämä lauseke sanoo, että kaikki luvut 2–8 ovat ratkaisuja epäyhtälölle 2 ≤ x≤ 8 .

Intervalli

intervalli kutsutaan numeeriseksi väliksi, joka saadaan kaksois-epäyhtälöstä a< x < b , missä a ja b ovat tämän epätasa-arvon rajat, x- eriarvoisuuden ratkaisu.

Anna olla a = 2, b = 8. Sitten epätasa-arvo a< x < b tulee muodossa 2< x< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Kuvataan intervalli koordinaattiviivalla:

Tässä pisteet 2 ja 8 vastaavat epätasa-arvon 2 rajoja< x< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x < x< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x< 8 не принадлежат множеству его решений.

Kirjallisesti epäyhtälön antama väli a< x < b, merkitty seuraavasti:

(a; b)

Sulkumerkit molemmilla puolilla osoittavat, että intervalli on rajallinen ei kuulu häntä. Kirjataan ylös vastaus epäyhtälöön 2< x< 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ (2 ; 8)

Tämä lauseke sanoo, että kaikki luvut 2-8, lukuun ottamatta numeroita 2 ja 8, ovat ratkaisuja epäyhtälöön 2< x< 8 .

Puoliväli

Puoliväli kutsutaan numeeriseksi väliksi, joka saadaan epäyhtälöstä a ≤ x< b , missä a ja b ovat tämän epätasa-arvon rajat, x- eriarvoisuuden ratkaisu.

Puoliväliä kutsutaan myös numeeriseksi intervalliksi, joka saadaan epäyhtälöstä a< x ≤ b .

Yksi puolivälin rajoista kuuluu siihen. Tästä johtuu tämän numerovälin nimi.

Tilanteessa puolivälillä a ≤ x< b se (puoliväli) kuuluu vasempaan rajaan.

Ja tilanteessa puolivälillä a< x ≤ b se omistaa oikean rajan.

Anna olla a= 2 , b= 8. Sitten epätasa-arvo a ≤ x< b saa muotoa 2 ≤ x < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Piirrä väli 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

x < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, jotka ovat epäyhtälön 2 ≤ ratkaisuja x < 8 .

Kohta 2, joka on vasen reuna puoliväli, näytetään täytettynä ympyränä, koska epäyhtälön vasen raja 2 ≤ x < 8 kuuluu monet hänen ratkaisuistaan.

Ja kohta 8, joka on oikea reuna puoliväli näkyy tyhjänä ympyränä, koska epäyhtälön oikea raja 2 ≤ x < 8 ei kuuluu monet hänen ratkaisuistaan.

a ≤ x< b, merkitty seuraavasti:

[ a; b)

Voidaan nähdä, että toisella puolella reunusta kehystää hakasulku ja toisella pyöreä hakasulke. Tämä johtuu siitä, että yksi puolivälin raja kuuluu siihen, kun taas toinen ei. Kirjoitetaan vastaus epäyhtälöön 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ [ 2 ; 8)

Tämä lauseke sanoo, että kaikki luvut 2–8, mukaan lukien luku 2, mutta lukuun ottamatta lukua 8, ovat ratkaisuja epäyhtälölle 2 ≤ x < 8 .

Vastaavasti koordinaattiviivalla voidaan kuvata epäyhtälön antama puoliväli a< x ≤ b . Anna olla a= 2 , b= 8. Sitten epätasa-arvo a< x ≤ b tulee muodossa 2< x≤ 8. Tämän kaksois-epäyhtälön ratkaisut ovat kaikki luvut, jotka ovat suurempia kuin 2 ja pienempiä kuin 8, lukuun ottamatta lukua 2, mutta mukaan lukien luku 8.

Piirrä puoliväli 2< x≤ 8 koordinaattiviivalla:

Tässä pisteet 2 ja 8 vastaavat epätasa-arvon 2 rajoja< x≤ 8 , ja katkoviiva vastaa arvojoukkoa x, jotka ovat eriarvoisuuden 2 ratkaisuja< x≤ 8 .

Kohta 2, joka on vasen reuna puoliväli, näytetään tyhjänä ympyränä, koska epäyhtälön 2 vasen raja< x≤ 8 ei kuulu monet hänen ratkaisuistaan.

Ja kohta 8, joka on oikea reuna puoliväli, näytetään täytettynä ympyränä, koska epäyhtälön 2 oikea raja< x≤ 8 kuuluu monet hänen ratkaisuistaan.

Kirjallisesti epäyhtälön antama puoliväli a< x ≤ b, merkitty näin: a; b] . Kirjataan ylös vastaus epäyhtälöön 2< x≤ 8 käyttämällä tätä merkintää:

x ∈ (2 ; 8 ]

Tämä lauseke sanoo, että kaikki luvut välillä 2-8, lukuun ottamatta numeroa 2, mutta mukaan lukien numero 8, ovat ratkaisuja epäyhtälöön 2< x≤ 8 .

Kuva numeroväleistä koordinaattiviivalla

Numeerinen jänneväli voidaan määrittää käyttämällä epäyhtälöä tai merkintää (suluissa tai hakasulkeissa). Molemmissa tapauksissa tämä numeerinen väli on kyettävä esittämään koordinaattiviivalla. Katsotaanpa muutama esimerkki.

Esimerkki 1. Piirrä epäyhtälön antama numeerinen väli x> 5

Muistamme, että muodon epätasa-arvo x> a avoin numeerinen säde on määritetty. Tässä tapauksessa muuttuja a on yhtä suuri kuin 5. Epätasa-arvo x> 5 on tiukka, joten reunus 5 näytetään tyhjänä ympyränä. Olemme kiinnostuneita kaikista arvoista x, jotka ovat suurempia kuin 5, joten koko oikealla oleva alue korostetaan viivoin:

Esimerkki 2. Piirrä numeroväli (5; +∞) koordinaattiviivalle

Tämä on sama lukuväli, jonka kuvasimme edellisessä esimerkissä. Mutta tällä kertaa sitä ei aseteta epäyhtälön avulla, vaan numerovälin merkinnän avulla.

Raja 5 on ympäröity suluilla, mikä tarkoittaa, että se ei kuulu aukkoon. Näin ollen ympyrä jää tyhjäksi.

+∞-symboli osoittaa, että olemme kiinnostuneita kaikista luvuista, jotka ovat suurempia kuin 5. Vastaavasti koko 5:n reunan oikealla puolella oleva alue on korostettu viivoin:

Esimerkki 3. Piirrä numeroväli (−5; 1) koordinaattiviivalle.

Pyöreät hakasulkeet molemmilla puolilla osoittavat välejä. Välin rajat eivät kuulu siihen, joten −5:n ja 1:n rajat näkyvät koordinaattiviivalla tyhjinä ympyröinä. Koko niiden välinen alue korostetaan viivoin:

Esimerkki 4. Piirrä epäyhtälön −5 antama numeerinen väli< x< 1

Tämä on sama lukuväli, jonka kuvasimme edellisessä esimerkissä. Mutta tällä kertaa sitä ei täsmennetä intervallimerkinnän, vaan kaksois-epäyhtälön avulla.

Muodin epätasa-arvo a< x < b , väli on asetettu. Tässä tapauksessa muuttuja a on yhtä kuin −5 , ja muuttuja b on yhtä suuri kuin yksi. Epätasa-arvo −5< x< 1 on tiukka, joten −5:n ja 1:n rajat piirretään tyhjinä ympyröinä. Olemme kiinnostuneita kaikista arvoista x, jotka ovat suurempia kuin -5 mutta pienempiä kuin yksi, joten koko pisteiden -5 ja 1 välinen alue korostetaan viivoin:

Esimerkki 5. Piirrä numeeriset intervallit [-1; 2] ja

Tällä kertaa piirrämme koordinaattiviivalle kaksi aukkoa kerralla.

Hakasulkeet molemmilla puolilla tarkoittavat segmenttejä. Janan rajat kuuluvat sille, joten segmenttien rajat [-1; 2] ja ne esitetään koordinaattiviivalla täytetyinä ympyröinä. Koko niiden välinen alue korostetaan vedoilla.

Nähdäksesi selvästi aukot [−1; 2] ja , ensimmäinen voidaan kuvata ylemmällä alueella ja toinen alaosassa. Joten tehdään se:

Esimerkki 6. Piirrä numeeriset intervallit [-1; 2) ja (2; 5]

Hakasulkeet toisella puolella ja pyöreät hakasulkeet toisella tarkoittavat puoliväliä. Toinen puolivälin rajoista kuuluu siihen, toinen ei.

Puolivälin tapauksessa [-1; 2) vasen reuna kuuluu hänelle, mutta oikea ei. Tämä tarkoittaa, että vasen reuna näkyy täytettynä ympyränä. Oikea reuna näkyy tyhjänä ympyränä.

Ja puolivälin (2; 5] tapauksessa vain oikea reuna kuuluu siihen, mutta vasen ei. Tämä tarkoittaa, että vasen reuna näkyy täytettynä ympyränä. Oikea reuna näytetään tyhjänä ympyränä.

Piirrä intervalli [-1; 2) koordinaattiviivan yläalueella ja väli (2; 5] - alemmalla):

Esimerkkejä eriarvoisuuksien ratkaisemisesta

Epäyhtälö, joka voidaan identtisillä muunnoksilla pelkistää muotoon kirves > b(tai näkymään kirves< b ), soitamme lineaarinen epäyhtälö yhdellä muuttujalla.

Lineaarisessa epäyhtälössä kirves > b , x on muuttuja, jonka arvot löytyvät, a on tämän muuttujan kerroin, b on eriarvoisuuden raja, joka eriarvoisuuden merkistä riippuen voi joko kuulua ratkaisujensa joukkoon tai ei kuulua siihen.

Esimerkiksi epätasa-arvo 2 x> 4 on muodon epäyhtälö kirves > b. Siinä muuttujan rooli a esittää numeroa 2, muuttujan roolia b(raja-epäyhtälö) soittaa numeroa 4.

Epätasa-arvo 2 x> 4 voidaan tehdä vieläkin yksinkertaisemmiksi. Jos jaamme sen molemmat osat kahdella, saadaan epäyhtälö x> 2

Tuloksena oleva epätasa-arvo x> 2 on myös muodon epäyhtälö kirves > b, eli lineaarinen epäyhtälö, jossa on yksi muuttuja. Tässä epäyhtälössä muuttujan rooli a yksikkö soittaa. Aiemmin sanoimme, että kerrointa 1 ei kirjata. Muuttujan rooli b pelaa numero 2.

Yritetään näiden tietojen perusteella ratkaista joitain yksinkertaisia ​​epäyhtälöjä. Ratkaisun aikana teemme alkeellisia identiteettimuunnoksia muodon epäyhtälön saamiseksi kirves > b

Esimerkki 1. Ratkaise epätasa-arvo x− 7 < 0

Lisää epäyhtälön molemmille puolille luku 7

x− 7 + 7 < 0 + 7

Vasemmalle puolelle jää x, ja oikea puoli on yhtä suuri kuin 7

x< 7

Alkeismuunnoksilla olemme vähentäneet epätasa-arvoa x− 7 < 0 к равносильному неравенству x< 7 . Решениями неравенства x< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Kun epätasa-arvo saatetaan muotoon x< a (tai x > a), sen voidaan katsoa olevan jo ratkaistu. Meidän eriarvoisuus x− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Kirjoitetaan vastaus numerovälillä. Tässä tapauksessa vastaus on avoin lukusäde (muista, että lukusäteen antaa epäyhtälö x< a ja sitä merkitään (−∞ ; a)

x ∈ (−∞ ; 7)

Koordinaattiviivalla raja 7 näkyy tyhjänä ympyränä ja koko rajan vasemmalla puolella oleva alue korostetaan viivoin:

Tarkistamiseksi otetaan mikä tahansa luku väliltä (−∞ ; 7) ja korvataan se epäyhtälöllä x< 7 вместо переменной x. Otetaan esimerkiksi numero 2

2 < 7

Osoittautui oikea numeerinen epäyhtälö, mikä tarkoittaa, että ratkaisu on oikea. Otetaan joku toinen luku, esimerkiksi numero 4

4 < 7

Osoittautui oikea numeerinen epäyhtälö. Päätös on siis oikea.

Ja koska eriarvoisuus x< 7 равносильно исходному неравенству x - 7 < 0 , то решения неравенства x< 7 будут совпадать с решениями неравенства x - 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x - 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Esimerkki 2. Ratkaise epäyhtälö −4 x < −16

Jaa epäyhtälön molemmat puolet −4:llä. Älä unohda sitä, kun jaat epätasa-arvon molemmat osat negatiiviseen numeroon, eriarvoisuusmerkki muuttuu päinvastaiseksi:

Olemme vähentäneet eriarvoisuutta −4 x < −16 к равносильному неравенству x> 4. Epätasa-arvoratkaisut x> 4 ovat kaikki luvut, jotka ovat suurempia kuin 4. Raja 4 ei kuulu ratkaisujen joukkoon, koska epäyhtälö on tiukka.

x> 4 koordinaattiviivalle ja kirjoita vastaus numeerisena välinä:

Esimerkki 3. Ratkaise epätasa-arvo 3y + 1 > 1 + 6y

Aikataulu 6 y oikealta puolelta vasemmalle vaihtamalla merkkiä. Ja siirrämme 1 vasemmalta puolelta oikealle vaihtaen jälleen merkkiä:

3y− 6y> 1 − 1

Tässä on samanlaisia ​​termejä:

−3y > 0

Jaa molemmat puolet −3:lla. Älä unohda, että kun jaat epäyhtälön molemmat osat negatiivisella luvulla, epäyhtälömerkki käännetään:

Epätasa-arvoratkaisut y< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Esimerkki 4. Ratkaise epätasa-arvo 5(x− 1) + 7 ≤ 1 − 3(x+ 2)

Laajennamme sulkuja epäyhtälön molemmissa osissa:

Siirrä -3 x oikealta puolelta vasemmalle vaihtamalla merkkiä. Siirrämme termit −5 ja 7 vasemmalta puolelta oikealle vaihtaen jälleen merkkejä:

Tässä on samanlaisia ​​termejä:

Jaa tuloksena olevan epäyhtälön molemmat puolet 8:lla

Ratkaisut epätasa-arvoon ovat kaikki numerot, jotka ovat pienempiä kuin . Raja kuuluu ratkaisujoukkoon, koska epäyhtälö ei ole tiukka.

Esimerkki 5. Ratkaise epätasa-arvo

Kerro epäyhtälön molemmat puolet kahdella. Näin pääset eroon vasemman puolen murto-osasta:

Nyt siirrämme 5 vasemmalta puolelta oikealle vaihtamalla merkkiä:

Samanlaisten termien vähentämisen jälkeen saadaan epäyhtälö 6 x> 1. Jaa tämän epäyhtälön molemmat osat 6:lla.

Epäyhtälön ratkaisut ovat kaikki suurempia kuin . Raja ei kuulu ratkaisujoukkoon, koska epäyhtälö on tiukka.

Piirrä epäyhtälön ratkaisujoukko koordinaattiviivalle ja kirjoita vastaus numeerisena välinä:

Esimerkki 6. Ratkaise epätasa-arvo

Kerro molemmat puolet 6:lla

Samanlaisten termien vähentämisen jälkeen saadaan epäyhtälö 5 x< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Epätasa-arvoratkaisut x< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x< 6 строгим.

Piirrä joukko ratkaisuja epäyhtälölle x< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Esimerkki 7. Ratkaise epätasa-arvo

Kerro epäyhtälön molemmat puolet kymmenellä

Avaa tuloksena olevassa epäyhtälössä vasemmalla puolella olevat sulut:

Siirrä jäseniä ilman x oikealle puolelle

Esittelemme samanlaiset termit molemmissa osissa:

Jaa tuloksena olevan epäyhtälön molemmat osat 10:llä

Epätasa-arvoratkaisut x≤ 3,5 ovat kaikki luvut, jotka ovat pienempiä kuin 3,5. Raja 3,5 kuuluu ratkaisujoukkoon, koska epäyhtälö on x≤ 3,5 ei-tiukka.

Piirrä joukko ratkaisuja epäyhtälölle x≤ 3,5 koordinaattiviivalle ja kirjoita vastaus numeerisena välinä:

Esimerkki 8. Ratkaise epäyhtälö 4< 4x< 20

Sellaisen eriarvoisuuden ratkaisemiseksi tarvitsemme muuttujan x vapaa kertoimesta 4. Sitten voidaan sanoa millä aikavälillä tämän epäyhtälön ratkaisu on.

Vapauttaaksesi muuttujan x kertoimesta voit jakaa termin 4 x 4:llä. Mutta epäyhtälöiden sääntö on, että jos jaamme epäyhtälön jäsenen jollain luvulla, niin sama on tehtävä muiden tähän epäyhtälöön sisältyvien termien kanssa. Meidän tapauksessamme meidän on jaettava 4:llä kaikki kolme epäyhtälön 4 termiä< 4x< 20

Ratkaisuja eriarvoisuuteen 1< x< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x< 5 является строгим.

Piirrä joukko ratkaisuja epäyhtälölle 1< x< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Esimerkki 9. Ratkaise epäyhtälö −1 ≤ −2 x≤ 0

Jaa kaikki epäyhtälön ehdot −2:lla

Saimme epäyhtälön 0,5 ≥ x≥ 0. Kaksinkertainen epäyhtälö kannattaa kirjoittaa siten, että pienempi termi sijaitsee vasemmalla ja suurempi oikealla. Siksi kirjoitamme epäyhtälömme uudelleen seuraavasti:

0 ≤ x≤ 0,5

Epäyhtälön 0 ≤ ratkaisut x≤ 0,5 ovat kaikki luvut, jotka ovat suurempia kuin 0 ja pienempiä kuin 0,5. Rajat 0 ja 0,5 kuuluvat ratkaisujen joukkoon, koska epäyhtälö 0 ≤ x≤ 0,5 ei ole tiukka.

Piirrä ratkaisujoukko epäyhtälölle 0 ≤ x≤ 0,5 koordinaattiviivalle ja kirjoita vastaus numeerisena välinä:

Esimerkki 10. Ratkaise epätasa-arvo

Kerro molemmat epäyhtälöt 12:lla

Avataan tuloksena olevan epäyhtälön sulut ja esitellään vastaavat termit:

Jaa tuloksena olevan epäyhtälön molemmat puolet kahdella

Epätasa-arvoratkaisut x≤ −0,5 ovat kaikki lukuja, jotka ovat pienempiä kuin −0,5. Raja −0.5 kuuluu ratkaisujen joukkoon, koska epäyhtälö x≤ −0,5 on ei-tiukka.

Piirrä joukko ratkaisuja epäyhtälölle x≤ −0,5 koordinaattiviivalle ja kirjoita vastaus numeerisena välinä:

Esimerkki 11. Ratkaise epätasa-arvo

Kerro kaikki epäyhtälön osat kolmella

Vähennä nyt 6 jokaisesta tuloksena olevan epäyhtälön osasta

Jaamme tuloksena olevan epäyhtälön kukin osa −1:llä. Älä unohda, että kun jaetaan kaikki epäyhtälön osat negatiivisella luvulla, epäyhtälömerkki käännetään:

Epäyhtälön 3 ≤ ratkaisut a≤ 9 ovat kaikki luvut, jotka ovat suurempia kuin 3 ja pienempiä kuin 9. Rajat 3 ja 9 kuuluvat ratkaisujen joukkoon, koska epäyhtälö 3 ≤ a≤ 9 ei ole tiukka.

Piirrä ratkaisujoukko epäyhtälölle 3 ≤ a≤ 9 koordinaattiviivalle ja kirjoita vastaus numeerisena välinä:

Kun ratkaisuja ei ole

On epätasa-arvoa, joille ei ole ratkaisuja. Tällainen on esimerkiksi epätasa-arvo 6 x> 2(3x+ 1). Tätä epäyhtälöä ratkaistaessa tulemme siihen tosiasiaan, että epätasa-arvomerkki > ei oikeuta sijaintiaan. Katsotaan miltä se näyttää.

Laajennamme tämän epäyhtälön oikealla puolella olevia sulkuja, saamme 6 x> 6x+ 2. Aikataulu 6 x oikealta vasemmalle vaihtamalla merkkiä, saamme 6 x− 6x> 2. Tuomme samanlaiset termit ja saamme epäyhtälön 0 > 2, mikä ei ole totta.

Ymmärtämisen helpottamiseksi kirjoitamme samankaltaisten termien vähennyksen vasemmalle puolelle seuraavasti:

Saimme epätasa-arvon 0 x> 2. Vasemmalla puolella on tuote, joka on yhtä suuri kuin nolla mille tahansa x. Ja nolla ei voi olla suurempi kuin luku 2. Tästä johtuu epäyhtälö 0 x> 2:lla ei ole ratkaisuja.

x> 2, silloin sillä ei ole ratkaisuja ja alkuperäinen epäyhtälö 6 x> 2(3x+ 1) .

Esimerkki 2. Ratkaise epätasa-arvo

Kerro epäyhtälön molemmat puolet kolmella

Tuloksena olevaan epätasa-arvoon siirretään termi 12 x oikealta puolelta vasemmalle vaihtamalla merkkiä. Sitten annamme vastaavat ehdot:

Tuloksena olevan epätasa-arvon oikea puoli mille tahansa x on yhtä suuri kuin nolla. Ja nolla ei ole pienempi kuin -8. Tästä johtuu eriarvoisuus 0 x< −8 не имеет решений.

Ja jos pelkistetty ekvivalenttiepäyhtälö on 0 x< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Vastaus: ei ratkaisuja.

Kun ratkaisuja on loputtomasti

On epäyhtälöitä, joilla on ääretön määrä ratkaisuja. Tällaiset eriarvoisuudet tulevat todeksi kenelle tahansa x .

Esimerkki 1. Ratkaise epätasa-arvo 5(3x− 9) < 15x

Laajennamme epäyhtälön oikealla puolella olevia sulkuja:

Aikataulu uudelleen 15 x oikealta vasemmalle vaihtaen merkkiä:

Tässä vasemmalla puolella vastaavat termit:

Saimme epätasa-arvon 0 x< 45 . Vasemmalla puolella on tuote, joka on yhtä suuri kuin nolla mille tahansa x. Ja nolla on pienempi kuin 45. Eli epäyhtälön 0 ratkaisu x< 45 on mikä tahansa luku.

x< 45:llä on ääretön määrä ratkaisuja, sitten alkuperäinen epäyhtälö 5(3x− 9) < 15x on samat ratkaisut.

Vastaus voidaan kirjoittaa numeerisena välinä:

x ∈ (−∞; +∞)

Tämä lauseke sanoo, että ratkaisut epätasa-arvo 5(3x− 9) < 15x ovat kaikki luvut miinus äärettömästä plus äärettömään.

Esimerkki 2. Ratkaise epäyhtälö: 31(2x+ 1) − 12x> 50x

Laajennamme epäyhtälön vasemmalla puolella olevia sulkuja:

Laitetaan uusi aika 50 x oikealta puolelta vasemmalle vaihtamalla merkkiä. Ja siirrämme termin 31 vasemmalta puolelta oikealle vaihtaen jälleen merkkiä:

Tässä on samanlaisia ​​termejä:

Saimme epätasa-arvon 0 x >-31. Vasemmalla puolella on tuote, joka on yhtä suuri kuin nolla mille tahansa x. Ja nolla on suurempi kuin −31 . Eli epäyhtälön 0 ratkaisu x< −31 on mikä tahansa luku.

Ja jos pelkistetty ekvivalenttiepäyhtälö on 0 x >−31:llä on ääretön määrä ratkaisuja, sitten alkuperäinen epäyhtälö 31(2x+ 1) − 12x> 50x on samat ratkaisut.

Kirjoitetaan vastaus numeerisena välinä:

x ∈ (−∞; +∞)

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

Piditkö oppitunnista?
Liity uuteen Vkontakte-ryhmäämme ja ala saada ilmoituksia uusista oppitunneista