Tarkan integraalin löytämiseksi puolisuunnikasmenetelmällä kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala jaetaan myös n suorakaiteen muotoiseen puolisuunnikkaan, joiden korkeus on h ja kanta y 1, y 2, y 3,..y n, missä n on puolisuunnikkaan luku. suorakaiteen muotoinen trapetsi. Integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin suorakaiteen muotoisten puolisuunnikkaan pinta-alojen summa (kuva 4).

Riisi. 4

n - splittien lukumäärä

Puolisuunnikkaan kaavan virhe arvioidaan luvulla

Puolisuunnikkaan kaavan virhe pienenee nopeammin kasvun myötä kuin suorakaidekaavan virhe. Siksi puolisuunnikkaan kaavan avulla voit saada enemmän tarkkuutta kuin suorakaidemenetelmällä.

Simpsonin kaava

Jos jokaiselle segmenttiparille konstruoimme toisen asteen polynomin, integroimme sen sitten segmenttiin ja käytämme integraalin additiivisuusominaisuutta, saadaan Simpsonin kaava.

Simpsonin menetelmässä määrätyn integraalin laskemiseksi koko integrointiväli on jaettu samanpituisiin osaväliin h=(b-a)/n. Osion segmenttien lukumäärä on parillinen luku. Sitten kussakin vierekkäisten osaintervallien parissa osaintegraalifunktio f(x) korvataan toisen asteen Lagrangen polynomilla (kuva 5).

Riisi. 5 Janan funktio y=f(x) korvataan 2. asteen polynomilla

Harkitse intervallin integrandia. Korvataan tämä integrandi toisen asteen Lagrangen interpolaatiopolynomilla, joka on yhtäpitävä y=:n kanssa pisteissä:

Integroidaan väliin:

Esittelemme muuttujien muutoksen:

Korvauskaavat huomioon ottaen,

Integroinnin jälkeen saamme Simpsonin kaavan:

Integraalille saatu arvo osuu yhteen kaarevan puolisuunnikkaan alueen kanssa, jota rajoittavat akseli, suorat viivat ja pisteiden läpi kulkeva paraabeli. Janalla Simpsonin kaava näyttää tältä:

Paraabelikaavassa funktion f (x) arvon parittomissa jakopisteissä x 1, x 3, ..., x 2n-1 on kerroin 4, parillisissa pisteissä x 2, x 4, ... , x 2n-2 - kerroin 2 ja kahdessa rajapisteessä x 0 =a, x n =b - kerroin 1.

Simpsonin kaavan geometrinen merkitys: kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala funktion f(x) kaavion alla segmentillä korvataan likimäärin paraabelien alla olevien kuvioiden pinta-alojen summalla.

Jos funktiolla f(x) on neljännen kertaluvun jatkuva derivaatta, niin Simpsonin kaavan virheen itseisarvo on enintään

missä M on segmentin suurin arvo. Koska n 4 kasvaa nopeammin kuin n 2, Simpsonin kaavan virhe pienenee n:n kasvaessa paljon nopeammin kuin puolisuunnikkaan kaavan virhe.

Laskemme integraalin

Tämä integraali on helppo laskea:

Otetaan n yhtä kuin 10, h=0,1, lasketaan integrandin arvot osiopisteissä sekä puolikokonaislukupisteet.

Keskimmäisten suorakulmioiden kaavan mukaan saadaan I suora = 0,785606 (virhe on 0,027 %), puolisuunnikkaan kaavan I trap = 0,784981 (virhe on noin 0,054. Oikean ja vasemman suorakulmion menetelmää käytettäessä virhe on yli 3 %.

Vertaaksemme likimääräisten kaavojen tarkkuutta, laskemme vielä kerran integraalin

mutta nyt Simpsonin kaavalla n=4. Jaamme segmentin neljään yhtä suureen osaan pisteillä x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 ja laskemme suunnilleen arvot funktiosta f (x) \u003d 1 / ( 1+x) näissä pisteissä: y 0 = 1,0000, y 1 = 0,8000, y 2 = 0,6667, y 3 = 0,5714, y 4 = 0,5000.

Simpsonin kaavan mukaan saamme

Arvioidaan saadun tuloksen virhe. Integrandille f(x)=1/(1+x) meillä on: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , josta seuraa, että segmentillä . Voimme siis ottaa M=24, ja tuloksen virhe ei ylitä arvoa 24/(2880 4 4)=0,0004. Vertaamalla likimääräistä arvoa tarkkaan, päätämme, että Simpsonin kaavalla saadun tuloksen absoluuttinen virhe on pienempi kuin 0,00011. Tämä on yllä annetun virhearvion mukainen ja osoittaa lisäksi, että Simpsonin kaava on paljon tarkempi kuin puolisuunnikkaan kaava. Siksi Simpsonin kaavaa määrällisten integraalien likimääräiseen laskemiseen käytetään useammin kuin puolisuunnikkaan kaavaa.

Ongelma syntyy määrätyn integraalin numeerisessa laskennassa, joka ratkaistaan ​​kvadratuuriksi kutsuttujen kaavojen avulla.

Muista yksinkertaisimmat numeerisen integroinnin kaavat.

Lasketaan likimääräinen numeerinen arvo. Jaamme integrointivälin [а, b] n yhtä suureen osaan jakopisteillä
, joita kutsutaan kvadratuurikaavan solmuiksi. Olkoon solmujen arvot tiedossa
:

Arvo

kutsutaan integrointiväliksi tai askeleeksi. Huomaa, että -laskutoimituksissa luku i valitaan pieneksi, yleensä se ei ole suurempi kuin 10-20. Osittaisella aikavälillä

integrandi korvataan interpolaatiopolynomilla

joka edustaa likimäärin funktiota f(x) tarkasteltavalla aikavälillä.

a) Säilytä sitten vain yksi ensimmäinen termi interpolointipolynomissa

Tuloksena oleva toisen asteen kaava

kutsutaan suorakulmioiden kaavaksi.

b) Säilytä sitten kaksi ensimmäistä termiä interpolointipolynomissa

(2)

Kaavaa (2) kutsutaan puolisuunnikkaan kaavaksi.

c) Integrointiväli
jaamme parilliseen määrään 2n yhtä suuret osat, kun taas integrointiaskel h on yhtä suuri . Välillä
jonka pituus on 2h, korvaamme integrandin toisen asteen interpolaatiopolynomilla, eli pidämme polynomin kolme ensimmäistä termiä:

Tuloksena olevaa kvadratuurikaavaa kutsutaan Simpsonin kaavaksi

(3)

Kaavoilla (1), (2) ja (3) on yksinkertainen geometrinen merkitys. Suorakulmioiden kaavassa välin integrandi f(x).
korvataan suoralla janalla y \u003d uk, yhdensuuntainen x-akselin kanssa, ja puolisuunnikkaan kaavassa - suoralla janalla
ja suorakulmion ja suorakulmion pinta-ala lasketaan vastaavasti, jotka sitten lasketaan yhteen. Simpsonin kaavassa välin funktio f(x).
pituus 2h korvataan neliötrinomilla - paraabelilla
kaarevan parabolisen puolisuunnikkaan pinta-ala lasketaan, sitten pinta-alat lasketaan yhteen.

PÄÄTELMÄ

Lopuksi haluaisin huomata useita edellä käsiteltyjen menetelmien soveltamisen piirteitä. Jokaisella menetelmällä määrätyn integraalin likimääräiseen ratkaisuun on hyvät ja huonot puolensa, kulloisestakin tehtävästä riippuen tulisi käyttää erityisiä menetelmiä.

Muuttujan korvausmenetelmä on yksi tärkeimmistä määrittämättömien integraalien laskentamenetelmistä. Vaikka integroimme jollain muulla menetelmällä, joudumme usein turvautumaan muuttujien muutokseen välilaskennoissa. Integroinnin onnistuminen riippuu pitkälti siitä, löytyykö niin hyvä muuttujien muutos, joka yksinkertaistaisi annettua integraalia.

Pohjimmiltaan integrointimenetelmien tutkiminen rajoittuu siihen, että selvitetään, millainen muuttujan muutos tulisi tehdä integrandin jollekin muodolle.

Täten, jokaisen rationaalisen murto-osan integrointi pelkistyy integroimaan polynomin ja muutaman yksinkertaisen murtoluvun.

Minkä tahansa rationaalisen funktion integraali voidaan ilmaista alkeisfunktioilla lopullisessa muodossa, nimittäin:

logaritmien kautta - tyypin 1 yksinkertaisimpien murtolukujen tapauksessa;

rationaalisten funktioiden kautta - tyypin 2 yksinkertaisten murtolukujen tapauksessa

logaritmien ja arktangenttien kautta - tyypin 3 yksinkertaisten murtolukujen tapauksessa

rationaalisten funktioiden ja arktangenttien kautta - tyypin 4 yksinkertaisimpien murtolukujen tapauksessa. Universaali trigonometrinen substituutio rationalisoi aina integrandin, mutta usein se johtaa hyvin hankalia rationaalisiin murtolukuihin, joille erityisesti nimittäjän juuria on käytännössä mahdotonta löytää. Siksi, jos mahdollista, käytetään osittaisia ​​substituutioita, jotka myös rationalisoivat integrandin ja johtavat vähemmän monimutkaisiin fraktioihin.

Newton-Leibnizin kaava on yleinen lähestymistapa määrällisten integraalien löytämiseen.

Mitä tulee määrällisten integraalien laskentamenetelmiin, ne eivät käytännössä eroa kaikista noista menetelmistä ja menetelmistä.

Sama pätee korvausmenetelmiä(muuttujan muutos), osien integrointimenetelmä, samat menetelmät antiderivaatien löytämiseksi trigonometrisille, irrationaalisille ja transsendenttisille funktioille. Ainoa erikoisuus on, että näitä tekniikoita sovellettaessa on välttämätöntä laajentaa muunnos ei vain osaintegraalifunktioon, vaan myös integroinnin rajoihin. Kun muutat integrointimuuttujaa, muista muuttaa integrointirajoja vastaavasti.

Hyvin lauseesta funktion jatkuvuusehto on riittävä edellytys toiminnon integroitavuudelle. Mutta tämä ei tarkoita, että määrätty integraali olisi olemassa vain jatkuville funktioille. Integroitavien toimintojen luokka on paljon laajempi. Joten esimerkiksi on olemassa tietty funktioiden integraali, jolla on äärellinen määrä epäjatkuvuuspisteitä.

Jatkuvan funktion määrätyn integraalin laskenta käyttäen Newton-Leibnizin kaavaa rajoittuu antiderivaatan löytämiseen, joka on aina olemassa, mutta joka ei aina ole alkeisfunktio tai funktio, jolle laaditaan taulukoita, jotka mahdollistavat arvon saamisen. integraalista. Useissa sovelluksissa integroitava funktio on annettu taulukossa, eikä Newton-Leibnizin kaava ole suoraan sovellettavissa.

Jos haluat tarkimman tuloksen, ihanteellinen simpsonin menetelmä.

Edellä tutkitusta voidaan tehdä seuraava johtopäätös, että integraalia käytetään sellaisissa tieteissä kuin fysiikka, geometria, matematiikka ja muut tieteet. Integraalin avulla lasketaan voiman työ, löydetään massakeskipisteen koordinaatit, materiaalipisteen kulkema reitti. Geometriassa sitä käytetään kappaleen tilavuuden laskemiseen, käyrän kaaren pituuden löytämiseen jne.

Tässä menetelmässä ehdotetaan integrandin likiarvoa osittaisvälillä pisteiden läpi kulkevalla paraabelilla.
(x j , f(xj)), missä j = i-1; i-0.5; i eli approksimoimme integrandin toisen asteen Lagrangen interpolaatiopolynomilla:

(10.14)

Integroinnin jälkeen saamme:

(10.15)

Sitä se on simpsonin kaava tai paraabelien kaava. Segmentillä
[a, b] Simpsonin kaava saa muodon

(10.16)

Graafinen esitys Simpsonin menetelmästä on esitetty kuvassa. 2.4.

Riisi. 10.4 Simpsonin menetelmä

Päätetään eroon lausekkeen (2.16) murto-osuuksista nimeämällä muuttujat uudelleen:

(10.17)

Sitten Simpsonin kaava saa muodon

(10.18)

Kaavan (2.18) virhe estimoidaan seuraavalla lausekkeella:

, (10.19)

missä h n = b-a, . Siten Simpsonin kaavan virhe on verrannollinen O(h 4).

Kommentti. On huomattava, että Simpsonin kaavassa integrointisegmentti on välttämättä jaettu jopa intervallien määrä.

10.5. Määrällisten integraalien laskenta menetelmillä
Monte Carlo

Aiemmin käsitellyt menetelmät ovat ns deterministinen , eli vailla sattuman elementtiä.

Monte Carlon menetelmät(MMK) ovat numeerisia menetelmiä matemaattisten ongelmien ratkaisemiseksi satunnaismuuttujia mallintamalla. MCM mahdollistaa todennäköisyysprosessien aiheuttamien matemaattisten ongelmien ratkaisemisen onnistuneesti. Lisäksi kun ratkaistaan ​​ongelmia, joihin ei liity todennäköisyyksiä, voidaan keinotekoisesti keksiä todennäköisyysmalli (ja jopa useampi kuin yksi), joka mahdollistaa näiden ongelmien ratkaisemisen. Harkitse kiinteän integraalin laskentaa

(10.20)

Kun tätä integraalia lasketaan suorakulmioiden kaavalla, väli [ a, b] jakaa N identtiset välit, joiden keskellä laskettiin integrandin arvot. Laskemalla funktioarvot satunnaisissa solmuissa saat tarkemman tuloksen:

(10.21)

(10.22)

Tässä γ i on satunnaisluku, joka on jakautunut tasaisesti aikavälille
. Virhe MMK-integraalin ~ laskennassa, joka on paljon suurempi kuin aiemmin tutkituilla deterministisilla menetelmillä.

Kuvassa Kuva 2.5 esittää graafisen toteutuksen Monte Carlo -menetelmästä yhden integraalin laskemiseksi satunnaisten solmujen (2.21) ja (2.22) kanssa.

(2.23)

Riisi. 10.6. Monte Carlon integrointi (2. tapaus)

Kuten kuvasta näkyy. 2.6, integraalikäyrä on yksikköneliössä, ja jos voimme saada satunnaislukupareja tasaisesti jakautuneina väliin, niin saadut arvot (γ 1, γ 2) voidaan tulkita pisteen koordinaatteiksi. yksikköneliö. Sitten, jos näitä lukupareja on tarpeeksi, voimme suunnilleen olettaa sen
. Tässä S on käyrän alle jäävien pisteparien lukumäärä ja N on lukuparien kokonaismäärä.

Esimerkki 2.1. Laske seuraava integraali:

Ongelma ratkaistiin eri tavoilla. Saadut tulokset on koottu taulukkoon. 2.1.

Taulukko 2.1

Kommentti. Taulukkointegraalin valinta antoi meille mahdollisuuden verrata kunkin menetelmän virhettä ja selvittää osioiden lukumäärän vaikutus laskelmien tarkkuuteen.

11 LIIKENNE EI-LINEAARISEN RATKAISUEHDOTUS
JA TRANSENDENTISET YHTÄLÖT

Integraalien laskeminen suorakulmioiden, puolisuunnikkaan kaavojen ja Simpsonin kaavan avulla. Virheiden arviointi.

Ohjeet aiheeseen 4.1:

Integraalien laskenta suorakulmioiden kaavoilla. Virhearvio:

Monien teknisten ongelmien ratkaisu rajoittuu tiettyjen integraalien laskemiseen, joiden tarkka ilmaisu on vaikeaa, vaatii pitkiä laskelmia ja ei aina ole käytännössä perusteltua. Täällä niiden likimääräinen arvo on melko riittävä. Sinun on esimerkiksi laskettava alue, jonka rajaa viiva, jonka yhtälö on tuntematon, akseli X ja kaksi ordinaattaa. Tässä tapauksessa voit korvata tämän rivin yksinkertaisemmalla, jonka yhtälö tunnetaan. Näin saadun kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala otetaan halutun integraalin likimääräiseksi arvoksi. Geometrisesti ajatuksena menetelmän laskentamenetelmässä, jolla määrätty integraali lasketaan suorakulmioiden kaavalla, on se, että kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala A 1 ABB 1 korvataan samanpintaisen suorakulmion pinta-alalla A 1 A 2 B 1 B 2, joka on keskiarvolauseen mukaan yhtä suuri kuin

Missä f(c)--- suorakulmion korkeus A 1 A 2 B 1 B 2, joka on integrandin arvo jossain välipisteessä c(a< c

Tällaista arvoa on käytännössä vaikea löytää kanssa, jossa (b-a)f (c) olisi täsmälleen yhtä suuri kuin . Tarkemman arvon saamiseksi kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala jaetaan n suorakulmiot, joiden korkeus on yhtä suuri y 0, y 1, y 2, …,y n -1 ja säätiöt.

Jos teemme yhteenvedon suorakulmioiden alueista, jotka peittävät kaarevan puolisuunnikkaan alueen haitalla, funktio ei ole pienenevä, niin kaavan sijasta käytetään kaavaa

Jos liikaa, niin

Arvot löytyvät tasa-arvoista. Näitä kaavoja kutsutaan suorakaidekaavat ja antaa likimääräisen tuloksen. Lisäyksen kanssa n tuloksesta tulee tarkempi.

Esimerkki 1 . Laske suorakulmioiden kaavasta

Jaamme integrointivälin 5 osaan. Sitten . Laskimen tai taulukon avulla löydämme integrandin arvot (4 desimaalin tarkkuudella):

Suorakulmioiden kaavan mukaan (haittapuolena)

Toisaalta Newton-Leibnizin kaavan mukaan

Etsitään suhteellinen laskentavirhe suorakulmioiden kaavalla:

Integraalien laskenta puolisuunnikkaan kaavoilla. Virhearvio:

Seuraavan menetelmän geometrinen merkitys integraalien likimääräiseen laskemiseen on, että löydetään suunnilleen samankokoisen "suoraviivaisen" puolisuunnikkaan pinta-ala.

Olkoon tarpeen laskea pinta-ala A 1 AmBB 1 kaareva puolisuunnikkaan muotoinen kaava .

Vaihdetaan kaari AmB sointu AB ja kaarevan puolisuunnikkaan alueen sijaan A 1 AmBB 1 laske puolisuunnikkaan pinta-ala A 1 ABB 1: , missä AA 1 ja BB 1 - puolisuunnikkaan pohja ja A 1 V 1 on sen korkeus.

Merkitse f(a)=A1A,f(b)=B1B. puolisuunnikkaan korkeus A 1 B 1 \u003d b-a, neliö- . Siten, tai

Tämä ns pieni puolisuunnikkaan muotoinen kaava.

Simpsonin kaavan muodostamiseksi harkitsemme ensin seuraavaa ongelmaa: laske kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala S, jota ylhäältä rajoittaa paraabelin y \u003d Ax 2 + Bx + C kuvaaja, vasemmalta suora x \u003d - h, oikealta suoralla x \u003d h ja alhaalta janalla [-h; h]. Kulkekoon paraabeli kolmen pisteen läpi (kuva 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) ja F (h; y 2) ja x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h . Siten,

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2h.

Sitten alue S on yhtä suuri kuin integraali:

Ilmaisemme tämän alueen arvoilla h, y 0, y 1 ja y 2 . Tätä varten laskemme paraabelin A, B, C kertoimet. Ehdolla, että paraabeli kulkee pisteiden D, E ja F läpi, saadaan:

Ratkaisemalla tämän järjestelmän saamme: C = y 1 ; A=

Korvaamalla nämä arvot A ja C arvoon (3), saamme halutun alueen

Siirrytään nyt Simpsonin kaavan johtamiseen integraalin laskemiseksi

Tätä varten jaamme integrointisegmentin 2n yhtä pituiseen osaan

Jakopisteissä (kuva 4) a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Laskemme integrandin f arvot: y 0, y 1, y 2, ...,y 2n-2, y 2n-1, y 2n, de y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).

Korvataan segmentillä integrandi paraabelilla, joka kulkee pisteiden (x 0; y 0), (x 1; y 1) ja (x 2; y 2) läpi ja lasketaan integraalin likimääräinen arvo x:stä 0 - x 2, käytämme kaavaa (4 ). Sitten (varjostettu alue kuvassa 4):

Samoin löydämme:

................................................

Lisäämällä tuloksena saadut yhtäläisyydet, saamme:

Kaavaa (5) kutsutaan yleistetty Simpsonin kaava tai paraabelikaava, koska sitä johdettaessa integrandin kuvaaja osittaissegmentillä, jonka pituus on 2h, korvataan paraabelikaarella.

Työtehtävä:

1. Opettajan ohjeiden mukaan tai valinnan mukaan taulukoita 4 tehtävää (katso liite) ottaa ehdot - integrandi, integraation rajat.

2. Piirrä ohjelmasta vuokaavio ja ohjelma, jonka pitäisi:

Pyydä tarkan integraalin laskennan tarkkuus, integroinnin ala- ja ylärajat;

Laske annettu integraali menetelmillä: vaihtoehdoille 1,4,7, 10… - oikealle, vaihtoehdoille 2,5,8,… - keskiarvo; vaihtoehdoille 2,5,8,… - vasen suorakulmio. Tulosta integrointialueen osioiden lukumäärä, jolla määritetty laskentatarkkuus saavutetaan;

Laske annettu integraali käyttämällä puolisuunnikkaan menetelmää (parilliset vaihtoehdot) ja Simpsonin menetelmää (parittomat vaihtoehdot).

Tulosta integrointialueen osioiden lukumäärä, jolla määritetty laskentatarkkuus saavutetaan;

Anna ohjausfunktion arvot annetulle argumentin arvolle ja vertaa integraalin laskettuihin arvoihin. Tehdä johtopäätös.

testikysymykset

1. Mikä on määrällinen integraali?

2. Miksi analyyttisten menetelmien ohella käytetään numeerisia menetelmiä määrällisten integraalien laskemiseen?

3. Mikä on pääasiallisten numeeristen menetelmien olemus määrällisten integraalien laskentaan.

4. Osioiden lukumäärän vaikutus määrätyn integraalin laskentatarkkuuteen numeerisilla menetelmillä.

5. Miten integraali lasketaan millä tahansa menetelmällä tietyllä tarkkuudella?