Oppitunti ja esitys aiheesta: "Yhtälöjärjestelmät. Korvausmenetelmä, summausmenetelmä, menetelmä uuden muuttujan käyttöönottamiseksi"
Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia! Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.
Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 9
Simulaattori oppikirjoille Atanasyan L.S. Simulaattori oppikirjoille Pogorelova A.V.
Tapoja ratkaista eriarvoisuusjärjestelmiä
Kaverit, olemme tutkineet yhtälöjärjestelmiä ja oppineet ratkaisemaan ne kaavioiden avulla. Katsotaan nyt, mitä muita tapoja ratkaista järjestelmiä on olemassa?Lähes kaikki tavat ratkaista ne eivät eroa niistä, joita opimme 7. luokalla. Nyt meidän on tehtävä joitain muutoksia niiden yhtälöiden mukaan, joita olemme oppineet ratkaisemaan.
Kaikkien tällä oppitunnilla kuvattujen menetelmien ydin on järjestelmän korvaaminen vastaavalla järjestelmällä, jolla on yksinkertaisempi muoto ja ratkaisutapa. Kaverit, muistakaa mikä on vastaava järjestelmä.
Korvausmenetelmä
Ensimmäinen tapa ratkaista kahdella muuttujalla varustettuja yhtälöjärjestelmiä on meille hyvin tunnettu - tämä on korvausmenetelmä. Käytimme tätä menetelmää lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseen. Katsotaanpa nyt kuinka ratkaista yhtälöt yleisessä tapauksessa?Miten päätöstä tehdessä pitäisi edetä?
1. Ilmaise yksi muuttujista toisen suhteen. Yleisimmät yhtälöissä käytetyt muuttujat ovat x ja y. Yhdessä yhtälössä ilmaistamme yhden muuttujan toisella. Vinkki: Tutustu molempiin yhtälöihin ennen ratkaisemisen aloittamista ja valitse se, jossa muuttujan ilmaisu on helpompaa.
2. Korvaa tuloksena oleva lauseke toisella yhtälöllä ilmaistun muuttujan sijaan.
3. Ratkaise saamamme yhtälö.
4. Korvaa tuloksena oleva ratkaisu toiseen yhtälöön. Jos ratkaisuja on useita, ne on korvattava peräkkäin, jotta ei menetä paria ratkaisua.
5. Tuloksena saat lukuparin $(x;y)$, joka on kirjoitettava vastauksena.
Esimerkki.
Ratkaise järjestelmä, jossa on kaksi muuttujaa korvausmenetelmällä: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.
Päätös.
Katsotaanpa tarkemmin yhtälöitämme. On selvää, että y:n ilmaiseminen x:llä ensimmäisessä yhtälössä on paljon helpompaa.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Korvaa ensimmäinen lauseke toisella yhtälöllä $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Ratkaistaan toinen yhtälö erikseen:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Saimme kaksi ratkaisua toiselle yhtälölle $x_1=2$ ja $x_2=3$.
Korvaa peräkkäin toiseen yhtälöön.
Jos $x=2$ niin $y=3$. Jos $x=3$ niin $y=2$.
Vastaus on kaksi numeroparia.
Vastaus: $(2;3)$ ja $(3;2)$.
Algebrallinen lisäysmenetelmä
Opiskelimme myös tätä menetelmää 7. luokalla.Tiedetään, että voimme kertoa rationaalisen yhtälön kahdessa muuttujassa millä tahansa luvulla, muistaen kertoa yhtälön molemmat puolet. Kerroimme yhden yhtälöistä tietyllä luvulla siten, että kun tuloksena oleva yhtälö lisätään järjestelmän toiseen yhtälöön, yksi muuttujista tuhoutuu. Sitten yhtälö ratkaistiin jäljellä olevan muuttujan suhteen.
Tämä menetelmä toimii edelleen, vaikka yhtä muuttujista ei aina ole mahdollista tuhota. Mutta sen avulla voidaan merkittävästi yksinkertaistaa yhden yhtälön muotoa.
Esimerkki.
Ratkaise järjestelmä: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Päätös.
Kerro ensimmäinen yhtälö 2:lla.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Vähennä toinen ensimmäisestä yhtälöstä.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Kuten näet, tuloksena olevan yhtälön muoto on paljon yksinkertaisempi kuin alkuperäinen. Nyt voimme käyttää korvausmenetelmää.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Ilmaistaan x:stä y:ään tuloksena olevassa yhtälössä.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
$y=-1$ ja $y=-3$.
Korvaa nämä arvot peräkkäin ensimmäiseen yhtälöön. Saamme kaksi lukuparia: $(1;-1)$ ja $(-1;-3)$.
Vastaus: $(1;-1)$ ja $(-1;-3)$.
Menetelmä uuden muuttujan lisäämiseksi
Tutkimme myös tätä menetelmää, mutta katsotaanpa sitä uudelleen.Esimerkki.
Ratkaise järjestelmä: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
Päätös.
Otetaan käyttöön korvaus $t=\frac(x)(y)$.
Kirjoitetaan ensimmäinen yhtälö uudelleen uudella muuttujalla: $t+\frac(2)(t)=3$.
Ratkaistaan tuloksena oleva yhtälö:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Sai $t=2$ tai $t=1$. Otetaan käyttöön käänteinen muutos $t=\frac(x)(y)$.
Sai: $x=2y$ ja $x=y$.
Jokaiselle lausekkeelle alkuperäinen järjestelmä on ratkaistava erikseen:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Saimme neljä paria ratkaisuja.
Vastaus: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Esimerkki.
Ratkaise järjestelmä: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\loppu(tapaukset)$.
Päätös.
Esittelemme korvauksen: $z=\frac(2)(x-3y)$ ja $t=\frac(3)(2x+y)$.
Kirjoitetaan alkuperäiset yhtälöt uusilla muuttujilla:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Käytetään algebrallisen summauksen menetelmää:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Otetaan käyttöön käänteinen korvaus:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Käytetään korvausmenetelmää:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Vastaus: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.
Tehtäviä yhtälöjärjestelmissä itsenäiseen ratkaisuun
Ratkaise järjestelmät:1. $\begin(cases)2x-2y=6, \\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ loppu(tapaukset)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7) )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.
Muistetaan ensin kahdessa muuttujassa olevan yhtälöjärjestelmän ratkaisun määritelmä.
Määritelmä 1
Lukuparia kutsutaan ratkaisuksi yhtälöjärjestelmään, jossa on kaksi muuttujaa, jos kun ne korvataan yhtälöllä, saadaan oikea yhtälö.
Seuraavassa tarkastellaan kahden yhtälön järjestelmiä, joissa on kaksi muuttujaa.
Olla olemassa neljä perustapaa yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi: korvausmenetelmä, lisäysmenetelmä, graafinen menetelmä, uusi muuttujien hallintamenetelmä. Tarkastellaan näitä menetelmiä erityisillä esimerkeillä. Kolmen ensimmäisen menetelmän käytön periaatteen kuvaamiseksi tarkastelemme kahden lineaarisen yhtälön järjestelmää kahdella tuntemattomalla:
Korvausmenetelmä
Korvausmenetelmä on seuraava: otetaan mikä tahansa näistä yhtälöistä ja $y$ ilmaistaan muodossa $x$, sitten $y$ substituoidaan järjestelmän yhtälöön, josta muuttuja $x.$ löytyy. Tämän jälkeen voimme helposti laskea muuttujan $y.$
Esimerkki 1
Esitetään toisesta yhtälöstä $y$ arvolla $x$:
Korvaa ensimmäisessä yhtälössä, etsi $x$:
\ \ \
Etsi $y$:
Vastaus: $(-2,\ 3)$
Lisäysmenetelmä.
Harkitse tätä menetelmää esimerkillä:
Esimerkki 2
\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]
Kerro toinen yhtälö kolmella, saamme:
\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]
Lisätään nyt molemmat yhtälöt yhteen:
\ \ \
Etsi $y$ toisesta yhtälöstä:
\[-6-y=-9\] \
Vastaus: $(-2,\ 3)$
Huomautus 1
Huomaa, että tässä menetelmässä on tarpeen kertoa toinen tai molemmat yhtälöt sellaisilla luvuilla, että lisättäessä yksi muuttujista "häviää".
Graafinen tapa
Graafinen menetelmä on seuraava: järjestelmän molemmat yhtälöt näytetään koordinaattitasolla ja niiden leikkauspiste löydetään.
Esimerkki 3
\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]
Esitetään $y$ molemmista yhtälöistä arvolla $x$:
\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]
Piirretään molemmat kuvaajat samalle tasolle:
Kuva 1.
Vastaus: $(-2,\ 3)$
Kuinka ottaa käyttöön uusia muuttujia
Tarkastelemme tätä menetelmää seuraavassa esimerkissä:
Esimerkki 4
\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]
Päätös.
Tämä järjestelmä vastaa järjestelmää
\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ oikein.\]
Olkoon $2^x=u\ (u>0)$ ja $3^y=v\ (v>0)$, saamme:
\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]
Ratkaisemme tuloksena olevan järjestelmän summausmenetelmällä. Lisätään yhtälöt:
\ \
Sitten toisesta yhtälöstä saamme sen
Palataksemme korvaamiseen, saamme uuden eksponentiaaliyhtälöjärjestelmän:
\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]
Saamme:
\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]
Tarkastellaan ensin tapausta, jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä, ts. m = n. Tällöin järjestelmän matriisi on neliö, ja sen determinanttia kutsutaan järjestelmän determinantiksi.
Käänteismatriisimenetelmä
Tarkastellaan yleisesti yhtälöjärjestelmää AX = B, jossa on ei-singulaarinen neliömatriisi A. Tässä tapauksessa on olemassa käänteimatriisi A -1 . Kerrotaan molemmat puolet A -1:llä vasemmalla. Saamme A -1 AX \u003d A -1 B. Tästä EX \u003d A -1 B ja
Viimeinen yhtälö on matriisikaava ratkaisujen löytämiseksi sellaisiin yhtälöjärjestelmiin. Tämän kaavan käyttöä kutsutaan käänteismatriisimenetelmäksi
Käytämme tätä menetelmää esimerkiksi seuraavan järjestelmän ratkaisemiseen:
;
Järjestelmän ratkaisun lopussa voidaan tehdä tarkistus korvaamalla löydetyt arvot järjestelmän yhtälöihin. Tässä tapauksessa niiden on muututtava todellisiksi tasa-arvoiksi.
Tässä esimerkissä tarkistetaan:
Menetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi neliömatriisilla käyttäen Cramerin kaavoja
Olkoon n=2:
Jos ensimmäisen yhtälön molemmat osat kerrotaan luvulla 22 ja toisen molemmat osat (-a 12) ja sitten lasketaan yhteen tuloksena saadut yhtälöt, niin jätetään muuttuja x 2 pois järjestelmästä. Vastaavasti voit poistaa muuttujan x 1 (kerrottamalla ensimmäisen yhtälön molemmat puolet arvolla (-a 21) ja toisen molemmat puolet luvulla 11). Tuloksena saamme järjestelmän:
Suluissa oleva lauseke on järjestelmän determinantti
Merkitse
Sitten järjestelmä saa muodon:
Tuloksena olevasta järjestelmästä seuraa, että jos järjestelmän determinantti on 0, niin järjestelmä on johdonmukainen ja määrätty. Sen ainutlaatuinen ratkaisu voidaan laskea kaavoilla:
Jos = 0, a 1 0 ja/tai 2 0, niin järjestelmän yhtälöt ovat muotoa 0*х 1 = 2 ja/tai 0*х 1 = 2. Tässä tapauksessa järjestelmä on epäjohdonmukainen.
Siinä tapauksessa, että = 1 = 2 = 0, järjestelmä on johdonmukainen ja epämääräinen (sillä on ääretön määrä ratkaisuja), koska se on muodossa:
Cramerin lause(jätämme todisteen pois). Jos yhtälöjärjestelmän n matriisin determinantti ei ole nolla, järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka määritetään kaavoilla:
,
missä j on matriisista A saadun matriisin determinantti korvaamalla j. sarake vapaiden termien sarakkeella.
Yllä olevia kaavoja kutsutaan Cramerin kaavat.
Esimerkkinä käytetään tätä menetelmää järjestelmän ratkaisemiseen, joka on aiemmin ratkaistu käänteismatriisimenetelmällä:
Tarkastettujen menetelmien haitat:
1) merkittävä monimutkaisuus (determinanttien laskenta ja käänteismatriisin löytäminen);
2) rajoitettu soveltamisala (järjestelmille, joissa on neliömatriisi).
Todellisia taloudellisia tilanteita mallinnetaan usein järjestelmillä, joissa yhtälöiden ja muuttujien määrä on varsin merkittävä ja yhtälöitä on enemmän kuin muuttujia, joten käytännössä seuraava menetelmä on yleisempi.
Gaussin menetelmä (muuttujien peräkkäisen eliminoinnin menetelmä)
Tällä menetelmällä ratkaistaan yleisesti m lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on n muuttujaa. Sen ydin on ekvivalenttien muunnosjärjestelmän soveltaminen laajennettuun matriisiin, jonka avulla yhtälöjärjestelmä muunnetaan muotoon, kun sen ratkaisut ovat helposti löydettävissä (jos sellaisia on).
Tämä on sellainen näkymä, jossa järjestelmämatriisin vasen yläosa on porrastettu matriisi. Tämä saavutetaan käyttämällä samoja tekniikoita, joita käytettiin porrastetun matriisin saamiseksi arvon määrittämiseksi. Tässä tapauksessa laajennettuun matriisiin sovelletaan alkeismuunnoksia, joiden avulla voidaan saada vastaava yhtälöjärjestelmä. Sen jälkeen lisätty matriisi saa muodon:
Tällaisen matriisin saamista kutsutaan suorassa linjassa Gaussin menetelmä.
Muuttujien arvojen löytämistä vastaavasta yhtälöjärjestelmästä kutsutaan taaksepäin Gaussin menetelmä. Mietitäänpä sitä.
Huomaa, että viimeiset (m – r) yhtälöt ovat muotoa:
Jos ainakin yksi numeroista 
ei ole nolla, niin vastaava yhtälö on epätosi ja koko järjestelmä on epäjohdonmukainen.
Siksi kaikille yhteisille järjestelmille 
. Tässä tapauksessa viimeiset (m – r) yhtälöt mille tahansa muuttujien arvolle ovat identiteettejä 0 = 0, ja ne voidaan jättää huomiotta järjestelmää ratkaistaessa (hävitä vain vastaavat rivit).
Sen jälkeen järjestelmä näyttää tältä:
Tarkastellaan ensin tapausta, jossa r=n. Sitten järjestelmä saa muodon:
Järjestelmän viimeisestä yhtälöstä voidaan löytää yksiselitteisesti x r .
Tietäen x r , voidaan siitä yksiselitteisesti ilmaista x r -1. Sitten edellisestä yhtälöstä, tietäen x r ja x r -1 , voimme ilmaista x r -2 ja niin edelleen. x 1 asti.
Joten tässä tapauksessa järjestelmä on yhteistyökykyinen ja määrätietoinen.
Mieti nyt tilannetta, kun r
Tästä yhtälöstä voimme ilmaista perusmuuttujan x r ei-perusmuuttujilla:
Toiseksi viimeinen yhtälö näyttää tältä:
Korvaamalla tuloksena oleva lauseke x r:n sijaan, on mahdollista ilmaista perusmuuttuja x r -1 ei-perusmuuttujien kautta. Jne. muuttujaan x 1. Saadaksesi ratkaisun järjestelmään, voit rinnastaa ei-perusmuuttujat mielivaltaisiin arvoihin ja laskea sitten perusmuuttujat saatujen kaavojen avulla. Siten järjestelmä on tässä tapauksessa johdonmukainen ja määrittelemätön (sillä on ääretön määrä ratkaisuja).
Ratkaistaan esimerkiksi yhtälöjärjestelmä:
Perusmuuttujien joukkoa kutsutaan perusta järjestelmät. Kutsutaan myös niiden kertoimien sarakkeiden joukko perusta(perussarakkeet), tai alaikäinen järjestelmämatriiseja. Kutsutaan sitä järjestelmän ratkaisua, jossa kaikki ei-perusmuuttujat ovat yhtä suuria kuin nolla perusratkaisu.
Edellisessä esimerkissä perusratkaisu on (4/5; -17/5; 0; 0) (muuttujat x 3 ja x 4 (c 1 ja c 2) asetetaan nollaan ja perusmuuttujat x 1 ja x 2 lasketaan niiden kautta). Esimerkin antamiseksi ei-perusratkaisusta on tarpeen rinnastaa x 3 ja x 4 (c 1 ja c 2) mielivaltaisiin lukuihin, jotka eivät ole samaan aikaan yhtä suuria kuin nolla, ja laskea loput muuttujat niitä. Esimerkiksi, kun c 1 = 1 ja c 2 = 0, saadaan ei-perusratkaisu - (4/5; -12/5; 1; 0). Korvaamalla on helppo varmistaa, että molemmat ratkaisut ovat oikein.
On selvää, että epäperusratkaisujen määrittelemättömässä järjestelmässä ratkaisuja voi olla ääretön määrä. Kuinka monta perusratkaisua voi olla? Jokaisen muunnetun matriisin rivin tulee vastata yhtä perusmuuttujaa. Tehtävässä on yhteensä n muuttujaa ja r perusriviä. Siksi perusmuuttujien mahdollisten joukkojen määrä ei voi ylittää n:n ja 2:n yhdistelmien määrää. Se voi olla pienempi kuin 
, koska aina ei ole mahdollista muuttaa järjestelmää sellaiseen muotoon, että tämä tietty muuttujajoukko on perusta.
Millainen tämä on? Tämä on sellainen muoto, kun näiden muuttujien kertoimien sarakkeista muodostettu matriisi on porrastettu ja muodostuu tässä tapauksessa riveistä. Nuo. näiden muuttujien kertoimien matriisin järjestyksen on oltava yhtä suuri kuin r. Se ei voi olla suurempi, koska sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin r. Jos se osoittautuu pienemmäksi kuin r, tämä osoittaa muuttujien sarakkeiden lineaarista riippuvuutta. Tällaiset sarakkeet eivät voi muodostaa perustaa.
Pohditaan, mitä muita perusratkaisuja löytyy yllä olevasta esimerkistä. Tätä varten harkitse kaikkia mahdollisia neljän muuttujan yhdistelmiä kahden perusmuuttujan kanssa. Tällaiset yhdistelmät ovat 
, ja yksi niistä (x 1 ja x 2) on jo otettu huomioon.
Otetaan muuttujat x 1 ja x 3 . Etsi niiden kertoimien matriisin sijoitus:
Koska se on yhtä kuin kaksi, ne voivat olla perustietoja. Yhdistämme ei-perusmuuttujat x 2 ja x 4 nollaan: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. Sitten kaavasta x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 seuraa, että x 1 \u003d 4/5, ja kaavasta x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 seuraa, että x 3 \u003d x 2 + 17.5. \u003d 17.5. Näin saadaan perusratkaisu (4/5; 0; 17/5; 0).
Samalla tavalla voit saada perusratkaisut perusmuuttujille x 1 ja x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x2 ja x4- (0; -9; 0; 4); x 3 ja x 4 - (0; 0; 9; 4).
Tämän esimerkin muuttujia x 2 ja x 3 ei voida pitää perusmuuttujina, koska vastaavan matriisin järjestys on yhtä suuri kuin yksi, ts. alle kaksi:
.
Toinen lähestymistapa on mahdollista määrittää, onko mahdollista muodostaa perusta joistakin muuttujista. Esimerkkiä ratkaistessaan järjestelmämatriisin porrastettuun muotoon muuntamisen seurauksena se otti muodon:
Valitsemalla muuttujapareja oli mahdollista laskea tämän matriisin vastaavat alamerkit. On helppo nähdä, että kaikilla pareilla, paitsi x 2 ja x 3, ne eivät ole nolla, ts. sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia. Ja vain sarakkeille, joissa on muuttujat x 2 ja x 3 
, mikä osoittaa niiden lineaarisen riippuvuuden.
Tarkastellaanpa vielä yhtä esimerkkiä. Ratkaistaan yhtälöjärjestelmä
Joten viimeisen matriisin kolmatta riviä vastaava yhtälö on epäjohdonmukainen - se johti väärään yhtälöön 0 = -1, joten tämä järjestelmä on epäjohdonmukainen.
Jordan-Gaussin menetelmä 3 on Gaussin menetelmän kehitys. Sen olemus on, että järjestelmän laajennettu matriisi muunnetaan muotoon, kun muuttujien kertoimet muodostavat identiteettimatriisin rivien tai sarakkeiden permutaatioon 4 asti (missä on järjestelmämatriisin arvo).
Ratkaistaan järjestelmä tällä menetelmällä:
Harkitse järjestelmän lisättyä matriisia:
Tässä matriisissa valitsemme identiteettielementin. Esimerkiksi kerroin kohdassa x 2 kolmannessa rajoituksessa on 5. Varmistetaan, että tämän sarakkeen jäljellä olevilla riveillä on nollia, ts. tee sarakkeesta yksittäinen. Muutosprosessissa kutsumme tätä sarakkeessasalliva(johtava, avain). Kolmas rajoitus (kolmas merkkijono) kutsutaan myös salliva. Itse elementti, joka seisoo sallivan rivin ja sarakkeen leikkauskohdassa (tässä se on yksikkö), kutsutaan myös salliva.
Ensimmäinen rivi sisältää nyt kertoimen (-1). Saadaksesi nolla sen tilalle, kerro kolmas rivi (-1) ja vähennä tulos ensimmäisestä rivistä (eli lisää vain ensimmäinen rivi kolmanteen).
Toinen rivi sisältää kertoimen 2. Saadaksesi nolla sen tilalle, kerro kolmas rivi 2:lla ja vähennä tulos ensimmäisestä rivistä.
Muutosten tulos näyttää tältä:
Tämä matriisi osoittaa selvästi, että toinen kahdesta ensimmäisestä rajoituksesta voidaan poistaa (vastaavat rivit ovat verrannollisia, ts. nämä yhtälöt seuraavat toisistaan). Yliviivataan toinen:
Joten uudessa järjestelmässä on kaksi yhtälöä. Yksi sarake (toinen) vastaanotetaan, ja tässä oleva yksikkö on toisella rivillä. Muistetaan, että perusmuuttuja x 2 vastaa uuden järjestelmän toista yhtälöä.
Valitaan perusmuuttuja ensimmäiselle riville. Se voi olla mikä tahansa muuttuja paitsi x 3 (koska kohdassa x 3 ensimmäisellä rajoituksella on nollakerroin, eli muuttujien joukko x 2 ja x 3 ei voi olla tässä perus). Voit ottaa ensimmäisen tai neljännen muuttujan.
Valitaan x 1. Tällöin ratkaiseva elementti on 5, ja ratkaisevan yhtälön molemmat puolet on jaettava viidellä saadakseen yhden ensimmäisen rivin ensimmäiseen sarakkeeseen.
Varmistetaan, että muilla riveillä (eli toisella rivillä) on nollia ensimmäisessä sarakkeessa. Koska nyt toinen rivi ei ole nolla, vaan 3, on tarpeen vähentää toisesta rivistä muunnetun ensimmäisen rivin elementit kerrottuna 3:lla:
Tuloksena olevasta matriisista voidaan erottaa suoraan yksi perusratkaisu vertaamalla ei-perusmuuttujat nollaan ja perusmuuttujat vastaavien yhtälöiden vapaisiin termeihin: (0,8; -3,4; 0; 0). Voit myös johtaa yleisiä kaavoja, jotka ilmaisevat perusmuuttujia ei-perusmuuttujien kautta: x 1 \u003d 0,8 - 1,2 x 4; x 2 \u003d -3,4 + x 3 + 1,6 x 4. Nämä kaavat kuvaavat järjestelmän koko loputtoman ratkaisujoukon (vertamalla x 3 ja x 4 mielivaltaisiin lukuihin, voit laskea x 1 ja x 2).
Huomaa, että muunnosten olemus Jordan-Gauss-menetelmän jokaisessa vaiheessa oli seuraava:
1) permissiivinen merkkijono jaettiin sallivalla elementillä saadakseen yksikön tilalle,
2) kaikista muista riveistä vähennettiin muunnettu erotuskyky kerrottuna ratkaisevassa sarakkeessa annetulla rivillä olevalla elementillä, jolloin tämän elementin tilalle saatiin nolla.
Tarkastellaan vielä kerran järjestelmän muunnettua lisättyä matriisia:
Tästä merkinnästä voidaan nähdä, että järjestelmän A matriisin arvo on r.
Yllä olevan päättelyn aikana olemme todenneet, että järjestelmä on johdonmukainen jos ja vain jos 
. Tämä tarkoittaa, että järjestelmän lisätty matriisi näyttää tältä:
Hylkäämällä nolla riviä saadaan, että järjestelmän laajennetun matriisin arvo on myös yhtä suuri kuin r.
Kronecker-Capellin lause. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on johdonmukainen silloin ja vain, jos järjestelmän matriisin arvo on yhtä suuri kuin tämän järjestelmän laajennetun matriisin arvo.
Muista, että matriisin sijoitus on yhtä suuri kuin sen lineaarisesti riippumattomien rivien enimmäismäärä. Tästä seuraa, että jos laajennetun matriisin järjestys on pienempi kuin yhtälöiden lukumäärä, niin järjestelmän yhtälöt ovat lineaarisesti riippuvaisia ja yksi tai useampi niistä voidaan sulkea pois järjestelmästä (koska ne ovat lineaarisia muiden yhdistelmä). Yhtälöjärjestelmä on lineaarisesti riippumaton vain, jos laajennetun matriisin järjestys on yhtä suuri kuin yhtälöiden lukumäärä.
Lisäksi johdonmukaisille lineaariyhtälöjärjestelmille voidaan väittää, että jos matriisin järjestys on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä, järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja jos se on pienempi kuin muuttujien lukumäärä, niin järjestelmä on epämääräinen ja siinä on äärettömän monta ratkaisua.
1Oletetaan esimerkiksi, että matriisissa on viisi riviä (alkuperäinen rivien järjestys on 12345). Meidän on vaihdettava toinen rivi ja viides. Jotta toinen rivi putoaa viidennen paikalle, "liikkuisi" alaspäin, muutamme vierekkäisiä rivejä peräkkäin kolme kertaa: toinen ja kolmas (13245), toinen ja neljäs (13425) sekä toinen ja viides. (13452). Sitten, jotta viides rivi ottaisi toisen paikan alkuperäisessä matriisissa, on tarpeen "siirtää" viidettä riviä ylöspäin vain kahdella peräkkäisellä muutoksella: viides ja neljäs rivi (13542) sekä viides ja kolmas rivi. (15342).
2Yhdistelmien lukumäärä n:stä r:ään 
kutsutaan n-elementtijoukon kaikkien eri r-elementtiosajoukkojen lukumäärää (eri joukot ovat niitä, joilla on erilainen elementtien koostumus, valintajärjestys ei ole tärkeä). Se lasketaan kaavalla: 
. Muista merkin "!" (factoral): 
0!=1.)
3Koska tämä menetelmä on yleisempi kuin aiemmin käsitelty Gaussin menetelmä ja se on pohjimmiltaan yhdistelmä Gaussin myötä- ja käänteistä menetelmää, sitä kutsutaan joskus myös Gaussin menetelmäksi, jolloin nimen ensimmäinen osa jätetään pois.
4 Esimerkiksi 
.
5Jos järjestelmän matriisissa ei olisi yksikköjä, olisi mahdollista esimerkiksi jakaa ensimmäisen yhtälön molemmat osat kahdella, jolloin ensimmäisestä kertoimesta tulisi yksikkö; tai vastaavaa.
Tällä matemaattisella ohjelmalla voit ratkaista kahden lineaarisen yhtälön järjestelmän kahdella muuttujalla käyttämällä korvaus- ja summausmenetelmää.
Ohjelma ei vain anna vastausta ongelmaan, vaan tarjoaa myös yksityiskohtaisen ratkaisun ratkaisuvaiheiden selityksillä kahdella tavalla: korvausmenetelmällä ja lisäysmenetelmällä.
Tämä ohjelma voi olla hyödyllinen lukiolaisille valmistautuessaan kokeisiin ja kokeisiin, kun he testaavat tietoja ennen yhtenäistä valtionkoetta, vanhemmille hallitsemaan monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisua. Tai ehkä sinulle on liian kallista palkata tutor tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtäväsi valmiiksi mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisen ratkaisun kanssa.
Näin voit toteuttaa omaa ja/tai nuorempien veljien tai sisarusten koulutusta samalla kun koulutustasoa ratkaistavissa tehtävissä nostetaan.
Säännöt yhtälöiden syöttämiseen
Mikä tahansa latinalainen kirjain voi toimia muuttujana.
Esimerkiksi: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) jne.
Kun syötät yhtälöitä voit käyttää sulkuja. Tässä tapauksessa yhtälöt yksinkertaistetaan ensin. Yksinkertaistusten jälkeen yhtälöiden tulee olla lineaarisia, ts. muotoa ax+by+c=0 alkioiden järjestyksen tarkkuudella.
Esimerkki: 6x+1 = 5(x+y)+2
Yhtälöissä voit käyttää paitsi kokonaislukuja myös murtolukuja desimaali- ja tavallisten murtolukujen muodossa.
Desimaalilukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Desimaalimurtolukujen kokonaisluku- ja murto-osat voidaan erottaa joko pisteellä tai pilkulla.
Esimerkki: 2,1n + 3,5m = 55
Tavallisten murtolukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Vain kokonaisluku voi toimia murtoluvun osoittajana, nimittäjänä ja kokonaislukuosana.
Nimittäjä ei voi olla negatiivinen.
Kun syötetään murtolukua, osoittaja erotetaan nimittäjästä jakomerkillä: /
Kokonaislukuosa erotetaan murtoluvusta et-merkillä: &
Esimerkkejä.
-1&2/3v + 5/3x = 55
2,1 p + 55 = -2/7 (3,5 p - 2 & 1/8q)
Ratkaise yhtälöjärjestelmä
Havaittiin, että jotkin tämän tehtävän ratkaisemiseen tarvittavat komentosarjat eivät latautuneet, eikä ohjelma välttämättä toimi.
AdBlock voi olla käytössä.
Tässä tapauksessa poista se käytöstä ja päivitä sivu.
JavaScriptin on oltava käytössä, jotta ratkaisu tulee näkyviin.
Tässä on ohjeet JavaScriptin käyttöönottoon selaimessasi.
Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin alle.
Odota, ole hyvä sek...
Jos sinä huomasi ratkaisussa virheen, voit kirjoittaa siitä palautelomakkeeseen.
Älä unohda ilmoittaa mikä tehtävä sinä päätät mitä syötä kenttiin.
Pelimme, palapelimme, emulaattorimme:
Vähän teoriaa.
Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen. Korvausmenetelmä
Toimintojen järjestys, kun ratkaistaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä korvausmenetelmällä:
1) ilmaisee yhden muuttujan jostain järjestelmän yhtälöstä toisella;
2) korvaa tuloksena oleva lauseke järjestelmän toisessa yhtälössä tämän muuttujan sijaan;
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$
Esitetään ensimmäisestä yhtälöstä y x:ään: y = 7-3x. Korvaamalla lausekkeen 7-3x y:n sijaan toiseen yhtälöön, saadaan järjestelmä:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$
On helppo osoittaa, että ensimmäisessä ja toisessa järjestelmässä on samat ratkaisut. Toisessa järjestelmässä toinen yhtälö sisältää vain yhden muuttujan. Ratkaistaan tämä yhtälö:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
Korvaamalla luvun 1 x:n sijaan yhtälöön y=7-3x, löydämme y:n vastaavan arvon:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Pari (1;4) - järjestelmän ratkaisu
Kutsutaan kahdessa muuttujassa olevia yhtälöjärjestelmiä, joilla on samat ratkaisut vastaava. Myös järjestelmät, joissa ei ole ratkaisuja, katsotaan vastaaviksi.
Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen lisäämällä
Harkitse toista tapaa ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä - summausmenetelmää. Kun järjestelmiä ratkaistaan tällä tavalla, samoin kuin substituutiomenetelmällä ratkaistaessa, siirrytään tietystä järjestelmästä toiseen sitä vastaavaan järjestelmään, jossa yksi yhtälöistä sisältää vain yhden muuttujan.
Toimintojen järjestys, kun ratkaistaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:
1) kerrotaan järjestelmän yhtälöt termillä valitsemalla tekijät siten, että yhden muuttujan kertoimet ovat vastakkaisia lukuja;
2) lisää termi kerrallaan järjestelmän yhtälöiden vasen ja oikea osa;
3) ratkaise saatu yhtälö yhdellä muuttujalla;
4) etsi toisen muuttujan vastaava arvo.
Esimerkki. Ratkaistaan yhtälöjärjestelmä:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$
Tämän järjestelmän yhtälöissä y:n kertoimet ovat vastakkaisia lukuja. Lisäämällä termi kerrallaan yhtälöiden vasen ja oikea osa, saadaan yhtälö, jossa on yksi muuttuja 3x=33. Korvataan yksi järjestelmän yhtälöistä, esimerkiksi ensimmäinen, yhtälöllä 3x=33. Otetaan systeemi
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$
Yhtälöstä 3x=33 huomaamme, että x=11. Kun tämä x-arvo korvataan yhtälöllä \(x-3y=38 \), saadaan yhtälö muuttujalla y: \(11-3y=38 \). Ratkaistaan tämä yhtälö:
\(-3y=27 \Oikeanuoli y=-9 \)
Löysimme siis ratkaisun yhtälöjärjestelmään lisäämällä: \(x=11; y=-9 \) tai \((11; -9) \)
Hyödyntämällä sitä tosiasiaa, että järjestelmän yhtälöissä y:n kertoimet ovat vastakkaisia lukuja, pelkistimme sen ratkaisun ekvivalentin järjestelmän ratkaisuksi (summaamalla kummankin alkuperäisen symmeemin yhtälön molemmat osat), jossa yksi yhtälöistä sisältää vain yhden muuttujan.
Kirjat (oppikirjat) Yhtenäisen valtiontutkinnon tiivistelmät ja OGE-testit verkossa Pelit, palapelit Toimintojen piirtäminen Venäjän kielen oikeinkirjoitussanakirja Nuorten slangin sanakirja Venäjän koulujen luettelo Venäjän toisen asteen koulujen luettelo Venäjän yliopistojen luettelo TehtäväluetteloLuotettavampi kuin edellisessä kappaleessa käsitelty graafinen menetelmä.
Korvausmenetelmä
Käytimme tätä menetelmää 7. luokalla lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. 7. luokalla kehitetty algoritmi soveltuu hyvin minkä tahansa kahden yhtälön (ei välttämättä lineaaristen) järjestelmien ratkaisemiseen kahdella muuttujalla x ja y (muuttujat voidaan tietysti merkitä muilla kirjaimilla, millä ei ole väliä). Itse asiassa käytimme tätä algoritmia edellisessä kappaleessa, kun kaksinumeroisen luvun ongelma johti matemaattiseen malliin, joka on yhtälöjärjestelmä. Ratkaisimme tämän yhtälöjärjestelmän yllä korvausmenetelmällä (katso esimerkki 1 kappaleesta 4).
Algoritmi substituutiomenetelmän käyttämiseen ratkaistaessa kahden yhtälön järjestelmää kahdella muuttujalla x, y.
1. Ilmaise y x:nä järjestelmän yhdestä yhtälöstä.
2. Korvaa tuloksena oleva lauseke y:n sijaan toisella järjestelmän yhtälöllä.
3. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö x:lle.
4. Korvaa vuorotellen kukin kolmannessa vaiheessa löydetyn yhtälön juurista x:n sijaan ensimmäisessä vaiheessa saatuun lausekkeeseen y - x.
5. Kirjoita vastaus muistiin arvoparien muodossa (x; y), jotka löytyivät vastaavasti kolmannessa ja neljännessä vaiheessa.
4) Korvaa vuorotellen jokainen y:n löydetty arvo kaavaan x \u003d 5 - Zy. Jos sitten 
5) Tietyn yhtälöjärjestelmän parit (2; 1) ja ratkaisut.
Vastaus: (2; 1);
Algebrallinen lisäysmenetelmä
Tämä menetelmä, kuten substituutiomenetelmä, on sinulle tuttu 7. luokan algebrakurssilta, jossa sitä käytettiin lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. Muistamme menetelmän olemuksen seuraavassa esimerkissä.
Esimerkki 2 Ratkaise yhtälöjärjestelmä
Kerromme kaikki järjestelmän ensimmäisen yhtälön ehdot kolmella ja jätämme toisen yhtälön ennalleen: 
Vähennä järjestelmän toinen yhtälö sen ensimmäisestä yhtälöstä:
Alkuperäisen järjestelmän kahden yhtälön algebrallisen summauksen tuloksena saatiin yhtälö, joka on yksinkertaisempi kuin annetun järjestelmän ensimmäinen ja toinen yhtälö. Tällä yksinkertaisemmalla yhtälöllä meillä on oikeus korvata mikä tahansa tietyn järjestelmän yhtälö, esimerkiksi toinen. Sitten annettu yhtälöjärjestelmä korvataan yksinkertaisemmalla järjestelmällä:
Tämä järjestelmä voidaan ratkaista korvausmenetelmällä. Toisesta yhtälöstä löydämme korvaamalla tämän lausekkeen y:n sijaan järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön, saamme
On vielä korvattava löydetyt x:n arvot kaavaan
Jos x = 2, niin
Olemme siis löytäneet kaksi ratkaisua järjestelmään: 
Menetelmä uusien muuttujien käyttöön ottamiseksi
Tutustuit 8. luokan algebrakurssilla uuden muuttujan käyttöönoton menetelmään ratkaistessaan rationaalisia yhtälöitä yhdellä muuttujalla. Tämän menetelmän olemus yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi on sama, mutta teknisestä näkökulmasta katsottuna on joitain ominaisuuksia, joita käsittelemme seuraavissa esimerkeissä.
Esimerkki 3 Ratkaise yhtälöjärjestelmä
Otetaan käyttöön uusi muuttuja. Sitten järjestelmän ensimmäinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen yksinkertaisemmassa muodossa: Ratkaistaan tämä yhtälö muuttujan t suhteen:
Molemmat arvot täyttävät ehdon ja ovat siksi rationaalisen yhtälön juuria muuttujan t kanssa. Mutta se tarkoittaa joko mistä löydämme, että x = 2y, tai
Siten uuden muuttujan käyttöönoton menetelmän avulla pystyimme ikään kuin "kerroittamaan" järjestelmän ensimmäisen yhtälön, joka on ulkonäöltään melko monimutkainen, kahdeksi yksinkertaisemmaksi yhtälöksi:
x = 2 y; y - 2x.
Mitä seuraavaksi? Ja sitten kutakin kahdesta saadusta yksinkertaisesta yhtälöstä on tarkasteltava vuorotellen järjestelmässä yhtälöllä x 2 - y 2 \u003d 3, jota emme ole vielä muistaneet. Toisin sanoen ongelma rajoittuu kahden yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseen:
On tarpeen löytää ratkaisut ensimmäiselle järjestelmälle, toiselle järjestelmälle ja sisällyttää vastaukseen kaikki tuloksena olevat arvoparit. Ratkaistaan ensimmäinen yhtälöjärjestelmä:
Käytetään substituutiomenetelmää, varsinkin kun tässä on kaikki valmiina: korvaamme lausekkeen 2y x:n sijaan järjestelmän toiseen yhtälöön. Saada
Koska x \u003d 2y, löydämme vastaavasti x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Siten annetulle järjestelmälle saadaan kaksi ratkaisua: (2; 1) ja (-2; -1). Ratkaistaan toinen yhtälöjärjestelmä:
Käytetään jälleen korvausmenetelmää: korvaamme lausekkeen 2x y:n sijaan järjestelmän toisessa yhtälössä. Saada
Tällä yhtälöllä ei ole juuria, mikä tarkoittaa, että yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja. Näin ollen vain ensimmäisen järjestelmän ratkaisut tulisi sisällyttää vastaukseen.
Vastaus: (2; 1); (-2;-1).
Menetelmää uusien muuttujien käyttöönottamiseksi kahden muuttujan yhtälön järjestelmien ratkaisemisessa käytetään kahdessa versiossa. Ensimmäinen vaihtoehto: yksi uusi muuttuja otetaan käyttöön ja sitä käytetään vain yhdessä järjestelmän yhtälössä. Juuri näin tapahtui esimerkissä 3. Toinen vaihtoehto: kaksi uutta muuttujaa otetaan käyttöön ja niitä käytetään samanaikaisesti järjestelmän molemmissa yhtälöissä. Näin tapahtuu esimerkissä 4.
Esimerkki 4 Ratkaise yhtälöjärjestelmä
Otetaan käyttöön kaksi uutta muuttujaa:
Opimme sen sitten
Tämä antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa annettu järjestelmä uudelleen paljon yksinkertaisemmassa muodossa, mutta suhteessa uusiin muuttujiin a ja b:
Koska a \u003d 1, niin yhtälöstä a + 6 \u003d 2 löydämme: 1 + 6 \u003d 2; 6 = 1. Siten muuttujille a ja b saimme yhden ratkaisun:
Palataksemme muuttujiin x ja y, saadaan yhtälöjärjestelmä
Käytämme algebrallista summausmenetelmää tämän järjestelmän ratkaisemiseksi:
Siitä lähtien yhtälöstä 2x + y = 3 löydämme:
Siten muuttujille x ja y saimme yhden ratkaisun:
Päätetään tämä osio lyhyeen mutta melko vakavaan teoreettiseen keskusteluun. Olet jo saanut kokemusta erilaisten yhtälöiden ratkaisemisesta: lineaarinen, neliö, rationaalinen, irrationaalinen. Tiedät, että yhtälön ratkaisemisen pääidea on siirtyä asteittain yhtälöstä toiseen, yksinkertaisempaan, mutta annettua vastaavaan. Edellisessä osiossa esittelimme kahden muuttujan yhtälöiden ekvivalenssin käsitteen. Tätä käsitettä käytetään myös yhtälöjärjestelmissä.
Määritelmä.
Kahden yhtälöjärjestelmän muuttujilla x ja y sanotaan olevan ekvivalentteja, jos niillä on samat ratkaisut tai jos molemmilla järjestelmillä ei ole ratkaisuja.
Kaikki kolme tässä osiossa käsittelemäämme menetelmää (korvaus, algebrallinen yhteenlasku ja uusien muuttujien käyttöönotto) ovat ekvivalenssin kannalta täysin oikeita. Toisin sanoen näitä menetelmiä käyttämällä korvaamme yhden yhtälöjärjestelmän toisella, yksinkertaisemmalla, mutta alkuperäistä järjestelmää vastaavalla.
Graafinen menetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen
Olemme jo oppineet ratkaisemaan yhtälöjärjestelmiä sellaisilla yleisillä ja luotettavilla tavoilla kuin substituutiomenetelmä, algebrallinen yhteenlasku ja uusien muuttujien käyttöönotto. Ja nyt muistetaan menetelmä, jota opit jo edellisellä oppitunnilla. Eli toistetaan, mitä tiedät graafisesta ratkaisumenetelmästä.
Menetelmä yhtälöjärjestelmien graafiseen ratkaisemiseen on kaavion rakentaminen kullekin tietylle yhtälölle, joka sisältyy tähän järjestelmään ja on samassa koordinaattitasossa, ja myös silloin, kun on löydettävä näiden kaavioiden pisteiden leikkauspiste . Tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi ovat tämän pisteen koordinaatit (x; y).
On muistettava, että on yleistä, että graafisessa yhtälöjärjestelmässä on joko yksi ainoa oikea ratkaisu tai ääretön määrä ratkaisuja tai niitä ei ole ollenkaan.
Tarkastellaan nyt lähemmin jokaista näistä ratkaisuista. Ja niin, yhtälöjärjestelmällä voi olla ainutlaatuinen ratkaisu, jos suorat, jotka ovat järjestelmän yhtälöiden kuvaajia, leikkaavat. Jos nämä suorat ovat yhdensuuntaisia, tällaisella yhtälöjärjestelmällä ei ole lainkaan ratkaisuja. Jos järjestelmän yhtälöiden suorien kaavioiden yhteensopivuus on, tällainen järjestelmä antaa sinun löytää monia ratkaisuja.
No, katsotaanpa nyt algoritmia, jolla ratkaistaan kahden yhtälön systeemi, jossa on 2 tuntematonta, graafisella menetelmällä:
Ensin rakennetaan ensin kaavio 1. yhtälöstä;
Toinen vaihe on piirtää kaavio, joka liittyy toiseen yhtälöön;
Kolmanneksi meidän on löydettävä kaavioiden leikkauspisteet.
Ja seurauksena saamme kunkin leikkauspisteen koordinaatit, jotka ovat ratkaisu yhtälöjärjestelmään.
Tarkastellaan tätä menetelmää yksityiskohtaisemmin esimerkin avulla. Meille annetaan yhtälöjärjestelmä ratkaistavaksi:
Yhtälöiden ratkaiseminen
1. Ensin rakennetaan kaavio tästä yhtälöstä: x2+y2=9.
Mutta on huomattava, että tämä yhtälökaavio on ympyrä, jonka keskipiste on origossa, ja sen säde on yhtä suuri kuin kolme.
2. Seuraava vaiheemme on piirtää yhtälö, kuten: y = x - 3.
Tässä tapauksessa meidän on rakennettava suora ja löydettävä pisteet (0;−3) ja (3;0).
3. Katsotaan mitä saamme. Näemme, että suora leikkaa ympyrän kahdessa pisteestään A ja B.
Nyt etsimme näiden pisteiden koordinaatteja. Näemme, että koordinaatit (3;0) vastaavat pistettä A ja koordinaatit (0;−3) vastaavat pistettä B.
Ja mitä saamme tuloksena?
Suoran ja ympyrän leikkauspisteessä saadut luvut (3;0) ja (0;−3) ovat juuri järjestelmän molempien yhtälöiden ratkaisuja. Ja tästä seuraa, että nämä luvut ovat myös tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisuja.
Eli tämän ratkaisun vastaus on luvut: (3;0) ja (0;−3).
