500-luvulla eKr. antiikin kreikkalainen filosofi Zeno Elealainen muotoili kuuluisat aporiat, joista kuuluisin on aporia "Achilles ja kilpikonna". Tältä se kuulostaa:

Oletetaan, että Akhilleus juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna ja on tuhat askelta sen takana. Sinä aikana, jona Akhilleus juoksee tämän matkan, kilpikonna ryömi sata askelta samaan suuntaan. Kun Akhilleus on juossut sata askelta, kilpikonna ryömii vielä kymmenen askelta ja niin edelleen. Prosessi jatkuu loputtomiin, Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa.

Tästä päättelystä tuli looginen shokki kaikille seuraaville sukupolville. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Heitä kaikkia, tavalla tai toisella, katsottiin Zenonin aporiaksi. Järkytys oli niin voimakas, että " ... keskustelut jatkuvat tälläkin hetkellä, tiedeyhteisö ei ole vielä päässyt yhteisymmärrykseen paradoksien olemuksesta ... matemaattista analyysiä, joukkoteoriaa, uusia fysikaalisia ja filosofisia lähestymistapoja on otettu mukaan asian tutkimiseen ; mikään niistä ei tullut yleisesti hyväksyttyä ratkaisua ongelmaan ..."[Wikipedia," Zenon Aporias "]. Kaikki ymmärtävät, että heitä huijataan, mutta kukaan ei ymmärrä, mikä petos on.

Matematiikan näkökulmasta Zeno osoitti aporiassaan selvästi siirtymisen arvosta toiseen. Tämä siirtymä edellyttää soveltamista vakioiden sijaan. Ymmärtääkseni matemaattista laitteistoa muuttuvien mittayksiköiden soveltamiseen ei ole vielä kehitetty tai sitä ei ole sovellettu Zenon aporiaan. Tavallisen logiikkamme soveltaminen johtaa meidät ansaan. Me, ajattelun inertialla, sovellamme vakioaikayksiköitä käänteisarvoon. Fyysisesti katsottuna aika näyttää hidastuvan täydelliseen pysähtymiseen hetkellä, kun Akhilleus saa kiinni kilpikonnan. Jos aika pysähtyy, Akhilleus ei voi enää ohittaa kilpikonnaa.

Jos käännämme logiikkaa, johon olemme tottuneet, kaikki loksahtaa paikoilleen. Akhilleus juoksee tasaisella nopeudella. Jokainen sen polun seuraava osa on kymmenen kertaa lyhyempi kuin edellinen. Näin ollen sen voittamiseen käytetty aika on kymmenen kertaa vähemmän kuin edellinen. Jos käytämme "äärettömyyden" käsitettä tässä tilanteessa, olisi oikein sanoa "Achilles ohittaa äärettömän nopeasti kilpikonnan".

Kuinka välttää tämä looginen ansa? Pysy vakioissa aikayksiköissä äläkä vaihda käänteisarvoihin. Zenon kielellä se näyttää tältä:

Kun Akhilleus juoksee tuhat askelta, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Seuraavan aikavälin aikana, joka on yhtä suuri kuin ensimmäinen, Akhilleus juoksee toiset tuhat askelta ja kilpikonna ryömi sata askelta. Nyt Akhilleus on kahdeksansataa askelta kilpikonnan edellä.

Tämä lähestymistapa kuvaa todellisuutta riittävästi ilman loogisia paradokseja. Mutta tämä ei ole täydellinen ratkaisu ongelmaan. Einsteinin lausunto valonnopeuden ylitsepääsemättömyydestä on hyvin samanlainen kuin Zenon aporia "Achilles ja kilpikonna". Meidän on vielä tutkittava, pohdittava ja ratkaistava tämä ongelma. Ja ratkaisua ei tarvitse etsiä äärettömän suurista luvuista, vaan mittayksiköistä.

Toinen Zenonin mielenkiintoinen aporia kertoo lentävästä nuolesta:

Lentävä nuoli on liikkumaton, koska se on joka hetki levossa, ja koska se on levossa joka hetki, se on aina levossa.

Tässä aporiassa looginen paradoksi voitetaan hyvin yksinkertaisesti - riittää selventämään, että lentävä nuoli on joka hetki levossa avaruuden eri pisteissä, mikä itse asiassa on liikettä. Tässä on huomioitava toinen seikka. Yhdestä valokuvasta tiellä olevasta autosta on mahdotonta määrittää sen liikkeen tosiasiaa tai etäisyyttä siihen. Auton liikkeen tosiasian selvittämiseksi tarvitaan kaksi valokuvaa, jotka on otettu samasta pisteestä eri ajankohtina, mutta niitä ei voida käyttää etäisyyden määrittämiseen. Etäisyyden määrittämiseksi autoon tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu avaruuden eri pisteistä samanaikaisesti, mutta et voi määrittää niistä liikkeen tosiasiaa (luonnollisesti tarvitset edelleen lisätietoja laskelmia varten, trigonometria auttaa sinua). Haluan erityisesti korostaa, että kaksi pistettä ajassa ja kaksi pistettä avaruudessa ovat kaksi eri asiaa, joita ei pidä sekoittaa, koska ne tarjoavat erilaisia ​​mahdollisuuksia tutkimiseen.

Keskiviikkona 4.7.2018

Erot setin ja multisetin välillä on kuvattu hyvin Wikipediassa. Me katsomme.

Kuten näet, "joukossa ei voi olla kahta identtistä elementtiä", mutta jos joukossa on identtisiä elementtejä, tällaista joukkoa kutsutaan "multisiksi". Järkevät olennot eivät koskaan ymmärrä tällaista absurdin logiikkaa. Tämä on puhuvien papukaijojen ja koulutettujen apinoiden taso, jossa mieli puuttuu sanasta "täysin". Matemaatikot toimivat tavallisina kouluttajina ja saarnaavat meille absurdeja ideoitaan.

Kerran sillan rakentaneet insinöörit olivat sillan alla veneessä sillan kokeiden aikana. Jos silta romahti, keskinkertainen insinööri kuoli luomansa raunioiden alle. Jos silta kesti kuormituksen, lahjakas insinööri rakensi muita siltoja.

Riippumatta siitä, kuinka matemaatikot piiloutuvat lauseen "huomaa minua, olen kotona" tai pikemminkin "matematiikka tutkii abstrakteja käsitteitä" taakse, on olemassa yksi napanuora, joka yhdistää ne erottamattomasti todellisuuteen. Tämä napanuora on rahaa. Sovelletaan matemaattista joukkoteoriaa matemaatikoihin itseensä.

Opiskelimme matematiikkaa erittäin hyvin ja nyt istumme kassalla ja maksamme palkkoja. Täällä matemaatikko tulee meille rahoilleen. Laskemme hänelle koko summan ja levitämme sen pöydällemme eri pinoihin, joihin laitamme samanarvoisia seteleitä. Sitten otamme yhden laskun jokaisesta pinosta ja annamme matemaatikolle hänen "matemaattisen palkkasarjansa". Selitämme matematiikan, että hän saa loput laskut vasta kun hän osoittaa, että joukko ilman identtisiä elementtejä ei ole sama kuin joukko, jossa on identtisiä alkioita. Tästä hauskuus alkaa.

Ensinnäkin kansanedustajien logiikka toimii: "se voi soveltaa muihin, mutta ei minuun!" Lisäksi aletaan varmistua siitä, että samanarvoisissa seteleissä on eri setelinumerot, joten niitä ei voida pitää identtisinä elementteinä. No, me laskemme palkan kolikoissa - kolikoissa ei ole numeroita. Täällä matemaatikko muistelee kiihkeästi fysiikkaa: eri kolikoissa on eri määrä likaa, kunkin kolikon kiderakenne ja atomien järjestely on ainutlaatuinen ...

Ja nyt minulla on mielenkiintoisin kysymys: missä on raja, jonka jälkeen monijoukon elementit muuttuvat joukon elementeiksi ja päinvastoin? Tällaista linjaa ei ole olemassa - shamaanit päättävät kaikesta, tiede ei ole edes lähellä.

Kuulehan. Valitsemme jalkapallostadionit, joilla on sama kenttäalue. Kenttien pinta-ala on sama, mikä tarkoittaa, että meillä on multiset. Mutta jos otamme huomioon samojen stadionien nimet, saamme paljon, koska nimet ovat erilaisia. Kuten näet, sama elementtijoukko on samanaikaisesti sekä joukko että monijoukko. Kuinka oikein? Ja tässä matemaatikko-shamaani-shuller ottaa valttiässän hihastaan ​​ja alkaa kertoa meille joko setistä tai multisetistä. Joka tapauksessa hän saa meidät vakuuttuneeksi siitä, että hän on oikeassa.

Ymmärtääksemme, kuinka nykyaikaiset shamaanit toimivat joukkoteorian kanssa ja sitovat sen todellisuuteen, riittää, kun vastaat yhteen kysymykseen: kuinka yhden joukon elementit eroavat toisen joukon elementeistä? Näytän sinulle ilman mitään "ei ole ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena" tai "ei ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena".

sunnuntaina 18. maaliskuuta 2018

Luvun numeroiden summa on shamaanien tanssi tamburiinilla, jolla ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Kyllä, matematiikan tunneilla meitä opetetaan etsimään luvun numeroiden summa ja käyttämään sitä, mutta he ovat shamaaneja sitä varten, opettaakseen jälkeläisilleen heidän taitojaan ja viisauttaan, muuten shamaanit yksinkertaisesti kuolevat sukupuuttoon.

Tarvitsetko todisteita? Avaa Wikipedia ja yritä löytää "Luvun numeroiden summa" -sivu. Häntä ei ole olemassa. Matematiikassa ei ole kaavaa, jolla voit löytää minkä tahansa luvun numeroiden summan. Loppujen lopuksi numerot ovat graafisia symboleja, joilla kirjoitamme numeroita, ja matematiikan kielellä tehtävä kuulostaa tältä: "Etsi mitä tahansa numeroa edustavien graafisten symbolien summa." Matemaatikot eivät voi ratkaista tätä ongelmaa, mutta shamaanit voivat tehdä sen alkeellisesti.

Selvitetään mitä ja miten teemme löytääksemme tietyn luvun numeroiden summan. Ja niin, oletetaan, että meillä on numero 12345. Mitä on tehtävä tämän luvun numeroiden summan löytämiseksi? Harkitsemme kaikkia vaiheita järjestyksessä.

1. Kirjoita numero paperille. Mitä me olemme tehneet? Olemme muuntaneet numeron numerograafiseksi symboliksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

2. Leikkaamme yhden vastaanotetun kuvan useiksi kuviksi, joissa oli erilliset numerot. Kuvan leikkaaminen ei ole matemaattinen operaatio.

3. Muunna yksittäiset graafiset merkit numeroiksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

4. Laske yhteen saadut luvut. Nyt se on matematiikkaa.

Numeron 12345 numeroiden summa on 15. Nämä ovat matemaatikoiden käyttämiä shamaanien "leikkaus- ja ompelukursseja". Mutta siinä ei vielä kaikki.

Matematiikan kannalta ei ole väliä kumpaan lukujärjestelmään numero kirjoitetaan. Joten eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Matematiikassa numerojärjestelmä ilmoitetaan alaindeksinä luvun oikealla puolella. Suurella luvulla 12345 en halua huijata päätäni, harkitse artikkelin numeroa 26. Kirjoitetaan tämä luku binääri-, oktaali-, desimaali- ja heksadesimaalilukujärjestelmiin. Emme harkitse jokaista askelta mikroskoopin alla, olemme jo tehneet sen. Katsotaanpa tulosta.

Kuten näet, eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Tällä tuloksella ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Aivan kuin suorakulmion alueen löytäminen metreinä ja senttimetreinä antaisi täysin erilaisia ​​tuloksia.

Nolla kaikissa numerojärjestelmissä näyttää samalta, eikä siinä ole numeroiden summaa. Tämä on toinen argumentti sen tosiasian puolesta, että . Kysymys matemaatikoille: miten matematiikassa ilmaistaan ​​sitä, mikä ei ole luku? Mitä matemaatikoille ei ole olemassa mitään muuta kuin numeroita? Shamaaneille voin sallia tämän, mutta tiedemiehille en. Todellisuus ei ole vain numeroita.

Saatua tulosta tulee pitää todisteena siitä, että lukujärjestelmät ovat lukujen mittayksiköitä. Emmehän voi verrata lukuja eri mittayksiköihin. Jos samat toiminnot saman suuren eri mittayksiköillä johtavat eri tuloksiin niiden vertailun jälkeen, niin tällä ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa.

Mitä on oikea matematiikka? Tällöin matemaattisen toiminnon tulos ei riipu luvun arvosta, käytetystä mittayksiköstä ja siitä, kuka tämän toiminnon suorittaa.

Ovessa kyltti Avaa oven ja sanoo:

Auts! Eikö tämä ole naisten vessa?
- Nuori nainen! Tämä on laboratorio, jossa tutkitaan sielujen loputonta pyhyyttä taivaaseen nousemisen yhteydessä! Nimbus päällä ja nuoli ylös. Mikä muu wc?

Naaras... Halo päällä ja nuoli alas on miespuolinen.

Jos sinulla on tällainen taideteos, joka vilkkuu silmiesi edessä useita kertoja päivässä,

Sitten ei ole yllättävää, että löydät yhtäkkiä oudon kuvakkeen autostasi:

Itse yritän itselleni nähdä miinus neljä astetta kakkaavassa ihmisessä (yksi kuva) (usean kuvan kokoonpano: miinusmerkki, numero neljä, asteen merkintä). Enkä pidä tätä tyttöä typeränä, joka ei tunne fysiikkaa. Hänellä on vain stereotypia graafisten kuvien käsityksestä. Ja matemaatikot opettavat meille tätä koko ajan. Tässä on esimerkki.

1A ei ole "miinus neljä astetta" tai "yksi a". Tämä on "kakkava mies" tai luku "kaksikymmentäkuusi" heksadesimaalilukujärjestelmässä. Ne ihmiset, jotka työskentelevät jatkuvasti tässä numerojärjestelmässä, näkevät numeron ja kirjaimen automaattisesti yhtenä graafisena symbolina.

TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN ARVOTAULUKKO

Trigonometristen funktioiden arvotaulukko on laadittu kulmille 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 ja 360 astetta ja niitä vastaaville kulmille radiaaneina. Trigonometrisista funktioista taulukossa on sini, kosini, tangentti, kotangentti, sekantti ja kosekantti. Kouluesimerkkien ratkaisemisen helpottamiseksi taulukon trigonometristen funktioiden arvot kirjoitetaan murto-osaksi, jossa säilytetään neliöjuuren merkit luvuista, mikä usein auttaa vähentämään monimutkaisia ​​matemaattisia lausekkeita. Tangentin ja kotangentin osalta joidenkin kulmien arvoja ei voida määrittää. Tällaisten kulmien tangentin ja kotangentin arvoille trigonometristen funktioiden arvotaulukossa on viiva. On yleisesti hyväksyttyä, että tällaisten kulmien tangentti ja kotangentti ovat yhtä suuria kuin ääretön. Erillisellä sivulla on kaavat trigonometristen funktioiden pienentämiseksi.

Trigonometrisen sinifunktion arvotaulukko näyttää arvot seuraaville kulmille: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 astemittana , joka vastaa sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi:tä kulmien radiaanimittana. Koulun sinitaulukko.

Trigonometriselle kosinifunktiolle taulukossa on arvot seuraaville kulmille: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 astemittana, mikä vastaa cos 0 pi, cos pi 6, cos pi 4, cos pi 3, cos pi 2, cos pi, cos 3 pi x 2, cos 2 pi kulmien radiaanimittana. Koulun kosinusten taulukko.

Trigonometrisen funktion tangentin trigonometrinen taulukko antaa arvot seuraaville kulmille: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 asteen mittana, mikä vastaa tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi kulmien radiaanimittana. Seuraavia tangentin trigonometristen funktioiden arvoja ei ole määritelty tg 90, tg 270, tg pi/2, tg 3 pi/2 ja niitä pidetään äärettömänä.

Trigonometrisen taulukon trigonometrisen funktion kotangentille on annettu seuraavat kulmat: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 asteina, mikä vastaa ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3 , tg pi / 2, tg 3 pi/2 kulmien radiaanimittana. Seuraavia trigonometristen kotangenttien arvoja ei ole määritelty ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi ja niitä pidetään äärettömänä.

Trigonometristen funktioiden sekantti ja kosekantti arvot on annettu samoille kulmille asteina ja radiaaneina kuin sini, kosini, tangentti, kotangentti.

Epästandardien kulmien trigonometristen funktioiden arvotaulukko näyttää kulmien sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot asteina 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 astetta ja radiaaneina pi/12 , pi/10, pi/8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radiaania. Trigonometristen funktioiden arvot ilmaistaan ​​murto- ja neliöjuurina murtolukujen pienentämisen yksinkertaistamiseksi kouluesimerkeissä.

Kolme muuta trigonometrian hirviötä. Ensimmäinen on 1,5 asteen ja puolen tangentti tai pi jaettuna 120:lla. Toinen on pi:n kosini jaettuna luvulla 240, pi/240. Pisin on pi:n kosini jaettuna luvulla 17, pi/17.

Sini- ja kosinifunktioiden arvojen trigonometrinen ympyrä edustaa visuaalisesti sinin ja kosinin merkkejä kulman suuruudesta riippuen. Erityisesti blondeilla kosiniarvot on alleviivattu vihreällä viivalla hämmennyksen vähentämiseksi. Myös asteiden muuntaminen radiaaneiksi esitetään hyvin selkeästi, kun radiaanit ilmaistaan ​​pi:n kautta.

Tämä trigonometrinen taulukko esittää sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot kulmille 0 nollasta 90 yhdeksänkymmentä astetta yhden asteen välein. Ensimmäisen 45 asteen kohdalla trigonometristen funktioiden nimet on katsottava taulukon yläreunasta. Ensimmäinen sarake sisältää asteet, sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien arvot kirjoitetaan seuraaviin neljään sarakkeeseen.

Neljänkymmenenviiden asteen ja yhdeksänkymmenen asteen kulmien osalta trigonometristen funktioiden nimet kirjoitetaan taulukon alareunaan. Viimeinen sarake sisältää asteet, kosinien, sinien, kotangenttien ja tangenttien arvot kirjoitetaan neljään edelliseen sarakkeeseen. Kannattaa olla varovainen, sillä trigonometristen funktioiden nimet trigonometrisen taulukon alaosassa eroavat taulukon yläosan nimistä. Sinit ja kosinit vaihdetaan, aivan kuten tangentti ja kotangentti. Tämä johtuu trigonometristen funktioiden arvojen symmetriasta.

Trigonometristen funktioiden merkit on esitetty yllä olevassa kuvassa. Sinillä on positiiviset arvot välillä 0 - 180 astetta tai välillä 0 - pi. Sinin negatiiviset arvot ovat 180 - 360 astetta tai pi - 2 pi. Kosiniarvot ovat positiivisia välillä 0 - 90 ja 270 - 360 astetta tai 0 - 1/2 pi ja 3/2 - 2 pi. Tangentilla ja kotangentilla on positiiviset arvot 0 - 90 astetta ja 180 - 270 astetta, mikä vastaa arvoja 0 - 1/2 pi ja pi - 3/2 pi. Negatiivinen tangentti ja kotangentti ovat 90 - 180 astetta ja 270 - 360 astetta tai 1/2 pi - pi ja 3/2 pi - 2 pi. Määritettäessä trigonometristen funktioiden etumerkkejä kulmille, jotka ovat suurempia kuin 360 astetta tai 2 pi, tulee käyttää näiden funktioiden jaksollisuusominaisuuksia.

Trigonometriset funktiot sini, tangentti ja kotangentti ovat parittomia funktioita. Näiden funktioiden arvot negatiivisille kulmille ovat negatiivisia. Kosini on tasainen trigonometrinen funktio - negatiivisen kulman kosiniarvo on positiivinen. Kun kerrot ja jaat trigonometrisiä funktioita, sinun on noudatettava merkkien sääntöjä.

1. Trigonometrisen funktion sinin arvotaulukko näyttää arvot seuraaville kulmille

   Asiakirja

   Erillinen sivu sisältää valukaavat trigonometrinentoimintoja. AT pöytäarvotvartentrigonometrinentoimintojasinusannettuarvotvartenSeuraavakulmat: synti 0, synti 30, synti 45 ...

2. Ehdotettu matemaattinen laite on täydellinen analogi n-ulotteisten hyperkompleksilukujen kompleksilaskennasta, jolla on mikä tahansa määrä vapausasteita n, ja se on tarkoitettu epälineaaristen matemaattisten mallintamiseen.

   Asiakirja

   ... toimintoja on yhtä suuri toimintoja kuvat. Tästä lauseesta pitäisi, mitä varten Koordinaattien U, V löytäminen riittää laskemaan toiminto... geometria; polynaari toimintoja(kaksiulotteisen moniulotteiset analogit trigonometrinentoimintoja), niiden ominaisuudet, taulukoita ja sovellus; ...

3. 1. Trigonometriset funktiot ovat alkeisfunktioita, joiden argumentti on injektio. Trigonometriset funktiot kuvaavat suoran kolmion sivujen ja terävien kulmien välistä suhdetta. Trigonometristen funktioiden käyttöalueet ovat erittäin monipuoliset. Joten esimerkiksi mikä tahansa jaksollinen prosessi voidaan esittää trigonometristen funktioiden summana (Fourier-sarja). Nämä funktiot tulevat usein esiin, kun ratkaistaan ​​differentiaali- ja funktionaalisia yhtälöitä.

   2. Trigonometriset funktiot sisältävät seuraavat 6 funktiota: sinus, kosini, tangentti,kotangentti, sekantti ja kosekantti. Jokaiselle näistä funktioista on käänteinen trigonometrinen funktio.

   3. Trigonometristen funktioiden geometrinen määritelmä on kätevä esitellä käyttämällä yksikköympyrä. Alla olevassa kuvassa on ympyrä, jonka säde r=1. Piste M(x,y) on merkitty ympyrään. Sädevektorin OM ja Ox-akselin positiivisen suunnan välinen kulma on α.

   4. sinus kulma α on pisteen M(x,y) ordinaatin y suhde säteeseen r:
   sinα=y/r.
   Koska r=1, niin sini on yhtä suuri kuin pisteen M(x,y) ordinaatt.

   5. kosini kulma α on pisteen M(x,y) abskissan x suhde säteeseen r:
   cosα=x/r

   6. tangentti kulma α on pisteen M(x,y) ordinaatan y suhde sen abskissaan x:
   tanα=y/x,x≠0

   7. Kotangentti kulma α on pisteen M(x,y) abskissan x suhde sen ordinaataan y:
   cotα=x/y,y≠0

   8. Sekantti kulma α on säteen r suhde pisteen M(x,y) abskissaan x:
   secα=r/x=1/x,x≠0

   9. Kosekantti kulma α on säteen r suhde pisteen M(x,y) ordinaataan y:
   cscα=r/y=1/y,y≠0

   10. Projektion x, y yksikköympyrässä pisteet M(x, y) ja säde r muodostavat suorakulmaisen kolmion, jossa x, y ovat haaroja ja r on hypotenuusa. Siksi yllä olevat trigonometristen funktioiden määritelmät suorakulmaiseen kolmioon sovellettuina muotoillaan seuraavasti:
   sinus kulma α on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan.
   kosini kulma α on viereisen jalan suhde hypotenuusaan.
   tangentti Kulmaa α kutsutaan viereisen haaran vastakkaiseksi haaraksi.
   Kotangentti kulmaa α kutsutaan vastakohdan viereiseksi haaraksi.
   Sekantti kulma α on hypotenuusan suhde viereiseen jalkaan.
   Kosekantti kulma α on hypotenuusan suhde vastakkaiseen jalkaan.

   11. sinifunktiokaavio
   y=sinx, alue: x∈R, alue: −1≤sinx≤1

   12. Kosinifunktion kuvaaja
   y=cosx, verkkotunnus: x∈R, alue: −1≤cosx≤1

   13. tangenttifunktiokaavio
   y=tanx, alue: x∈R,x≠(2k+1)π/2, verkkoalue: −∞

   

   14. Kotangenttifunktion kuvaaja
   y=cotx, verkkoalue: x∈R,x≠kπ, verkkoalue: −∞

   

   15. Sekanttifunktion kaavio
   y=secx, verkkotunnus: x∈R,x≠(2k+1)π/2, verkkoalue: secx∈(−∞,−1]∪∪)