Jos kiinteä kappale sijaitsee lähellä maan pintaa, painovoima kohdistuu tämän kappaleen jokaiseen materiaalipisteeseen. Samalla kappaleen mitat Maan kokoon verrattuna ovat niin pienet, että kehon kaikkiin hiukkasiin vaikuttavia painovoimavoimia voidaan pitää rinnakkaisina.

Keskipiste KANSSA) kutsutaan kehon kaikkien pisteiden rinnakkaisten painovoimavoimien järjestelmiä jäykän kappaleen painopiste , ja kaikkien sen aineellisten pisteiden painovoimavoimien summaa kutsutaan painovoima toimimalla sen mukaan

Jäykän kappaleen painopisteen koordinaatit määritetään seuraavilla kaavoilla:

missä ovat painovoiman vaikutuspisteiden koordinaatit k- aineellinen kohta.

Homogeeniselle vartalolle:

jossa V on koko kehon tilavuus;

V k- äänenvoimakkuus k-th hiukkanen.

Tasaisen ohuen levyn saamiseksi:

missä S on levyn pinta-ala;

S k- neliö k- voi osa lautasta.

Linjalle:

Missä L- koko rivin pituus;

L k- pituus k linjan osa.

Menetelmät kappaleiden painopisteiden koordinaattien määrittämiseksi:

Teoreettinen

Symmetria. Jos homogeenisella kappaleella on taso, akseli tai symmetriakeskus, niin sen painopiste sijaitsee vastaavasti joko symmetriatasossa tai akselilla tai symmetriakeskuksessa.

Halkaisu. Jos kappale voidaan jakaa äärelliseen määrään sellaisia ​​osia, joista jokaiselle tunnetaan painopisteen sijainti, niin koko kehon painopisteen koordinaatit voidaan laskea suoraan yllä olevien kaavojen avulla.

Lisäys. Tämä menetelmä on osiointimenetelmän erikoistapaus. Se koskee kappaleita, joissa on aukko, jos kappaleen painopisteet ilman leikkausta ja leikkausta tunnetaan. Ne sisällytetään laskelmiin "-"-merkillä.

Liittäminen. Kun kehoa ei voida jakaa osiin, joiden painopisteet tunnetaan, käytetään integrointimenetelmää, joka on universaali.

kokeellinen

ripustusmenetelmä. Runko on ripustettu kahdella tai kolmella pisteellä vetäen niistä pystysuorat viivat. Niiden leikkauspiste on massakeskipiste.

Punnitusmenetelmä. Vartalo asetetaan vaa'alle eri osiin, mikä määrittää tukireaktiot. Laadi tasapainoyhtälöt, joista määritetään painopisteen koordinaatit.

Teoreettisten menetelmien avulla määrityskaavat painopisteen koordinaatit yleisin homogeeniset kappaleet:

ympyrän kaari

Jäykän kappaleen painopiste

Painovoiman keskipiste Jäykkä kappale on geometrinen piste, joka on jäykästi yhdistetty tähän kappaleeseen ja on kappaleen yksittäisiin alkuainehiukkasiin kohdistuvien yhdensuuntaisten painovoimavoimien keskus (kuva 1.6).

Tämän pisteen sädevektori

Kuva 1.6

Homogeenisessa kappaleessa kappaleen painopisteen sijainti ei riipu materiaalista, vaan sen määrää kappaleen geometrinen muoto.

Jos homogeenisen kappaleen ominaispaino γ , kappaleen alkuainehiukkasen paino

Pk = γΔVk (P = γV)

korvaa kaava määrittääksesi r C , meillä on

Mistä projisoimalla akseleille ja siirtymällä rajalle, saamme homogeenisen tilavuuden painopisteen koordinaatit

Vastaavasti homogeenisen pinnan, jolla on pinta-ala, painopisteen koordinaatit S (Kuva 1.7, a)

Kuva 1.7

Homogeenisen pituusviivan painopisteen koordinaateille L (Kuva 1.7, b)

Painopisteen koordinaattien määritysmenetelmät

Aiemmin saatujen yleisten kaavojen perusteella on mahdollista osoittaa menetelmiä kiinteiden kappaleiden painopisteiden koordinaattien määrittämiseksi:

Kuva 1.8

Kuva 1.9

11. Kinematiikan peruskäsitteet. Pistekinematiikka. Menetelmät pisteen liikkeen määrittämiseksi. Pistenopeus ja kiihtyvyys.

Kinematiikan peruskäsitteet

Kinematiikka- mekaniikan haara, joka tutkii kappaleiden liikettä ottamatta huomioon tämän liikkeen aiheuttaneita syitä.

Kinematiikan päätehtävä on löytää kappaleen sijainti milloin tahansa, jos sen sijainti, nopeus ja kiihtyvyys alkuajan hetkellä tunnetaan.

mekaaninen liike- tämä on muutos kehon (tai kehon osien) sijainnissa suhteessa toisiinsa ajan myötä.

Mekaanisen liikkeen kuvaamiseksi on valittava viitekehys.

Viiteteksti- kappale (tai kappaleryhmä), joka tässä tapauksessa on paikallaan ja jonka suhteen muiden kappaleiden liikettä tarkastellaan.

Viitejärjestelmä- tämä on viitekappaleeseen liittyvä koordinaattijärjestelmä ja valittu ajan mittausmenetelmä (kuva 1).

Kappaleen sijainti voidaan määrittää käyttämällä sädevektoria r⃗ r→ tai käyttämällä koordinaatteja.

Sädevektori r⃗ r→ pistettä Μ - suunnattu suora segmentti, joka yhdistää origon NOIN pisteellä Μ (Kuva 2).

Koordinoi x pistettä Μ on pisteen sädevektorin lopun projektio Μ per akseli vai niin. Yleensä käytetään suorakaiteen muotoista koordinaattijärjestelmää. Tässä tapauksessa pisteen sijainti Μ suoralla, taso ja avaruudessa määritetään vastaavasti yhdellä ( x), kaksi ( X, klo) ja kolme ( X, klo, z) numerot - koordinaatit (kuva 3).

Peruskurssilla fyysikot tutkivat aineellisen pisteen liikkeen kinematiikkaa.

Materiaalipiste- runko, jonka mitat tietyissä olosuhteissa voidaan jättää huomiotta.

Tätä mallia käytetään tapauksissa, joissa tarkasteltavien kappaleiden lineaariset mitat ovat paljon pienempiä kuin kaikki muut etäisyydet tietyssä ongelmassa tai kun kappale liikkuu eteenpäin.

Käännös kutsutaan kehon liikkeeksi, jossa minkä tahansa kehon kahden pisteen kautta kulkeva suora viiva liikkuu pysyen samansuuntaisena itsensä kanssa. Translaatioliikkeessä kaikki kehon pisteet kuvaavat samoja lentoratoja ja niillä on milloin tahansa samat nopeudet ja kiihtyvyydet. Siksi tällaisen kappaleen liikkeen kuvaamiseksi riittää kuvaamaan sen yhden mielivaltaisen pisteen liike.

Seuraavassa sana "ruumis" ymmärretään "aineelliseksi pisteeksi".

Suoraa, jota liikkuva kappale kuvaa tietyssä viitekehyksessä, kutsutaan lentorata. Käytännössä liikeradan muoto asetetaan matemaattisilla kaavoilla ( y = f(x) - liikeratayhtälö) tai kuvattu kuvassa. Ratatyyppi riippuu vertailujärjestelmän valinnasta. Esimerkiksi vapaasti putoavan korin liikerata tasaisesti ja suorassa linjassa liikkuvassa autossa on suora pystyviiva autoon liittyvässä vertailukehyksessä ja paraabeli Maahan liittyvässä vertailukehyksessä. .

Liikeradan tyypistä riippuen erotetaan suoraviivainen ja kaareva liike.

Polku s- skalaarinen fysikaalinen suure, joka määräytyy kehon tietyn ajanjakson aikana kuvaaman liikeradan pituuden perusteella. Polku on aina positiivinen: s > 0.

liikkuvaΔr⃗ Δr→ kappaleet tietyn ajan - suoran suunnattu segmentti, joka yhdistää alkupisteen (pisteen M 0) ja viimeinen (piste M) kehon asento (katso kuva 2):

Δr⃗ =r⃗ −r⃗ 0, Δr→=r→–r→0,

missä r⃗ r→ ja r⃗ 0 r→0 ovat kappaleen sädevektorit näinä aikoina.

Siirtymän projektio akselille Härkä

Δrx=Δx=x–x0 Δrx=Δx=x–x0

Missä x 0 ja x- kehon koordinaatit ajan alku- ja loppuhetkellä.

Siirtymämoduuli ei voi olla enempää kuin polku

|Δr⃗ |≤s |Δr→|≤s

Yhtäysmerkki viittaa suoraviivaiseen liiketapaukseen, jos liikkeen suunta ei muutu.

Kun tiedämme kehon siirtymän ja alkuasennon, voimme löytää sen sijainnin hetkellä t:

r⃗ =r⃗ 0+Δr⃗; r → = r → 0 + Δr →;

(x=x0+Δrx;y=y0+Δry. (x=x0+Δrx;y=y0+Δry.

Nopeus

Keskinopeus hυ⃗ i hυ→i on fyysinen vektorisuure, joka on numeerisesti yhtä suuri kuin siirtymän suhde aikaväliin, jonka aikana se tapahtui ja joka on suunnattu siirtymää pitkin (kuva 4):

hυ⃗ i=Δr⃗ Δt; hυ⃗ i⇈Δr⃗ . hυ→i=Δr→Δt;hυ→i⇈Δr→.

Nopeuden SI-yksikkö on metriä sekunnissa (m/s).

Tällä kaavalla saatu keskinopeus kuvaa liikettä vain siinä lentoradan osassa, jolle se on määritelty. Toisessa osassa reittiä se voi olla erilainen.

Joskus he käyttävät reitin keskinopeutta

hυi=sΔt hυi=sΔt

Missä s on aikavälillä Δ kuljettu polku t. Keskimääräinen reitin nopeus on skalaariarvo.

Välitön nopeusυ⃗ υ→ keho - kappaleen nopeus tietyllä hetkellä (tai tietyssä lentoradan pisteessä). Se on yhtä suuri kuin raja, johon keskinopeus pyrkii äärettömän pienellä aikavälillä υ⃗ =limΔt→0Δr⃗ Δt=r⃗ ′ υ→=limΔt→0Δr→Δt=r→ ′. Tässä r⃗ ′ r→ ′ on sädevektorin aikaderivaata.

Projektio akselilla vai niin:

υx=limΔt→0ΔxΔt=x′. υx=limΔt→0ΔxΔt=x′.

Kappaleen hetkellinen nopeus on suunnattu tangentiaalisesti lentoradalle kussakin liikkeen suunnan pisteessä (ks. kuva 4).

Kiihtyvyys

Keskimääräinen kiihtyvyys- fyysinen määrä, joka on numeerisesti yhtä suuri kuin nopeuden muutoksen suhde aikaan, jonka aikana se tapahtui:

ha⃗ i=Δυ⃗ Δt=υ⃗ −υ⃗ 0Δt. ha→i=Δυ→Δt=υ→−υ→0Δt.

Vektori ha⃗ i ha→i on suunnattu nopeudenmuutosvektorin Δυ⃗ Δυ→ (ha⃗ i⇈Δυ⃗ ha→i⇈Δυ→) suuntaisesti kohti lentoradan koveruutta (kuva 5).

Välitön tehostus:

a⃗ =limΔt→0Δυ⃗ Δt=υ⃗ ′. a→=limΔt→0Δυ→Δt=υ→ ′.

Kiihtyvyyden SI-yksikkö on metriä sekunnissa neliö (m/s2).

Yleisessä tapauksessa hetkellinen kiihtyvyys on suunnattu kulmassa nopeuteen nähden. Kun tiedät lentoradan, voit määrittää nopeuden suunnan, mutta et kiihtyvyyttä. Kiihtyvyyssuunta määräytyy kehoon vaikuttavien resultantvoimien suunnan mukaan.

Suoraviivaisessa liikkeessä, jossa modulonopeus kasvaa (kuva 6, a), vektorit a⃗ a→ ja υ⃗ 0 υ→0 ovat yhdessä suunnatut (a⃗ ⇈υ⃗ 0 a→⇈υ→0) ja kiihtyvyysprojektio suunnassa liike on positiivista.

Suoraviivaisessa liikkeessä alenevalla nopeusmoduulilla (kuva 6, b) vektorien a⃗ a→ ja υ⃗ 0 υ→0 suunnat ovat vastakkaiset (a⃗ ↓υ⃗ 0 a→↓υ→0) ja kiihtyvyysprojektio liikkeen suunta on negatiivinen.

Kaarevassa liikkeessä oleva vektori a⃗ a→ voidaan jakaa kahdeksi nopeudella a⃗ τ a→τ suunnatuksi ja kohtisuoraan nopeuden a⃗ n a→n kanssa (kuva 1.7), a⃗ τ a→τ liike, a⃗ n a→n - normaalikiihtyvyys, joka kuvaa nopeusvektorin suunnan muutosnopeutta kaarevan liikkeen aikana Kiihtyvyysmoduuli a=a2τ+a2n−−−−−√ a=aτ2+an2.

Menetelmät pisteen liikkeen määrittämiseksi

Voit määrittää pisteen liikkeen jollakin seuraavista kolmesta menetelmästä:

1) vektori, 2) koordinaatti, 3) luonnollinen.

1. Vektorimenetelmä pisteen liikkeen määrittämiseen.

Anna pointin M liikkuu jonkin viitekehyksen suhteen Oxyz. Tämän pisteen sijainti milloin tahansa voidaan määrittää asettamalla sen origosta piirretty sädevektori NOIN tarkalleen M(Kuva 3).

Kuva 3

Kun piste liikkuu M vektori muuttuu ajan myötä sekä absoluuttisesti että suunnassa. Siksi on muuttujavektori (funktiovektori) argumentista t riippuen:

Tasa-arvo määrittelee pisteen liikelain vektorimuodossa, koska sen avulla voit rakentaa vastaavan vektorin milloin tahansa ja löytää liikkuvan pisteen sijainnin.

Vektorin päiden lokus, ts. hodografi Tämän vektorin arvo määrittää liikkuvan pisteen liikeradan.

2. Koordinaattimenetelmä pisteen liikkeen määrittämiseksi.

Pisteen sijainti voidaan määrittää suoraan sen karteesisten koordinaattien avulla x, y, z(Kuva 3), joka pisteen liikkuessa muuttuu ajan myötä. Tietää pisteen liikelaki, ts. sen sijainti avaruudessa minä tahansa ajanhetkellä, on tarpeen tietää pisteen koordinaattien arvot kullekin ajanhetkelle, ts. tietää riippuvuuksia

x = f1 (t), y = f2 (t), z = f3 (t).

Yhtälöt ovat pisteen liikeyhtälöitä suorakulmaisissa karteesisissa koordinaateissa. Ne määrittävät pisteen liikkeen lain liikkeen määrittämisen koordinaattimenetelmällä.

Ratayhtälön saamiseksi on välttämätöntä jättää parametri t pois liikeyhtälöistä.

Liikemäärityksen vektorin ja koordinaatin menetelmien välinen suhde on helppo määrittää.

Jaamme vektorin komponentteihin koordinaattiakseleita pitkin:

missä r x , ry , r z - vektoriprojektiot akselilla; – akseleita pitkin suunnatut yksikkövektorit, akselien orthit.

Koska vektorin alku on origossa, vektorin projektiot ovat yhtä suuret kuin pisteen koordinaatit M. Siksi

Jos pisteen liike on annettu napakoordinaateina

r=r(t), φ = φ(t),

missä r on napasäde, φ on napa-akselin ja napasäteen välinen kulma, niin nämä yhtälöt ilmaisevat pisteen liikeradan yhtälön. Eliminoimalla parametrin t, saamme

r = r(φ).

Esimerkki 1 Pisteen liike saadaan yhtälöistä

Kuva 4

Ajan poissulkemiseksi parametri t, löydämme ensimmäisestä yhtälöstä sin2t=x/2, toisesta cos2t=y/3. Sitten neliöimme sen ja lisäämme sen. Koska sin 2 2t+cos 2 2t=1, saamme . Tämä on yhtälö ellipsistä, jonka puoliakselit ovat 2 cm ja 3 cm (kuva 4).

Piste aloituskohta M 0 (kun t\u003d 0) määräytyy koordinaateista x 0 \u003d 0, y 0 \u003d 3 cm.

1 sekunnin kuluttua piste on paikallaan M 1 koordinaatteineen

x 1 \u003d 2sin2 \u003d 2 ∙ 0,91 \u003d 1,82 cm, y 1 \u003d 2cos2=3 ∙ (-0,42) \u003d -1,25 cm.

Huomautus.

Pisteen liike voidaan määrittää myös muiden koordinaattien avulla. Esimerkiksi sylinterimäinen tai pallomainen. Niiden joukossa ei ole vain lineaarisia mittoja, vaan myös kulmia. Tarvittaessa voit tutustua liikkeen tehtävään sylinterimäisten ja pallomaisten koordinaattien avulla oppikirjoista.

3. Luonnollinen tapa määrittää pisteen liike.

Kuva 5

Luonnollista tapaa liikkeen määrittämiseen on kätevä käyttää tapauksissa, joissa liikkuvan pisteen liikerata on tiedossa etukäteen. Anna käyrän AB on pisteen liikerata M kun se liikkuu suhteessa vertailujärjestelmään Oxyz(kuva 5) Valitaan jokin kiinteä piste tälle lentoradalle NOIN", jonka otamme origoksi ja asetamme positiiviset ja negatiiviset referenssisuunnat lentoradalle (kuten koordinaattiakselille).

Sitten pisteen sijainti M kaareva koordinaatti määrittää yksilöllisesti liikeradalla s, joka on yhtä suuri kuin etäisyys pisteestä NOIN' asiaan M mitattuna lentoradan kaarella ja otettu vastaavalla merkillä. Kun pistettä siirretään M siirtyy asentoihin M 1 , M 2,.... siksi etäisyys s muuttuu ajan myötä.

Tietääksesi pisteen sijainnin M lentoradalla milloin tahansa, sinun on tiedettävä riippuvuus

Yhtälö ilmaisee pisteen liikkeen lain M rataa pitkin. Funktion s= f(t) on oltava yksiarvoinen, jatkuva ja differentioituva.

Kaaren koordinaatin s positiiviselle vertailusuunnalle otetaan pisteen liikesuunta sillä hetkellä, kun se on asemassa O. On muistettava, että yhtälö s \u003d f (t) ei määritä liikelakia pisteen avaruudessa, koska määrittääksesi pisteen sijainnin avaruudessa, sinun on tiedettävä myös pisteen liikerata, jossa on pisteen alkusijainti ja kiinteä positiivinen suunta. Näin ollen pisteen liike katsotaan annetuksi luonnollisella tavalla, jos pisteen liikerata ja yhtälö (tai laki) tunnetaan.

On tärkeää huomata, että pisteen s kaarikoordinaatti poikkeaa pisteen liikerataa pitkin kulkemasta reitistä σ. Liikkuessaan piste kulkee tietyn polun σ, joka on ajan t funktio. Kuljettu matka σ osuu kuitenkin yhteen matkan s kanssa vain silloin, kun funktio s = f(t) muuttuu monotonisesti ajan myötä, ts. kun piste liikkuu samaan suuntaan. Oletetaan, että piste M menee M 1:stä M 2 :een. Pisteen sijainti M′1:ssä vastaa aikaa t 1 ja pisteen sijainti M′2:ssa vastaa aikaa t 2 . Jaetaan aikaväli t 2 - t 1 hyvin pieniksi aikaväleiksi ∆t 1 (i = 1,2, …n) siten, että jokaisessa niistä piste liikkuu yhteen suuntaan. Merkitään vastaava kaarikoordinaatin inkrementti arvolla ∆s i . Pisteen kulkema polku σ on positiivinen arvo:

Jos pisteen liike on annettu koordinaatilla, kuljettu matka määräytyy kaavan mukaan

missä dx=xdt, dy=ydt, dz=zdt.

Siten,

Esimerkki 2 Piste liikkuu suoraan lain s=2t+3 (cm) mukaan (kuva 6).

Kuva 6

Liikkeen alussa, t=0 s=OM 0 =s 0 =3 cm Pisteasema M 0 kutsutaan alkuasento. Kun t = 1 s, s = OM 1 = 5 cm.

Tietysti 1 sekunnissa. piste on kulkenut pitkän matkan M 0 M 1 = 2 cm s- tämä ei ole pisteen kulkema polku, vaan etäisyys origosta pisteeseen.

Pistenopeusvektori

Yksi pisteen liikkeen tärkeimmistä kinemaattisista ominaisuuksista on vektorisuure, jota kutsutaan pisteen nopeudeksi. Pistenopeuden käsite tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä on yksi peruskäsitteistä.

Nopeus- kehon mekaanisen tilan mitta. Se kuvaa kehon asennon muutosnopeutta suhteessa tiettyyn vertailujärjestelmään ja on vektorifysikaalinen suure.

Nopeuden mittayksikkö on m/s. Usein käytetään muita yksiköitä, esimerkiksi km/h: 1 km/h=1/3,6 m/s.

Pisteen liikettä kutsutaan yhtenäiseksi, jos pisteen sädevektorin lisäykset samoilla aikaväleillä ovat keskenään yhtä suuret. Jos pisteen liikerata on suora, pisteen liikettä kutsutaan suoraviivaiseksi.

Tasaiseen suoraviivaiseen liikkeeseen

∆r= v∆t, (1)

Missä v on vakiovektori.

Vektori v kutsutaan suoraviivaisen nopeudeksi ja tasainen liike määrittää sen täysin.

Suhteesta (1) voidaan nähdä, että suoraviivaisen ja tasaisen liikkeen nopeus on fysikaalinen suure, joka määrää pisteen liikkeen aikayksikköä kohti. Alkaen (1) meillä on

vektorin suunta v esitetty kuvassa. 6.1.

Kuva 6.1

Epätasaisella liikkeellä tämä kaava ei sovellu. Otetaan ensin käyttöön käsite pisteen keskinopeudesta jonkin ajanjakson aikana.

Olkoon liikkuva piste siinä hetkessä t raskaana M, jonka määrittää sädevektori , ja sillä hetkellä t 1 tulee paikkaan M 1 määrittää vektorin (kuvio 7). Tällöin pisteen liike ajanjaksolla ∆t=t 1 -t määräytyy vektorilla, jota kutsumme pisteen liikevektoriksi. Kolmiosta OMM 1 osoittaa, että ; siten,

Riisi. 7

Pisteen siirtymävektorin suhde vastaavaan aikaväliin antaa vektorin arvon, jota kutsutaan pistenopeudeksi keskiarvotettuna absoluuttisessa arvossa ja suunnassa aikavälillä ∆t:

Pisteen nopeus tietyllä hetkellä t on vektorisuure v, johon keskinopeus v cf pyrkii, kun aikaväli ∆t pyrkii nollaan:

Joten pisteen nopeusvektori tietyllä ajanhetkellä on yhtä suuri kuin pisteen sädevektorin ensimmäinen derivaatta ajan suhteen.

Sekantin rajoittavasta suunnasta lähtien MM 1 on tangentti, silloin pisteen nopeusvektori tietyllä ajanhetkellä on suunnattu tangentiaalisesti pisteen liikeradalle.

Pisteen nopeuden määrittäminen liikkeen määrittelyn koordinaattimenetelmällä

Pistenopeusvektori, kun otetaan huomioon, että r x =x, r y =y, r z =z, löydämme:

Siten pisteen nopeuden projektiot koordinaattiakseleilla ovat yhtä suuria kuin pisteen vastaavien koordinaattien ensimmäiset derivaatat ajan suhteen.

Kun tiedämme nopeusprojektiot, löydämme sen moduulin ja suunnan (eli kulmat α, β, γ, jotka vektori v muodostaa koordinaattiakseleiden kanssa) käyttämällä kaavoja

Joten pisteen nopeuden numeerinen arvo tietyllä hetkellä on yhtä suuri kuin etäisyyden ensimmäinen derivaatta (kaareva koordinaatti) s aikapisteitä.

Nopeusvektori on suunnattu etukäteen tiedossa olevaa lentoradan tangenttia pitkin.

Pisteen nopeuden määrittäminen luonnollisella tavalla määrittää liike

Nopeuden suuruus voidaan määritellä rajaksi (∆r on sointeen pituus MM 1):

missä ∆s on kaaren pituus MM 1 . Ensimmäinen raja on yhtä suuri kuin yksi, toinen raja on derivaatta ds/dt.

Siksi pisteen nopeus on liikelain ensimmäinen derivaatta:

Nopeusvektori on suunnattu, kuten aiemmin todettiin, tangentiaalisesti lentoradalle. Jos nopeusarvo on tällä hetkellä suurempi kuin nolla, nopeusvektori on suunnattu positiiviseen suuntaan.

Pistekiihtyvyysvektori

Kiihtyvyys- vektorifyysinen suure, joka kuvaa nopeuden muutosnopeutta. Se näyttää kuinka paljon kehon nopeus muuttuu aikayksikössä.

Kiihtyvyyden SI-yksikkö on metri sekunnissa neliö. vastaavalle aikavälille ∆t määrittää keskimääräisen pistekiihtyvyyden vektorin tällä aikavälillä:

Keskikiihtyvyysvektorilla on sama suunta kuin vektorilla, ts. suunnattu lentoradan koveruuteen.

Pisteen kiihtyvyys tiettynä aikana t kutsutaan vektoriarvoksi, johon keskikiihtyvyys pyrkii, kun aikaväli ∆t pyrkii nollaan: Pisteen kiihtyvyysvektori tietyllä hetkellä on yhtä suuri kuin nopeusvektorin ensimmäinen derivaatta tai sädevektorin toinen derivaatta. pisteestä ajan suhteen.

Pisteen kiihtyvyys on nolla vain silloin, kun pisteen nopeus v on vakio sekä suuruudeltaan että suunnaltaan: tämä vastaa vain suoraviivaista ja tasaista liikettä.

Selvitetään kuinka vektori sijaitsee suhteessa pisteen liikeradan. Suoraviivaisessa liikkeessä vektori suuntautuu sitä suoraa pitkin, jota pitkin piste liikkuu. on suunnattu lentoradan koveruutta kohti ja sijaitsee tasossa, joka kulkee lentoradan tangentin kautta pisteessä M ja suora, joka on yhdensuuntainen viereisen pisteen tangentin kanssa M 1 (kuvio 8). Rajassa kun kohta M taipumus M, tämä taso on ns. vierekkäisen tason asemassa, ts. taso, jossa liikeradan tangentin äärettömän pieni kierto tapahtuu liikkuvan pisteen alkeissiirtymällä. Siksi yleisessä tapauksessa kiihtyvyysvektori on vierekkäisessä tasossa ja on suunnattu käyrän koveruutta kohti.

Kiihtyvyyden määritys liikkeen määrittämisen koordinaattimenetelmällä

Pisteen kiihtyvyysvektori akselin projektiossa saamme:

nuo. pisteen kiihtyvyyden projektio koordinaattiakseleilla on yhtä suuri kuin nopeuden projektioiden ensimmäiset derivaatat tai pisteen vastaavien koordinaattien toiset derivaatat. Kiihtyvyysmoduuli ja suunta löytyvät kaavoista

Kuva 10

Kiihtyvyyden projektiot a x = =0, a y = =-8 cm∙s -2 . Koska kiihtyvyysvektorin projektio akselille x on yhtä suuri kuin nolla, ja akselilla y- on negatiivinen, silloin kiihtyvyysvektori on suunnattu pystysuunnassa alaspäin, ja sen arvo on vakio, ei riipu ajasta.

Arkhimedesen ensimmäinen löytö mekaniikassa oli painopisteen käsitteen käyttöönotto, ts. todiste siitä, että missä tahansa kappaleessa on yksi piste, johon sen paino voidaan keskittyä tasapainotilaa rikkomatta.

Kappaleen painopiste on jäykän kappaleen piste, jonka kautta kaikkien tämän kappaleen alkuainemassoihin vaikuttavien painovoimavoimien resultantti kulkee missä tahansa avaruuden kohdassa.

Mekaanisen järjestelmän painopiste kutsutaan pistettä, johon nähden järjestelmän kaikkiin kappaleisiin vaikuttava kokonaispainovoima on nolla.

Yksinkertaisesti sanottuna, Painovoiman keskipiste- tämä on piste, johon painovoima kohdistuu, riippumatta kehon asennosta. Jos vartalo on yhtenäinen, Painovoiman keskipiste sijaitsee yleensä kehon geometrisessa keskustassa. Siten homogeenisen kuution tai homogeenisen pallon painopiste osuu yhteen näiden kappaleiden geometrisen keskipisteen kanssa.

Jos kappaleen mitat ovat pienet verrattuna Maan säteeseen, voimme olettaa, että kehon kaikkien hiukkasten painovoimat muodostavat rinnakkaisten voimien järjestelmän. Niiden resultanttia kutsutaan painovoima, ja näiden rinnakkaisten voimien keskipiste on kehon painopiste.

Kehon painopisteen koordinaatit voidaan määrittää kaavoilla (kuva 7.1):

, , ,

Missä - kehon paino x i, y i, z i– alkuainehiukkasen koordinaatit, paino P i;.

Kaavat kappaleen painopisteen koordinaattien määrittämiseksi ovat tarkalleen ottaen tarkkoja vain silloin, kun kappale on jaettu äärettömään määrään äärettömän pieniä painopisteitä. P i. Jos hiukkasten määrä, joihin keho on henkisesti jaettu, on äärellinen, niin yleensä nämä kaavat ovat likimääräisiä, koska koordinaatit x i , y i , z i tässä tapauksessa ne voidaan määrittää vain hiukkaskokojen tarkkuudella. Mitä pienempiä nämä hiukkaset ovat, sitä pienemmän virheen teemme laskettaessa painopisteen koordinaatteja. Tarkat lausekkeet voidaan saavuttaa vasta rajan ylittämisen tuloksena, kun jokaisen hiukkasen koko pyrkii olemaan nolla ja niiden lukumäärä kasvaa loputtomasti. Kuten tiedät, tällaista rajaa kutsutaan määrätyksi integraaliksi. Siksi kappaleiden painopisteiden koordinaattien varsinainen määrittäminen yleensä edellyttää summien korvaamista vastaavilla integraaleilla ja integraalilaskennan menetelmien soveltamista.

Jos massa jäykässä kappaleessa tai mekaanisessa järjestelmässä jakautuu epätasaisesti, painopiste siirtyy siihen kohtaan, jossa se on raskaampaa.

Kehon painopiste ei välttämättä aina edes sijaitse kehon sisällä. Joten esimerkiksi bumerangin painopiste on jossain keskellä bumerangin päiden välissä, mutta itse bumerangin rungon ulkopuolella.

Kuormien kiinnittämisessä painopisteen sijainti on erittäin tärkeä. Juuri tässä vaiheessa kohdistetaan painovoimat ja inertiavoimat, jotka vaikuttavat kuormaan liikkeen aikana. Mitä korkeammalla rungon tai mekaanisen järjestelmän painopiste on, sitä alttiimpi se on kaatumaan.

Kehon painopiste on sama kuin massakeskipiste.

Mitä tahansa kappaletta voidaan pitää joukkona aineellisia pisteitä, joita voidaan pitää esimerkiksi molekyyleinä. Olkoon kappaleessa n materiaalipistettä, joiden massat ovat m1, m2, ...mn.

kehon massakeskipiste, n materiaalipisteestä koostuvaa pistettä kutsutaan (geometrisessä mielessä) pisteeksi, jonka sädevektori määräytyy kaavalla:

Tässä R1 on pisteen sädevektori, jonka numero on i (i = 1, 2, ... n).

Tämä määritelmä näyttää epätavalliselta, mutta itse asiassa se antaa massakeskuksen sijainnin, josta meillä on intuitiivinen käsitys. Esimerkiksi tangon massakeskus on sen keskellä. Kaikkien yllä olevan kaavan nimittäjään sisältyvien pisteiden massojen summaa kutsutaan kappaleen massaksi. kehon paino nimeltään kaikkien sen pisteiden massojen summa: m = m1 + m2 + ... + mn .

Symmetrisissä homogeenisissa kappaleissa CM sijaitsee aina symmetriakeskipisteessä tai on symmetria-akselilla, jos kuviolla ei ole symmetriakeskusta. Massakeskus voi sijaita sekä rungon sisällä (levy, neliö, kolmio) että sen ulkopuolella (rengas, kehys, neliö).

Henkilölle CM:n asema riippuu valitusta asennosta. Monissa urheilulajeissa tärkeä osa menestystä on kyky säilyttää tasapaino. Joten voimistelussa, akrobatiassa

suuri määrä elementtejä sisältää erilaisia ​​tasapainotyyppejä. Tasapainon säilyttäminen on tärkeää taitoluistelussa, luistelussa, jossa tuen pinta-ala on hyvin pieni.

Lepotilassa olevan kehon tasapainoolosuhteet ovat voimien summan ja kehoon vaikuttavien voimien momenttien summan samanaikainen yhtäläisyys nollaan.

Selvitetään, mikä asema pyörimisakselin tulisi olla, jotta siihen kiinnitetty kappale pysyisi tasapainossa painovoiman vaikutuksesta. Tätä varten hajotamme kehon useiksi pieniksi paloiksi ja vedämme niihin vaikuttavat painovoimat.

Momenttisäännön mukaan tasapainoa varten on välttämätöntä, että kaikkien näiden akselin ympärillä olevien voimien momenttien summa on nolla.

Voidaan osoittaa, että jokaiselle kappaleelle on ainutlaatuinen piste, jossa minkä tahansa tämän pisteen läpi kulkevan akselin painovoimamomenttien summa on nolla. Tätä pistettä kutsutaan painopisteeksi (yleensä se on sama kuin massakeskipiste).

Kehon painopiste (CG) nimeltään piste, jossa kehon kaikkiin hiukkasiin vaikuttavien painovoimamomenttien summa on nolla.

Siten painovoimat eivät saa kehoa pyörimään painopisteen ympäri. Siksi kaikki painovoimat voitaisiin korvata yhdellä voimalla, joka kohdistuu tähän pisteeseen ja on yhtä suuri kuin painovoima.

Urheilijan kehon liikkeiden tutkimiseksi käytetään usein termiä yhteinen painopiste (CGG). Painopisteen tärkeimmät ominaisuudet:

Jos runko on kiinnitetty painopisteen läpi kulkevalle akselille, painovoima ei saa sitä pyörimään;

Painopiste on painovoiman kohdistamispiste;

Tasaisessa kentässä painopiste on sama kuin massakeskipiste.

Tasapaino on kehon asento, jossa se voi olla levossa mielivaltaisen pitkän ajan. Kun keho poikkeaa tasapainoasennosta, siihen vaikuttavat voimat muuttuvat ja voimien tasapaino häiriintyy.

Tasapainoja on erilaisia ​​(kuva 9). On tapana erottaa kolme tasapainotyyppiä: vakaa, epävakaa ja välinpitämätön.

Vakaalle tasapainolle (kuva 9, a) on tunnusomaista se, että keho palaa alkuperäiseen asentoonsa, kun se on taipunut. Tässä tapauksessa syntyy voimia tai voimien hetkiä, jotka pyrkivät palauttamaan kehon alkuperäiseen asentoonsa. Esimerkki on vartalon asento ylätuella (esimerkiksi poikittaispalkissa riippuva), kun vartalo pyrkii palautumaan alkuperäiseen asentoonsa mahdollisilla poikkeamilla.

Välinpitämättömälle tasapainolle (kuva 9, b) on ominaista se, että kehon asennon muuttuessa ei esiinny voimia tai voimien momentteja, jotka pyrkivät palauttamaan kehon alkuperäiseen asentoonsa tai poistamaan kehon siitä edelleen. Tämä on harvinainen tapaus ihmisillä. Esimerkkinä on painottomuuden tila avaruusaluksella.

Epävakaa tasapaino (kuva 9, c) havaitaan, kun kehon pienillä poikkeamilla syntyy voimia tai voimien momentteja, jotka pyrkivät poikkeamaan kehosta vielä enemmän sen alkuasennosta. Tällainen tapaus voidaan havaita, kun henkilö, joka seisoo hyvin pienen alueen tuella (paljon pienempi kuin hänen kahden jalan tai jopa yhden jalkansa pinta-ala), poikkeaa sivulle.

Kuva 9 Ruumiin tasapaino: vakaa (a), välinpitämätön (b), epävakaa (c)

Biomekaniikassa lueteltujen kappaleiden tasapainotyyppien lisäksi pidetään vielä yhtä tasapainotyyppiä - rajoitettu-stabiili. Tämän tyyppiselle tasapainolle on tunnusomaista se, että keho voi palata alkuasentoonsa, jos se poikkeaa siitä tiettyyn rajaan asti, esimerkiksi tukialueen rajan määräämän. Jos poikkeama ylittää tämän rajan, tasapaino muuttuu epävakaaksi.

Päätehtävä ihmiskehon tasapainon varmistamisessa on varmistaa, että kehon GCM:n projektio on tukialueella. Toiminnan tyypistä (staattisen asennon ylläpitäminen, kävely, juoksu jne.) ja vakauden vaatimuksista riippuen korjaavien toimenpiteiden tiheys ja nopeus muuttuvat, mutta tasapainon ylläpitoprosessit ovat samat.

Massan jakautuminen ihmiskehossa

Kehon massa ja yksittäisten segmenttien massat ovat erittäin tärkeitä biomekaniikan eri osa-alueille. Monissa urheilulajeissa on tarpeen tietää massan jakautuminen oikean harjoitustekniikan kehittämiseksi. Ihmiskehon liikkeiden analysointiin käytetään segmentointimenetelmää: se jaetaan perinteisesti tiettyihin segmentteihin. Jokaiselle segmentille määritetään sen massa ja massakeskuksen sijainti. Taulukossa. 1 määrittelee kehon osien massat suhteellisissa yksiköissä.

Pöytä 1. Kehonosien massat suhteellisissa yksiköissä

Usein massakeskuksen käsitteen sijaan käytetään toista käsitettä - painopiste. Tasaisessa painopisteessä painopiste on aina sama kuin massakeskipiste. Linkin painopisteen sijainti ilmaistaan ​​sen etäisyydenä proksimaalisen nivelen akselista ja ilmaistaan ​​suhteessa linkin pituuteen yksikkönä otettuna.

Taulukossa. Kuvassa 2 on esitetty kehon eri osien painopisteiden anatominen sijainti.

Taulukko 2. Kehonosien painopisteet

Kehonosa	Painopisteen sijainti
Hip	Linkin pituus 0,44
Shin	Linkin pituus 0,42
Olkapää	Linkin pituus 0,47
Kyynärvarsi	Linkin pituus 0,42
torso
Pää
Harjata
Jalka
Olkapää	Linkin pituus 0,47
Kyynärvarsi	Linkin pituus 0,42
torso	0,44 etäisyys olkanivelten poikittaisakselista lonkan akseliin
Pää	Sijaitsee sphenoidisen luun turkkilaisen satulan alueella (projektio edestä kulmakarvojen välissä, sivulta - 3,0 - 3,5 ulkoisen kuulokäytävän yläpuolella)
Harjata	Kolmannen metakarpaaliluun pään alueella
Jalka	Suoralla linjalla, joka yhdistää calcaneus-tuberkkelin toisen sormen päähän 0,44:n etäisyydellä ensimmäisestä pisteestä
Yleinen painopiste kehon pystyasennossa	Sijaitsee pääasennossa lantion alueella, ristiluun edessä

Näytä: Tämä artikkeli on luettu 11269 kertaa

Pdf Valitse kieli... Russian Ukrainian English

Lyhyt arvostelu

Koko materiaali ladataan yllä, kun olet valinnut kielen

Arvostelu

Vipuvarsi on jäykkä kappale, jolla on liikkumaton pyörimisakseli ja joka on tätä akselia vastaan ​​kohtisuorassa tasossa olevien voimien vaikutuksen alainen.

Jos vipu on levossa, kaikkien vipuun kohdistuneiden voimien momenttien algebrallinen summa suhteessa vertailupisteeseen on nolla

Mielivaltainen tasovoimajärjestelmä - tämä on voimajärjestelmä, jonka toimintalinjat sijaitsevat tasossa itsenäisesti.

Poinsot-menetelmällä pelkistyskeskipisteessä O saadaan voimien järjestelmä ja parijärjestelmä, joiden kunkin momentit ovat yhtä suuret kuin vastaavan voiman momentit suhteessa pelkistyskeskipisteeseen.

Päävektorijärjestelmä kutsutaan vektoriksi, joka on yhtä suuri kuin järjestelmän kaikkien voimien geometrinen summa.

Järjestelmän pääkohta suhteessa tason keskipisteeseen O kutsutaan järjestelmän voimien momenttien algebrallista summaa suhteessa pelkistyskeskipisteeseen O.

Päävektori ei riipu pelkistyskeskuksen O valinnasta. Voimien päämomentti riippuu pelkistyskeskuksesta.

Statiikan peruslause voimajärjestelmän tuomisesta tiettyyn keskustaan : Mikä tahansa tasainen mielivaltainen voimien järjestelmä, joka vaikuttaa absoluuttisen jäykkään kappaleeseen, kun se on vähennetty mielivaltaisesti valittuun keskipisteeseen O, voidaan korvata yhdellä voimalla, joka on yhtä suuri kuin järjestelmän päävektori ja kohdistetaan pelkistyskeskukseen O, ja yhdellä parilla momentti, joka on yhtä suuri kuin järjestelmän päämomentti keskuksen O ympärillä.

Tarkastellaan tapauksia, joissa tasainen voimajärjestelmä pelkistetään yksinkertaisempaan muotoon.

Tasapainoehdot mielivaltaiselle tasovoimajärjestelmälle.

1. Geometriset tasapainoolosuhteet : tasaisen mielivaltaisen voimajärjestelmän tasapainoa varten on välttämätöntä ja riittävää, että järjestelmän päävektori ja päämomentti ovat nolla

2. Analyyttiset tasapainoolosuhteet .

Tasapainoehtojen perusmuoto: Mielivaltaisen tasaisen voimajärjestelmän tasapainoa varten on välttämätöntä ja riittävää, että kaikkien koordinaattiakseleiden voimien projektioiden summa ja niiden momenttien summa suhteessa mihin tahansa keskipisteeseen, joka sijaitsee voimien toimintatasossa ovat yhtä kuin nolla.

Tasapainoolosuhteiden toinen muoto: Mielivaltaisen tasomaisen voimajärjestelmän tasapainoa varten on välttämätöntä ja riittävää, että kaikkien kahden keskipisteen A ja B ympärillä olevien voimien momenttien summa ja niiden projektioiden summa akselilla, joka ei ole kohtisuorassa suoraa AB:tä vastaan, on yhtä suuri kuin nolla.

Tasapainoehtojen kolmas muoto (kolmen momentin yhtälö): Tasaisen mielivaltaisen voimajärjestelmän tasapainoa varten on välttämätöntä ja riittävää, että kaikkien kolmen keskipisteen A, B ja C ympärillä olevien voimien momenttien summa, jotka eivät ole yhdellä suoralla, on yhtä suuri kuin nolla.

Rinnakkaisvoimien keskus

Yhteen suuntaan suunnattua rinnakkaisten voimien järjestelmää ei voida tasapainottaa tai pelkistää voimien pariksi, sillä on aina resultantti.

Resultantin toimintalinja on yhdensuuntainen voimien kanssa. Sen käyttöpisteen sijainti riippuu järjestelmän voimien vaikutuspisteiden suuruudesta ja sijainnista.

Rinnakkaisvoimien keskus - piste C on resultanttien rinnakkaisten voimien järjestelmän sovelluskohta.
Yhdensuuntaisten voimien keskipisteen sijainti - piste C - määräytyy tämän pisteen koordinaateista

Jäykän kappaleen painopiste ja sen koordinaatit

Kehon painopiste - tähän kappaleeseen poikkeuksetta liittyvä geometrinen piste, johon kohdistetaan kappaleen yksittäisten hiukkasten painovoimavoimien resultantti, ts. ruumiinpaino avaruudessa.

Painopisteen koordinaatit määritetään samalla tavalla kuin kehon hiukkasten painovoimavoimista koostuvien rinnakkaisten voimien C () keskipisteen koordinaatit.

Homogeenisen kappaleen painopisteen sijainti riippuu vain sen geometrisestä muodosta ja mitoista, eikä se riipu sen materiaalin ominaisuuksista, josta kappale on valmistettu.

Alkeisalueiden tulojen summaa, jotka muodostavat litteän hahmon niiden etäisyyksien algebrallisilla arvoilla johonkin akseliin, kutsutaan litteän hahmon alueen staattiseksi momentiksi.

Staattinen hetki litteän hahmon pinta-ala on yhtä suuri kuin kuvion pinta-alan tulo painopisteen ja tämän akselin välisellä algebrallisella etäisyydellä. Staattisen momentin mittayksikkö on [cm3].
litteän hahmon alueen staattinen momentti suhteessa akseliin, joka kulkee kuvion painopisteen kautta, on nolla.

Kehon paino on kehon yksittäisten hiukkasten painovoimavoimien tulos.

Menetelmät painopisteen sijainnin määrittämiseksi .

1. Symmetrinen menetelmä : Jos homogeenisella kappaleella on taso, akseli tai symmetriakeskus, niin painopiste sijaitsee vastaavasti joko symmetriatasossa tai symmetria-akselilla tai symmetriakeskipisteessä. pituusviiva on keskellä. Säteisen ympyrän (tai ympyrän) painopiste on sen keskellä, ts. halkaisijoiden leikkauspisteessä. Suunnikkaan, rombin tai suuntaissärmiön painopiste on diagonaalien leikkauspisteessä. Säännöllisen monikulmion painopiste on piirretyn tai rajatun ympyrän keskellä.
2. Merkintämenetelmä : Jos kappale voidaan jakaa äärelliseen määrään elementtejä (tilavuuksia, tasoja, suoria), joista jokaiselle tunnetaan painopisteen sijainti, niin koko kehon painopisteen koordinaatit voidaan määrittää tietää elementtien arvot suoraan kaavoista
3. Täydennysmenetelmä (negatiiviset tasot): Jos rungossa on leikattuja elementtejä, niin elementeiksi jaettaessa leikattu osa (pinta-ala, tilavuus) vähennetään kokonaismäärästä, ts. leikkauselementeille annetaan negatiiviset pinta-ala- tai tilavuusarvot

Muoto: pdf

Koko: 700 KV

Kieli: venäjä, ukraina

Esimerkki hammaspyörän laskemisesta
Esimerkki hammaspyörän laskemisesta. Suoritettiin materiaalin valinta, sallittujen jännitysten laskeminen, kosketus- ja taivutuslujuuden laskenta.

Esimerkki säteen taivutusongelman ratkaisemisesta
Esimerkissä piirretään kaavioita poikittaisvoimista ja taivutusmomenteista, löydetään vaarallinen osa ja valitaan I-palkki. Tehtävässä analysoidaan kaavioiden rakentamista differentiaaliriippuvuuksilla, suoritetaan eri palkin poikkileikkausten vertaileva analyysi.

Esimerkki akselin vääntöongelman ratkaisemisesta
Tehtävänä on testata teräsakselin lujuus tietyllä halkaisijalla, materiaalilla ja sallituilla jännityksillä. Ratkaisun aikana rakennetaan kaavioita vääntömomenteista, leikkausjännityksistä ja vääntökulmista. Akselin omapainoa ei oteta huomioon

Esimerkki sauvan jännitys-puristusongelman ratkaisemisesta
Tehtävänä on testata terästangon lujuus annetuilla sallituilla jännityksillä. Ratkaisun aikana rakennetaan pitkittäisvoimien, normaalijännitysten ja siirtymien käyrät. Tangon omapainoa ei oteta huomioon

Kineettisen energian säilymislauseen soveltaminen
Esimerkki mekaanisen järjestelmän liike-energian säilymistä koskevan lauseen soveltamisen ongelman ratkaisemisesta

Pisteen nopeuden ja kiihtyvyyden määrittäminen annettujen liikeyhtälöiden mukaan
Esimerkki pisteen nopeuden ja kiihtyvyyden määrittämisongelman ratkaisemisesta annettujen liikeyhtälöiden mukaan

Jäykän kappaleen pisteiden nopeuksien ja kiihtyvyyksien määrittäminen tasosuuntaisen liikkeen aikana
Esimerkki ongelman ratkaisemisesta jäykän kappaleen pisteiden nopeuksien ja kiihtyvyyksien määrittämisessä tasosuuntaisen liikkeen aikana