OSA TOINEN.

IDENTITEETIN MUUTOKSET

(NELJÄ ENSIMMÄISTÄ ​​ALGEBRIAA TOIMINTA).

Luku yksi.

Polynomi ja monomiaali.

42. Polynomi ja monomiaali. Algebrallista lauseketta, joka koostuu useista muista lausekkeista, jotka on yhdistetty + tai - -merkeillä, kutsutaan polynomiksi. Esimerkiksi tämä on lauseke:

Erillisiä lausekkeita, joiden yhdistelmästä + tai - merkit osoittautuivat polynomiksi, kutsutaan sen jäseniksi. Yleensä polynomin termejä tarkastellaan yhdessä niitä edeltävien merkkien kanssa; esimerkiksi he sanovat: jäsen - a , jäsen + b 2 jne. Ennen ensimmäistä jäsentä, jos sen eteen ei ole asetettu merkkiä, voidaan tarkoittaa enak +; niin esimerkissämme ensimmäinen jäsen on ab tai + ab .

Lauseke, joka koostuu vain yhdestä jäsenestä, kutsutaan yksitermiseksi, kahdesta jäsenestä - kaksitermiseksi, kolmesta - kolmitermiseksi jne. Monomiaali on joko yksittäinen kirjaimella tai numeroilla ilmaistu luku (esim. a , + 10) tai tuote (esim. ab ) tai yksityinen (esim. a-b / 2 ) tai tutkinto (esim. b 2); mutta monomi ei saa olla summa eikä erotus , koska muuten se olisi binomi, trinomi, polynomi yleensä.

Jos monomi on osamäärä, sitä kutsutaan murtomonomiaaliksi; kaikkia muita monomialeja kutsutaan tavoitteiksi. Joten esimerkissämme monomiaali a-b / 2 on murtoluku, ja kaikki muut polynomin jäsenet ovat kokonaislukuja. Koska algebran alussa puhumme vain kokonaislukumonomeista, kutsumme niitä lyhyyden vuoksi yksinkertaisesti "monomeeiksi".

Jos polynomin kaikki jäsenet ovat kokonaislukuja, sitä kutsutaan myös kokonaisluvuiksi.

43. Kerroin. Oletetaan, että meille annetaan tuote:

a 3ab (- 2) ,

jossa jotkut tekijät ilmaistaan ​​numeroina ja toiset kirjaimilla. Sellaiset tulot voidaan muuntaa (käyttämällä kertolaskujen assosiatiivisia ja kommutatiivisia ominaisuuksia) yhdistämällä yhteen ryhmään kaikki numeroina ilmaistut tekijät, toisessa ryhmässä - kaikki kirjaimilla ilmaistut tekijät. a, jne.:

3 (- 2) (aa) b ,

mitä voidaan kirjoittaa lyhyesti: - 6a 2 b ;. Kuten tämä:

-l0 axx (- 2) = + 20vai niin 2 , jne.

Numeroina ilmaistua tekijää, joka on asetettu aakkostekijöiden eteen, kutsutaan monomin kertoimeksi. Joten monomiaalissa - 6a 2 b numero - 6 on kerroin.

Huomaa, että jos kerroin on positiivinen kokonaisluku, se tarkoittaa kuinka monta kertaa toistetaan termillä kirjaimellinen ilmaus, johon se viittaa; Niin, 3 ab = 3(ab) =(ab) 3 =ab + ab + ab . Jos kerroin on murto-osa, se ilmaisee, mikä murto-osa on otettu kirjaimellisen lausekkeen numeerisesta arvosta. Niin:
2 / 3 vai niin = vai niin 2 / 3 , ja kerrotaan vai niin päällä 2 / 3 tarkoittaa ottaa 2 / 3 numerosta vai niin .

44. Polynomin ominaisuudet. Mitä tahansa polynomia voidaan pitää sen ehtojen algebrallisena summana. Esimerkiksi polynomi

2a - b + kanssa

on summa: 2a + (- b) + (+ kanssa ) koska ilmaisu + (- b) vastaa lauseketta - b ja ilmaisu + (+ kanssa ) tarkoittaa samaa kuin + kanssa . Tämän seurauksena myös kaikki suhteellisten lukujen summan ominaisuudet (1 § 25) kuuluvat polynomiin. Muistakaamme tärkeimmät näistä ominaisuuksista:

a) Siirrä omaisuutta: polynomin numeerinen arvo ei muutu siirrettäessä sen jäseniä (merkkiensä kanssa).

Oletetaan esimerkiksi, että löydämme polynomin numeerisen arvon

2a 2 - ab + b 2 - 1 / 2 a

klo a = -4 ja b = - 3. Tätä varten laskemme ensin jokaisen termin erikseen:

2a 2 = 2(- 4) 2 = 2(- 4)(- 4) = 32 ; - ab = - (- 4) (- 3)= -12 ;

b 2 =(- 3) 2 = (- 3)(- 3)= +9 ; - 1 / 2 a = - 1 / 2 (- 4)= +2 .

Lisätään nyt kaikki saadut luvut tai siinä järjestyksessä, jossa polynomin jäsenet kirjoitetaan:

32 - 12 + 9 + 2 = 31,

tai jossain muussa järjestyksessä, saamme aina saman numeron 31.

b) assosiatiivista omaisuutta: polynomin numeerinen arvo ei muutu, jos korvaamme minkä tahansa sen termistä niiden algebrallisen summan.

Joten jos nyt otetussa polynomissa korvaamme termit - ab , + b 2 ja - 1 / 2 a niiden algebrallinen summa, eli ota tämä polynomi seuraavassa muodossa:

2a 2 + (- ab + b 2 - 1 / 2 a )

sitten klo a = - 4 ja b = - 3 saamme:

32 + (- 12 + 9 + 2) = 32 + (- 1) = 31,

eli saamme saman numeron 31, jonka saimme aiemmin. Huomioimme myös seuraavan polynomin tärkeän ominaisuuden:

sisään) Jos ennen jokaista polynomin jäsentä muutamme etumerkin päinvastaiseksi, niin polynomin numeerinen arvo muuttaa myös etumerkin päinvastaiseksi, eikä sen absoluuttinen arvo muutu.

Esimerkiksi polynomin numeerinen arvo 2a 2 - ab + b 2 - 1 / 2 a
klo a = - 4 ja b = - 3 on, kuten olemme nähneet, 31 ja polynomin numeerinen arvo - 2a 2 + ab- b 2 + 1 / 2 a samoilla kirjainten arvoilla on yhtä suuri kuin -31.

45. Samankaltaisten termien vähentäminen. Joskus polynomissa on sellaisia ​​termejä, jotka eroavat toisistaan ​​vain kertoimilla tai etumerkeillä tai jopa eivät eroa ollenkaan; tällaisia ​​jäseniä kutsutaan samanlaisiksi. Esimerkiksi polynomissa

ensimmäinen termi on samanlainen kuin kolmas (ne on alleviivattu yhdellä rivillä), toinen termi on samanlainen kuin neljäs ja kuudes (alleviivattu kahdella rivillä), ja viidennellä termillä ei ole analogeja.

Jos polynomi sisältää samanlaisia ​​termejä, ne voidaan yhdistää yhdeksi termiksi. Joten nyt annetussa esimerkissä voimme (polynomin assosiatiivisen ominaisuuden perusteella) yhdistää jäseniä tällaisiin ryhmiin:

(4a + 0,5a) + (- 3x + 8x - 2X) + 3 kirves .

Mutta on selvää, että 4 joistakin luvuista ja 0,5 samasta numerosta on 4,5 samaa numeroa. tarkoittaa, 4a + 0,5a = 4,5a . Yhtä - 3x + 8x = 5X ja 5X - 2X =3X . Joten polynomi voidaan esittää seuraavasti:

4,5a + 3X+ 3 kirves .

Huomaa, että polynomin kaikkien samankaltaisten jäsenten yhdistämistä yhdeksi jäseneksi kutsutaan yleensä polynomin samankaltaisten jäsenten pelkistykseksi.

Kommentti. Kaksi samanlaista termiä samoilla kertoimilla, mutta eri termeillä (ne kumoavat toisensa merkeillä, kuten esimerkiksi termit + 2 a ja 2 a, tai - 1/2 X 2 ja + 1/2 X 2 .

Esimerkkejä.

Toinen luku.

Algebrallinen yhteen- ja vähennyslasku.

46. ​​Mitä ovat "algebralliset operaatiot".

Aritmetiikassa operaatioita suoritetaan luvuille, ja tuloksena on yksi uusi luku. Algebrassa toimintoja ei suoriteta numeroille, vaan algebrallisille lausekkeille, ja tuloksena on uusi algebrallinen lauseke. Esimerkiksi kerro monomi 3 a monomiiksi 2 a - tarkoittaa ensinnäkin kertomisen osoittamista hyväksytyillä merkeillä:

(3a) (2a)

ja toiseksi muuntaa, mikäli mahdollista, tuloksena oleva algebrallinen lauseke toiseksi, yksinkertaisemmiksi. Esimerkissämme muunnos voidaan tehdä näin: kerrotaan jokin luku tulolla 2 a , voit kertoa tämän luvun ensin luvulla 2 ja kerro sitten tulos arvolla a .

(3a) (2a) = (3a) 2a .

Viimeisessä lausekkeessa voimme hylätä sulut, koska tämä ei muuta lausekkeen merkitystä; sitten saamme 3a 2a .. Nyt käyttämällä kertolaskun assosiatiivista ominaisuutta ryhmittelemme tekijät seuraavasti: (3 2) (aa) , mikä ilmeisesti on 6a 2 .

Oli kirjain mikä tahansa numero a kumpikaan ei tarkoittanut lausekkeen numeerista arvoa (3a) (2a) on aina yhtä suuri kuin lausekkeen numeerinen arvo 6a 2 , eli nämä lausekkeet ovat identtisiä.

Näin ollen algebrallinen toiminta kertolaskuesimerkissämme koostuu ensinnäkin tämän toiminnan osoittamisesta algebrassa hyväksytyillä merkeillä ja toiseksi tuloksena olevan algebrallisen lausekkeen muuntamisesta toiseksi, sen kanssa identtiseksi, mikäli mahdollista.

47. Monomien lisääminen. Olkoon vaadittava lisäämään useita monomialeja:

3a, - 5b, + 0,2a, -7b ja kanssa . Niiden summa ilmaistaan ​​seuraavasti:

3+(- 5b) + (+ 0,2a) + (-7b ) + kanssa

Mutta ilmaisut: + (- 5b), + (+ 0,2a) ja + (- 7b ) vastaavat: - 5b, + 0,2a ja - 7b siksi näiden monomiaalien summa voidaan kirjoittaa uudelleen yksinkertaisemmalla tavalla:

joka antaa samankaltaisten termien syöttämisen jälkeen: 3,2a - 12b+ kanssa. tarkoittaa, lisätäksesi useita monomialeja, riittää, että kirjoitat ne peräkkäin merkeineen ja vähennät samanlaisia ​​termejä.

48. Polynomien yhteenlasku. Vaaditaan se johonkin numeroon tai algebralliseen lausekkeeseen m lisää polynomi a - b + c . Haluttu määrä voidaan ilmaista seuraavasti:

m + (a - b + c ).

Tämän lausekkeen muuntamiseksi otamme huomioon, että polynomi
a - b + c on summa a + (- b) + c , ja summan lisäämiseksi voit lisätä jokaisen termin yksitellen; Siksi:

m + (a - b + c ) = m +a + (- b) + c

Mutta lisää -b ei väliä mitä vähennetään b ; Siksi:

m + (a - b + c ) = m + a - b + c

Sääntö. Jotta johonkin allebralliseen lausekkeeseen voidaan lisätä polynomi, on tähän lausekkeeseen osoitettava kaikki polynomin termit peräkkäin etumerkeineen (lisäksi ennen polynomin ensimmäistä jäsentä, jos sen edessä ei ole merkkiä, +-merkki on viitattava) ja heittää samanlaiset jäsenet, jos ne ilmestyvät.

Esimerkki.

3a 2 - 5ab + b 2 + (4ab - b 2 + 7a 2).

Ensimmäinen termi, jota nyt merkitsimme yhdellä kirjaimella m, annettu tässä esimerkissä polynomina 3a 2 - 5ab + b 2 . Tätä sääntöä soveltamalla huomaamme:

3a 2 - 5ab + b 2 + (4ab - b 2 + 7a 2) = 3a 2 - 5ab + b 2 + 4ab - b 2 + 7a 2 = 10a 2 - ab

Jos yhteenlaskettava polynomitieto sisältää samanlaisia ​​jäseniä (kuten esimerkissämme), on hyödyllistä kirjoittaa termit toistensa alle siten, että samankaltaiset termit ovat samankaltaisten:

49. Monomien vähentäminen. Olkoon se vaadittu monomiaalilta 10 kirves vähennä monomiaali - 3 kirves . Haluttu ero ilmaistaan ​​seuraavasti:

10 kirves - (- 3 kirves ).

Vähennyssäännön mukaan vähennys on 3 kirves voidaan korvata lisäämällä numeroa vastapäätä - 3 kirves . Siellä on sellainen numero + 3 kirves , Siksi:

10 kirves - (- 3 kirves ) = 10 kirves + (+ 3 kirves ) = 10 kirves + 3 kirves = 13 kirves .

tarkoittaa, Monomiaalin vähentämiseksi riittää, että se määritetään päinvastaiseen merkkiin (ja vähennetään samankaltaisia ​​termejä, jos niitä esiintyy).

50. Polynomien vähentäminen. Vaaditaan se jostain luvusta tai algebrallisesta lausekkeesta m vähennä polynomi a - b + c , joka voidaan ilmaista seuraavasti:

m- (a - b + c ).

Tätä varten vähennyssäännön (1 § 22 §) mukaan riittää, että lisätään m päinvastainen numero a - b + c . Sellainen numero on olemassa - a + b - c (); tarkoittaa:

m- (a - b + c ) = m+ (- a + b - c )

Kun nyt sovelletaan polynomien yhteenlaskusääntöä, saadaan:

m- (a - b + c ) = m - a + b - c .

tarkoittaa, polynomin vähentämiseksi jostakin algebrallisesta lausekkeesta riittää, että tälle lausekkeelle liitetään kaikki aliosapolynomin termit vastakkaisilla etumerkeillä (ja tehdään pelkistys).

Jos yhdestä polynomista on vähennettävä toinen polynomi ja näillä polynomeilla on samanlaiset termit, on hyödyllistä kirjoittaa vähennetty polynomi pelkistetyn polynomin alle muuttamalla vähennetyn polynomin etumerkit vastakkaisiksi ja siten, että samat termit pysyvät voimassa. vastaavien alla. Esimerkiksi vähennyslasku
(7a 2 - 2ab + b 2) - (5a 2 + 4ab - 2b 2) on parhaiten sijoitettu näin:

(vähennettävässä polynomissa ylämerkit asetetaan sellaisiksi kuin ne on annettu, ja alareunassa ne käännetään).

51. Laajentuvat sulkeet, joita edeltää +- tai -merkki.

Anna ilmaus

2 a + (a - 3 b + c ) - (2 a - b + 2 kanssa )

kiinnikkeet on avattava. Tämä tulee ymmärtää siten, että suluissa oleville polynomeille on suoritettava ne toiminnot, jotka on osoitettu suluissa olevilla merkeillä. Esimerkissämme ensimmäistä sulkua edeltää +-merkki ja toista sulkua edeltää -merkki. Kun on lisätty ja vähennetty antamiemme sääntöjen mukaisesti, saadaan lauseke ilman sulkuja:

2 a + a - 3 b + c - 2 a + b - 2 c = a - 2 b - c

Meidän on siis muistettava, että laajentamalla +-merkin edeltäviä sulkuja, emme saa muuttaa hakasulkujen sisällä olevia merkkejä, ja laajentamalla -merkin edeltäviä sulkuja meidän on muutettava merkit päinvastaisiksi ennen kaikkia suluissa olevia jäseniä.

Vaaditaan myös sulkeiden avaaminen lausekkeessa:

10r - .

Tätä varten on kätevintä avata ensin sisemmät kiinnikkeet ja sitten ulommat:

10r - = 10p - 3p - 5p + 10 + 4] = 2p+14.

52. Polynomin osan sulkeminen. Polynomin muuntamiseksi on joskus hyödyllistä sulkea sen joidenkin jäsenten joukko, ja joskus on toivottavaa laittaa hakasulkeiden eteen + eli esittää polynomi summana ja joskus - merkki, ts. edustaa polynomia erotuksena. Olkoon esimerkiksi polynomissa a + b - c Haluamme sulkea kaksi viimeistä termiä lisäämällä hakasulkujen eteen +-merkki. Sitten kirjoitetaan näin:

a + b - c = a + (b - c) ,

eli hakasulkeisiin jätämme samat merkit, jotka olivat tässä polynomissa. Että tällainen muunnos on totta, varmistamme, jos avaamme sulut lisäyssäännön mukaisesti; sitten saadaan annettu polynomi uudelleen.

Oletetaan, että samassa polynomissa on suljettava kaksi viimeistä lukua laittamalla miinusmerkki hakasulkeiden eteen.

Sitten kirjoitetaan näin:

a + b - c = a - (- b + c) = a - ( kanssa - b) ,

eli kaikkien jäsenten edessä olevien sulujen sisällä muutamme merkit päinvastaisiksi. Että tällainen muunnos on totta, varmistamme, jos avaamme sulut vähennyssäännön mukaisesti; sitten saadaan annettu polynomi uudelleen.

Kommentti. Voit myös merkitä koko polynomin sulkeisiin laittamalla niiden eteen + tai - -merkin. Voit kirjoittaa esimerkiksi:

a - b + c = + (a - b + c ) ja a - b + c = - (- a + b - c ).

Luku kolme.

Algebrallinen kertolasku.

53. Saman luvun potenssien kertolasku. Kerrotaan a 3 päälle a 2, joka voidaan ilmaista seuraavasti: a 3 a 2 tai enemmän :( ahh ) (aa ). Tässä työ ahh kerrottuna toisella aa . Mutta jotta joku luku voidaan kertoa tuotteella, tämä luku voidaan kertoa ensimmäisellä kertoimella, kertoa tulos toisella kertoimella ja niin edelleen; Siksi:

a 3 a 2 = (ahh )(aa ) = (ahh ) aa ,

joka voidaan kirjoittaa ilman sulkuja, koska toimintojen järjestys pysyy samana ilman sulkuja, kuten suluissa on osoitettu:

a 3 a 2 = aaaaa = a 5 .

tarkoittaa, kun kerrotaan saman luvun potenssit, niiden eksponentit laskevat yhteen.

Täten: X 3 X = X 4 , m 2 m 3 = m 5 , y 2 y y 3 = y 6 jne.

54. Monomien kertolasku. Olemme jo sanoneet aiemmin () kuinka voit muuttaa monomiaalien tulon (3a) (2a) monomiaaliksi 6 a 2. Toistakaamme nyt, mitä silloin sanottiin, toisella esimerkillä. Kerrotaan:

Monomiaalista lähtien 5abx on tulo, silloin riittää kertoa kertoja ensimmäisellä kertoimella - 5 , kerro tulos toisella kertoimella a jne. Joten:

3vai niin 2 (- 5abx) = 3vai niin 2 (- 5)abx .

Tässä tuotteessa ryhmittelemme tekijät seuraaviin ryhmiin kertomisen assosiatiivisen ominaisuuden avulla:

(+3)(- 5) (aa) b (X 2 X).

Kertomalla jokaisessa ryhmässä saamme:

- 15 a 2 b X 3 .

tarkoittaa, kertoaksesi monomin monomilla, sinun on kerrottava niiden kertoimet, laskettava yhteen identtisten kirjainten indikaattorit, ja ne kirjaimet, jotka sisältyvät vain kertoimeen tai vain kertoimeen, siirretään tuotteeseen indikaattoreineen.

Esimerkkejä.

1) 0,7a 3 X (3a 4 X 2 klo 2) = 2,1a 7 X 3 klo 2

2) (1 / 2 m x 3) 2 = 1 / 2 m x 3 (1 / 2 m x 3) = 1 / 4 m 2 x 6

3) -3,5 X 2 klo (3 / 4 X 3) = - 21 / 8 X 5 klo

55. Polynomin kertominen monomilla.

Olkoon se annettu polynomin kertomiseksi a + b - c monomiiksi m , joka voidaan ilmaista seuraavasti:

(a + b - c ) m .

Polynomi a + b - c on suhteellisten lukujen summa a + b + (- kanssa) . Mutta jos haluat kertoa summan, voit kertoa jokaisen termin erikseen ja lisätä tulokset (jakoominaisuus); tarkoittaa:

(a + b - c ) m = [ a + b + (- kanssa) ] m = a m +b m + (- kanssa)m .

Mutta (- kanssa)m = - cm ja + (- cm ) = - cm ; Siksi

(a + b - c ) m = a m +b m - kanssam .

Sääntö. Polynomin kertomiseksi monomilla on tarpeen kertoa polynomin jokainen termi tällä monomilla ja lisätä tuloksena saadut tulot.

Koska tulo ei muutu tekijöiden paikkojen permutaatiosta, tämä sääntö pätee myös monomin kertomiseen polynomilla; täten:

m (a + b - c ) = m a + m b m - mc .

Esimerkkejä.

1) (3x 2 - 2vai niin + 5a 2) (-4vai niin) .

Tässä polynomin termien kertominen annetulla monomilla on suoritettava monomien kertolaskusäännön mukaisesti, ottaen huomioon myös merkkien sääntö: kerrottaessa samat merkit antavat + ja eri merkit - - . Kerrotaan erikseen jokainen polynomin termi monomilla:

(3x 2)(-4vai niin) = - 12kirves 3 ; (- 2vai niin) (-4vai niin) == + 8a 2 x 2 ; (+ 5a 2) (-4vai niin) = - 20a 3 x .

Tehdään nyt yhteenveto tuloksista:

- 12kirves 3 + 8a 2 x 2 - 20a 3 x .

2) (a 2 - ab + b 2) (3a) = a 2 (3a) - (ab ) (3a) + b 2 (3a) = 3a 3 - 3a 2 b+ 3ab 2

3) (7x 3 + 3 / 4 vai niin - 0,3) (2,l a 2 x) = (7x 3 ) (2,l a 2 x) + (3 / 4 vai niin) (2,l a 2 x) - 0,3 (2,l a 2 x) =
= 14,7a 2 x 4 + 1,575a 3 x 2 - 0,63 a 2 x .

4) 2a (3a - 4 vai niin + 1 / 2 x 2) = 6a 2 - 8a 2 x + ax 2

56. Polynomin kertominen polynomilla. Tehdään kertolasku:

(a + b - c ) (m-n ).

Ottaen huomioon kertoimen m-n yhtenä lukuna (monomiaalina) sovelletaan sääntöä polynomin kertomisesta monomilla:

a (m - n) + b (m - n) - c (m - n).

Kun nyt otetaan huomioon ilmaisu m-n polynomina (binomiaalina) sovelletaan sääntöä monomin kertomisesta polynomilla:

(am - an) + (bm - bn) - (cm - cn).

Lopuksi, avaamalla sulut yhteen- ja vähennyssääntöjen mukaisesti, löydämme lopulta:

(a + b - c) (m - n) = am - an + bm - bn - cm + cn

Sääntö. Jos haluat kertoa polynomin polynomilla, sinun on kerrottava ensimmäisen polynomin kukin termi toisen polynomin kullakin termillä ja laskettava tuloksena saadut tulot.

Tietenkin, kun kerrotaan ensimmäisen polynomin ehdot toisen polynomin ehdoilla, on noudatettava merkkisääntöjä: samat merkit antavat + eri merkit -.

Esimerkki, (a 2 - 5ab + b 2 - 3) (a 3 - 3ab 2 + b 3)

Kerromme ensin kaikki kertoimen ehdot kertoimen ensimmäisellä termillä:

(a 2 - 5ab + b 2 - 3) a 3 = a 5 - 5a 4 b + a 3 b 2 - 3a 3

Sitten kerrotaan kaikki kertoimen ehdot kertoimen toisella termillä:

(a 2 - 5ab + b 2 - 3) (- 3ab 2) = - 3a 3 b 2 + 15a 2 b 3 - 3ab 4 + 9ab 2

(a 2 - 5ab + b 2 - 3) (b 3) = a 2 b 3 - 5ab 4 + b 5 - 3b 3

Lopuksi laskemme yhteen kaikki saadut tuotteet ja vähennämme samanlaisia ​​termejä; lopputulos tulee olemaan:

a 5 - 5a 4 b- 2a 3 b 2 - 3a 3 + 16a 2 b 3 - 8ab 4 + 9ab 2 + b 5 - 3b 3

Huomautukset. 1) Jotta et menettäisi mitään termien tuloista kerrottaessa polynomia polynomilla, on hyödyllistä aina noudattaa jotain yhtä kertolaskua; Esimerkiksi, kuten teimme juuri nyt, kerro ensin kaikki kertojan ehdot kertoimen ensimmäisellä termillä, sitten kerrotaan kaikki termit kertoimen toisella termillä jne.

2) Aritmeettisiin lukuihin sovellettaessa polynomien kertolaskusääntö voidaan tulkita selkeästi geometrisesti. Otetaan esimerkiksi 4 viivan osaa a, b, m ja n ja rakenna kaksi suorakulmiota: toisessa pohja a + b ja korkeus m+n , toinen pohjalla a + b , ja korkeus m-n .

Ensimmäisen alue on ( a + b ) (m+n ), ja toisen alue on ( a + b ) (m-n ). Piirustuksista näkyy suoraan, että ensimmäinen alue on yhtä suuri am + bm + an + bn , ja toinen on am + bm - an - bn .

Esimerkkejä.

1) (a - b) (m - n - p) \u003d am - bm - an + bn - ap + bp.

2) (x 2 - y 2) (x + y) \u003d x 3 - xy 2 + x 2 y - y 3

3) (3an + 2n 2 - 4a 2) (n 2 - 5an) = 3an 3 + 2n 4 - 4a 2 n 2 - 15a 2 n 2 - 10an 3 + 20a 3 n =
\u003d -7an 3 + 2n 4 - 19a 2n 2 + 20a 3 n

4) (2a 2 - 3) 2 = (2a 2 - 3) (2a 2 - 3) = (2a 2) 2 - 3 (2a 2) - (2a 2) 3 + 9 =
= 4a 4 - 6a 2 - 6a 2 + 9 = 4a 4 - 12a 2 + 9

57. Sijaitseva polynomi. Polynomin järjestäminen jonkin kirjaimen potenssiin tarkoittaa, jos mahdollista, sen termien kirjoittamista sellaiseen järjestykseen, että tämän kirjaimen eksponentit kasvavat tai pienenevät ensimmäisestä termistä viimeiseen. Kyllä, polynomi 1 + 2x + x 2 - x 3 sijaitsee kirjaimen kasvavissa voimissa X . Sama polynomi järjestetään kirjaimen laskeviin potenssiin X , jos kirjoitamme sen jäsenet käänteisessä järjestyksessä: -x 3 +x2 + 2x + 1 .

Kirjainta, jossa polynomi sijaitsee, kutsutaan sen pääkirjaimeksi. Termiä, joka sisältää suurimman eksponentin ison kirjaimen, kutsutaan polynomin suurimmaksi termiksi; termiä, joka sisältää pääkirjaimen pienimmällä eksponentilla tai ei sisällä sitä, kutsutaan polynomin alimmaksi termiksi.

58. Paikallisten polynomien kertolasku se on kätevintä valmistaa seuraavassa esimerkissä osoitetulla tavalla.

Kerro

3x - 5 + 7x 2 - x 3 päällä 2 - 8x 2 + x.

Järjestetään molemmat polynomit kirjaimen pieneneviin potenssiin X , kirjoita kerroin kertoimen alle ja piirrä niiden alle viiva:

Kerro kertojan kaikki ehdot kertoimen ensimmäisellä termillä (by -8x2 ) ja tuloksena oleva tuote kirjoitetaan rivin alle. Sitten kaikki kertojan ehdot kerrotaan kertoimen toisella termillä (by + x ) ja tuloksena oleva toinen tuote kirjoitetaan ensimmäisen alle siten, että samanlaiset termit ovat samanlaisten alla. He tekevät myös edelleen niin. Viimeisen työn alla (päällä + 2 ) piirtää viiva, jonka alle he kirjoittavat koko työn, laskemalla yhteen kaikki muut teokset.

On myös mahdollista järjestää molemmat polynomit pääkirjaimen nouseviin potenssiin ja kertoa sitten samassa järjestyksessä kuin juuri osoitettiin.

59. Teoksen ylempiä ja alempia jäseniä. Näistä esimerkeistä seuraa:

Tuotteen suurin termi on yhtä suuri kuin suurimman termin tulo kerrottuna kertoimen korkeimmalla termillä.

Tuloksen alin termi on yhtä suuri kuin kertoimen alimman termin tulo kertoimen alimmalla termillä.

Loput teoksen jäsenet saadaan yhdistämällä useita samanlaisia ​​jäseniä yhdeksi. Saattaa jopa käydä niin, että tuotteessa samankaltaisten termien vähentämisen jälkeen kaikki termit tuhoutuvat ensimmäistä ja viimeistä (ylempi ja alempi) lukuun ottamatta, kuten seuraavasta esimerkistä voidaan nähdä:

60. Teoksen jäsenmäärä. Olkoon kertoimella viisi termiä ja kertoimella kolme termiä. Kertomalla jokainen kertoimen termi kertoimen ensimmäisellä termillä, saadaan tuotteen 5 termiä; sitten kertomalla jokainen kertoimen termi kertoimen toisella termillä, saadaan 6 lisätermiä tuloon jne.; näin ollen kaikki tuotteen termit ovat 5 3 eli 15. Yleensä tuotteen jäsenten lukumäärä ennen samankaltaisten jäsenten yhdistelmää siinä on yhtä suuri kuin jäsenten lukumäärän tulo kerrottuna kertoimen jäsenten lukumäärällä.

Koska teoksen korkeimmilla ja alimmilla jäsenillä ei voi olla heidän kaltaisiaan jäseniä ja kaikki muut jäsenet voidaan tuhota, Tuotteen pienin termien määrä sen vastaavien termien vähentämisen jälkeen on 2.

61. Jotkut binomien kertolaskukaavat. On hyödyllistä muistaa seuraavat kaavat binomien kertomista varten:

a) (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Esimerkki: 17 2 = (10 + 7) 2 = 10 2 + 2 10 7 + 7 2 = 100 + 140 + 49 = 289.

Täten, kahden luvun summan neliö on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun neliö plus kaksi kertaa ensimmäisen ja toisen luvun tulo plus toisen luvun neliö.

b) (a - b) 2 = (a - b) (a - b) \u003d a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 .

Esim: 19 2 = (20 -1) 2 = 20 2 - 2 20 1 + 1 2 = 400 - 40 + 1 = 361

Täten, kahden luvun välisen eron neliö on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun neliö, josta on vähennetty kaksi kertaa ensimmäisen ja toisen luvun tulo plus toisen luvun neliö.

Kommentti. On hyödyllistä huomata, että yhteen- ja vähennyslaskuun liittyvällä potenssiin korotuksella ei ole distributiivista ominaisuutta; Niin, (2+3) 2 ei tasa-arvoinen
2 2 + 3 2 tai (8 - 6) 2 ei ole yhtä suuri kuin 8 2 - 6 2 .

sisään) (a + b) (a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2

Esimerkki: 25 15 = (20 + 5) (20 - 5) = 20 2 - 5 2 = 400 - 25 = 375.

Täten, kahden luvun ja niiden eron summan tulo on yhtä suuri kuin näiden lukujen neliöiden erotus.

G) (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) =
= a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3а 2 b + 3ab 2 + b 3

Esim: 12 3 = (10 + 2) 3 = 10 3 + 3 10 2 2 + 3 10 2 2 + 2 3 = 1000 + 600 + 120 + 8 = 1728.

Täten, kahden luvun summan kuutio on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun kuutio plus kolme kertaa ensimmäisen ja toisen luvun neliön tulo plus kolme kertaa ensimmäisen luvun ja toisen neliön tulo, plus toisen luvun kuutio.

e) (a - b) 3 = (a - b) 2 (a - b) = (a 2 - 2ab + b 2 )(a - b) =
\u003d a 3 - 2a 2 b + ab 2 - a 2b + 2ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Esim: 19 3 = (20 - 1) 3 = 20 3 - 3 20 2 1 + 3 20 1 2 - 1 3 = 8000 -1200 + 60 - 1 = 6869.

Täten, kahden luvun erotuksen kuutio on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun kuutio, josta on vähennetty kolme kertaa ensimmäisen ja toisen luvun neliön tulo plus kolme kertaa ensimmäisen luvun ja toisen neliön tulo, miinus toisen luvun kuutio.

62. Joidenkin näiden kaavojen geometrinen tulkinta.

a) Siirrä sivuun jana AB = a ja siihen sovelletaan segmenttiä BC = b, rakennamme neliöitä: ACDE ja ABJK, joiden pinta-alat ovat yhtä suuret (a + b) 2 ja a 2 . Jatkamalla linjoja BJ ja KJ leikkauspisteeseen ED:n ja CD:n kanssa, jaamme suuremman neliön 4 osaan, joiden alueet ovat: a 2 , b 2 , ab ja ab .

(a + b) 2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

b) Laita sivuun AB = a ja AB:sta vähennetään BC = b ; sitten muodostetaan neliöt ACDE, ABFK ja KLME, joiden pinta-alat ovat (a - b) 2 , a 2 ja b 2 . Jatkamalla CD-levyä kohtaan N, saamme: pl. ACDE = pl. ABFK + neliö EKLM - neliö CBFN - pl. DNLM.

(a - b) 2 = a 2 + b 2 - ab - ab = a 2 - 2ab + b 2 .

sisään) Lykkääminen (kuva 13) AB = a , BG = b , AD = a ja DE= b , muodostaa suorakulmio ACJE ja neliöt ABKD ja DEML.

Sitten neliö ACJE = neliö ABKD + neliö BCJN - neliö DEML - pl. LMNK. Mutta suorakulmiot BCJN ja LMNK ovat yhtä suuret, ja siksi niiden pinta-alat kirjoittamassamme yhtäläisyydessä kumoavat toisensa: neliö. ACJE = neliö ABKD - neliö DEML, ts.

(a + b) (a-b) \u003d a 2 - b 2.

63. Hakemukset. Näiden kaavojen avulla on joskus mahdollista kertoa polynomeja yksinkertaisemmin kuin tavallisesti. Tässä on joitain esimerkkejä:

1) (4a 3 - 1) 2 \u003d (4a 3) 2 - 2 (4a 3) 1 +1 2 \u003d 16a 6 - 8a 3 + 1

2) (x + y)(y - x) = (y + x) (y - x) = y 2 - x 2 .

3) (x + y + 1) (x - y + 1) = [(x + 1) + y] [(x + 1) - y] = (x + 1) 2 - y 2 = x 2 + 2x + 1 - klo 2.

4) (a - b + c) (a + b - c) \u003d [a - (b - c)] [a + (b - c)] \u003d

\u003d a 2 - (b - c) 2 \u003d a 2 - (b 2 - 2bc + c 2) \u003d a 2 - b 2 + 2bc - c 2

Luku neljä.

Algebrallinen jako.

64. Saman numeron valtuuksien jako. Jaetaan:

a 5: a 2 .

Koska osingon on oltava yhtä suuri kuin jakaja kerrottuna osamäärällä, ja kerrottaessa identtisten kirjainten indikaattorit lisätään, niin kirjaimen a halutussa osamäärässä on oltava luku, joka 2:een lisättynä on 5; tällainen luku on yhtä suuri kuin erotus 5 - 2. Joten:

a 5: a 2 = 5-2 = a 3

Näin löydämme: x 3: x 2 \u003d x; y 4: y = y 3 jne.

tarkoittaa, kun jaetaan saman luvun potenssit, jakajan eksponentti vähennetään osingon eksponenteista .Ellei luku, jonka potenssit ovat jaollisia, ei ole nolla. Joten et voi kirjoittaa: 0 m: 0 n = 0 m-n, koska tämä yhtäläisyys tarkoittaisi: 0:0 = 0, kun taas osamäärä 0:0 voi olla mikä tahansa luku

65. Nolla-osoitin. Jos jakamalla saman luvun potenssit jakajan indikaattori osoittautuu yhtä suureksi kuin osingon indikaattori, osamäärän on oltava yhtä suuri kuin 1; esimerkiksi: a 3 : a 3 = 1 koska a 3 = a 3 1. Sovitaan, että tässäkin tapauksessa vähennetään indikaattorit; niin osamäärässä saamme kirjaimen, jonka eksponentti on nolla:
a 3 : a 3 = a 3-3 = a 0 . Tällä indikaattorilla ei tietenkään ole sitä merkitystä, jonka liitimme indikaattoreihin aiemmin, koska on mahdotonta toistaa numeroa kertoimella 0 kertaa. Sovimme varjolla a 0 ymmärtää kirjaimen samojen potenssien jakamisen osamäärä a , ja koska tämä osamäärä on 1, otamme a 0 1:lle.

66. Monomien jako. Jaetaan se:

(12a 3 b 2 x): (4a 2 b 2) .

Kuitenkin lyhyyden vuoksi on tapana jättää sulut pois tällaisista merkinnöistä. Jaon määritelmän mukaan osamäärän on kerrottuna jakajalla oltava osinko. Siksi halutulla osamäärällä on oltava 12: 4 , eli 3 ; kirjeen hakemisto a saatu vähentämällä tämän kirjaimen osoittimesta jakajan saman kirjaimen osoittimesta kirjain b ei syötä osamäärää ollenkaan tai, joka on sama, syöttää sen indikaattorilla 0 , ja kirje X menee osamäärään eksponenttinsa kanssa.

Täten: 12a 3 b 2 x: 4a 2 b 2 = 3ah . Todentaminen: 3ah 4а 2b 2 = 12а 3 b 2 x

Sääntö. Monomin jakamiseksi monomiiksi on tarpeen jakaa osingon kerroin jakajan kertoimella, vähentää jakajan kirjainten indikaattorit osingon kirjainten indikaattoreista ja siirtää osamäärään, muuttamatta indikaattoreita, ne osingon kirjaimet, jotka eivät ole jakajassa.

Esimerkkejä.

1) 3 m 3 n 4 x: 4 m 2 nx = 3 / 4 m n 3

2) - kirves 4 v 3: - 5/6 akseli 2 \u003d + 6/5 x 3 v.

3) 0,8 ax n: - 0,02 ax = - 40x n-1 .

67. Merkkejä monomien jakamisen mahdottomuudesta. Jos kokonaislukumonomiaalien jaon osamäärää ei voida ilmaista tarkasti kokonaislukumonomilla, niin sanotaan, että tällainen jako on mahdotonta. Monomiaalien jako on mahdotonta kahdessa säteessä:

a) Kun jakajassa on kirjaimia, jotka eivät kuulu osinkoon.

Esimerkiksi et voi erottaa 4ab 2 päällä 2ax , koska mikä tahansa monomi kerrottuna 2ax antaa tuotteen, joka sisältää kirjaimen X , ja meidän jaettavissa ei ole ollenkaan sellaista kirjainta.

b) Kun minkä tahansa jakajan kirjaimen eksponentti on suurempi kuin saman kirjaimen eksponentti jaossa.

Esimerkiksi jako 10a 3 b 2: 5ab 3 mahdotonta, koska mikä tahansa monomi kerrottuna 5ab 3 , antaa tuotteessa sellaisen monominin, joka sisältää kirjaimen b eksponentti 3 tai eksponentti suurempi kuin 3, kun taas jaollisuudessamme tämä kirjain on eksponentin 2 kanssa.

Kun yksi monomi ei ole jaollinen toisella monomilla, osamäärä voidaan ilmaista vain jakomerkeillä; niin jaon osamäärä 4а 2 b: 2ac voidaan osoittaa

tai näin: 4а 2 b: 2ac , tai näin:

68. Polynomin jako monomilla.

Vaaditaan polynomin jakamista a + b - c monomiiksi m , joka voidaan ilmaista seuraavasti:

(a + b - c) : m , tai ,

Polynomi a + b - c on algebrallinen summa, ja algebrallisen summan jakamiseksi jollakin luvulla jokainen termi voidaan jakaa tällä luvulla erikseen; Siksi:

Tämä voidaan varmistaa varmentamalla: kertomalla polynomi a /m+ b /m - c /m jakajaan m , saamme osingon a + b - c

Sääntö. Polynomin jakamiseksi monomiksi on tarpeen jakaa polynomin kukin termi tähän monomiin ja lisätä tuloksena saadut osamäärät.

Tietenkin polynomin ehtojen jako monomilla tapahtuu monomioiden jakosäännön mukaisesti.

Esimerkkejä.

69. Monomin jako polynomilla. Olkoon monomi vaadittu a jakaa polynomilla b+ c-d . Tällaisen jaon osamäärää ei voida ilmaista kokonaislukumonomilla eikä kokonaislukupolynomilla, koska jos oletetaan, että osamäärä on yhtä suuri kuin jokin kokonaislukumonomiaali tai kokonaislukupolynomi, niin tämän osamäärän tulo polynomilla b+ c-d antaisi myös polynomin, ei monomia, kuten jako edellyttää. Jaon osamäärä a päällä b+ c-d voidaan osoittaa vain jakomerkeillä:

a : (b+ c-d ), tai

70. Polynomin jako polynomilla. Polynomin polynomilla jakamisen osamäärä voidaan vain harvoissa tapauksissa ilmaista kokonaislukupolynomina. Esimerkiksi:

(a 2 + 2ab + b 2 ) : (a + b) = a + b

kuten (a + b) (a + b) = (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Yleensä tällaiset osamäärät voidaan merkitä vain jakomerkillä. Esimerkiksi jaon osamäärä a - b + c päällä d-e ilmaistaisiin näin:

Tai ( a - b + c ): (d-e).

Joskus on mahdollista ilmaista osamäärä kokonaislukupolynomina, kun molemmat polynomit sijaitsevat saman kirjaimen potenssissa. Katsotaanpa, kuinka tämä tehdään seuraavalla esimerkillä:

(5x 2 - 19x 3 + 17x + 6x 4 - 4) : (1 - 5x + 3x 2) .

Kirjoitamme molemmat polynomit kirjaimen pienenevällä potenssilla X ja järjestä jako sellaisena kuin se on jaettaessa kokonaislukuja:

Oletetaan, että vaadittu osamäärä on yhtä suuri kuin jokin polynomi ja että tämän polynomin termit sijaitsevat myös kirjaimen pienentävissä potenssissa X .

Osingon tulee olla jakajan ja osamäärän tulo. Järjestettyjen polynomien kertolaskusta tiedetään, että tulon suurin termi on yhtä suuri kuin kertojan suurimman, kertojan ja suurimman termin tulo. Jaollisuudessa suurin termi on ensimmäinen, jakajassa ja osamäärässä suurimmat termit ovat myös ensimmäiset. Näin ollen osingon ensimmäinen erä ( 6x 4 ) on oltava jakajan ( 3x 2 ) osamäärän 1. termillä. Tästä seuraa: osamäärän 1. ehdon löytämiseksi riittää jakaa osingon 1. termi jakajan 1. jäsenellä. Jakamalla löydämme osamäärän 1. jäsenen 2x 2 . Kirjoitamme sen rivin alle yksityisesti.

Kerromme kaikki jakajan ehdot osamäärän 1. termillä ja vähennämme tuloksena saadun tuotteen osingosta. Tätä varten kirjoitamme sen osingon alle niin, että samankaltaiset ehdot ovat samankaltaisten ja kaikki aliosan ehdot käännetään. Saamme 1. jäännöksen vähentämisen jälkeen. Jos tämä jäännös osoittautuisi yhtä suureksi kuin nolla, tämä merkitsisi, että osamäärässä ei ole muita termejä, paitsi löydetty 1, eli että osamäärä on monomi. Jos, kuten esimerkissämme, 1. jäännös ei ole nolla, väitetään seuraavasti.

Osinko on jakajan kaikkien ehtojen ja osamäärän jokaisen ehdon tulos. Vähensimme osingosta kaikkien jakajan jäsenten tulon osamäärän 1. jäsenellä; siksi 1. jäännös sisältää kaikkien jakajan termien tulon 2.:lla, 8.lla ja sitä seuraavilla osamäärän jäsenillä. Lopun korkein termi on 1.; jakajan korkein jäsen on myös 1.; osamäärän suurin termi (lukuun ottamatta ensimmäistä) on 2. termi. Joten lopun 1. termi (- 9x 3 ) on oltava yhtä suuri kuin jakajan 1. jäsenen tulo osamäärän 2. termillä. Tästä päätämme: osamäärän 2. jäsenen löytämiseksi riittää jakaa 1. jäännöksen 1. jäsen jakajan 1. jäsenellä. Jakamalla löydämme osamäärän 2. jäsenen - Zx . Kirjoitamme yksityisesti.

Kerrotaan osamäärän 2. jäsenellä kaikki jakajan jäsenet ja vähennetään tuloksena saatu tulo 1. jäännöksestä. Saamme toisen loppuosan. Jos tämä jäännös on nolla, jako on ohi; Jos, kuten esimerkissämme, 2. jäännös ei ole yhtä suuri kuin nolla, niin väitämme seuraavasti.

2. jäännös on jakajan kaikkien ehtojen ja osamäärän 3., 4. ja sitä seuraavien ehtojen tulo. Koska näistä osamäärän jäsenistä suurin on 3., niin, kuten edellisessä, löydämme osamäärän 3. jäsenen, jos jaamme 2. jäännöksen 1. jäsenen jakajan 1. termillä. Jakamalla, löydämme - 4 . Kertomalla -4 kaikki jakajan ehdot ja vähentämällä tulo jäännöksestä, saadaan kolmas jäännös. Esimerkissämme tämä jäännös oli nolla; tämä osoittaa, että yksityinen ei voi sisältää muita jäseniä kuin löydetyt. Jos 3. jäännös ei olisi 0, niin, kuten edellinen, olisi tarpeen jakaa tämän jäännöksen 1. termi jakajan 1. termillä; tämä antaisi osamäärän 4. jäsenen ja niin edelleen.

Olisi mahdollista järjestää osinko ja jakaja saman kirjaimen nouseviin potenssiin ja sitten edetä kuten juuri sanottiin; tässä tapauksessa pitäisi luottaa siihen, että tuotteen pienin termi on yhtä suuri kuin kertojan alimman termin tulo kertoimen alimmalla termillä.

71. Esimerkkejä.

Emme kirjoittaneet tähän jakajan 1. termin tuloja 1.:llä, 2.:lla jne., osamäärän jäseniä, koska nämä tulot ovat aina yhtä suuret kuin ehdot, joilla ne on allekirjoitettu, ja niitä vähennetään aina, kun vähennetty. Yleensä he tekevät niin. Lisäksi, kun allekirjoitimme alilahjoja, kirjoitimme ne suoraan käänteisillä merkeillä.

Samalla tavalla voimme varmistaa, että erot x 5 - a 5 , x 6 - a 6 ...ja yleisesti ottaen
x m - a m jaettuna erotuksella ilman jäännöstä x - a , eli että kahden luvun samojen potenssien erotus on jaollinen näiden lukujen erolla ilman jäännöstä .

72. Merkkejä polynomien jakamisen mahdottomuudesta. Kuvatusta prosessista voidaan nähdä, että polynomin jakoa polynomilla ei voida suorittaa seuraavissa tapauksissa:

a) Jos ison kirjaimen eksponentti osingon korkeimmassa ehdossa on pienempi kuin saman kirjaimen eksponentti jakajan suurimmassa ehdossa, koska silloin osamäärän suurinta termiä ei voida saada.

b) Jos ison kirjaimen eksponentti osingon alimmassa ehdossa on pienempi kuin eksponentti. saman kirjaimen jakajan alimmassa termissä, koska silloin on mahdotonta oppia osamäärän pienintä termiä.

c) Jos pääkirjaimen indikaattorit osingon korkeimmassa ja alimmassa ehdossa eivät ole vastaavasti pienempiä kuin tämän kirjaimen indikaattorit jakajan korkeimmassa ja alimmassa ehdossa, ei voida sanoa, että jako on mahdollista. Tässä tapauksessa, jotta voimme arvioida jaon mahdollisuutta tai mahdottomuutta, meidän on aloitettava itse toiminnon suorittaminen ja jatkettava sitä, kunnes olemme lopulta vakuuttuneita mahdollisuudesta tai mahdottomuudesta saada osamäärä polynomin muodossa.

Tässä tapauksessa on erotettava kaksi tapausta:

I. Kun polynomit on järjestetty pääkirjaimen pieneneviin potenssiin, ne jatkavat toimintoa kunnes jäännös on 0 (jako on mahdollista ja valmis) tai kunnes ne saavuttavat sellaisen jäännöksen, jonka 1. termi sisältää pääkirjaimen kirjain, jonka indikaattori on pienempi kuin jakajan 1. termin indeksi (jako on mahdotonta). Esimerkiksi:

Jako on mahdotonta, koska olemme saavuttaneet sellaisen jäännöksen, jossa 1. termi ei ole jaollinen jakajan 1. termillä.

II. Kun polynomit on järjestetty kasvaviin potenssiin, niin riippumatta siitä, kuinka paljon jatkamme jakoa, emme koskaan saa sellaista jäännöstä, jossa ensimmäisen jäsenen eksponentti olisi pienempi kuin jakajan 1. jäsenen eksponentti, koska tällaisella järjestelyllä ison kirjaimen indeksit ensimmäisten jäsenten jäännöksissä kasvavat. Esimerkiksi:

Jatkamme toimintaa edelleen, saisimme yksityisen termin - 4a 3 , mutta jos olisi mahdollista saada kokonaislukuosamäärä (ilman jäännöstä), niin sen viimeisen jäsenen pitäisi olla 5a 2 (osingon suurimman jäsenen jakamisesta jakajan korkeimmalla jäsenellä); jakaminen on siis mahdotonta.

Kommentti. Polynomien jako on kuvattu tarkemmin 2. osassa, § 390 et seq.

Luku viisi.

Faktorisointi.

73. Alustava huomautus. Algebrallisesta jaosta puhuttaessa huomautimme, että joissakin tapauksissa osamäärä voidaan merkitä vain jakomerkillä. Tuloksena olevat lausekkeet ovat seuraavanlaiset:

jne.,

nimeltään algebralliset murtoluvut näiden lausekkeiden samankaltaisuudesta aritmeettisten murtolukujen kanssa.

Pian näemme, että algebrallisia murtolukuja, kuten aritmeettisia, voidaan joskus yksinkertaistaa vähentämällä (eli jakamalla) osinko ja jakamalla niiden yhteisillä kertoimilla, jos niitä on. Jotta tällainen pelkistys olisi mahdollista ilman vaikeuksia, on opittava jakamaan algebrallisia lausekkeita tekijöihin (kuten aritmetiikassa, murtolukujen pienentämiseksi on osattava tekijöitä kokonaislukuja niiden muodostaviksi tekijöiksi).

74. Kokonaislukumonomien hajottaminen. Otetaan esimerkiksi jokin kokonaislukumonomiaali. 6a2b 3 . Koska se on tuote, se voidaan yhden tyypin perusteella hajottaa välittömästi ainesosiksi. Niin:

6a2b 3 =2 3 (aa) (bbb) = 2 3aabbb.

Yhdistämällä nämä tekijät joihinkin ryhmiin (käyttäen kertolaskun assosiatiivista ominaisuutta), voimme osoittaa erilaisia ​​laajennuksia tälle monomialle, esimerkiksi:

6a2b 3 =(6a) (ab 3) \u003d (2a 2 b) (3b 2) \u003d (Zab 2) (2ab) jne.

75. Polynomien hajottaminen. Osoitetaan yksinkertaisimmat tapaukset, joissa polynomi voidaan kertoa.

a) Kuten (a + b - c) m = am + bm - cm , ja päinvastoin:

am + bm - cm = (a + b - c) m .

Täten, jos kaikki polynomin termit sisältävät yhteisen tekijän, se voidaan ottaa pois suluista.

Esimerkiksi: 1) x 6 -2x 2 + 3x \u003d x (x 5 -2x + 3).

2) 16a 2 - 4a 3 \u003d 4a 2 (4 - a).

3) 5 m (x - 1) + 3n (x - 1) = (x - 1) (5 m - 3 n).

b) Kuten

(a + b) (a-b) \u003d a 2 - b 2

ja päinvastoin:

a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a-b)

Täten, binomi, joka on yhden luvun neliö ilman toisen luvun neliötä, voidaan korvata näiden lukujen summan tulolla niiden erotuksella.

sisään) Kuten (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ja (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 , ja päinvastoin:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (a + b) (a + b) ja

a 2 - 2ab + b 2 = (a - b) 2 ==(a - b) (a - b) ,

Joten trinomi, joka on minkä tahansa kahden luvun neliöiden summa, joka on lisätty tai vähennetty kaksinkertaisesti näiden lukujen tulolla, voidaan nähdä näiden lukujen summan tai eron neliönä.

Esimerkkejä.

1) a 2 + 2a +1 . Kuten 1=1 2 ja 2a = 2a 1 , sitten

a 2 + 2a +1 = (a + 1) 2 .

2) x 4 + 4 - 4x 2 . Tässä x 4 \u003d (x 2) 2, 4 \u003d 2 2 ja 4x 2 = 2x 2 2 ;

Siksi: x 4 + 4 - 4x 2 = (x 2 - 2) 2 . Senkin voi kirjoittaa

x 4 + 4 - 4x 2 = (2x2) 2 , koska ne ovat binomeja. x 2-2 ja 2x2 , kun ne on korotettu neliöön, anna trinomaalit, jotka eroavat vain termien järjestyksessä:

(x 2 - 2) 2 = x 4 + 4 - 4x 2 ; (2x2) 2 = 4 - 4x 2 + x4 .

3) -x + 25x 2 + 0,01 . Tässä on kaksi ruutua: 25x2 = (5x) 2 ja 0,01 = 0,1 2 . Lukujen 5x ja 0,1 kaksoistulo on: 2 5x 0,1 = x . Koska tässä trinomissa molemmat neliöt ovat +-merkillä ja kaksoistulo (ts. X ) merkillä -, sitten

-x + 25x 2 + 0,01 = 25x2 - X + 0,01 = (5x - 0,1) 2 = (0,1 - 5x) 2 .

4) - x 2 - y 2 + 2xy. Laitetaan merkki - pois suluista: - ( x 2 + y 2 - 2xy ). Trinomi suluissa on ilmeisesti (x-y) 2 .

- x 2 - y 2 + 2xy = - (x 2 + y 2 - 2xy ) = - (x - y) 2 = - (y-x) 2 .

d) Joskus polynomi voidaan kertoa yhdistämällä sen jäsenet joihinkin ryhmiin.

Luku kuusi.

Algebralliset murtoluvut.

76. Ero algebrallisen ja aritmeettisen murtoluvun välillä. Kuten aiemmin totesimme, kahden algebrallisen lausekkeen jaon osamäärä siinä tapauksessa, että jako on vain osoitettu, kutsutaan algebrallinen murtoluku. Näitä ovat esimerkiksi ilmaisut:

Tällaisissa lausekkeissa osinkoa kutsutaan osoittajaksi, jakaja on nimittäjä ja molemmat ovat murtoluvun termejä.

Muista, että aritmeettinen murtoluku on myös jakamalla osoittaja nimittäjällä. Näin ollen murto-osa 3/5 ei tarkoita vain kolmea tällaista osaketta, jotka sisältyvät yksikköön viisi; tämä murtoluku tarkoittaa myös kolmen yksikön viidettä osaa, eli se on osamäärä, jossa 3 jaetaan 5:llä. Mutta ero algebrallisen ja aritmeettisen murtoluvun välillä on se, että aritmeettinen murtoluku on yhden positiivisen kokonaisluvun jakaminen toisella positiivisella kokonaisluvulla , niin samoin kuin algebrallinen murtoluku on minkä tahansa lukujen, sekä kokonaislukujen että murtolukujen, sekä positiivisten että negatiivisten, jaon osamäärä. Esimerkiksi ilmaisuja:

ei voida kutsua aritmeettisiksi murtoluvuiksi; nämä ovat algebrallisten murtolukujen erikoistapauksia. Siten algebrallinen murtoluku on laajempi käsite kuin aritmeettinen murtoluku; se sisältää aritmeettisen murtoluvun erikoistapauksena.

Tästä erosta huolimatta kaikki aritmeettisen murtoluvun ominaisuudet kuuluvat, kuten tässä luvussa nähdään, algebralliseen murto-osaan.

77. Murtoluvun pääominaisuus. Koska murto-osa on jakamalla osoittaja nimittäjällä, eikä osamäärä muutu kertomalla (tai jakamalla) osinko ja jakaja samalla luvulla (paitsi nolla) (1 § 34, e), niin sama omaisuus kuuluu murto-osaan, ts. murto-osan arvo ei muutu, jos sen osoittaja ja nimittäjä kerrotaan (tai jaetaan) samalla luvulla (paitsi nolla) . Jos esimerkiksi kerromme murtoluvun osoittajan ja nimittäjän

laitetaan päälle - 4 / 9 , niin meillä on: entinen murtoluku

uusi murto:

näemme, että murto-osan arvo pysyy samana.

Tätä murto-osan ominaisuutta käyttämällä voimme suorittaa algebrallisille murtoluvuille samat muunnokset kuin aritmetiikassa aritmeettisille murtoluvuille, eli voimme mahdollisuuksien mukaan vähentää murtolukuja ja saattaa ne tarvittaessa yhteen nimittäjään. Tarkastellaan näitä muunnoksia ja tuodaan esiin muita, joita ei käytetä aritmetiikassa.

78. Murtoluvun jäsenten pelkistäminen kokonaislukumuotoon. Jos tapahtuu, että murto-osan jäsenet itse sisältävät murtolukuja, niin kertomalla ne oikein valitulla luvulla tai algebrallisella lausekkeella päästään eroon näistä murtoluvuista.

Esimerkkejä.

79. Murtoluvun jäsenten etumerkkien muutos. Murtoluvun osoittajan ja nimittäjän edessä olevan etumerkin kääntäminen on kuin kertoisit ne -1:llä, mikä ei muuta murtoluvun arvoa. Niin:

Huomaa, että jos muutamme etumerkkiä minkä tahansa murto-osan jäsenen edessä ja samalla vaihdamme etumerkkiä itse murto-osan edessä, niin murto-osan arvo ei myöskään muutu; esimerkiksi:

Näitä jakeen ominaisuuksia voidaan joskus käyttää sen johonkin muuntamiseen; esimerkiksi:

80. Murtolukujen vähentäminen. Algebrallisen murtoluvun pienentämiseksi on, jos mahdollista, ensin löydettävä sellainen algebrallinen lauseke, jolla murtoluvun molemmat termit ovat jaollisia, ja sitten jakaa ne tällä lausekkeella. Mieti, kuinka se on kätevintä tehdä se seuraavissa kahdessa tapauksessa.

a) Otetaan murtoluku, jossa molemmat termit ovat kokonaislukumonomeleja; esimerkiksi:

Kertoimet 12 ja 20 ovat jaollisia 4:llä ja kirjaimelliset lausekkeet ovat jaollisia a ja edelleen x 2 , Joten tätä murto-osaa voidaan pienentää 4ax 2 :

(murtoluvun yläpuolelle kirjoitimme ne yhteiset tekijät, joilla vähennämme murtolukua; jakamisen sijaan 3ax päällä 5 jaettiin 5 vain kerroin 3 ).

b) Jos murtoluvulla on osoittaja tai nimittäjä (tai molemmat) ovat polynomeja, nämä polynomit on ensin otettava huomioon (kuten on osoitettu); jos niiden joukossa ovat samat, murto-osaa voidaan vähentää niissä.

Esimerkkejä.

(kahdella jakamisen sijaan asetetaan kertominen 1/2:lla, mikä vastaa jakamista kahdella).

81. Murtolukujen pelkistäminen yhteiseksi nimittäjäksi,

a) Vaaditaan vähentämään yhteiseen nimittäjään murto-osat, joiden nimittäjät ilmaistaan ​​numeroina, esimerkiksi:

Tätä varten jaamme nimittäjät alkutekijöiksi:

3; 15 = 3 5; 18 = 2 3 3

ja löytää niiden pienin kerrannainen; tämä on 2 3 3 5 = 90. Etsi nyt jokaiselle nimittäjälle lisäkerroin, jolla tämä nimittäjä kerrotaan, jolloin saadaan sen sijaan 90. Nämä lisätekijät ovat:

90:3 = 30; 90:15 = 6, 90:18 = 5.

Jotta murtoluvut eivät muuta arvoaan, on tarpeen kertoa osoittajat samoilla luvuilla, joilla kerromme nimittäjät:

(Lisäkertoimet kirjoitetaan murtolukujen yläpuolelle).

b) Otetaan nyt murtoluvut, joiden nimittäjät ovat kirjaimellisia monomialeja; esimerkiksi:

Yhteisenä nimittäjänä voidaan tietysti ottaa 30ab 2 . Lisäkertoimet ovat silloin: 15ab, 10b ja 6 :

Otetaan jokainen nimittäjä kertoimella. Kaksi ensimmäistä eivät hajoa, ja kolmas = (a + b) (a - b) . Yhteinen nimittäjä siis tulee olemaan a 2 - b 2 ja saamme:

d) Saattaa käydä niin, ettei yhdelläkään nimittäjiparilla ole yhteisiä tekijöitä. Sitten on edettävä kuten samassa tapauksessa aritmetiikassa, nimittäin: kerro jokaisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kaikkien muiden murtolukujen merkitsevän tulolla. Esimerkiksi:

82. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku. Jakamalla polynomi monomilla, voimme kirjoittaa:

Lukemalla näitä yhtäläisyyksiä oikealta vasemmalle löydämme:

1) Jos haluat lisätä murtolukuja samoilla nimittäjillä, voit lisätä niiden osoittajat ja allekirjoittaa saman nimittäjän summan alle ;

2) jos haluat vähentää murto-osia, joilla on sama nimittäjä, voit vähentää niiden osoittajat ja merkitä saman nimittäjän erotuksen alle;

Jos murtoluvun yhteen- tai vähennystiedoissa on eri nimittäjiä, ne on ensin saatettava samaan nimittäjään. Esimerkiksi:

Vähennyksen tuloksena saamme:

83. Murtolukujen kertolasku. Jos haluat kertoa murto-osan murtoluvulla, voit kertoa osoittajan osoittajalla ja nimittäjän nimittäjällä ja ottaa ensimmäisen tulon osoittajaksi ja toisen nimittäjäksi, eli

Muista tämän säännön selitys, jota sovelletaan aritmeettisiin murtolukuihin. Anna sen moninkertaistua 2 / 3 4 / 5 Se tarkoittaa löytää 4 / 5 alkaen 2 / 3 (esim. löytää 4 / 5 pituus yhtä suuri kuin 2 / 3 metriä). Tätä varten sinun on ensin löydettävä 1 / 5 alkaen 2 / 3 ja sitten 4 / 5 alkaen 2 / 3 . Löytää 1 / 5 alkaen 2 / 3 tarpeellista 2 / 3 vähentää 5 kertaa; saamme 2 / 15 . Löytääksesi nyt 4 / 5 alkaen 2 / 3 , tarpeellista 2 / 15 kasvaa 4 kertaa; saamme 8 / 15 . Täten:

Nyt tarkistamme tämän säännön algebrallisille murtoluvuille, kun numerot a, b, c ja d tulee olemaan mitä tahansa. Oletetaan ensin, että kaikki nämä luvut ovat positiivisia, mutta eivät kokonaisia, vaan murtolukuja. Olkoon esimerkiksi:

Korvataan nämä luvut yhtälöön (1), lasketaan erikseen sen vasen ja oikea osa ja verrataan saatuja tuloksia (laskettaessa ohjataan aritmeettisten murtolukujen jako- ja kertolaskusääntöjä):

(emme suorita lopullista laskelmaa).

Etsitään nyt tasa-arvon oikea puoli (1):

Vertaa saatuja tuloksia, huomaamme, että ne ovat samat, koska (kokonaisluvun kertolaskujen kommutatiivisen ominaisuuden mukaan) 2 8 5 4 = 2 5 8 4 ja 3 7 6 9 = 3 6 7 9. Näin ollen yhtäläisyys (1) pysyy totta ja tässä tapauksessa.

Oletetaan nyt, että joistakin luvuista a, b, c ja d tulee negatiivisia. olkoon esimerkiksi a = - 2/3 ( b, c ja d on samat arvot). Sitten murto-osa a / b muuttuu negatiiviseksi, ja yhtälön (1) koko vasen puoli on myös negatiivinen luku. Teoksen oikealla puolella ässä muuttuu negatiiviseksi, ja siksi koko oikea puoli on myös negatiivinen luku. Vasemman ja oikean puolen itseisarvo pysyy samana. Näin ollen tasa-arvoa (1) ei rikota. Varmistamme myös, että yhtälö (1) pysyy totena, vaikka muut luvut muuttuvat negatiivisiksi.

Kaikki, mitä olemme juuri sanoneet tietystä esimerkistä, voidaan toistaa minkä tahansa muun esimerkin kohdalla; näin ollen yhtäläisyys (1) on totta kaikille kirjainten arvoille a, b, c ja d .

84. Murtolukujen jako. Jos haluat jakaa murtoluvun murtoluvulla, voit kertoa ensimmäisen murtoluvun osoittajan toisen nimittäjällä, ensimmäisen nimittäjä toisen osoittajalla ja ottaa ensimmäisen tulon osoittajaksi ja toisen nimittäjäksi. , eli

Että tämä yhtäläisyys on totta kaikille luvuille a, b, c, d , voit varmistaa yksinkertaisella jaon tarkistamisella: kertomalla osamäärä jakajalla (yllä todistetun murtolukujen kertomissäännön mukaisesti), saamme osingon:

85. Huomautuksia. 1) Siitä lähtien ilmoitus /bc=a/bd/ c , niin jakosääntö voidaan ilmaista toisella tavalla: Jos haluat jakaa murto-osan murtoluvulla, voit kertoa ensimmäisen murtoluvun toisen käänteisluvulla.

2) Mitä tahansa algebrallista kokonaislukulauseketta voidaan pitää murtolukuna, jossa osoittaja on tämä kokonaislukulauseke ja nimittäjä on 1; esimerkiksi.

a = a/1 ; 3x 2 = 3x 2 /1 jne.

Siksi meidän antamia sääntöjä murtolukujen toiminnasta voidaan soveltaa myös sellaisiin tapauksiin, joissa jokin näistä lausekkeista on kokonaisluku, tämä kokonaisluku on vain kuvattava (ainakin mielessään) murtolukuna. Esimerkiksi:

86. Yhtälön vapauttaminen nimittäjistä. Olkoon yhtälö annettu:

Käännettävä 6 3 / 5 väärään murto-osaan ja yhdistä kaikki termit samaan nimittäjään:

Kerro nyt kaikki ehdot 10:llä; silloin nimittäjä 10 tuhoutuu ja saamme yhtälön ilman murtolukuja:

Virheiden välttämiseksi olemme sisällyttäneet binomiaalin 7x-2 suluissa osoittaakseen, että -merkki tässä yhtälössä toisen murtoluvun edessä ei viittaa 7x , ja koko binomiaaliin 7x-2 (toisen murtoluvun osoittajaan). Laajentamalla näitä sulkuja vähennyssäännön mukaan, saamme:

Täten, yhtälön vapauttamiseksi nimittäjistä on tarpeen saattaa kaikki sen ehdot samaan nimittäjään ja kertoa ne sitten tällä nimittäjällä (toisin sanoen, pudota se ).

Luku seitsemäs.

suhdetta ja suhdetta.

87. Asenne. Usein on tarpeen verrata yhtä arvoa toiseen arvoon, joka on sille homogeeninen, jotta saadaan selville, kuinka monta kertaa ensimmäinen arvo sisältää toisen.

Tätä tarkoitusta varten voidaan esimerkiksi verrata esineen painoa toisen esineen painoon, yhden tuotteen hintaa toisen tuotteen hintaan jne. Kaikissa tällaisissa tapauksissa vertailun tulos ilmaistaan ​​numeroina , joka voi olla sekä kokonaisluku että kokonaisluku, jossa on murtoluku ja murtoluku. Verrataanpa esimerkiksi pituutta a eri pituisilla b , ja vertailun tulokseksi tuli kokonaisluku 3 .

Tämä tarkoittaa, että pituus a sisältää pituuden b tasan 3 kertaa (toisin sanoen a lisää b 3 kertaa).

Jos vertailun tulos on kokonaisluku ja murto-osa, esim. 2 1/2, tämä tarkoittaa sitä a sisältää b 2 1/2 kertaa ( a lisää b 2 1/2 kertaa).

Jos lopulta vertailun tulos on murto-osa, laita 3/4, niin a ei sisällä b ei kerran, vaan vain 3/4 b .

Kaikissa näissä tapauksissa vertailun tulos on abstrakti luku, jolla toinen arvo on kerrottava, jotta ensimmäinen saadaan. Joten esimerkeissämme:

a = b3; a = b 2 1/2; a = b 3/4;

Tulosta, kun yhtä suuretta verrataan toiseen homogeeniseen suureen, kutsutaan yleensä ensimmäisen suuren suhteeksi toiseen. tarkoittaa, yhden suuren suhde toiseen homogeeniseen suureen on abstrakti luku, jolla toinen suure on kerrottava ensimmäisen saamiseksi. Koska tämä luku on ensimmäisen arvon jakamisen osamäärä toisella, suhde osoitetaan jakomerkillä. Eli voit kirjoittaa:

a / b (tai a:b) =3; a / b = 2 1 / 2 a / b = 3 / 4 . jne.

Arvoja, joiden välillä suhde otetaan, kutsutaan suhteen jäseniksi, jolloin ensimmäistä arvoa kutsutaan edelliseksi jäseneksi ja toista seuraavaksi.

Jos suuret mitataan samalla yksiköllä ja ilmaistaan ​​numeroina, niiden suhde voidaan korvata näiden lukujen suhteella. Esimerkiksi kahden painon suhde, joista toinen on 80 g ja toinen 15 g, on yhtä suuri kuin lukujen 80 ja 15 suhde, eli se on yhtä suuri kuin osamäärä 80:15, joka on 5 1 / 3 ; samoin 30° kulman suhde oikeaan kulmaan on yhtä suuri kuin osamäärä 30:90, eli murto-osat 1 / 3

On tarpeen verrata keskenään suurimmaksi osaksi positiivisia määriä; siksi sekä suhteen termit että itse relaatio oletetaan ilmaistuna positiivisina lukuina.

88. Suhteen ja sen jäsenten välinen riippuvuus sama kuin osingon, jakajan ja osamäärän välillä.

a) Edellinen termi on yhtä suuri kuin seuraava kerrottuna suhteella (osinko on yhtä suuri kuin jakaja kerrottuna osamäärällä). Jos esimerkiksi jonkin tuntemattoman luvun suhde X numeroon 100 on yhtä suuri 2 1 / 2 , sitten X = 100 2 1 / 2 = 250 .

b) Seuraava termi on yhtä suuri kuin edellinen jaettuna suhteella (jakaja on yhtä suuri kuin osinko jaettuna osamäärällä). Joten, jos tiedetään, että 15: X = 5 siis X = 15: 5 = 3.

sisään) Suhde ei muutu, jos sen molemmat jäsenet kerrotaan tai jaetaan samalla luvulla (osamäärä ei muutu, jos...).

89. Suhteen jäsenten tuominen koko muotoon. Kertomalla molemmat suhteen termit samalla luvulla, voidaan relaatio murto-osien jäsenillä korvata kokonaislukujen suhteella. Kyllä, asenne 7 / 3 : 5 kertomalla sen jäsenet kolmella, se muuttuu kokonaislukujen suhteeksi 7:15; suhde 9 / 14: 10 / 21, kun sen termit on kerrottu yhteisellä nimittäjällä 42, muuttuu myös kokonaislukujen suhteeksi 27: 20.

90. Suhteen vähentäminen. Jos suhteen molemmat jäsenet ovat jollain yhteisellä jakajalla jaettavia kokonaislukuja, niin tällainen relaatio voidaan pelkistää. Joten suhde 42:12 jakamalla sen jäsenet 6:lla olisi 7:2.

91. Käänteinen suhde. Jos järjestämme suhteen ehdot uudelleen, eli saamme edellisen termin seuraamaan ja päinvastoin, niin saadaan uusi relaatio, jota kutsutaan edellisen käänteissuhteeksi. Siten mittarin suhde senttimetriin on käänteinen senttimetrin ja metrin suhteelle; ensimmäinen on yhtä suuri kuin luku 100, toinen on yhtä suuri kuin käänteisluku 0,01.

92. Osuus. Kun huomioidaan, että kilogramman suhde grammaan on 1000 ja että kilometrin suhde metriin on myös 1000, voimme kirjoittaa yhtälön:

tai kilogramma: gramma = kilometri: metri, joka kuuluu seuraavasti: kilogramman suhde grammaan on yhtä suuri kuin kilometrin suhde metriin; tai näin: kilo on suhteessa grammaan kuin kilometri liittyy metriin (tai muuten näin: kilogramma on yhtä monta kertaa suurempi kuin gramma kuin kilometri on suurempi kuin metri).

Kahden suhteen yhtäläisyyttä kutsutaan suhteeksi. Tietenkin kussakin suhteessa olevien määrien on oltava homogeenisia; joten esimerkissämme ensimmäisen suhteen arvot ovat painoja ja toisen suhteen arvot ovat pituuksia.

Neljästä osuuden muodostavasta arvosta ensimmäistä ja neljättä kutsutaan ääritermeiksi, toinen ja kolmas ovat keskitermejä, ensimmäinen ja kolmas ovat edellisiä, toinen ja neljäs ovat seuraavat. yhdet. Viimeistä määrää kutsutaan myös neljänneksi verrannolliseksi kolmeen ensimmäiseen suureen.

Oletetaan, että osuuden kaikki neljä termiä ilmaistaan ​​numeroina; kutsumme tällaista suhdetta numeeriseksi.

93. Numeerisen osuuden pääominaisuus. Oletetaan, että meillä on seuraavat numeeriset suhteet:

21/7 = 15/5 (kukin suhde = 3)

Otetaan kussakin suhteessa ääritermin tulo ja keskitermien tulo ja verrataan niitä toisiinsa. Ensimmäisessä suhteessa äärimmäisyyksien tulo on

21 5=105 ja keskiarvojen tulo on 7 15=105; toisessa suhteessa ääriarvojen tulo \u003d 2 1/2 3 = 7 1/2 ja keskiarvojen tulo = 3/4 10 = 7 1/2

Siten kussakin otetussa suhteessa äärimmäisten termien tulo on yhtä suuri kuin keskimmäisten termien tulo.

Osoittaaksemme, että tämä ominaisuus kuuluu mihin tahansa numeeriseen suhteeseen, otetaan suhde kirjaimellisessa muodossa:

a / b = kanssa / d

Koska kumpikin kahdesta suhteesta, jotka muodostavat osuuden, on osamäärä, jossa edellinen termi jaetaan seuraavalla, voimme sanoa, että suhde on kahden murtoluvun yhtäläisyys. Tuodaan nämä murtoluvut yhteiseen nimittäjään bd .

Kerromme nyt yhtälön molemmat puolet luvulla bd (josta tasa-arvoa ei rikota); silloin yhteinen nimittäjä pienenee ja saamme yhtäläisyyden:

ad = cb ,

ilmaisee, että missä tahansa numeerisessa suhteessa ääritermin tulo on yhtä suuri kuin keskimmäisten termien tulo.

Tästä seuraa, että osuuden kukin äärimmäinen jäsen on yhtä suuri kuin keskiarvojen tulo jaettuna toisella ääripäällä, ja osuuden kukin keskimääräinen jäsen on yhtä suuri kuin ääriarvojen tulo jaettuna toisella keskiarvolla. Tämä antaa meille mahdollisuuden ratkaista nopeasti suhteina annettuja yhtälöitä; esim. yhtälöstä

10 / x = 45 / 20

tulosta suoraan: X = 10 20 / 45 = 4 4 / 9 .

94. Käänteinen ehdotus. Oletetaan, että meillä on 4 numeroa siten, että niistä kahden tulo on yhtä suuri kuin kahden muun tulo, esimerkiksi:

Voimme muuttaa tällaisen tasa-arvon sarjaksi mittasuhteita. Tätä varten jaamme molemmat osat kuhunkin näistä teoksista:

5 30; 5 2; 12 30; 12 2,

jossa yksi tekijä otetaan yhdestä tietystä tuotteesta ja toinen toisesta. Sitten saamme 4 muuta yhtälöä (jos jaamme yhtä suuret luvut yhtäläisiksi, saamme yhtäläiset), nimittäin:

Pienentämällä kaikkia näitä murtolukuja löydämme:

Näin saadaan 4 suhdetta, joissa ääritermit ovat yhden tietyn tuotteen tekijöitä ja keskitermit toisen tietyn tuotteen tekijöitä.

Samalla tavalla voimme kääntää yhtälön 0,3 4 = 6 0,2 seuraaviin suhteisiin:

tai tasa-arvo: 5x = 3v voimme muuntaa mittasuhteiksi:

5:3=y:x ; x:y=3:5 , jne.

Jos siis kahden luvun tulo on yhtä suuri kuin kahden muun luvun tulo, niin näistä neljästä luvusta voidaan tehdä suhteita ottamalla yhden tulon kertoimet äärielimiksi ja toisen tulon kertoimet keskijäseniksi. mittasuhteista.

95. Seuraus. Millä tahansa numeerisella suhteella voidaan järjestää uudelleen keskitermit keskenään, ääritermit keskenään tai laittaa keskiarvot äärimmäisyyksien tilalle ja päinvastoin, koska tällaiset permutaatiot eivät riko äärimmäisyyksien ja ääripäiden tulon välistä tasa-arvoa. keskiarvojen tuloa ja siten lukujen suhteellisuutta ei rikota.

96. Geometrinen keskiarvo. Otetaan suhde, jossa keskitermit ovat samat; Esimerkiksi:

Tällaisen osuuden toistuvaa termiä kutsutaan geometrinen keskiarvo osuuden kahden muun jäsenen lukumäärä: 12 on 36:n ja 4:n geometrinen keskiarvo. Jos siis halutaan löytää kahden luvun geometrinen keskiarvo a ja b , merkitsee sitä kirjaimella X , voimme kirjoittaa osuuden:

a:x=x:b

x 2 = ab

Näin ollen kahden annetun luvun geometrinen keskiarvo on sellainen kolmas luku, jonka neliö on yhtä suuri kuin annettujen lukujen tulo. Esimerkiksi lukujen 25 ja 4 geometrinen keskiarvo on 10, koska 10 2 = 25 4 .

97. Aritmeettinen keskiarvo. Useiden annettujen lukujen aritmeettinen keskiarvo on osamäärä, joka jaetaan näiden lukujen summalla niiden lukumäärällä. Esimerkiksi neljän luvun: 10, -2, -8 ja 12 aritmeettinen keskiarvo on:

Aritmeettisella keskiarvolla on se ominaisuus, että jos näitä lukuja lisättäessä korvataan jokainen niistä aritmeettisella keskiarvolla, niin summa ei muutu tästä korvauksesta. Näin ollen lukujen 10, -2, -8 ja 12 summa on yhtä suuri kuin 12 ja summa 3+3+3+3 on myös 12. Oletetaan esimerkiksi, että tehtaan tuottavuus kuluvan vuoden neljä ensimmäistä kuukautta verrattuna edellisen vuoden joulukuun tuottavuuteen nousivat: tammikuussa 10 ° / o, helmikuussa -2%, maaliskuussa -8% (mikä tarkoittaa, että tuottavuus on laskenut viimeisen 2 kuukauden aikana) ja huhtikuussa + 12 %. Sitten voidaan sanoa, että keskimääräinen tuottavuuden kasvu näiden 4 kuukauden aikana on 3 % kuukaudessa. Tämä on ymmärrettävä siten, että tehtaan tuottavuus kaikilla 4 kuukaudella osoittautui samaksi kuin jos se kasvaisi joka kuukausi samalla tavalla, eli 3 % (verrattuna joulukuun tuottavuuteen). Samalla tavalla puhutaan usein keskituloista, keskimääräisestä liikkumisnopeudesta, keskimääräisestä väestötiheydestä jne. Kaikissa tällaisissa ilmaisuissa viitataan, että puhumme aritmeettisesta keskiarvosta.

98. Johdetut mittasuhteet. Mistä tahansa suhteesta sen ehtojen muuttamisen lisäksi voit saada joitain muita suhteita, joita kutsutaan johdannaisiksi. Otetaan kaksi niistä esiin.

Jos kutakin osuuden muodostavaa yhtäläistä suhdetta suurennetaan tai vähennetään 1:llä, suhteiden välinen tasa-arvo ei tietenkään rikota. Siksi jos

Tuomalla 1 yhteiseen nimittäjään sen murtoluvun kanssa, johon sitä sovelletaan tai josta se vähennetään, saadaan:

Voimme ilmaista kaksi johdettua suhdetta, jotka olemme johtaneet seuraavasti: missä tahansa suhteessa ensimmäisen suhteen ehtojen summa tai erotus liittyy tämän suhteen seuraavaan termiin samalla tavalla kuin toisen suhteen ehtojen summa tai erotus liittyy tämän suhteen seuraavaan termiin.

Jaamme tasa-arvon (1) ja (2) tällä yhtäläisyydellä a /b=c/ d sitten nimittäjät b ja d pienennä, ja saamme vielä kaksi johdettua suhdetta:

joka voidaan ilmaista näin: ensimmäisen suhteen jäsenten summa tai erotus liittyy tämän suhteen edelliseen jäseneen samalla tavalla kuin toisen suhteen jäsenten summa tai erotus liittyy tämän suhteen edelliseen jäseneen.

Jakamalla termin termillä yhtäläisyys (1) yhtäläisyydellä (2), saamme myös seuraavan johdannaissuhteen:

joka voidaan ilmaista näin: ensimmäisen suhteen ehtojen summa liittyy niiden eroon samalla tavalla kuin toisen suhteen termien summa niiden eroon.

Järjestämällä keskitermit uudelleen kahteen johdettuun suhteeseen, saadaan muita johdettuja suhteita, jotka on hyödyllistä huomioida:

99. Tasa-arvoisten suhteiden ominaisuus. Otetaan esimerkiksi useita yhtäläisiä suhteita, kuten:

30/10 = 6/2 = 15/5 (kukin suhde = 3).

Lisätään kaikki edelliset termit toisiinsa ja kaikki seuraavat termit toisiinsa ja katsotaan mikä näiden kahden summan suhde on. Edellisten summa on: 30 + 6 + 15 = 51; seuraavien summa: 10 + 2 + 5 = 17. Näemme, että ensimmäisen summan suhde toiseen on sama luku 3, joka on yhtä suuri kuin nämä suhteet, joten voimme kirjoittaa:

Osoittaaksemme, että tämä ominaisuus on yhteinen, otetaan useita yhtäläisiä suhteita kirjaimellisessa muodossa:

Koska edellinen termi on yhtä suuri kuin seuraava termi kerrottuna suhteella, niin

a = bq, c = dq, e = fq , . . .

ja siten a + c + e + . . . = bq + dq + fq + . . .

eli a + c + e. . =q(b + d + f + . . .)

Jaa tämän yhtälön molemmat puolet summalla b + d + f + . . .

siten:

Täten, jos useat suhteet ovat yhtä suuria keskenään, niin niiden kaikkien aikaisempien ehtojen summa liittyy kaikkien myöhempien termien summaan, koska mikä tahansa edellisistä liittyy seuraavaan.

Koska jokainen suhde koostuu kahdesta yhtä suuresta suhteesta, myös tämä ominaisuus kuuluu suhteeseen.

100. Aritmeettinen sovellus.(Suhteellinen jako.) Jaetaan luku 60 kolmeen osaan suhteessa lukuihin b, 7 ja 8. Tämä tulee ymmärtää siten, että 60 on jaettava sellaiseen kolmeen osaan x, y ja z , kohteeseen X niin käsitelty 5 kuin klo viittaa kohtaan 7 ja miten z viittaa 8:aan, eli

x / 5 = y / 7 = z / 8

Käyttämällä yhtäläisten suhteiden ominaisuuksia, löydämme:

Mutta x + y + z = 60

Täältä löydämme:

101. Geometrinen sovellus. Olkoon kaksi monikulmiota samanlaisia ​​ja yhden sivut samanlaisia a, b, c, d, ..., ja vastaavat, toisten puolet a", b", c", d", ... Sitten

a / a" = b / b" = c / c" = d / d" = ...

eli samanlaisten monikulmioiden kehät liittyvät samanlaisiin sivuihin .

Kommentti. Johdettuja suhteita ja yhtäläisten suhteiden ominaisuutta voidaan joskus käyttää suhteeksi annetun yhtälön nopeaan ratkaisemiseen. Annetaan esimerkkejä.

Tehdään derivaattasuhde: ensimmäisen suhteen jäsenten summa liittyy saman suhteen seuraavaan jäseneen samalla tavalla kuin. . .

Sitten saamme:

3 /x=47/ 7

missä

x = 21 / 47

Tehdään derivaattasuhde: ensimmäisen suhteen jäsenten summa liittyy niiden eroon samalla tavalla kuin. . . Sitten saamme:

Tehdään uusi suhde: edellisten summa liittyy seuraavien summaan samalla tavalla kuin. . . :

Tehdään nyt derivaattasuhde: ensimmäisen suhteen termien summa liittyy tämän suhteen seuraavaan termiin samalla tavalla kuin. . . :

Luku kahdeksas.

Suhteellinen riippuvuus (suora ja käänteinen).

102. Suhteellinen riippuvuus. Kaikki tietävät kokemuksesta, että jos veden tilavuus kasvaa (tai pienenee) missä tahansa suhteessa, sen paino kasvaa (tai vähenee) samassa suhteessa. Esimerkiksi 1 litra vettä painaa 1 kg, 2 litraa vettä 2 kg, 2 1/2 litraa vettä 2 1/2 kg jne. (olettaen tietysti, että kaikki muut veden painoon vaikuttavat olosuhteet säilyvät ennallaan; esimerkiksi vesi otetaan yhtä puhtaana, samassa lämpötilassa jne.). Tätä veden tilavuuden ja sen painon välistä suhdetta kutsutaan suhteellinen riippuvuus. Yleensä, jos sanomme, että kaksi määrää ovat verrannollisia toisiinsa (tai verrannollisia toisiinsa), tämä tarkoittaa sitä Kun yksi niistä kasvaa (tai vähenee) jossain suhteessa, myös toinen kasvaa (tai vähenee) samalla tavalla . Näin ollen painon mukaan myydyn hyödykkeen arvo on verrannollinen sen painoon; työntekijöiden palkat ovat suhteessa heidän lukumääräänsä (samalla muilla ehdoilla); murto-osan arvo on verrannollinen sen osoittajaan (vakionimittäjällä); suorakulmion pinta-ala on verrannollinen sen kantaan vakiokorkeudella ja verrannollinen sen korkeuteen vakiolla alustalla jne.

103. Suhteellisen riippuvuuden ilmaisu kaavalla. Oletetaan, että ratkaisemme seuraavan ongelman:

Tasaisella nopeudella liikkuva juna kulkee 30 km tunnissa. Mihin tilaan tämä juna kulkee a tuntia ( a voi olla kokonaisluku tai murtoluku)?

Päästää sisään a tuntia juna kulkee X km.

Järjestä tiedot ja ongelman kysymys seuraavasti:

30 km ajetaan 1 tunnissa;

sisään a tunti " X km.

Tasaisella liikkeellä jonkin aikaa kuljettu tila on verrannollinen tähän aikaan. Niin x pitäisi olla enemmän tai vähemmän kuin 30 ja niin monta kertaa kuin a enemmän tai vähemmän kuin 1. Joten voimme kirjoittaa osuuden:

X : 30 = a : 1 ,

x = 30a .

Olemme siis saaneet kaavan, jolla voimme laskea missä tahansa luvussa kuljetun avaruuden a tuntia. Esimerkiksi kello 2 ajetaan 30 km 2, kello 3 1/2 tuntia 30 km 3 1/2. 3/4 tunnissa 30 km 3/4. Joten johdetussa kaavassa numerot X ja a tulee olemaan muuttujia (vastaavia toisiaan), kun taas luku 30 on vakio (tarkoittaa junan 1 tunnissa kulkemaa tilaa eli kulkunopeutta).

Nyt esitetyn kaltaisista ongelmista näemme, että jos kaksi suuretta ovat verrannollisia, niin toisen numeroarvo on yhtä suuri kuin jokin vakioluku kerrottuna toisen suuren vastaavalla numeerisella arvolla.

Päinvastoin, jos minkä tahansa kahden muuttujan välinen suhde, jota merkitsemme klo ja X , ilmaistaan ​​muodon kaavalla y = kx , missä k näille suureille on jokin vakioluku, niin suuret ovat verrannollisia, koska tästä kaavasta voidaan nähdä, että arvon kasvaessa (tai pienentyessä) X jokin muu arvo klo myös kasvaa (tai pienenee) ja lisäksi samassa suhteessa. Esimerkiksi, kuten geometriasta tiedetään, pituus Kanssa ympyrän säde R ilmaistaan ​​kaavalla:

C = 6,28R (C = 2πR),

jossa R ja C- muuttujat ja 6,28 - vakioluku; niin voimme päätellä, että ympyrän ympärysmitta on verrannollinen sen säteeseen.

Tällaisissa kaavoissa tekijänä olevaa vakiolukua kutsutaan suhteellisuuskerroin ne muuttujat, joihin kaava viittaa.

104. Käänteinen suhde. Joskus käy niin, että kaksi muuttujaa ovat riippuvaisia ​​toisistaan ​​niin, että toisen kasvaessa toinen pienenee ja lisäksi pienenee samassa suhteessa kuin ensimmäinen kasvaa. Tällaisia ​​määriä kutsutaan kääntäen verrannollinen(ja yksinkertaisesti suhteellisia määriä kutsutaan joskus suoraan verrannollisiksi). Esimerkiksi tuntien määrä, jonka aikana juna kulkee koko matkan Moskovasta Leningradiin, on kääntäen verrannollinen tämän junan keskinopeuteen, koska nopeuden kasvaessa 1 1/2-kertaisesti, 2 kertaa ... , yleensä, johonkin suhteeseen, tuntien määrä, jonka aikana juna kulkee matkan Moskovasta Leningradiin, vähenee 1 1/2-kertaisesti, 2 kertaa ..., yleensä samassa suhteessa kuin nopeus on lisääntynyt. Samoin sellaisen hyödykkeen paino, joka voidaan ostaa tietyllä rahamäärällä, esimerkiksi 100 ruplalla, on kääntäen verrannollinen tämän hyödykkeen kilogramman hintaan; aika, jonka työntekijät tekevät heille määrättyä työtä, on kääntäen verrannollinen näiden työntekijöiden lukumäärään (tietenkin edellyttäen, että kaikki työntekijät työskentelevät yhtä menestyksekkäästi); murto-osan arvo on kääntäen verrannollinen sen nimittäjään (vakiolla osoittajalla) jne.

Kommentti. Jotta kaksi toisistaan ​​riippuvaa suuretta olisivat verrannollisia (suoraan tai käänteisesti), ei riitä pelkkä merkki, että yhden suuren kasvaessa toinenkin kasvaa (suoraan suhteellisuuden vuoksi) tai että kasvaessa yhdessä suuressa toinen pienenee (käänteisen suhteellisuuden vuoksi). ). Esimerkiksi jos jokin termi kasvaa, myös summa kasvaa; mutta olisi virhe sanoa, että summa on verrannollinen termiin, koska jos lisäämme termiä, laitetaan se 3 kertaa, niin summa, vaikka se kasvaa, mutta ei 3 kertaa. Vastaavasti on mahdotonta esimerkiksi sanoa, että ero on kääntäen verrannollinen aliosaan, koska jos osaosa kasvaa, sanotaan 2 kertaa, niin ero, vaikka se pienenee, mutta ei 2 kertaa. On välttämätöntä, että molempien arvojen lisäys tai lasku tapahtuu yhtä monta kertaa (samassa suhteessa).

105. Käänteisen suhteellisuuden ilmaisu kaavalla. Oletetaan, että ratkaisemme ongelman: yksi työntekijä voi tehdä jonkin työn 12 päivässä; kuinka monessa päivässä he tekevät saman työn a työntekijöitä?

Merkitse haluamasi numero kirjaimella X ja järjestä tiedot ja ongelman kysymys selvyyden vuoksi seuraavasti:

1 työntekijä tekee työn 12 päivässä

a työntekijät suorittavat " " X päivää.

On selvää, että saman työn tekemiseen tarvittavien päivien määrä on kääntäen verrannollinen työntekijöiden määrään. Joten ( x on oltava alle 12 ja niin monta kertaa kuin a suurempi kuin 1 (toisin sanoen mikä aika on 1 vähemmän kuin a ). Suhde siis x :12 ei pitäisi olla suhdetta a:1 , kuten se olisi suorassa suhteessa, ja käänteinen suhde on 1: a . Joten voimme kirjoittaa suhteet:

x :12 = 1: a

X = 12 / a .

Tällä kaavalla voimme selvittää päivien lukumäärän X tarvitaan tämän työn suorittamiseen, mille tahansa numerolle a työntekijät; esimerkiksi 2 työntekijää lopettaa työnsä 12/2 päivässä, 3 työntekijää 12/3 päivässä jne. Tästä syystä luvut X ja a tässä kaavassa ovat muuttujia, ja luku 12 on vakio eli kuinka monta päivää yksi työntekijä tekee työtä.

Juuri ratkaistujen ongelmien perusteella voimme nähdä sen jos mitkä tahansa kaksi suuretta (jotka merkitsemme kirjaimilla x ja y) ovat kääntäen verrannollisia, niin toisen numeroarvo on yhtä suuri kuin jokin vakioluku (merkitkäämme sitä k) jaettuna toisen suuren vastaavalla arvolla , eli y= k / x , jos klo ja X edustavat näiden määrien vastaavia arvoja.

Kaavasta lähtien y= k / x voidaan esittää näin: xy = k , niin käänteisesti verrannollisten määrien välinen suhde voidaan ilmaista toisella tavalla: jos kaksi määrää ovat kääntäen verrannollisia, näiden määrien kahden vastaavan numeerisen arvon tulo on yhtä suuri kuin vakioluku.

Päinvastoin, jos kahden muuttujan välinen suhde ilmaistaan ​​kaavalla:

y= k / x tai xy = k .

missä k on vakioluku, niin nämä suuret ovat kääntäen verrannollisia, koska kaavasta voidaan nähdä, että jos määrä X kasvaa sitten useita kertoja klo pienenee saman verran.

Esimerkiksi fysiikasta tiedetään, että vakiolämpötilassa tietyn kaasumassan tilavuuden V ja sen elastisuuden h tulo on vakioarvo; tämä toisin sanoen tarkoittaa, että tietyn kaasumassan elastisuus on kääntäen verrannollinen sen tilavuuteen (samassa lämpötilassa).

Kommentti. Tasa-arvo y= k / x voidaan kirjoittaa eri tavalla, esimerkiksi näin:

y = k 1 / x

Tässä muodossa se ilmaisee määrän klo suoraan verrannollinen murto-osaan 1 / x . Joten jos numero klo kääntäen verrannollinen numeroon X , niin voidaan myös sanoa, että numero klo suoraan verrannollinen luvun käänteislukuun x , eli 1 / x .

Algebrassa tarkasteltavien eri lausekkeiden joukossa monomiaalien summat ovat tärkeässä asemassa. Tässä on esimerkkejä tällaisista ilmaisuista:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7v^2 + 6x + 5v - 2 \)

Monomien summaa kutsutaan polynomiksi. Polynomin termejä kutsutaan polynomin jäseniksi. Mononomeja kutsutaan myös polynomeiksi, jolloin monomia pidetään polynomina, joka koostuu yhdestä jäsenestä.

Esimerkiksi polynomi
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
voidaan yksinkertaistaa.

Esitämme kaikki termit vakiomuodon monomiaaleina:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Annamme samanlaiset termit tuloksena olevaan polynomiin:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Tuloksena on polynomi, jonka kaikki jäsenet ovat vakiomuotoisia monomeja, eikä niiden joukossa ole vastaavia. Tällaisia ​​polynomeja kutsutaan vakiomuotoiset polynomit.

Takana polynomin aste vakiolomakkeella sen jäsenten valtuuksista suurin. Joten binomiaalilla \(12a^2b - 7b \) on kolmas aste ja trinomilla \(2b^2 -7b + 6 \) toinen aste.

Yleensä yhden muuttujan sisältävien standardimuotopolynomien jäsenet on järjestetty sen eksponentin mukaan laskevaan järjestykseen. Esimerkiksi:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Useiden polynomien summa voidaan muuntaa (yksinkertaistaa) vakiomuotoiseksi polynomiksi.

Joskus polynomin jäsenet on jaettava ryhmiin siten, että jokainen ryhmä merkitään sulkeisiin. Koska sulut ovat sulkeiden vastakohta, se on helppo muotoilla sulkujen avaussäännöt:

Jos +-merkki on ennen sulkeita, suluissa olevat termit kirjoitetaan samoilla merkeillä.

Jos "-"-merkki on asetettu sulujen eteen, suluissa olevat termit kirjoitetaan vastakkaisilla merkeillä.

Monomin ja polynomin tulon muunnos (yksinkertaistaminen).

Kertolaskun distributiivista ominaisuutta käyttämällä voidaan muuntaa (yksinkertaistaa) monomin ja polynomin tulo polynomiksi. Esimerkiksi:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Monomin ja polynomin tulo on identtisesti yhtä suuri kuin tämän monomin ja polynomin kunkin ehdon tulojen summa.

Tämä tulos muotoillaan yleensä sääntönä.

Jotta monomi voidaan kertoa polynomilla, tämä monomi on kerrottava kullakin polynomin ehdolla.

Olemme toistuvasti käyttäneet tätä sääntöä summalla kertomiseen.

Polynomien tulo. Kahden polynomin tulon muunnos (yksinkertaistaminen).

Yleensä kahden polynomin tulo on identtisesti yhtä suuri kuin yhden polynomin kunkin termin ja toisen polynomin kunkin termin tulon summa.

Käytä yleensä seuraavaa sääntöä.

Jos haluat kertoa polynomin polynomilla, sinun on kerrottava yhden polynomin kukin termi toisen termillä ja laskettava tuloksena saadut tulot.

Lyhennetyt kertolaskukaavat. Summa-, ero- ja eroneliöt

Joitakin algebrallisten muunnosten lausekkeita on käsiteltävä useammin kuin toisia. Ehkä yleisimmät lausekkeet ovat \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ja \(a^2 - b^2 \), eli summan neliö, eron neliö ja neliöero. Huomasit, että ilmoitettujen lausekkeiden nimet näyttävät olevan epätäydellisiä, joten esimerkiksi \((a + b)^2 \) ei tietenkään ole vain summan neliö, vaan summan neliö a ja b. A:n ja b:n summan neliö ei kuitenkaan ole niin yleinen, sillä se sisältää yleensä kirjainten a ja b sijasta erilaisia, joskus varsin monimutkaisia ​​lausekkeita.

Lausekkeet \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) on helppo muuntaa (yksinkertaistaa) vakiomuotoisiksi polynomeiksi, itse asiassa olet jo kohdannut tällaisen tehtävän kertoessasi polynomeja :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Tuloksena saadut identiteetit ovat hyödyllisiä muistaa ja soveltaa ilman välilaskutoimituksia. Lyhyet sanamuodot auttavat tässä.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - summan neliö on yhtä suuri kuin neliöiden ja kaksoistulon summa.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - erotuksen neliö on neliöiden summa ilman tulon kaksinkertaistamista.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - neliöiden erotus on yhtä suuri kuin erotuksen ja summan tulo.

Nämä kolme identiteettiä sallivat muunnoksissa korvata vasemman osansa oikeilla ja päinvastoin - oikeat osat vasemmalla. Vaikeinta tässä tapauksessa on nähdä vastaavat lausekkeet ja ymmärtää, mitä muuttujat a ja b niissä korvataan. Katsotaanpa muutamia esimerkkejä lyhennettyjen kertolaskujen käytöstä.

Ensimmäinen taso

Lausekkeen muuntaminen. Yksityiskohtainen teoria (2019)

Lausekkeen muuntaminen

Usein kuulemme tämän epämiellyttävän lauseen: "yksinkertaistaa ilmaisua". Yleensä tässä tapauksessa meillä on jonkinlainen hirviö, kuten tämä:

"Kyllä, paljon helpompaa", sanomme, mutta tällainen vastaus ei yleensä toimi.

Nyt opetan sinua olemaan pelkäämättä sellaisia ​​tehtäviä. Lisäksi oppitunnin lopussa yksinkertaistat itse tämän esimerkin (vain!) tavalliseksi numeroksi (kyllä, helvettiin näillä kirjaimilla).

Mutta ennen kuin aloitat tämän oppitunnin, sinun on kyettävä käsittelemään murto- ja kerroinpolynomeja. Siksi ensin, jos et ole tehnyt tätä aiemmin, muista hallita aiheet "" ja "".

Lukea? Jos kyllä, olet valmis.

Yksinkertaistamisen perustoiminnot

Nyt analysoimme päätekniikoita, joita käytetään lausekkeiden yksinkertaistamiseen.

Yksinkertaisin niistä on

1. Tuo samankaltainen

Mitkä ovat samanlaisia? Kävit tämän läpi 7. luokalla, kun matematiikassa ilmestyi kirjaimet numeroiden sijaan. Samanlaisia ​​ovat termit (monomiaalit), joilla on sama kirjainosa. Esimerkiksi summassa, kuten termit ovat ja.

Muistatko?

Samankaltaisten termien tuominen tarkoittaa useiden samankaltaisten termien lisäämistä toisiinsa ja yhden termin saamista.

Mutta kuinka voimme yhdistää kirjaimet? - kysyt.

Tämä on erittäin helppo ymmärtää, jos kuvittelet, että kirjaimet ovat jonkinlaisia ​​esineitä. Esimerkiksi kirje on tuoli. Mikä ilmaisu sitten on? Kaksi tuolia plus kolme tuolia, paljonko se maksaa? Aivan oikein, tuolit: .

Kokeile nyt tätä ilmaisua:

Jotta et joutuisi hämmennyksiin, anna eri kirjainten merkitä eri kohteita. Esimerkiksi - tämä on (kuten tavallista) tuoli ja - tämä on pöytä. Sitten:

tuolit pöydät tuolipöydät tuolit tuolit pöydät

Numeroita, joilla tällaisten termien kirjaimet kerrotaan, kutsutaan kertoimet. Esimerkiksi monomissa kerroin on yhtä suuri. Ja hän on tasa-arvoinen.

Eli sääntö samankaltaisten tuomiseksi:

Esimerkkejä:

Tuo samanlainen:

Vastaukset:

2. (ja ovat samankaltaisia, koska siksi näillä termeillä on sama kirjainosa).

2. Faktorisointi

Tämä on yleensä tärkein osa ilmaisujen yksinkertaistamisessa. Kun olet antanut samankaltaisia, useimmiten tuloksena oleva lauseke on otettava huomioon, eli esitettävä tuotteena. Tämä on erityisen tärkeää murtoluvuissa: murto-osan pienentämiseksi osoittaja ja nimittäjä on esitettävä tulona.

Kävit läpi yksityiskohtaiset lausekkeiden laskentamenetelmät aiheessa "", joten tässä sinun on vain muistettava, mitä olet oppinut. Voit tehdä tämän ratkaisemalla muutaman esimerkkejä(jätetään pois):

Ratkaisut:

3. Fraktion vähentäminen.

No, mikä voisi olla mukavampaa kuin yliviivata osa osoittajasta ja nimittäjästä ja heittää ne pois elämästäsi?

Se on lyhenteen kauneus.

Se on yksinkertaista:

Jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät samat tekijät, niitä voidaan pienentää eli poistaa murtoluvusta.

Tämä sääntö seuraa murtoluvun perusominaisuutta:

Eli vähennysoperaation ydin on se Jaetaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä samalla luvulla (tai samalla lausekkeella).

Murto-osan pienentämiseksi tarvitset:

1) osoittaja ja nimittäjä tekijöitä

2) jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät yhteisiä tekijöitä, ne voidaan poistaa.

Periaate on mielestäni selvä?

Haluaisin kiinnittää huomionne yhteen tyypilliseen lyhenteen virheeseen. Vaikka tämä aihe on yksinkertainen, monet ihmiset tekevät kaiken väärin ymmärtämättä sitä leikata- se tarkoittaa jakaa osoittaja ja nimittäjä samalla numerolla.

Ei lyhenteitä, jos osoittaja tai nimittäjä on summa.

Esimerkiksi: sinun on yksinkertaistettava.

Jotkut tekevät näin: mikä on täysin väärin.

Toinen esimerkki: vähennä.

"Älykkäin" tekee tämän:.

Kerro mikä tässä on vialla? Vaikuttaa siltä, ​​​​että - tämä on kerroin, joten voit vähentää.

Mutta ei: - tämä on vain yhden termin tekijä osoittajassa, mutta itse osoittajaa kokonaisuutena ei ole jaettu tekijöiksi.

Tässä on toinen esimerkki: .

Tämä lauseke on jaettu tekijöiksi, mikä tarkoittaa, että voit vähentää eli jakaa osoittajan ja nimittäjän seuraavalla:

Voit heti jakaa seuraavasti:

Tällaisten virheiden välttämiseksi muista helppo tapa määrittää, onko lauseke huomioitu:

Aritmeettinen operaatio, joka suoritetaan viimeisenä lausekkeen arvoa laskettaessa, on "pää". Eli jos korvaat joitain (mitä tahansa) numeroita kirjainten sijasta ja yrität laskea lausekkeen arvon, niin jos viimeinen toiminto on kertolasku, meillä on tulo (lauseke jaetaan tekijöiksi). Jos viimeinen toiminto on yhteen- tai vähennyslasku, tämä tarkoittaa, että lauseketta ei oteta huomioon (ja siksi sitä ei voida pienentää).

Voit korjata sen ratkaisemalla sen itse muutaman esimerkkejä:

Vastaukset:

1. Toivottavasti et heti kiirehtinyt leikkaamaan ja? Ei vieläkään riittänyt "vähentämään" yksiköitä näin:

Ensimmäinen askel pitäisi olla tekijöiden lisääminen:

4. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku. Murtolukujen tuominen yhteiseen nimittäjään.

Tavallisten murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku on tuttu operaatio: etsitään yhteinen nimittäjä, kerrotaan jokainen murto puuttuvalla kertoimella ja lasketaan/vähennetään osoittajat. Muistetaan:

Vastaukset:

1. Nimittäjät ja ovat koprime, eli niillä ei ole yhteisiä tekijöitä. Siksi näiden lukujen LCM on yhtä suuri kuin niiden tulo. Tästä tulee yhteinen nimittäjä:

2. Tässä yhteinen nimittäjä:

3. Tässä ensinnäkin muutetaan sekafraktiot sopimattomiksi ja sitten - tavallisen järjestelmän mukaan:

On aivan eri asia, jos murtoluvut sisältävät kirjaimia, esimerkiksi:

Aloitetaan yksinkertaisesta:

a) Nimittäjät eivät sisällä kirjaimia

Täällä kaikki on sama kuin tavallisilla numeerisilla murtoluvuilla: löydämme yhteisen nimittäjän, kerromme jokainen murto-osa puuttuvalla kertoimella ja lisäämme / vähennämme osoittajat:

nyt osoittajassa voit tuoda samanlaisia, jos sellaisia ​​on, ja kertoa ne:

Kokeile itse:

b) Nimittäjät sisältävät kirjaimia

Muistetaan periaate löytää yhteinen nimittäjä ilman kirjaimia:

Ensinnäkin määritämme yhteiset tekijät;

Sitten kirjoitamme kaikki yleiset tekijät kerran;

ja kerro ne kaikilla muilla tekijöillä, ei yleisillä.

Määrittääksemme nimittäjien yhteiset tekijät, hajotamme ne ensin yksinkertaisiin tekijöihin:

Korostamme yleisiä tekijöitä:

Kirjoitamme nyt yleiset tekijät kerran ja lisäämme niihin kaikki epätavalliset (ei alleviivatut) tekijät:

Tämä on yhteinen nimittäjä.

Palataan kirjaimiin. Nimittäjät annetaan täsmälleen samalla tavalla:

Jaamme nimittäjät tekijöiksi;

määrittää yhteiset (identtiset) kertoimet;

kirjoita kaikki yleiset tekijät kerran;

Kerromme ne kaikilla muilla tekijöillä, ei yleisillä.

Eli järjestyksessä:

1) jaa nimittäjät tekijöiksi:

2) määritä yhteiset (identtiset) tekijät:

3) kirjoita kaikki yleiset tekijät kerran ja kerro ne kaikilla muilla (ei alleviivatuilla) kertoimilla:

Yhteinen nimittäjä on siis tässä. Ensimmäinen murto-osa on kerrottava, toinen -:

On muuten yksi temppu:

Esimerkiksi: .

Näemme nimittäjissä samat tekijät, vain kaikilla eri indikaattoreilla. Yhteinen nimittäjä tulee olemaan:

siinä määrin

siinä määrin

siinä määrin

asteessa.

Monimutkaistaan ​​tehtävää:

Kuinka saada murtoluvuilla sama nimittäjä?

Muistetaan murtoluvun perusominaisuus:

Missään ei sanota, että sama luku voidaan vähentää (tai lisätä) murtoluvun osoittajasta ja nimittäjästä. Koska se ei ole totta!

Katso itse: ota esimerkiksi mikä tahansa murtoluku ja lisää osoittajaan ja nimittäjään jokin luku, esimerkiksi . Mitä on opittu?

Joten, toinen horjumaton sääntö:

Kun tuot murtoluvut yhteiseen nimittäjään, käytä vain kertolaskua!

Mutta mitä sinun täytyy kertoa saadaksesi?

Tässä ja kerrotaan. Ja kerrotaan:

Lausekkeita, joita ei voida kertoa, kutsutaan "alkutekijöiksi". Esimerkiksi se on perustekijä. - myös. Mutta - ei: se on jaettu tekijöihin.

Entä ilmaisu? Onko se alkeellista?

Ei, koska se voidaan jakaa tekijöihin:

(luit jo faktorointia aiheesta "").

Joten perustekijät, joihin jaat lausekkeen kirjaimilla, ovat analogeja yksinkertaisille tekijöille, joihin jaat numerot. Ja me teemme samoin heidän kanssaan.

Näemme, että molemmilla nimittäjillä on tekijä. Se menee valtaan yhteiselle nimittäjälle (muistatko miksi?).

Kerroin on alkeisosa, eikä heillä ole sitä yhteistä, mikä tarkoittaa, että ensimmäinen murtoluku on yksinkertaisesti kerrottava sillä:

Toinen esimerkki:

Päätös:

Ennen kuin kerrot nämä nimittäjät paniikkiin, sinun on mietittävä, kuinka ne otetaan huomioon? Molemmat edustavat:

Hieno! Sitten:

Toinen esimerkki:

Päätös:

Kuten tavallista, laitamme nimittäjät tekijöihin. Ensimmäisessä nimittäjässä laitamme sen yksinkertaisesti pois suluista; toisessa - neliöiden ero:

Vaikuttaa siltä, ​​että yhteisiä tekijöitä ei ole. Mutta jos katsot tarkasti, ne ovat jo niin samanlaisia ​​... Ja totuus on:

Joten kirjoitetaan:

Eli siitä tuli näin: suluissa vaihdoimme termejä, ja samalla murto-osan edessä oleva merkki vaihtui päinvastaiseksi. Huomaa, että sinun on tehtävä tämä usein.

Nyt päästään yhteiseen nimittäjään:

Sain sen? Nyt tarkistetaan.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

Vastaukset:

Tässä meidän on muistettava vielä yksi asia - kuutioiden ero:

Huomaa, että toisen murto-osan nimittäjä ei sisällä kaavaa "summan neliö"! Summan neliö näyttäisi tältä:

A on summan niin kutsuttu epätäydellinen neliö: sen toinen termi on ensimmäisen ja viimeisen tulo, ei niiden kaksinkertainen tulo. Summan epätäydellinen neliö on yksi kuutioiden eron laajenemisen tekijöistä:

Entä jos murto-osia on jo kolme?

Kyllä, sama! Ensinnäkin varmistamme, että tekijöiden enimmäismäärä nimittäjissä on sama:

Kiinnitä huomiota: jos vaihdat merkkejä yhden sulussa, murto-osan edessä oleva merkki muuttuu päinvastaiseksi. Kun vaihdamme toisen hakasulkeen merkkejä, murtoluvun edessä oleva merkki käännetään jälleen. Tämän seurauksena hän (merkki murtoluvun edessä) ei ole muuttunut.

Kirjoitetaan ensimmäinen nimittäjä kokonaisuudessaan yhteiseen nimittäjään, ja sitten lisätään siihen kaikki tekijät, joita ei ole vielä kirjoitettu, toisesta ja sitten kolmannesta (ja niin edelleen, jos murtolukuja on enemmän). Eli se menee näin:

Hmm... Murtolukujen kanssa on selvää, mitä tehdä. Mutta entä ne kaksi?

Se on yksinkertaista: osaat lisätä murtolukuja, eikö niin? Joten sinun on varmistettava, että kakkosesta tulee murto-osa! Muista: murtoluku on jakooperaatio (osoittaja jaetaan nimittäjällä, jos unohdat yhtäkkiä). Ja mikään ei ole helpompaa kuin luvun jakaminen. Tässä tapauksessa itse numero ei muutu, vaan muuttuu murto-osaksi:

Juuri sitä mitä tarvitaan!

5. Murtolukujen kertominen ja jako.

No, vaikein osa on nyt ohi. Ja edessämme on yksinkertaisin, mutta samalla tärkein:

Menettely

Miten numeerinen lauseke lasketaan? Muista, kun otetaan huomioon tällaisen lausekkeen arvo:

Laskitko?

Sen pitäisi toimia.

Muistutan siis.

Ensimmäinen vaihe on tutkinnon laskeminen.

Toinen on kerto- ja jakolasku. Jos kerto- ja jakolaskuja on useita samaan aikaan, voit tehdä ne missä tahansa järjestyksessä.

Ja lopuksi suoritamme yhteen- ja vähennyslaskun. Jälleen missä järjestyksessä tahansa.

Mutta: suluissa oleva lauseke on arvioitu epäjärjestyksessä!

Jos useat hakasulkeet kerrotaan tai jaetaan keskenään, lasketaan ensin kunkin suluissa oleva lauseke ja kerrotaan tai jaetaan sitten ne.

Entä jos suluissa on muita sulkeita? No, ajatellaanpa: jokin ilmaus on kirjoitettu suluissa. Mikä on ensimmäinen asia, joka on tehtävä ilmaisua arvioitaessa? Aivan oikein, laske sulut. No, me selvitimme sen: ensin laskemme sisäsulut, sitten kaikki muu.

Joten yllä olevan lausekkeen toimintojen järjestys on seuraava (nykyinen toiminto on korostettu punaisella, eli toiminto, jonka suoritan juuri nyt):

Okei, kaikki on yksinkertaista.

Mutta se ei ole sama kuin ilmaisu kirjaimilla, eihän?

Ei, se on sama! Vain aritmeettisten operaatioiden sijasta on tarpeen tehdä algebrallisia operaatioita, eli edellisessä osiossa kuvatut operaatiot: tuovat samanlaisia, fraktioiden lisääminen, jakeiden vähentäminen ja niin edelleen. Ainoa ero on polynomien faktorointi (käytämme sitä usein, kun työskentelemme murtolukujen kanssa). Useimmiten tekijöihin lisäämistä varten sinun on käytettävä i-kirjainta tai yksinkertaisesti otettava yhteinen tekijä pois suluista.

Yleensä tavoitteemme on esittää lauseke tuotteena tai osamääränä.

Esimerkiksi:

Yksinkertaistetaan ilmaisua.

1) Ensin yksinkertaistetaan lauseke suluissa. Siellä meillä on murto-osien ero, ja tavoitteemme on esittää se tulona tai osamääränä. Joten tuomme murtoluvut yhteiseen nimittäjään ja lisäämme:

Tätä ilmaisua on mahdotonta yksinkertaistaa edelleen, kaikki tekijät ovat alkeellisia (muistatko vielä, mitä tämä tarkoittaa?).

2) Saamme:

Murtolukujen kertominen: mikä voisi olla helpompaa.

3) Nyt voit lyhentää:

Se siitä. Ei mitään monimutkaista, eikö?

Toinen esimerkki:

Yksinkertaista ilmaisu.

Yritä ensin ratkaista se itse, ja vasta sitten katso ratkaisua.

Ensinnäkin määritellään menettely. Ensin lisätään murtoluvut suluissa, kahden murtoluvun sijaan tulee yksi. Sitten teemme murto-osien jaon. No, lisäämme tuloksen viimeisellä murto-osalla. Numeroin vaiheet kaavamaisesti:

Nyt näytän koko prosessin sävyttämällä nykyisen toiminnon punaisella:

Lopuksi annan sinulle kaksi hyödyllistä vinkkiä:

1. Jos vastaavia on, ne on tuotava välittömästi. Milloin tahansa meillä on samanlaisia, ne kannattaa tuoda heti mukaan.

2. Sama pätee murto-osien vähentämiseen: heti kun tulee mahdollisuus pienentää, se on käytettävä. Poikkeuksena ovat murtoluvut, jotka lisäät tai vähennät: jos niillä on nyt samat nimittäjät, vähennys tulee jättää myöhempään.

Tässä on muutamia tehtäviä, jotka voit ratkaista itse:

Ja lupasi heti alussa:

Ratkaisut (lyhyesti):

Jos selvisit ainakin kolmesta ensimmäisestä esimerkistä, olet sitä mieltä, että hallitset aiheen.

Nyt opiskelemaan!

LAUSUN MUUNNOS. YHTEENVETO JA PERUSKAAVA

Yksinkertaistamisen perustoiminnot:

• Tuo samanlainen: lisätäksesi (vähentääksesi) samankaltaisia ​​termejä, sinun on lisättävä niiden kertoimet ja määritettävä kirjainosa.
• Faktorisointi: yhteisen tekijän poistaminen suluista, soveltaminen jne.
• Fraktion vähentäminen: murto-osan osoittaja ja nimittäjä voidaan kertoa tai jakaa samalla ei-nolla-luvulla, josta murto-osan arvo ei muutu.
  1) osoittaja ja nimittäjä tekijöitä
  2) jos osoittajassa ja nimittäjässä on yhteisiä tekijöitä, ne voidaan yliviivata.

  TÄRKEÄÄ: vain kertoimia voidaan vähentää!

• Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku:
  ;
• Murtolukujen kerto- ja jako:
  ;