Selkeän joukon tai yksinkertaisesti joukon alla he yleensä ymmärtävät tietyn joukon tiettyjä ja erotettavissa olevia intuitiomme ja älymme esineitä, jotka voidaan ajatella yhtenä kokonaisuutena. Tässä lausunnossa huomioimme seuraavan kohdan: joukko A on kokoelma tiettyjä objekteja. Tämä tarkoittaa, että mille tahansa x:lle voidaan yksiselitteisesti sanoa, kuuluuko se joukkoon A vai ei.
Ehto, että elementti x kuuluu joukkoon A, voidaan kirjoittaa jäsenfunktion m(x) käsitteellä, nimittäin
Siksi joukko voidaan määrittää parien joukkona: elementti ja sen jäsenyysfunktion arvo
A = ((x|m(x)) (1)
Esimerkki 1. Laitoksella on viisi vapaavalintaista kurssia x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ja x 5 . Ohjelman mukaan vaaditaan kolme kurssia. Opiskelija valitsi opintojaksoksi kurssit x 2 , x 3 ja x 5 . Kirjoitamme tämän tosiasian jäsenfunktiolla
jossa kunkin parin ensimmäinen elementti tarkoittaa kurssin nimeä ja toinen kertoo, että se kuuluu tämän opiskelijan valitsemaan osajoukkoon ("kyllä" tai "ei").
Selkeistä sarjoista on äärettömän monia esimerkkejä: luettelo opiskelijoista opintoryhmässä, joukko taloja tietyllä kaupungin kadulla, joukko molekyylejä vesipisarassa ja niin edelleen.
Samaan aikaan valtava määrä ihmisten tietoa ja yhteyksiä ulkomaailmaan sisältää sellaisia käsitteitä, joita ei voida kutsua joukkoiksi (1) merkityksessä. Niitä pitäisi pikemminkin pitää luokkina, joilla on sumeat rajat, kun siirtyminen luokkaan kuulumisesta toiseen tapahtuu vähitellen, ei äkillisesti. Siten oletetaan, että ihmisen päättelyn logiikka ei perustu klassiseen kaksiarvoiseen logiikkaan, vaan logiikkaan, jossa on sumeat totuusarvot - sumeat konnektiivit ja sumeat päättelysäännöt. Tässä muutamia esimerkkejä: artikkelin pituus on noin 12 sivua, suurin osa alueesta, pelin ylivoimainen ylivoima, useiden ihmisten ryhmä.
Katsotaanpa viimeistä esimerkkiä. On selvää, että 3, 5 tai 9 hengen ryhmä kuuluu käsitteeseen: "ihmisryhmä, joka koostuu useista ihmisistä". Heillä on kuitenkin epätasainen luottamus kuulumiseen tähän käsitteeseen, mikä riippuu erilaisista, mukaan lukien subjektiivisista olosuhteista. Nämä olosuhteet voidaan formalisoida, jos oletetaan, että jäsenyysfunktio voi ottaa minkä tahansa arvot väliltä . Lisäksi ääriarvot määrätään siinä tapauksessa, että elementti ei todellakaan kuulu tai kuuluu yksiselitteisesti tähän käsitteeseen. Erityisesti useiden ihmisten joukkoa A voidaan kuvata muodon lausekkeella:
A = ((1½0), 2½0.1), 3½0.4), (4½1), (5½1), (6½1), (7½0.8), (8½0.3), (9½0.1), (a½0)
Annetaan sumean joukon määritelmä, jonka on antanut sumeiden joukkojen teorian perustaja L.A. Zade. Olkoon x tietyn universaalin (ns. perus) joukon E alkio. Sitten sumea(sumea) sarja A perusjoukossa määritelty E on järjestellisten parien joukko
A= (xum A((x)), "x О E,
missä m A(X) - jäsenyystoiminto, joka kartoittaa joukon E yksikköväliin, ts. m A (x): E®.
Ilmeisesti, jos alue m A (x) rajoitetaan kahteen numeroon 0 ja 1, silloin tämä määritelmä on sama kuin tavallisen (selkeän) joukon käsite.
Sumean joukon jäsenyysfunktio voidaan määrittää paitsi luettelemalla sen kaikki arvot jokaiselle perusjoukon elementille, myös analyyttisen lausekkeen muodossa. Esimerkiksi joukko reaalilukuja Z, jotka ovat hyvin lähellä lukua 2, voidaan antaa seuraavasti:
Z= (xum Z(x)), "x О R,
missä m Z(x) = .
Reaalilukujen joukko Y, joka on riittävän lähellä lukua 2, on
Y= (xum Y(x)), "x О R,
MINUN Z(x) = .
Graafinen esitys näistä kahdesta jäsenyysfunktiosta on esitetty kuvassa 3.9.
Määritelmä. sumeaa settiä A kutsutaan sumeaksi osajoukoksi B, jos A Ja B määritetään samalle perusjoukolle E ja "x н E: m A(x) £ milj B(x), joka on merkitty AÌ B.
Kahden sumean joukon yhtäläisyyden ehdot A Ja B, joka on määritelty samassa perusjoukossa E, on seuraavanlainen
A = B tai "х н E: m A(x) = m B(x).
Kommentti. Käsitteiden "sumeus" ja "todennäköisyys" välillä on jonkin verran samankaltaisuutta, jotka eroavat olemukseltaan. Ensinnäkin näitä käsitteitä käytetään ongelmissa, joissa tietomme ovat epävarmoja tai epätarkkoja tai päätösten tulosten tarkka ennustaminen on periaatteessa mahdotonta. Toiseksi muutosvälit ja todennäköisyydet ja jäsenyysfunktiot ovat samat:
ja P О ja m A(x) О .
Samalla todennäköisyys on objektiivinen ominaisuus, ja todennäköisyysteorian soveltamisen perusteella tehdyt johtopäätökset voidaan periaatteessa testata kokeellisesti.
Jäsenyysfunktio määräytyy subjektiivisesti, vaikka se yleensä heijastaa tarkasteltavien kohteiden välisiä todellisia suhteita. Sumeiden joukkojen teoriaan perustuvien menetelmien soveltamisen tehokkuus arvioidaan yleensä konkreettisten tulosten saamisen jälkeen.
Jos todennäköisyysteoriassa oletetaan, että tietyn tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin yksi, ts.
silloin jäsenfunktion kaikkien arvojen vastaava summa voi saada mitä tahansa arvoa välillä 0 - ¥.
Joten määritellään sumea joukko A on tarpeen määrittää alkioiden E kantajoukko ja muodostaa jäsenfunktio m A(x), joka on subjektiivinen luottamusmitta, jolla jokainen elementti x E:stä kuuluu annettuun sumeaan joukkoon A.
Jäsenyyden käsitteen yleistäminen. Tarkastetuissa esimerkeissä ominaisfunktio otti arvot 0 tai 1. Oletetaan, että ominaisfunktio ottaa minkä tahansa arvon arvosta . Tällöin elementti ei välttämättä kuulu joukkoon , kuuluu jossain määrin tai voi olla joukon alkio.
sumeaa settiä . sumea osajoukko joukon (sumea joukko) on joukko järjestettyjä pareja , jossa on elementin joukon jäsenyysfunktio, joka kuvaa elementin jäsenyyden astetta tässä joukossa tai toisin sanoen elementin vastaavuuden mittaa. yleisjoukon elementti sumean joukon ominaisuuksiin. Jatkuvan joukon tapauksessa sumean joukon määrittämiseen käytetään seuraavaa merkintää: .
Paljon lisävarusteita. Jäsenyysfunktion arvojoukkoa kutsutaan Paljon lisävarusteita. Jos , niin on tavallinen joukko, ts. crisp-joukkoa voidaan pitää sumean joukon rajoittavana tapauksena. Myöhemmin tässä opetusohjelmassa on monia lisävarusteita.
Sumean sarjan voima. Olkoon yleisjoukolle annettu sumea joukko. Tehoa sumea sarja tai sen perusluku määritellään seuraavasti: .
Esimerkki 28. Yleisjoukossa määrittelemme seuraavan sumean joukon:
Määritetään sumean joukon kardinaaliluku:
Elementin kuuluminen sumeaan joukkoon voidaan ilmaista myös seuraavasti: .
Elementin kuulumisasteen määrittämiseksi sumeaan joukkoon on olemassa erityinen terminologia. Näin ollen sumea joukko annettu Esimerkki 28, hieman sisältää elementin , ei sisällä , sisältää vähäisessä määrin , suuressa määrin - ja , ja sisältää elementin .
Esimerkki 29. Sumea joukko pieniä luonnollisia lukuja voidaan määritellä esimerkiksi seuraavasti:
Kommentti. Arvot ovat subjektiivisia.
Sumean sarjan kantaja. harjoittaja(tuki) ja sumea joukko (supp) on joukko elementtejä, joille . tyhjä, jos sen tuki on tyhjä joukko.
Sumean joukon ydin. ydin Sumea joukko () on joukko elementtejä, joille .
Sumea asetettu korkeus . Suuruutta (diskreeteille yleisjoukoille) kutsutaan Korkeus sumea sarja ().
Normaalit ja alinormaalit sumeat sarjat . sumeaa settiä Hieno jos sen korkeus on 1. Jos sen korkeus on pienempi kuin 1, kutsutaan sumea joukko Epänormaalia. Mikä tahansa ei-tyhjä alinormaali sumea joukko voidaan muuntaa normaaliksi joukoksi normalisoimalla sen jäsenyysfunktio:
Unimodal fuzzy setit. Sumea joukko on ns Unimodaalinen, jos vain yhdelle.
Sumeiden joukkojen siirtymäpisteet. Elementit, joita kutsutaan siirtymäpisteet sumeaa settiä.
Kupera sumea sarja . Sumea joukko on ns kupera, Jos:
Esimerkki 30. Olkoon universaali joukko reaalilukujen joukkoa, eli . Määritellään sumea joukko lukuja lähellä olevia lukuja (kuva 4).
Kuva 4
Jäsenyysfunktio voidaan määrittää seuraavasti: , missä . Eksponentti valitaan sen mukaan, kuinka lähellä on . Esimerkiksi kuvaamaan numerosarjaa, joka on hyvin lähellä , voit ottaa ; numerojoukolle, joka ei ole kovin kaukana kohteesta , .
Esimerkki 31. Yleisessä sarjassa Esimerkki 28 Sumea joukko annetaan. Sumealle joukolle: 1) määritä sen kardinaliteetti; 2) määrittää kantaja, ydin ja korkeus; 3) selvittää, onko se normaalia vai epänormaalia. Jos on epänormaalia, muuta se normaaliksi; 4) tarkista, onko tuloksena oleva joukko unimodaalinen; 5) määrittää siirtymäkohdat.
1. Määritelmän mukaan sumean joukon potenssi (kardiaaliluku), joka on annettu äärellisessä universaalissa joukossa, määritetään kaavalla: .
2. Käytetään sumean joukon tuen, ytimen ja korkeuden määritelmiä. Ilmeisesti , , .
3. Annettu sumea joukko on epänormaali. Muodostetaan vastaava sumea normaalijoukko . Tätä varten laskemme elementtien jäsenyysfunktion arvot kaavan mukaan:
Meillä on: , samoin: , , , , . Siten sumea normalisoitu joukko .
4. Joukko on unimodaalinen, koska se sisältää vain yhden alkion , jolle .
5. Sarjassa on yksi siirtymäpiste - , koska vain .
Sumeiden joukkojen kertominen luvulla. Jos on niin positiivinen luku, että , niin sumean joukon jäsenyysfunktio määritellään seuraavasti: .
Sumeiden joukkojen vertailu. Tarkastellaan kahta sumeaa joukkoa ja , määritelty yleisjoukossa .
He sanovat että Sisältää, eli jos jollekin . Graafisesti tämä tarkoittaa, että sumean joukon määrittelevä käyrä sijaitsee sumean joukon samanlaisen käyrän yläpuolella. Jos sisällyttämistä koskeva ehto ei täyty kaikille, puhutaan Sisällön asteet in , joka määritellään , jossa on joukko, jossa sisällyttäminen ehto täyttyy.
Kaksi sumeaa sarjaa ja Ovat tasa-arvoisia, jos ne sisältyvät toisiinsa, ts. jos jokin .
Osajoukko -taso. Sumean joukon tason osajoukko , on tarkka elementtien osajoukko, jolle . Settiä kutsutaan myös -osa sumeasta sarjasta. Tässä tapauksessa, jos , niin puhutaan vahvasta osasta ja jos , niin puhutaan heikosta osasta. Tapahtuu Tärkeä omaisuus : jos sitten .
Sumeiden joukkojen analysointiin ja synteesiin, Hajotuslause: sumea joukko voidaan jakaa sen -tason joukoiksi seuraavasti: , missä on luvun ja joukon tulo.
Esimerkki 32. Yleisjoukossa määrittelemme sumean joukon . Etsi kaikki sumean joukon osajoukot:
Sumean joukon hajoamislauseen mukaan annettu sumea joukko voidaan esittää seuraavasti.
Sumeiden joukkojen avulla on mahdollista määritellä muodollisesti epätarkkoja ja moniselitteisiä käsitteitä, kuten "korkea lämpötila", "nuori mies", "keskipitkä" tai "suurkaupunki". Ennen kuin muotoillaan sumean joukon määritelmä, on tarpeen määritellä ns. diskurssin universumi. Epäselvän käsitteen "paljon rahaa" tapauksessa yksi summa tunnustetaan suureksi, jos rajoitamme alueen ja täysin erilaisen - valikoimassa. Päättelyalue, jäljempänä välilyönti tai joukko, merkitään useimmiten symbolilla . On muistettava, että se on selkeä sarja.
Määritelmä 3.1
Sumea joukko jossain (ei-tyhjässä) tilassa , joka on merkitty nimellä , on joukko pareja
Fuzzy Set -jäsenyystoiminto. Tämä toiminto määrittää kullekin elementille sen kuulumisasteen sumeaan joukkoon, kun taas voidaan erottaa kolme tapausta:
1) tarkoittaa, että elementti kuuluu sumeaan joukkoon, ts. ;
2) tarkoittaa sumeaan joukkoon kuuluvan elementin puuttumista, ts.;
3) tarkoittaa elementin osittaista kuulumista sumeaan joukkoon.
Kirjallisuudessa käytetään sumeiden joukkojen symbolista kuvausta. If on avaruus, jossa on äärellinen määrä elementtejä, ts. , silloin sumea joukko kirjoitetaan muodossa
Yllä oleva merkintä on symbolinen. “–”-merkki ei tarkoita jakautumista, vaan jäsenasteiden osoittamista tietyille elementeille. Toisin sanoen sisääntulo
tarkoittaa paria
Vastaavasti "+"-merkki lausekkeessa (3.3) ei tarkoita yhteenlaskuoperaatiota, vaan se tulkitaan elementtien moninkertaiseksi summaukseksi (3.5). On huomattava, että teräviä sarjoja voidaan kirjoittaa myös samalla tavalla. Esimerkiksi joukko koulun arvosanoja voidaan esittää symbolisesti muodossa
joka on sama kuin kirjoittaminen
Jos on avaruus, jossa on ääretön määrä elementtejä, niin sumea joukko kirjoitetaan symbolisesti muodossa
Esimerkki 3.1
Oletetaan, että se on luonnollisten lukujen joukko. Määritelkäämme luonnollisten lukujen joukon käsite "lähellä lukua 7". Tämä voidaan tehdä määrittämällä seuraava sumea joukko:
Esimerkki 3.2
Jos , missä on reaalilukujen joukko, niin "lähellä lukua 7" olevien reaalilukujen joukko voidaan määrittää lomakkeen jäsenyysfunktiolla
Siksi sumeaa reaalilukujen joukkoa "lähellä lukua 7" kuvataan lausekkeella
Huomautus 3.1
Luonnollisten tai reaalilukujen sumeat joukot "lähellä lukua 7" voidaan kirjoittaa eri tavoin. Esimerkiksi jäsenyysfunktio (3.10) voidaan korvata lausekkeella
Kuvassa Kuvat 3.1a ja 3.1b esittävät kaksi jäsenyysfunktiota sumealle reaalilukujoukolle "lähellä 7".
Riisi. 3.1. Esimerkki 3.2: Sumean reaalilukujoukon jäsenyysfunktiot "lähellä lukua 7".
Esimerkki 3.3
Virallistetaan epätarkka määritelmä "sopiva lämpötila uimiseen Itämerellä". Asetetaan päättelyalue joukon muotoon. Lepo minä, joka voi parhaiten 21 °C:n lämpötilassa, määrittelisi itselle sumean joukon
Lepo II, joka pitää parempana 20°:n lämpötilaa, tarjoaisi tälle sarjalle toisen määritelmän:
Sumeiden sarjojen avulla virallistimme epätarkan määritelmän käsitteelle "sopiva lämpötila uimiseen Itämerellä". Jotkut sovellukset käyttävät vakiomuotoisia jäsenyystoimintoja. Konkretisoidaan nämä funktiot ja tarkastellaan niiden graafisia tulkintoja.
1. Luokkajäsenyysfunktio (Kuva 3.2) määritellään seuraavasti
Missä . Tähän luokkaan kuuluvalla jäsenyysfunktiolla on graafinen esitys (kuva 3.2), joka muistuttaa kirjainta "", ja sen muoto riippuu parametrien valinnasta , ja . Tässä kohdassa luokkajäsenyysfunktio saa arvon, joka on yhtä suuri kuin 0,5.
2. Luokkajäsenyysfunktio (Kuva 3.3) määritellään luokkajäsenyysfunktiolla:
Riisi. 3.2. Luokan jäsenyystoiminto.
Riisi. 3.3. Luokan jäsenyystoiminto.
Luokkajäsenyysfunktio ottaa nollan arvoja kohteille ja. Pisteenä sen arvo on 0,5.
3. Luokkajäsenyysfunktio (kuva 3.4) saadaan lausekkeella
Lukija huomaa helposti analogian luokkien jäsenfunktioiden muotojen ja .
4. Luokkajäsenyysfunktio (Kuva 3.5) määritellään seuraavasti
Riisi. 3.4. Luokan jäsenyystoiminto.
Riisi. 3.5. Luokan jäsenyystoiminto.
Joissakin sovelluksissa luokan jäsenyysfunktio voi olla vaihtoehto luokan jäsenyysfunktiolle.
5. Luokkajäsenyysfunktio (kuva 3.6) määritellään lausekkeella
Esimerkki 3.4
Harkitse kolmea epätäsmällistä muotoilua:
1) "ajoneuvon alhainen nopeus";
2) "ajoneuvon keskinopeus";
3) "auton suuri nopeus".
Päättelyalueena otamme alueen , jossa on maksiminopeus. Kuvassa 3.7 esittää sumeat joukot , ja , jotka vastaavat annettuja formulaatioita. Huomaa, että joukon jäsenyysfunktiolla on tyyppi, joukoilla on tyyppi ja joukoilla on tyyppi. Kiinteässä pisteessä km/h sumean joukon "pieni ajoneuvonopeus" jäsenyysfunktio saa arvon 0,5, ts. . Saman arvon saa sumean joukon "ajoneuvon keskinopeus" jäsenyysfunktio, ts. , kun taas .
Esimerkki 3.5
Kuvassa 3.8 näyttää sumean joukon "iso raha" jäsenyysfunktion. Tämä on luokkafunktio ja , , .
Riisi. 3.6. Luokan jäsenyystoiminto.
Riisi. 3.7. Esimerkki 3.4: Sumeiden joukkojen jäsenyysfunktiot "pieni", "keskikokoinen", "suuri" auton nopeus.
Riisi. 3.8. Esimerkki 3.5: Sumean joukon "iso raha" jäsenyysfunktio.
Siksi yli 10 000 ruplan summia voidaan ehdottomasti pitää "suurina", koska jäsenyysfunktion arvot tulevat yhtä suureksi kuin 1. Alle 1 000 ruplaa olevat summat eivät kuulu "suuriin", koska vastaavat jäsenyyden arvot funktio on yhtä suuri kuin 0. Tällainen sumean joukon "iso raha" määritelmä on tietysti subjektiivinen. Lukijalla voi olla oma käsitys "ison rahan" epäselvästä käsitteestä. Tämä esitys näkyy luokan parametrien ja toimintojen muissa arvoissa.
Määritelmä 3.2
Avaruuden elementtijoukkoa, jolle , kutsutaan sumean joukon kantajaksi ja sitä merkitään (tuki). Sen muodollisella merkinnällä on muoto
Määritelmä 3.3
Sumean joukon korkeus merkitään ja määritellään seuraavasti
Esimerkki 3.6
Määritelmä 3.4
Sumeaa joukkoa kutsutaan normaaliksi silloin ja vain jos . Jos sumea joukko ei ole normaali, se voidaan normalisoida muunnolla
missä on tämän sarjan korkeus.
Esimerkki 3.7
sumeaa settiä
normalisoinnin jälkeen saa muodon
Määritelmä 3.5
Sumeaa joukkoa kutsutaan tyhjäksi ja se merkitään jos ja vain jos jokaiselle .
Määritelmä 3.6
Sumea joukko sisältyy sumeaan joukkoon , joka kirjoitetaan muodossa , jos ja vain jos
jokaiselle .
Esimerkki sumean joukon sisällyttämisestä (sisällöstä) sumeaan joukkoon on kuvattu kuvassa 1. 3.9. Kirjallisuudessa on myös käsite sumeiden joukkojen sisällyttämisasteesta. Sumean joukon sisällyttämisaste sumeaan joukkoon kuvassa 1. 3,9 on yhtä suuri kuin 1 (täysi mukaan lukien). Kuvassa esitetyt sumeat joukot. 3.10 eivät täytä riippuvuutta (3.27), joten se ei sisälly määritelmän (3.6) merkitykseen. Sumea joukko sisältyy kuitenkin sumeaan joukkoon tietyssä määrin
Edellytys täyttyy
Riisi. 3.12. Sumea kupera sarja.
Riisi. 3.13. Sumea kovera sarja.
Riisi. 3.13 kuvaa sumeaa koveraa joukkoa. On helppo tarkistaa, että sumea joukko on kupera (kovera) silloin ja vain, jos kaikki sen -leikkaukset ovat kuperia (koveria).
sumeaa settiä- sumean logiikan avainkäsite. Antaa E- yleissarja, X- elementti E, a R on jokin ominaisuus. Säännöllinen (selkeä) osajoukko A universaali setti E, jonka alkiot täyttävät ominaisuuden R, määritellään järjestetyistä pareista
A = (μA(x) / x},
Missä μ A (x) on ominaistoiminto, otetaan arvo 1, jos X täyttää ominaisuuden R ja 0 muuten.
Sumea osajoukko eroaa tavallisesta elementtien osalta X alkaen E ei ole yksiselitteistä "kyllä-ei"-vastausta koskien ominaisuutta R. Tässä suhteessa sumea osajoukko A universaali setti E määritellään sarjaksi järjestettyjä pareja
A = (μA(x) / x},
Missä μ A (x) — tyypillinen jäsenyystoiminto(tai yksinkertaisesti jäsenyystoiminto) ottamalla arvot jossain hyvin järjestetyssä joukossa M(Esimerkiksi, M = ).
Jäsenyysfunktio ilmaisee elementin jäsenyyden asteen (tai tason). X osajoukko A. Joukko M kutsutaan lisävarustesarjaksi. Jos M= (0, 1), sitten sumea osajoukko A voidaan pitää tavallisena tai raikkaana settinä.
Esimerkkejä sumean joukon kirjoittamisesta
Antaa E = {x 1 , x 2 , x s,x 4 , x 5), M = ; A on sumea joukko, jolle μ A ( x 1 )= 0,3; μ A ( x 2)= 0; μ A ( X 3) = 1; μ A (x 4) = 0,5; μ A ( x 5)= 0,9.
Sitten A voidaan esittää muodossa
A ={0,3/x 1 ; 0/X 2 ; 1/X 3 ; 0,5/X 4 ; 0,9/X 5 } ,
tai
A={0,3/x 1 +0/X 2 +1/X 3 +0,5/X 4 +0,9/X 5 },
tai
Kommentti. Tässä "+"-merkki ei tarkoita yhteenlaskutoimintoa, vaan sillä on liiton merkitys.
Sumeiden joukkojen pääominaisuudet
Antaa M= ja A- sumea sarja, jossa on elementtejä yleissarjasta E ja monia lisävarusteita M.
Arvoa kutsutaan korkeus sumeaa settiä A. sumeaa settiä Ja se on ok jos sen korkeus on yhtä suuri kuin 1, ts. sen jäsenyysfunktion yläraja on 1 (= 1). klo< 1нечеткое множество называется epänormaalia.
sumeaa settiä tyhjä, jos ∀ xϵ E μ A( x) = 0. Ei-tyhjä alinormaalijoukko voidaan normalisoida kaavalla
sumeaa settiä yksimuotoinen Jos μ A( x) = 1 vain yhdellä X alkaen E.
. harjoittaja sumeaa settiä A on tavallinen osajoukko ominaisuuden kanssa μ A( x)>0, ts. kantaja A = {x/x ϵ E, μ A( x)>0}.
Elementit xϵ E, mille μ A( x) = 0,5 , kutsutaan siirtymäpisteet sarjat A.
Esimerkkejä sumeista sarjoista
1. Anna E = {0, 1, 2, . . ., 10}, M =. sumeaa settiä"Useita" voidaan määritellä seuraavasti:
"useita" = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; sen ominaisuudet:korkeus = 1, harjoittaja = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, siirtymäpisteet — {3, 8}.
2. Anna E = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). Sumea joukko "Pieni" voidaan määritellä:
3. Anna E= (1, 2, 3, . . ., 100) ja vastaa "Iän" käsitettä, niin sumea joukko "Nuori" voidaan määritellä käyttämällä
Fuzzy setti "Young" yleissarjassa E"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) saadaan jäsenfunktiosta μ Nuori ( x) päällä E =(1, 2, 3, . . ., 100) (ikä), kutsutaan suhteessa E" yhteensopivuustoiminto, kun taas:
Missä X- SIDOROVIN ikä.
4. Anna E\u003d (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES, ...) - joukko automerkkejä ja E"= - yleissarja "Kustannus", sitten päälle E" voimme määritellä sumeita joukkoja, kuten:
Riisi. 1.1. Esimerkkejä jäsentoiminnasta
"Köyhille", "Keskiluokalle", "Arvokas", kuulumisen toiminnoilla, kuten kuvassa. 1.1.
Ottaa nämä toiminnot ja tietää autojen kustannukset alkaen E tiettynä ajankohtana määritämme näin E" sumeita sarjoja samoilla nimillä.
Joten esimerkiksi sumea sarja "Köyhille", joka on annettu yleissarjassa E =(ZAPORIZHETZ, ZHIGULI, MERCEDES,...), näyttää kuvan 2 mukaiselta. 1.2.
Riisi. 1.2. Esimerkki sumean joukon määrittämisestä
Vastaavasti voit määrittää sumean joukon "High-speed", "Medium", "Low-speed" jne.
5. Anna E- joukko kokonaislukuja:
E= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.
Sitten itseisarvoltaan lähellä nollaa olevien lukujen sumea osajoukko voidaan määritellä esimerkiksi seuraavasti:
A ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.
Menetelmistä sumeiden joukkojen jäsenyysfunktioiden muodostamiseksi
Yllä olevat esimerkit käyttävät suoraan menetelmiä, kun asiantuntija joko yksinkertaisesti määrittää kullekin X ϵ E merkitys μ A (x), tai määrittää yhteensopivuusfunktion. Pääsääntöisesti suoria jäsenyysfunktiomenetelmiä käytetään mitattavissa oleville käsitteille, kuten nopeus, aika, matka, paine, lämpötila jne., tai kun polaariset arvot on korostettu.
Monissa tehtävissä objektia karakterisoitaessa on mahdollista erottaa joukko ominaisuuksia ja jokaiselle niistä määrittää napaarvot, jotka vastaavat jäsenyysfunktion arvoja 0 tai 1.
Esimerkiksi kasvojentunnistuksen tehtävässä voidaan valita taulukossa näkyvät asteikot. 1.1.
Taulukko 1.1. Asteikot kasvojentunnistuksen ongelmassa
|
x 1 |
otsan korkeus |
||
|
x 2 |
nenäprofiili |
tölväistä |
kyttyräselkäinen |
|
nenän pituus |
lyhyt |
||
|
x 4 |
silmien muoto |
||
|
silmien väri |
|||
|
leuan muoto |
osoitti |
neliö |
|
|
x 7 |
huulten paksuus |
||
|
ihonväri |
|||
|
kasvojen ääriviivat |
soikea |
neliö |
Tietylle henkilölleAasiantuntija asettaa annetun asteikon perusteellaμ A(x) ϵ, muodostaen vektorin jäsenyysfunktion (μ A(x 1) , μ A(x 2),…, μ A(x 9)}.
Suorilla menetelmillä käytetään myös ryhmäsuoria menetelmiä, kun esimerkiksi asiantuntijaryhmälle esitellään tietty henkilö ja jokaisen on annettava yksi kahdesta vastauksesta: "tämä henkilö on kalju" tai "tämä henkilö ei ole kalju", sitten myöntävien vastausten määrä jaettuna asiantuntijoiden kokonaismäärällä antaa arvon μ kalju (tietyn henkilön). (Tässä esimerkissä voit toimia yhteensopivuustoiminnon kautta, mutta sitten sinun on laskettava kunkin asiantuntijalle esitellyn kasvon päässä olevien karvojen määrä.)
Epäsuora Jäsenyysfunktion arvojen määrittämismenetelmiä käytetään tapauksissa, joissa ei ole olemassa alkeellisia mitattavia ominaisuuksia, joiden kautta meitä kiinnostava sumea joukko määritetään. Yleensä nämä ovat parivertailumenetelmiä. Jos jäsenfunktioiden arvot olisivat meille tiedossa esim. μ A(X-i) = ω i , i= 1, 2, ..., n, silloin parivertailut voidaan esittää suhdematriisilla A= ( a ij ), missä aij= ω i/ ω j(jaostotoiminta).
Käytännössä asiantuntija itse muodostaa matriisin A, kun taas oletetaan, että diagonaaliset alkiot ovat yhtä suuret kuin 1, ja diagonaalin suhteen symmetrisillä alkioilla a ij = 1/a ij , ts. jos yksi elementti arvioi arvoksi α kertaa vahvempi kuin toinen, niin jälkimmäisen on oltava 1/α kertaa vahvempi kuin ensimmäinen. Yleisessä tapauksessa ongelma rajoittuu vektorin ω löytämiseen, joka täyttää muodon yhtälön Voi= λmax w, jossa λ max on matriisin suurin ominaisarvo A. Matriisista lähtien A on rakentamisen kannalta positiivinen, tämän ongelman ratkaisu on olemassa ja se on positiivinen.
Voidaan huomata kaksi muuta lähestymistapaa:
- vakiolomakkeiden käyttö käyrät jäsenyysfunktioiden osoittamiseksi (muodossa (L-R)-Type - katso alla) ja niiden parametrien määrittely kokeellisten tietojen mukaisesti;
- suhteellisten taajuuksien käyttökokeen mukaan jäsenarvoina.
Olkoon X universaali (kanta)joukko, x X:n alkio ja R jokin ominaisuus. Universaalin joukon X tavallinen (selkeä) osajoukko A, jonka elementit täyttävät ominaisuuden R, määritellään järjestettävien parien joukoksi
A = μ A x / x , missä μ A x on ominaisfunktio, joka saa arvon 1, jos x täyttää ominaisuuden R , ja 0 muuten.
Sumea osajoukko eroaa tavallisesta siinä, että X:n elementeille x ei ole yksiselitteistä vastausta "kyllä-ei" ominaisuuden R suhteen. Tässä suhteessa yleisjoukon X sumea osajoukko A määritellään järjestetyistä pareista A = μ A x / x , missä μ A x on tyypillinen jäsenyystoiminto(tai yksinkertaisesti jäsenyystoiminto) ottamalla arvot jossain hyvin järjestetyssä joukossa M = 0 ; 1 . Jäsenyysfunktio osoittaa elementin x jäsenyyden asteen (tai tason) A:n osajoukossa. Joukkoa M kutsutaan tavarajoukoksi. Jos M = 0; 1, niin sumeaa osajoukkoa A voidaan pitää tavallisena tai terävänä joukkona. Jäsenyysaste μ A x on subjektiivinen mitta siitä, kuinka paljon elementti x ∈ X vastaa käsitettä, jonka merkitys formalisoidaan sumealla joukolla A .
harjoittaja sumea joukko A on yleisjoukon X terävä osajoukko S A, jonka ominaisuus on μ A x > 0, ts. S A = x ∣ x ∈ X ∧ μ A x > 0 . Toisin sanoen sumean joukon A kantoaalto on universaalin joukon X osajoukko SA, jonka alkioiden jäsenyysfunktio μ A x > 0 on suurempi kuin nolla. Joskus sumean joukon kantajaa kutsutaan tueksi A .
Jos sumean joukon A kantoaalto on diskreetti osajoukko S A , niin yleisen joukon X sumea osajoukko A, joka koostuu n alkiosta, voidaan esittää äärellisen määrän yksipistejoukkojen μ A x / x liittona käyttämällä symboli ∑ : A = ∑ i = 1 n μ A x i / x i . Tämä tarkoittaa, että elementit x i lajitellaan indeksien mukaan nousevaan järjestykseen, ts. x 1< x 2 < x 3 < … < x n .
Jos sumean joukon A kantoaalto on jatkuva osajoukko S A , niin yleisjoukon X sumea osajoukko A, kun pidetään symbolia ∫ edellä diskreeteille sumeille joukoille ∑ esitellyn liittosymbolin jatkuvana analogina, voidaan esittää äärettömän määrän yksipistejoukkoja μ A x / x liitto:
A = ∫ X μ A x / x .
Esimerkki. Olkoon yleissarja X vastaa mahdollisia tuotteen paksuuden arvoja 10 mm - 40 mm erillisellä askeleella 1 mm. "Pienen tuotteen paksuuden" sumeaa käsitettä vastaava sumea joukko A voidaan esittää seuraavasti:
A = 1/10; 0,9/11; 0,8/12; 0,7/13; 0,5/14; 0,3/15; 0,1/16; 0/17; … ; 0/40
A = 1 / 10 + 0,9 / 11 + 0,8 / 12 + 0,7 / 13 + 0,5 / 14 + 0,3 / 15 + 0,1 / 16 + 0 / 17 + ... + 0 / 40,
jossa summamerkki ei tarkoita aritmeettista yhteenlaskua, vaan elementtien yhdistämistä yhdeksi joukoksi. Sumean joukon A kantoaalto on äärellinen osajoukko (diskreetti kantoaalto):
SA = 10; yksitoista ; 12; 13; 14; 15; 16 .
Jos universaali joukko X on joukko reaalilukuja 10:stä 40:een, ts. tuotteen paksuus voi ottaa kaikki mahdolliset arvot näissä rajoissa, silloin sumean joukon A kantaja on segmentti S A = 10 ; 16 .
Sumea joukko, jolla on diskreetti tuki, voidaan esittää erillisinä pisteinä tasossa, sumea joukko, jolla on jatkuva tuki, voidaan esittää käyränä, joka vastaa yleisjoukolla X annettuja diskreettejä ja jatkuvia jäsenyysfunktioita μ A x ( kuva 2.1).
Kuva 2.1. Sumeiden joukkojen jäsenfunktiot, joissa on (a)-diskreetti ja (b)-jatkuva tuki
Esimerkki. Olkoon X = 0; 1; 2; … on joukko ei-negatiivisia kokonaislukuja. Sumea joukko ital small voidaan määritellä μ ital small x = x 1 + 0.1 x 2 − 1 .
Kuva 2.2. Graafinen esitys sumeasta joukosta pieni
Sumeaa joukkoa A kutsutaan lopullinen jos sen tuki S A on äärellinen terävä joukko. Samanaikaisesti, analogisesti tavallisten joukkojen kanssa, voimme sanoa, että tällaisella sumealla joukolla on äärellinen kardinaalisuuskortti A = kortti S A . Sumeaa joukkoa A kutsutaan loputon, jos sen tuki S A ei ole rajallinen terävä joukko. Jossa laskettava Sumea joukko on sumea joukko, jolla on laskettava tuki laskettava teho tavallisessa merkityksessä terävän joukkoteorian kannalta, ts. jos S A sisältää äärettömän määrän alkioita, jotka voidaan kuitenkin numeroida luonnollisilla luvuilla 1,2 ,3 . . . , ja on pohjimmiltaan mahdotonta saavuttaa viimeistä elementtiä numeroinnin aikana. Lukematon fuzzy set on sumea sarja, jolla on lukematon tuki jatkuvuuden lukematon potenssi, eli jos S A sisältää äärettömän määrän alkioita, joita ei voida numeroida luonnollisilla luvuilla 1,2 ,3 . . .
Esimerkki. Sumea käsite "erittäin pieni määrä osia" voidaan esittää äärellisenä sumeana joukkona A = 1 / 0 + 0,9 / 1 + 0,8 / 2 + 0,7 / 3 + 0,5 / 4 + 0,1 / 5 + 0 / 6 + ... kanssa kortti (A) = 6 ja kantoaalto SA = 0; 1; 2; 3; 4; 5, joka on rajallinen rapea sarja. Sumea käsite "erittäin suuri määrä yksityiskohtia" voidaan esittää muodossa A = 0 / 0 + ... + 0,1 / 1 0 + 0,4 / 11 + 0,7 / 12 + 0,9 / 13 + 1 / 14 + 1 / 15 + … + 1 / n + … , n ∈ N – sumea joukko, jolla on ääretön laskettava tuki S A ≡ N (luonnollisten lukujen joukko), jolla on laskettava kardinaliteetti tavallisessa merkityksessä.
Esimerkki. Laskematon sumea joukko A, joka vastaa sumeaa käsitettä "erittäin kuuma", on annettu yleisessä lämpötila-arvojoukossa (kelvineinä) lämpötilalla x ∈ [ 0 ; ∞) ja jäsenyysfunktio μ A = 1 − e − x , tuella S A ≡ R + (ei-negatiivisten reaalilukujen joukko), jolla on laskematon jatkumokardinaliteetti.
Suuruutta sup x ∈ X μ A x kutsutaan korkeus sumeaa settiä.
Sumea sarja A Hieno jos sen korkeus on 1, ts. sen jäsenyysfunktion yläraja sup x ∈ X μ A x = 1 . Sup x ∈ X μ A x< 1 epänormaalia.
Sumea joukko on ns tyhjä, jos ∀ x ∈ X μ A x = 0 .
Ei-tyhjä alinormaalijoukko voidaan aina normalisoida jakamalla kaikki jäsenyysfunktion arvot sen maksimiarvolla μ A x sup x ∈ X μ A x .
Sumea joukko on ns yksimuotoinen, jos μ A x = 1 vain yhdelle pisteelle x ( muoti) yleisjoukosta X .
Sumea joukko on ns täsmentää, jos μ A x > 0 vain yhdelle yleisjoukon X pisteelle x .
monet α -taso sumeaa joukkoa A, joka on määritelty universaalissa joukossa X, kutsutaan yleisjoukon X selkeäksi osajoukoksi A α, joka määritellään seuraavasti:
A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α , missä α ∈ 0 ; 1 .
Esimerkki. A = 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0,2 / 3 + 1 / 4, A 0,5 \u003d 1; 2; 4 , jossa A 0.5 on selkeä joukko sisältäen ne elementit x järjestetyistä pareista μ A x / x , jotka muodostavat sumean joukon A , jonka jäsenfunktion arvo täyttää ehdon μ A x ≥ α .
α-tason joukoille pätee seuraava ominaisuus: jos α 1 ≥ α 2, niin osajoukon A α 1 kardinaliteetti ei ole suurempi kuin osajoukon A α 2 kardinaliteetti.
Kutsutaan alkiot x ∈ X, joille μ A x = 0,5 siirtymäpisteet sumea sarja A.
ydin sumean joukon A, joka on määritelty yleisjoukolle X, on terävä joukkoydin A, jonka alkiot täyttävät ehdon ydin A = x ∈ X ∣ μ A x = 1 .
rajaa yleisjoukolle X määriteltyä sumeaa joukkoa A kutsutaan teräväksi joukkorintamaksi A, jonka alkiot täyttävät ehdon front A = x ∈ X ∣ 0< μ A x < 1 .
Esimerkki. Olkoon X = 0; 1; 2; … ; 10, M = 0; 1 . Useiden sumea joukko voidaan määritellä luonnollisten lukujen universaalilla joukolla seuraavasti: useat = 0,5 / 3 + 0,8 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 + 0,8 / 7 + 0,5 / 8 ; sen ominaisuudet: korkeus = 1 , kantaja = 3 ; 4; 5; 6; 7; 8 , siirtymäpisteet = 3 ; 8, ydin = 5; 6, reuna = 3; 4; 7; 8.
Universaalijoukolle X määriteltyä sumeaa joukkoa A kutsutaan kupera, jos μ A x ≥ min μ A a ; μAb; a< x < b ; x , a , b ∈ X (рис.2.3).
Kuva 2.3. Konveksien ja ei-kupereiden sumeiden joukkojen jäsenfunktiot
