Tietoa perusfunktiot, niiden ominaisuudet ja kuvaajat yhtä tärkeää kuin kertotaulukon tunteminen. Ne ovat kuin perustus, kaikki perustuu niihin, kaikki on rakennettu heistä ja kaikki laskeutuu heille.

Tässä artikkelissa luetellaan kaikki tärkeimmät perusfunktiot, annamme niiden kaaviot ja annamme ne ilman johtamista ja todisteita. perusfunktioiden ominaisuudet kaavan mukaan:

• funktion käyttäytyminen määritelmäalueen rajoilla, vertikaaliset asymptootit (katso tarvittaessa artikkelin funktion raja-arvojen luokittelu);
• parillinen ja pariton;
• kuperuus (kuperuus ylöspäin) ja koveruus (kuperuus alaspäin) -välit, taivutuspisteet (katso tarvittaessa artikkelifunktio kupera, kuperuussuunta, taivutuspisteet, kupera ja taivutusehdot);
• vinot ja vaakasuuntaiset asymptootit;
• funktioiden yksittäiset pisteet;
• joidenkin funktioiden erityisominaisuudet (esimerkiksi trigonometristen funktioiden pienin positiivinen jakso).

Jos olet kiinnostunut tai, voit mennä näihin teorian osiin.

Perustoiminnot ovat: vakiofunktio (vakio), n:nnen asteen juuri, potenssifunktio, eksponentiaalinen, logaritminen funktio, trigonometriset ja käänteiset trigonometriset funktiot.

Sivulla navigointi.

Pysyvä toiminto.

Vakiofunktio on annettu kaikkien reaalilukujen joukolle kaavalla , jossa C on jokin reaaliluku. Vakiofunktio antaa jokaiselle riippumattoman muuttujan x todelliselle arvolle saman riippuvan muuttujan y arvon - arvon С. Vakiofunktiota kutsutaan myös vakioksi.

Vakiofunktion kuvaaja on x-akselin suuntainen suora, joka kulkee pisteen läpi, jonka koordinaatit (0,C) . Esitetään esimerkiksi kaavioita vakiofunktioista y=5 , y=-2 ja , jotka alla olevassa kuvassa vastaavat mustaa, punaista ja sinistä viivaa.

Vakiofunktion ominaisuudet.

• Määritelmäalue: koko joukko reaalilukuja.
• Vakiofunktio on tasainen.
• Arvoalue: joukko, joka koostuu yhdestä luvusta C .
• Vakiofunktio on ei-nouseva ja ei-laskeva (siksi se on vakio).
• Ei ole mitään järkeä puhua vakion kuperuudesta ja koveruudesta.
• Asymptoottia ei ole.
• Funktio kulkee koordinaattitason pisteen (0,C) läpi.

N:nnen asteen juuri.

Tarkastellaan perusalkeisfunktiota, joka saadaan kaavalla , jossa n on yhtä suurempi luonnollinen luku.

N:nnen asteen juuri, n on parillinen luku.

Aloitetaan n:nnestä juurifunktiosta juurieksponentin n parillisille arvoille.

Esimerkiksi annamme kuvan, jossa on kuvia funktioiden kaavioista ja , ne vastaavat mustia, punaisia ​​ja sinisiä viivoja.

Parillisen asteen juuren funktioiden kaavioilla on samanlainen muoto indikaattorin muille arvoille.

Parillisen n:n asteen juuren ominaisuudet.

N:nnen asteen juuri, n on pariton luku.

N:nnen asteen juurifunktio ja juurin n pariton eksponentti määritetään koko reaalilukujoukolle. Esitämme esimerkiksi funktioiden kuvaajia ja , musta, punainen ja sininen käyrät vastaavat niitä.

Muilla juurieksponentin parittomilla arvoilla funktion kaaviot näyttävät samanlaisilta.

Parittoman n:n n:nnen asteen juuren ominaisuudet.

Virtatoiminto.

Tehofunktio annetaan muodon kaavalla.

Harkitse potenssifunktion kuvaajien tyyppiä ja potenssifunktion ominaisuuksia eksponentin arvosta riippuen.

Aloitetaan potenssifunktiolla, jossa on kokonaislukueksponentti a . Tässä tapauksessa potenssifunktioiden kuvaajien muoto ja funktioiden ominaisuudet riippuvat parillisesta tai parittomasta eksponenttista sekä sen etumerkistä. Siksi tarkastelemme ensin potenssifunktioita eksponentin a parittomille positiivisille arvoille, sitten parillisille positiivisille, sitten parittomille negatiivisille eksponenteille ja lopuksi parillisille negatiivisille a.

Murto- ja irrationaalisten eksponentien potenssifunktioiden ominaisuudet (sekä tällaisten potenssifunktioiden kuvaajien tyyppi) riippuvat eksponentin a arvosta. Käsittelemme niitä ensinnäkin, kun a on nollasta yhteen, toiseksi, kun a on suurempi kuin yksi, kolmanneksi, kun a on miinus yhdestä nollaan, ja neljänneksi, kun a on pienempi kuin miinus yksi.

Tämän alaosan lopuksi kuvaamme täydellisyyden vuoksi potenssifunktiota, jonka eksponentti on nolla.

Potenssifunktio parittisella positiivisella eksponentilla.

Tarkastellaan potenssifunktiota, jolla on pariton positiivinen eksponentti, eli a=1,3,5,… .

Alla olevassa kuvassa on kaavioita tehofunktioista - musta viiva, - sininen viiva, - punainen viiva, - vihreä viiva. Meillä a=1 on lineaarinen funktio y=x.

Parittoman positiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Tehofunktio jopa positiivisella eksponentilla.

Tarkastellaan potenssifunktiota, jolla on parillinen positiivinen eksponentti, eli a=2,4,6,… .

Otetaan esimerkkinä potenssifunktioiden kuvaajat - musta viiva, - sininen viiva, - punainen viiva. Kohta a=2 meillä on neliöfunktio, jonka kuvaaja on neliöllinen paraabeli.

Parillisen positiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Tehofunktio parittoman negatiivisen eksponentin kanssa.

Katso eksponenttifunktion kaavioita eksponentin parittomille negatiivisille arvoille, eli arvolle \u003d -1, -3, -5, ....

Kuvassa on esimerkkinä eksponentiaalisten funktioiden kaavioita - musta viiva, - sininen viiva, - punainen viiva, - vihreä viiva. Meillä on a=-1 käänteinen suhteellisuus, jonka kaavio on hyperbeli.

Parittoman negatiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Tehofunktio, jossa on parillinen negatiivinen eksponentti.

Jatketaan tehofunktioon a=-2,-4,-6,….

Kuvassa on kaavioita potenssifunktioista - musta viiva, - sininen viiva, - punainen viiva.

Parillisen negatiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Potenssifunktio, jolla on rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti, jonka arvo on suurempi kuin nolla ja pienempi kuin yksi.

Huomautus! Jos a on positiivinen murto-osa, jolla on pariton nimittäjä, niin jotkut kirjoittajat pitävät väliä potenssifunktion alueena. Samalla määrätään, että eksponentti a on redusoitumaton murto-osa. Nyt monien algebraa käsittelevien oppikirjojen ja analyysin alkujen kirjoittajat EIVÄT MÄÄRITÄ potenssifunktioita eksponentin muodossa argumentin negatiivisten arvojen parittoman nimittäjän muodossa. Noudatamme juuri tällaista näkemystä, eli pidämme joukona potenssifunktioiden alueita, joilla on positiivinen murtoluku. Kannustamme oppilaita saamaan opettajasi näkökulman tähän hienovaraiseen kohtaan erimielisyyksien välttämiseksi.

Tarkastellaan potenssifunktiota, jossa on rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti a , ja .

Esitämme tehofunktioiden kuvaajia kohdissa a=11/12 (musta viiva), a=5/7 (punainen viiva), (sininen viiva), a=2/5 (vihreä viiva).

Potenssifunktio, jonka ei-kokonaisluku rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti on suurempi kuin yksi.

Harkitse tehofunktiota, jolla on ei-kokonaisluku rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti a , ja .

Esitetään kaavojen antamien potenssifunktioiden kuvaajat (musta, punainen, sininen ja vihreä viivat).

>

Muille eksponentin a arvoille funktion kaaviot näyttävät samanlaisilta.

Tehofunktion ominaisuudet kohteelle .

Potenssifunktio, jonka todellinen eksponentti on suurempi kuin miinus yksi ja pienempi kuin nolla.

Huomautus! Jos a on negatiivinen murtoluku, jolla on pariton nimittäjä, niin jotkut kirjoittajat pitävät väliä . Samalla määrätään, että eksponentti a on redusoitumaton murto-osa. Nyt monien algebraa käsittelevien oppikirjojen ja analyysin alkujen kirjoittajat EIVÄT MÄÄRITÄ potenssifunktioita eksponentin muodossa argumentin negatiivisten arvojen parittoman nimittäjän muodossa. Noudatamme juuri tällaista näkemystä, eli pidämme joukkona potenssifunktioiden alueita murto-osien negatiivisilla eksponenteilla. Kannustamme oppilaita saamaan opettajasi näkökulman tähän hienovaraiseen kohtaan erimielisyyksien välttämiseksi.

Siirrymme tehofunktioon , jossa .

Saadaksemme hyvän käsityksen tehofunktioiden kaaviotyypeistä annamme esimerkkejä funktioiden kaavioista (musta, punainen, sininen ja vihreä käyrä).

Potenttifunktion ominaisuudet eksponentti a , .

Potenssifunktio, jonka reaalieksponentti ei ole kokonaisluku, joka on pienempi kuin miinus yksi.

Annetaan esimerkkejä tehofunktioiden kaavioista for , ne on kuvattu mustilla, punaisilla, sinisillä ja vihreillä viivoilla.

Potenttifunktion ominaisuudet, jonka negatiivinen eksponentti on pienempi kuin miinus yksi.

Kun a=0 ja meillä on funktio - tämä on suora, josta piste (0; 1) jätetään pois (lausekkeelle 0 0 sovittiin, ettei se anna mitään merkitystä).

Eksponentti funktio.

Yksi perusfunktioista on eksponentiaalinen funktio.

Kuvaaja eksponentiaalisesta funktiosta, jossa ja saa eri muodon kantaluvun a arvosta riippuen. Selvitetään se.

Tarkastellaan ensin tapausta, jossa eksponentiaalisen funktion kanta ottaa arvon nollasta yhteen, eli .

Esitämme esimerkiksi eksponentiaalisen funktion kaaviot, kun a = 1/2 - sininen viiva, a = 5/6 - punainen viiva. Eksponentiaalisen funktion kaavioilla on samanlainen ulkonäkö muille välin kantaarvon arvoille.

Eksponentiaalisen funktion ominaisuudet, jonka kanta on pienempi kuin yksi.

Siirrytään tapaukseen, jossa eksponentiaalisen funktion kanta on suurempi kuin yksi, eli .

Esittelemme kuvaajia eksponentiaalisista funktioista - sininen viiva ja - punainen viiva. Muille kantaarvon arvoille, jotka ovat suurempia kuin yksi, eksponentiaalisen funktion kaaviot näyttävät samanlaisilta.

Eksponentiaalisen funktion ominaisuudet, jonka kanta on suurempi kuin yksi.

Logaritminen funktio.

Seuraava perusalkeisfunktio on logaritminen funktio , jossa , . Logaritminen funktio määritetään vain argumentin positiivisille arvoille, eli .

Logaritmisen funktion kuvaaja saa eri muodon kantaluvun a arvosta riippuen.

Täysin minkä tahansa tason pisteen koordinaatti määräytyy sen kahdella arvolla: pitkin abskissa-akselia ja ordinaatta-akselia. Monien tällaisten pisteiden joukko on funktion kuvaaja. Sen mukaan näet kuinka Y:n arvo muuttuu X:n arvon muutoksesta riippuen. Voit myös määrittää, missä jaksossa (välissä) funktio kasvaa ja missä se pienenee.

Ohje

• Mitä voidaan sanoa funktiosta, jos sen kuvaaja on suora? Katso, kulkeeko tämä viiva koordinaattien origon läpi (eli sen, jossa X- ja Y-arvot ovat 0). Jos se läpäisee, niin tällainen funktio kuvataan yhtälöllä y = kx. On helppo ymmärtää, että mitä suurempi k:n arvo, sitä lähempänä tämä viiva on y-akselia. Ja itse Y-akseli vastaa itse asiassa äärettömän suurta k:n arvoa.
• Katso toiminnon suuntaa. Jos se kulkee "vasemmalla alhaalla - ylhäällä oikealla", eli 3. ja 1. koordinaattineljänneksen läpi, se kasvaa, mutta jos "ylhäältä vasen - oikea alas" (2. ja 4. neljänneksen kautta), se pienenee.
• Kun suora ei kulje origon kautta, se kuvataan yhtälöllä y = kx + b. Suora leikkaa y-akselin kohdassa, jossa y = b, ja y:n arvo voi olla joko positiivinen tai negatiivinen.
• Funktiota kutsutaan paraabeliksi, jos se kuvataan yhtälöllä y = x^n ja sen muoto riippuu n:n arvosta. Jos n on mikä tahansa parillinen luku (yksinkertaisin tapaus on neliöfunktio y = x^2), funktion kuvaaja on käyrä, joka kulkee alkupisteen sekä koordinaattien (1; 1) kautta, (- 1; 1), yksikkö mihin tahansa tehoon jää yksiköksi. Kaikki y-arvot, jotka vastaavat mitä tahansa nollasta poikkeavaa X-arvoa, voivat olla vain positiivisia. Funktio on symmetrinen Y-akselin suhteen ja sen kuvaaja sijaitsee 1. ja 2. koordinaattineljänneksellä. Voidaan helposti ymmärtää, että mitä suurempi n:n arvo on, sitä lähempänä graafi on Y-akselia.
• Jos n on pariton luku, tämän funktion kuvaaja on kuutioparaabeli. Käyrä sijaitsee 1. ja 3. koordinaattineljänneksellä, on symmetrinen Y-akselin suhteen ja kulkee origin sekä pisteiden (-1;-1), (1;1) läpi. Kun toisen asteen funktio on yhtälö y = ax^2 + bx + c, paraabelin muoto on sama kuin yksinkertaisimmassa tapauksessa (y = x^2), mutta sen kärki ei ole origossa.
• Funktiota kutsutaan hyperboliksi, jos se kuvataan yhtälöllä y = k/x. Voidaan helposti nähdä, että kun x:n arvo pyrkii nollaan, y:n arvo kasvaa äärettömään. Funktiograafi on käyrä, joka koostuu kahdesta haarasta ja sijaitsee eri koordinaattineljänneksissä.

Tämä metodologinen materiaali on tarkoitettu vain viitteeksi ja se kattaa laajan valikoiman aiheita. Artikkeli tarjoaa yleiskatsauksen tärkeimpien perusfunktioiden kaavioista ja käsittelee tärkeintä asiaa - kuinka rakentaa kaavio oikein ja NOPEASTI. Korkeamman matematiikan opiskelun aikana perusfunktioiden kuvaajia tuntematta se tulee olemaan vaikeaa, joten on erittäin tärkeää muistaa, miltä paraabelin, hyperbelin, sinin, kosinin jne. kuvaajat näyttävät, muistaa joitain funktion arvot. Puhumme myös joistakin päätoimintojen ominaisuuksista.

En väitä aineistojen täydellisyyttä ja tieteellistä perusteellisuutta, vaan painotetaan ennen kaikkea käytäntöä - niitä asioita, joilla täytyy kohdata kirjaimellisesti joka vaiheessa, missä tahansa korkeamman matematiikan aiheessa. Kaaviot nukkeille? Voit sanoa niin.

Yleisön lukijoiden pyynnöstä napsautettava sisällysluettelo:

Lisäksi aiheesta on erittäin lyhyt abstrakti
– hallitse 16 tyyppistä kaaviota tutkimalla KUUSI sivua!

Vakavasti, kuusi, jopa minä itse yllätyin. Tämä tiivistelmä sisältää parannettua grafiikkaa ja on saatavana nimellistä maksua vastaan, demoversio on katsottavissa. Tiedosto on kätevä tulostaa niin, että kaaviot ovat aina käsillä. Kiitos projektin tukemisesta!

Ja aloitamme heti:

Kuinka rakentaa koordinaattiakselit oikein?

Käytännössä opiskelijat laativat kokeet lähes aina erillisiin vihkoihin, jotka on vuorattu häkkiin. Miksi tarvitset ruudullisia merkintöjä? Loppujen lopuksi työ voidaan periaatteessa tehdä A4-arkeille. Ja häkki on tarpeellinen vain piirustusten laadukkaan ja tarkan suunnittelun vuoksi.

Mikä tahansa funktiokaavion piirustus alkaa koordinaattiakseleilla.

Piirustukset ovat kaksi- ja kolmiulotteisia.

Tarkastellaan ensin kaksiulotteista tapausta Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä:

1) Piirrämme koordinaattiakselit. Akseli on ns x-akseli , ja akseli y-akseli . Pyrimme aina piirtämään niitä siisti ja ei kiero. Nuolet eivät myöskään saa muistuttaa Papa Carlon partaa.

2) Allekirjoitamme akselit isoilla kirjaimilla "x" ja "y". Älä unohda allekirjoittaa akseleita.

3) Aseta asteikko akseleita pitkin: piirrä nolla ja kaksi ykköstä. Piirustusta tehtäessä kätevin ja yleisin mittakaava on: 1 yksikkö = 2 solua (piirros vasemmalla) - pidä siitä kiinni, jos mahdollista. Ajoittain kuitenkin tapahtuu, että piirustus ei mahdu muistikirjan arkille - sitten pienennämme mittakaavaa: 1 yksikkö = 1 solu (piirros oikealla). Harvoin, mutta tapahtuu, että piirustuksen mittakaavaa on pienennettävä (tai lisättävä) vielä enemmän

ÄLÄ kirjoita konekiväärillä ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Sillä koordinaattitaso ei ole Descartesin muistomerkki, eikä opiskelija ole kyyhkynen. Me laitamme nolla ja kaksi yksikköä akseleita pitkin. Joskus sijasta yksiköitä, on kätevää "tunnistaa" muita arvoja, esimerkiksi "kaksi" abskissa-akselilla ja "kolme" ordinaatta-akselilla - ja tämä järjestelmä (0, 2 ja 3) asettaa myös yksilöllisesti koordinaattiruudukon.

Piirustuksen arvioidut mitat on parempi arvioida ENNEN piirustuksen tekemistä.. Joten jos tehtävä edellyttää esimerkiksi kolmion piirtämistä, jonka kärjet ovat , , , niin on melko selvää, että suosittu mittakaava 1 yksikkö = 2 solua ei toimi. Miksi? Katsotaanpa asiaa - tässä sinun on mitattava viisitoista senttimetriä alaspäin, ja ilmeisesti piirustus ei mahdu (tai tuskin mahdu) muistikirjan arkille. Siksi valitsemme välittömästi pienemmän mittakaavan 1 yksikkö = 1 solu.

Muuten, noin senttimetrejä ja muistikirjan soluja. Onko totta, että 30 muistikirjan solussa on 15 senttimetriä? Mittaa viivaimella muistivihkosta kiinnostuksen kohteeksi 15 senttimetriä. Neuvostoliitossa tämä oli ehkä totta ... On mielenkiintoista huomata, että jos mittaat nämä samat senttimetrit vaaka- ja pystysuunnassa, tulokset (soluissa) ovat erilaisia! Tarkkaan ottaen nykyaikaiset muistikirjat eivät ole ruudullisia, vaan suorakaiteen muotoisia. Se voi tuntua hölmöltä, mutta esimerkiksi ympyrän piirtäminen kompassilla tällaisissa tilanteissa on erittäin hankalaa. Ollakseni rehellinen, sellaisina hetkinä alkaa miettiä toveri Stalinin oikeellisuutta, joka lähetettiin leireille hakkeroimaan tuotannossa, puhumattakaan kotimaisesta autoteollisuudesta, putoavista lentokoneista tai räjähtävistä voimalaitoksista.

Laadusta puheen ollen tai lyhyt suositus paperitavaroista. Tähän mennessä suurin osa myytävistä muistikirjoista, sanomatta pahoja sanoja, ovat täydellisiä peikkoja. Siitä syystä, että ne kastuvat, eikä vain geelikynistä, vaan myös kuulakärkikynistä! Säästä paperilla. Testien suunnitteluun suosittelen käyttämään Arkhangelskin sellu- ja paperitehtaan muistikirjoja (18 arkkia, solu) tai Pyaterochka, vaikka se onkin kalliimpi. On suositeltavaa valita geelikynä, halvinkin kiinalainen geelitäyttö on paljon parempi kuin kuulakärkikynä, joka joko tahraa tai repii paperia. Ainoa "kilpaileva" kuulakärkikynä muistissani on Erich Krause. Hän kirjoittaa selkeästi, kauniisti ja vakaasti - joko täydellä varrella tai melkein tyhjällä.

Lisäksi: artikkelissa käsitellään suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän näkemystä analyyttisen geometrian silmin Vektorien lineaarinen (ei) riippuvuus. Vektoripohjalta, yksityiskohtaiset tiedot koordinaattineljänneksistä löytyvät oppitunnin toisesta kappaleesta Lineaariset epäyhtälöt.

3D kotelo

Se on melkein sama täällä.

1) Piirrämme koordinaattiakselit. Vakio: soveltaa akselia – suunnattu ylöspäin, akseli – suunnattu oikealle, akseli – alaspäin vasemmalle tiukasti 45 asteen kulmassa.

2) Allekirjoitamme akselit.

3) Aseta asteikko akseleita pitkin. Mittakaava akselia pitkin - kaksi kertaa pienempi kuin muiden akselien mittakaava. Huomaa myös, että oikeassa piirustuksessa käytin epästandardia "serifiä" akselilla (tämä mahdollisuus on jo mainittu edellä). Minun näkökulmastani se on tarkempi, nopeampi ja esteettisempi - sinun ei tarvitse etsiä kennon keskiosaa mikroskoopilla ja "veistää" yksikköä suoraan alkuperään asti.

Kun teet 3D-piirustuksen uudelleen - aseta mittakaava etusijalle
1 yksikkö = 2 solua (piirros vasemmalla).

Mitä varten nämä kaikki säännöt ovat? Säännöt on olemassa rikottavaksi. Mitä minä nyt teen. Tosiasia on, että artikkelin myöhemmät piirustukset teen Excelissä ja koordinaattiakselit näyttävät virheellisiltä oikean suunnittelun kannalta. Voisin piirtää kaikki kaaviot käsin, mutta niiden piirtäminen on todella pelottavaa, koska Excel on haluton piirtämään niitä paljon tarkemmin.

Kuvaajat ja alkeisfunktioiden perusominaisuudet

Lineaarinen funktio saadaan yhtälöstä . Lineaarinen funktiokaavio on suoraan. Suoran rakentamiseksi riittää, että tietää kaksi pistettä.

Esimerkki 1

Piirrä funktio. Etsitään kaksi pistettä. On edullista valita nolla yhdeksi pisteeksi.

Jos sitten

Otamme toisen kohdan, esimerkiksi 1.

Jos sitten

Tehtäviä valmisteltaessa pisteiden koordinaatit kootaan yleensä taulukkoon:

Ja itse arvot lasketaan suullisesti tai luonnoksella, laskimella.

Kaksi pistettä löytyy, piirretään:

Piirustusta laadittaessa allekirjoitamme aina grafiikan.

Ei ole tarpeetonta muistaa lineaarisen funktion erikoistapauksia:

Huomaa, kuinka laitoin kuvatekstit, allekirjoitukset eivät saa olla moniselitteisiä piirustusta tutkittaessa. Tässä tapauksessa oli erittäin epätoivottavaa laittaa allekirjoitusta viivojen leikkauspisteen viereen tai oikeaan alareunaan kaavioiden väliin.

1) Muodon () lineaarifunktiota kutsutaan suoraksi suhteelliseksi. Esimerkiksi, . Suoran verrannollisuuden graafi kulkee aina origon kautta. Siten suoran linjan rakentaminen yksinkertaistuu - riittää, että löytää vain yksi piste.

2) Muotoinen yhtälö määrittelee akselin suuntaisen suoran, erityisesti itse akseli on yhtälöllä annettu. Funktion kuvaaja rakennetaan välittömästi, ilman pisteitä. Toisin sanoen merkintä tulee ymmärtää seuraavasti: "y on aina yhtä suuri kuin -4, millä tahansa x:n arvolla."

3) Muodollinen yhtälö määrittelee akselin suuntaisen suoran, erityisesti itse akseli on yhtälöllä annettu. Myös funktion kuvaaja rakennetaan välittömästi. Merkintä tulee ymmärtää seuraavasti: "x on aina, millä tahansa y:n arvolla, yhtä suuri kuin 1."

Jotkut kysyvät, miksi muistaa 6. luokka?! Näin se ehkä onkin, vain harjoitteluvuosien aikana tapasin parikymmentä opiskelijaa, jotka olivat hämmentyneitä tehtävästä rakentaa graafi, kuten tai .

Suoran viivan piirtäminen on yleisin toimenpide piirustuksia tehtäessä.

Suoraa käsitellään yksityiskohtaisesti analyyttisen geometrian aikana ja halukkaat voivat viitata artikkeliin Tason suoran yhtälö.

Neliöfunktiokaavio, kuutiofunktiokaavio, polynomigraafi

Paraabeli. Neliöfunktion kuvaaja () on paraabeli. Mieti kuuluisaa tapausta:

Muistetaan joitain funktion ominaisuuksia.

Joten, ratkaisu yhtälöimme: - tässä pisteessä sijaitsee paraabelin kärki. Miksi näin on, voidaan oppia derivaatta käsittelevästä teoreettisesta artikkelista ja oppitunnista funktion ääripäistä. Sillä välin laskemme "y":n vastaavan arvon:

Huippupiste on siis pisteessä

Nyt löydämme muita pisteitä, samalla kun käytämme röyhkeästi paraabelin symmetriaa. On huomattava, että toiminto – ei ole tasainen, mutta kukaan ei kuitenkaan kumonnut paraabelin symmetriaa.

Missä järjestyksessä jäljellä olevat pisteet löydetään, luulisin olevan selvää finaalipöydästä:

Tätä rakennusalgoritmia voidaan kuvaannollisesti kutsua "sukkulaksi" tai "edestakaisin" -periaatteeksi Anfisa Chekhovan kanssa.

Tehdään piirustus:

Tarkastetuista kaavioista tulee mieleen toinen hyödyllinen ominaisuus:

Neliöfunktiolle () seuraava pitää paikkansa:

Jos , niin paraabelin haarat on suunnattu ylöspäin.

Jos , niin paraabelin haarat on suunnattu alaspäin.

Käyrästä saa syvällistä tietoa oppitunnilla Hyperbola ja parabola.

Kuutioparaabeli saadaan funktiolla . Tässä koulusta tuttu piirros:

Luettelemme funktion tärkeimmät ominaisuudet

Funktiokaavio

Se edustaa yhtä paraabelin haaroista. Tehdään piirustus:

Toiminnon tärkeimmät ominaisuudet:

Tässä tapauksessa akseli on vertikaalinen asymptootti hyperbolakaaviolle osoitteessa .

On SUURI virhe, jos annat kaavion leikkaamisen asymptootin kanssa huolimattomuudesta piirustusta tehdessäsi.

Myös yksipuoliset rajat, kerro meille, että hyperboli ei ole rajoitettu ylhäältä ja ei rajoitettu alhaalta.

Tutkitaan funktiota äärettömyydessä: eli jos alamme liikkua akselia pitkin vasemmalle (tai oikealle) äärettömään, niin "peleistä" tulee hoikka askel äärettömän lähellä lähestyy nollaa, ja vastaavasti hyperbelin haarat äärettömän lähellä lähestyä akselia.

Eli akseli on vaakasuora asymptootti funktion kuvaajalle, jos "x" pyrkii plus- tai miinusäärettömyyteen.

Toiminto on outo, mikä tarkoittaa, että hyperboli on symmetrinen origon suhteen. Tämä tosiasia on ilmeinen piirroksesta, lisäksi se voidaan helposti tarkistaa analyyttisesti: .

Muodon () funktion kuvaaja edustaa hyperbelin kahta haaraa.

Jos , Hyperbola sijaitsee ensimmäisessä ja kolmannessa koordinaattineljänneksessä(katso kuva yllä).

Jos , Hyperbola sijaitsee toisessa ja neljännessä koordinaattineljänneksessä.

Hyperbolin asuinpaikan määriteltyä säännöllisyyttä ei ole vaikea analysoida graafien geometristen muunnosten näkökulmasta.

Esimerkki 3

Muodosta hyperbelin oikea haara

Käytämme pistemäistä rakennusmenetelmää, mutta arvot on edullista valita siten, että ne jakautuvat kokonaan:

Tehdään piirustus:

Hyperbolan vasemman haaran rakentaminen ei ole vaikeaa, tässä funktion omituisuus vain auttaa. Karkeasti sanottuna, pisteviivaisessa rakennustaulukossa, lisää henkisesti miinus jokaiseen numeroon, laita vastaavat pisteet ja piirrä toinen haara.

Tarkat geometriset tiedot tarkasteltavasta viivasta löytyvät artikkelista Hyperbola ja parabola.

Kuvaaja eksponentiaalisesta funktiosta

Tässä kappaleessa tarkastelen välittömästi eksponentiaalista funktiota, koska korkeamman matematiikan ongelmissa 95%:ssa tapauksista esiintyy eksponentti.

Muistutan, että - tämä on irrationaalinen luku: tämä vaaditaan kaavion rakentamisessa, jonka itse asiassa rakennan ilman seremonioita. Kolme pistettä varmaan riittää:

Jätetään funktion kuvaaja toistaiseksi rauhaan, siitä myöhemmin.

Toiminnon tärkeimmät ominaisuudet:

Pohjimmiltaan funktioiden kaaviot näyttävät samalta jne.

Minun on sanottava, että toinen tapaus on vähemmän yleinen käytännössä, mutta sitä esiintyy, joten katsoin tarpeelliseksi sisällyttää sen tähän artikkeliin.

Logaritmisen funktion kuvaaja

Tarkastellaan funktiota, jolla on luonnollinen logaritmi .
Piirretään viiva:

Jos olet unohtanut mikä logaritmi on, katso koulun oppikirjoja.

Toiminnon tärkeimmät ominaisuudet:

Verkkotunnus:

Arvoalue: .

Toimintoa ei ole rajoitettu ylhäältä: , vaikkakin hitaasti, mutta logaritmin haara nousee äärettömyyteen.
Tarkastellaan oikealla lähellä nollaa olevan funktion käyttäytymistä: . Eli akseli on vertikaalinen asymptootti funktion kuvaajalle, jossa "x" pyrkii nollaan oikealla.

Muista tietää ja muistaa logaritmin tyypillinen arvo: .

Pohjimmiltaan logaritmin käyrä kannassa näyttää samalta: , , (desimaalilogaritmi kantaan 10) jne. Samalla mitä suurempi pohja, sitä litteämpi kaavio on.

Emme käsittele tapausta, en muista, milloin viimeksi rakensin kaavion sellaisella pohjalla. Kyllä, ja logaritmi näyttää olevan erittäin harvinainen vieras korkeamman matematiikan ongelmissa.

Kappaleen lopuksi sanon vielä yhden tosiasian: Eksponentiaalinen funktio ja logaritminen funktioovat kaksi keskenään käänteistä funktiota. Jos katsot tarkasti logaritmin kuvaajaa, voit nähdä, että tämä on sama eksponentti, vain se sijaitsee hieman eri tavalla.

Trigonometristen funktioiden kuvaajat

Miten trigonometrinen piina alkaa koulussa? oikein. Sinistä

Piirretään funktio

Tätä linjaa kutsutaan sinusoidi.

Muistutan, että "pi" on irrationaalinen luku: ja trigonometriassa se häikäisee silmissä.

Toiminnon tärkeimmät ominaisuudet:

Tämä toiminto on kausijulkaisu jaksolla. Mitä se tarkoittaa? Katsotaanpa leikkausta. Sen vasemmalla ja oikealla puolella täsmälleen sama kaavion pala toistuu loputtomasti.

Verkkotunnus: , eli mille tahansa "x":n arvolle on olemassa siniarvo.

Arvoalue: . Toiminto on rajoitettu: , eli kaikki "pelit" ovat tiukasti segmentissä .
Näin ei tapahdu: tai tarkemmin sanottuna tapahtuu, mutta näillä yhtälöillä ei ole ratkaisua.

funktio on kahden joukon elementtien välinen vastaavuus, joka muodostetaan sellaisen säännön mukaan, että joukon jokainen elementti liittyy johonkin toisen joukon alkioon.

funktion kuvaaja on niiden pisteiden paikka tasossa, joiden abskissat (x) ja ordinaatit (y) on yhdistetty määritellyllä funktiolla:

piste sijaitsee (tai sijaitsee) funktion kaaviossa silloin ja vain jos .

Siten funktio voidaan kuvata riittävästi sen graafilla.

taulukkomuodossa. Melko yleistä, se koostuu yksittäisten argumenttiarvojen ja niitä vastaavien funktioarvojen taulukon asettamisesta. Tätä funktion määrittelytapaa käytetään, kun funktion alue on diskreetti äärellinen joukko.

Taulukkomenetelmällä funktion määrittämiseksi on mahdollista laskea likimääräisesti funktion arvot, jotka eivät sisälly taulukkoon, jotka vastaavat argumentin väliarvoja. Käytä tätä varten interpolointimenetelmää.

Taulukomaisen funktion asetusmenetelmän etuna on, että sen avulla voidaan määrittää tietyt arvot kerralla ilman lisämittauksia tai laskelmia. Joissakin tapauksissa taulukko ei kuitenkaan määrittele funktiota kokonaan, vaan vain joillekin argumentin arvoille, eikä se tarjoa visuaalista esitystä funktion muutoksen luonteesta argumentin muutoksesta riippuen.

Graafinen tapa. Funktion y = f(x) kuvaaja on joukko kaikkia tason pisteitä, joiden koordinaatit täyttävät annetun yhtälön.

Graafinen tapa määrittää funktio ei aina mahdollista argumentin numeeristen arvojen tarkkaa määritystä. Sillä on kuitenkin suuri etu muihin menetelmiin verrattuna - näkyvyys. Tekniikassa ja fysiikassa funktion asettamisessa käytetään usein graafista menetelmää, ja graafi on ainoa käytettävissä oleva tapa tähän.

Jotta funktion graafinen osoitus olisi matemaattiselta kannalta varsin oikea, on tarpeen osoittaa graafin tarkka geometrinen rakenne, joka useimmiten saadaan yhtälöllä. Tämä johtaa seuraavaan tapaan määrittää funktio.

analyyttisellä tavalla. Useimmiten laki, joka määrittää argumentin ja funktion välisen suhteen, määritellään kaavojen avulla. Tätä funktion määrittelytapaa kutsutaan analyyttiseksi.

Tämä menetelmä mahdollistaa sen, että jokainen argumentin x numeerinen arvo löytää funktion y vastaavan numeerisen arvon tarkasti tai jollain tarkkuudella.

Jos x:n ja y:n välinen suhde on annettu kaavalla, joka ratkaistaan ​​y:n suhteen, ts. on muotoa y = f(x), silloin sanomme, että x:n funktio on annettu eksplisiittisesti.

Jos arvot x ja y liittyvät toisiinsa jollain yhtälöllä muotoa F(x,y) = 0, ts. kaava ei ole sallittu y:n suhteen, mikä tarkoittaa, että funktio y = f(x) on implisiittisesti määritelty.

Funktio voidaan määritellä eri kaavoilla sen tehtäväalueen eri osissa.

Analyyttinen menetelmä on yleisin tapa määritellä funktioita. Kompaktisuus, tiiviys, kyky laskea funktion arvo mielivaltaiselle argumentin arvolle määritelmäalueelta, kyky soveltaa matemaattisen analyysin laitteistoa tiettyyn funktioon ovat analyyttisen määritysmenetelmän tärkeimmät edut. toiminto. Haittoja ovat näkyvyyden puute, jota kompensoi kyky rakentaa kaavio ja tarve tehdä toisinaan erittäin hankalia laskelmia.

sanallinen tapa. Tämä menetelmä koostuu siitä, että toiminnallinen riippuvuus ilmaistaan ​​sanoilla.

Esimerkki 1: funktio E(x) on luvun x kokonaislukuosa. Yleensä E(x) = [x] tarkoittaa suurinta kokonaislukua, joka ei ylitä x:ää. Toisin sanoen, jos x = r + q, missä r on kokonaisluku (voi olla negatiivinen) ja q kuuluu väliin = r. Funktio E(x) = [x] on vakio välillä = r.

Esimerkki 2: funktio y = (x) - luvun murto-osa. Tarkemmin sanottuna y =(x) = x - [x], missä [x] on luvun x kokonaislukuosa. Tämä funktio on määritetty kaikille x:ille. Jos x on mielivaltainen luku, niin se esitetään muodossa x = r + q (r = [x]), missä r on kokonaisluku ja q on välissä .
Näemme, että n:n lisääminen x-argumenttiin ei muuta funktion arvoa.
Pienin nollasta poikkeava luku n:ssä on , joten jakso on sin 2x .

Kutsutaan argumentin arvo, jonka funktio on yhtä kuin 0 nolla (juuri) toimintoja.

Funktiolla voi olla useita nollia.

Esimerkiksi funktio y=x(x+1)(x-3) siinä on kolme nollaa: x=0, x=-1, x=3.

Geometrisesti funktion nolla on funktion kuvaajan ja akselin leikkauspisteen abskissa X .

Kuvassa 7 on funktio funktiosta, jossa on nollia: x = a, x = b ja x = c .

Jos funktion kuvaaja lähestyy tiettyä suoraa loputtomasti, kun se siirtyy pois origosta, niin tätä suoraa kutsutaan ns. asymptootti.

Käänteinen funktio

Olkoon funktio y=ƒ(x) annettu määritelmän alueella D ja arvojoukolla E. Jos jokainen arvo yєE vastaa yhtä arvoa xєD, niin funktio x=φ(y) määritellään määritelmän E alue ja arvojoukko D (katso kuva 102).

Tällaista funktiota φ(y) kutsutaan funktion ƒ(x) käänteiseksi ja se kirjoitetaan seuraavassa muodossa: x=j(y)=f -1 (y) Tietoja funktioista y=ƒ(x) ja x=φ(y) he sanovat olevansa keskenään käänteisiä. Funktion x=φ(y) käänteisfunktion löytämiseksi funktiolle y=ƒ(x) riittää, että ratkaistaan ​​yhtälö ƒ(x)=y suhteessa x:iin (jos mahdollista).

1. Funktiolle y \u003d 2x käänteisfunktio on funktio x \u003d y / 2;

2. Funktiolle y \u003d x2 xє käänteisfunktio on x \u003d √y; huomaa, että funktiolle y \u003d x 2, annettu segmentillä [-1; 1], ei ole käänteistä, koska yksi y:n arvo vastaa kahta x:n arvoa (esimerkiksi jos y=1/4, niin x1=1/2, x2=-1/2).

Käänteisfunktion määritelmästä seuraa, että funktiolla y=ƒ(x) on käänteisfunktio silloin ja vain, jos funktio ƒ(x) määrittää yksi-yhteen vastaavuuden joukkojen D ja E välillä. Tästä seuraa, että mikä tahansa tiukasti monotonisella funktiolla on käänteinen. Lisäksi, jos funktio kasvaa (pienenee), myös käänteisfunktio kasvaa (pienenee).

Huomaa, että funktio y \u003d ƒ (x) ja sen käänteisarvo x \u003d φ (y) on kuvattu samalla käyrällä, eli niiden kaaviot ovat yhtenevät. Jos olemme samaa mieltä siitä, että tavalliseen tapaan riippumaton muuttuja (eli argumentti) merkitään x:llä ja riippuvainen muuttuja y:llä, funktion y \u003d ƒ (x) käänteisfunktio kirjoitetaan muodossa y \u003d φ (x).

Tämä tarkoittaa, että käyrän y=ƒ(x) pisteestä M 1 (x o; y o) tulee käyrän y=φ(x) piste M 2 (y o; x o). Mutta pisteet M 1 ja M 2 ovat symmetrisiä suoran y \u003d x suhteen (katso kuva 103). Tästä syystä keskenään käänteisfunktioiden y=ƒ(x) ja y=φ(x) kuvaajat ovat symmetrisiä ensimmäisen ja kolmannen koordinaattikulman puolittajan suhteen.

Monimutkainen toiminto

Määritetään funktio y=ƒ(u) joukolle D ja funktio u= φ(x) joukolle D 1 ja  x D 1 vastaava arvo u=φ(x) є D. Sitten joukolle D 1 määritellään funktio u=ƒ(φ(x)), jota kutsutaan x:n kompleksifunktioksi (tai annettujen funktioiden superpositioksi tai funktion funktioksi).

Muuttujaa u=φ(x) kutsutaan kompleksisen funktion väliargumentiksi.

Esimerkiksi funktio y=sin2x on kahden funktion y=sinu ja u=2x superpositio. Monimutkaisella funktiolla voi olla useita väliargumentteja.

4. Perusfunktiot ja niiden graafit.

Seuraavia funktioita kutsutaan perusalkeisfunktioiksi.

1) Eksponentiaalinen funktio y \u003d a x, a> 0, a ≠ 1. Kuvassa. 104 esittää kaavioita eksponentiaalisista funktioista, jotka vastaavat erilaisia ​​eksponentiaalikantoja.

2) Tehofunktio y=x α , αєR. Kuvissa on esimerkkejä eri eksponenttia vastaavien potenssifunktioiden kaavioista

3) Logaritminen funktio y=log a x, a>0,a≠1. Kuvassa 2 on esitetty eri kantaa vastaavien logaritmien funktioiden graafit. 106.

4) Trigonometriset funktiot y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Trigonometristen funktioiden kuvaajat ovat kuvan 2 mukaisia. 107.

5) Käänteiset trigonometriset funktiot y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. Kuvassa 108 esittää käänteisten trigonometristen funktioiden kaavioita.

Yhdellä kaavalla annettua funktiota, joka koostuu perusfunktioista ja vakioista, jotka käyttävät äärellistä määrää aritmeettisia operaatioita (yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuja) ja funktion ottamista funktiosta, kutsutaan alkeisfunktioksi.

Esimerkkejä perusfunktioista ovat funktiot

Esimerkkejä ei-alkeisfunktioista ovat funktiot

5. Jakson ja funktion rajan käsitteet. Rajoita ominaisuuksia.

Toiminnan raja (toimintoraja) tietyssä pisteessä, funktion määritelmäaluetta rajoittava, on sellainen arvo, johon tarkasteltavan funktion arvo pyrkii, kun sen argumentti suuntautuu tiettyyn pisteeseen.

Matematiikassa järjestysrajoitus metrisen avaruuden tai topologisen avaruuden elementit ovat saman avaruuden elementti, jolla on ominaisuus "vetää puoleensa" tietyn sekvenssin elementtejä. Topologisen avaruuden elementtijonon rajana on sellainen piste, jonka jokainen naapuruus sisältää kaikki sekvenssin alkiot jostain numerosta alkaen. Metrisessä avaruudessa naapurit määritellään etäisyysfunktiolla, joten rajan käsite on muotoiltu etäisyyksien kielellä. Historiallisesti ensimmäinen oli käsite numeerisen sekvenssin rajasta, joka syntyy matemaattisessa analyysissä, jossa se toimii perustana approksimaatiojärjestelmälle ja jota käytetään laajalti differentiaali- ja integraalilaskennan rakentamisessa.

Nimitys:

(lukea: äärettömyyteen pyrkivän x-n:nnen sekvenssin raja on a)

Sekvenssin ominaisuutta rajata kutsutaan lähentyminen: jos sekvenssillä on raja, niin annetun sekvenssin sanotaan olevan lähentyy; muuten (jos sekvenssillä ei ole rajaa) sekvenssin sanotaan olevan eroaa. Hausdorff-avaruudessa ja erityisesti metriavaruudessa konvergentin sekvenssin jokainen osasekvenssi konvergoi, ja sen raja on sama kuin alkuperäisen sekvenssin raja. Toisin sanoen Hausdorffin avaruuden elementtisarjalla ei voi olla kahta eri rajaa. Saattaa kuitenkin käydä niin, että sekvenssillä ei ole rajaa, mutta on olemassa (annetusta sekvenssistä) osasekvenssi, jolla on raja. Jos millä tahansa pistejonolla avaruudessa on suppeneva osajono, niin annetulla avaruudella sanotaan olevan peräkkäisen tiiviyden ominaisuus (tai yksinkertaisesti tiiviys, jos tiiviys määritellään yksinomaan sarjoina).

Jakson rajan käsite liittyy suoraan rajapisteen (joukon) käsitteeseen: jos joukolla on rajapiste, silloin on tietyn joukon elementtien sarja, joka suppenee annettuun pisteeseen.

Määritelmä

Olkoon topologinen avaruus ja sekvenssi annettu Sitten, jos on olemassa sellainen elementti, että

jossa on avoin joukko, joka sisältää , niin sitä kutsutaan sekvenssin rajaksi. Jos tila on metrinen, niin raja voidaan määrittää käyttämällä metriikkaa: jos on olemassa sellainen elementti, että

missä on metri, sitä kutsutaan rajaksi.

· Jos avaruus on varustettu antidiskreetillä topologialla, minkä tahansa sekvenssin raja on mikä tahansa avaruuden elementti.

6. Funktion raja pisteessä. Yksipuoliset rajat.

Yhden muuttujan funktio. Funktion rajan määrittäminen pisteessä Cauchyn mukaan. Määrä b kutsutaan funktion rajaksi klo = f(x) klo X pyrkii a(tai pisteessä a) jos jollakin positiivisella luvulla  on positiivinen luku  siten, että kaikilla x ≠ a, niin että | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | <  .

Funktion rajan määrittäminen pisteessä Heinen mukaan. Määrä b kutsutaan funktion rajaksi klo = f(x) klo X pyrkii a(tai pisteessä a) jos jollekin sekvenssille ( x n ) lähentyy a(pyrkii a, jolla on rajanumero a) ja millä tahansa arvolla n x n≠ a, jatkojakso ( y n= f(x n)) suppenee b.

Nämä määritelmät olettavat, että funktio klo = f(x) on määritelty jossain pisteen ympäristössä a, paitsi ehkä itse asiassa a.

Funktion rajan määritelmät pisteessä Cauchyn ja Heinen mukaan ovat ekvivalentteja: jos luku b toimii rajana toisessa, niin sama pätee toisessa.

Määritetty raja ilmoitetaan seuraavasti:

Geometrisesti funktion rajan olemassaolo pisteessä Cauchyn mukaan tarkoittaa, että mille tahansa luvulle  > 0, tällainen suorakulmio voidaan ilmaista koordinaattitasolla, jonka kanta on 2 > 0, korkeus 2 ja keskipiste. pisteessä ( a; b) että tämän funktion kaavion kaikki pisteet välillä ( a– ; a+ ), lukuun ottamatta mahdollista pistettä M(a; f(a)), makaa tässä suorakulmiossa

Yksipuolinen raja matemaattisessa analyysissä numeerisen funktion raja, mikä tarkoittaa rajapisteen "lähestymistä" toiselta puolelta. Tällaisia ​​rajoja kutsutaan vastaavasti vasemmanpuoleinen raja(tai vasen raja) ja oikeanpuoleinen raja (raja oikealla). Olkoon jollekin numeeriselle joukolle annettu numeerinen funktio ja luku on määritelmäalueen rajapiste. On olemassa erilaisia ​​määritelmiä funktion yksipuolisille rajoituksille pisteessä, mutta ne ovat kaikki samanarvoisia.

Kansallinen tutkimusyliopisto

Soveltavan geologian laitos

Essee korkeammasta matematiikasta

Aiheesta: "Perustoiminnot,

niiden ominaisuudet ja kaaviot"

Valmistunut:

Tarkistettu:

opettaja

Määritelmä. Kaavan y=a x (jossa a>0, a≠1) antamaa funktiota kutsutaan eksponentiaaliseksi funktioksi, jonka kanta on a.

Muotoilkaamme eksponentiaalisen funktion pääominaisuudet:

1. Määritelmäalue on kaikkien reaalilukujen joukko (R).

2. Arvoalue on kaikkien positiivisten reaalilukujen joukko (R+).

3. Kun a > 1, funktio kasvaa koko reaaliviivalla; klo 0<а<1 функция убывает.

4. Onko yleinen toiminto.

, välissä xн [-3;3]
, välissä xн [-3;3]

Funktion muotoa y(х)=х n , jossa n on luku ОR, kutsutaan potenssifunktioksi. Luku n voi saada erilaisia ​​arvoja: sekä kokonaisluku- että murtoluku, sekä parillinen että pariton. Tästä riippuen tehotoiminnolla on eri muoto. Harkitse erikoistapauksia, jotka ovat tehofunktioita ja heijastavat tämäntyyppisten käyrien pääominaisuuksia seuraavassa järjestyksessä: tehofunktio y \u003d x² (funktio, jolla on parillinen eksponentti - paraabeli), potenssifunktio y \u003d x³ (funktio parittisella eksponentilla - kuutioparaabeli) ja funktiolla y \u003d √ x (x potenssilla ½) (funktio murto-eksponentilla), funktio negatiivisella kokonaislukueksponentilla (hyperbola).

Virtatoiminto y=x²

1. D(x)=R – funktio on määritelty koko numeeriselle akselille;

2. E(y)= ja kasvaa välissä

Virtatoiminto y=x³

1. Funktion y \u003d x³ kuvaajaa kutsutaan kuutioparaabeliksi. Tehofunktiolla y=x³ on seuraavat ominaisuudet:

2. D(x)=R – funktio on määritelty koko numeeriselle akselille;

3. E(y)=(-∞;∞) – funktio ottaa kaikki arvot määrittelyalueellaan;

4. Kun x=0 y=0 – funktio kulkee origon O(0;0) kautta.

5. Funktio kasvaa koko määrittelyalueen yli.

6. Funktio on pariton (symmetrinen origon suhteen).

, välissä xн [-3;3]

Riippuen x³:n edessä olevasta numeerisesta kertoimesta, funktio voi olla jyrkkä / tasainen ja suurentava / laskeva.

Potenttifunktio negatiivisella kokonaisluvulla:

Jos eksponentti n on pariton, niin tällaisen potenssifunktion kuvaajaa kutsutaan hyperboliksi. Potenttifunktiolla, jolla on negatiivinen kokonaislukueksponentti, on seuraavat ominaisuudet:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) mille tahansa n:lle;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) jos n on pariton luku; E(y)=(0;∞) jos n on parillinen luku;

3. Funktio pienenee koko määritelmäalueen yli, jos n on pariton luku; funktio kasvaa välillä (-∞;0) ja pienenee välillä (0;∞), jos n on parillinen luku.

4. Funktio on pariton (symmetrinen origon suhteen), jos n on pariton luku; funktio on parillinen, jos n on parillinen luku.

5. Funktio kulkee pisteiden (1;1) ja (-1;-1) läpi, jos n on pariton luku ja pisteiden (1;1) ja (-1;1) läpi, jos n on parillinen luku.

, välissä xн [-3;3]

Potenttifunktio murto-osollinen eksponentti

Potenssifunktiolla, jossa on muodon (kuva) murto-eksponentti, on kuvassa esitetyn funktion käyrä. Potenttifunktiolla, jossa on murto-osollinen eksponentti, on seuraavat ominaisuudet: (kuva)

1. D(x) нR, jos n on pariton luku ja D(x)=
, välissä xн
, välissä xн [-3;3]

Logaritmisella funktiolla y \u003d log a x on seuraavat ominaisuudet:

1. Määritelmäalue D(x)н (0; + ∞).

2. Arvoalue E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funktio ei ole parillinen eikä pariton (yleinen).

4. Funktio kasvaa aikavälillä (0; + ∞), jos a > 1, pienenee (0; + ∞), jos 0< а < 1.

Funktion y = log a x kuvaaja saadaan funktion y = a x graafista käyttämällä symmetriamuunnosta suoran y = x ympärillä. Kuvassa 9 on piirretty logaritmisen funktion kuvaaja arvolle a > 1 ja kuvassa 10 arvolle 0< a < 1.

; aikavälillä xО
; aikavälillä xО

Funktioita y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x kutsutaan trigonometrisiksi funktioiksi.

Funktiot y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x ovat parittomia ja funktio y \u003d cos x on parillisia.

Funktio y \u003d sin (x).

1. Määritelmäalue D(x) ОR.

2. Arvoalue E(y) О [ - 1; yksi].

3. Funktio on jaksollinen; pääjakso on 2π.

4. Funktio on pariton.

5. Funktio kasvaa intervalleilla [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] ja pienenee intervalleilla [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Funktion y \u003d sin (x) kaavio on esitetty kuvassa 11.