Satunnaismuuttuja kutsutaan muuttujaksi, joka jokaisen testin tuloksena saa yhden aiemmin tuntemattoman arvon, riippuen satunnaisista syistä. Satunnaismuuttujat merkitään isoilla latinalaisilla kirjaimilla: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Satunnaismuuttujat voivat olla tyypiltään diskreetti ja jatkuva.

Diskreetti satunnaismuuttuja- tämä on sellainen satunnaismuuttuja, jonka arvot eivät voi olla enempää kuin laskettavia, eli joko äärellisiä tai laskettavia. Lasketettavuus tarkoittaa, että satunnaismuuttujan arvot voidaan laskea.

Esimerkki 1 . Otetaan esimerkkejä diskreeteistä satunnaismuuttujista:

a) osumien määrä kohteeseen $n$ laukauksella, tässä mahdolliset arvot ovat $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) kolikkoa heitettäessä pudonneiden vaakunoiden määrä, tässä mahdolliset arvot ovat $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) alukselle saapuneiden alusten lukumäärä (laskettavissa oleva arvosarja).

d) keskukseen saapuvien puheluiden määrä (laskettavissa oleva arvosarja).

1. Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman laki.

Diskreetti satunnaismuuttuja $X$ voi saada arvot $x_1,\pisteet ,\ x_n$ todennäköisyyksillä $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Näiden arvojen ja niiden todennäköisyyksien välistä vastaavuutta kutsutaan Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki. Tämä vastaavuus määritellään pääsääntöisesti taulukolla, jonka ensimmäisellä rivillä on arvot $x_1,\dots ,\ x_n$ ja toisella rivillä näitä arvoja vastaavat todennäköisyydet ovat $ p_1,\pisteet ,\ p_n$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pisteet & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \pisteet & p_n \\
\hline
\end(array)$

Esimerkki 2 . Olkoon satunnaismuuttuja $X$ noppaa heitettyjen pisteiden lukumäärä. Tällainen satunnaismuuttuja $X$ voi saada seuraavat arvot $1,\2,\3,\4,\5,\6$. Kaikkien näiden arvojen todennäköisyys on yhtä suuri kuin $1/6$. Sitten satunnaismuuttujan $X$ todennäköisyysjakauman laki:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Kommentti. Koska tapahtumat $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ muodostavat täydellisen tapahtumaryhmän diskreetin satunnaismuuttujan $X$ jakautumislaissa, todennäköisyyksien summan on oltava yhtä suuri kuin yksi, eli $\sum( p_i)=1$.

2. Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus.

Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus määrittää sen "keskiarvon". Diskreetille satunnaismuuttujalle matemaattinen odotus lasketaan arvojen $x_1,\pisteet ,\ x_n$ ja näitä arvoja vastaavien todennäköisyyksien $p_1,\pisteet ,\ p_n$ tulojen summana, eli: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Englanninkielisessä kirjallisuudessa käytetään toista merkintää $E\left(X\right)$.

Odotusominaisuudet$M\vasen(X\oikea)$:

1. $M\left(X\right)$ on satunnaismuuttujan $X$ pienimmän ja suurimman arvon välissä.
2. Vakion matemaattinen odotus on sama kuin itse vakio, ts. $M\left(C\oikea)=C$.
3. Vakiotekijä voidaan ottaa pois odotusmerkistä: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Satunnaismuuttujien summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten summa: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Esimerkki 3 . Etsitään satunnaismuuttujan $X$ matemaattinen odotus esimerkistä $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cpiste ((1)\yli (6))+4\cpiste ((1)\yli (6))+5\cpiste ((1)\yli (6))+6\cpiste ((1) )\over (6))=3,5.$$

Voimme huomata, että $M\left(X\right)$ on satunnaismuuttujan $X$ pienimmän ($1$) ja suurimman ($6$) arvojen välissä.

Esimerkki 4 . Tiedetään, että satunnaismuuttujan $X$ matemaattinen odotus on $M\left(X\right)=2$. Etsi satunnaismuuttujan $3X+5$ matemaattinen odotus.

Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä saamme $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Esimerkki 5 . Tiedetään, että satunnaismuuttujan $X$ matemaattinen odotus on $M\left(X\right)=4$. Etsi satunnaismuuttujan $2X-9$ matemaattinen odotus.

Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä saadaan $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Diskreetin satunnaismuuttujan dispersio.

Satunnaismuuttujien mahdolliset arvot, joilla on samat matemaattiset odotukset, voivat hajaantua eri tavalla keskiarvojensa ympärille. Esimerkiksi kahdessa opiskelijaryhmässä todennäköisyysteorian tentin keskiarvoksi muodostui 4, mutta yhdessä ryhmässä kaikki osoittautuivat hyviksi ja toisessa ryhmässä vain C-opiskelijoita ja erinomaisia ​​opiskelijoita. Siksi tarvitaan sellainen satunnaismuuttujan numeerinen ominaisuus, joka näyttäisi satunnaismuuttujan arvojen leviämisen sen matemaattisen odotuksen ympärille. Tämä ominaisuus on dispersio.

Diskreetin satunnaismuuttujan dispersio$X$ on:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Englanninkielisessä kirjallisuudessa käytetään merkintää $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Hyvin usein varianssi $D\vasen(X\oikea)$ lasketaan kaavalla $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) vasen(X \oikea)\oikea))^2$.

Dispersion ominaisuudet$D\vasen(X\oikea)$:

1. Dispersio on aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, ts. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Dispersio vakiosta on yhtä suuri kuin nolla, ts. $D\left(C\oikea)=0$.
3. Vakiokerroin voidaan ottaa pois dispersiomerkistä, jos se on neliöity, ts. $D\left(CX\oikea)=C^2D\left(X\oikea)$.
4. Riippumattomien satunnaismuuttujien summan varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa, ts. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Riippumattomien satunnaismuuttujien eron varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa, ts. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Esimerkki 6 . Lasketaan satunnaismuuttujan $X$ varianssi esimerkistä $2$.

$$D\left(X\oikea)=\summa^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\vasen(1-3,5\oikea))^2+((1)\yli (6))\cdot (\vasen(2-3,5\oikea))^2+ \pisteet +((1)\yli (6))\cdot (\vasen(6-3,5\oikea))^2=((35)\yli (12))\noin 2.92.$$

Esimerkki 7 . Tiedetään, että satunnaismuuttujan $X$ varianssi on yhtä suuri kuin $D\left(X\right)=2$. Etsi satunnaismuuttujan $4X+1$ varianssi.

Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä löydämme $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\vasen(X\oikea)=16\cdot 2=32$.

Esimerkki 8 . Tiedetään, että $X$:n varianssi on yhtä suuri kuin $D\left(X\right)=3$. Etsi satunnaismuuttujan $3-2X$ varianssi.

Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä löydämme $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\vasen(X\oikea)=4\cdot 3=12$.

4. Diskreetin satunnaismuuttujan jakaumafunktio.

Diskreetin satunnaismuuttujan esittämismenetelmä jakaumasarjan muodossa ei ole ainoa, ja mikä tärkeintä, se ei ole universaali, koska jatkuvaa satunnaismuuttujaa ei voida määrittää jakaumasarjan avulla. On toinenkin tapa esittää satunnaismuuttuja - jakaumafunktio.

jakelutoiminto satunnaismuuttuja $X$ on funktio $F\left(x\right)$, joka määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja $X$ saa arvon, joka on pienempi kuin jokin kiinteä arvo $x$, eli $F\left(x\ oikea)$ )=P\vasen(X< x\right)$

Jakaumafunktion ominaisuudet:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja $X$ saa arvoja väliltä $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ on yhtä suuri kuin jakaumafunktion arvojen erotus tämän intervallin päissä : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\oikea)$ - ei-pienenevä.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Esimerkki 9 . Etsitään jakaumafunktio $F\left(x\right)$ diskreetin satunnaismuuttujan $X$ jakautumissääntöä varten esimerkistä $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Jos $x\le 1$, niin ilmeisesti $F\left(x\right)=0$ (mukaan lukien $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Jos 1 dollari< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Jos 2 dollaria< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Jos 3 dollaria< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Jos 4 dollaria< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Jos 5 dollaria< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Jos $x > 6$, niin $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\vasen(X=4\oikea)+P\vasen(X=5\oikea)+P\vasen(X=6\oikea)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Joten $F(x)=\left\(\begin(matriisi)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, klo \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, klo \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
6.5., \ klo \ 4< x\le 5,\\
1,\ = \ x > 6.
\end(matriisi)\oikea.$

Määritelmä 1

Satunnaismuuttujaa $Х$ kutsutaan diskreetiksi (epäjatkuvaksi), jos sen arvojen joukko on ääretön tai äärellinen, mutta laskettavissa.

Toisin sanoen määrää kutsutaan diskreetiksi, jos sen arvot voidaan laskea.

Voit kuvata satunnaismuuttujan jakautumislain avulla.

Diskreetin satunnaismuuttujan $X$ jakautumislaki voidaan antaa taulukon muodossa, jonka ensimmäisellä rivillä on merkitty kaikki mahdolliset satunnaismuuttujan arvot nousevassa järjestyksessä ja toisella rivillä vastaavat todennäköisyydet. näistä arvoista:

Kuva 1.

missä $p1+ p2+ ... + pn = 1$.

Tämä taulukko on lähellä diskreetin satunnaismuuttujan jakaumaa.

Jos satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen joukko on ääretön, sarja $p1+ p2+ ... + pn+ ...$ konvergoi ja sen summa on yhtä suuri kuin $1$.

Diskreetin satunnaismuuttujan $X$ jakautumislaki voidaan esittää graafisesti, jolle rakennetaan katkoviiva koordinaattijärjestelmään (suorakulmainen), joka yhdistää peräkkäin pisteitä koordinaatteilla $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Linja, jolle soitettiin jakelupolygoni.

Kuva 2.

Diskreetin satunnaismuuttujan $X$ jakautumislaki voidaan esittää myös analyyttisesti (käyttäen kaavaa):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Toimenpiteet diskreetillä todennäköisyydellä

Monia todennäköisyysteorian ongelmia ratkaistaessa on suoritettava operaatioita, joissa diskreetti satunnaismuuttuja kerrotaan vakiolla, lasketaan yhteen kaksi satunnaismuuttujaa, kerrotaan ja saatetaan potenssiin. Näissä tapauksissa on tarpeen noudattaa seuraavia satunnaisdiskreettien muuttujien sääntöjä:

Määritelmä 3

Kertomalla diskreetti satunnaismuuttuja $X$ vakioon $K$ on diskreetti satunnaismuuttuja $Y=KX,$, joka johtuu yhtälöistä: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left( x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Määritelmä 4

Kutsutaan kahta satunnaismuuttujaa $x$ ja $y$ riippumaton, jos yhden niistä jakautumislaki ei riipu siitä, mitkä mahdolliset arvot toinen arvo on saanut.

Määritelmä 5

summa kahta itsenäistä diskreettiä satunnaismuuttujaa $X$ ja $Y$ kutsutaan satunnaismuuttujaksi $Z=X+Y, $ johtuu yhtälöistä: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Määritelmä 6

Kertomalla kahta itsenäistä diskreettiä satunnaismuuttujaa $X$ ja $Y$ kutsutaan satunnaismuuttujaksi $Z=XY, $ johtuu yhtälöistä: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\oikea) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ vasen(x_i\oikea )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Otetaan huomioon, että jotkin tuotteet $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ voivat olla keskenään yhtä suuria. Tässä tapauksessa tuotteen lisäämisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin vastaavien todennäköisyyksien summa.

Jos esimerkiksi $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $, $x_2y_3$ (tai sama $x_5y_7$) todennäköisyys on yhtä suuri kuin $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Yllä oleva koskee myös määrää. Jos $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$, $x_1+\ y_2$ (tai sama $x_4+\ y_6$) todennäköisyys on $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Olkoon satunnaismuuttujat $X$ ja $Y$ annettu jakautumislailla:

Kuva 3

Missä $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Sitten summan $X+Y$ jakautumislaki näyttää tältä

Kuva 4

Ja tuotteen $XY$ jakelulailla on muoto

Kuva 5

jakelutoiminto

Jakaumafunktio antaa myös täydellisen kuvauksen satunnaismuuttujasta.

Geometrisesti jakaumafunktio selitetään todennäköisyydellä, että satunnaismuuttuja $X$ saa arvon, jota reaaliviivalla edustaa pisteen $x$ vasemmalla puolella oleva piste.

X; merkitys F(5); todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X ottaa arvot väliltä . Muodosta jakelupolygoni.

1. Diskreetin satunnaismuuttujan jakaumafunktio F(x) tunnetaan X:

Määritä satunnaismuuttujan jakautumislaki X taulukon muodossa.

1. Koska satunnaismuuttujan jakautumislaki X:

X	–28	–20	–12	–4
p	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Todennäköisyys, että kaupalla on laatusertifikaatit koko tuotevalikoimalle, on 0,7. Toimikunta tarkasti sertifikaattien saatavuuden neljässä piirin liikkeessä. Laadi jakelulaki, laske matemaattinen odotus ja varianssi niiden myymälöiden lukumäärälle, joista ei tarkastuksen aikana löytynyt laatusertifikaatteja.

1. Sähkölamppujen keskimääräisen palamisajan määrittämiseksi 350 samanlaisen laatikon erässä otettiin jokaisesta laatikosta yksi sähkölamppu testaukseen. Arvioi alta todennäköisyys, että valittujen sähkölamppujen keskimääräinen palamisaika poikkeaa koko erän keskimääräisestä palamisajasta itseisarvolla alle 7 tuntia, jos tiedetään, että sähkölamppujen palamisajan keskihajonnan jokaisessa laatikossa on alle 9 tuntia.

1. Puhelinkeskuksessa tapahtuu virheellinen yhteys todennäköisyydellä 0,002. Laske todennäköisyys, että 500 yhteyden joukossa on:

Etsi satunnaismuuttujan jakaumafunktio X. Piirrä funktiot ja . Laske satunnaismuuttujan keskiarvo, varianssi, tila ja mediaani X.

1. Automaattikone tekee rullia. Uskotaan, että niiden halkaisija on normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja, jonka keskiarvo on 10 mm. Mikä on keskihajonta, jos halkaisija on todennäköisyydellä 0,99 välillä 9,7–10,3 mm.

Näyte A: 6 9 7 6 4 4

Esimerkki B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Vaihtoehto 17.

1. 35 osasta 7 on epästandardia. Laske todennäköisyys, että kaksi satunnaisesti valittua osaa ovat vakioita.

1. Heitä kolme noppaa. Laske todennäköisyys, että pudonneiden pintojen pisteiden summa on 9:n kerrannainen.

1. Sana "ADVENTURE" koostuu korteista, joissa jokaisessa on yksi kirjain. Kortit sekoitetaan ja otetaan pois yksi kerrallaan palauttamatta. Laske todennäköisyys, että esiintymisjärjestyksessä poimitut kirjaimet muodostavat sanan: a) ADVENTURE; b) KAPPALE.

1. Urna sisältää 6 mustaa ja 5 valkoista palloa. 5 palloa arvotaan satunnaisesti. Selvitä todennäköisyys, että niiden joukossa on:
1. 2 valkoista palloa;
2. alle 2 valkoista palloa;
3. ainakin yksi musta pallo.

1. MUTTA yhdessä testissä on 0,4. Etsi seuraavien tapahtumien todennäköisyydet:
1. tapahtuma MUTTA ilmestyy 3 kertaa 7 itsenäisen kokeen sarjassa;
2. tapahtuma MUTTA ilmestyy vähintään 220 ja enintään 235 kertaa 400 haasteen sarjassa.

1. Tehdas lähetti tukikohtaan 5 000 korkealaatuista tuotetta. Kunkin tuotteen vaurioituminen kuljetuksessa on 0,002. Laske todennäköisyys, että enintään 3 tuotetta vaurioituu matkalla.

1. Ensimmäisessä uurnassa on 4 valkoista ja 9 mustaa palloa ja toisessa 7 valkoista ja 3 mustaa palloa. Ensimmäisestä uurnasta vedetään satunnaisesti 3 palloa ja toisesta 4. Laske todennäköisyys, että kaikki vedetyt pallot ovat samanvärisiä.

1. Koska satunnaismuuttujan jakautumislaki X:

Laske sen matemaattinen odotus ja varianssi.

1. Laatikossa on 10 kynää. 4 kynää piirretään satunnaisesti. Satunnainen arvo X on valittujen sinisten kynien lukumäärä. Etsi sen jakautumislaki, 2. ja 3. kertaluvun alku- ja keskimomentit.

1. Tekninen valvontaosasto tarkastaa 475 tuotteen vikoja. Todennäköisyys, että tuote on viallinen, on 0,05. Etsi todennäköisyydellä 0,95 rajat, jotka sisältävät viallisten tuotteiden määrän testattujen joukossa.

1. Puhelinkeskuksessa tapahtuu virheellinen yhteys todennäköisyydellä 0,003. Laske todennäköisyys, että 1000 yhteyden joukossa on:
1. vähintään 4 väärää liitäntää;
2. enemmän kuin kaksi väärää liitäntää.

1. Satunnaismuuttuja saadaan jakautumistiheysfunktiosta:

Etsi satunnaismuuttujan jakaumafunktio X. Piirrä funktiot ja . Laske satunnaismuuttujan X matemaattinen odotusarvo, varianssi, moodi ja mediaani.

1. Satunnaismuuttuja saadaan jakaumafunktiosta:

1. Näytteen mukaan MUTTA ratkaise seuraavat tehtävät:
1. tehdä muunnelma sarja;

näytekeskiarvo;

Otosvarianssi

Tila ja mediaani;

Esimerkki A: 0 0 2 2 1 4

1. laske vaihtelusarjan numeeriset ominaisuudet:

näytekeskiarvo;

Otosvarianssi

· standardipoikkeama;

tila ja mediaani;

Esimerkki B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Vaihtoehto 18.

1. 10 arpalipun joukosta 2 voittaa. Laske todennäköisyys, että yksi viidestä satunnaisesti arvostetusta lipusta voittaa.

1. Heitä kolme noppaa. Laske todennäköisyys, että rullattujen pisteiden summa on suurempi kuin 15.

1. Sana "PERIMETRI" koostuu korteista, joissa jokaisessa on yksi kirjain. Kortit sekoitetaan ja otetaan pois yksi kerrallaan palauttamatta. Laske todennäköisyys, että poistetut kirjaimet muodostavat sanan: a) KEHE; b) MITTARI.

1. Urna sisältää 5 mustaa ja 7 valkoista palloa. 5 palloa arvotaan satunnaisesti. Selvitä todennäköisyys, että niiden joukossa on:
1. 4 valkoista palloa;
2. alle 2 valkoista palloa;
3. ainakin yksi musta pallo.

1. Tapahtuman todennäköisyys MUTTA yhdessä testissä on 0,55. Etsi seuraavien tapahtumien todennäköisyydet:
1. tapahtuma MUTTA ilmestyy 3 kertaa 5 haasteen sarjassa;
2. tapahtuma MUTTA ilmestyy vähintään 130 ja enintään 200 kertaa 300 haasteen sarjassa.

1. Säilykepurkin vuodon todennäköisyys on 0,0005. Laske todennäköisyys, että kaksi purkista 2000:sta vuotaa.

1. Ensimmäisessä uurnassa on 4 valkoista ja 8 mustaa palloa ja toisessa 7 valkoista ja 4 mustaa palloa. Ensimmäisestä uurnasta vedetään satunnaisesti 2 palloa ja toisesta uurnasta 3 palloa. Laske todennäköisyys, että kaikki piirretyt pallot ovat samanvärisiä.

1. Kokoonpanoon saapuvista osista ensimmäisestä koneesta 0,1% on viallisia, toisesta - 0,2%, kolmannesta - 0,25%, neljännestä - 0,5%. Koneiden tuottavuus on vastaavasti suhteessa 4:3:2:1. Satunnaisesti otettu osa osoittautui vakioksi. Laske todennäköisyys, että tuote on valmistettu ensimmäisellä koneella.

1. Koska satunnaismuuttujan jakautumislaki X:

Laske sen matemaattinen odotus ja varianssi.

1. Sähköasentajalla on kolme hehkulamppua, joista jokaisessa on vika todennäköisyydellä 0,1 .. Lamput ruuvataan pistorasiaan ja virta kytketään päälle. Kun virta kytketään päälle, viallinen hehkulamppu palaa välittömästi ja korvataan toisella. Etsi jakautumislaki, matemaattinen odotus ja testattujen lamppujen lukumäärän varianssi.

1. Todennäköisyys osua kohteeseen on 0,3 jokaista 900 itsenäistä laukausta kohti. Arvioi Tšebyševin epäyhtälön avulla todennäköisyys, että kohteeseen osuu vähintään 240 ja enintään 300 kertaa.

1. Puhelinkeskuksessa tapahtuu virheellinen yhteys todennäköisyydellä 0,002. Laske todennäköisyys, että 800 yhteyden joukossa on:
1. vähintään kolme väärää liitäntää;
2. yli neljä väärää liitäntää.

1. Satunnaismuuttuja saadaan jakautumistiheysfunktiosta:

Etsi satunnaismuuttujan X jakaumafunktio. Muodosta funktioiden ja graafit. Laske satunnaismuuttujan keskiarvo, varianssi, tila ja mediaani X.

1. Satunnaismuuttuja saadaan jakaumafunktiosta:

1. Näytteen mukaan MUTTA ratkaise seuraavat tehtävät:
1. tehdä muunnelma sarja;
2. laskea suhteelliset ja kertyneet taajuudet;
3. muodostaa empiirinen jakaumafunktio ja rakentaa sen graafi;
4. laske vaihtelusarjan numeeriset ominaisuudet:

näytekeskiarvo;

Otosvarianssi

· standardipoikkeama;

tila ja mediaani;

Näyte A: 4 7 6 3 3 4

1. Ratkaise näytteen B osalta seuraavat ongelmat:
1. tee ryhmitelty muunnelmasarja;
2. rakentaa histogrammi ja monikulmio taajuuksista;
3. laske vaihtelusarjan numeeriset ominaisuudet:

näytekeskiarvo;

Otosvarianssi

· standardipoikkeama;

tila ja mediaani;

Esimerkki B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Vaihtoehto 19.

1. Työmaalla työskentelee 16 naista ja 5 miestä. 3 henkilöä valittiin satunnaisesti henkilömäärän mukaan. Laske todennäköisyys, että kaikki valitut ihmiset ovat miehiä.

2. Heitetään neljä kolikkoa. Laske todennäköisyys, että vain kahdella kolikolla on vaakuna.

3. Sana "PSYKOLOGIA" koostuu korteista, joista jokaiseen on kirjoitettu yksi kirjain. Kortit sekoitetaan ja otetaan pois yksi kerrallaan palauttamatta. Laske todennäköisyys, että poistetut kirjaimet muodostavat sanan: a) PSYKOLOGIA; b) HENKILÖSTÖ.

4. Urna sisältää 6 mustaa ja 7 valkoista palloa. 5 palloa arvotaan satunnaisesti. Selvitä todennäköisyys, että niiden joukossa on:

a. 3 valkoista palloa;

b. alle 3 valkoista palloa;

c. vähintään yksi valkoinen pallo.

5. Tapahtuman todennäköisyys MUTTA yhdessä testissä on 0,5. Etsi seuraavien tapahtumien todennäköisyydet:

a. tapahtuma MUTTA ilmestyy 3 kertaa 5 itsenäisen kokeen sarjassa;

b. tapahtuma MUTTA ilmestyy vähintään 30 ja enintään 40 kertaa 50 haasteen sarjassa.

6. Samatehoisia koneita on 100, jotka toimivat toisistaan ​​riippumatta samassa tilassa, joissa niiden käyttö on päällä 0,8 työtunnin ajaksi. Millä todennäköisyydellä 70–86 konetta on kulloinkin päällä?

7. Ensimmäinen uurna sisältää 4 valkoista ja 7 mustaa palloa ja toinen uurna sisältää 8 valkoista ja 3 mustaa palloa. Ensimmäisestä uurnasta vedetään satunnaisesti 4 palloa ja toisesta uurnasta 1 pallo. Laske todennäköisyys, että vedettyjen pallojen joukossa on vain 4 mustaa palloa.

8. Joka päivä kolme automerkkiä toimitetaan autoliikkeelle määrinä: Moskvich - 40%; "Okei" - 20%; "Volga" - 40% kaikista tuontiautoista. Moskvich-merkin autoista 0,5 prosentilla on varkaudenestolaite, Oka - 0,01%, Volga - 0,1%. Selvitä todennäköisyys, että testattavassa autossa on varkaudenestolaite.

9. Numerot ja valitaan satunnaisesti segmentistä. Laske todennäköisyys, että nämä luvut täyttävät epäyhtälöt .

10. Satunnaismuuttujan jakautumislaki on annettu X:

X
p	0,1	0,2	0,3	0,4

Etsi satunnaismuuttujan jakaumafunktio X; merkitys F(2); todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X ottaa arvot väliltä . Muodosta jakelupolygoni.

Tälle sivulle olemme koonneet esimerkkejä koulutusratkaisuista Diskreettien satunnaismuuttujien ongelmia. Tämä on melko laaja osio: tutkitaan erilaisia ​​jakauman lakeja (binomi, geometrinen, hypergeometrinen, Poisson ym.), ominaisuuksia ja numeerisia ominaisuuksia, jokaiselle jakaumasarjalle voidaan rakentaa graafisia esityksiä: todennäköisyyksien monikulmio (polygoni), jakaumafunktio. .

Alta löydät esimerkkejä diskreettejä satunnaismuuttujia koskevista päätöksistä, joissa tarvitaan aiempien todennäköisyysteorian osioiden tietoja jakaumalain laatimiseksi, minkä jälkeen lasketaan matemaattinen odotus, varianssi, keskihajonta, rakennetaan jakaumafunktio. , vastaa kysymyksiin DSV:stä jne. P.

Esimerkkejä suosituista todennäköisyysjakauman laeista:

Laskimet DSV:n ominaisuuksille

• DSV:n matemaattisen odotuksen, varianssin ja keskihajonnan laskenta.

Ratkaistu DSV-ongelmat

Jakaumat lähellä geometristä

Tehtävä 1. Auton tiellä on 4 liikennevaloa, joista jokainen estää auton jatkoliikkeen todennäköisyydellä 0,5. Selvitä auton ohittamien liikennevalojen lukumäärän jakautumisluku ennen ensimmäistä pysäkkiä. Mikä on tämän satunnaismuuttujan matemaattinen odotus ja varianssi?

Tehtävä 2. Metsästäjä ampuu riistaa ennen ensimmäistä osumaa, mutta onnistuu tekemään enintään neljä laukausta. Kirjoita ohitusmäärän jakautumislaki, jos todennäköisyys osua maaliin yhdellä laukauksella on 0,7. Etsi tämän satunnaismuuttujan varianssi.

Tehtävä 3. Ampuja, jolla on 3 patruunaa, ampuu maaliin ensimmäiseen osumaan asti. Ensimmäisen, toisen ja kolmannen laukauksen osumisen todennäköisyys on 0,6, 0,5 ja 0,4. S.V. $\xi$ - jäljellä olevien kasettien määrä. Laadi satunnaismuuttujan jakaumasarja, etsi r.v:n matemaattinen odotusarvo, varianssi, keskihajonna, muodosta r.v:n jakaumafunktio, etsi $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Tehtävä 4. Laatikko sisältää 7 vakio- ja 3 viallista osaa. Osat poistetaan peräkkäin, kunnes standardi tulee näkyviin, palauttamatta niitä takaisin. $\xi$ - haettujen viallisten osien määrä.
Laadi diskreetille satunnaismuuttujalle $\xi$ jakaumalaki, laske sen matemaattinen odotusarvo, varianssi, keskihajonta, piirrä jakauman monikulmio ja jakaumafunktion kuvaaja.

Tehtävät itsenäisten tapahtumien kanssa

Tehtävä 5. Todennäköisyysteorian uusintakokeeseen tuli 3 opiskelijaa. Todennäköisyys, että ensimmäinen läpäisee kokeen on 0,8, toinen - 0,7, kolmas - 0,9. Etsi kokeen läpäisseiden opiskelijoiden lukumäärän satunnaismuuttujan $\xi$ jakaumasarja, rakenna jakaumafunktiosta kaavio, etsi $M(\xi), D(\xi)$.

Tehtävä 6. Todennäköisyys osua maaliin yhdellä laukauksella on 0,8 ja se pienenee jokaisella laukauksella 0,1. Laadi jakolaki maaliin osumien määrälle, jos ammutaan kolme laukausta. Etsi matemaattinen odotus, varianssi ja S.K.O. tämä satunnaismuuttuja. Piirrä jakaumafunktio.

Tehtävä 7. 4 laukausta ammutaan maaliin. Tässä tapauksessa osumisen todennäköisyys kasvaa seuraavasti: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Etsi satunnaismuuttujan $X$ jakautumislaki - osumien määrä. Etsi todennäköisyys, että $X \ge 1$.

Tehtävä 8. Kaksi symmetristä kolikkoa heitetään, vaakunoiden määrä kolikoiden molemmilla yläpuolella lasketaan. Tarkastellaan diskreettiä satunnaismuuttujaa $X$ - molemmissa kolikoissa olevien vaakunoiden lukumäärää. Kirjoita muistiin satunnaismuuttujan $X$ jakautumislaki, löydä sen matemaattinen odotus.

Muut tehtävät ja DSV:n jakelun lait

Tehtävä 9. Kaksi koripalloilijaa laukoo kolmesti koriin. Ensimmäisen koripalloilijan lyömisen todennäköisyys on 0,6, toisen - 0,7. Olkoon $X$ ensimmäisen ja toisen koripalloilijan onnistuneiden heittojen välinen ero. Etsi satunnaismuuttujan $X$ jakaumasarja, tila ja jakaumafunktio. Muodosta jakaumapolygoni ja piirrä jakautumisfunktio. Laske matemaattinen odotusarvo, varianssi ja keskihajonta. Laske tapahtuman $(-2 \lt X \le 1)$ todennäköisyys.

Tehtävä 10. Päivittäin tiettyyn satamaan lastaamiseen saapuvien ulkomaisten alusten lukumäärä on satunnainen arvo $X$, joka annetaan seuraavasti:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) varmista, että jakelusarja on asetettu,
B) etsi satunnaismuuttujan $X$ jakaumafunktio,
C) jos tiettynä päivänä saapuu enemmän kuin kolme alusta, satama vastaa lisäkuljettajien ja -kuormaajien tarpeesta aiheutuvista kustannuksista. Millä todennäköisyydellä satamasta tulee lisäkustannuksia?
D) selvitä satunnaismuuttujan $X$ matemaattinen odotusarvo, varianssi ja keskihajonta.

Tehtävä 11. Heitä 4 noppaa. Etsi matemaattinen odotus pisteiden summasta, joka putoaa kaikille pinnoille.

Tehtävä 12. Kaksi pelaajaa heittää vuorotellen kolikkoa vaakunan ensimmäiseen ilmestymiseen asti. Pelaaja, jonka vaakuna putosi, saa 1 ruplan toiselta pelaajalta. Etsi kunkin pelaajan voitto-odotus.

Kuten tiedetään, Satunnaismuuttuja kutsutaan muuttujaksi, joka voi ottaa tietyt arvot tapauksesta riippuen. Satunnaismuuttujat on merkitty latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla (X, Y, Z) ja niiden arvot - vastaavilla pienillä kirjaimilla (x, y, z). Satunnaismuuttujat jaetaan epäjatkuviin (diskreetteihin) ja jatkuviin.

Diskreetti satunnaismuuttuja kutsutaan satunnaismuuttujaksi, joka ottaa vain äärellisen tai äärettömän (laskettavissa olevan) arvojoukon tietyillä nollasta poikkeavilla todennäköisyyksillä.

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki on funktio, joka yhdistää satunnaismuuttujan arvot niitä vastaaviin todennäköisyyksiin. Jakelulaki voidaan määrittää jollakin seuraavista tavoista.

1 . Jakelulaki voidaan antaa taulukosta:

jossa λ>0, k = 0, 1, 2, … .

sisään) kautta jakaumafunktio F(x) , joka määrittää kullekin arvolle x todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja X saa arvon, joka on pienempi kuin x, ts. F(x) = P(X< x).

F(x) funktion ominaisuudet

3 . Jakelulaki voidaan asettaa graafisesti – jakautumispolygoni (polygon) (katso tehtävä 3).

Huomaa, että joidenkin ongelmien ratkaisemiseksi ei ole välttämätöntä tuntea jakelulakia. Joissakin tapauksissa riittää, että tunnet yhden tai useamman luvun, jotka kuvastavat jakelulain tärkeimpiä piirteitä. Se voi olla luku, joka tarkoittaa satunnaismuuttujan "keskiarvoa", tai luku, joka osoittaa satunnaismuuttujan keskimääräisen poikkeaman keskiarvosta. Tällaisia ​​lukuja kutsutaan satunnaismuuttujan numeerisiksi ominaisuuksiksi.

Diskreetin satunnaismuuttujan numeeriset perusominaisuudet :

• Matemaattinen odotus diskreetin satunnaismuuttujan (keskiarvo). M(X) = Σ x i p i.
  Binomijakaumalla M(X)=np, Poisson-jakaumalla M(X)=λ
• Dispersio diskreetti satunnaismuuttuja D(X) = M2 tai D(X) = M(X 2) − 2. Erotusta X–M(X) kutsutaan satunnaismuuttujan poikkeamaksi sen matemaattisesta odotuksesta.
  Binomijakaumalla D(X)=npq, Poisson-jakaumalla D(X)=λ
• Vakiopoikkeama (keskipoikkeama) σ(X)=√D(X).

Esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta aiheesta "Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki"

Tehtävä 1.

Arpalippuja on jaettu 1000: 5 niistä voittaa 500 ruplaa, 10 - 100 ruplaa, 20 - 50 ruplaa, 50 - 10 ruplaa. Määritä satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman laki - voitot per lippu.

Päätös. Ongelman ehdon mukaan seuraavat satunnaismuuttujan X arvot ovat mahdollisia: 0, 10, 50, 100 ja 500.

Lippujen määrä ilman voittoa on 1000 - (5+10+20+50) = 915, sitten P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Samalla tavalla löydämme kaikki muut todennäköisyydet: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Esitämme tuloksena olevan lain taulukon muodossa:

Laske X:n matemaattinen odotus: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tehtävä 3.

Laite koostuu kolmesta itsenäisesti toimivasta elementistä. Jokaisen elementin epäonnistumisen todennäköisyys yhdessä kokeessa on 0,1. Piirrä jakautumislaki epäonnistuneiden elementtien lukumäärälle yhdessä kokeessa, rakenna jakautumispolygoni. Etsi jakaumafunktio F(x) ja piirrä se. Selvitä diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotusarvo, varianssi ja keskihajonta.

Päätös. 1. Diskreetillä satunnaismuuttujalla X= (epäonnistuneet elementit yhdessä kokeessa) on seuraavat mahdolliset arvot: x 1 =0 (mikään laitteen elementeistä ei epäonnistunut), x 2 =1 (yksi elementti epäonnistui), x 3 =2 ( kaksi elementtiä epäonnistui ) ja x 4 \u003d 3 (kolme elementtiä epäonnistui).

Elementtien viat ovat toisistaan ​​riippumattomia, kunkin elementin epäonnistumistodennäköisyydet ovat keskenään yhtä suuret, joten se on sovellettavissa Bernoullin kaava . Kun otetaan huomioon, että ehdon mukaan n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, määritämme arvojen todennäköisyydet:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 = 0,001;
Tarkista: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Siten halutulla binomijakauman lailla X on muoto:

Abskissa-akselille piirretään mahdolliset arvot x i ja ordinaatta-akselille vastaavat todennäköisyydet р i . Muodostetaan pisteet M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Yhdistämällä nämä pisteet janoilla saamme halutun jakautumispolygonin.

3. Etsi jakaumafunktio F(x) = P(X

Kun x ≤ 0, meillä on F(x) = P(X<0) = 0;
hintaan 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1:lle< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2:lle< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3:lle se on F(x) = 1, koska tapahtuma on varma.

Funktion F(x) kuvaaja

4. Binomijakauma X:
- matemaattinen odotus М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersio D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- keskihajonta σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.