Для начала попробуй найти область определения функции:
Справился? Сравним ответы:
Все верно? Молодец!
Теперь попробуем найти область значений функции:
Нашел? Сравниваем:
Сошлось? Молодец!
Еще раз поработаем с графиками, только теперь чуть-чуть посложнее - найти и область определения функции, и область значений функции.
Как найти и область определения и область значений функции (продвинутый вариант)
Вот что получилось:
С графиками, я думаю, ты разобрался. Теперь попробуем в соответствии с формулами найти область определения функции (если ты не знаешь как это сделать, прочитай раздел про ):
Справился? Сверим ответы :
- , так как подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.
- , так как на ноль делить нельзя и подкоренное выражение не может быть отрицательным.
- , так как, соответственно при всех.
- , так как на ноль делить нельзя.
Однако, у нас остался еще один не разобранный момент…
Еще раз повторю определение и сделаю на нем акцент:
Заметил? Слово «единственный» - это очень-очень важный элемент нашего определения. Постараюсь объяснить тебе на пальцах.
Допустим, у нас есть функция, заданная прямой. . При, мы подставляем данное значение в наше «правило» и получаем, что. Одному значению соответствует одно значение. Мы даже можем составить таблицу различных значений и построить график данной функции, чтобы убедится в этом.
«Смотри! - скажешь ты, -« » встречается два раза!» Так быть может парабола не является функцией? Нет, является!
То, что « » встречается два раза далеко не повод обвинять параболу в неоднозначности!
Дело в том, что, при расчёте для, мы получили один игрек. И при расчёте с мы получили один игрек. Так что все верно, парабола является функцией. Посмотри на график:
Разобрался? Если нет, вот тебе жизненный пример сооовсем далекий от математики!
Допустим, у нас есть группа абитуриентов, познакомившихся при подаче документов, каждый из которых в разговоре рассказал, где он живет:
Согласись, вполне реально, что несколько ребят живут в одном городе, но невозможно, чтобы один человек жил в нескольких городах одновременно. Это как бы логичное представление нашей «параболы» - нескольким разным икс соответствует один и тот же игрек.
Теперь придумаем пример, когда зависимость не будет функцией. Допустим, эти же ребята рассказывали, на какие специальности они подали документы:
Здесь у нас совершенно другая ситуация: один человек может спокойно подать документы как на одно, так и на несколько направлений. То есть одному элементу множества ставится в соответствие несколько элементов множества. Соответственно, это не функция.
Проверим твои знания на практике.
Определи по рисункам, что является функцией, а что нет:
Разобрался? А вот и ответы :
- Функцией является - В,Е.
- Функцией не является - А, Б, Г, Д.
Ты спросишь почему? Да вот почему:
На всех рисунках кроме В) и Е) на один приходится несколько!
Уверена, теперь, ты с легкостью отличишь функцию от не функции, скажешь, что такое аргумент и что такое зависимая переменная, а так же определишь область допустимых значений аргумента и область определения функции. Приступаем к следующему разделу - как задать функцию?
Способы задания функции
Как ты думаешь, что означают слова «задать функцию» ? Правильно, это значит объяснить всем желающим, о какой функции в данном случае идет речь. Причем объяснить так, чтобы каждый понял тебя правильно и нарисованные людьми по твоему объяснению графики функций были одинаковы.
Как это можно сделать? Как задать функцию? Самый простой способ, который уже не раз применялся в этой статье - с помощью формулы. Мы пишем формулу, и, подставляя в нее значение, высчитываем значение. А как ты помнишь, формула - это закон, правило, по которому нам и другому человеку становится ясно, как икс превращается в игрек.
Обычно, именно так и делают - в заданиях мы видим уже готовые функции, заданные формулами, однако, существуют и другие способы задать функцию, про которые все забывают, в связи с чем вопрос «как еще можно задать функцию?» ставит в тупик. Разберемся во всем по порядку, а начнем с аналитического способа.
Аналитический способ задания функции
Аналитический способ это и есть задание функции с помощью формулы. Это самый универсальный и исчерпывающий и однозначный способ. Если у тебя есть формула, то ты знаешь о функции абсолютно все - ты можешь составить по ней табличку значений, можешь построить график, определить, где функция возрастает, а где убывает, в общем, исследовать ее по полной программе.
Рассмотрим функцию. Чему равно?
«Что это значит?» - спросишь ты. Сейчас объясню.
Напомню, что в записи выражение в скобках называется аргументом. И этот аргумент может быть любым выражением, не обязательно просто. Соответственно, каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо в выражении.
В нашем примере получится так:
Рассмотрим еще задание, связанное с аналитическим способом задания функции, которое будет у тебя на экзамене.
Найдите значение выражения, при.
Уверена, что сначала, ты испугался, увидев такое выражение, но в нем нет абсолютно ничего страшного!
Все как и в прошлом примере: каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо в выражении. Например, для функции.
Что же нужно сделать в нашем примере? Вместо надо написать, а вместо - :
сократить получившееся выражение:
Вот и все!
Самостоятельная работа
Теперь попробуй самостоятельно найти значение следующих выражений:
- , если
- , если
Справился? Сравним наши ответы: Мы привыкли, что функция имеет вид
Даже в наших примерах мы задаем функцию именно таким образом, однако аналитически можно задать функцию в неявном виде, например.
Попробуй построить эту функцию самостоятельно.
Справился?
Вот как строила ее я.
Какое уравнение мы в итоге вывели?
Правильно! Линейное, а это значит, что графиком будет прямая линия. Сделаем табличку, чтобы определить, какие точки принадлежат нашей прямой:
Вот как раз то, о чем мы говорили… Одному соответствует несколько.
Попробуем нарисовать то, что получилось:
Является ли то, что у нас получилось функцией?
Правильно, нет! Почему? Попробуй ответить на этот вопрос с помощью рисунка. Что у тебя вышло?
«Потому что одному значению соответствует несколько значений!»
Какой вывод мы можем из этого сделать?
Правильно, функция не всегда может быть выражена явно, и не всегда то, что «замаскировано» под функцию является функцией!
Табличный способ задания функции
Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. Да, да. Наподобие той, которой мы с тобой уже составляли. Например:
Здесь ты сразу подметил закономерность - игрек в три раза больше чем икс. А теперь задание на «очень хорошо подумать»: как ты считаешь, равносильная ли функция, заданная в виде таблицы, функции?
Не будем долго рассуждать, а будем рисовать!
Итак. Рисуем функцию, заданную обоями способами:
Видишь разницу? Дело совсем не в отмеченных точках! Присмотрись внимательнее:
Теперь увидел? Когда мы задаем функцию табличным способом, мы на графике отражаем только те точки, которые есть у нас в таблице и линия (как в нашем случае) проходит только через них. Когда мы задаем функцию аналитическим способом, мы можем взять любые точки, и наша функция ими не ограничивается. Вот такая вот особенность. Запоминай!
Графический способ построения функции
Графический способ построения функции не менее удобен. Мы рисуем нашу функцию, а другой заинтересованный человек может найти чему равен игрек при определенном икс и так далее. Графический и аналитический способы одни из самых распространенных.
Однако, здесь нужно помнить о чем мы с тобой говорили в самом начале - не каждая «загогулина» нарисованная в системе координат является функцией! Вспомнил? На всякий случай скопирую тебе сюда определение, что функцией является:
Как правило, люди обычно называют именно те три способа задания функции, которые мы разобрали - аналитический (с помощью формулы), табличный и графический, напрочь забывая о том, что функцию можно словесно описать. Как это? Да очень просто!
Словесное описание функции
Как же описать функцию словесно? Возьмем наш недавний пример - . Данную функцию можно описать «каждому действительному значению икс соответствует его утроенное значение». Вот и все. Ничего сложного. Ты, конечно, возразишь - «есть настолько сложные функции, которые словесно задать просто невозможно!» Да, есть и такие, но есть функции, которые описать словесно легче, чем задать формулой. Например: «каждому натуральному значению икс соответствует разница между цифрами, из которых он состоит, при этом за уменьшаемое берется наибольшее цифра, содержащиеся в записи числа». Теперь рассмотрим, как наше словесное описание функции реализуется на практике:
Наибольшая цифра в данном числе - , соответственно, - уменьшаемое, тогда:
Основные виды функций
Теперь перейдем к самому интересному - рассмотрим основные виды функций, с которыми ты работал/работаешь и будешь работать в курсе школьной и институтской математики, то есть познакомимся с ними, так сказать и дадим им краткую характеристику. Более подробно про каждую функцию читай в соответствующем разделе.
Линейная функция
Функция вида, где, - действительные числа.
Графиком данной функции служит прямая, поэтому построение линейной функции сводится к нахождению координат двух точек.
Положение прямой на координатной плоскости зависит от углового коэффициента.
Область определения функции (aka область допустимых значений аргумента) - .
Область значений - .
Квадратичная функция
Функция вида, где
Графиком функции является парабола, при ветви параболы направлены вниз, при — вверх.
Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле
Положение параболы на координатной плоскости относительно значения и коэффициента показаны на рисунке:
Область определения
Область значений зависит от экстремума данной функции (точки вершины параболы) и коэффициента (направления ветвей параболы)
Обратная пропорциональность
Функция, задаваемая формулой, где
Число называется коэффициентом обратной пропорциональности. В зависимости от того, какое значение, ветви гиперболы находятся в разных квадратах:
Область определения - .
Область значений - .
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1. Функцией называется правило, по которому каждому элементу множества ставится в соответствие единственный элемент множества.
- - это формула, обозначающая функцию, то есть зависимость одной переменной от другой;
- - переменная величина, или, аргумент;
- - зависимая величина - изменяется при изменении аргумента, то есть согласно какой-либо определенной формуле, отражающей зависимость одной величины от другой.
2. Допустимые значения аргумента , или область определения функции - это то, что связано с возможными, при которых функция имеет смысл.
3. Область значений функции - это то, какие значения принимает, при допустимых значениях.
4. Существует 4 способа задания функции:
- аналитический (с помощью формул);
- табличный;
- графический
- словесное описание.
5. Основные виды функций:
- : , где, - действительные числа;
- : , где;
- : , где.
Одна из возможных схем исследования функции и построения се графика разлагается на следующие этапы решения задачи: 1. Область определения функции (О.О.Ф.). 2. Точки разрыва функции, их характер. Вертикальные асимптоты. 3. Четность, нечетность, периодичность функции. 4. Точки пересечения графика с осями координат. 5. Поведение функции на бесконечности. Горизонтальные и наклонные асимптоты. 6. Интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума. 7. Направления выпуклости кривой. Точки перегиба. 8. График функции. Пример 1. Построить график функции у = 1 . (верэиора или локон Марии Аньеэи). - вся числовая ось. 2. Точек разрыва нет; вертикальных асимптот нет. 3. Функция четная: , так что график ее симметричен относительно оси Оу\ непериодическая. Из четности функции следует, что достато^о построить ее график на полупрямой х ^ О, а затем зеркально отразить его в оси Оу. 4. При х = 0 имеем Ух, так что график функции лежит в верхней полуплоскости у > 0. Схема построения графика функции Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных что график имеет горизонтальную асимптоту у = О, наклонных асимптот нет. Так то функция возрастает при и убывает, когда. Точка х = 0 - критическая. При переходе х через точку х = 0 производная у"(х) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, точка х = 0 - точка максимума, y(Q) = I. Результат этот достаточно очевиден: /(х) = T^IV*. Вторая производная обращается в нуль в точках х = . Исследуем точку х = 4- (далее соображение симметрии). При имеем. кривая выпукла вниз; при получаем (кривая выпукла вверх). Следовательно, точка х = = - - точка перегиба графика функции. Результаты исследования сведем в таблицу: Точка перегиба max Точка перегиба В таблице стрелка У» указывает на возрастание функции, стрелка «\» - на ее убывание. График функции изображен на рис. 33. Пример 2. Построить график функции (трезубец Ньютона). - вся числовая ось, исключая точку 2. Точка разрыва функции. Имеем так что прямая х = 0 - вертикальная асимптота. 3. Функция не является ни четной, ни нечетной [функция общего положения), непериодическая. Полагая получаем график функции пересекает ось Ох в точке (-1,0). наклонных и гори- зонтальных асимптот нет. откуда критическая точка. Вторая производная функции в точке, так что х = - точка минимума. Вторая производная обращается в ууль в точке и меняет свой знак при переходе через эту точку. Следовательно, точка - точка перегиба кривой. Для) имеем е. выпуклость кривой направлена вниз; для -I имеем. выпуклость кривой направлена вверх. Результаты исследования сводим в таблицу: Не существует Не существует Точка перегиба Не существует. Вертикальная асимптота торая производная обращается в нуль при х = е,/2. и при переходе х через эту точку у" меняет знак Следовательно, - абсцисса точки перегиба кривой. Результаты исследования сводим в таблицу: Точка перегиба. График функции изображен на рис. 37. Пример 4. Построить график функции вся числовая ось, исключая точку Точка точка разрыва 2-го рода функции. Так как Km . то прямая вертикальная асимптота графика функции. Функция общего положения, непериодическая. Полагая у = 0, имеем, откуда так что график функции пересекает ось Ох в точке Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту Из условия получаем - критическая точка. Вторая производная функции у" = Д > 0 всюду в области определения, в частности, в точке - точка минимума функции. 7. Поскольку, то всюду в области определения функции выпуклость ее графика направлена вниз. Результаты исследования сводим в таблицу: Не существует Не существует Не существует. х = 0 -вертикальная асимптота График функции изображен на рис. Пример 5. Построить график функции вся числовая ось. 2. Непрерывна всюду. Вертикальных асимптот нет. 3. Общего положения, непериодическая. 4. Функция обращается в нуль при 5. Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту Производная обращается в нуль в точке и не существует при. При переходе х через точку) производная не меняет знак, так что в точке х = 0 экстремума нет. При переходе точки х через точку производная) меняет знак с « + » на Значит в функция имеет максимум. При переходе х через точку х = 3 (х > I) производная у"(х) меняет знак т. е. в точсе х = 3 функция имеет минимум. 7. Находим вторую производную Схема построения графика функции Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Вторая производная у"(х) не существует в точке х = 0 и при переходе х через точку х = 0 у" меняет знак с + на так что точка (0,0) кривой - точка перегиба с вертикальной касательной. В точке х = 3 перегиба графика нет. Всюду в полуплоскости х > 0 выпуклость кривой направлена вверх. Результаты исследования сводим в таблицу: Не существует Не существует Не существует Не существует Точка перегиба (0.0) с вертикальной касательной График функции представлен на рис. 39. §7. Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Для отыскания точек максимума и минимума функций может быть использована формула Тейлора. Теорема It. Пусть функция /(х) в некоторой окрестности точки xq имеет производную п-го порядка, непрерывную в точке хо- Пусть 0. Тогда если число п - нечетное, то функция f{x) в точке х0 не имеет экстремума; когда же п - четное, то в точке х0 функция f(x) имеет максимум, если /(п)(х0) < 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, что в интервале, разность - /(х0) сохраняет знак. По формуле Тейлора как по условию, то из (1) получаем 1оусловию/(п*(г) непрерывна вточкего и Ф Поэтому в силуустойчивости нака непрерывной функции существует такое, что в интервале () не меняется и совпадает со знаком /(п)(хо). Рассмотрим возможные случаи: 1) п - четное число и / Тогда I потому в силу (2) . Согласно определению это означает, что точка го есть точка минимума функции /(г). 2) п - четное и. Тогда будем иметь i вместе с этим и Поэтому точка го будет в этом:лучае точкой максимума функции /(г). 3) п - нечетное число, /- Тогда при х > х0 знак >удет совпадать со знаком /(п)(го), а при г го будет противоположным. Поэтому 1ри сколь угодно малом 0 знак разности /(г) - /(го) не будет одним и тем же 1ля всех х е (го - 6, го + £). Следовательно, в этом случае функция /(г) в точке го жстремума не имеет. Пример. Рассмотрим функции Л Легко видеть, что точка х = 0 является критической точкой обеих функций. Для функции у = х4 первая из отличных от нуля производных в точке х = 0 есть производная 4-го порядка: Таким образом, здесь п = 4 - четное и. Следовательно, в точке х = 0 функция у = х4 имеет минимум. Для функции у = х} первая из отличных от нуля в точке х = 0 производных есть производная 3-го порядка. Так что в этом случае п = 3 - нечетное, и в точке х = 0 функция у = х3 экстремума не имеет. Замечание. С помошью формулы Тейлора можно доказать следующую теорему, выражающую достаточные условия точки перегиба. "еорема 12. Пусть функция /(г) в некоторой окрестности точки г0 имеет производп-го порядка, непрерывную в точке xq. Пусть, но /(п)(*о) Ф 0- Тогда, если п - нечетное число, то точка Мо(х0, f(xо)) есть точка перегиба графика функции у = f(x). Простейший пример доставляет функция. §8. Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Задача состоит в нахождении действительного корня уравнения Предположим, что выполнены следующие условия: 1) функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6]; 2) числа /(а) и f{b) противоположны по знаку: 3) на отрезке [а, 6] существуют производные f"(x) и f"(x), сохраняющие на этом отрезке постоянный знак. Из условий 1) и 2) в силу теоремы Больцано-Коши (с. 220) следует, что функция /(ж) обращается в нуль по крайней мере в одной точке £ € (а, Ь), т. е. уравнение (1) имеет по крайней мере один действительный корень £ в интервале (а, 6). Так как в силу условия 3) производная /"(х) на [а, Ь\ сохраняет постоянный знак, то f(x) монотонна на [а, Ь] и поэтому в интервале (а, Ь) уравнение (1) имеет только один действительный корень Рассмотрим метод вычисления приближенного значения этого единственного действительного корня £ € (а, 6) уравнения (I) с любой степенью точности. Возможны четыре случая (рис. 40): 1) Рис. 40 Возьмем для определенности случай, когда f\x) > 0, f"(x) > 0 на отрезке [а, 6) (рис.41). Соединим точки А(а, /(а)) и В(Ь, f(b)) хордой А В. Это отрезок прямой, проходящей через точки А и В, уравнение которой Точка aj, в которой хорда АВ пересекает ось Ох, расположена между аи(и является лучшим приближением к чем а. Полагая в (2) у = 0, найдем Из рис. 41 нетрудно заметить, что точка а\ будет всегда расположена с той стороны от в которой знаки f(x) и f"(x) противоположны. Проведем теперь касательную к кривой у = /(х) в точке B(b, f(b)), т. е. в том конце дуги ^АВ, в котором f(x) и /"(я) имеют один и тот же знак. Это существенное условие: без его соблюдения точка пересечения касательной с осью Ох может вовсе не давать приближение к искомому корню. Точка Ь\, в которой касательная пересекает ось Ох, расположена между £ и b с той же стороны, что и 6, и является лучшим приближением к чем Ь. Касательная эта определяется уравнением Полагая в (3) у = 0, найдем Ь\: Схема построения графика функции Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Таким образом, имеем Пусть абсолютная погрешность приближения С корня £ задана заранее. За абсолютную погрешность приближенных значений aj и 6, корня £ можно взять величину |6i - ai|. Если эта погрешность больше допустимой, то, принимая отрезок за исходный, найдем следующие приближения корня где. Продолжая этот процесс, получим две последовательности приближенных значений Последовательности {ап} и {bn} монотонные и ограниченные и, значит, имеют пределы. Пусть Можно показать, что если выполнены сформулированные выше условия 1 единственному корню уравнения / Пример. Найти корень (уравнения г2 - 1=0 на отрезке . Таким образом, выполнены все условия, обеспечивающие существование единственного корня (уравнения х2 - 1 = 0 на отрезке . и метод должен сработать. 8 нашем случае а = 0, b = 2. При п = I из (4) и (5) находим При п = 2 получаем что дает приближение к точному значению корня (с абсолютной погрешностью Упражнения Постройте графики функций: Найдите наибольшее и наименьшее значение функций на заданных отрезках: Исследуйте поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных высших порядков: Ответы
Стоит задача: провести полное исследование функции и построить ее график .
Каждый студент прошел через подобные задачи.
Дальнейшее изложение предполагает хорошее знание . Рекомендуем обращаться к этому разделу при возникновении вопросов.
Алгоритм исследования функции состоит из следующих шагов.
- во-первых, находим производную;
- во-вторых, находим критические точки;
- в-третьих, разбиваем область определения критическими точками на интервалы;
- в-четвертых, определяем знак производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку возрастания, знак «минус» - промежутку убывания.
- во-первых, находим вторую производную;
- во-вторых, находим нули числителя и знаменателя второй производной;
- в-третьих, разбиваем область определения полученными точками на интервалы;
- в-четвертых, определяем знак второй производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку вогнутости, знак «минус» - промежутку выпуклости.
Нахождение области определения функции.
Это очень важный шаг исследования функции, так как все дальнейшие действия будут проводиться на области определения.
В нашем примере нужно найти нули знаменателя и исключить их из области действительных чисел.
(В других примерах могут быть корни, логарифмы и т.п. Напомним, что в этих случаях область определения ищется следующим образом:
для корня четной степени, например, - область определения находится из неравенства ;
для логарифма - область определения находится из неравенства ).
Исследование поведения функции на границе области определения, нахождение вертикальных асимптот.
На границах области определения функция имеет вертикальные асимптоты , если в этих граничных точках бесконечны.
В нашем примере граничными точками области определения являются .
Исследуем поведение функции при приближении к этим точкам слева и справа, для чего найдем односторонние пределы:
Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые являются вертикальными асимптотами графика.
Исследование функции на четность или нечетность.
Функция является четной , если . Четность функции указывает на симметрию графика относительно оси ординат.
Функция является нечетной , если . Нечетность функции указывает на симметрию графика относительно начала координат.
Если же ни одно из равенств не выполняется, то перед нами функция общего вида.
В нашем примере выполняется равенство , следовательно, наша функция четная. Будем учитывать это при построении графика - он будет симметричен относительно оси oy .
Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.
Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и соответственно.
Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными .
Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.
ЗАМЕЧАНИЕ (включать ли критические точки в промежутки возрастания и убывания).
Мы будем включать критические точки в промежутки возрастания и убывания, если они принадлежат области определения функции.
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции
Поехали!
Находим производную на области определения (при возникновении сложностей, смотрите раздел ).
Находим критические точки, для этого:
Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого полученного промежутка. Как вариант, можно взять любую точку из промежутка и вычислить значение производной в этой точке. Если значение положительное, то ставим плюсик над этим промежутком и переходим к следующему, если отрицательное, то ставим минус и т.д. К примеру, , следовательно, над первым слева интервалом ставим плюс.
Делаем вывод:
Схематично плюсами / минусами отмечены промежутки где производная положительна / отрицательна. Возрастающие / убывающие стрелочки показывают направление возрастания / убывания.
Точками экстремума функции являются точки, в которых функция определена и проходя через которые производная меняет знак.
В нашем примере точкой экстремума является точка х=0 . Значение функции в этой точке равно . Так как производная меняет знак с плюса на минус при прохождении через точку х=0 , то (0; 0) является точкой локального максимума. (Если бы производная меняла знак с минуса на плюс, то мы имели бы точку локального минимума).
Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.
Промежутки вогнутости и выпуклости функции находятся при решениями неравенств и соответственно.
Иногда вогнутость называют выпуклостью вниз, а выпуклость – выпуклостью вверх.
Здесь также справедливы замечания, подобные замечаниям из пункта про промежутки возрастания и убывания.
Таким образом, чтобы определить промежутки вогнутости и выпуклости функции :
Поехали!
Находим вторую производную на области определения.
В нашем примере нулей числителя нет, нули знаменателя .
Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак второй производной внутри каждого полученного промежутка.
Делаем вывод:
Точка называется точкой перегиба , если в данной точке существует касательная к графику функции и вторая производная функции меняет знак при прохождении через .
Другими словами, точками перегиба могут являться точки, проходя через которые вторая производная меняет знак, в самих точках либо равна нулю, либо не существует, но эти точки входят в область определения функции.
В нашем примере точек перегиба нет, так как вторая производная меняет знак проходя через точки , а они не входят в область определения функции.
Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.
Горизонтальные или наклонные асимптоты следует искать лишь тогда, когда функция определена на бесконечности.
Наклонные асимптоты ищутся в виде прямых , где и .
Если k=0 и b не равно бесконечности, то наклонная асимптота станет горизонтальной .
Кто такие вообще эти асимптоты?
Это такие линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Таким образом, они очень помогают при построении графика функции.
Если горизонтальных или наклонных асимптот нет, но функция определена на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, то следует вычислить предел функции на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, чтобы иметь представление о поведении графика функции.
Для нашего примера
- горизонтальная асимптота.
На этом с исследование функции завершается, переходим к построению графика.
Вычисляем значения функции в промежуточных точках.
Для более точного построения графика рекомендуем найти несколько значений функции в промежуточных точках (то есть в любых точках из области определения функции).
Для нашего примера найдем значения функции в точках х=-2
, х=-1
, х=-3/4
, х=-1/4
. В силу четности функции, эти значения будут совпадать со значениями в точках х=2
, х=1
, х=3/4
, х=1/4.
Построение графика.
Сначала строим асимптоты, наносим точки локальных максимумов и минимумов функции, точки перегиба и промежуточные точки. Для удобства построения графика можно нанести и схематическое обозначение промежутков возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, не зря же мы проводили исследование функции =).
Осталось провести линии графика через отмеченные точки, приближая к асимптотам и следуя стрелочкам.
Этим шедевром изобразительного искусства задача полного исследования функции и построения графика закончена.
Графики некоторых элементарных функций можно строить с использованием графиков основных элементарных функций.
Как исследовать функцию и построить её график?
Похоже, я начинаю понимать одухотворённо-проникновенный лик вождя мирового пролетариата, автора собрания сочинений в 55 томах…. Нескорый путь начался элементарными сведениями о функциях и графиках , и вот сейчас работа над трудоемкой темой заканчивается закономерным результатом – статьёй о полном исследовании функции . Долгожданное задание формулируется следующим образом:
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и на основании результатов исследования построить её график
Или короче: исследовать функцию и построить график.
Зачем исследовать? В простых случаях нас не затруднит разобраться с элементарными функциями, начертить график, полученный с помощью элементарных геометрических преобразований и т.п. Однако свойства и графические изображения более сложных функций далеко не очевидны, именно поэтому и необходимо целое исследование.
Основные этапы решения сведены в справочном материале Схема исследования функции , это ваш путеводитель по разделу. Чайникам требуется пошаговое объяснение темы, некоторые читатели не знают с чего начать и как организовать исследование, а продвинутым студентам, возможно, будут интересны лишь некоторые моменты. Но кем бы вы ни были, уважаемый посетитель, предложенный конспект с указателями на различные уроки в кратчайший срок сориентирует и направит Вас в интересующем направлении. Роботы прослезились =) Руководство свёрстано в виде pdf-файла и заняло заслуженное место на странице Математические формулы и таблицы .
Исследование функции я привык разбивать на 5-6 пунктов:
6) Дополнительные точки и график по результатам исследования.
На счёт заключительного действия, думаю, всем всё понятно – будет очень обидно, если в считанные секунды его перечеркнут и вернут задание на доработку. ПРАВИЛЬНЫЙ И АККУРАТНЫЙ ЧЕРТЁЖ – это основной результат решения! Он с большой вероятностью «прикроет» аналитические оплошности, в то время как некорректный и/или небрежный график доставит проблемы даже при идеально проведённом исследовании.
Следует отметить, что в других источниках количество пунктов исследования, порядок их выполнения и стиль оформления могут существенно отличаться от предложенной мной схемы, но в большинстве случаев её вполне достаточно. Простейшая версия задачи состоит всего из 2-3 этапов и формулируется примерно так: «исследовать функцию с помощью производной и построить график» либо «исследовать функцию с помощью 1-й и 2-й производной, построить график».
Естественно – если в вашей методичке подробно разобран другой алгоритм или ваш преподаватель строго требует придерживаться его лекций, то придётся внести некоторые коррективы в решение. Не сложнее, чем заменить вилку бензопилой ложкой.
Проверим функцию на чётность/нечётность:
После чего следует шаблонная отписка:
, значит, данная функция не является чётной или нечётной.
Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют.
Нет и наклонных асимптот.
Примечание : напоминаю, что более высокого порядка роста , чем , поэтому итоговый предел равен именно «плюс бесконечности».
Выясним, как ведёт себя функция на бесконечности:
Иными словами, если идём вправо, то график уходит бесконечно далеко вверх, если влево – бесконечно далеко вниз. Да, здесь тоже два предела под единой записью. Если у вас возникли трудности с расшифровкой знаков , пожалуйста, посетите урок о бесконечно малых функциях
.
Таким образом, функция не ограничена сверху и не ограничена снизу . Учитывая, что у нас нет точек разрыва, становится понятна и область значений функции : – тоже любое действительное число.
ПОЛЕЗНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРИЁМ
Каждый этап задания приносит новую информацию о графике функции
, поэтому в ходе решения удобно использовать своеобразный МАКЕТ. Изобразим на черновике декартову систему координат. Что уже точно известно? Во-первых, у графика нет асимптот, следовательно, прямые чертить не нужно. Во-вторых, мы знаем, как функция ведёт себя на бесконечности. Согласно проведённому анализу, нарисуем первое приближение:
Заметьте, что в силу непрерывности
функции на и того факта, что , график должен, по меньшей мере, один раз пересечь ось . А может быть точек пересечения несколько?
3) Нули функции и интервалы знакопостоянства.
Сначала найдём точку пересечения графика с осью ординат. Это просто. Необходимо вычислить значение функции при :
Полтора над уровнем моря.
Чтобы найти точки пересечения с осью (нули функции) требуется решить уравнение , и тут нас поджидает неприятный сюрприз:
В конце притаился свободный член, который существенно затрудняет задачу.
Такое уравнение имеет, как минимум, один действительный корень, и чаще всего этот корень иррационален. В худшей же сказке нас поджидают три поросёнка. Уравнение разрешимо с помощью так называемых формул Кардано
, но порча бумаги сопоставима чуть ли не со всем исследованием. В этой связи разумнее устно либо на черновике попытаться подобрать хотя бы один целый
корень. Проверим, не являются ли оными числа :
– не подходит;
– есть!
Здесь повезло. В случае неудачи можно протестировать ещё и , а если и эти числа не подошли, то шансов на выгодное решение уравнения, боюсь, очень мало. Тогда пункт исследования лучше полностью пропустить – авось станет что-нибудь понятнее на завершающем шаге, когда будут пробиваться дополнительные точки. И если таки корень (корни) явно «нехорошие», то об интервалах знакопостоянства лучше вообще скромно умолчать да поаккуратнее выполнить чертёж.
Однако у нас есть красивый корень , поэтому делим многочлен на без остатка:
Алгоритм деления многочлена на многочлен детально разобран в первом примере урока Сложные пределы .
В итоге левая часть исходного уравнения раскладывается в произведение:
А теперь немного о здоровом образе жизни. Я, конечно же, понимаю, что квадратные уравнения нужно решать каждый день, но сегодня сделаем исключение: уравнение имеет два действительных корня .
На числовой прямой отложим найденные значения и методом интервалов
определим знаки функции:
ог Таким образом, на интервалах график расположен
ниже оси абсцисс , а на интервалах – выше данной оси .
Полученные выводы позволяют детализировать наш макет, и второе приближение графика выглядит следующим образом:
Обратите внимание, что на интервале функция обязательно должна иметь хотя бы один максимум, а на интервале – хотя бы один минимум. Но сколько раз, где и когда будет «петлять» график, мы пока не знаем. К слову, функция может иметь и бесконечно много экстремумов
.
4) Возрастание, убывание и экстремумы функции.
Найдём критические точки:
Данное уравнение имеет два действительных корня . Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:
Следовательно, функция возрастает на и убывает на .
В точке функция достигает максимума: .
В точке функция достигает минимума: .
Установленные факты загоняют наш шаблон в довольно жёсткие рамки:
Что и говорить, дифференциальное исчисление – штука мощная. Давайте окончательно разберёмся с формой графика:
5) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдём критические точки второй производной:
Определим знаки :
График функции является выпуклым на и вогнутым на . Вычислим ординату точки перегиба: .
Практически всё прояснилось.
6) Осталось найти дополнительные точки, которые помогут точнее построить график и выполнить самопроверку. В данном случае их мало, но пренебрегать не будем:
Выполним чертёж:
Зелёным цветом отмечена точка перегиба, крестиками – дополнительные точки. График кубической функции симметричен относительно своей точки перегиба, которая всегда расположена строго посередине между максимумом и минимумом.
По ходу выполнения задания я привёл три гипотетических промежуточных чертежа. На практике же достаточно нарисовать систему координат, отмечать найденные точки и после каждого пункта исследования мысленно прикидывать, как может выглядеть график функции. Студентам с хорошим уровнем подготовки не составит труда провести такой анализ исключительно в уме без привлечения черновика.
Для самостоятельного решения:
Пример 2
Исследовать функцию и построить график.
Тут всё быстрее и веселее, примерный образец чистового оформления в конце урока.
Немало секретов раскрывает исследование дробно-рациональных функций:
Пример 3
Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и на основании результатов исследования построить её график.
Решение : первый этап исследования не отличается чем-то примечательным, за исключением дырки в области определения:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , область определения : .
, значит, данная функция не является четной или нечетной.
Очевидно, что функция непериодическая.
График функции представляет собой две непрерывные ветви, расположенные в левой и правой полуплоскости – это, пожалуй, самый важный вывод 1-го пункта.
2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.
а) С помощью односторонних пределов исследуем поведение функции вблизи подозрительной точки, где явно должна быть вертикальная асимптота:
Действительно, функции терпит бесконечный разрыв
в точке ,
а прямая (ось ) является вертикальной асимптотой
графика .
б) Проверим, существуют ли наклонные асимптоты:
Да, прямая является наклонной асимптотой графика , если .
Пределы анализировать смысла не имеет, поскольку и так понятно, что функция в обнимку со своей наклонной асимптотой не ограничена сверху и не ограничена снизу .
Второй пункт исследования принёс много важной информации о функции. Выполним черновой набросок:
Вывод №1 касается интервалов знакопостоянства. На «минус бесконечности» график функции однозначно расположен ниже оси абсцисс, а на «плюс бесконечности» – выше данной оси. Кроме того, односторонние пределы сообщили нам, что и слева и справа от точки функция тоже больше нуля. Обратите внимание, что в левой полуплоскости график, по меньшей мере, один раз обязан пересечь ось абсцисс. В правой полуплоскости нулей функции может и не быть.
Вывод №2 состоит в том, что функция возрастает на и слева от точки (идёт «снизу вверх»). Справа же от данной точки – функция убывает (идёт «сверху вниз»). У правой ветви графика непременно должен быть хотя бы один минимум. Слева экстремумы не гарантированы.
Вывод №3 даёт достоверную информацию о вогнутости графика в окрестности точки . О выпуклости/вогнутости на бесконечностях мы пока ничего сказать не можем, поскольку линия может прижиматься к своей асимптоте как сверху, так и снизу. Вообще говоря, есть аналитический способ выяснить это прямо сейчас, но форма графика «даром» прояснится на более поздних этапах.
Зачем столько слов? Чтобы контролировать последующие пункты исследования и не допустить ошибок! Дальнейшие выкладки не должны противоречить сделанным выводам.
3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции.
График функции не пересекает ось .
Методом интервалов определим знаки :
, если ;
, если .
Результаты пункта полностью соответствуют Выводу №1. После каждого этапа смотрите на черновик, мысленно сверяйтесь с исследованием и дорисовывайте график функции.
В рассматриваемом примере числитель почленно делится на знаменатель, что очень выгодно для дифференцирования:
Собственно, это уже проделывалось при нахождении асимптот.
– критическая точка.
Определим знаки :
возрастает на и убывает на
В точке функция достигает минимума: .
Разночтений с Выводом №2 также не обнаружилось, и, вероятнее всего, мы на правильном пути.
Значит, график функции является вогнутым на всей области определения.
Отлично – и чертить ничего не надо.
Точки перегиба отсутствуют.
Вогнутость согласуется с Выводом №3, более того, указывает, что на бесконечности (и там и там) график функции расположен выше своей наклонной асимптоты.
6) Добросовестно приколотим задание дополнительными точками. Вот здесь придётся изрядно потрудиться, поскольку из исследования нам известны только две точки.
И картинка, которую, наверное, многие давно представили:
В ходе выполнения задания нужно тщательно следить за тем, чтобы не возникало противоречий между этапами исследования, но иногда ситуация бывает экстренной или даже отчаянно-тупиковой. Вот «не сходится» аналитика – и всё тут. В этом случае рекомендую аварийный приём: находим как можно больше точек, принадлежащих графику (сколько хватит терпения), и отмечаем их на координатной плоскости. Графический анализ найденных значений в большинстве случаев подскажет, где правда, а где ложь. Кроме того, график можно предварительно построить с помощью какой-нибудь программы, например, в том же Экселе (понятно, для этого нужны навыки).
Пример 4
Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить её график.
Это пример для самостоятельного решения. В нём самоконтроль усиливается чётностью функции – график симметричен относительно оси , и если в вашем исследовании что-то противоречит данному факту, ищите ошибку.
Чётную или нечётную функцию можно исследовать только при , а потом пользоваться симметрией графика. Такое решение оптимально, однако выглядит, по моему мнению, весьма непривычно. Лично я рассматриваю всю числовую ось, но дополнительные точки нахожу всё же лишь справа:
Пример 5
Провести полное исследование функции и построить её график.
Решение : понеслась нелёгкая:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой: .
Значит, данная функция является нечетной, её график симметричен относительно начала координат.
Очевидно, что функция непериодическая.
2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.
Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют
Для функции, содержащей экспоненту, типично раздельное
исследование «плюс» и «минус бесконечности», однако нашу жизнь облегчает как раз симметрия графика – либо и слева и справа есть асимптота, либо её нет. Поэтому оба бесконечных предела можно оформить под единой записью. В ходе решения используем правило Лопиталя
:
Прямая (ось ) является горизонтальной асимптотой графика при .
Обратите внимание, как я хитро избежал полного алгоритма нахождения наклонной асимптоты: предел вполне легален и проясняет поведение функции на бесконечности, а горизонтальная асимптота обнаружилась «как бы заодно».
Из непрерывности на и существования горизонтальной асимптоты следует тот факт, что функция ограничена сверху и ограничена снизу .
3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства.
Здесь тоже сокращаем решение:
График проходит через начало координат.
Других точек пересечения с координатными осями нет. Более того, интервалы знакопостоянства очевидны, и ось можно не чертить: , а значит, знак функции зависит только от «икса»:
, если ;
, если .
4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.
– критические точки.
Точки симметричны относительно нуля, как оно и должно быть.
Определим знаки производной:
Функция возрастает на интервале и убывает на интервалах
В точке функция достигает максимума: .
В силу свойства (нечётности функции) минимум можно не вычислять:
Поскольку функция убывает на интервале , то, очевидно, на «минус бесконечности» график расположен под своей асимптотой. На интервале функция тоже убывает, но здесь всё наоборот – после перехода через точку максимума линия приближается к оси уже сверху.
Из вышесказанного также следует, что график функции является выпуклым на «минус бесконечности» и вогнутым на «плюс бесконечности».
После этого пункта исследования прорисовалась и область значений функции:
Если у вас возникло недопонимание каких-либо моментов, ещё раз призываю начертить в тетради координатные оси и с карандашом в руках заново проанализировать каждый вывод задания.
5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика.
– критические точки.
Симметрия точек сохраняется, и, скорее всего, мы не ошибаемся.
Определим знаки :
График функции является выпуклым на и вогнутым на .
Выпуклость/вогнутость на крайних интервалах подтвердилась.
Во всех критических точках существуют перегибы графика. Найдём ординаты точек перегиба, при этом снова сократим количество вычислений, используя нечётность функции:
Одной из важнейших задач дифференциального исчисления является разработка общих примеров исследования поведения функций.
Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке , а ее производная положительна или равна 0 на интервале (a,b), то y=f(x) возрастает на (f"(x)0). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке , а ее производная отрицательна или равна 0 на интервале (a,b), то y=f(x) убывает на (f"(x)0)
Интервалы, в которых функция не убывает или не возрастает, называются интервалами монотонности функции. Характер монотонности функции может изменяться только в тех точках ее области определения, в которой меняется знак первой производной. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими.
Теорема 1 (1-ое достаточное условие существования экстремума).
Пусть функция y=f(x) определена в точке х 0 и пусть существует окрестность δ>0 такое, что функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (x 0 -δ,x 0)u(x 0 , x 0 +δ), причем ее производная сохраняет постоянный знак на каждом из этих интервалов. Тогда если на x 0 -δ,x 0) и (x 0 , x 0 +δ) знаки производной различны, то х 0 - точка экстремума, а если совпадают, то х 0 - не является точкой экстремума. При этом если при переходе через точку х0, производная меняет знак с плюса на минус (слева от х 0 выполняется f"(x)>0, то х 0 - точка максимума; если же производная меняет знак с минуса на плюс (справа от х 0 выполняется f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.
Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – ее экстремальными значениями.
Теорема 2 (необходимый признак локального экстремума).
Если функция y=f(x) имеет в токе x=x 0 экстремум, то либо f’(x 0)=0, либо f’(x 0) не существует.
В точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ox.
Алгоритм исследования функции на экстремум:
1)Найти производную функции.
2)Найти критические точки, т.е. точки, в которых функция непрерывна, а производная равна нулю или не существует.
3)Рассмотреть окрестность каждой из точек, и исследовать знак производной слева и справа от этой точки.
4)Определить координаты экстремальных точек, для этого значения критических точек подставить в данную функцию. Используя достаточные условия экстремума, сделать соответствующие выводы.
Пример 18. Исследовать на экстремум функцию у=х 3 -9х 2 +24х
Решение.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Приравняв производную нулю, находим x 1 =2, x 2 =4. В данном случае производная определена всюду; значит, кроме двух найденных точек, других критических точек нет.
3) Знак производной y"=3(x-2)(x-4) изменяется в зависимости от промежутка так, как показано на рисунке 1. При переходе через точку x=2, производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку x=4 - с минуса на плюс.
4) В точке x=2 функция имеет максимум y max =20, а в точке x=4 - минимум y min =16.
Теорема 3. (2-ое достаточное условие существование экстремума).
Пусть f"(x 0) и в точке х 0 существует f""(x 0). Тогда если f""(x 0)>0, то х 0 – точка минимума, а если f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).
На отрезке функция y=f(x) может достигать наименьшего (у наим) или наибольшего (у наиб) значения либо в критических точках функции, лежащих в интервале (а;b), либо на концах отрезка .
Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции y=f(x) на отрезке :
1) Найти f"(x).
2) Найти точки, в которых f"(x)=0 или f"(x) - не существует, и отобрать из них те, которые лежат внутри отрезка .
3) Вычислите значение функции y=f(x) в точках, полученных в п.2), а так же на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее: они и являются соответственно наибольшим (у наиб) и наименьшим (у наим) значениями функции на отрезке .
Пример 19. Найти наибольшее значение непрерывной функции y=x 3 -3x 2 -45+225 на отрезке .
1) Имеем y"=3x 2 -6x-45 на отрезке
2) Производная y" существует при всех х. Найдем точки, в которых y"=0; получим:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Вычислим значение функции в точках x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Отрезку принадлежит лишь точка x=5. Наибольшим из найденных значений функции является 225, а наименьшим – число 50. Итак, у наиб =225, у наим =50.
Исследование функции на выпуклости
На рисунке изображены графики двух функций. Первый из них обращен выпуклостью вверх, второй – выпуклостью вниз.
Функция y=f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале (а;b), называется выпуклой вверх (вниз) на этом отрезке, если при axb ее график лежит не выше (не ниже) касательной, проведенной в любой точке M 0 (x 0 ;f(x 0)), где axb.
Теорема 4. Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в любой внутренней точке х отрезка и непрерывна на концах этого отрезка. Тогда если на интервале (а;b) выполняется неравенство f""(x)0, то функция выпукла вниз на отрезке ; если на интервале (а;b) выполняется неравенство f""(x)0, то функция выпукла вверх на .
Теорема 5. Если функция y=f(x) имеет вторую производную на интервале (а;b) и если она меняет знак при переходе через точку x 0 , тогда M(x 0 ;f(x 0)) есть точка перегиба.
Правило нахождения точек перегиба:
1) Найти точки, в которых f""(x) не существует или обращается в нуль.
2) Исследовать знак f""(x) слева и справа от каждой найденной на первом шаге точки.
3) На основании теоремы 4 сделать вывод.
Пример 20. Найти точки экстремума и точки перегиба графика функции y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.
Имеем f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 . Очевидно, что f"(x)=0 при x 1 =0, x 2 =1. Производная при переходе через точку x=0 меняет знак с минуса на плюс, а при переходе через точку x=1 не меняет знака. Значит, x=0 - точка минимума (у min =12), а в точке x=1 экстремума нет. Далее, находим . Вторая производная обращается в нуль в точках x 1 =1, x 2 =1/3. Знаки второй производной изменяются следующим образом: На луче (-∞;) имеем f""(x)>0, на интервале (;1) имеем f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Следовательно, x= - точка перегиба графика функции (переход с выпуклости вниз на выпуклость вверх) и x=1 - так же точка перегиба (переход с выпуклости вверх на выпуклость вниз). Если x=, то y= ; если, то x=1, y=13.
Алгоритм отыскания асимптоты графика
I. Если y=f(x) при x → a , то x=a - есть вертикальная асимптота.
II. Если y=f(x) при x → ∞ или x → -∞ , тогда у=А - горизонтальная асимптота.
III. Для нахождения наклонной асимптоты используем следующий алгоритм:
1) Вычислить . Если предел существует и равен b, то y=b - горизонтальная асимптота; если , то перейти ко второму шагу.
2) Вычислить . Если этот предел не существует, то асимптоты нет; если он существует и равен k, то перейти к третьему шагу.
3) Вычислить . Если этот предел не существует, то асимптоты нет; если он существует и равен b, то перейти к четвертому шагу.
4) Записать уравнение наклонной асимптоты y=kx+b.
Пример 21: Найти асимптоту для функции
1)
2)
3)
4) Уравнение наклонной асимптоты имеет вид
Схема исследования функции и построение ее графика
I. Найти область определения функции.
II. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
III. Найти асимптоты.
IV. Найти точки возможного экстремума.
V. Найти критические точки.
VI. С помощью вспомогательного рисунка исследовать знак первой и второй производных. Определить участки возрастания и убывания функции, найти направление выпуклости графика, точки экстремумов и точек перегиба.
VII. Построить график, учитывая исследование, проведенное в п.1-6.
Пример 22: Построить по изложенной выше схеме график функции
Решение.
I. Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме x=1.
II. Так уравнение x 2 +1=0 не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью Ох, но пересекает ось Оу в точке (0;-1).
III. Выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва x=1. Так как y → ∞ при х → -∞, у → +∞ при х → 1+, то прямая x=1 является вертикальной асимптотой графика функции.
Если х → +∞(x → -∞), то у → +∞(y → -∞); следовательно, горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее, из существования пределов
Решая уравнение x 2 -2x-1=0 получаем две точки возможного экстремума:
x 1 =1-√2 и x 2 =1+√2
V. Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:
Так как f""(x) в нуль не обращается, то критических точек нет.
VI. Исследуем знак первой и второй производных. Точки возможного экстремума, подлежащие рассмотрению: x 1 =1-√2 и x 2 =1+√2, разделяют область существования функции на интервалы (-∞;1-√2),(1-√2;1+√2) и (1+√2;+∞).
В каждом из этих интервалов производная сохраняет знак: в первом – плюс, во втором – минус, в третьем – плюс. Последовательность знаков первой производной запишется так: +,-,+.
Получаем, что функция на (-∞;1-√2) возрастает, на (1-√2;1+√2) убывает, а на (1+√2;+∞) снова возрастает. Точки экстремума: максимум при x=1-√2, причем f(1-√2)=2-2√2 минимум при x=1+√2, причем f(1+√2)=2+2√2. На (-∞;1) график направлен выпуклостью вверх, а на (1;+∞) - вниз.
VII Составим таблицу полученных значений
VIII По полученным данным строим эскиз графика функции