शास्त्रीय यांत्रिकी में गतिमान पिंडों से जुड़ी किसी भी समस्या के लिए गति की अवधारणा के ज्ञान की आवश्यकता होती है। यह आलेख इस अवधारणा पर चर्चा करता है, इस प्रश्न का उत्तर प्रदान करता है कि शरीर का संवेग वेक्टर कहाँ निर्देशित है, और समस्या को हल करने का एक उदाहरण भी प्रदान करता है।

संचलन की मात्रा

यह पता लगाने के लिए कि किसी पिंड का संवेग वेक्टर कहाँ निर्देशित है, आपको सबसे पहले इसके भौतिक अर्थ को समझना चाहिए। इस शब्द की व्याख्या सबसे पहले आइजैक न्यूटन ने की थी, लेकिन यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि इतालवी वैज्ञानिक गैलीलियो गैलीली ने पहले ही अपने कार्यों में इसी तरह की अवधारणा का उपयोग किया था। किसी गतिमान वस्तु को चिह्नित करने के लिए, उन्होंने आवेग, दबाव या स्वयं आवेग (इतालवी में इम्पेटो) नामक एक मात्रा पेश की। आइजैक न्यूटन की योग्यता इस तथ्य में निहित है कि वह इस विशेषता को शरीर पर कार्य करने वाली शक्तियों से जोड़ने में सक्षम थे।

तो, आरंभ में और अधिक सही ढंग से, किसी पिंड के आवेग को सबसे अधिक जो समझा जाता है उसे गति की मात्रा कहा जाता है। दरअसल, विचाराधीन मात्रा का गणितीय सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:

यहाँ m पिंड का द्रव्यमान है, v¯ इसकी गति है। जैसा कि सूत्र से देखा जा सकता है, हम किसी आवेग के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, केवल पिंड की गति और उसके द्रव्यमान, यानी गति की मात्रा है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह सूत्र गणितीय प्रमाणों या अभिव्यक्तियों का पालन नहीं करता है। भौतिकी में इसकी घटना विशेष रूप से सहज, रोजमर्रा की प्रकृति की है। तो, कोई भी व्यक्ति अच्छी तरह से जानता है कि यदि एक मक्खी और एक ट्रक एक ही गति से चलते हैं, तो ट्रक को रोकना अधिक कठिन होगा, क्योंकि इसमें एक कीट की तुलना में बहुत अधिक गति होती है।

बॉडी मोमेंटम वेक्टर की अवधारणा कहां से आई इसकी चर्चा नीचे की गई है।

बल का आवेग संवेग में परिवर्तन का कारण है

न्यूटन सहज रूप से प्रस्तुत विशेषता को दूसरे नियम के साथ जोड़ने में सक्षम थे जो उनके नाम पर है।

बल आवेग एक ज्ञात भौतिक मात्रा है जो एक निश्चित शरीर पर लागू बाहरी बल के उत्पाद और उसकी कार्रवाई की अवधि के बराबर है। न्यूटन के सुप्रसिद्ध नियम का उपयोग करते हुए और यह मानते हुए कि बल समय पर निर्भर नहीं करता है, हम अभिव्यक्ति पर आ सकते हैं:

F¯ * Δt = m * a¯ * Δt.

यहां Δt बल F की क्रिया का समय है, a द्रव्यमान m के पिंड पर बल F द्वारा लगाया गया रैखिक त्वरण है। जैसा कि ज्ञात है, किसी पिंड के त्वरण को उस समय की अवधि से गुणा करने पर जिस अवधि में वह कार्य करता है, गति में वृद्धि होती है। यह तथ्य हमें उपरोक्त सूत्र को थोड़े अलग रूप में फिर से लिखने की अनुमति देता है:

F¯ * Δt = m * Δv¯, जहां Δv¯= a¯ * Δt.

समानता का दाहिना भाग गति में परिवर्तन को दर्शाता है (पिछले पैराग्राफ में अभिव्यक्ति देखें)। तब यह निकलेगा:

F¯ * Δt = Δp¯, जहां Δp¯ = m * Δv¯.

इस प्रकार, न्यूटन के नियम और संवेग की अवधारणा का उपयोग करके, हम एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष पर पहुंच सकते हैं: किसी समयावधि में किसी वस्तु पर बाहरी बल के प्रभाव से उसके संवेग में परिवर्तन होता है।

अब यह स्पष्ट हो गया है कि गति की मात्रा को आमतौर पर आवेग क्यों कहा जाता है, क्योंकि इसका परिवर्तन बल के आवेग के साथ मेल खाता है ("बल" शब्द आमतौर पर हटा दिया जाता है)।

वेक्टर मात्रा p¯

कुछ मात्राओं (F¯, v¯, a¯, p¯) के ऊपर एक पट्टी होती है। इसका मतलब है कि हम एक वेक्टर विशेषता के बारे में बात कर रहे हैं। अर्थात्, गति, बल और त्वरण की तरह गति की मात्रा, निरपेक्ष मान (मापांक) के अलावा, दिशा द्वारा भी वर्णित है।

चूँकि प्रत्येक वेक्टर को कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली का उपयोग करके अलग-अलग घटकों में विघटित किया जा सकता है, हम निम्नलिखित समानताएँ लिख सकते हैं:

1) पी¯ = एम * वी¯;

2) पी एक्स = एम * वी एक्स ; पी वाई = एम * वी वाई ; पी जेड = एम * वी जेड ;

3) |पी¯| = √(पी एक्स 2 + पी वाई 2 + पी जेड 2)।

यहां, पहली अभिव्यक्ति गति के प्रतिनिधित्व का एक वेक्टर रूप है, सूत्रों का दूसरा सेट आपको गति के प्रत्येक घटक की गणना करने की अनुमति देता है, वेग के संबंधित घटकों को जानते हुए (सूचकांक x, y, z के प्रक्षेपण का संकेत देते हैं) संबंधित निर्देशांक अक्ष पर वेक्टर)। अंत में, तीसरा सूत्र आपको इसके घटकों के माध्यम से आवेग वेक्टर की लंबाई (परिमाण का पूर्ण मूल्य) की गणना करने की अनुमति देता है।

शरीर का संवेग वेक्टर कहाँ निर्देशित होता है?

संवेग p¯ की अवधारणा और इसके मूल गुणों पर विचार करने के बाद, हम आसानी से पूछे गए प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं। शरीर का संवेग वेक्टर रैखिक वेग वेक्टर के समान ही निर्देशित होता है। दरअसल, गणित से यह ज्ञात होता है कि एक वेक्टर a¯ को एक संख्या k से गुणा करने पर एक नया वेक्टर b¯ बनता है, जिसमें निम्नलिखित गुण होते हैं:

• इसकी लंबाई मूल वेक्टर की संख्या और मापांक के गुणनफल के बराबर है, अर्थात |b¯| = k * |a¯|;
• यदि k > 0 है तो इसे मूल वेक्टर की तरह ही निर्देशित किया जाता है, अन्यथा इसे a¯ के विपरीत निर्देशित किया जाएगा।

इस मामले में, वेक्टर a¯ की भूमिका वेग v¯ द्वारा निभाई जाती है, गति p¯ नया वेक्टर b¯ है, और संख्या k शरीर का द्रव्यमान m है। चूँकि उत्तरार्द्ध हमेशा सकारात्मक (m>0) होता है, तो, इस प्रश्न का उत्तर देते हुए: शरीर के संवेग वेक्टर p¯ की दिशा क्या है, यह कहा जाना चाहिए कि यह वेग v¯ के साथ सह-निर्देशित है।

संवेग परिवर्तन वेक्टर

इसी तरह के एक अन्य प्रश्न पर विचार करना दिलचस्प है: शरीर की गति में परिवर्तन का वेक्टर, यानी Δp¯, कहाँ निर्देशित है। इसका उत्तर देने के लिए आपको ऊपर प्राप्त सूत्र का उपयोग करना चाहिए:

F¯ * Δt = m * Δv¯ = Δp¯.

पिछले पैराग्राफ में दिए गए तर्क के आधार पर, हम कह सकते हैं कि संवेग Δp¯ में परिवर्तन की दिशा बल वेक्टर F¯ (Δt > 0) की दिशा या वेग परिवर्तन वेक्टर Δv¯ (m >) की दिशा के साथ मेल खाती है 0).

यहां यह महत्वपूर्ण है कि भ्रमित न हों कि हम विशेष रूप से मात्राओं में परिवर्तन के बारे में बात कर रहे हैं। सामान्य स्थिति में, सदिश p¯ और Δp¯ मेल नहीं खाते, क्योंकि वे किसी भी तरह से एक दूसरे से संबंधित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यदि बल F¯ वस्तु की गति v¯ के विरुद्ध कार्य करता है, तो p¯ और Δp¯ विपरीत दिशाओं में निर्देशित होंगे।

संवेग की सदिश प्रकृति को ध्यान में रखना कहाँ महत्वपूर्ण है?

ऊपर चर्चा किए गए प्रश्न: शरीर की गति के वेक्टर और उसके परिवर्तन के वेक्टर को कहां निर्देशित किया जाता है, यह साधारण जिज्ञासा के कारण नहीं है। तथ्य यह है कि संवेग p¯ के संरक्षण का नियम इसके प्रत्येक घटक के लिए संतुष्ट होता है। अर्थात् अपने पूर्णतम रूप में इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

पी एक्स = एम * वी एक्स ; पी वाई = एम * वी वाई ; पी जेड = एम * वी जेड .

वेक्टर p¯ का प्रत्येक घटक परस्पर क्रिया करने वाली वस्तुओं की प्रणाली में अपना मान बनाए रखता है जो बाहरी ताकतों (Δp¯ = 0) से प्रभावित नहीं होते हैं।

पिंडों की परस्पर क्रिया (टक्कर) से जुड़ी समस्याओं को हल करने के लिए इस नियम और मात्रा p¯ के वेक्टर निरूपण का उपयोग कैसे करें?

दो गेंदों से दिक्कत

नीचे दिया गया चित्र अलग-अलग द्रव्यमान की दो गेंदों को एक क्षैतिज रेखा पर अलग-अलग कोणों पर उड़ते हुए दिखाता है। माना कि गेंदों का द्रव्यमान m 1 = 1 kg, m 2 = 0.5 kg है, उनकी गति v 1 = 2 m/s, v 2 = 3 m/s है। गेंदों के प्रभाव के बाद आवेग की दिशा निर्धारित करना आवश्यक है, यह मानते हुए कि उत्तरार्द्ध बिल्कुल बेलोचदार है।

समस्या को हल करना शुरू करते समय, आपको संवेग की स्थिरता के नियम को वेक्टर रूप में लिखना चाहिए, अर्थात:

पी 1 ¯ + पी 2 ¯ = स्थिरांक।

चूँकि संवेग के प्रत्येक घटक को संरक्षित किया जाना चाहिए, हमें इस अभिव्यक्ति को फिर से लिखने की आवश्यकता है, यह भी ध्यान में रखते हुए कि टक्कर के बाद दोनों गेंदें एक ही वस्तु के रूप में चलना शुरू कर देंगी (बिल्कुल बेलोचदार प्रभाव):

एम 1 * वी 1एक्स + एम 2 * वी 2एक्स = (एम 1 + एम 2) * यू एक्स ;

एम 1 * वी 1वाई + एम 2 * वी 2वाई = (एम 1 + एम 2) * यू वाई।

y-अक्ष पर पहले पिंड के संवेग के प्रक्षेपण के लिए ऋण चिन्ह ऑर्डिनेट अक्ष के चयनित वेक्टर के विरुद्ध इसकी दिशा के कारण दिखाई दिया (आंकड़ा देखें)।

अब आपको वेग यू के अज्ञात घटकों को व्यक्त करने की आवश्यकता है, और फिर ज्ञात मानों को अभिव्यक्तियों में प्रतिस्थापित करें (वेगों के संबंधित अनुमान त्रिकोणमितीय कार्यों द्वारा वैक्टर वी 1 ¯ और वी 2 ¯ के परिमाण को गुणा करके निर्धारित किए जाते हैं) ):

यू एक्स = (एम 1 * वी 1एक्स + एम 2 * वी 2एक्स) / (एम 1 + एम 2), वी 1एक्स = वी 1 * कॉस(45 ओ); वी 2एक्स = वी 2 * कॉस(30 ओ);

यू एक्स = (1 * 2 * 0.7071 + 0.5 * 3 * 0.866) / (1 + 0.5) = 1.8088 मीटर/सेकेंड;

यू वाई = (-एम 1 * वी 1वाई + एम 2 * वी 2वाई) / (एम 1 + एम 2), वी 1वाई = वी 1 * पाप(45 ओ); वी 2वाई = वी 2 * पाप(30 ओ);

यू वाई = (-1 * 2 * 0.7071 + 0.5 * 3 * 0.5) / (1 + 0.5) = -0.4428 मी/से.

ये प्रभाव के बाद शरीर की गति और गेंदों का "एक साथ चिपकना" के दो घटक हैं। चूँकि वेग की दिशा संवेग सदिश p¯ से मेल खाती है, यदि u¯ निर्धारित हो तो समस्या के प्रश्न का उत्तर दिया जा सकता है। क्षैतिज अक्ष के सापेक्ष इसका कोण घटकों u y और u x के अनुपात के चाप स्पर्शज्या के बराबर होगा:

α = आर्कटान(-0.4428 / 1.8088) = -13.756 ओ.

ऋण चिह्न इंगित करता है कि प्रभाव के बाद संवेग (वेग) x-अक्ष से नीचे की ओर निर्देशित होगा।

22 कैलिबर की गोली का द्रव्यमान केवल 2 ग्राम होता है। यदि आप ऐसी गोली किसी पर फेंकते हैं, तो वह बिना दस्ताने के भी इसे आसानी से पकड़ सकता है। यदि आप 300 मीटर/सेकेंड की गति से थूथन से उड़ने वाली ऐसी गोली को पकड़ने की कोशिश करते हैं, तो दस्ताने भी मदद नहीं करेंगे।

यदि कोई खिलौना गाड़ी आपकी ओर बढ़ रही है, तो आप उसे अपने पैर के अंगूठे से रोक सकते हैं। यदि कोई ट्रक आपकी ओर आ रहा है, तो आपको अपने पैर उसके रास्ते से हटा लेने चाहिए।

आइए एक समस्या पर विचार करें जो बल आवेग और किसी पिंड की गति में परिवर्तन के बीच संबंध को प्रदर्शित करती है।

उदाहरण।गेंद का द्रव्यमान 400 ग्राम है, प्रभाव के बाद गेंद ने जो गति प्राप्त की वह 30 मीटर/सेकेंड है। जिस बल से पैर ने गेंद पर कार्य किया वह 1500 N था, और प्रभाव का समय 8 एमएस था। गेंद के लिए बल का आवेग और पिंड की गति में परिवर्तन ज्ञात कीजिए।

शरीर की गति में परिवर्तन

उदाहरण।प्रभाव के दौरान गेंद पर लगने वाले फर्श से औसत बल का अनुमान लगाएं।

1) प्रहार के दौरान, दो बल गेंद पर कार्य करते हैं: जमीनी प्रतिक्रिया बल, गुरुत्वाकर्षण।

प्रभाव के समय के दौरान प्रतिक्रिया बल बदलता है, इसलिए फर्श की औसत प्रतिक्रिया बल का पता लगाना संभव है।

2) गति में परिवर्तन चित्र में दिखाया गया शरीर

3) न्यूटन के दूसरे नियम से

याद रखने वाली मुख्य बात

1) शरीर के आवेग, बल आवेग के सूत्र;
2) आवेग वेक्टर की दिशा;
3) शरीर की गति में परिवर्तन ज्ञात कीजिए

न्यूटन के दूसरे नियम की सामान्य रूप में व्युत्पत्ति

ग्राफ एफ(टी)। परिवर्तनशील बल

बल आवेग संख्यात्मक रूप से ग्राफ़ एफ(टी) के तहत आकृति के क्षेत्र के बराबर है।

उदाहरण के लिए, यदि समय के साथ बल स्थिर नहीं है, तो यह रैखिक रूप से बढ़ता है एफ=केटी, तो इस बल का संवेग त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। आप इस बल को एक स्थिर बल से बदल सकते हैं जो समान समय अवधि में शरीर की गति को समान मात्रा में बदल देगा

औसत परिणामी बल

संवेग संरक्षण का नियम

ऑनलाइन परीक्षण

निकायों की बंद प्रणाली

यह निकायों की एक प्रणाली है जो केवल एक दूसरे के साथ बातचीत करती है। परस्पर क्रिया की कोई बाहरी शक्तियाँ नहीं हैं।

वास्तविक दुनिया में, ऐसी कोई प्रणाली मौजूद नहीं हो सकती; सभी बाहरी इंटरैक्शन को हटाने का कोई तरीका नहीं है। निकायों की एक बंद प्रणाली एक भौतिक मॉडल है, जैसे एक भौतिक बिंदु एक मॉडल है। यह निकायों की एक प्रणाली का एक मॉडल है जो कथित तौर पर केवल एक-दूसरे के साथ बातचीत करते हैं; बाहरी ताकतों को ध्यान में नहीं रखा जाता है, उन्हें उपेक्षित किया जाता है।

संवेग संरक्षण का नियम

निकायों की एक बंद प्रणाली में वेक्टरजब पिंड परस्पर क्रिया करते हैं तो पिंडों के संवेग का योग नहीं बदलता है। यदि एक पिंड का संवेग बढ़ गया है, तो इसका मतलब है कि उस समय किसी अन्य पिंड (या कई पिंडों) का संवेग ठीक उसी मात्रा में कम हो गया है।

आइए इस उदाहरण पर विचार करें. एक लड़की और एक लड़का स्केटिंग कर रहे हैं. शरीरों की एक बंद प्रणाली - एक लड़की और एक लड़का (हम घर्षण और अन्य बाहरी ताकतों की उपेक्षा करते हैं)। लड़की स्थिर खड़ी है, उसका संवेग शून्य है, क्योंकि गति शून्य है (किसी पिंड के संवेग का सूत्र देखें)। एक निश्चित गति से चलने वाला लड़का एक लड़की से टकराने के बाद, वह भी चलना शुरू कर देगी। अब उसके शरीर में गति आ गई है. लड़की की गति का संख्यात्मक मान बिल्कुल वही है जो टक्कर के बाद लड़के की गति में कितनी कमी आई है।

20 किलोग्राम द्रव्यमान वाला एक पिंड तेजी से चलता है, 4 किलोग्राम द्रव्यमान वाला दूसरा शरीर उसी दिशा में गति से चलता है। प्रत्येक शरीर के आवेग क्या हैं? सिस्टम की गति क्या है?

निकायों की एक प्रणाली का आवेगप्रणाली में शामिल सभी पिंडों के संवेग का सदिश योग है। हमारे उदाहरण में, यह दो वैक्टरों का योग है (चूंकि दो निकायों पर विचार किया जाता है) जो एक ही दिशा में निर्देशित होते हैं, इसलिए

अब आइए पिछले उदाहरण से निकायों की प्रणाली की गति की गणना करें यदि दूसरा शरीर विपरीत दिशा में चलता है।

चूँकि पिंड विपरीत दिशाओं में चलते हैं, हमें बहुदिशात्मक आवेगों का एक सदिश योग प्राप्त होता है। वेक्टर योग के बारे में और पढ़ें.

याद रखने वाली मुख्य बात

1) निकायों की एक बंद प्रणाली क्या है;
2) संवेग संरक्षण का नियम और उसका अनुप्रयोग

शरीर का आवेग

किसी पिंड का संवेग, पिंड के द्रव्यमान और उसकी गति के गुणनफल के बराबर मात्रा है।

यह याद रखना चाहिए कि हम एक ऐसे शरीर के बारे में बात कर रहे हैं जिसे एक भौतिक बिंदु के रूप में दर्शाया जा सकता है। पिंड की गति ($p$) को संवेग भी कहा जाता है। गति की अवधारणा को रेने डेसकार्टेस (1596-1650) द्वारा भौतिकी में पेश किया गया था। शब्द "आवेग" बाद में सामने आया (लैटिन में आवेग का अर्थ है "धकेलना")। संवेग एक सदिश राशि (गति की तरह) है और इसे सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

$p↖(→)=mυ↖(→)$

संवेग सदिश की दिशा सदैव वेग की दिशा से मेल खाती है।

आवेग की एसआई इकाई $1$ किग्रा द्रव्यमान वाले किसी पिंड का आवेग है जो $1$ मी/से. की गति से गति कर रहा है; इसलिए, आवेग की इकाई $1$ किग्रा $·$ मी/से. है।

यदि $∆t$ की अवधि के दौरान एक स्थिर बल किसी पिंड (भौतिक बिंदु) पर कार्य करता है, तो त्वरण भी स्थिर होगा:

$a↖(→)=((υ_2)↖(→)-(υ_1)↖(→))/(∆t)$

जहां $(υ_1)↖(→)$ और $(υ_2)↖(→)$ पिंड के प्रारंभिक और अंतिम वेग हैं। इस मान को न्यूटन के दूसरे नियम की अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

$(m((υ_2)↖(→)-(υ_1)↖(→)))/(∆t)=F↖(→)$

कोष्ठक खोलने और शरीर की गति के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग करने पर, हमारे पास है:

$(p_2)↖(→)-(p_1)↖(→)=F↖(→)∆t$

यहां $(p_2)↖(→)-(p_1)↖(→)=∆p↖(→)$ समय के साथ गति में परिवर्तन $∆t$ है। तब पिछला समीकरण यह रूप लेगा:

$∆p↖(→)=F↖(→)∆t$

अभिव्यक्ति $∆p↖(→)=F↖(→)∆t$ न्यूटन के दूसरे नियम का गणितीय प्रतिनिधित्व है।

किसी बल के गुणनफल और उसकी क्रिया की अवधि को कहते हैं बल का आवेग. इसीलिए किसी बिंदु के संवेग में परिवर्तन उस पर लगने वाले बल के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।

अभिव्यक्ति $∆p↖(→)=F↖(→)∆t$ कहलाती है शरीर की गति का समीकरण. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक ही क्रिया - एक बिंदु की गति में परिवर्तन - एक छोटे बल द्वारा लंबी अवधि में और एक बड़े बल द्वारा थोड़े समय में प्राप्त किया जा सकता है।

सिस्टम का आवेग दूरभाष. संवेग परिवर्तन का नियम

एक यांत्रिक प्रणाली का आवेग (गति की मात्रा) इस प्रणाली के सभी भौतिक बिंदुओं के आवेगों के योग के बराबर एक वेक्टर है:

$(p_(syst))↖(→)=(p_1)↖(→)+(p_2)↖(→)+...$

परिवर्तन और संवेग संरक्षण के नियम न्यूटन के दूसरे और तीसरे नियम का परिणाम हैं।

आइए हम दो निकायों से युक्त एक प्रणाली पर विचार करें। चित्र में बल ($F_(12)$ और $F_(21)$ जिसके साथ सिस्टम के निकाय एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, आंतरिक कहलाते हैं।

मान लीजिए, आंतरिक बलों के अलावा, बाहरी बल $(F_1)↖(→)$ और $(F_2)↖(→)$ सिस्टम पर कार्य करते हैं। प्रत्येक निकाय के लिए हम समीकरण $∆p↖(→)=F↖(→)∆t$ लिख सकते हैं। इन समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों को जोड़ने पर, हमें मिलता है:

$(∆p_1)↖(→)+(∆p_2)↖(→)=((F_(12))↖(→)+(F_(21))↖(→)+(F_1)↖(→)+ (F_2)↖(→))∆t$

न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, $(F_(12))↖(→)=-(F_(21))↖(→)$.

इस तरह,

$(∆p_1)↖(→)+(∆p_2)↖(→)=((F_1)↖(→)+(F_2)↖(→))∆t$

बाईं ओर सिस्टम के सभी निकायों के आवेगों में परिवर्तन का एक ज्यामितीय योग है, जो सिस्टम के आवेग में परिवर्तन के बराबर है - $(∆p_(syst))↖(→)$। इसे लेते हुए खाता, समानता $(∆p_1)↖(→)+(∆p_2) ↖(→)=((F_1)↖(→)+(F_2)↖(→))∆t$ लिखा जा सकता है:

$(∆p_(syst))↖(→)=F↖(→)∆t$

जहां $F↖(→)$ शरीर पर कार्य करने वाली सभी बाहरी शक्तियों का योग है। प्राप्त परिणाम का अर्थ है कि सिस्टम की गति को केवल बाहरी ताकतों द्वारा बदला जा सकता है, और सिस्टम की गति में परिवर्तन कुल बाहरी बल के समान ही निर्देशित होता है। यह किसी यांत्रिक प्रणाली के संवेग में परिवर्तन के नियम का सार है।

आंतरिक बल प्रणाली की कुल गति को नहीं बदल सकते। वे केवल सिस्टम के व्यक्तिगत निकायों के आवेगों को बदलते हैं।

संवेग संरक्षण का नियम

संवेग के संरक्षण का नियम समीकरण $(∆p_(syst))↖(→)=F↖(→)∆t$ से अनुसरण करता है। यदि सिस्टम पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है, तो समीकरण का दायां पक्ष $(∆p_(syst))↖(→)=F↖(→)∆t$ शून्य हो जाता है, जिसका अर्थ है कि सिस्टम की कुल गति अपरिवर्तित रहती है :

$(∆p_(syst))↖(→)=m_1(υ_1)↖(→)+m_2(υ_2)↖(→)=const$

वह प्रणाली जिस पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता अथवा बाह्य बलों का परिणाम शून्य होता है, कहलाता है बंद किया हुआ।

संवेग संरक्षण का नियम कहता है:

निकायों की एक बंद प्रणाली की कुल गति एक दूसरे के साथ प्रणाली के निकायों की किसी भी बातचीत के लिए स्थिर रहती है।

प्राप्त परिणाम एक ऐसी प्रणाली के लिए मान्य है जिसमें निकायों की मनमानी संख्या होती है। यदि बाहरी बलों का योग शून्य के बराबर नहीं है, लेकिन किसी दिशा में उनके प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है, तो इस दिशा में सिस्टम की गति का प्रक्षेपण नहीं बदलता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, पृथ्वी की सतह पर पिंडों की एक प्रणाली को सभी पिंडों पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के कारण बंद नहीं माना जा सकता है, हालांकि, क्षैतिज दिशा पर आवेगों के प्रक्षेपण का योग अपरिवर्तित रह सकता है (अनुपस्थिति में) घर्षण का), क्योंकि इस दिशा में गुरुत्वाकर्षण बल कार्य नहीं करता है।

जेट इंजन

आइए उन उदाहरणों पर विचार करें जो संवेग के संरक्षण के नियम की वैधता की पुष्टि करते हैं।

आइए बच्चों की रबर की गेंद लें, उसे फुलाएं और छोड़ें। हम देखेंगे कि जब हवा एक दिशा में जाने लगेगी तो गेंद स्वयं दूसरी दिशा में उड़ जाएगी। गेंद की गति जेट गति का एक उदाहरण है। इसे संवेग के संरक्षण के नियम द्वारा समझाया गया है: हवा के बाहर निकलने से पहले "गेंद और उसमें हवा" प्रणाली का कुल संवेग शून्य है; गति के दौरान यह शून्य के बराबर रहना चाहिए; इसलिए, गेंद जेट के प्रवाह की दिशा के विपरीत दिशा में चलती है, और इतनी गति से कि इसकी गति वायु जेट की गति के परिमाण के बराबर होती है।

जेट गतिकिसी पिंड की उस गति को कहते हैं जो तब होती है जब उसका कोई भाग किसी भी गति से उससे अलग हो जाता है। संवेग संरक्षण के नियम के कारण पिंड की गति की दिशा अलग हुए भाग की गति की दिशा के विपरीत होती है।

रॉकेट उड़ानें जेट प्रणोदन के सिद्धांत पर आधारित होती हैं। आधुनिक अंतरिक्ष रॉकेट एक बहुत ही जटिल विमान है। रॉकेट के द्रव्यमान में कार्यशील तरल पदार्थ का द्रव्यमान (यानी, ईंधन के दहन के परिणामस्वरूप बनने वाली और जेट स्ट्रीम के रूप में उत्सर्जित होने वाली गर्म गैसें) और अंतिम, या, जैसा कि वे कहते हैं, "शुष्क" द्रव्यमान शामिल होता है। रॉकेट से कार्यशील तरल पदार्थ बाहर निकलने के बाद बचा हुआ रॉकेट।

जब किसी रॉकेट से तेज़ गति से गैस का जेट छोड़ा जाता है, तो रॉकेट स्वयं विपरीत दिशा में चला जाता है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, रॉकेट द्वारा प्राप्त संवेग $m_(p)υ_p$ उत्सर्जित गैसों के संवेग $m_(gas)·υ_(gas)$ के बराबर होना चाहिए:

$m_(p)υ_p=m_(गैस)·υ_(गैस)$

यह रॉकेट की गति का अनुसरण करता है

$υ_p=((m_(गैस))/(m_p))·υ_(गैस)$

इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि रॉकेट की गति जितनी अधिक होगी, उत्सर्जित गैसों की गति उतनी ही अधिक होगी और कार्यशील तरल पदार्थ के द्रव्यमान (यानी, ईंधन का द्रव्यमान) का अंतिम ("शुष्क") से अनुपात होगा। रॉकेट का द्रव्यमान.

सूत्र $υ_p=((m_(gas))/(m_p))·υ_(gas)$ अनुमानित है। इसमें इस बात पर ध्यान नहीं दिया गया कि जैसे-जैसे ईंधन जलता है, उड़ने वाले रॉकेट का द्रव्यमान कम होता जाता है। रॉकेट की गति का सटीक सूत्र 1897 में के. ई. त्सोल्कोवस्की द्वारा प्राप्त किया गया था और उसका नाम उन्हीं के नाम पर रखा गया है।

बल का कार्य

"कार्य" शब्द को भौतिकी में 1826 में फ्रांसीसी वैज्ञानिक जे. पोंसलेट द्वारा पेश किया गया था। यदि रोजमर्रा की जिंदगी में केवल मानव श्रम को ही कार्य कहा जाता है, तो भौतिकी में और विशेष रूप से यांत्रिकी में यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि कार्य बल द्वारा किया जाता है। कार्य की भौतिक मात्रा को आमतौर पर $A$ अक्षर से दर्शाया जाता है।

बल का कार्ययह किसी बल की क्रिया का माप है, जो उसके परिमाण और दिशा के साथ-साथ बल के अनुप्रयोग बिंदु की गति पर निर्भर करता है। एक स्थिर बल और रैखिक विस्थापन के लिए, कार्य समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

$A=F|∆r↖(→)|cosα$

जहां $F$ शरीर पर लगने वाला बल है, $∆r↖(→)$ विस्थापन है, $α$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।

बल का कार्य बल और विस्थापन के मापांक और उनके बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर है, यानी, वैक्टर $F↖(→)$ और $∆r↖(→)$ का अदिश उत्पाद।

कार्य एक अदिश राशि है. यदि $α 0$, और यदि $90°

जब किसी पिंड पर कई बल कार्य करते हैं, तो कुल कार्य (सभी बलों के कार्य का योग) परिणामी बल के कार्य के बराबर होता है।

SI में कार्य की इकाई है जौल($1$ जे). $1$ J, $1$ N के बल द्वारा इस बल की कार्रवाई की दिशा में $1$ m के पथ पर किया गया कार्य है। इस इकाई का नाम अंग्रेजी वैज्ञानिक जे. जूल (1818-1889) के नाम पर रखा गया है: $1$ J = $1$ N $·$ m. किलोजूल और मिलीजूल का भी अक्सर उपयोग किया जाता है: $1$ kJ $= 1,000$ J, $1$ mJ $ = $0.001 जे.

गुरुत्वाकर्षण का कार्य

आइए एक झुकाव कोण $α$ और ऊंचाई $H$ के साथ झुके हुए विमान पर फिसलने वाले एक पिंड पर विचार करें।

आइए हम $∆x$ को $H$ और $α$ के रूप में व्यक्त करें:

$∆x=(H)/(sinα)$

यह ध्यान में रखते हुए कि गुरुत्वाकर्षण बल $F_т=mg$ गति की दिशा के साथ एक कोण ($90° - α$) बनाता है, सूत्र $∆x=(H)/(sin)α$ का उपयोग करके, हम इसके लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं गुरुत्वाकर्षण का कार्य $A_g$:

$A_g=mg cos(90°-α) (H)/(sinα)=mgH$

इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य ऊँचाई पर निर्भर करता है न कि विमान के झुकाव के कोण पर।

यह इस प्रकार है कि:

1. गुरुत्वाकर्षण का कार्य प्रक्षेपवक्र के आकार पर निर्भर नहीं करता है जिसके साथ शरीर चलता है, बल्कि केवल शरीर की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति पर निर्भर करता है;
2. जब कोई पिंड एक बंद प्रक्षेपवक्र के साथ चलता है, तो गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है, अर्थात, गुरुत्वाकर्षण एक रूढ़िवादी बल है (जिन बलों में यह गुण होता है उन्हें रूढ़िवादी कहा जाता है)।

प्रतिक्रिया बलों का कार्य, शून्य के बराबर है, क्योंकि प्रतिक्रिया बल ($N$) विस्थापन $∆x$ के लंबवत निर्देशित है।

घर्षण बल का कार्य

घर्षण बल विस्थापन $∆x$ के विपरीत निर्देशित होता है और इसके साथ $180°$ का कोण बनाता है, इसलिए घर्षण बल का कार्य नकारात्मक होता है:

$A_(tr)=F_(tr)∆x·cos180°=-F_(tr)·∆x$

चूँकि $F_(tr)=μN, N=mg cosα, ∆x=l=(H)/(sinα),$ तो

$A_(tr)=μmgHctgα$

लोचदार बल का कार्य

मान लीजिए एक बाहरी बल $F↖(→)$ लंबाई $l_0$ के एक बिना खिंचे हुए स्प्रिंग पर कार्य करता है, और इसे $∆l_0=x_0$ तक खींचता है। स्थिति में $x=x_0F_(नियंत्रण)=kx_0$. बल $F↖(→)$ के बिंदु $x_0$ पर कार्य करना बंद करने के बाद, स्प्रिंग बल $F_(नियंत्रण)$ की कार्रवाई के तहत संपीड़ित होता है।

आइए लोचदार बल का कार्य निर्धारित करें जब स्प्रिंग के दाहिने छोर का निर्देशांक $x_0$ से $x$ में बदल जाता है। चूँकि इस क्षेत्र में लोचदार बल रैखिक रूप से बदलता है, हुक का नियम इस क्षेत्र में इसके औसत मूल्य का उपयोग कर सकता है:

$F_(नियंत्रण av.)=(kx_0+kx)/(2)=(k)/(2)(x_0+x)$

फिर कार्य (इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि दिशाएँ $(F_(control av.))↖(→)$ और $(∆x)↖(→)$ मेल खाती हैं) इसके बराबर है:

$A_(नियंत्रण)=(k)/(2)(x_0+x)(x_0-x)=(kx_0^2)/(2)-(kx^2)/(2)$

यह दिखाया जा सकता है कि अंतिम सूत्र का रूप $(F_(control av.))↖(→)$ और $(∆x)↖(→)$ के बीच के कोण पर निर्भर नहीं करता है। लोचदार बलों का कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम अवस्था में स्प्रिंग की विकृति पर निर्भर करता है।

इस प्रकार, गुरुत्वाकर्षण बल की तरह, लोचदार बल एक रूढ़िवादी बल है।

शक्ति शक्ति

शक्ति एक भौतिक मात्रा है जिसे काम के अनुपात और उस समय की अवधि के दौरान मापा जाता है जिसके दौरान इसका उत्पादन किया जाता है।

दूसरे शब्दों में, शक्ति दर्शाती है कि समय की प्रति इकाई कितना काम किया गया है (SI में - प्रति $1$ s)।

शक्ति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

जहां $N$ शक्ति है, $A$ $∆t$ के दौरान किया गया कार्य है।

सूत्र $N=(A)/(∆t)$ में कार्य $A$ के स्थान पर इसकी अभिव्यक्ति $A=F|(∆r)↖(→)|cosα$ को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$N=(F|(∆r)↖(→)|cosα)/(∆t)=Fυcosα$

शक्ति बल और वेग सदिशों के परिमाण और इन सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर है।

SI प्रणाली में शक्ति को वाट (W) में मापा जाता है। एक वाट ($1$ W) वह शक्ति है जिस पर $1$ J का कार्य $1$ s के लिए किया जाता है: $1$ W $= 1$ J/s।

इस इकाई का नाम अंग्रेजी आविष्कारक जे. वॉट (वाट) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहला भाप इंजन बनाया था। जे. वॉट (1736-1819) ने स्वयं शक्ति की एक और इकाई - अश्वशक्ति (एचपी) का उपयोग किया, जिसे उन्होंने पेश किया ताकि वह भाप इंजन और घोड़े के प्रदर्शन की तुलना कर सकें: $1$ एचपी। $= 735.5$ डब्ल्यू.

प्रौद्योगिकी में, बड़ी बिजली इकाइयों का अक्सर उपयोग किया जाता है - किलोवाट और मेगावाट: $1$ किलोवाट $= 1000$ डब्ल्यू, $1$ मेगावाट $= 1000000$ डब्ल्यू।

गतिज ऊर्जा। गतिज ऊर्जा परिवर्तन का नियम

यदि एक पिंड या कई परस्पर क्रिया करने वाले पिंड (पिंडों की एक प्रणाली) कार्य कर सकते हैं, तो कहा जाता है कि उनमें ऊर्जा है।

शब्द "ऊर्जा" (ग्रीक एनर्जिया से - क्रिया, गतिविधि) अक्सर रोजमर्रा की जिंदगी में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, जो लोग काम को तेजी से कर सकते हैं, उन्हें ऊर्जावान, महान ऊर्जा वाले कहा जाता है।

गति के कारण किसी पिंड में मौजूद ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहा जाता है।

जैसा कि सामान्यतः ऊर्जा की परिभाषा के मामले में होता है, गतिज ऊर्जा के बारे में हम कह सकते हैं कि गतिज ऊर्जा किसी गतिमान पिंड की कार्य करने की क्षमता है।

आइए हम $υ$ की गति से गतिमान $m$ द्रव्यमान के एक पिंड की गतिज ऊर्जा ज्ञात करें। चूँकि गतिज ऊर्जा गति के कारण होने वाली ऊर्जा है, इसकी शून्य अवस्था वह अवस्था है जिसमें शरीर आराम की स्थिति में होता है। किसी पिंड को दी गई गति प्रदान करने के लिए आवश्यक कार्य का पता लगाने के बाद, हम उसकी गतिज ऊर्जा ज्ञात करेंगे।

ऐसा करने के लिए, आइए विस्थापन $∆r↖(→)$ के क्षेत्र में कार्य की गणना करें जब बल वैक्टर $F↖(→)$ और विस्थापन $∆r↖(→)$ की दिशाएं मेल खाती हैं। ऐसे में काम बराबर है

जहां $∆x=∆r$

त्वरण $α=const$ के साथ एक बिंदु की गति के लिए, विस्थापन की अभिव्यक्ति का रूप है:

$∆x=υ_1t+(at^2)/(2),$

जहां $υ_1$ प्रारंभिक गति है।

समीकरण $A=F·∆x$ में $∆x=υ_1t+(at^2)/(2)$ से $∆x$ के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करने और न्यूटन के दूसरे नियम $F=ma$ का उपयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$A=ma(υ_1t+(at^2)/(2))=(mat)/(2)(2υ_1+at)$

प्रारंभिक $υ_1$ और अंतिम $υ_2$ वेगों के माध्यम से त्वरण व्यक्त करना $a=(υ_2-υ_1)/(t)$ और $A=ma(υ_1t+(at^2)/(2))=(mat) में प्रतिस्थापित करना )/ (2)(2υ_1+at)$ हमारे पास है:

$A=(m(υ_2-υ_1))/(2)·(2υ_1+υ_2-υ_1)$

$A=(mυ_2^2)/(2)-(mυ_1^2)/(2)$

अब प्रारंभिक गति को शून्य के बराबर करने पर: $υ_1=0$, हमें इसके लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है गतिज ऊर्जा:

$E_K=(mυ)/(2)=(p^2)/(2m)$

इस प्रकार, एक गतिशील वस्तु में गतिज ऊर्जा होती है। यह ऊर्जा उस कार्य के बराबर है जो शरीर की गति को शून्य से $υ$ तक बढ़ाने के लिए किया जाना चाहिए।

$E_K=(mυ)/(2)=(p^2)/(2m)$ से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी पिंड को एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाने के लिए बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है:

$A=E_(K_2)-E_(K_1)=∆E_K$

समानता $A=E_(K_2)-E_(K_1)=∆E_K$ व्यक्त करती है गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय.

शरीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन(भौतिक बिंदु) एक निश्चित अवधि के लिए शरीर पर कार्य करने वाले बल द्वारा इस समय के दौरान किए गए कार्य के बराबर है।

संभावित ऊर्जा

संभावित ऊर्जा वह ऊर्जा है जो परस्पर क्रिया करने वाले पिंडों या एक ही पिंड के भागों की सापेक्ष स्थिति से निर्धारित होती है।

चूँकि ऊर्जा को किसी पिंड की कार्य करने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया जाता है, संभावित ऊर्जा को स्वाभाविक रूप से किसी बल द्वारा किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो केवल पिंडों की सापेक्ष स्थिति पर निर्भर करता है। यह गुरुत्वाकर्षण का कार्य $A=mgh_1-mgh_2=mgH$ और लोच का कार्य है:

$A=(kx_0^2)/(2)-(kx^2)/(2)$

शरीर की संभावित ऊर्जापृथ्वी के साथ बातचीत करते हुए, वे मुक्त गिरावट के त्वरण $g$ और पृथ्वी की सतह के ऊपर शरीर की ऊंचाई $h$ द्वारा इस शरीर के द्रव्यमान $m$ के उत्पाद के बराबर मात्रा कहते हैं:

प्रत्यास्थ रूप से विकृत शरीर की संभावित ऊर्जा शरीर के लोच (कठोरता) गुणांक $k$ और वर्ग विरूपण $∆l$ के आधे उत्पाद के बराबर मूल्य है:

$E_p=(1)/(2)k∆l^2$

$E_p=mgh$ और $E_p=(1)/(2)k∆l^2$ को ध्यान में रखते हुए रूढ़िवादी बलों (गुरुत्वाकर्षण और लोच) का कार्य, इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

$A=E_(p_1)-E_(p_2)=-(E_(p_2)-E_(p_1))=-∆E_p$

यह सूत्र हमें संभावित ऊर्जा की एक सामान्य परिभाषा देने की अनुमति देता है।

किसी प्रणाली की संभावित ऊर्जा एक मात्रा है जो निकायों की स्थिति पर निर्भर करती है, जिसमें प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति तक प्रणाली के संक्रमण के दौरान परिवर्तन प्रणाली की आंतरिक रूढ़िवादी ताकतों के काम के बराबर होता है, विपरीत चिन्ह के साथ लिया गया।

समीकरण के दाईं ओर ऋण चिह्न $A=E_(p_1)-E_(p_2)=-(E_(p_2)-E_(p_1))=-∆E_p$ का अर्थ है कि जब कार्य आंतरिक बलों द्वारा किया जाता है ( उदाहरण के लिए, "चट्टान-पृथ्वी" प्रणाली में गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में जमीन पर गिरते पिंडों से) प्रणाली की ऊर्जा कम हो जाती है। किसी प्रणाली में कार्य और संभावित ऊर्जा में परिवर्तन के संकेत हमेशा विपरीत होते हैं।

चूँकि कार्य केवल स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन को निर्धारित करता है, तो यांत्रिकी में केवल ऊर्जा में परिवर्तन का ही भौतिक अर्थ होता है। इसलिए, शून्य ऊर्जा स्तर का चुनाव मनमाना है और केवल सुविधा के विचारों से निर्धारित होता है, उदाहरण के लिए, संबंधित समीकरण लिखने में आसानी।

यांत्रिक ऊर्जा के परिवर्तन और संरक्षण का नियम

सिस्टम की कुल यांत्रिक ऊर्जाइसकी गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं का योग कहलाता है:

यह पिंडों की स्थिति (संभावित ऊर्जा) और उनकी गति (गतिज ऊर्जा) द्वारा निर्धारित होता है।

गतिज ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,

$E_k-E_(k_1)=A_p+A_(pr),$

जहां $A_p$ संभावित बलों का कार्य है, $A_(pr)$ गैर-संभावित बलों का कार्य है।

बदले में, संभावित बलों का कार्य प्रारंभिक $E_(p_1)$ और अंतिम $E_p$ अवस्थाओं में शरीर की संभावित ऊर्जा के अंतर के बराबर होता है। इसे ध्यान में रखते हुए, हमें एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है यांत्रिक ऊर्जा परिवर्तन का नियम:

$(E_k+E_p)-(E_(k_1)+E_(p_1))=A_(pr)$

जहां समानता का बाईं ओर कुल यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन है, और दाईं ओर गैर-संभावित बलों का कार्य है।

इसलिए, यांत्रिक ऊर्जा परिवर्तन का नियमपढ़ता है:

सिस्टम की यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन सभी गैर-संभावित बलों के कार्य के बराबर है।

एक यांत्रिक प्रणाली जिसमें केवल संभावित बल कार्य करते हैं उसे रूढ़िवादी कहा जाता है।

एक रूढ़िवादी प्रणाली में $A_(pr) = 0$. यह संकेत करता है यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम:

एक बंद रूढ़िवादी प्रणाली में, कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है (समय के साथ नहीं बदलती):

$E_k+E_p=E_(k_1)+E_(p_1)$

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम न्यूटन के यांत्रिकी के नियमों से लिया गया है, जो भौतिक बिंदुओं (या मैक्रोपार्टिकल्स) की एक प्रणाली पर लागू होते हैं।

हालाँकि, यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम सूक्ष्म कणों की प्रणाली के लिए भी मान्य है, जहाँ न्यूटन के नियम अब लागू नहीं होते हैं।

यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम समय की एकरूपता का परिणाम है।

समय की एकरूपतावह यह है कि, समान प्रारंभिक स्थितियों के तहत, भौतिक प्रक्रियाओं का घटित होना इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि ये स्थितियाँ किस समय निर्मित हुई हैं।

कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम का अर्थ है कि जब एक रूढ़िवादी प्रणाली में गतिज ऊर्जा बदलती है, तो इसकी संभावित ऊर्जा भी बदलनी चाहिए, ताकि उनका योग स्थिर रहे। इसका अर्थ है एक प्रकार की ऊर्जा को दूसरे प्रकार की ऊर्जा में परिवर्तित करने की संभावना।

पदार्थ की गति के विभिन्न रूपों के अनुसार, विभिन्न प्रकार की ऊर्जा पर विचार किया जाता है: यांत्रिक, आंतरिक (शरीर के द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष अणुओं की अराजक गति की गतिज ऊर्जा और संभावित ऊर्जा के योग के बराबर) अणुओं का एक दूसरे के साथ संपर्क), विद्युत चुम्बकीय, रासायनिक (जिसमें इलेक्ट्रॉनों की गति की गतिज ऊर्जा और विद्युत एक दूसरे के साथ और परमाणु नाभिक के साथ उनके संपर्क की ऊर्जा शामिल है), परमाणु, आदि। ऊपर से यह स्पष्ट है कि ऊर्जा का विभिन्न प्रकारों में विभाजन काफी मनमाना है।

प्राकृतिक घटनाएं आमतौर पर एक प्रकार की ऊर्जा के दूसरे प्रकार में परिवर्तन के साथ होती हैं। उदाहरण के लिए, विभिन्न तंत्रों के हिस्सों के घर्षण से यांत्रिक ऊर्जा का ऊष्मा में रूपांतरण होता है, अर्थात। आंतरिक ऊर्जा।इसके विपरीत, ऊष्मा इंजनों में, आंतरिक ऊर्जा को यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तित किया जाता है; गैल्वेनिक कोशिकाओं में, रासायनिक ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा आदि में परिवर्तित किया जाता है।

वर्तमान में, ऊर्जा की अवधारणा भौतिकी की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। यह अवधारणा आंदोलन के एक रूप को दूसरे रूप में बदलने के विचार से अटूट रूप से जुड़ी हुई है।

आधुनिक भौतिकी में ऊर्जा की अवधारणा इस प्रकार तैयार की गई है:

ऊर्जा सभी प्रकार के पदार्थों की गति और अंतःक्रिया का एक सामान्य मात्रात्मक माप है। ऊर्जा न तो शून्य से प्रकट होती है और न ही लुप्त होती है, यह केवल एक रूप से दूसरे रूप में जा सकती है। ऊर्जा की अवधारणा सभी प्राकृतिक घटनाओं को एक साथ जोड़ती है।

सरल तंत्र. तंत्र दक्षता

सरल तंत्र ऐसे उपकरण हैं जो किसी पिंड पर लागू बलों के परिमाण या दिशा को बदलते हैं।

इनका उपयोग कम प्रयास से बड़े भार को उठाने या स्थानांतरित करने के लिए किया जाता है। इनमें लीवर और इसकी किस्में - ब्लॉक (चल और स्थिर), गेट, झुका हुआ विमान और इसकी किस्में - वेज, स्क्रू आदि शामिल हैं।

लीवर आर्म। उत्तोलन नियम

लीवर एक कठोर पिंड है जो एक निश्चित समर्थन के चारों ओर घूमने में सक्षम है।

उत्तोलन का नियम कहता है:

एक लीवर संतुलन में होता है यदि उस पर लागू बल उनकी भुजाओं के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं:

$(F_2)/(F_1)=(l_1)/(l_2)$

सूत्र $(F_2)/(F_1)=(l_1)/(l_2)$ से, इसमें अनुपात के गुण को लागू करते हुए (किसी अनुपात के चरम पदों का गुणनफल उसके मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है), हम निम्नलिखित सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

लेकिन $F_1l_1=M_1$ बल का वह क्षण है जो लीवर को दक्षिणावर्त घुमाने की कोशिश करता है, और $F_2l_2=M_2$ बल का वह क्षण है जो लीवर को वामावर्त घुमाने की कोशिश करता है। इस प्रकार, $M_1=M_2$, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

लीवर का उपयोग प्राचीन काल में लोगों द्वारा किया जाने लगा। इसकी मदद से प्राचीन मिस्र में पिरामिडों के निर्माण के दौरान भारी पत्थर के स्लैब को उठाना संभव हुआ था। बिना उत्तोलन के यह संभव नहीं होगा। आखिरकार, उदाहरण के लिए, चेप्स पिरामिड के निर्माण के लिए, जिसकी ऊंचाई $147$ मीटर है, दो मिलियन से अधिक पत्थर के ब्लॉक का उपयोग किया गया था, जिनमें से सबसे छोटे का वजन $2.5$ टन था!

आजकल, लीवर का व्यापक रूप से उत्पादन (उदाहरण के लिए, क्रेन) और रोजमर्रा की जिंदगी (कैंची, तार कटर, तराजू) दोनों में उपयोग किया जाता है।

निश्चित ब्लॉक

एक निश्चित ब्लॉक की क्रिया समान भुजाओं वाले लीवर की क्रिया के समान है: $l_1=l_2=r$। लागू बल $F_1$ भार $F_2$ के बराबर है, और संतुलन की स्थिति है:

निश्चित ब्लॉकइसका उपयोग तब किया जाता है जब आपको किसी बल का परिमाण बदले बिना उसकी दिशा बदलने की आवश्यकता होती है।

चल ब्लॉक

गतिशील ब्लॉक एक लीवर के समान कार्य करता है, जिसकी भुजाएँ हैं: $l_2=(l_1)/(2)=r$। इस मामले में, संतुलन की स्थिति का रूप है:

जहां $F_1$ लगाया गया बल है, $F_2$ भार है। गतिशील ब्लॉक के उपयोग से ताकत में दोगुना लाभ मिलता है।

चरखी लहरा (ब्लॉक प्रणाली)

एक पारंपरिक चेन होइस्ट में $n$ गतिशील और $n$ स्थिर ब्लॉक होते हैं। इसका उपयोग करने से ताकत में $2n$ गुना का लाभ मिलता है:

$F_1=(F_2)/(2n)$

पावर चेन लहराइसमें n चल और एक स्थिर ब्लॉक शामिल है। पावर पुली के उपयोग से $2^n$ गुना ताकत का लाभ मिलता है:

$F_1=(F_2)/(2^n)$

पेंच

पेंच एक अक्ष के चारों ओर लपेटा हुआ एक झुका हुआ समतल है।

प्रोपेलर पर कार्य करने वाली शक्तियों के लिए संतुलन की स्थिति इस प्रकार है:

$F_1=(F_2h)/(2πr)=F_2tgα, F_1=(F_2h)/(2πR)$

जहां $F_1$ प्रोपेलर पर लगाया गया बाहरी बल है और अपनी धुरी से $R$ की दूरी पर कार्य करता है; $F_2$ प्रोपेलर अक्ष की दिशा में कार्य करने वाला बल है; $h$ - प्रोपेलर पिच; $r$ औसत थ्रेड त्रिज्या है; $α$ धागे के झुकाव का कोण है। $R$ स्क्रू को $F_1$ के बल से घुमाने वाले लीवर (रिंच) की लंबाई है।

क्षमता

दक्षता का गुणांक (दक्षता) खर्च किए गए सभी कार्यों के लिए उपयोगी कार्य का अनुपात है।

दक्षता को अक्सर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है और इसे ग्रीक अक्षर $η$ ("यह") द्वारा दर्शाया जाता है:

$η=(A_p)/(A_3)·100%$

जहां $A_n$ उपयोगी कार्य है, $A_3$ संपूर्ण व्यय किया गया कार्य है।

उपयोगी कार्य हमेशा कुल कार्य का केवल एक हिस्सा होता है जिसे एक व्यक्ति किसी न किसी तंत्र का उपयोग करके खर्च करता है।

किए गए कार्य का एक भाग घर्षण बलों पर काबू पाने में खर्च किया जाता है। चूँकि $A_3 > A_n$, दक्षता हमेशा $1$ (या $) से कम होती है< 100%$).

चूँकि इस समानता में प्रत्येक कार्य को संबंधित बल और तय की गई दूरी के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसे निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है: $F_1s_1≈F_2s_2$।

यह इस प्रकार है कि, प्रभावी तंत्र की मदद से जीतने पर, हम रास्ते में समान संख्या में हारते हैं, और इसके विपरीत. इस नियम को यांत्रिकी का स्वर्णिम नियम कहा जाता है।

यांत्रिकी का सुनहरा नियम एक अनुमानित कानून है, क्योंकि यह उपयोग किए गए उपकरणों के हिस्सों के घर्षण और गुरुत्वाकर्षण पर काबू पाने के काम को ध्यान में नहीं रखता है। फिर भी, यह किसी भी सरल तंत्र के संचालन का विश्लेषण करने में बहुत उपयोगी हो सकता है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, इस नियम के लिए धन्यवाद, हम तुरंत कह सकते हैं कि चित्र में दिखाए गए कार्यकर्ता को $10$ सेमी भार उठाने के बल में दोगुने लाभ के साथ, लीवर के विपरीत छोर को $20 कम करना होगा $ सेमी.

निकायों का टकराव. लोचदार और बेलोचदार प्रभाव

टकराव के बाद पिंडों की गति की समस्या को हल करने के लिए संवेग और यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियमों का उपयोग किया जाता है: टकराव से पहले ज्ञात आवेगों और ऊर्जाओं से, टकराव के बाद इन मात्राओं का मान निर्धारित किया जाता है। आइए हम लोचदार और बेलोचदार प्रभावों के मामलों पर विचार करें।

एक प्रभाव को पूर्णतया बेलोचदार कहा जाता है, जिसके बाद पिंड एक निश्चित गति से चलते हुए एक पिंड का निर्माण करते हैं। उत्तरार्द्ध की गति की समस्या को प्रभाव से पहले और बाद में $m_1$ और $m_2$ (यदि हम दो निकायों के बारे में बात कर रहे हैं) द्रव्यमान वाले निकायों की प्रणाली के संवेग के संरक्षण के नियम का उपयोग करके हल किया जाता है:

$m_1(υ_1)↖(→)+m_2(υ_2)↖(→)=(m_1+m_2)υ↖(→)$

यह स्पष्ट है कि एक बेलोचदार प्रभाव के दौरान पिंडों की गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं होती है (उदाहरण के लिए, $(υ_1)↖(→)=-(υ_2)↖(→)$ और $m_1=m_2$ के लिए यह शून्य के बराबर हो जाती है प्रभाव के बाद)।

ऐसा प्रभाव जिसमें न केवल आवेगों का योग संरक्षित रहता है, बल्कि प्रभावित करने वाले पिंडों की गतिज ऊर्जाओं का योग भी पूर्णतया लोचदार कहलाता है।

बिल्कुल लोचदार प्रभाव के लिए, निम्नलिखित समीकरण मान्य हैं:

$m_1(υ_1)↖(→)+m_2(υ_2)↖(→)=m_1(υ"_1)↖(→)+m_2(υ"_2)↖(→);$

$(m_(1)υ_1^2)/(2)+(m_(2)υ_2^2)/(2)=(m_1(υ"_1)^2)/(2)+(m_2(υ"_2 )^2)/(2)$

जहां $m_1, m_2$ गेंदों का द्रव्यमान है, $υ_1, υ_2$ प्रभाव से पहले गेंदों का वेग है, $υ"_1, υ"_2$ प्रभाव के बाद गेंदों का वेग है।

न्यूटन के नियमों का अध्ययन करने के बाद, हम देखते हैं कि उनकी मदद से यांत्रिकी की बुनियादी समस्याओं को हल करना संभव है यदि हम शरीर पर कार्य करने वाली सभी शक्तियों को जानते हैं। ऐसी स्थितियाँ हैं जिनमें इन मूल्यों को निर्धारित करना कठिन या असंभव भी है। आइए ऐसी कई स्थितियों पर विचार करें।जब दो बिलियर्ड गेंदें या कारें टकराती हैं, तो हम कार्यरत बलों के बारे में दावा कर सकते हैं कि यह उनकी प्रकृति है; लोचदार बल यहां कार्य करते हैं। हालाँकि, हम उनके मॉड्यूल या उनकी दिशाओं को सटीक रूप से निर्धारित नहीं कर पाएंगे, खासकर जब से इन बलों की कार्रवाई की अवधि बेहद कम है।रॉकेट और जेट विमानों की गति के साथ, हम उन ताकतों के बारे में भी बहुत कम कह सकते हैं जो इन पिंडों को गति प्रदान करती हैं।ऐसे मामलों में, ऐसी विधियों का उपयोग किया जाता है जो गति के समीकरणों को हल करने से बचने और तुरंत इन समीकरणों के परिणामों का उपयोग करने की अनुमति देती हैं। इस मामले में, नई भौतिक मात्राएँ पेश की जाती हैं। आइए इनमें से एक मात्रा पर विचार करें, जिसे पिंड का संवेग कहा जाता है

धनुष से छोड़ा गया बाण। तीर के साथ डोरी का संपर्क जितनी देर (∆t) जारी रहेगा, तीर की गति (∆) में परिवर्तन उतना ही अधिक होगा, और इसलिए, इसकी अंतिम गति उतनी ही अधिक होगी।

दो टकराती हुई गेंदें. जब गेंदें संपर्क में होती हैं, तो वे एक-दूसरे पर समान परिमाण के बल से कार्य करती हैं, जैसा कि न्यूटन का तीसरा नियम हमें सिखाता है। इसका मतलब यह है कि उनके संवेग में परिवर्तन भी परिमाण में समान होना चाहिए, भले ही गेंदों का द्रव्यमान समान न हो।

सूत्रों का विश्लेषण करने के बाद, दो महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

1. समान अवधि के लिए कार्य करने वाली समान शक्तियां विभिन्न पिंडों के द्रव्यमान की परवाह किए बिना, उनके संवेग में समान परिवर्तन का कारण बनती हैं।

2. किसी पिंड के संवेग में समान परिवर्तन या तो लंबे समय तक छोटे बल के साथ कार्य करके, या उसी पिंड पर थोड़े समय के लिए बड़े बल के साथ कार्य करके प्राप्त किया जा सकता है।

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, हम लिख सकते हैं:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

किसी पिंड के संवेग में परिवर्तन और उस समयावधि का अनुपात, जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ, पिंड पर कार्य करने वाले बलों के योग के बराबर होता है।

इस समीकरण का विश्लेषण करने पर, हम देखते हैं कि न्यूटन का दूसरा नियम हमें हल की जाने वाली समस्याओं के वर्ग का विस्तार करने और उन समस्याओं को शामिल करने की अनुमति देता है जिनमें समय के साथ पिंडों का द्रव्यमान बदलता है।

यदि हम न्यूटन के दूसरे नियम के सामान्य सूत्रीकरण का उपयोग करके पिंडों के परिवर्तनशील द्रव्यमान के साथ समस्याओं को हल करने का प्रयास करते हैं:

फिर ऐसे समाधान का प्रयास करने से त्रुटि उत्पन्न होगी।

इसका एक उदाहरण पहले से उल्लिखित जेट विमान या अंतरिक्ष रॉकेट है, जो चलते समय ईंधन जलाता है, और इस दहन के उत्पादों को आसपास के अंतरिक्ष में छोड़ दिया जाता है। स्वाभाविक रूप से, जैसे-जैसे ईंधन की खपत होती है, विमान या रॉकेट का द्रव्यमान घटता जाता है।

इस तथ्य के बावजूद कि न्यूटन का दूसरा नियम "परिणामी बल किसी पिंड के द्रव्यमान और उसके त्वरण के गुणनफल के बराबर है" के रूप में हमें समस्याओं की एक विस्तृत श्रेणी को हल करने की अनुमति देता है, पिंडों की गति के ऐसे मामले हैं जो नहीं हो सकते हैं इस समीकरण द्वारा पूरी तरह से वर्णित है। ऐसे मामलों में, परिणामी बल के आवेग के साथ शरीर की गति में परिवर्तन को जोड़ते हुए, दूसरे नियम का एक और सूत्रीकरण लागू करना आवश्यक है। इसके अलावा, ऐसी कई समस्याएं हैं जिनमें गति के समीकरणों को हल करना गणितीय रूप से बेहद कठिन या असंभव भी है। ऐसे मामलों में, हमारे लिए संवेग की अवधारणा का उपयोग करना उपयोगी होता है।

संवेग के संरक्षण के नियम और किसी बल के संवेग और किसी पिंड के संवेग के बीच संबंध का उपयोग करके, हम न्यूटन के दूसरे और तीसरे नियम को प्राप्त कर सकते हैं।

न्यूटन का दूसरा नियम किसी बल के आवेग और किसी पिंड के संवेग के बीच संबंध से लिया गया है।

बल का आवेग पिंड के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है:

उचित स्थानान्तरण करने के बाद, हम त्वरण पर बल की निर्भरता प्राप्त करते हैं, क्योंकि त्वरण को उस समय की गति में परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ:

मानों को हमारे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें न्यूटन के दूसरे नियम का सूत्र प्राप्त होता है:

न्यूटन के तीसरे नियम को प्राप्त करने के लिए, हमें संवेग के संरक्षण के नियम की आवश्यकता है।

वेक्टर गति की सदिश प्रकृति पर जोर देते हैं, अर्थात यह तथ्य कि गति दिशा में बदल सकती है। परिवर्तनों के बाद हमें मिलता है:

चूँकि एक बंद प्रणाली में समय की अवधि दोनों निकायों के लिए एक स्थिर मान थी, हम लिख सकते हैं:

हमने न्यूटन का तीसरा नियम प्राप्त किया है: दो पिंड परिमाण में समान और दिशा में विपरीत बलों के साथ एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। इन बलों के वैक्टर क्रमशः एक दूसरे की ओर निर्देशित होते हैं, इन बलों के मॉड्यूल मूल्य में बराबर होते हैं।

ग्रन्थसूची

1. तिखोमीरोवा एस.ए., यावोर्स्की बी.एम. भौतिकी (बुनियादी स्तर) - एम.: मेनेमोसिन, 2012।
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3. किकोइन आई.के., किकोइन ए.के. भौतिकी - 9, मॉस्को, शिक्षा, 1990।

गृहकार्य

1. किसी पिंड के आवेग, बल के आवेग को परिभाषित करें।
2. किसी पिंड का आवेग बल के आवेग से किस प्रकार संबंधित है?
3. शरीर के आवेग और बल के आवेग के सूत्रों से क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?

1. इंटरनेट पोर्टल प्रश्न-physics.ru ()।
2. इंटरनेट पोर्टल Frutmrut.ru ()।
3. इंटरनेट पोर्टल Fizmat.by ()।

न्यूटन के नियम पिंडों की परस्पर क्रिया और गति से संबंधित विभिन्न व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण समस्याओं को हल करना संभव बनाते हैं। बड़ी संख्या में ऐसी समस्याएं जुड़ी हुई हैं, उदाहरण के लिए, किसी गतिमान पिंड का त्वरण ज्ञात करना, यदि इस पिंड पर कार्य करने वाले सभी बल ज्ञात हों। और फिर अन्य मात्राएँ (तात्कालिक गति, विस्थापन, आदि) त्वरण द्वारा निर्धारित की जाती हैं।

लेकिन शरीर पर कार्य करने वाली शक्तियों को निर्धारित करना अक्सर बहुत कठिन होता है। इसलिए, कई समस्याओं को हल करने के लिए, एक और महत्वपूर्ण भौतिक मात्रा का उपयोग किया जाता है - शरीर की गति।

• किसी पिंड का संवेग p एक सदिश भौतिक मात्रा है जो पिंड के द्रव्यमान और उसकी गति के गुणनफल के बराबर है

संवेग एक सदिश राशि है. पिंड के संवेग वेक्टर की दिशा हमेशा गति वेग वेक्टर की दिशा से मेल खाती है।

आवेग की एसआई इकाई 1 किलोग्राम वजन वाले किसी पिंड का 1 मीटर/सेकेंड की गति से चलने वाला आवेग है। इसका मतलब है कि किसी पिंड के संवेग की SI इकाई 1 kg m/s है।

गणना करते समय, सदिशों के प्रक्षेपण के लिए समीकरण का उपयोग करें: р x = mv x।

चयनित एक्स-अक्ष के सापेक्ष वेग वेक्टर की दिशा के आधार पर, गति वेक्टर का प्रक्षेपण या तो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है।

लैटिन से अनुवादित शब्द "आवेग" (आवेग) का अर्थ है "धक्का"। कुछ पुस्तकें "आवेग" शब्द के स्थान पर "गति" शब्द का उपयोग करती हैं।

यह मात्रा लगभग उसी समय विज्ञान में पेश की गई थी जब न्यूटन ने उन कानूनों की खोज की थी जिन्हें बाद में उनके नाम पर रखा गया था (यानी 17 वीं शताब्दी के अंत में)।

जब शरीर परस्पर क्रिया करते हैं, तो उनके आवेग बदल सकते हैं। इसे साधारण अनुभव से सत्यापित किया जा सकता है।

समान द्रव्यमान की दो गेंदों को एक तिपाई रिंग पर लगे लकड़ी के शासक से धागे के लूप पर निलंबित कर दिया जाता है, जैसा कि चित्र 44, ए में दिखाया गया है।

चावल। 44. संवेग संरक्षण के नियम का प्रदर्शन

गेंद 2 को कोण a (चित्र 44, b) द्वारा ऊर्ध्वाधर से विक्षेपित किया जाता है और छोड़ दिया जाता है। अपनी पिछली स्थिति में लौटते हुए, वह गेंद 1 को हिट करता है और रुक जाता है। इस स्थिति में, गेंद 1 चलना शुरू कर देती है और उसी कोण a से विचलित हो जाती है (चित्र 44, c)।

इस मामले में, यह स्पष्ट है कि गेंदों की परस्पर क्रिया के परिणामस्वरूप, उनमें से प्रत्येक का संवेग बदल गया है: गेंद 2 का संवेग कितना कम हुआ, गेंद 1 का संवेग उसी मात्रा में बढ़ गया।

यदि दो या दो से अधिक पिंड केवल एक-दूसरे के साथ संपर्क करते हैं (अर्थात वे बाहरी ताकतों के संपर्क में नहीं आते हैं), तो ये पिंड एक बंद प्रणाली बनाते हैं।

एक बंद प्रणाली में शामिल प्रत्येक पिंड की गति एक दूसरे के साथ उनकी बातचीत के परिणामस्वरूप बदल सकती है। लेकिन

• एक बंद प्रणाली बनाने वाले पिंडों के आवेगों का सदिश योग इन पिंडों की किसी भी गति और अंतःक्रिया के लिए समय के साथ नहीं बदलता है

यह संवेग संरक्षण का नियम है।

संवेग के संरक्षण का नियम भी संतुष्ट होता है यदि सिस्टम के पिंडों पर बाहरी ताकतों द्वारा कार्य किया जाता है जिसका वेक्टर योग शून्य के बराबर है। आइए संवेग के संरक्षण के नियम को प्राप्त करने के लिए न्यूटन के दूसरे और तीसरे नियम का उपयोग करके इसे दिखाएं। सरलता के लिए, आइए हम केवल दो पिंडों से युक्त एक प्रणाली पर विचार करें - द्रव्यमान m 1 और m 2 की गेंदें, जो गति v 1 और v 2 (छवि 45) के साथ एक दूसरे की ओर सीधी गति से चलती हैं।

चावल। 45. दो पिंडों की एक प्रणाली - गेंदें एक दूसरे की ओर सीधी रेखा में चलती हैं

प्रत्येक गेंद पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल उस सतह के लोचदार बलों द्वारा संतुलित होता है जिस पर वे लुढ़कती हैं। इसका मतलब यह है कि इन ताकतों की कार्रवाई को नजरअंदाज किया जा सकता है. इस मामले में आंदोलन के प्रतिरोध की ताकतें छोटी हैं, इसलिए हम उनके प्रभाव को भी ध्यान में नहीं रखेंगे। इस प्रकार, हम मान सकते हैं कि गेंदें केवल एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करती हैं।

चित्र 45 से यह देखा जा सकता है कि कुछ देर बाद गेंदें आपस में टकराएंगी। बहुत कम समय तक चलने वाली टक्कर के दौरान, परस्पर क्रिया बल F 1 और F 2 उत्पन्न होंगे, जो क्रमशः पहली और दूसरी गेंद पर लागू होंगे। बलों की कार्रवाई के परिणामस्वरूप, गेंदों की गति बदल जाएगी। आइए हम टकराव के बाद गेंदों के वेग को v 1 और v 2 अक्षरों से निरूपित करें।

न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, गेंदों के बीच परस्पर क्रिया बल परिमाण में बराबर होते हैं और विपरीत दिशाओं में निर्देशित होते हैं:

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, इनमें से प्रत्येक बल को परस्पर क्रिया के दौरान प्रत्येक गेंद द्वारा प्राप्त द्रव्यमान और त्वरण के उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

एम 1 ए 1 = -एम 2 ए 2।

त्वरण, जैसा कि आप जानते हैं, समानता से निर्धारित होते हैं:

समीकरण में त्वरण बलों को संबंधित अभिव्यक्तियों के साथ बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं:

समानता के दोनों पक्षों को t से कम करने के परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है:

एम1(वी" 1 - वी 1) = -एम 2 (वी" 2 - वी 2)।

आइए इस समीकरण के पदों को इस प्रकार समूहित करें:

एम 1 वी 1 " + एम 2 वी 2 " = एम 1 वी 1 = एम 2 वी 2 . (1)

उस mv = p को ध्यान में रखते हुए, हम समीकरण (1) को इस रूप में लिखते हैं:

पी" 1 + पी" 2 = पी 1 + पी 2.(2)

समीकरण (1) और (2) के बाएँ पक्ष उनकी परस्पर क्रिया के बाद गेंदों की कुल गति का प्रतिनिधित्व करते हैं, और दाएँ पक्ष परस्पर क्रिया से पहले के कुल आवेग का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इसका मतलब यह है कि, इस तथ्य के बावजूद कि बातचीत के दौरान प्रत्येक गेंद की गति बदल गई, बातचीत के बाद उनकी गति का वेक्टर योग बातचीत से पहले जैसा ही रहा।

समीकरण (1) और (2) संवेग के संरक्षण के नियम का गणितीय प्रतिनिधित्व हैं।

चूँकि यह पाठ्यक्रम केवल एक सीधी रेखा के साथ चलने वाले पिंडों की परस्पर क्रिया पर विचार करता है, इसलिए अदिश रूप में गति के संरक्षण के नियम को लिखने के लिए, एक समीकरण पर्याप्त है, जिसमें एक्स अक्ष पर वेक्टर मात्राओं का प्रक्षेपण शामिल है:

एम 1 वी" 1एक्स + एम 2 वी" 2एक्स = एम 1 वी 1एक्स + एम 2 वी 2एक्स।

प्रशन

1. शरीर का आवेग क्या है?
2. संवेग सदिशों की दिशाओं और गतिमान पिंड की गति के बारे में क्या कहा जा सकता है?
3. हमें चित्र 44 में दर्शाए गए प्रयोग के बारे में बताएं। यह क्या दर्शाता है?
4. यह कहने का क्या मतलब है कि कई निकाय एक बंद प्रणाली बनाते हैं?
5. संवेग संरक्षण का नियम बनाइये।
6. दो निकायों से युक्त एक बंद प्रणाली के लिए, गति के संरक्षण के नियम को एक समीकरण के रूप में लिखें जिसमें इन निकायों के द्रव्यमान और वेग शामिल होंगे। बताएं कि इस समीकरण में प्रत्येक प्रतीक का क्या अर्थ है।

व्यायाम 20

1. दो विंड-अप खिलौना कारें, प्रत्येक का वजन 0.2 किलोग्राम है, एक दूसरे की ओर एक सीधी रेखा में चलती हैं। जमीन के सापेक्ष प्रत्येक कार की गति 0.1 मीटर/सेकेंड है। क्या मशीनों के आवेग सदिश समान हैं? आवेग वेक्टर मॉड्यूल? एक्स अक्ष पर प्रत्येक कार की गति का प्रक्षेपण, उनके प्रक्षेपवक्र के समानांतर निर्धारित करें।
2. जब 1 टन वजनी कार की गति 54 से 72 किमी/घंटा हो जाती है तो उसके आवेग में (निरपेक्ष मान में) कितना बदलाव आएगा?
3. एक आदमी झील की सतह पर आराम करते हुए नाव में बैठा है। किसी बिंदु पर वह उठता है और स्टर्न से धनुष तक चलता है। नाव का क्या होगा? संवेग संरक्षण के नियम के आधार पर घटना की व्याख्या करें।
4. 35 टन वजनी एक रेलवे कार उसी ट्रैक पर खड़ी 28 टन वजनी एक स्थिर कार के पास आती है और स्वचालित रूप से उसके साथ जुड़ जाती है। युग्मन के बाद, कारें 0.5 मीटर/सेकेंड की गति से सीधी चलती हैं। कपलिंग से पहले 35 टन की कार की गति क्या थी?