महत्वपूर्ण लेख!
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हम अक्सर यह अप्रिय वाक्यांश सुनते हैं: "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।"आमतौर पर हम कुछ इस तरह के राक्षस देखते हैं:
हम कहते हैं, "यह बहुत आसान है," लेकिन ऐसा उत्तर आमतौर पर काम नहीं करता है।
अब मैं तुम्हें सिखाऊंगा कि ऐसे किसी भी काम से मत डरो।
इसके अलावा, पाठ के अंत में, आप स्वयं इस उदाहरण को एक साधारण संख्या (हाँ, इन अक्षरों के साथ नरक) तक सरल बना देंगे।
लेकिन इस गतिविधि को शुरू करने से पहले, आपको इसमें सक्षम होने की आवश्यकता है भिन्नों को संभालेंऔर कारक बहुपद.
इसलिए, यदि आपने पहले ऐसा नहीं किया है, तो "" और "" विषयों में महारत हासिल करना सुनिश्चित करें।
क्या आपने इसे पढ़ा है? अगर हां, तो अब आप तैयार हैं.
चलो चले चलो चले!)
बुनियादी अभिव्यक्ति सरलीकरण संचालन
आइए अब उन बुनियादी तकनीकों पर नजर डालें जिनका उपयोग अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए किया जाता है।
सबसे सरल है
1. समान लाना
क्या समान हैं? आपने इसे 7वीं कक्षा में लिया था, जब गणित में संख्याओं के बजाय अक्षर पहली बार सामने आए थे।
समान- ये समान अक्षर भाग वाले पद (एकपदी) हैं।
उदाहरण के लिए, योग में, समान पद हैं और।
तुम्हे याद है?
समान दीजिए- का अर्थ है कई समान पदों को एक-दूसरे में जोड़ना और एक पद प्राप्त करना।
हम अक्षरों को एक साथ कैसे रख सकते हैं? - आप पूछना।
यह समझना बहुत आसान है यदि आप कल्पना करें कि अक्षर किसी प्रकार की वस्तुएं हैं।
उदाहरण के लिए, एक पत्र एक कुर्सी है। तो फिर अभिव्यक्ति किसके बराबर है?
दो कुर्सियाँ और तीन कुर्सियाँ, कितनी होंगी? यह सही है, कुर्सियाँ: .
अब इस अभिव्यक्ति को आज़माएँ: .
भ्रम से बचने के लिए, अलग-अलग अक्षरों को अलग-अलग वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करने दें।
उदाहरण के लिए, - (हमेशा की तरह) एक कुर्सी है, और - एक मेज है।
कुर्सियाँ मेजें कुर्सी मेजें कुर्सियाँ कुर्सियाँ मेजें
वे संख्याएँ जिनसे ऐसे पदों के अक्षरों को गुणा किया जाता है, कहलाती हैं गुणांकों.
उदाहरण के लिए, एकपदी में गुणांक बराबर होता है। और इसमें बराबर है.
तो, समान लाने का नियम यह है:
उदाहरण:
समान दो:
उत्तर:
2. (और समान, क्योंकि, इसलिए, इन शब्दों का अक्षर भाग एक ही है)।
2. गुणनखंडीकरण
ऐसा आमतौर पर होता है अभिव्यक्ति को सरल बनाने में सबसे महत्वपूर्ण भाग।
आपके द्वारा समान दिए जाने के बाद, अक्सर परिणामी अभिव्यक्ति की आवश्यकता होती है खंड करना, अर्थात उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।
विशेषकर यह भिन्नों में महत्वपूर्ण:आख़िरकार, भिन्न को कम करने में सक्षम होने के लिए, अंश और हर को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।
आपने "" विषय में विस्तार से गुणनखंडन अभिव्यक्तियों के तरीकों के बारे में जाना, इसलिए यहां आपको केवल यह याद रखना है कि आपने क्या सीखा।
ऐसा करने के लिए, कई उदाहरण हल करें (आपको उन्हें गुणनखंडित करने की आवश्यकता है)
उदाहरण:
समाधान:
3. भिन्न को कम करना।
खैर, अंश और हर के कुछ हिस्सों को काटकर उन्हें अपने जीवन से बाहर फेंकने से ज्यादा सुखद क्या हो सकता है?
आकार घटाने की यही खूबसूरती है।
यह आसान है:
यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हों, तो उन्हें कम किया जा सकता है, अर्थात भिन्न से हटाया जा सकता है।
यह नियम भिन्न के मूल गुण से अनुसरण करता है:
अर्थात् कटौती संक्रिया का सार यही है हम भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या (या एक ही अभिव्यक्ति से) से विभाजित करते हैं।
किसी अंश को कम करने के लिए आपको चाहिए:
1) अंश और हर खंड करना
2) यदि अंश और हर में शामिल हैं सामान्य तथ्य, उन्हें पार किया जा सकता है।
उदाहरण:
मुझे लगता है, सिद्धांत स्पष्ट है?
मैं संक्षिप्तीकरण करते समय एक सामान्य गलती की ओर आपका ध्यान आकर्षित करना चाहूंगा। हालाँकि यह विषय सरल है, बहुत से लोग इसे न समझकर हर काम गलत करते हैं कम करना- इसका मतलब यह है विभाजित करनाअंश और हर एक ही संख्या हैं।
यदि अंश या हर एक योग है तो कोई संक्षिप्ताक्षर नहीं।
उदाहरण के लिए: हमें सरलीकरण करने की आवश्यकता है।
कुछ लोग ऐसा करते हैं: जो बिल्कुल गलत है.
दूसरा उदाहरण: कम करें.
"सबसे चतुर" यह करेगा:
मुझे बताओ यहाँ क्या गड़बड़ है? ऐसा प्रतीत होगा:- यह एक गुणक है, जिसका अर्थ है कि इसे कम किया जा सकता है।
लेकिन नहीं: - यह अंश में केवल एक पद का गुणनखंड है, लेकिन संपूर्ण अंश स्वयं गुणनखंडित नहीं है।
यहाँ एक और उदाहरण है: .
यह अभिव्यक्ति गुणनखंडित है, जिसका अर्थ है कि आप इसे कम कर सकते हैं, यानी अंश और हर को इससे विभाजित कर सकते हैं, और फिर:
आप इसे तुरंत इसमें विभाजित कर सकते हैं:
ऐसी गलतियों से बचने के लिए, यह निर्धारित करने का एक आसान तरीका याद रखें कि कोई अभिव्यक्ति गुणनखंडित है या नहीं:
किसी अभिव्यक्ति के मान की गणना करते समय जो अंकगणितीय ऑपरेशन सबसे अंत में किया जाता है वह "मास्टर" ऑपरेशन होता है।
अर्थात्, यदि आप अक्षरों के स्थान पर कुछ (कोई भी) संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं और अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो यदि अंतिम क्रिया गुणन है, तो हमारे पास एक उत्पाद है (अभिव्यक्ति गुणनखंडित है)।
यदि अंतिम क्रिया जोड़ या घटाव है, तो इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति गुणनखंडित नहीं है (और इसलिए इसे कम नहीं किया जा सकता है)।
इसे सुदृढ़ करने के लिए, कुछ उदाहरण स्वयं हल करें:
उदाहरण:
समाधान:
4. भिन्नों को जोड़ना और घटाना। भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना।
साधारण भिन्नों को जोड़ना और घटाना एक परिचित ऑपरेशन है: हम एक सामान्य हर की तलाश करते हैं, प्रत्येक भिन्न को लुप्त कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते/घटाते हैं।
चलो याद करते हैं:
उत्तर:
1. हर और अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, अर्थात उनमें उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं हैं। इसलिए, इन संख्याओं का LCM उनके उत्पाद के बराबर है। यह सामान्य भाजक होगा:
2. यहाँ सामान्य विभाजक है:
3. यहां, सबसे पहले, हम मिश्रित भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलते हैं, और फिर सामान्य योजना के अनुसार:
यदि भिन्नों में अक्षर हों तो यह बिल्कुल अलग बात है, उदाहरण के लिए:
आइए कुछ सरल से शुरुआत करें:
a) हर में अक्षर नहीं होते
यहां सब कुछ सामान्य संख्यात्मक भिन्नों जैसा ही है: हम सामान्य हर ढूंढते हैं, प्रत्येक भिन्न को लुप्त गुणनखंड से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते/घटाते हैं:
अब अंश में आप समान, यदि कोई हो, दे सकते हैं और उनका गुणनखंड कर सकते हैं:
खुद कोशिश करना:
उत्तर:
बी) हर में अक्षर होते हैं
आइए अक्षरों के बिना एक सामान्य हर खोजने के सिद्धांत को याद रखें:
· सबसे पहले, हम सामान्य कारकों का निर्धारण करते हैं;
· फिर हम सभी सामान्य कारकों को एक-एक करके लिखते हैं;
· और उन्हें अन्य सभी गैर-सामान्य कारकों से गुणा करें।
हर के सामान्य गुणनखंडों को निर्धारित करने के लिए, हम पहले उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते हैं:
आइए हम सामान्य कारकों पर जोर दें:
आइए अब सामान्य कारकों को एक-एक करके लिखें और उनमें सभी गैर-सामान्य (रेखांकित नहीं) कारकों को जोड़ें:
यह सामान्य विभाजक है.
चलिए पत्रों पर वापस आते हैं। हर बिल्कुल उसी तरह दिए गए हैं:
· हरों का गुणनखंड करें;
· सामान्य (समान) कारकों का निर्धारण करें;
· सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें;
· उन्हें अन्य सभी गैर-सामान्य कारकों से गुणा करें.
तो, क्रम में:
1) हरों का गुणनखंड करें:
2) सामान्य (समान) कारक निर्धारित करें:
3) सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें और उन्हें अन्य सभी (बिना जोर दिए) कारकों से गुणा करें:
तो यहाँ एक सामान्य विभाजक है। पहले अंश को इससे गुणा किया जाना चाहिए, दूसरे को - से:
वैसे, एक तरकीब है:
उदाहरण के लिए: ।
हम हर में समान गुणनखंड देखते हैं, केवल सभी अलग-अलग संकेतकों के साथ। सामान्य विभाजक होगा:
एक स्तर तक
एक स्तर तक
एक स्तर तक
एक स्तर तक।
आइए कार्य को जटिल बनाएं:
भिन्नों का हर समान कैसे बनाएं?
आइए भिन्न के मूल गुण को याद करें:
यह कहीं नहीं कहता कि भिन्न के अंश और हर में से समान संख्या को घटाया (या जोड़ा) जा सकता है। क्योंकि यह सच नहीं है!
स्वयं देखें: उदाहरण के लिए, कोई भिन्न लें, और अंश और हर में कुछ संख्या जोड़ें, उदाहरण के लिए,। आपने क्या सीखा?
तो, एक और अटल नियम:
जब आप भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, तो केवल गुणन संक्रिया का उपयोग करें!
लेकिन क्या पाने के लिए आपको गुणा करने की आवश्यकता है?
तो गुणा करें. और इससे गुणा करें:
जिन अभिव्यक्तियों को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता उन्हें हम "प्राथमिक कारक" कहेंगे।
उदाहरणार्थ, - यह एक प्राथमिक कारक है । - वही। लेकिन नहीं: इसे गुणनखंडित किया जा सकता है।
अभिव्यक्ति के बारे में क्या? क्या यह प्राथमिक है?
नहीं, क्योंकि इसे गुणनखंडित किया जा सकता है:
(आप पहले ही विषय "" में गुणनखंडन के बारे में पढ़ चुके हैं)।
तो, जिन प्राथमिक कारकों में आप अक्षरों के साथ एक अभिव्यक्ति को विघटित करते हैं, वे उन सरल कारकों के अनुरूप होते हैं जिनमें आप संख्याओं को विघटित करते हैं। और हम उनसे वैसे ही निपटेंगे.
हम देखते हैं कि दोनों हरों में गुणक होता है। यह सामान्य भाजक से डिग्री तक जाएगा (याद रखें क्यों?)।
कारक प्राथमिक है, और उनके पास एक सामान्य कारक नहीं है, जिसका अर्थ है कि पहले अंश को बस इससे गुणा करना होगा:
एक और उदाहरण:
समाधान:
इससे पहले कि आप इन हरों को घबराहट में गुणा करें, आपको यह सोचने की ज़रूरत है कि उन्हें कैसे गुणनखंडित किया जाए? वे दोनों प्रतिनिधित्व करते हैं:
महान! तब:
एक और उदाहरण:
समाधान:
हमेशा की तरह, आइए हरों का गुणनखंड करें। पहले हर में हम इसे केवल कोष्ठक से बाहर रखते हैं; दूसरे में - वर्गों का अंतर:
ऐसा प्रतीत होता है कि कोई सामान्य कारक नहीं हैं। लेकिन अगर आप बारीकी से देखें, तो वे समान हैं... और यह सच है:
तो चलिए लिखते हैं:
अर्थात्, यह इस प्रकार निकला: कोष्ठक के अंदर हमने पदों की अदला-बदली की, और उसी समय भिन्न के सामने का चिह्न विपरीत में बदल गया। ध्यान रखें, ऐसा आपको अक्सर करना होगा।
आइए अब इसे एक सामान्य विभाजक पर लाएँ:
समझ गया? आइए अब इसकी जाँच करें।
स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:
उत्तर:
5. भिन्नों का गुणन और विभाजन।
खैर, सबसे कठिन हिस्सा अब खत्म हो गया है। और हमारे आगे सबसे सरल, लेकिन साथ ही सबसे महत्वपूर्ण भी है:
प्रक्रिया
संख्यात्मक अभिव्यक्ति की गणना करने की प्रक्रिया क्या है? इस अभिव्यक्ति के अर्थ की गणना करके याद रखें:
क्या आपने गिनती की?
यह काम करना चाहिए।
तो, मैं आपको याद दिला दूं।
पहला कदम डिग्री की गणना करना है।
दूसरा है गुणा और भाग. यदि एक ही समय में कई गुणा और भाग हों तो उन्हें किसी भी क्रम में किया जा सकता है।
और अंत में, हम जोड़ और घटाव करते हैं। फिर, किसी भी क्रम में.
लेकिन: कोष्ठक में अभिव्यक्ति का मूल्यांकन बारी-बारी से किया जाता है!
यदि कई कोष्ठकों को एक-दूसरे से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो हम पहले प्रत्येक कोष्ठक में अभिव्यक्ति की गणना करते हैं, और फिर उन्हें गुणा या विभाजित करते हैं।
यदि कोष्ठक के अंदर अधिक कोष्ठक हों तो क्या होगा? खैर, आइए सोचें: कोष्ठक के अंदर कुछ अभिव्यक्ति लिखी हुई है। किसी व्यंजक की गणना करते समय, आपको सबसे पहले क्या करना चाहिए? यह सही है, कोष्ठक की गणना करें। खैर, हमने इसका पता लगा लिया: पहले हम आंतरिक कोष्ठक की गणना करते हैं, फिर बाकी सभी चीजों की।
तो, उपरोक्त अभिव्यक्ति की प्रक्रिया इस प्रकार है (वर्तमान क्रिया को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है, अर्थात, वह क्रिया जो मैं अभी कर रहा हूं):
ठीक है, यह सब सरल है.
लेकिन यह अक्षरों वाली अभिव्यक्ति के समान नहीं है?
नहीं, यह वैसा ही है! केवल अंकगणितीय संक्रियाओं के बजाय, आपको बीजगणितीय संक्रियाएँ करने की आवश्यकता है, अर्थात, पिछले अनुभाग में वर्णित क्रियाएँ: समान ला रहा हूँ, भिन्नों को जोड़ना, भिन्नों को कम करना, इत्यादि। एकमात्र अंतर बहुपदों के गुणनखंडन की क्रिया में होगा (हम अक्सर भिन्नों के साथ काम करते समय इसका उपयोग करते हैं)। अक्सर, गुणनखंड करने के लिए, आपको I का उपयोग करने की आवश्यकता होती है या बस सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना पड़ता है।
आमतौर पर हमारा लक्ष्य अभिव्यक्ति को उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना होता है।
उदाहरण के लिए:
आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
1) सबसे पहले, हम कोष्ठक में दिए गए व्यंजक को सरल बनाते हैं। वहां हमारे पास भिन्नों का अंतर है, और हमारा लक्ष्य इसे उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना है। इसलिए, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं और जोड़ते हैं:
इस अभिव्यक्ति को और अधिक सरल बनाना असंभव है; यहां सभी कारक प्राथमिक हैं (क्या आपको अभी भी याद है कि इसका क्या अर्थ है?)।
2) हमें मिलता है:
भिन्नों को गुणा करना: इससे अधिक सरल क्या हो सकता है।
3) अब आप छोटा कर सकते हैं:
ठीक है अब सब ख़त्म हो गया। कुछ भी जटिल नहीं, है ना?
एक और उदाहरण:
अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.
सबसे पहले, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही समाधान पर विचार करें।
समाधान:
सबसे पहले, आइए कार्यों का क्रम निर्धारित करें।
सबसे पहले, आइए भिन्नों को कोष्ठकों में जोड़ें, ताकि दो भिन्नों के बजाय हमें एक भिन्न प्राप्त हो।
फिर हम भिन्नों का विभाजन करेंगे। खैर, आइए परिणाम को अंतिम भिन्न के साथ जोड़ें।
मैं चरणों को योजनाबद्ध तरीके से क्रमांकित करूंगा:
अंत में, मैं आपको दो उपयोगी सुझाव दूंगा:
1. यदि समान हों तो उन्हें तुरंत लाया जाना चाहिए। हमारे देश में जब भी ऐसी कोई बात सामने आती है, तो उन्हें तुरंत सामने लाने की सलाह दी जाती है।
2. यही बात भिन्नों को कम करने पर भी लागू होती है: जैसे ही कम करने का अवसर मिले, इसका लाभ उठाना चाहिए। अपवाद उन भिन्नों के लिए है जिन्हें आप जोड़ते या घटाते हैं: यदि अब उनके हर समान हैं, तो कमी को बाद के लिए छोड़ दिया जाना चाहिए।
यहां कुछ कार्य दिए गए हैं जिन्हें आपको स्वयं हल करना है:
और शुरुआत में ही क्या वादा किया गया था:
उत्तर:
समाधान (संक्षिप्त):
यदि आपने कम से कम पहले तीन उदाहरणों का सामना कर लिया है, तो आपने विषय में महारत हासिल कर ली है।
अब सीखने पर!
भावों को परिवर्तित करना। सारांश और बुनियादी सूत्र
बुनियादी सरलीकरण संचालन:
- समान लाना: समान शब्दों को जोड़ने (घटाने) के लिए, आपको उनके गुणांक जोड़ने और अक्षर भाग निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।
- गुणनखंडन:सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना, उसे लागू करना, आदि।
- एक अंश कम करना: भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जा सकता है, जिससे भिन्न का मान नहीं बदलता है।
1) अंश और हर खंड करना
2) यदि अंश और हर में सामान्य गुणनखंड हों, तो उन्हें काटा जा सकता है।महत्वपूर्ण: केवल गुणकों को ही कम किया जा सकता है!
- भिन्नों को जोड़ना और घटाना:
; - भिन्नों को गुणा और विभाजित करना:
;
खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।
क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!
अब सबसे महत्वपूर्ण बात.
आप इस विषय पर सिद्धांत को समझ चुके हैं। और, मैं दोहराता हूं, यह... यह बिल्कुल सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।
समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता...
किस लिए?
एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए, कम बजट में कॉलेज में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण, जीवन भर के लिए।
मैं तुम्हें किसी बात के लिए मना नहीं पाऊंगा, मैं सिर्फ एक बात कहूंगा...
जिन लोगों ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की है वे उन लोगों की तुलना में कहीं अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया है। ये आँकड़े हैं.
लेकिन ये मुख्य बात नहीं है.
मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने कई और अवसर खुलते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...
लेकिन आप खुद सोचिये...
एकीकृत राज्य परीक्षा में दूसरों से बेहतर होने और अंततः... अधिक खुश रहने के लिए क्या करना होगा?
इस विषय पर समस्याओं को हल करके अपना हाथ बढ़ाएं।
परीक्षा के दौरान आपसे थ्योरी के बारे में नहीं पूछा जाएगा।
आपको चाहिये होगा समय रहते समस्याओं का समाधान करें.
और, यदि आपने उन्हें (बहुत सारे!) हल नहीं किया है, तो आप निश्चित रूप से कहीं न कहीं एक मूर्खतापूर्ण गलती करेंगे या आपके पास समय नहीं होगा।
यह खेलों की तरह है - निश्चित रूप से जीतने के लिए आपको इसे कई बार दोहराना होगा।
आप जहां चाहें संग्रह ढूंढें, आवश्यक रूप से समाधान, विस्तृत विश्लेषण के साथऔर निर्णय करो, निर्णय करो, निर्णय करो!
आप हमारे कार्यों (वैकल्पिक) का उपयोग कर सकते हैं और हम निश्चित रूप से उनकी अनुशंसा करते हैं।
हमारे कार्यों का बेहतर उपयोग करने के लिए, आपको वर्तमान में पढ़ रहे YouClever पाठ्यपुस्तक के जीवन को बढ़ाने में मदद करने की आवश्यकता है।
कैसे? दो विकल्प हैं:
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हां, हमारी पाठ्यपुस्तक में ऐसे 99 लेख हैं और सभी कार्यों और उनमें छिपे सभी पाठों तक पहुंच तुरंत खोली जा सकती है।
साइट के संपूर्ण जीवन के लिए सभी छिपे हुए कार्यों तक पहुंच प्रदान की जाती है।
निष्कर्ष के तौर पर...
यदि आपको हमारे कार्य पसंद नहीं हैं, तो अन्य खोजें। बस सिद्धांत पर मत रुकें।
"समझ गया" और "मैं हल कर सकता हूँ" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है.
समस्याएं ढूंढें और उनका समाधान करें!
किसी भी भाषा का उपयोग करके, आप एक ही जानकारी को विभिन्न शब्दों और वाक्यांशों में व्यक्त कर सकते हैं। गणितीय भाषा कोई अपवाद नहीं है. लेकिन एक ही अभिव्यक्ति को समान रूप से अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है। और कुछ स्थितियों में, प्रविष्टियों में से एक सरल होती है। इस पाठ में हम भावों को सरल बनाने के बारे में बात करेंगे।
लोग विभिन्न भाषाओं में संवाद करते हैं। हमारे लिए, एक महत्वपूर्ण तुलना "रूसी भाषा - गणितीय भाषा" जोड़ी है। एक ही जानकारी विभिन्न भाषाओं में संप्रेषित की जा सकती है। लेकिन इसके अलावा इसे एक ही भाषा में अलग-अलग तरह से उच्चारित किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए: "पेट्या वास्या की दोस्त है", "वास्या पेट्या की दोस्त है", "पेट्या और वास्या दोस्त हैं"। अलग-अलग कहा, लेकिन बात एक ही है। इनमें से किसी भी वाक्यांश से हम समझ जाएंगे कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं।
आइए इस वाक्यांश को देखें: "लड़का पेट्या और लड़का वास्या दोस्त हैं।" हम समझते हैं कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं। हालाँकि, हमें इस वाक्यांश की ध्वनि पसंद नहीं है। क्या हम इसे सरल नहीं बना सकते, वही बात नहीं कह सकते, लेकिन सरल? "लड़का और लड़का" - आप एक बार कह सकते हैं: "लड़के पेट्या और वास्या दोस्त हैं।"
"लड़के"... क्या उनके नाम से यह स्पष्ट नहीं है कि वे लड़कियाँ नहीं हैं? हम "लड़कों" को हटाते हैं: "पेट्या और वास्या दोस्त हैं।" और "मित्र" शब्द को "मित्र" से बदला जा सकता है: "पेट्या और वास्या मित्र हैं।" परिणामस्वरूप, पहले, लंबे, बदसूरत वाक्यांश को एक समकक्ष कथन से बदल दिया गया जो कहने में आसान और समझने में आसान है। हमने इस वाक्यांश को सरल बना दिया है. सरलीकरण का अर्थ है किसी बात को अधिक सरलता से कहना, लेकिन अर्थ को खोना या बिगाड़ना नहीं।
गणितीय भाषा में कहें तो लगभग यही बात होती है. एक ही बात को अलग-अलग तरीके से कहा, लिखा जा सकता है। किसी अभिव्यक्ति को सरल बनाने का क्या मतलब है? इसका मतलब यह है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए कई समकक्ष अभिव्यक्तियाँ हैं, यानी जिनका मतलब एक ही है। और इस सारी विविधता में से, हमारी राय में, हमें सबसे सरल या हमारे भविष्य के उद्देश्यों के लिए सबसे उपयुक्त चुनना होगा।
उदाहरण के लिए, संख्यात्मक अभिव्यक्ति पर विचार करें। के बराबर होगा.
यह भी पहले दो के बराबर होगा: 
.
यह पता चला है कि हमने अपनी अभिव्यक्तियों को सरल बना लिया है और सबसे छोटी समकक्ष अभिव्यक्ति ढूंढ ली है।
संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के लिए, आपको हमेशा सब कुछ करने और एकल संख्या के रूप में समतुल्य अभिव्यक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता होती है।
आइए शाब्दिक अभिव्यक्ति का एक उदाहरण देखें . जाहिर है, यह आसान होगा.
शाब्दिक अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय सभी संभव क्रियाएं करना आवश्यक है।
क्या किसी अभिव्यक्ति को सरल बनाना हमेशा आवश्यक होता है? नहीं, कभी-कभी हमारे लिए समतुल्य लेकिन लंबी प्रविष्टि रखना अधिक सुविधाजनक होगा।
उदाहरण: आपको एक संख्या में से एक संख्या घटानी होगी।
गणना करना संभव है, लेकिन यदि पहली संख्या को इसके समकक्ष संकेतन द्वारा दर्शाया जाता है:, तो गणना तात्कालिक होगी:।
यानी आगे की गणना के लिए एक सरलीकृत अभिव्यक्ति हमेशा हमारे लिए फायदेमंद नहीं होती है।
फिर भी, अक्सर हमें ऐसे कार्य का सामना करना पड़ता है जो बस "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं" जैसा लगता है।
अभिव्यक्ति को सरल कीजिये: .
समाधान
1) पहले और दूसरे कोष्ठक में क्रियाएँ करें:।
2) आइए उत्पादों की गणना करें: .
जाहिर है, अंतिम अभिव्यक्ति का रूप प्रारंभिक की तुलना में सरल है। हमने इसे सरल बनाया है.
अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, इसे समकक्ष (बराबर) से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।
आपको आवश्यक समतुल्य अभिव्यक्ति निर्धारित करने के लिए:
1) सभी संभव कार्य करें,
2) गणना को सरल बनाने के लिए जोड़, घटाव, गुणा और भाग के गुणों का उपयोग करें।
जोड़ और घटाव के गुण:
1. जोड़ का क्रमविनिमेय गुण: पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता है।
2. जोड़ का संयुक्त गुण: दो संख्याओं के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए आप दूसरी और तीसरी संख्या का योग पहली संख्या में जोड़ सकते हैं।
3. किसी संख्या से योग घटाने का गुण: किसी संख्या से योग घटाने के लिए, आप प्रत्येक पद को अलग-अलग घटा सकते हैं।
गुणा और भाग के गुण
1. गुणन का क्रमविनिमेय गुण: गुणनखंडों को पुनर्व्यवस्थित करने से गुणनफल नहीं बदलता है।
2. संयोजन गुण: किसी संख्या को दो संख्याओं के गुणनफल से गुणा करने के लिए, आप पहले इसे पहले कारक से गुणा कर सकते हैं, और फिर परिणामी उत्पाद को दूसरे कारक से गुणा कर सकते हैं।
3. गुणन का वितरणात्मक गुण: किसी संख्या को किसी योग से गुणा करने के लिए, आपको इसे प्रत्येक पद से अलग-अलग गुणा करना होगा।
आइए देखें कि हम वास्तव में मानसिक गणना कैसे करते हैं।
गणना करें:
समाधान
1) आइए कल्पना करें कैसे
2) आइए पहले कारक को बिट पदों के योग के रूप में कल्पना करें और गुणन करें:
3) आप कल्पना कर सकते हैं कि गुणा कैसे और कैसे किया जाता है:
4) पहले गुणनखंड को समतुल्य योग से बदलें:
वितरण नियम का प्रयोग विपरीत दिशा में भी किया जा सकता है: .
इन चरणों का पालन करें:
1) 
2) 
समाधान
1) सुविधा के लिए, आप वितरण नियम का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन इसका उपयोग विपरीत दिशा में करें - सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें।
2) आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें
रसोई और दालान के लिए लिनोलियम खरीदना आवश्यक है। रसोई क्षेत्र - , दालान - . लिनोलियम तीन प्रकार के होते हैं: के लिए, और रूबल के लिए। तीनों प्रकार के लिनोलियम में से प्रत्येक की लागत कितनी होगी? (चित्र .1)
चावल। 1. समस्या कथन के लिए चित्रण
समाधान
विधि 1. आप अलग से पता लगा सकते हैं कि रसोई के लिए लिनोलियम खरीदने में कितना पैसा लगेगा, और फिर इसे दालान में रख दें और परिणामी उत्पादों को जोड़ दें।
शक्ति का उपयोग किसी संख्या को स्वयं से गुणा करने की प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, आप लिखने के बजाय लिख सकते हैं 4 5 (\प्रदर्शन शैली 4^(5))(इस परिवर्तन का स्पष्टीकरण इस लेख के पहले खंड में दिया गया है)। डिग्रियाँ लंबी या जटिल अभिव्यक्तियाँ या समीकरण लिखना आसान बनाती हैं; घातों को जोड़ना और घटाना भी आसान है, जिसके परिणामस्वरूप एक सरलीकृत अभिव्यक्ति या समीकरण बनता है (उदाहरण के लिए, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).
टिप्पणी:यदि आपको एक घातीय समीकरण को हल करने की आवश्यकता है (ऐसे समीकरण में अज्ञात घातांक में है), तो पढ़ें।
कदम
डिग्री के साथ सरल समस्याओं का समाधान
- 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
- 4 * 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)
-
परिणाम (हमारे उदाहरण में 16) को अगली संख्या से गुणा करें।प्रत्येक आगामी परिणाम आनुपातिक रूप से बढ़ेगा। हमारे उदाहरण में, 16 को 4 से गुणा करें। इस तरह:
- 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
- 16 * 4 = 64 (\प्रदर्शन शैली 16*4=64)
- 4 5 = 64 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
- 64 * 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
- 4 5 = 256 * 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
- 256 * 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
- जब तक आपको अपना अंतिम उत्तर न मिल जाए, पहले दो संख्याओं के परिणाम को अगली संख्या से गुणा करना जारी रखें। ऐसा करने के लिए, पहले दो संख्याओं को गुणा करें, और फिर परिणामी परिणाम को अनुक्रम में अगली संख्या से गुणा करें। यह विधि किसी भी डिग्री के लिए मान्य है. हमारे उदाहरण में आपको यह मिलना चाहिए: 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .
- 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
-
निम्नलिखित समस्याओं का समाधान करें.कैलकुलेटर का उपयोग करके अपना उत्तर जांचें।
- 8 2 (\प्रदर्शनशैली 8^(2))
- 3 4 (\प्रदर्शन शैली 3^(4))
- 10 7 (\प्रदर्शनशैली 10^(7))
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अपने कैलकुलेटर पर, "एक्सप" या "लेबल वाली कुंजी देखें x n (\displaystyle x^(n))", या "^"।इस कुंजी का उपयोग करके आप किसी संख्या को घात तक बढ़ा देंगे। किसी बड़े संकेतक के साथ मैन्युअल रूप से डिग्री की गणना करना लगभग असंभव है (उदाहरण के लिए, डिग्री 9 15 (\प्रदर्शन शैली 9^(15))), लेकिन कैलकुलेटर इस कार्य को आसानी से संभाल सकता है। विंडोज़ 7 में, मानक कैलकुलेटर को इंजीनियरिंग मोड में स्विच किया जा सकता है; ऐसा करने के लिए, "देखें" -> "इंजीनियरिंग" पर क्लिक करें। सामान्य मोड पर स्विच करने के लिए, "देखें" -> "सामान्य" पर क्लिक करें।
- खोज इंजन (Google या Yandex) का उपयोग करके प्राप्त उत्तर की जाँच करें. अपने कंप्यूटर कीबोर्ड पर "^" कुंजी का उपयोग करके, अभिव्यक्ति को खोज इंजन में दर्ज करें, जो तुरंत सही उत्तर प्रदर्शित करेगा (और संभवतः आपके अध्ययन के लिए समान अभिव्यक्ति का सुझाव देगा)।
घातों का जोड़, घटाव, गुणन
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आप डिग्रियों को तभी जोड़ और घटा सकते हैं जब उनका आधार समान हो।यदि आपको समान आधारों और घातांकों के साथ घात जोड़ने की आवश्यकता है, तो आप जोड़ ऑपरेशन को गुणन ऑपरेशन से बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति दी गई है 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). याद रखें कि डिग्री 4 5 (\प्रदर्शन शैली 4^(5))रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); इस प्रकार, 4 5 + 4 5 = 1 * 4 5 + 1 * 4 5 = 2 * 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(जहाँ 1 +1 =2)। अर्थात्, समान डिग्रियों की संख्या गिनें, और फिर उस डिग्रियों और इस संख्या को गुणा करें। हमारे उदाहरण में, 4 को पाँचवीं घात तक बढ़ाएँ, और फिर परिणामी परिणाम को 2 से गुणा करें। याद रखें कि जोड़ ऑपरेशन को गुणन ऑपरेशन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 3 + 3 = 2 * 3 (\displaystyle 3+3=2*3). यहां अन्य उदाहरण हैं:
- 3 2 + 3 2 = 2 * 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
- 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 * 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
- 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
- 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))
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समान आधार से घातों को गुणा करने पर उनके घातांक जोड़ दिए जाते हैं (आधार नहीं बदलता)।उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति दी गई है x 2 * x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). इस मामले में, आपको आधार को अपरिवर्तित छोड़कर केवल संकेतक जोड़ने की आवश्यकता है। इस प्रकार, x 2 * x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). यहां इस नियम की एक दृश्य व्याख्या दी गई है:
किसी घात को घात तक बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है।उदाहरण के लिए, एक डिग्री दी जाती है. चूँकि घातांकों को गुणा किया जाता है (x 2) 5 = x 2 * 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). इस नियम का उद्देश्य यह है कि आप शक्तियों से गुणा करें (x 2) (\displaystyle (x^(2)))अपने आप पर पांच बार. इस कदर:
- (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
- (x 2) 5 = x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
- चूँकि आधार एक ही है, घातांक बस जोड़ देते हैं: (x 2) 5 = x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))
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ऋणात्मक घातांक वाली घात को अंश (रिवर्स घात) में परिवर्तित किया जाना चाहिए।इससे कोई फर्क नहीं पड़ता यदि आप नहीं जानते कि पारस्परिक डिग्री क्या है। यदि आपको नकारात्मक घातांक वाली डिग्री दी जाती है, उदाहरणार्थ 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), इस घात को भिन्न के हर में लिखें (अंश में 1 लगाएं), और घातांक को धनात्मक बनाएं। हमारे उदाहरण में: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). यहां अन्य उदाहरण हैं:
जब डिग्री को एक ही आधार से विभाजित किया जाता है, तो उनके घातांक घटा दिए जाते हैं (आधार नहीं बदलता है)।विभाजन संक्रिया गुणन संक्रिया के विपरीत है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति दी गई है 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). हर में घातांक को अंश में घातांक से घटाएं (आधार न बदलें)। इस प्रकार, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .
- हर में घात को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). याद रखें कि भिन्न एक नकारात्मक घातांक वाली एक संख्या (घात, अभिव्यक्ति) है।
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नीचे कुछ अभिव्यक्तियाँ दी गई हैं जो आपको घातांक के साथ समस्याओं को हल करना सीखने में मदद करेंगी।दिए गए भाव इस अनुभाग में प्रस्तुत सामग्री को कवर करते हैं। उत्तर देखने के लिए, बस बराबर चिह्न के बाद रिक्त स्थान का चयन करें।
भिन्नात्मक घातांक के साथ समस्याओं का समाधान
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भिन्नात्मक घातांक वाली एक शक्ति (उदाहरण के लिए,) को रूट ऑपरेशन में परिवर्तित किया जाता है।हमारे उदाहरण में: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). यहां इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि भिन्नात्मक घातांक के हर में कौन सी संख्या है। उदाहरण के लिए, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- "x" का चौथा मूल है, अर्थात x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .
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यदि घातांक एक अनुचित भिन्न है, तो समस्या के समाधान को सरल बनाने के लिए घातांक को दो घातों में विघटित किया जा सकता है। इसमें कुछ भी जटिल नहीं है - बस शक्तियों को बढ़ाने के नियम को याद रखें। उदाहरण के लिए, एक डिग्री दी जाती है. ऐसी घात को मूल में परिवर्तित करें जिसकी घात भिन्नात्मक घातांक के हर के बराबर हो, और फिर इस मूल को भिन्नात्मक घातांक के अंश के बराबर घात तक बढ़ाएँ। ऐसा करने के लिए, उसे याद रखें 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) * 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). हमारे उदाहरण में:
- x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
- x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
- x 5 3 = x 5 * x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
- कुछ कैलकुलेटर में घातांक की गणना करने के लिए एक बटन होता है (आपको पहले आधार दर्ज करना होगा, फिर बटन दबाना होगा, और फिर घातांक दर्ज करना होगा)। इसे ^ या x^y के रूप में दर्शाया जाता है।
- याद रखें कि पहली घात वाली कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है, उदाहरण के लिए, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)इसके अलावा, किसी भी संख्या को एक से गुणा या विभाजित करने पर वह स्वयं के बराबर होती है, उदाहरण के लिए 5 * 1 = 5 (\प्रदर्शन शैली 5*1=5)और 5/1 = 5 (\प्रदर्शन शैली 5/1=5).
- जान लें कि शक्ति 0 0 मौजूद नहीं है (ऐसी शक्ति का कोई समाधान नहीं है)। यदि आप ऐसी डिग्री को कैलकुलेटर या कंप्यूटर पर हल करने का प्रयास करते हैं, तो आपको एक त्रुटि प्राप्त होगी। लेकिन याद रखें कि शून्य घात की कोई भी संख्या 1 होती है, उदाहरण के लिए, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
- उच्च गणित में, जो काल्पनिक संख्याओं से संचालित होता है: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), कहाँ i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); ई लगभग 2.7 के बराबर एक स्थिरांक है; a एक मनमाना स्थिरांक है. इस समानता का प्रमाण उच्च गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है।
चेतावनियाँ
- जैसे-जैसे घातांक बढ़ता है, इसका मान बहुत बढ़ जाता है। इसलिए यदि उत्तर आपको गलत लगता है, तो यह वास्तव में सही हो सकता है। आप किसी भी घातांकीय फ़ंक्शन, जैसे कि 2 x, को प्लॉट करके इसका परीक्षण कर सकते हैं।
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घातांक के आधार को घातांक के बराबर कई बार गुणा करें।यदि आपको बिजली की समस्या को हाथ से हल करने की आवश्यकता है, तो शक्ति को गुणन ऑपरेशन के रूप में फिर से लिखें, जहां शक्ति का आधार स्वयं से गुणा हो जाता है। उदाहरण के लिए, एक डिग्री दी गई 3 4 (\प्रदर्शन शैली 3^(4)). इस स्थिति में, घात 3 का आधार स्वयं से 4 गुना गुणा किया जाना चाहिए: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). यहां अन्य उदाहरण हैं:
सबसे पहले, पहली दो संख्याओं को गुणा करें।उदाहरण के लिए, 4 5 (\प्रदर्शन शैली 4^(5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). चिंता न करें - गणना प्रक्रिया उतनी जटिल नहीं है जितनी पहली नज़र में लगती है। पहले पहले दो चार को गुणा करें और फिर उन्हें परिणाम से बदलें। इस कदर:
गणितीय-कैलकुलेटर-ऑनलाइन v.1.0
कैलकुलेटर निम्नलिखित ऑपरेशन करता है: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, दशमलव के साथ काम करना, मूल निष्कर्षण, घातांक, प्रतिशत गणना और अन्य ऑपरेशन।
समाधान:
गणित कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
| चाबी | पद का नाम | स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| 5 | संख्या 0-9 | अरबी अंक। प्राकृतिक पूर्णांक दर्ज करना, शून्य. ऋणात्मक पूर्णांक प्राप्त करने के लिए, आपको +/- कुंजी दबानी होगी |
| . | अर्धविराम) | दशमलव अंश को इंगित करने के लिए विभाजक। यदि बिंदु (अल्पविराम) से पहले कोई संख्या नहीं है, तो कैलकुलेटर स्वचालित रूप से बिंदु से पहले शून्य डाल देगा। उदाहरण के लिए: .5 - 0.5 लिखा जाएगा |
| + | पलस हसताक्षर | संख्याएँ जोड़ना (पूर्णांक, दशमलव) |
| - | ऋण चिह्न | संख्याओं को घटाना (पूर्णांक, दशमलव) |
| ÷ | विभाजन चिन्ह | विभाजक संख्याएँ (पूर्णांक, दशमलव) |
| एक्स | गुणन चिन्ह | संख्याओं को गुणा करना (पूर्णांक, दशमलव) |
| √ | जड़ | किसी संख्या का मूल निकालना. जब आप "रूट" बटन को दोबारा दबाते हैं, तो परिणाम के रूट की गणना की जाती है। उदाहरण के लिए: 16 का मूल = 4; 4 का मूल = 2 |
| एक्स 2 | बराबरी | किसी संख्या का वर्ग निकालना. जब आप "वर्गीकरण" बटन को दोबारा दबाते हैं, तो परिणाम वर्गांकित हो जाता है। उदाहरण के लिए: वर्ग 2 = 4; वर्ग 4 = 16 |
| 1/x | अंश | दशमलव अंशों में आउटपुट. अंश 1 है, हर दर्ज की गई संख्या है |
| % | प्रतिशत | किसी संख्या का प्रतिशत प्राप्त करना। काम करने के लिए, आपको दर्ज करना होगा: वह संख्या जिससे प्रतिशत की गणना की जाएगी, चिह्न (प्लस, माइनस, विभाजित, गुणा), संख्यात्मक रूप में कितने प्रतिशत, "%" बटन |
| ( | खुला कोष्ठक | गणना प्राथमिकता निर्दिष्ट करने के लिए एक खुला कोष्ठक। एक बंद कोष्ठक आवश्यक है. उदाहरण: (2+3)*2=10 |
| ) | बंद कोष्ठक | गणना प्राथमिकता निर्दिष्ट करने के लिए एक बंद कोष्ठक। एक खुला कोष्ठक आवश्यक है |
| ± | धन ऋण | उलटा संकेत |
| = | के बराबर होती है | समाधान का परिणाम प्रदर्शित करता है. कैलकुलेटर के ऊपर, "समाधान" फ़ील्ड में, मध्यवर्ती गणना और परिणाम प्रदर्शित होते हैं। |
| ← | एक चरित्र हटाना | अंतिम अक्षर हटा देता है |
| साथ | रीसेट | बटन को रीसेट करें। कैलकुलेटर को पूरी तरह से "0" स्थिति पर रीसेट कर देता है |
उदाहरणों का उपयोग करके ऑनलाइन कैलकुलेटर का एल्गोरिदम
जोड़ना।
प्राकृत पूर्णांकों का योग (5 + 7 = 12)
पूर्णांक प्राकृतिक और ऋणात्मक संख्याओं का योग (5 + (-2) = 3)
दशमलव भिन्नों को जोड़ना (0.3 + 5.2 = 5.5)
घटाव.
प्राकृत पूर्णांकों को घटाने पर (7 - 5 = 2)
प्राकृतिक और ऋणात्मक पूर्णांकों को घटाने पर (5 - (-2) = 7)
दशमलव भिन्नों को घटाना (6.5 - 1.2 = 4.3)
गुणन.
प्राकृत पूर्णांकों का गुणनफल (3 * 7 = 21)
प्राकृत और ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल (5 * (-3) = -15 )
दशमलव भिन्नों का गुणनफल (0.5 * 0.6 = 0.3)
विभाजन।
प्राकृत पूर्णांकों का विभाजन (27/3=9)
प्राकृतिक और ऋणात्मक पूर्णांकों का विभाजन (15 / (-3) = -5)
दशमलव भिन्नों का विभाजन (6.2/2 = 3.1)
किसी संख्या का मूल निकालना.
किसी पूर्णांक का मूल निकालना (मूल(9) = 3)
दशमलव भिन्नों का मूल निकालना (मूल(2.5) = 1.58)
संख्याओं के योग का मूल निकालना (मूल(56 + 25) = 9)
संख्याओं के बीच अंतर का मूल निकालना (मूल (32 – 7) = 5)
किसी संख्या का वर्ग निकालना.
एक पूर्णांक का वर्ग निकालने पर ((3)2=9)
दशमलव का वर्ग करना ((2,2)2 = 4.84)
दशमलव भिन्नों में रूपांतरण.
किसी संख्या के प्रतिशत की गणना करना
संख्या 230 को 15% बढ़ाएँ (230 + 230 * 0.15 = 264.5)
संख्या 510 को 35% कम करें (510 - 510 * 0.35 = 331.5)
संख्या 140 का 18% है (140 * 0.18 = 25.2)
