फिशर मानदंड

फिशर मानदंड का उपयोग उस परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए किया जाता है कि एक सामान्य कानून के अनुसार वितरित दो आबादी के भिन्नताएं बराबर हैं। यह एक पैरामीट्रिक मानदंड है.

फिशर एफ परीक्षण को विचरण अनुपात कहा जाता है क्योंकि यह तुलना की जा रही भिन्नताओं के दो निष्पक्ष अनुमानों के अनुपात के रूप में बनता है।

मान लीजिए कि प्रेक्षणों के परिणामस्वरूप दो नमूने प्राप्त होते हैं। उनसे भिन्नताएं और होना और स्वतंत्रता की कोटियां। हम मान लेंगे कि पहला नमूना भिन्नता वाली जनसंख्या से लिया गया है , और दूसरा भिन्नता के साथ सामान्य जनसंख्या से है . दो भिन्नताओं की समानता के बारे में एक शून्य परिकल्पना सामने रखी गई है, अर्थात। H0:
या । इस परिकल्पना को अस्वीकार करने के लिए, दिए गए महत्व स्तर पर अंतर के महत्व को साबित करना आवश्यक है
.

मानदंड मान की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

जाहिर है, यदि भिन्नताएं समान हैं, तो मानदंड का मान एक के बराबर होगा। अन्य मामलों में यह एक से अधिक (कम) होगा।

परीक्षण में फिशर वितरण है
. फिशर परीक्षण - दो-पूंछ परीक्षण, और शून्य परिकल्पना
विकल्प के पक्ष में खारिज कर दिया गया
अगर । यहां कहां
- क्रमशः पहले और दूसरे नमूने की मात्रा।

स्टेटिस्टिका प्रणाली एक तरफा फिशर परीक्षण लागू करती है, अर्थात। अधिकतम भिन्नता को हमेशा गुणवत्ता के रूप में लिया जाता है। इस मामले में, वैकल्पिक यदि के पक्ष में शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है।

उदाहरण

छात्रों के दो समूहों को पढ़ाने की प्रभावशीलता की तुलना करने के लिए कार्य निर्धारित किया जाए। उपलब्धि का स्तर सीखने की प्रक्रिया के प्रबंधन के स्तर को दर्शाता है, और फैलाव सीखने के प्रबंधन की गुणवत्ता, सीखने की प्रक्रिया के संगठन की डिग्री को दर्शाता है। दोनों संकेतक स्वतंत्र हैं और सामान्य तौर पर उन पर एक साथ विचार किया जाना चाहिए। छात्रों के प्रत्येक समूह के शैक्षणिक प्रदर्शन (गणितीय अपेक्षा) का स्तर अंकगणितीय औसत द्वारा विशेषता है और, और गुणवत्ता अनुमानों के संबंधित नमूना भिन्नताओं द्वारा विशेषता है: और। वर्तमान प्रदर्शन के स्तर का आकलन करने पर पता चला कि यह दोनों छात्रों के लिए समान था: = = 4.0. नमूना भिन्नताएँ:
और
. इन अनुमानों के अनुरूप स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या:
और
. यहां से, सीखने की प्रभावशीलता में अंतर स्थापित करने के लिए, हम शैक्षणिक प्रदर्शन की स्थिरता का उपयोग कर सकते हैं, अर्थात। आइए परिकल्पना का परीक्षण करें।

चलिए हिसाब लगाते हैं
(अंश में बड़ा अंतर होना चाहिए), . तालिकाओं के अनुसार ( सांख्यिकी – संभावनावितरणकैलकुलेटर) हम पाते हैं, जो गणना से कम है, इसलिए विकल्प के पक्ष में शून्य परिकल्पना को खारिज कर दिया जाना चाहिए। यह निष्कर्ष शोधकर्ता को संतुष्ट नहीं कर सकता है, क्योंकि वह अनुपात के सही मूल्य में रुचि रखता है
(हमारे अंश में हमेशा बड़ा अंतर होता है)। एकतरफ़ा मानदंड की जाँच करते समय, हम पाते हैं कि वह ऊपर गणना किए गए मान से कम है। इसलिए, विकल्प के पक्ष में शून्य परिकल्पना को खारिज कर दिया जाना चाहिए।

विंडोज़ वातावरण में स्टेटिस्टिका प्रोग्राम में फिशर परीक्षण

एक परिकल्पना (फिशर मानदंड) के परीक्षण के उदाहरण के लिए, हम दो चर (फिशर.स्टा) के साथ एक फ़ाइल का उपयोग (बनाने) करते हैं:

चावल। 1. दो स्वतंत्र चर वाली तालिका

परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए बुनियादी सांख्यिकी में यह आवश्यक है ( बुनियादीआंकड़ेऔरटेबल) स्वतंत्र चरों के लिए टी-परीक्षण का चयन करें। ( टी-परीक्षण, स्वतंत्र, चर द्वारा).

चावल। 2. पैरामीट्रिक परिकल्पनाओं का परीक्षण

वेरिएबल्स का चयन करने और कुंजी दबाने के बाद सारांशमानक विचलन और फिशर के मानदंड के मूल्यों की गणना की जाती है। इसके अलावा, महत्व का स्तर निर्धारित किया जाता है पीजिसमें अंतर नगण्य है।

चावल। 3. परिकल्पना परीक्षण के परिणाम (एफ-परीक्षण)

का उपयोग करते हुए संभावनाकैलकुलेटरऔर मापदंडों के मान निर्धारित करके, आप चिह्नित परिकलित मान के साथ फिशर वितरण का एक ग्राफ़ बना सकते हैं।

चावल। 4. परिकल्पना की स्वीकृति (अस्वीकृति) का क्षेत्र (एफ-मानदंड)

सूत्र.

दो भिन्नताओं के बीच संबंध के बारे में परिकल्पनाओं का परीक्षण करना

यूआरएल: /tryfonov3/terms3/testdi.htm

व्याख्यान 6. :8080/संसाधन/गणित/एमओपी/चुनाव/लेक्शन_6.htm

एफ - फिशर मानदंड

यूआरएल: /home/portal/applications/Multivariatadvisor/F-Fisher/F-Fisheer.htm

संभाव्य सांख्यिकीय अनुसंधान का सिद्धांत और अभ्यास।

यूआरएल: /active/referats/read/doc-3663-1.html

एफ - फिशर मानदंड

इस उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम इस बात पर विचार करेंगे कि परिणामी प्रतिगमन समीकरण की विश्वसनीयता का आकलन कैसे किया जाता है। उसी परीक्षण का उपयोग इस परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए किया जाता है कि प्रतिगमन गुणांक एक साथ शून्य, a=0, b=0 के बराबर हैं। दूसरे शब्दों में, गणना का सार इस प्रश्न का उत्तर देना है: क्या इसका उपयोग आगे के विश्लेषण और पूर्वानुमान के लिए किया जा सकता है?

यह निर्धारित करने के लिए कि दो नमूनों में भिन्नताएं समान हैं या भिन्न हैं, इस टी-परीक्षण का उपयोग करें।

तो, विश्लेषण का उद्देश्य कुछ अनुमान प्राप्त करना है जिसके साथ यह कहा जा सकता है कि α के एक निश्चित स्तर पर परिणामी प्रतिगमन समीकरण सांख्यिकीय रूप से विश्वसनीय है। इसके लिए निर्धारण गुणांक आर 2 का उपयोग किया जाता है.
प्रतिगमन मॉडल के महत्व का परीक्षण फिशर के एफ परीक्षण का उपयोग करके किया जाता है, जिसकी गणना मूल्य अध्ययन किए जा रहे संकेतक की टिप्पणियों की मूल श्रृंखला के विचरण के अनुपात और अवशिष्ट अनुक्रम के विचरण के निष्पक्ष अनुमान के रूप में पाया जाता है। इस मॉडल के लिए.
यदि k 1 =(m) और k 2 =(n-m-1) स्वतंत्रता की डिग्री के साथ परिकलित मान किसी दिए गए महत्व स्तर पर सारणीबद्ध मान से अधिक है, तो मॉडल को महत्वपूर्ण माना जाता है।

जहाँ m मॉडल में कारकों की संख्या है।
युग्मित रैखिक प्रतिगमन के सांख्यिकीय महत्व का आकलन निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग करके किया जाता है:
1. एक शून्य परिकल्पना प्रस्तुत की गई है कि समग्र रूप से समीकरण सांख्यिकीय रूप से महत्वहीन है: एच 0: आर 2 = 0 महत्व स्तर α पर।
2. अगला, एफ-मानदंड का वास्तविक मूल्य निर्धारित करें:


जहाँ जोड़ीवार प्रतिगमन के लिए m=1 है।
3. सारणीबद्ध मान किसी दिए गए महत्व स्तर के लिए फिशर वितरण तालिकाओं से निर्धारित किया जाता है, यह ध्यान में रखते हुए कि वर्गों के कुल योग (बड़े विचरण) के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या 1 है और शेष के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है रैखिक प्रतिगमन में वर्गों का योग (छोटा विचरण) n-2 है (या एक्सेल फ़ंक्शन FRIST(संभावना,1,n-2) के माध्यम से)।
एफ तालिका स्वतंत्रता की दी गई डिग्री और महत्व स्तर α के साथ यादृच्छिक कारकों के प्रभाव में मानदंड का अधिकतम संभव मूल्य है। महत्व स्तर α सही परिकल्पना को अस्वीकार करने की संभावना है, बशर्ते कि यह सत्य हो। आमतौर पर α को 0.05 या 0.01 माना जाता है।
4. यदि एफ-परीक्षण का वास्तविक मूल्य तालिका मूल्य से कम है, तो वे कहते हैं कि शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने का कोई कारण नहीं है।
अन्यथा, शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर दिया जाता है और समग्र रूप से समीकरण के सांख्यिकीय महत्व के बारे में वैकल्पिक परिकल्पना को संभाव्यता (1-α) के साथ स्वीकार किया जाता है।
स्वतंत्रता की डिग्री के साथ मानदंड का तालिका मूल्य k 1 =1 और k 2 =48, F तालिका = 4

निष्कर्ष: वास्तविक मान F > F तालिका के बाद से, निर्धारण का गुणांक सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है ( पाया गया प्रतिगमन समीकरण अनुमान सांख्यिकीय रूप से विश्वसनीय है) .

भिन्नता का विश्लेषण

.

प्रतिगमन समीकरण गुणवत्ता संकेतक

उदाहरण। कुल 25 व्यापारिक उद्यमों के आधार पर, निम्नलिखित विशेषताओं के बीच संबंध का अध्ययन किया जाता है: एक्स - उत्पाद ए की कीमत, हजार रूबल; Y एक व्यापारिक उद्यम का लाभ है, मिलियन रूबल। प्रतिगमन मॉडल का आकलन करते समय, निम्नलिखित मध्यवर्ती परिणाम प्राप्त हुए: ∑(y i -y x) 2 = 46000; ∑(y i -y avg) 2 = 138000। इन आंकड़ों से कौन सा सहसंबंध संकेतक निर्धारित किया जा सकता है? इस परिणाम और उपयोग के आधार पर इस सूचक के मूल्य की गणना करें फिशर एफ परीक्षणप्रतिगमन मॉडल की गुणवत्ता के बारे में निष्कर्ष निकालें।
समाधान। इन आंकड़ों से हम अनुभवजन्य सहसंबंध अनुपात निर्धारित कर सकते हैं: , जहां ∑(y avg -y x) 2 = ∑(y i -y avg) 2 - ∑(y i -y x) 2 = 138000 - 46000 = 92,000.
η 2 = 92,000/138000 = 0.67, η = 0.816 (0.7< η < 0.9 - связь между X и Y высокая).

फिशर का एफ परीक्षण: एन = 25, एम = 1.
आर 2 = 1 - 46000/138000 = 0.67, एफ = 0.67/(1-0.67)x(25 - 1 - 1) = 46। एफ तालिका (1; 23) = 4.27
चूँकि वास्तविक मान F > Ftable, प्रतिगमन समीकरण का पाया गया अनुमान सांख्यिकीय रूप से विश्वसनीय है।

प्रश्न: प्रतिगमन मॉडल के महत्व का परीक्षण करने के लिए किन आंकड़ों का उपयोग किया जाता है?
उत्तर: समग्र रूप से संपूर्ण मॉडल के महत्व के लिए, एफ-सांख्यिकी (फिशर परीक्षण) का उपयोग किया जाता है।

दो सामान्य रूप से वितरित आबादी की तुलना करने के लिए जिनके नमूने में कोई अंतर नहीं है, लेकिन भिन्नताओं में अंतर है, इसका उपयोग करें फिशर परीक्षण. वास्तविक मानदंड की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

जहां अंश नमूना विचरण का बड़ा मान है, और हर छोटा है। नमूनों के बीच अंतर की विश्वसनीयता का निष्कर्ष निकालने के लिए, उपयोग करें मूल सिद्धांत सांख्यिकीय परिकल्पनाओं का परीक्षण। के लिए महत्वपूर्ण बिंदु
तालिका में समाहित हैं। वास्तविक मान होने पर शून्य परिकल्पना अस्वीकृत कर दी जाती है
क्रिटिकल (मानक) मान से अधिक या उसके बराबर होगा
स्वीकृत महत्व स्तर के लिए यह मान  और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या क 1 = एन बड़ा -1 ; क 2 = एन छोटे -1 .

उदाहरण: बीज के अंकुरण की दर पर एक निश्चित दवा के प्रभाव का अध्ययन करते समय, यह पाया गया कि बीजों के प्रायोगिक बैच और नियंत्रण में, औसत अंकुरण दर समान है, लेकिन भिन्नताओं में अंतर है।
=1250,
=417. नमूना आकार समान और 20 के बराबर हैं।

=2.12. अतः शून्य परिकल्पना अस्वीकार की जाती है।

सहसंबंध निर्भरता. सहसंबंध गुणांक और उसके गुण। प्रतिगमन समीकरण.

कामसहसंबंध विश्लेषण नीचे आता है:

विशेषताओं के बीच संबंध की दिशा और रूप स्थापित करना;

इसकी जकड़न को मापना.

कार्यात्मक परिवर्तनीय मात्राओं के बीच एक स्पष्ट संबंध तब कहलाता है जब एक (स्वतंत्र) चर का एक निश्चित मान होता है एक्स , जिसे तर्क कहा जाता है, दूसरे (आश्रित) चर के एक निश्चित मान से मेल खाता है पर , एक फ़ंक्शन कहा जाता है। ( उदाहरण: तापमान पर रासायनिक प्रतिक्रिया की दर की निर्भरता; आकर्षित करने वाले पिंडों के द्रव्यमान और उनके बीच की दूरी पर आकर्षण बल की निर्भरता)।

सह - संबंध चर के बीच एक संबंध है जो प्रकृति में सांख्यिकीय है, जब एक विशेषता का एक निश्चित मान (एक स्वतंत्र चर के रूप में माना जाता है) किसी अन्य विशेषता के संख्यात्मक मानों की एक पूरी श्रृंखला से मेल खाता है। ( उदाहरण: फसल और वर्षा के बीच संबंध; ऊंचाई और वजन आदि के बीच)।

सहसंबंध क्षेत्र बिंदुओं के एक समूह का प्रतिनिधित्व करता है जिनके निर्देशांक प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त चर मानों के जोड़े के बराबर हैं एक्स और पर .

सहसंबंध क्षेत्र के प्रकार से कोई कनेक्शन की उपस्थिति या अनुपस्थिति और उसके प्रकार का न्याय कर सकता है।

कनेक्शन कहा जाता है सकारात्मक , यदि एक चर बढ़ने पर दूसरा चर बढ़ता है।

कनेक्शन कहा जाता है नकारात्मक , यदि एक चर बढ़ने पर दूसरा चर घटता है।

कनेक्शन कहा जाता है रेखीय , यदि इसे विश्लेषणात्मक रूप से प्रस्तुत किया जा सके
.

कनेक्शन की निकटता का सूचक है सहसंबंध गुणांक . अनुभवजन्य सहसंबंध गुणांक द्वारा दिया गया है:

सहसंबंध गुणांक से होता है -1 पहले 1 और मात्राओं के बीच निकटता की डिग्री को दर्शाता है एक्स और य . अगर:

विशेषताओं के बीच सहसंबंध को विभिन्न तरीकों से वर्णित किया जा सकता है। विशेष रूप से, कनेक्शन के किसी भी रूप को सामान्य रूप के समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है
. रूप का समीकरण
और
कहा जाता है प्रतिगमन . फॉरवर्ड रिग्रेशन समीकरण पर पर एक्स सामान्य स्थिति में प्रपत्र में लिखा जा सकता है

फॉरवर्ड रिग्रेशन समीकरण एक्स पर पर सामान्य तौर पर ऐसा दिखता है

गुणांकों का सर्वाधिक संभावित मान एऔर वी, साथऔर डीउदाहरण के लिए, न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

फिशर मानदंडआपको दो स्वतंत्र नमूनों के नमूना भिन्नताओं की तुलना करने की अनुमति देता है। एफ एम्प की गणना करने के लिए, आपको दो नमूनों के प्रसरणों का अनुपात ज्ञात करना होगा, ताकि बड़ा प्रसरण अंश में हो, और छोटा विचरण हर में हो। फिशर मानदंड की गणना का सूत्र है:

क्रमशः पहले और दूसरे नमूने की भिन्नताएँ कहाँ हैं।

चूँकि, मानदंड की स्थिति के अनुसार, अंश का मान हर के मान से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए, F emp का मान हमेशा एक से अधिक या उसके बराबर होगा।

स्वतंत्रता की कोटि की संख्या भी सरलता से निर्धारित की जाती है:

क 1 =एन एल - 1 पहले नमूने के लिए (अर्थात उस नमूने के लिए जिसका विचरण बड़ा है) और क 2 = एन 2 - 1 दूसरे नमूने के लिए.

परिशिष्ट 1 में, फिशर मानदंड के महत्वपूर्ण मान k 1 (तालिका की शीर्ष पंक्ति) और k 2 (तालिका के बाएँ स्तंभ) के मानों द्वारा पाए जाते हैं।

यदि वह आलोचना करता है, तो शून्य परिकल्पना स्वीकार कर ली जाती है, अन्यथा विकल्प स्वीकार कर लिया जाता है।

उदाहरण 3.दो तीसरी कक्षाओं में, दस छात्रों का TURMSH परीक्षण का उपयोग करके मानसिक विकास के लिए परीक्षण किया गया। प्राप्त औसत मूल्य महत्वपूर्ण रूप से भिन्न नहीं थे, लेकिन मनोवैज्ञानिक इस सवाल में रुचि रखते हैं कि क्या कक्षाओं के बीच मानसिक विकास संकेतकों की एकरूपता की डिग्री में अंतर हैं।

समाधान। फिशर परीक्षण के लिए, दोनों वर्गों में परीक्षण अंकों के भिन्नता की तुलना करना आवश्यक है। परीक्षण के परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं:

टेबल तीन।

छात्र संख्या	प्रथम श्रेणी	द्रितीय श्रेणी

चर X और Y के प्रसरणों की गणना करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एस एक्स 2 =572.83; एस य 2 =174,04

फिर, फिशर के एफ मानदंड का उपयोग करके गणना के लिए सूत्र (8) का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

एफ मानदंड के लिए परिशिष्ट 1 की तालिका के अनुसार दोनों मामलों में स्वतंत्रता की डिग्री के = 10 - 1 = 9 के बराबर है, हम एफ क्रिट = 3.18 पाते हैं (<3.29), следовательно, в терминах статистических гипотез можно утвер­ждать, что Н 0 (гипотеза о сходстве) может быть отвергнута на уровне 5%, а принимается в этом случае гипотеза Н 1 . Иcследователь может утверждать, что по степени однородности такого показа­теля, как умственное развитие, имеется различие между выбор­ками из двух классов.

6.2 गैरपैरामीट्रिक परीक्षण

किसी भी प्रभाव से पहले और बाद के परिणामों की आंखों से (प्रतिशत के आधार पर) तुलना करके, शोधकर्ता इस निष्कर्ष पर पहुंचता है कि यदि अंतर देखा जाता है, तो तुलना किए जा रहे नमूनों में भी अंतर है। यह दृष्टिकोण स्पष्ट रूप से अस्वीकार्य है, क्योंकि प्रतिशत के लिए मतभेदों में विश्वसनीयता के स्तर को निर्धारित करना असंभव है। स्वयं द्वारा लिए गए प्रतिशत सांख्यिकीय रूप से विश्वसनीय निष्कर्ष निकालना संभव नहीं बनाते हैं। किसी भी हस्तक्षेप की प्रभावशीलता को साबित करने के लिए, संकेतकों के पूर्वाग्रह (बदलाव) में सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण प्रवृत्ति की पहचान करना आवश्यक है। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, एक शोधकर्ता कई भेदभाव मानदंडों का उपयोग कर सकता है। नीचे हम गैर-पैरामीट्रिक परीक्षणों पर विचार करेंगे: साइन टेस्ट और ची-स्क्वायर टेस्ट।

FISCHER फ़ंक्शन तर्कों के फिशर रूपांतरण को X पर लौटाता है। यह परिवर्तन एक ऐसा फ़ंक्शन उत्पन्न करता है जिसका वितरण विषम होने के बजाय सामान्य होता है। फिशर फ़ंक्शन का उपयोग सहसंबंध गुणांक का उपयोग करके परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए किया जाता है।

एक्सेल में फिशर फ़ंक्शन का विवरण

इस फ़ंक्शन के साथ काम करते समय, आपको वेरिएबल का मान सेट करना होगा। यह तुरंत ध्यान देने योग्य है कि ऐसी कुछ स्थितियाँ हैं जिनमें यह फ़ंक्शन परिणाम नहीं देगा। यह संभव है यदि चर:

• एक संख्या नहीं है. ऐसी स्थिति में, FISCHER फ़ंक्शन त्रुटि मान #VALUE! लौटाएगा;
• इसका मान या तो -1 से कम या 1 से अधिक है। इस मामले में, फिशर फ़ंक्शन त्रुटि मान #NUM! लौटाएगा।

फिशर फ़ंक्शन को गणितीय रूप से वर्णित करने के लिए जिस समीकरण का उपयोग किया जाता है वह है:

Z"=1/2*ln(1+x)/(1-x)

आइए 3 विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके इस फ़ंक्शन के उपयोग को देखें।



फिशर फ़ंक्शन का उपयोग करके लाभ और लागत के बीच संबंध का अनुमान

उदाहरण 1. वाणिज्यिक संगठनों की गतिविधि पर डेटा का उपयोग करते हुए, उत्पाद विकास के लिए उपयोग किए जाने वाले लाभ Y (मिलियन रूबल) और लागत X (मिलियन रूबल) के बीच संबंध का आकलन करना आवश्यक है (तालिका 1 में दिखाया गया है)।

तालिका 1 - प्रारंभिक डेटा:

№	एक्स	वाई
1	210,000,000.00 रु	95,000,000.00 रु
2	रगड़ 1,068,000,000.00	76,000,000.00 रु
3	रगड़ 1,005,000,000.00	78,000,000.00 रु
4	610,000,000.00 रु	89,000,000.00 रु
5	768,000,000.00 रु	77,000,000.00 रु
6	799,000,000.00 रु	85,000,000.00 रु

ऐसी समस्याओं के समाधान की योजना इस प्रकार है:

1. रैखिक सहसंबंध गुणांक r xy की गणना की जाती है;
2. छात्र के टी-टेस्ट के आधार पर रैखिक सहसंबंध गुणांक के महत्व की जाँच की जाती है। इस मामले में, एक परिकल्पना सामने रखी जाती है और परीक्षण किया जाता है कि सहसंबंध गुणांक शून्य के बराबर है। इस परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए टी-सांख्यिकी का उपयोग किया जाता है। यदि परिकल्पना की पुष्टि हो जाती है, तो टी-सांख्यिकी में एक छात्र वितरण होता है। यदि परिकलित मान t p > t cr है, तो परिकल्पना खारिज कर दी जाती है, जो रैखिक सहसंबंध गुणांक के महत्व को इंगित करता है, और इसलिए X और Y के बीच संबंध के सांख्यिकीय महत्व को इंगित करता है;
3. सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण रैखिक सहसंबंध गुणांक के लिए एक अंतराल अनुमान निर्धारित किया जाता है।
4. रैखिक सहसंबंध गुणांक के लिए एक अंतराल अनुमान व्युत्क्रम फिशर जेड-परिवर्तन के आधार पर निर्धारित किया जाता है;
5. रैखिक सहसंबंध गुणांक की मानक त्रुटि की गणना की जाती है।

एक्सेल में प्रयुक्त फ़ंक्शंस के साथ इस समस्या को हल करने के परिणाम चित्र 1 में दिखाए गए हैं।

चित्र 1 - गणना का उदाहरण.

नहीं।	सूचक नाम	गणना सूत्र
1	सहसंबंध गुणांक	=CORREL(B2:B7,C2:C7)
2	परिकलित टी-परीक्षण मान टीपी	=एबीएस(सी8)/एसक्यूआरटी(1-पावर(सी8,2))*एसक्यूआरटी(6-2)
3	टी-टेस्ट टीआरएच का तालिका मूल्य	=स्टडीडिस्कवर(0.05,4)
4	मानक सामान्य वितरण ज़ी का तालिका मान	=NORMSINV((0.95+1)/2)
5	फिशर z' परिवर्तन मूल्य	=फिशर(C8)
6	z के लिए बाएँ अंतराल का अनुमान	=C12-C11*रूट(1/(6-3))
7	z के लिए सही अंतराल अनुमान	=C12+C11*रूट(1/(6-3))
8	आरएक्सवाई के लिए बाएं अंतराल का अनुमान	=फिशरोबीआर(सी13)
9	आरएक्सवाई के लिए सही अंतराल अनुमान	=फिशरोबीआर(सी14)
10	आरएक्सवाई के लिए मानक विचलन	=रूट((1-C8^2)/4)

इस प्रकार, 0.95 की संभावना के साथ, रैखिक सहसंबंध गुणांक 0.205 की मानक त्रुटि के साथ (-0.386) से (-0.990) तक की सीमा में होता है।

FASTER फ़ंक्शन का उपयोग करके प्रतिगमन के सांख्यिकीय महत्व की जाँच करना

उदाहरण 2. फिशर एफ परीक्षण का उपयोग करके एकाधिक प्रतिगमन समीकरण के सांख्यिकीय महत्व की जांच करें और निष्कर्ष निकालें।

समग्र रूप से समीकरण के महत्व की जांच करने के लिए, हम निर्धारण के गुणांक के सांख्यिकीय महत्व के बारे में परिकल्पना एच 0 और निर्धारण के गुणांक के सांख्यिकीय महत्व के बारे में विपरीत परिकल्पना एच 1 को सामने रखते हैं:

एच 1: आर 2 ≠ 0.

आइए फिशर एफ परीक्षण का उपयोग करके परिकल्पनाओं का परीक्षण करें। संकेतक तालिका 2 में दिखाए गए हैं।

तालिका 2 - प्रारंभिक डेटा

ऐसा करने के लिए, हम Excel में फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं:

तेज़ (α;p;n-p-1)

• α किसी दिए गए वितरण से जुड़ी संभावना है;
• p और n क्रमशः स्वतंत्रता की कोटि के अंश और हर हैं।

यह जानते हुए कि α = 0.05, p = 2 और n = 53, हम F क्रिट के लिए निम्नलिखित मान प्राप्त करते हैं (चित्र 2 देखें)।

चित्र 2 - गणना का उदाहरण.

इस प्रकार हम कह सकते हैं कि F की गणना > F क्रिटिकल है। परिणामस्वरूप, निर्धारण गुणांक के सांख्यिकीय महत्व के बारे में परिकल्पना एच 1 को स्वीकार किया जाता है।

एक्सेल में सहसंबंध सूचक के मूल्य की गणना

उदाहरण 3. 23 उद्यमों के डेटा का उपयोग करना: एक्स उत्पाद ए की कीमत है, हजार रूबल; Y एक व्यापारिक उद्यम का लाभ है, मिलियन रूबल का अध्ययन किया जा रहा है; प्रतिगमन मॉडल का अनुमान इस प्रकार लगाया गया था: ∑(yi-yx) 2 = 50000; ∑(yi-yср) 2 = 130000। इन आंकड़ों से कौन सा सहसंबंध संकेतक निर्धारित किया जा सकता है? सहसंबंध संकेतक के मूल्य की गणना करें और, फिशर मानदंड का उपयोग करके, प्रतिगमन मॉडल की गुणवत्ता के बारे में निष्कर्ष निकालें।

आइए अभिव्यक्ति से एफ क्रिट निर्धारित करें:

एफ गणना = आर 2 /23*(1-आर 2)

जहाँ R 0.67 के बराबर निर्धारण का गुणांक है।

इस प्रकार, परिकलित मान F calc = 46 है।

एफ क्रिट निर्धारित करने के लिए हम फिशर वितरण का उपयोग करते हैं (चित्र 3 देखें)।

चित्र 3 - गणना का उदाहरण.

इस प्रकार, प्रतिगमन समीकरण का परिणामी अनुमान विश्वसनीय है।