गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ने का दृष्टिकोण हमें जोड़ के प्रसिद्ध कानूनों को प्रमाणित करने की अनुमति देता है: क्रमविनिमेय और संयोजनात्मक।

आइए पहले हम क्रमविनिमेय नियम को सिद्ध करें, अर्थात हम सिद्ध करें कि किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक a और b के लिए समानता a + b = b + a है।

मान लीजिए a सेट A में तत्वों की संख्या है, b सेट B में तत्वों की संख्या है और A B=0 है। फिर, गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के योग की परिभाषा के अनुसार, a + b समुच्चय A और B के मिलन के तत्वों की संख्या है: a + b = n (A//B)। लेकिन समुच्चय A B समुच्चय के संघ के क्रमविनिमेय गुण के अनुसार समुच्चय B A के बराबर है, और, इसलिए, n(AU B) = n(B U A)। योग n(BiA) = b + a की परिभाषा के अनुसार, इसलिए किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक a और b के लिए a+b=b+a।

आइए अब संयोजन नियम को सिद्ध करें, यानी हम साबित करें कि किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक ए, बी, सी के लिए समानता (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी) है।

मान लीजिए a = n(A), b = n(B), c = n(C), और АУВ = 0, ВУС = 0 फिर, दो संख्याओं के योग की परिभाषा से, हम (a+ b)+ लिख सकते हैं सी = एन(ए/ /)बी) + पी(सी) = पी((एयूबीयूसी)।

चूँकि समुच्चयों का संघ संयोजन नियम का पालन करता है, तो n((AUB)U C) = n(A U(BUC)). जहां से, दो संख्याओं के योग की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास n (A J(BUC)) = n (A) + n (BU C) = a + (b + c) है। इसलिए, (ए + बी) + सी - ए + (बी + सी) किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक ए, बी और सी के लिए।

जोड़ के साहचर्य नियम का उद्देश्य क्या है? वह बताते हैं कि आप तीन पदों का योग कैसे प्राप्त कर सकते हैं: ऐसा करने के लिए, बस पहले पद को दूसरे के साथ जोड़ें और तीसरे पद को परिणामी संख्या में जोड़ें, या पहले पद को दूसरे और तीसरे के योग में जोड़ें। ध्यान दें कि सहयोगी कानून शर्तों का क्रमपरिवर्तन नहीं दर्शाता है।

जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों कानूनों को किसी भी संख्या में सामान्यीकृत किया जा सकता है। इस मामले में, क्रमविनिमेय कानून का मतलब यह होगा कि योग शब्दों की किसी भी पुनर्व्यवस्था के साथ नहीं बदलता है, और साहचर्य कानून का मतलब यह होगा कि योग शब्दों के किसी भी समूह (उनके क्रम को बदले बिना) के साथ नहीं बदलता है।

जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों से यह निष्कर्ष निकलता है कि कई पदों का योग नहीं बदलेगा यदि उन्हें किसी भी तरह से पुनर्व्यवस्थित किया जाए और यदि उनमें से किसी समूह को कोष्ठक में संलग्न किया जाए।

आइए जोड़ के नियमों का उपयोग करके, अभिव्यक्ति का मान 109 + 36+ 191 +64 + 27 की गणना करें।

क्रमविनिमेय नियम के आधार पर, हम पद 36 और 191 को पुनर्व्यवस्थित करते हैं। फिर 109 + 36+191+64 + 27= 109+191+36 + 64 + 27।

आइए पदों को समूहीकृत करके संयोजन नियम का उपयोग करें, और फिर कोष्ठक में योग ज्ञात करें: 109 + 191 + 36 + 64 + 27 == (109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27।

आइए संख्या 300 और 100 के योग को कोष्ठक में रखते हुए संयोजन नियम को फिर से लागू करें: 300+ 100 + 27 = (300+ 100) + 27।

आइए गणना करें: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427।

प्राथमिक विद्यालय के छात्र पहले दस की संख्याओं का अध्ययन करते समय जोड़ के क्रमविनिमेय गुण से परिचित हो जाते हैं। सबसे पहले, इसका उपयोग एकल-अंकीय संख्याओं को जोड़ने के लिए तालिका संकलित करते समय और फिर विभिन्न गणनाओं को तर्कसंगत बनाने के लिए किया जाता है।

जोड़ के साहचर्य नियम का गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में स्पष्ट रूप से अध्ययन नहीं किया जाता है, लेकिन इसका लगातार उपयोग किया जाता है। तो, यह किसी संख्या को भागों द्वारा जोड़ने का आधार है: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1) + 1 =4+ 1 =5। इसके अलावा, ऐसे मामलों में जहां किसी संख्या को किसी संख्या में, किसी संख्या को किसी संख्या में, किसी राशि को योग में जोड़ना आवश्यक होता है, साहचर्य कानून का उपयोग क्रमविनिमेय के साथ संयोजन में किया जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 4 में योग 2+1 जोड़ने का प्रस्ताव निम्नलिखित तरीकों से किया गया है:

1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;

4+2+ 1 = 6+1 =7;

4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.

आइए इन तरीकों का विश्लेषण करें। मामले 1 में, गणना निर्दिष्ट प्रक्रिया के अनुसार की जाती है। मामले 2 में, जोड़ का साहचर्य गुण लागू होता है। बाद के मामले में गणनाएँ जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य कानूनों पर आधारित होती हैं, और मध्यवर्ती परिवर्तन छोड़ दिए जाते हैं। वे ऐसे ही हैं. सबसे पहले, क्रमविनिमेय नियम के आधार पर, हमने पदों 1 और 2 की अदला-बदली की: 4+(2-1) = 4 + (1+2)। फिर हमने संयोजन नियम का उपयोग किया: 4 + (1 +2) = (4+ 1) + 2. और अंत में, हमने संचालन के क्रम के अनुसार गणना की (4 +1)+ 2 = 5 + 2 = 7.

किसी संख्या को योग से और किसी संख्या को योग से घटाने के नियम

आइए हम किसी संख्या को किसी संख्या से और किसी संख्या को किसी संख्या से घटाने के ज्ञात नियमों का औचित्य सिद्ध करें।

किसी संख्या को योग से घटाने का नियम. किसी संख्या को किसी योग से घटाने के लिए, इस संख्या को योग के किसी एक पद से घटाना और परिणामी परिणाम में एक और पद जोड़ना पर्याप्त है।

आइए इस नियम को प्रतीकों का उपयोग करके लिखें: यदि a, b, c गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, तो:

a) a>c के लिए हमारे पास यह है कि (a+b) -- c = (a -- c)+b;

बी) बी>सी के लिए हमारे पास है कि (ए+बी) - सी==ए + (बी - सी);

ग) a>c और b>c के लिए, आप इनमें से किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

मान लीजिए a >c, तो अंतर a -c मौजूद है। आइए हम इसे p: a - c = p से निरूपित करें। अत: a = p+c. अभिव्यक्ति (a+b) -- c में a के स्थान पर योग p+-c रखें और इसे रूपांतरित करें: (a + 6) --c = (p + c+b) -- c = p+b+-c - - सी = पी+बी

लेकिन अक्षर p अंतर a - c को दर्शाता है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास (a + b) - - c = (a - c) + b है, जिसे साबित करने की आवश्यकता है।

अन्य मामलों के लिए भी यही तर्क लागू किया जाता है। आइए अब हम यूलर सर्कल का उपयोग करके इस नियम (केस "ए") को स्पष्ट करें। आइए हम तीन परिमित समुच्चय A, B और C लें, जैसे कि n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c और AUB = 0, CUA। फिर (a+b) - c सेट (AUB)C के तत्वों की संख्या है, और संख्या (a - c) + b सेट (AC)UB के तत्वों की संख्या है। यूलर सर्कल पर, सेट (AUB)C को चित्र में दिखाए गए छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।

यह सत्यापित करना आसान है कि सेट (एसी)यूबी बिल्कुल उसी क्षेत्र द्वारा दर्शाया जाएगा। तो डेटा के लिए (AUB)C = (AC)UB

ए, बी और सी सेट करता है। नतीजतन, एन((एयूबी)सी) = एन((एसी)यूबी)यू (ए + बी) - सी - (ए - सी) + बी।

केस "बी" को इसी तरह चित्रित किया जा सकता है।

किसी संख्या में से राशि घटाने का नियम. किसी संख्या से संख्याओं का योग घटाने के लिए, इस संख्या से प्रत्येक पद को एक-एक करके घटाना पर्याप्त है, अर्थात यदि a, b, c गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, तो a>b+c के लिए हमारे पास a--( बी+सी ) = (ए - बी) - सी।

इस नियम के औचित्य और इसके सेट-सैद्धांतिक चित्रण को उसी तरह से क्रियान्वित किया जाता है जैसे किसी योग में से किसी संख्या को घटाने के नियम के लिए।

दिए गए नियमों पर प्राथमिक विद्यालय में विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके चर्चा की जाती है, और उन्हें उचित ठहराने के लिए दृश्य छवियों का उपयोग किया जाता है। ये नियम आपको तर्कसंगत रूप से गणना करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, किसी संख्या में से किसी राशि को घटाने का नियम किसी संख्या को भागों द्वारा घटाने की तकनीक का आधार है:

5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.

अंकगणितीय समस्याओं को विभिन्न प्रकार से हल करने पर उपरोक्त नियमों का अर्थ भलीभांति उजागर हो जाता है। उदाहरण के लिए, समस्या “सुबह में मछली पकड़ने वाली 20 छोटी और 8 बड़ी नावें समुद्र में गईं। 6 नावें लौट आईं. मछुआरों की कितनी नावों को अभी भी वापस लौटना है? तीन तरीकों से हल किया जा सकता है:

/ रास्ता। 1. 20 + 8 = 28 2. 28 -- 6 = 22

// रास्ता। 1. 20--6=14 2. 14 + 8 = 22

तृतीय विधि. 1. 8--6 = 2 2. 20 + 2 = 22

गुणन नियम

आइए हम समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल के माध्यम से गुणनफल की परिभाषा के आधार पर गुणन के नियमों को सिद्ध करें।

1. क्रमविनिमेय नियम: किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक a और b के लिए, समानता a*b = b*a सत्य है।

मान लीजिए a = n(A), b = n(B)। फिर, उत्पाद की परिभाषा के अनुसार, a*b = n(A*B)। लेकिन सेट A*B और B*A समान रूप से शक्तिशाली हैं: सेट AXB से प्रत्येक जोड़ी (ए, बी) को सेट BxA से एक एकल जोड़ी (बी, ए) के साथ जोड़ा जा सकता है, और इसके विपरीत। इसका मतलब है n(AXB) = n(BxA), और इसलिए a-b = n (AXB) = n (BXA) = b-a।

2. संयोजन नियम: किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक a, b, c के लिए, समानता (a* b) *c = a* (b*c) सत्य है।

मान लीजिए a = n(A), b = n(B), c = n(C)। फिर उत्पाद की परिभाषा के अनुसार (a-b)-c = n((AXB)XQ, a a-(b-c) = n (AX(BXQ)। सेट (AxB)XC और A फॉर्म ((a, b), c) के जोड़े में से, और फॉर्म (a, (b, c)) के जोड़े में से दूसरा, जहां aJA, bJB, cJC। लेकिन सेट (AXB)XC और AX (बीएक्ससी) समतुल्य हैं, क्योंकि एक सेट से दूसरे सेट में एक-से-एक मैपिंग होती है, इसलिए n((AXB)*C) = n(A*(B*C)), और इसलिए (a*b) *सी = ए*(बी*सी).

3. जोड़ के संबंध में गुणन का वितरणात्मक नियम: किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक a, b, c के लिए, समानता (a + b) x c = ac + be सत्य है।

मान लीजिए a - n (A), b = n (B), c = n (C) और AUB = 0. फिर, उत्पाद की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास (a + b) x c = n ((AUB) है ) * सी. जहां से, समानता (*) के आधार पर हमें n ((A UB) * C) = n ((A * C)U(B * C)) मिलता है, और आगे योग और उत्पाद का निर्धारण करके n (( ए * सी)यू (बी * सी) ) - = एन(ए*सी) + एन(बी*सी) = एसी + बीसी।

4. घटाव के संबंध में गुणन का वितरणात्मक नियम: किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक a, b और c और a^b के लिए समानता (a - b)c = ac - bc सत्य है।

यह नियम समानता (एबी) * सी = (ए * सी) (बी * सी) से लिया गया है और पिछले वाले के समान ही सिद्ध होता है।

गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों को किसी भी संख्या में कारकों तक बढ़ाया जा सकता है। जोड़ के साथ, इन कानूनों को अक्सर एक साथ उपयोग किया जाता है, यानी, कई कारकों का उत्पाद नहीं बदलेगा यदि उन्हें किसी भी तरह से पुनर्व्यवस्थित किया जाता है और यदि उनमें से कोई भी समूह कोष्ठक में संलग्न है।

वितरणात्मक नियम गुणन और जोड़-घटाव के बीच संबंध स्थापित करते हैं। इन नियमों के आधार पर (a + b) c और (a - b) c जैसे भावों में कोष्ठक खोले जाते हैं, साथ ही यदि व्यंजक ac - be या रूप का हो तो कारक को कोष्ठक से बाहर कर दिया जाता है।

गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में, गुणन की क्रमविनिमेय संपत्ति का अध्ययन किया जाता है; इसे इस प्रकार तैयार किया जाता है: "कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने से उत्पाद नहीं बदलेगा" - और एकल-अंकीय संख्याओं के लिए गुणन तालिका संकलित करने में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। प्रारंभिक विद्यालय में क्रमविनिमेय कानून पर स्पष्ट रूप से विचार नहीं किया जाता है, लेकिन किसी संख्या को उत्पाद से गुणा करते समय क्रमविनिमेय कानून के साथ इसका उपयोग किया जाता है। यह इस प्रकार होता है: छात्रों को अभिव्यक्ति 3* (5*2) का मान ज्ञात करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करने और परिणामों की तुलना करने के लिए कहा जाता है।

मामले दिए गए हैं:

1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;

2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;

3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.

उनमें से पहला क्रियाओं के क्रम के नियम पर आधारित है, दूसरा गुणन के साहचर्य नियम पर, तीसरा गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों पर आधारित है।

जोड़ के सापेक्ष गुणन के वितरण नियम पर स्कूल में विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके चर्चा की जाती है और इसे किसी संख्या को योग से और योग को संख्या से गुणा करने का नियम कहा जाता है। इन दो नियमों पर विचार पद्धतिगत विचारों से तय होता है।

किसी योग को किसी संख्या से और संख्याओं को गुणनफल से विभाजित करने के नियम

आइए प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने के कुछ गुणों से परिचित हों। इन नियमों का चुनाव प्रारंभिक गणित पाठ्यक्रम की सामग्री से निर्धारित होता है।

किसी राशि को किसी संख्या से विभाजित करने का नियम. यदि संख्या a और b संख्या c से विभाज्य हैं, तो उनका योग a + b, c से विभाज्य है; a + b के योग को संख्या c से विभाजित करने पर प्राप्त भागफल, a को c से और b को c से विभाजित करने पर प्राप्त भागफल के योग के बराबर होता है, अर्थात

(ए + बी): सी = ए: सी + बी: सी।

सबूत। चूँकि a, c से विभाज्य है, इसलिए एक प्राकृतिक संख्या m = a:c है, जैसे कि a = c-m। इसी प्रकार, एक प्राकृत संख्या n - b:c इस प्रकार है कि b = c-n. फिर a+b = c-m + c-/2 = c-(m + n). इसका तात्पर्य यह है कि a + b, c से विभाज्य है और a + b को संख्या c से विभाजित करने पर प्राप्त भागफल m + n के बराबर होता है, अर्थात a: c + b: c।

सिद्ध नियम की व्याख्या सेट-सैद्धांतिक दृष्टिकोण से की जा सकती है।

मान लीजिए a = n(A), b = n(B), और AGV = 0. यदि प्रत्येक सेट ए और बी को समान उपसमुच्चय में विभाजित किया जा सकता है, तो इन सेटों का संघ समान विभाजन की अनुमति देता है।

इसके अलावा, यदि सेट A के विभाजन के प्रत्येक उपसमूह में a:c तत्व होते हैं, और सेट B के प्रत्येक उपसमूह में b:c तत्व होते हैं, तो सेट A[)B के प्रत्येक उपसमूह में a:c+b:c तत्व होते हैं। इसका मतलब है कि (ए + बी): सी = ए: सी + बी: सी।

किसी संख्या को गुणनफल से विभाजित करने का नियम. यदि एक प्राकृत संख्या a, प्राकृत संख्या b और c से विभाज्य है, तो a को संख्या b और c के गुणनफल से विभाजित करने के लिए, संख्या a को b (c) से विभाजित करना और परिणामी भागफल को c (b) से विभाजित करना पर्याप्त है। : ए: (बी * सी) --(ए: बी): सी = (ए: सी): बी प्रमाण। आइए (a:b):c = x रखें। फिर, भागफल की परिभाषा के अनुसार a:b = c-x, इसलिए इसी तरह a - b-(cx)। गुणन के साहचर्य नियम के आधार पर a = (bc)-x. परिणामी समानता का अर्थ है कि a:(bc) = x. इस प्रकार a:(bc) = (a:b):c.

किसी संख्या को दो संख्याओं के भागफल से गुणा करने का नियम। किसी संख्या को दो संख्याओं के भागफल से गुणा करने के लिए, इस संख्या को लाभांश से गुणा करना और परिणामी उत्पाद को भाजक से विभाजित करना पर्याप्त है, अर्थात।

ए-(बी:सी) = (ए-बी):सी।

तैयार नियमों के अनुप्रयोग से गणनाओं को सरल बनाना संभव हो जाता है।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति (720+600): 24 का मान ज्ञात करने के लिए, पदों 720 और 600 को 24 से विभाजित करना और परिणामी भागफल जोड़ना पर्याप्त है:

(720+ 600): 24 = 720:24 + 600:24 = 30 + 25 = 55। अभिव्यक्ति 1440:(12*15) का मान पहले 1440 को 12 से विभाजित करके और फिर परिणामी भागफल को विभाजित करके पाया जा सकता है। 15 तक:

1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.

इन नियमों पर प्रारंभिक गणित पाठ्यक्रम में विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके चर्चा की गई है। जब आप पहली बार योग 6 + 4 को संख्या 2 से विभाजित करने के नियम से परिचित होते हैं, तो उदाहरणात्मक सामग्री का उपयोग किया जाता है। भविष्य में, इस नियम का उपयोग गणनाओं को तर्कसंगत बनाने के लिए किया जाता है। किसी संख्या को गुणनफल से विभाजित करने का नियम शून्य से समाप्त होने वाली संख्याओं को विभाजित करते समय व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

विषय क्रमांक 1.

वास्तविक संख्याएँ। संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ। संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना

I. सैद्धांतिक सामग्री

बुनियादी अवधारणाओं

· पूर्णांक

· संख्या का दशमलव अंकन

· विपरीत संख्याएँ

· पूर्ण संख्याएं

· सामान्य अंश

भिन्नात्मक संख्याएं

अनंत दशमलव

किसी संख्या की अवधि, आवर्त अंश

· तर्कहीन संख्या

· वास्तविक संख्या

अंकगणितीय आपरेशनस

संख्यात्मक अभिव्यक्ति

· अभिव्यक्ति मूल्य

दशमलव को सामान्य भिन्न में बदलना

सामान्य भिन्न को दशमलव में बदलना

आवर्त भिन्न का साधारण भिन्न में रूपांतरण

· अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम

· विभाज्यता के लक्षण

वस्तुओं की गिनती करते समय या समान वस्तुओं के बीच किसी वस्तु की क्रम संख्या को इंगित करने के लिए उपयोग की जाने वाली संख्याओं को कहा जाता है प्राकृतिक. किसी भी प्राकृत संख्या को दस का प्रयोग करके लिखा जा सकता है नंबर: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. संख्याओं के इस अंकन को कहा जाता है दशमलव

उदाहरण के लिए: 24; 3711; 40125.

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर निरूपित किया जाता है एन.

दो संख्याएँ जो केवल चिन्ह द्वारा एक दूसरे से भिन्न होती हैं, कहलाती हैं विलोमनंबर.

उदाहरण के लिए, संख्या 7 और – 7.

प्राकृत संख्याएँ, उनके विपरीत संख्याएँ और शून्य संख्या समुच्चय बनाती हैं साबुत जेड.

उदाहरण के लिए: – 37; 0; 2541.

फॉर्म का नंबर, कहां एम -पूर्णांक, एन -प्राकृतिक संख्या, साधारण कहलाती है अंश. ध्यान दें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को 1 के हर वाले भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए: , .

पूर्णांकों और भिन्नों (धनात्मक और ऋणात्मक) के समुच्चयों के मिलन से एक समुच्चय बनता है तर्कसंगतनंबर. इसे आमतौर पर दर्शाया जाता है क्यू.

उदाहरण के लिए: ; – 17,55; .

मान लीजिए कि दिया गया दशमलव अंश दिया गया है। यदि आप दाहिनी ओर कोई भी संख्या में शून्य जोड़ दें तो इसका मान नहीं बदलेगा।

उदाहरण के लिए: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

ऐसे दशमलव को अनंत दशमलव कहा जाता है।

किसी भी सामान्य भिन्न को अनंत दशमलव भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

किसी संख्या में दशमलव बिंदु के बाद क्रमिक रूप से दोहराए जाने वाले अंकों के समूह को कहा जाता है अवधि, और एक अनंत दशमलव भिन्न जिसके अंकन में ऐसी अवधि होती है, कहलाती है आवधिक. संक्षिप्तता के लिए, किसी अवधि को कोष्ठक में बंद करके एक बार लिखने की प्रथा है।

उदाहरण के लिए: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

2,73000… = 2,73(0).

अनंत दशमलव गैर-आवधिक भिन्न कहलाते हैं तर्कहीननंबर.

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय के मिलन से समुच्चय बनता है वैधनंबर. इसे आमतौर पर दर्शाया जाता है आर.

उदाहरण के लिए: ; 0,(23); 41,3574…

संख्या तर्कहीन है.

सभी संख्याओं के लिए, तीन चरणों की क्रियाएँ परिभाषित हैं:

· चरण I क्रियाएँ: जोड़ और घटाव;

· चरण II क्रियाएँ: गुणा और भाग;

· चरण III क्रियाएँ: घातांकीकरण और जड़ निष्कर्षण।

संख्याओं, अंकगणितीय चिह्नों तथा कोष्ठकों से बनी अभिव्यक्ति कहलाती है संख्यात्मक.

उदाहरण के लिए: ; .

कर्म करने के फलस्वरूप प्राप्त संख्या कहलाती है अभिव्यक्ति का मूल्य.

संख्यात्मक अभिव्यक्ति कोई मतलब नहीं, यदि इसमें शून्य से विभाजन है।

अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करते समय चरण III, चरण II और चरण I की क्रिया के अंत में क्रियाएँ क्रमिक रूप से की जाती हैं। इस मामले में, संख्यात्मक अभिव्यक्ति में कोष्ठक के स्थान को ध्यान में रखना आवश्यक है।

किसी संख्यात्मक अभिव्यक्ति को परिवर्तित करने में उपयुक्त नियमों (विभिन्न हरों के साथ साधारण अंशों को जोड़ने, दशमलव को गुणा करने आदि) का उपयोग करके इसमें शामिल संख्याओं पर क्रमिक रूप से अंकगणितीय संचालन करना शामिल है। पाठ्यपुस्तकों में संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने के कार्य निम्नलिखित फॉर्मूलेशन में पाए जाते हैं: "एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मूल्य खोजें", "एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं", "गणना करें", आदि।

कुछ संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के मान ज्ञात करते समय, आपको विभिन्न प्रकार के भिन्नों के साथ संचालन करना होगा: साधारण, दशमलव, आवधिक। इस मामले में, एक साधारण अंश को दशमलव में बदलना या विपरीत क्रिया करना आवश्यक हो सकता है - आवधिक अंश को एक साधारण अंश से बदलें।

रूपान्तरण करने के लिए दशमलव से सामान्य भिन्न, यह भिन्न के अंश में दशमलव बिंदु के बाद की संख्या लिखने के लिए पर्याप्त है, और हर में शून्य के साथ एक, और उतने ही शून्य होने चाहिए जितने दशमलव बिंदु के दाईं ओर अंक हैं।

उदाहरण के लिए: ; .

रूपान्तरण करने के लिए अंश से दशमलव, आपको दशमलव भिन्न को पूर्ण संख्या से विभाजित करने के नियम के अनुसार उसके अंश को उसके हर से विभाजित करना होगा।

उदाहरण के लिए: ;

;

.

रूपान्तरण करने के लिए आवर्त भिन्न से सामान्य भिन्न, ज़रूरी:

1) दूसरे आवर्त से पहले की संख्या में से, पहले आवर्त से पहले की संख्या को घटाएँ;

2) इस अंतर को अंश के रूप में लिखें;

3) हर में संख्या 9 को उतनी ही बार लिखें जितनी बार आवर्त में संख्याएँ हों;

4) हर में उतने ही शून्य जोड़ें जितने दशमलव बिंदु और प्रथम आवर्त के बीच हों।

उदाहरण के लिए: ; .

वास्तविक संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम

1. यात्रा का(क्रमविनिमेय) जोड़ का नियम: पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग का मूल्य नहीं बदलता है:

2. यात्रा का(क्रमविनिमेय) गुणन का नियम: कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने से उत्पाद का मूल्य नहीं बदलता है:

3. मेल करनेवाला(साहचर्य) जोड़ का नियम: यदि शब्दों के किसी समूह को उनके योग से बदल दिया जाए तो योग का मूल्य नहीं बदलेगा:

4. मेल करनेवाला(साहचर्य) गुणन का नियम: यदि कारकों के किसी समूह को उनके उत्पाद से प्रतिस्थापित कर दिया जाए तो उत्पाद का मूल्य नहीं बदलेगा:

.

5. वितरण(वितरणात्मक) जोड़ के सापेक्ष गुणन का नियम: किसी योग को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, प्रत्येक जोड़ को इस संख्या से गुणा करना और परिणामी उत्पादों को जोड़ना पर्याप्त है:

गुण 6-10 को अवशोषण नियम 0 और 1 कहा जाता है।

विभाज्यता के लक्षण

वे गुण जो कुछ मामलों में, विभाजित किए बिना, यह निर्धारित करने की अनुमति देते हैं कि क्या एक संख्या दूसरे से विभाज्य है, कहलाती है विभाज्यता के लक्षण.

2 से विभाज्यता का परीक्षण करें।एक संख्या 2 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी जब संख्या समाप्त होती है यहां तक ​​कीसंख्या। यानी 0, 2, 4, 6, 8 पर.

उदाहरण के लिए: 12834; –2538; 39,42.

3 से विभाज्यता का परीक्षण करें. कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए: 2742; –17940.

4 से विभाज्यता का परीक्षण करें. कम से कम तीन अंकों वाली एक संख्या 4 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी जब दी गई संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी दो अंकों की संख्या 4 से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए: 15436; –372516.

5 से विभाज्यता परीक्षण. कोई संख्या 5 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी जब उसका अंतिम अंक 0 या 5 हो।

उदाहरण के लिए: 754570; –4125.

9 से विभाज्यता परीक्षण. कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।

उदाहरण के लिए: 846; –76455.

उद्देश्य: सूत्रों का उपयोग करके गणना करने के कौशल के विकास की जाँच करना; बच्चों को अंकगणितीय संक्रियाओं के क्रमविनिमेय, साहचर्य और वितरणात्मक नियमों से परिचित कराएं।

• जोड़ और गुणन के नियमों का वर्णानुक्रमिक अंकन प्रस्तुत कर सकेंगे; गणनाओं और अक्षर अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए अंकगणितीय संक्रियाओं के नियमों को लागू करना सिखाएं;
• तार्किक सोच, मानसिक कार्य कौशल, दृढ़ इच्छाशक्ति वाली आदतें, गणितीय भाषण, स्मृति, ध्यान, गणित में रुचि, व्यावहारिकता विकसित करना;
• एक-दूसरे के प्रति सम्मान, सौहार्द की भावना और विश्वास पैदा करें।

पाठ का प्रकार: संयुक्त।

• पहले अर्जित ज्ञान का परीक्षण करना;
• विद्यार्थियों को नई सामग्री सीखने के लिए तैयार करना
• नई सामग्री की प्रस्तुति;
• नई सामग्री के प्रति छात्रों की धारणा और जागरूकता;
• अध्ययन की गई सामग्री का प्राथमिक समेकन;
• पाठ का सारांश और गृहकार्य निर्धारित करना।

उपकरण: कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, प्रेजेंटेशन।

योजना:

1. संगठनात्मक क्षण.
2. पहले अध्ययन की गई सामग्री की जाँच करना।
3. नई सामग्री का अध्ययन.
4. ज्ञान प्राप्ति का प्राथमिक परीक्षण (पाठ्यपुस्तक के साथ काम करना)।
5. ज्ञान की निगरानी और आत्म-परीक्षण (स्वतंत्र कार्य)।
6. पाठ का सारांश।
7. प्रतिबिम्ब.

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण

शिक्षक: शुभ दोपहर, बच्चों! हम अपना पाठ एक विदाई कविता से शुरू करते हैं। स्क्रीन पर ध्यान दें. (1 स्लाइड). परिशिष्ट 2 .

गणित, दोस्तों,
निःसंदेह हर किसी को इसकी जरूरत है।
कक्षा में मन लगाकर काम करें
और सफलता निश्चित रूप से आपका इंतजार करेगी!

2. सामग्री की पुनरावृत्ति

आइए हमारे द्वारा कवर की गई सामग्री की समीक्षा करें। मैं छात्र को स्क्रीन पर आमंत्रित करता हूं। कार्य: लिखित सूत्र को उसके नाम से जोड़ने के लिए एक सूचक का उपयोग करें और इस प्रश्न का उत्तर दें कि इस सूत्र का उपयोग करके और क्या पाया जा सकता है। (2 स्लाइड)।

अपनी नोटबुक खोलें, नंबर पर हस्ताक्षर करें, बढ़िया काम। स्क्रीन पर ध्यान दें. (3 स्लाइड)।

हम अगली स्लाइड पर मौखिक रूप से काम करते हैं। (5 स्लाइड)।

12 + 5 + 8		25 10		250 – 50
200 – 170		30 + 15		45: 3
15 + 30		45 – 17		28 25 4

कार्य: भावों का अर्थ ढूँढ़ना। (एक छात्र स्क्रीन पर काम करता है।)

– उदाहरणों को हल करते समय आपने कौन सी दिलचस्प बातें नोटिस कीं? किन उदाहरणों पर विशेष ध्यान देने योग्य है? (बच्चों के उत्तर।)

समस्या की स्थिति

– प्रारंभिक विद्यालय से आप जोड़ और गुणन के कौन से गुण जानते हैं? क्या आप उन्हें वर्णानुक्रमिक अभिव्यक्तियों का उपयोग करके लिख सकते हैं? (बच्चों के उत्तर)।

3. नई सामग्री सीखना

- और इसलिए, आज के पाठ का विषय है "अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम" (6 स्लाइड)।
- पाठ के विषय को अपनी नोटबुक में लिखें।
– हमें कक्षा में क्या नया सीखना चाहिए? (पाठ के लक्ष्य बच्चों के साथ मिलकर तैयार किए जाते हैं।)
- हम स्क्रीन को देखते हैं। (7 स्लाइड).

आप जोड़ के नियम अक्षर रूप में लिखे हुए उदाहरणों के साथ देखिये। (उदाहरणों का विश्लेषण)।

- अगली स्लाइड (8 स्लाइड)।

आइए गुणन के नियमों पर नजर डालें।

-आइए अब एक बहुत ही महत्वपूर्ण वितरण कानून से परिचित हों (9 स्लाइड)।

- संक्षेप। (10 स्लाइड)।

– अंकगणितीय संक्रियाओं के नियमों को जानना क्यों आवश्यक है? क्या वे आगे की पढ़ाई में उपयोगी होंगे, किस विषय का अध्ययन करते समय? (बच्चों के उत्तर।)

- कानूनों को अपनी नोटबुक में लिखें।

4. सामग्री को ठीक करना

- पाठ्यपुस्तक खोलें और मौखिक रूप से क्रमांक 212 (ए, बी, डी) खोजें।

नंबर 212 (सी, डी, जी, एच) बोर्ड पर और नोटबुक में लिखित रूप में। (इंतिहान)।

- हम मौखिक तौर पर नंबर 214 पर काम कर रहे हैं।

– हम कार्य संख्या 215 करते हैं। इस संख्या को हल करने के लिए किस नियम का उपयोग किया जाता है? (बच्चों के उत्तर)।

5. स्वतंत्र कार्य

- कार्ड पर उत्तर लिखें और अपने परिणामों की तुलना अपने डेस्क पर बैठे अपने पड़ोसी से करें। अब अपना ध्यान स्क्रीन पर लगाएं। (11 स्लाइड)।(स्वतंत्र कार्य की जाँच करना)।

6. पाठ सारांश

– स्क्रीन पर ध्यान दें. (12 स्लाइड)।वाक्य समाप्त करें।

पाठ ग्रेड.

7. गृहकार्य

§13, संख्या 227, 229.

8. प्रतिबिम्ब