सूच्याकार आकृति का भुज- बिंदु A का खंड) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में X'X अक्ष पर इस बिंदु का निर्देशांक है। बिंदु A का भुज खंड OB की लंबाई के बराबर है (चित्र 1 देखें)। यदि बिंदु B धनात्मक अर्ध-अक्ष OX से संबंधित है, तो भुज का एक धनात्मक मान होता है। यदि बिंदु B ऋणात्मक अर्ध-अक्ष X'O से संबंधित है, तो भुज का मान ऋणात्मक है। यदि बिंदु A Y'Y अक्ष पर स्थित है, तो इसका भुज शून्य है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, X'X अक्ष को "x-अक्ष" कहा जाता है।

वर्तनी

कृपया वर्तनी पर ध्यान दें: Ab साथसीसा, लेकिन नहीं सूच्याकार आकृति का भुजऔर नहीं सूच्याकार आकृति का भुज.

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विकिमीडिया फ़ाउंडेशन. 2010.

देखें अन्य शब्दकोशों में "एक्स-अक्ष" क्या है:

भुज अक्ष- कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में क्षैतिज अक्ष। सामान्य रूप से विषय सूचना प्रौद्योगिकी EN भुज अक्षक्षैतिज अक्षX अक्ष… तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

भुज अक्ष- abscisių ašis statusas T sritis automatica atitikmenys: अंग्रेजी। एब्सिस्सा अक्ष वोक। Abszissenachse, एफ रूस। भुज अक्ष, एफ प्रैंक। कुल्हाड़ी डी एब्सिसेस, एम… स्वचालित टर्मिनस žodynas

भुज अक्ष- abscisių ašis statusas T sritis fizika atitikmenys: अंग्रेजी। एब्सिस्सा अक्ष वोक। Abszissenachse, एफ रूस। भुज अक्ष, एफ प्रैंक। एक्स डी'एब्सिसेस, एम ... फ़िज़िकोस टर्मिनžोडिनास

एक्सिस (शब्द "एक्सिस" पुराने रूसी "एवन" से आया है - एक फर उत्पाद में नुकीले पौधों या बालों के प्रत्येक दाने की भूसी पर एक लंबी टेंड्रिल) एक निश्चित केंद्रीय सीधी रेखा की अवधारणा, जिसमें एक काल्पनिक सीधी रेखा शामिल है ( लाइन): प्रौद्योगिकी में: ... ... विकिपीडिया

एक्सिस- (1) व्यावहारिक यांत्रिकी में, मशीनों (कार के पहिये) या तंत्र (घड़ी के गियर) के घूमने वाले हिस्सों को सहारा देने और सहारा देने वाली एक छड़। इसके विपरीत (देखें) O. उपयोगी टॉर्क संचारित नहीं करता है (देखें (5)), लेकिन काम करता है ... ... बिग पॉलिटेक्निक इनसाइक्लोपीडिया

परिभाषा- 2.7 परिभाषा: एक परीक्षण विधि दस्तावेज़ में विनियमित संचालन की एक श्रृंखला को निष्पादित करने की प्रक्रिया, जिसके परिणामस्वरूप एक एकल मान प्राप्त होता है। स्रोत … मानक और तकनीकी दस्तावेज़ीकरण की शर्तों की शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक

- (ग्रीक στροφή रोटेशन से) तीसरे क्रम का बीजगणितीय वक्र। इसे इस प्रकार बनाया गया है (चित्र 1 देखें): चित्र। 1...विकिपीडिया

ज्यामिति की एक शाखा जो समन्वय विधि के आधार पर प्रारंभिक बीजगणित का उपयोग करके सरलतम ज्यामितीय वस्तुओं का अध्ययन करती है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के निर्माण का श्रेय आमतौर पर आर. डेसकार्टेस को दिया जाता है, जिन्होंने अपने अंतिम अध्याय में इसकी नींव की रूपरेखा तैयार की... ... कोलियर का विश्वकोश

चावल। 1. सिसॉइड का निर्माण। सीसॉइड शाखा की नीली और लाल रेखाएँ। डायोकल्स का सीसॉइड तीसरे क्रम का एक समतल बीजगणितीय वक्र है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, जहां एक्स-अक्ष को ... विकिपीडिया के साथ निर्देशित किया जाता है

डायोकल्स का सीसॉइड तीसरे क्रम का एक समतल बीजगणितीय वक्र है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, जहां भुज अक्ष को OX के साथ निर्देशित किया जाता है और ऑर्डिनेट अक्ष को OY के साथ निर्देशित किया जाता है, खंड OA = 2a पर, एक व्यास की तरह, एक सहायक वृत्त का निर्माण किया जाता है। बिंदु A पर किया जाता है... ...विकिपीडिया

एब्सिस्सा क्या है और ऑर्डिनेट क्या है? और सबसे अच्छा उत्तर मिला

उत्तर से लिसा[विशेषज्ञ]
भुजिका x है
आप समन्वय करें

उत्तर से निकोले काटकोव[गुरु]






चित्रकला

उत्तर से आर्सेनी रोडिन[सक्रिय]
शाफ़्ट

उत्तर से मुराद ख़ालिदोव[सक्रिय]
मैंने इस विषय का अध्ययन 6वीं कक्षा में किया था और संभवतः आपने भी किया होगा, लेकिन इस तथ्य को देखते हुए कि यह मुद्दा 5 साल पहले हल हो गया था, मैंने यह निष्कर्ष 11वीं कक्षा में निकाला। इतने सरल और स्पष्ट उत्तर (सर्वोत्तम) के लिए धन्यवाद!

उत्तर से दशा कज़िना[नौसिखिया]
भुज बिंदु (निर्देशांक के अनुसार यह पहले आता है) X अक्ष पर क्षैतिज रूप से स्थित है, और कोटि (निर्देशांक के अनुसार यह दूसरे स्थान पर आता है) Y अक्ष पर लंबवत स्थित है

उत्तर से डिमॉन डिमॉन[नौसिखिया]
बिंदु A का भुज (अव्य. भुज - खंड) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में X'X अक्ष पर इस बिंदु का निर्देशांक है। बिंदु A का भुज खंड OB की लंबाई के बराबर है (चित्र 1 देखें)। यदि बिंदु B धनात्मक अर्ध-अक्ष OX से संबंधित है, तो भुज का एक धनात्मक मान होता है। यदि बिंदु B ऋणात्मक अर्ध-अक्ष X'O से संबंधित है, तो भुज का मान ऋणात्मक है। यदि बिंदु A Y'Y अक्ष पर स्थित है, तो इसका भुज शून्य है।
एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, X'X अक्ष को "एब्सिस्सा अक्ष" कहा जाता है।
फ़ंक्शन प्लॉट करते समय, x-अक्ष का उपयोग आमतौर पर फ़ंक्शन के डोमेन के रूप में किया जाता है।
बिंदु A का कोटि (लैटिन ऑर्डिनैटस से - क्रम में स्थित) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में Y'Y अक्ष पर इस बिंदु का निर्देशांक है। बिंदु A का कोटि मान खंड OC की लंबाई के बराबर है (चित्र 1 देखें)। यदि बिंदु C धनात्मक अर्ध-अक्ष OY से संबंधित है, तो कोटि का मान धनात्मक होता है। यदि बिंदु C ऋणात्मक अर्ध-अक्ष Y'O से संबंधित है, तो कोटि का मान ऋणात्मक होता है। यदि बिंदु A, X'X अक्ष पर स्थित है, तो इसकी कोटि शून्य है।
एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, Y'Y अक्ष को "y-अक्ष" कहा जाता है।
फ़ंक्शन प्लॉट करते समय, y-अक्ष का उपयोग आमतौर पर फ़ंक्शन की सीमा के रूप में किया जाता है।
यहाँ चित्रण

उत्तर से वैडिक्स[सक्रिय]
संक्षिप्त और स्पष्ट और पढ़ने की ज़रूरत नहीं, बस देखें और सुनें! 🙂
एक कोर्डिनेट क्या है?
एब्सिस्सा क्या है?

उत्तर से बाई पाज़िलोव[नौसिखिया]
भुज-x
समन्वय-y

उत्तर से कोई दिखावा नहीं.[सक्रिय]
यदि यह कठिन है तो इसे याद रखना आसान है: "आह" और "ओह" :)

उत्तर से वसेवोलॉड याब्लोनोव्स्की[सक्रिय]
भुजिका x है

उत्तर से योनसेथ शिमर[नौसिखिया]
भुजिका x है
आप समन्वय करें

उत्तर से व्लाद चुबिंस्की[नौसिखिया]
भुजिका x है
आप समन्वय करें

उत्तर से दिमित्री कोर्नेव[नौसिखिया]
X- अक्ष
शाफ़्ट

उत्तर से 3 उत्तर[गुरु]

नमस्ते! यहां आपके प्रश्न के उत्तर के साथ विषयों का चयन दिया गया है: भुज क्या है और कोटि क्या है?

यह बिन्दु अक्ष पर है X'Xएक आयताकार समन्वय प्रणाली में. एक बिंदु का भुज मान एखंड की लंबाई के बराबर ओ.बी.(तस्वीर देखने)। अगर बात बीसकारात्मक अर्ध-अक्ष से संबंधित है बैल, तो भुज का एक सकारात्मक मान है। अगर बात बीनकारात्मक अर्ध-अक्ष से संबंधित है एक्स'ओ, तो भुज का मान ऋणात्मक है। अगर बात एअक्ष पर स्थित है Y Y, तो इसका भुज शून्य है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, एक किरण (सीधी रेखा) X'Xइसे "एब्सिस्सा अक्ष" कहा जाता है। फ़ंक्शंस प्लॉट करते समय, एक्स-अक्ष का उपयोग आमतौर पर फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन के रूप में किया जाता है।

शब्द-साधन

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टिप्पणियाँ

लिंक

• एब्सिस्सा // ग्रेट सोवियत इनसाइक्लोपीडिया: [30 खंडों में] / अध्याय। ईडी। ए. एम. प्रोखोरोव. - तीसरा संस्करण। - एम। : सोवियत विश्वकोश, 1969-1978।

एब्सिस्सा की विशेषता बताने वाला अंश

"हालाँकि, मैं तुम्हें शर्मिंदा कर रहा हूँ," उसने धीरे से उससे कहा, "चलो, व्यापार के बारे में बात करें, और मैं चला जाऊँगा।"
"नहीं, बिल्कुल नहीं," बोरिस ने कहा। और अगर तुम थके हो तो चलो मेरे कमरे में चलो और लेट जाओ और आराम करो।
- वास्तव में...
वे उस छोटे से कमरे में दाखिल हुए जहाँ बोरिस सो रहा था। रोस्तोव, बिना बैठे, तुरंत जलन के साथ - जैसे कि बोरिस उसके सामने किसी चीज़ का दोषी था - उसे डेनिसोव का मामला बताना शुरू कर दिया, पूछा कि क्या वह चाहता है और संप्रभु से अपने जनरल के माध्यम से डेनिसोव के बारे में पूछ सकता है और उसके माध्यम से एक पत्र दे सकता है . जब वे अकेले रह गए, तो रोस्तोव को पहली बार यकीन हुआ कि उन्हें बोरिस की आँखों में देखने में शर्म आ रही थी। बोरिस, अपने पैरों को पार करते हुए और अपने बाएं हाथ से अपने दाहिने हाथ की पतली उंगलियों को सहलाते हुए, रोस्तोव की बात सुनी, जैसे एक जनरल एक अधीनस्थ की रिपोर्ट सुनता है, अब बगल की ओर देख रहा है, अब उसी धूमिल टकटकी के साथ, सीधे देख रहा है रोस्तोव की आँखें. हर बार रोस्तोव को अजीब महसूस हुआ और उसने अपनी आँखें नीची कर लीं।
“मैंने इस तरह की चीज़ों के बारे में सुना है और मुझे पता है कि सम्राट इन मामलों में बहुत सख्त हैं। मुझे लगता है कि हमें इसे महामहिम के सामने नहीं लाना चाहिए। मेरी राय में, सीधे कोर कमांडर से पूछना बेहतर होगा... लेकिन सामान्य तौर पर मुझे लगता है...
- तो आप कुछ नहीं करना चाहते, बस इतना कह दीजिए! - रोस्तोव लगभग चिल्लाया, बोरिस की आँखों में देखे बिना।
बोरिस मुस्कुराया: "इसके विपरीत, मैं वह करूँगा जो मैं कर सकता हूँ, लेकिन मैंने सोचा...
इसी समय, दरवाजे पर बोरिस को बुलाते हुए ज़िलिंस्की की आवाज़ सुनाई दी।
"ठीक है, जाओ, जाओ, जाओ..." रोस्तोव ने कहा, रात का खाना खाने से इनकार कर दिया, और एक छोटे से कमरे में अकेला छोड़ दिया गया, वह लंबे समय तक उसमें आगे-पीछे चलता रहा, और अगले कमरे से हंसमुख फ्रांसीसी बातचीत सुनता रहा .

एब्सिस्सा गणित का एक सामान्य शब्द है जिसे बहुत से लोग नहीं समझते हैं। भुज की अवधारणा कई गणितीय समस्याओं को समझने में मदद करेगी। इस लेख का विषय इसी को समर्पित है।

फरसीसा क्या है

इससे पहले कि आप समझें कि एब्सिस्सा क्या है, आपको कई और शब्दों के सार के बारे में जानने की जरूरत है, अर्थात्:

• आयताकार समन्वय प्रणाली.आयताकार समन्वय प्रणाली एक ऐसी प्रणाली है जिसमें केवल दो दिशाएँ होती हैं। ऐसी प्रणाली को आमतौर पर द्वि-आयामी कहा जाता है। एक दिशा एक क्षैतिज सीधी रेखा के रूप में होती है और अक्षर द्वारा इंगित की जाती है एक्स, दूसरी दिशा एक ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा है, जिसे अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है य. इन दोनों दिशाओं के प्रतिच्छेदन को उद्गम कहा जाता है। समन्वय रिपोर्ट यहीं से शुरू होती है। क्षैतिज रेखा के वे मान जो मूल बिंदु के दाईं ओर हैं सकारात्मक हैं। बायीं ओर वाले नकारात्मक हैं। तदनुसार, रेखा के वे y मान जो मूल बिंदु से ऊपर हैं वे सकारात्मक हैं, और जो नीचे हैं वे नकारात्मक हैं।
• समन्वय.किसी भी बिंदु का निर्देशांक जो अक्ष के अनुरूप है य(एक समन्वय प्रणाली में) को कोटि कहा जाता है।

अंतिम स्थिति के आधार पर, आप आसानी से अनुमान लगा सकते हैं कि यदि कोटि अक्ष पर निर्देशांक है य, जो किसी भी बिंदु से मेल खाता है, तो भुज उसी बिंदु का निर्देशांक है, लेकिन जो अक्ष पर स्थित है एक्स.

निर्देशांक (4; 6) के साथ बिंदु ए दिया गया है। भुज क्या है और कोटि क्या है?

याद रखें कि जब किसी बिंदु के निर्देशांक लिखे जाते हैं, तो अक्ष पर निर्देशांक पहले दर्शाए जाते हैं एक्स, और दूसरे पर - कुल्हाड़ियाँ य. इस प्रकार, बिंदु A का भुज 4 है और कोटि 6 है।

अब आप जानते हैं कि एब्सिस्सा क्या है और जब आप इस शब्द को देखते हैं, तो आप बिना किसी हिचकिचाहट के समस्या के अर्थ में तल्लीन हो सकते हैं। इस विषय का अध्ययन करना अच्छा है, क्योंकि निर्देशांक का उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है - गणित से लेकर प्रोग्रामिंग तक।

यदि आप किसी शून्य बिंदु पर हैं और सोच रहे हैं कि किसी अन्य बिंदु पर जाने के लिए आपको कितनी इकाइयों की दूरी सीधे आगे और फिर सीधे दाईं ओर जाने की आवश्यकता है, तो आप पहले से ही विमान पर एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग कर रहे हैं। और यदि बिंदु उस विमान के ऊपर स्थित है जिस पर आप खड़े हैं, और अपनी गणना में आप सीढ़ियों के साथ बिंदु पर एक निश्चित संख्या में दूरी इकाइयों द्वारा सख्ती से ऊपर की ओर एक चढ़ाई जोड़ते हैं, तो आप पहले से ही एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग कर रहे हैं अंतरिक्ष।

एक समान मूल (निर्देशांक की उत्पत्ति) और लंबाई की एक सामान्य इकाई के साथ एक दूसरे के लंबवत दो या तीन प्रतिच्छेदी अक्षों की एक क्रमबद्ध प्रणाली को कहा जाता है आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली .

फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस (1596-1662) का नाम मुख्य रूप से एक समन्वय प्रणाली से जुड़ा है जिसमें सभी अक्षों पर लंबाई की एक सामान्य इकाई मापी जाती है और अक्ष सीधे होते हैं। आयताकार के अलावा, वहाँ है सामान्य कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (एफ़िन समन्वय प्रणाली). इसमें वे अक्ष भी शामिल हो सकते हैं जो आवश्यक रूप से लंबवत नहीं हैं। यदि अक्ष लंबवत हैं, तो समन्वय प्रणाली आयताकार है।

एक समतल पर आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली दो अक्ष हैं और अंतरिक्ष में आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली - तीन अक्ष. किसी समतल या अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को निर्देशांक के एक क्रमबद्ध सेट द्वारा परिभाषित किया जाता है - समन्वय प्रणाली की लंबाई की इकाई के अनुरूप संख्याएँ।

ध्यान दें कि, परिभाषा के अनुसार, एक सीधी रेखा पर, यानी एक आयाम में, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली होती है। एक रेखा पर कार्टेशियन निर्देशांक का परिचय उन तरीकों में से एक है जिसके द्वारा एक रेखा पर कोई भी बिंदु एक अच्छी तरह से परिभाषित वास्तविक संख्या, यानी एक समन्वय के साथ जुड़ा हुआ है।

समन्वय पद्धति, जो रेने डेसकार्टेस के कार्यों में उत्पन्न हुई, ने सभी गणित के एक क्रांतिकारी पुनर्गठन को चिह्नित किया। ज्यामितीय छवियों (ग्राफ़) के रूप में बीजगणितीय समीकरणों (या असमानताओं) की व्याख्या करना और, इसके विपरीत, विश्लेषणात्मक सूत्रों और समीकरणों की प्रणालियों का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं के समाधान ढूंढना संभव हो गया। हाँ, असमानता जेड < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyऔर इस तल से 3 इकाई ऊपर स्थित है।

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करते हुए, किसी दिए गए वक्र पर एक बिंदु की सदस्यता इस तथ्य से मेल खाती है कि संख्याएं एक्सऔर यकुछ समीकरण संतुष्ट करें. इस प्रकार, किसी दिए गए बिंदु पर केंद्र वाले वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक ( ए; बी) समीकरण को संतुष्ट करें (एक्स - ए)² + ( य - बी)² = आर² .

एक समतल पर आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली

एक समान मूल और समान स्केल इकाई वाले एक समतल पर दो लंबवत अक्ष बनते हैं समतल पर कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली . इनमें से एक अक्ष को अक्ष कहा जाता है बैल, या X- अक्ष , अन्य - धुरी ओए, या शाफ़्ट . इन अक्षों को निर्देशांक अक्ष भी कहा जाता है। आइए हम इसे निरूपित करें एमएक्सऔर एमयक्रमशः, एक मनमाना बिंदु का प्रक्षेपण एमअक्ष पर बैलऔर ओए. प्रक्षेपण कैसे प्राप्त करें? आइए मुद्दे पर चलते हैं एम बैल. यह सीधी रेखा अक्ष को काटती है बैलबिंदु पर एमएक्स. आइए मुद्दे पर चलते हैं एमअक्ष के लंबवत् सीधी रेखा ओए. यह सीधी रेखा अक्ष को काटती है ओएबिंदु पर एमय. यह नीचे चित्र में दिखाया गया है.

एक्सऔर यअंक एमहम तदनुसार निर्देशित खंडों के मूल्यों को कॉल करेंगे ॐएक्सऔर ॐय. इन निर्देशित खंडों के मूल्यों की गणना तदनुसार की जाती है एक्स = एक्स0 - 0 और य = य0 - 0 . कार्तीय निर्देशांक एक्सऔर यअंक एम सूच्याकार आकृति का भुज और तालमेल . तथ्य यह है कि बात एमनिर्देशांक हैं एक्सऔर य, को इस प्रकार दर्शाया गया है: एम(एक्स, य) .

निर्देशांक अक्ष समतल को चार भागों में विभाजित करते हैं वृत्त का चतुर्थ भाग , जिसकी संख्या नीचे दिए गए चित्र में दिखाई गई है। यह किसी विशेष चतुर्थांश में उनके स्थान के आधार पर बिंदुओं के निर्देशांक के लिए संकेतों की व्यवस्था को भी दर्शाता है।

एक समतल पर कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक के अलावा, ध्रुवीय समन्वय प्रणाली पर भी अक्सर विचार किया जाता है। एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में संक्रमण की विधि के बारे में - पाठ में ध्रुवीय समन्वय प्रणाली .

अंतरिक्ष में आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली

अंतरिक्ष में कार्तीय निर्देशांक को समतल में कार्तीय निर्देशांक के साथ पूर्ण सादृश्य में पेश किया जाता है।

एक समान मूल के साथ अंतरिक्ष में तीन परस्पर लंबवत अक्ष (समन्वय अक्ष)। हेऔर समान पैमाने की इकाई के साथ वे बनते हैं अंतरिक्ष में कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली .

इनमें से एक अक्ष को अक्ष कहा जाता है बैल, या X- अक्ष , अन्य - धुरी ओए, या शाफ़्ट , तीसरा - अक्ष आउंस, या अक्ष अनुप्रयोग . होने देना एमएक्स, एमय एमजेड- एक मनमाने बिंदु का प्रक्षेपण एमअक्ष पर स्थान बैल , ओएऔर आउंसक्रमश।

आइए मुद्दे पर चलते हैं एम बैलबैलबिंदु पर एमएक्स. आइए मुद्दे पर चलते हैं एमअक्ष के लंबवत समतल ओए. यह तल अक्ष को प्रतिच्छेद करता है ओएबिंदु पर एमय. आइए मुद्दे पर चलते हैं एमअक्ष के लंबवत समतल आउंस. यह तल अक्ष को प्रतिच्छेद करता है आउंसबिंदु पर एमजेड.

कार्तीय आयताकार निर्देशांक एक्स , यऔर जेडअंक एमहम तदनुसार निर्देशित खंडों के मूल्यों को कॉल करेंगे ॐएक्स, ॐयऔर ॐजेड. इन निर्देशित खंडों के मूल्यों की गणना तदनुसार की जाती है एक्स = एक्स0 - 0 , य = य0 - 0 और जेड = जेड0 - 0 .

कार्तीय निर्देशांक एक्स , यऔर जेडअंक एमतदनुसार बुलाया जाता है सूच्याकार आकृति का भुज , तालमेल और आवेदन करें .

जोड़े में लिए गए निर्देशांक अक्ष निर्देशांक तलों में स्थित होते हैं xOy , yOzऔर ज़ोक्स .

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में बिंदुओं के बारे में समस्याएं

उदाहरण 1।

ए(2; -3) ;

बी(3; -1) ;

सी(-5; 1) .

भुज अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान। इस पाठ के सैद्धांतिक भाग के अनुसार, भुज अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण भुज अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष बैल, और इसलिए बिंदु के भुज के बराबर एक भुज है, और एक कोटि (अक्ष पर निर्देशांक) है ओए, जिसे x-अक्ष बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करता है), जो शून्य के बराबर है। तो हमें x-अक्ष पर इन बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं:

एएक्स(2;0);

बीएक्स(3;0);

सीएक्स (-5; 0).

उदाहरण 2.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, बिंदु समतल पर दिए जाते हैं

ए(-3; 2) ;

बी(-5; 1) ;

सी(3; -2) .

कोटि अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान। इस पाठ के सैद्धांतिक भाग के अनुसार, कोटि अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण कोटि अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष ओए, और इसलिए इसकी एक कोटि बिंदु की कोटि के बराबर होती है, और एक भुज (अक्ष पर निर्देशांक) होता है बैल, जिसे कोटि अक्ष बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करता है), जो शून्य के बराबर है। तो हमें कोटि अक्ष पर इन बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं:

एआप(0;2);

बीआप(0;1);

सीआप(0;-2).

उदाहरण 3.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, बिंदु समतल पर दिए जाते हैं

ए(2; 3) ;

बी(-3; 2) ;

सी(-1; -1) .

बैल .

बैल बैल बैल, दिए गए बिंदु के समान भुज होगा, और दिए गए बिंदु की कोटि के निरपेक्ष मान के बराबर और चिह्न में विपरीत कोटि होगी। तो हमें अक्ष के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं बैल :

ए"(2; -3) ;

बी"(-3; -2) ;

सी"(-1; 1) .

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करके समस्याओं को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 4.निर्धारित करें कि किस चतुर्थांश में (क्वार्टर, चतुर्भुज के साथ आरेखण - पैराग्राफ के अंत में "एक समतल पर आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली") एक बिंदु स्थित हो सकता है एम(एक्स; य) , अगर

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) एक्स − य = 0 ;

4) एक्स + य = 0 ;

5) एक्स + य > 0 ;

6) एक्स + य < 0 ;

7) एक्स − य > 0 ;

8) एक्स − य < 0 .

उदाहरण 5.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, बिंदु समतल पर दिए जाते हैं

ए(-2; 5) ;

बी(3; -5) ;

सी(ए; बी) .

अक्ष के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ओए .

आइए मिलकर समस्याओं का समाधान करना जारी रखें

उदाहरण 6.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, बिंदु समतल पर दिए जाते हैं

ए(-1; 2) ;

बी(3; -1) ;

सी(-2; -2) .

अक्ष के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ओए .

समाधान। अक्ष के चारों ओर 180 डिग्री घुमाएँ ओएअक्ष से दिशात्मक खंड ओएयहां तक। चित्र में, जहां समतल के चतुर्थांश दर्शाए गए हैं, हम देखते हैं कि अक्ष के सापेक्ष बिंदु दिए गए बिंदु के सममित है ओए, दिए गए बिंदु के समान कोटि होगी, और एक भुज, दिए गए बिंदु के भुज के निरपेक्ष मान के बराबर और चिह्न में विपरीत होगा। तो हमें अक्ष के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ओए :

ए"(1; 2) ;

बी"(-3; -1) ;

सी"(2; -2) .

उदाहरण 7.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, बिंदु समतल पर दिए जाते हैं

ए(3; 3) ;

बी(2; -4) ;

सी(-2; 1) .

मूल बिंदु के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम मूल बिंदु से दिए गए बिंदु तक जाने वाले निर्देशित खंड को मूल के चारों ओर 180 डिग्री तक घुमाते हैं। चित्र में, जहां समतल के चतुर्भुजों को दर्शाया गया है, हम देखते हैं कि निर्देशांक की उत्पत्ति के सापेक्ष दिए गए बिंदु के सममित बिंदु में एक भुज और कोटि होगा जो दिए गए बिंदु के भुज और कोटि के निरपेक्ष मान के बराबर होगा, लेकिन संकेत में विपरीत. तो हमें मूल बिंदु के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं:

ए"(-3; -3) ;

बी"(-2; 4) ;

सी(2; -1) .

उदाहरण 8.

ए(4; 3; 5) ;

बी(-3; 2; 1) ;

सी(2; -3; 0) .

इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निर्देशांक खोजें:

1) हवाई जहाज़ पर ऑक्सी ;

2) हवाई जहाज़ पर ऑक्सज़ ;

3) विमान को ओयज़ ;

4) भुज अक्ष पर;

5) कोटि अक्ष पर;

6) आवेदन अक्ष पर।

1) एक बिंदु का समतल पर प्रक्षेपण ऑक्सीइस तल पर ही स्थित है, और इसलिए इसमें एक दिए गए बिंदु के भुज और कोटि के बराबर एक भुज और कोटि है, और शून्य के बराबर एक अनुप्रयोग है। तो हमें इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ऑक्सी :

एxy (4; 3; 0);

बीxy (-3; 2; 0);

सीxy(2;-3;0).

2) एक बिंदु का समतल पर प्रक्षेपण ऑक्सज़इस तल पर ही स्थित है, और इसलिए इसमें दिए गए बिंदु के भुज और अनुपूरक के बराबर एक भुज और अनुपूरक है, और शून्य के बराबर एक कोटि है। तो हमें इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ऑक्सज़ :

एxz (4; 0; 5);

बीxz (-3; 0; 1);

सीxz (2; 0; 0).

3) एक बिंदु का समतल पर प्रक्षेपण ओयज़इस तल पर ही स्थित है, और इसलिए इसकी कोटि और अनुपूरक किसी दिए गए बिंदु की कोटि और अनुप्रयुक्त के बराबर है, और भुज शून्य के बराबर है। तो हमें इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ओयज़ :

एyz(0; 3; 5);

बीyz (0; 2; 1);

सीyz (0; -3; 0).

4) इस पाठ के सैद्धांतिक भाग के अनुसार, भुज अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण भुज अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष बैल, और इसलिए इसका भुज स्वयं बिंदु के भुज के बराबर होता है, और प्रक्षेपण की कोटि और अनुप्रयुक्त अक्ष शून्य के बराबर होते हैं (क्योंकि कोटि और अनुप्रयुक्त अक्ष भुज को बिंदु 0 पर काटते हैं)। हम भुज अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

एएक्स(4;0;0);

बीएक्स (-3; 0; 0);

सीएक्स(2;0;0).

5) कोटि अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण कोटि अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष ओए, और इसलिए इसकी कोटि स्वयं बिंदु की कोटि के बराबर होती है, और प्रक्षेपण के भुज और अनुप्रयुक्त अक्ष शून्य के बराबर होते हैं (चूंकि भुज और अनुप्रयुक्त अक्ष कोटि अक्ष को बिंदु 0 पर काटते हैं)। हम कोटि अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

एआप(0; 3; 0);

बीय (0; 2; 0);

सीy(0;-3;0).

6) एप्लिकेट अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण एप्लिकेट अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष आउंस, और इसलिए इसका एप्लिकेट बिंदु के एप्लिकेट के बराबर है, और प्रक्षेपण का एब्सिस्सा और कोटि शून्य के बराबर है (चूंकि एब्सिस्सा और कोटि अक्ष एप्लिकेट अक्ष को बिंदु 0 पर काटते हैं)। हम अनुप्रयोग अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

एजेड (0; 0; 5);

बीजेड (0; 0; 1);

सीz(0; 0; 0).

उदाहरण 9.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, अंक अंतरिक्ष में दिए गए हैं

ए(2; 3; 1) ;

बी(5; -3; 2) ;

सी(-3; 2; -1) .

इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:

1) विमान ऑक्सी ;

2) विमान ऑक्सज़ ;

3) विमान ओयज़ ;

4) भुज कुल्हाड़ियाँ;

5) कोर्डिनेट कुल्हाड़ियाँ;

6) कुल्हाड़ियों को लागू करें;

7) निर्देशांक की उत्पत्ति.

1) बिंदु को अक्ष के दूसरी ओर "स्थानांतरित करें"। ऑक्सी ऑक्सी, किसी दिए गए बिंदु के भुज और कोटि के बराबर एक भुज और कोटि होगा, और एक दिए गए बिंदु के भुज और कोटि के परिमाण के बराबर एक ऐप्लिकेट होगा, लेकिन चिह्न में विपरीत होगा। तो, हमें विमान के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ऑक्सी :

ए"(2; 3; -1) ;

बी"(5; -3; -2) ;

सी"(-3; 2; 1) .

2) बिंदु को अक्ष के दूसरी ओर "स्थानांतरित करें"। ऑक्सज़समान दूरी तक. निर्देशांक स्थान प्रदर्शित करने वाले चित्र से, हम देखते हैं कि अक्ष के सापेक्ष एक बिंदु सममित है ऑक्सज़, एक भुज होगा और किसी दिए गए बिंदु के भुज और अनुप्रयुक्त के बराबर होगा, और एक कोटि किसी दिए गए बिंदु की कोटि के परिमाण के बराबर होगा, लेकिन चिह्न में विपरीत होगा। तो, हमें विमान के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ऑक्सज़ :

ए"(2; -3; 1) ;

बी"(5; 3; 2) ;

सी"(-3; -2; -1) .

3) बिंदु को अक्ष के दूसरी ओर "स्थानांतरित करें"। ओयज़समान दूरी तक. निर्देशांक स्थान प्रदर्शित करने वाले चित्र से, हम देखते हैं कि अक्ष के सापेक्ष एक बिंदु सममित है ओयज़, किसी दिए गए बिंदु के कोटि और एप्लिकेट के बराबर एक कोटि और एक अनुप्रयुक्त होगा, और एक भुज किसी दिए गए बिंदु के भुज के मान के बराबर होगा, लेकिन चिह्न में विपरीत होगा। तो, हमें विमान के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ओयज़ :

ए"(-2; 3; 1) ;

बी"(-5; -3; 2) ;

सी"(3; 2; -1) .

समतल पर सममित बिंदुओं और अंतरिक्ष में बिंदुओं के अनुरूप, जो विमानों के सापेक्ष डेटा के सममित हैं, हम ध्यान दें कि अंतरिक्ष में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के कुछ अक्ष के संबंध में समरूपता के मामले में, अक्ष पर समन्वय के संबंध में जो समरूपता दी गई है वह अपना चिह्न बनाए रखेगी, और अन्य दो अक्षों पर निर्देशांक निरपेक्ष मान में किसी दिए गए बिंदु के निर्देशांक के समान होंगे, लेकिन चिह्न में विपरीत होंगे।

4) भुज अपना चिह्न बनाए रखेगा, लेकिन कोटि और अनुप्रयुक्त चिह्न बदल देंगे। तो, हम भुज अक्ष के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

ए"(2; -3; -1) ;

बी"(5; 3; -2) ;

सी"(-3; -2; 1) .

5) कोटि अपना चिन्ह बनाए रखेगी, लेकिन भुज और एप्लिकेट चिन्ह बदल देंगे। तो, हम कोटि अक्ष के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

ए"(-2; 3; -1) ;

बी"(-5; -3; -2) ;

सी"(3; 2; 1) .

6) आवेदक अपना चिह्न बनाए रखेगा, लेकिन भुज और कोटि चिह्न बदल देंगे। तो, हम आवेदक अक्ष के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

ए"(-2; -3; 1) ;

बी"(-5; 3; 2) ;

सी"(3; -2; -1) .

7) किसी समतल पर बिंदुओं के मामले में समरूपता के अनुरूप, निर्देशांक की उत्पत्ति के बारे में समरूपता के मामले में, किसी दिए गए बिंदु के सममित बिंदु के सभी निर्देशांक किसी दिए गए बिंदु के निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होंगे, लेकिन संकेत में उनके विपरीत. तो, हम मूल बिंदु के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं।