साधारण अंतर समीकरण एक समीकरण कहा जाता है जो एक स्वतंत्र चर, इस चर के एक अज्ञात फ़ंक्शन और विभिन्न आदेशों के व्युत्पन्न (या अंतर) को जोड़ता है।

विभेदक समीकरण का क्रम इसमें निहित उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

सामान्य समीकरणों के अलावा, आंशिक व्युत्पन्न वाले विभेदक समीकरणों का भी अध्ययन किया जाता है। ये स्वतंत्र चरों से संबंधित समीकरण हैं, इन चरों का एक अज्ञात फलन और समान चरों के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न हैं। लेकिन हम सिर्फ विचार करेंगे सामान्य अवकल समीकरण और इसलिए हम संक्षिप्तता के लिए "सामान्य" शब्द को छोड़ देंगे।

विभेदक समीकरणों के उदाहरण:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

समीकरण (1) चौथे क्रम का है, समीकरण (2) तीसरे क्रम का है, समीकरण (3) और (4) दूसरे क्रम का है, समीकरण (5) पहले क्रम का है।

अंतर समीकरण एनऑर्डर में स्पष्ट रूप से एक फ़ंक्शन, उसके पहले से लेकर सभी डेरिवेटिव शामिल होने की आवश्यकता नहीं है एनवां क्रम और एक स्वतंत्र चर। इसमें स्पष्ट रूप से कुछ आदेशों, एक फ़ंक्शन, एक स्वतंत्र चर के डेरिवेटिव शामिल नहीं हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण (1) में स्पष्ट रूप से तीसरे और दूसरे क्रम के व्युत्पन्न, साथ ही फ़ंक्शन नहीं हैं; समीकरण (2) में - दूसरे क्रम का व्युत्पन्न और कार्य; समीकरण (4) में - स्वतंत्र चर; समीकरण (5) में - कार्य। केवल समीकरण (3) में स्पष्ट रूप से सभी व्युत्पन्न, फ़ंक्शन और स्वतंत्र चर शामिल हैं।

अवकल समीकरण को हल करके किसी फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है वाई = एफ(एक्स), जिसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, यह एक पहचान में बदल जाता है।

किसी अवकल समीकरण का हल ढूंढने की प्रक्रिया को उसका कहा जाता है एकीकरण.

उदाहरण 1अवकल समीकरण का हल खोजें.

समाधान। हम इस समीकरण को इस रूप में लिखते हैं। समाधान यह है कि फ़ंक्शन को उसके व्युत्पन्न द्वारा खोजा जाए। मूल फलन, जैसा कि समाकलन कलन से ज्ञात होता है, इसका प्रतिअवकलन है, अर्थात्।

यह वही है दिए गए अंतर समीकरण का समाधान . इसमें परिवर्तन हो रहा है सी, हमें अलग-अलग समाधान मिलेंगे। हमने पाया कि प्रथम-क्रम अवकल समीकरण के अनंत संख्या में समाधान हैं।

अवकल समीकरण का सामान्य समाधान एनवां क्रम इसका समाधान है जो अज्ञात फ़ंक्शन और युक्त के संबंध में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया गया है एनस्वतंत्र मनमाना स्थिरांक, अर्थात्

उदाहरण 1 में अवकल समीकरण का समाधान सामान्य है।

अवकल समीकरण का आंशिक समाधान इसका समाधान कहलाता है, जिसमें मनमाने स्थिरांकों को विशिष्ट संख्यात्मक मान निर्दिष्ट किये जाते हैं।

उदाहरण 2अवकल समीकरण का सामान्य समाधान और एक विशेष समाधान खोजें .

समाधान। हम समीकरण के दोनों भागों को इतनी बार एकीकृत करते हैं कि अंतर समीकरण का क्रम बराबर हो जाता है।

,

.

परिणामस्वरूप, हमें सामान्य समाधान मिला -

तीसरे क्रम का अंतर समीकरण दिया गया है।

आइए अब निर्दिष्ट शर्तों के तहत एक विशेष समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, हम मनमाने गुणांकों के स्थान पर उनके मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं

.

यदि अवकल समीकरण के अतिरिक्त प्रारंभिक स्थिति को रूप में दिया जाए तो ऐसी समस्या कहलाती है कॉची समस्या . मानों को समीकरण के सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित किया जाता है और एक मनमाना स्थिरांक का मान पाया जाता है सी, और फिर पाए गए मान के लिए समीकरण का एक विशेष समाधान सी. यह कॉची समस्या का समाधान है.

उदाहरण 3शर्त के तहत उदाहरण 1 से अवकल समीकरण के लिए कॉची समस्या को हल करें।

समाधान। हम प्रारंभिक स्थिति से मूल्यों को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं य = 3, एक्स= 1. हमें मिलता है

हम पहले क्रम के दिए गए अंतर समीकरण के लिए कॉची समस्या का समाधान लिखते हैं:

अंतर समीकरणों को हल करने के लिए, यहां तक ​​कि सबसे सरल समीकरणों को भी, जटिल कार्यों सहित, एकीकृत करने और डेरिवेटिव लेने में अच्छे कौशल की आवश्यकता होती है। इसे निम्नलिखित उदाहरण में देखा जा सकता है।

उदाहरण 4अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

समाधान। समीकरण इस प्रकार लिखा गया है कि दोनों पक्षों को तुरंत एकीकृत किया जा सके।

.

हम चर (प्रतिस्थापन) को बदलकर एकीकरण की विधि लागू करते हैं। चलो, फिर.

लेना आवश्यक है डीएक्सऔर अब - ध्यान - हम इसे एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियमों के अनुसार करते हैं एक्सऔर एक जटिल कार्य है ("सेब" - वर्गमूल निकालना या, जो समान है - "एक सेकंड" की शक्ति तक बढ़ाना, और "कीमा बनाया हुआ मांस" - जड़ के नीचे ही अभिव्यक्ति):

हम अभिन्न पाते हैं:

वेरिएबल पर लौटना एक्स, हम पाते हैं:

.

यह प्रथम डिग्री के इस अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है।

अंतर समीकरणों को हल करने के लिए न केवल उच्च गणित के पिछले अनुभागों के कौशल की आवश्यकता होगी, बल्कि प्रारंभिक यानी स्कूली गणित के कौशल की भी आवश्यकता होगी। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी भी क्रम के अंतर समीकरण में एक स्वतंत्र चर, यानी एक चर नहीं हो सकता है एक्स. स्कूल बेंच से अनुपात के बारे में जो ज्ञान भुलाया नहीं गया है (हालाँकि, किसी के पास भी ऐसा है) इस समस्या को हल करने में मदद करेगा। यह अगला उदाहरण है.

भौतिकी की कुछ समस्याओं में, प्रक्रिया का वर्णन करने वाली मात्राओं के बीच सीधा संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है। लेकिन अध्ययन के तहत कार्यों के व्युत्पन्न युक्त समानता प्राप्त करने की संभावना है। इस प्रकार विभेदक समीकरण उत्पन्न होते हैं और किसी अज्ञात फ़ंक्शन को खोजने के लिए उन्हें हल करने की आवश्यकता होती है।

यह आलेख उन लोगों के लिए है जो एक अंतर समीकरण को हल करने की समस्या का सामना कर रहे हैं जिसमें अज्ञात फ़ंक्शन एक चर का एक फ़ंक्शन है। सिद्धांत इस तरह से बनाया गया है कि अंतर समीकरणों की शून्य समझ के साथ, आप अपना काम कर सकते हैं।

प्रत्येक प्रकार के विभेदक समीकरण विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के विस्तृत स्पष्टीकरण और समाधान के साथ एक समाधान विधि से जुड़े होते हैं। आपको बस अपनी समस्या के विभेदक समीकरण के प्रकार को निर्धारित करना है, एक समान विश्लेषित उदाहरण ढूंढना है और समान कार्य करना है।

अवकल समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको विभिन्न कार्यों के प्रतिअवकलन (अनिश्चित अभिन्न) के सेट खोजने की क्षमता की भी आवश्यकता होगी। यदि आवश्यक हो, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप अनुभाग देखें।

सबसे पहले, पहले क्रम के साधारण अंतर समीकरणों के प्रकारों पर विचार करें जिन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है, फिर हम दूसरे क्रम के ओडीई पर आगे बढ़ेंगे, फिर हम उच्च-क्रम समीकरणों पर ध्यान केंद्रित करेंगे और अंतर समीकरणों की प्रणालियों के साथ समाप्त करेंगे।

याद रखें कि यदि y तर्क x का एक फ़ंक्शन है।

प्रथम कोटि अवकल समीकरण.

प्रपत्र के पहले क्रम का सबसे सरल अंतर समीकरण।

आइए हम ऐसे DE के कई उदाहरण लिखें .

विभेदक समीकरण समानता के दोनों पक्षों को f(x) से विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है। इस मामले में, हम समीकरण पर पहुंचते हैं, जो f(x) ≠ 0 के लिए मूल समीकरण के बराबर होगा। ऐसे ODE के उदाहरण हैं।

यदि तर्क x के मान हैं जिसके लिए फ़ंक्शन f(x) और g(x) एक साथ गायब हो जाते हैं, तो अतिरिक्त समाधान दिखाई देते हैं। समीकरण के अतिरिक्त समाधान दिए गए x उन तर्क मानों के लिए परिभाषित कोई फ़ंक्शन हैं। ऐसे विभेदक समीकरणों के उदाहरण हैं।

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण।

लगातार गुणांक के साथ दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय विभेदक समीकरण।

स्थिर गुणांकों वाला LODE एक बहुत ही सामान्य प्रकार का विभेदक समीकरण है। इनका समाधान विशेष कठिन नहीं है। सबसे पहले, विशेषता समीकरण की जड़ें पाई जाती हैं . विभिन्न पी और क्यू के लिए, तीन मामले संभव हैं: विशेषता समीकरण की जड़ें वास्तविक और भिन्न, वास्तविक और संयोगी हो सकती हैं या जटिल संयुग्म. अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों के मान के आधार पर अवकल समीकरण का सामान्य हल इस प्रकार लिखा जाता है , या , या क्रमशः।

उदाहरण के लिए, स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण पर विचार करें। उसके अभिलक्षणिक समीकरण के मूल k 1 = -3 और k 2 = 0 हैं। जड़ें वास्तविक और भिन्न हैं, इसलिए, स्थिर गुणांक वाले एलडीई का सामान्य समाधान है


स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण।

स्थिर गुणांक y के साथ दूसरे क्रम के LIDE का सामान्य समाधान संबंधित LODE के सामान्य समाधान के योग के रूप में मांगा जाता है और मूल अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान, अर्थात। पिछला पैराग्राफ स्थिर गुणांक वाले सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान खोजने के लिए समर्पित है। और एक विशेष समाधान या तो मूल समीकरण के दाईं ओर खड़े फ़ंक्शन एफ (एक्स) के एक निश्चित रूप के लिए अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा, या मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।

स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के एलआईडीई के उदाहरण के रूप में, हम प्रस्तुत करते हैं


सिद्धांत को समझने और उदाहरणों के विस्तृत समाधानों से परिचित होने के लिए, हम आपको पृष्ठ पर निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण प्रदान करते हैं।

रैखिक सजातीय विभेदक समीकरण (LODEs) और दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण (LNDEs)।

इस प्रकार के विभेदक समीकरणों का एक विशेष मामला स्थिर गुणांक वाले LODE और LODE हैं।

एक निश्चित अंतराल पर LODE का सामान्य समाधान इस समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र विशेष समाधान y 1 और y 2 के रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जाता है, अर्थात, .

मुख्य कठिनाई इस प्रकार के विभेदक समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान खोजने में है। आमतौर पर, विशेष समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र कार्यों की निम्नलिखित प्रणालियों से चुने जाते हैं:


हालाँकि, विशेष समाधान हमेशा इस रूप में प्रस्तुत नहीं किए जाते हैं।

LODU का एक उदाहरण है .

LIDE का सामान्य समाधान फॉर्म में खोजा जाता है, जहां संबंधित LODE का सामान्य समाधान होता है, और मूल अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान होता है। हमने अभी खोजने के बारे में बात की है, लेकिन इसे मनमाने स्थिरांकों की भिन्नता की विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

एलएनडीई का एक उदाहरण है .

उच्च क्रम विभेदक समीकरण.

क्रम में कमी को स्वीकार करने वाले विभेदक समीकरण।

विभेदक समीकरण का क्रम , जिसमें k-1 क्रम तक वांछित फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव शामिल नहीं हैं, को प्रतिस्थापित करके n-k तक कम किया जा सकता है।

इस मामले में, और मूल अंतर समीकरण कम हो जाता है। इसका समाधान p(x) खोजने के बाद, प्रतिस्थापन पर वापस लौटना और अज्ञात फ़ंक्शन y निर्धारित करना बाकी है।

उदाहरण के लिए, विभेदक समीकरण प्रतिस्थापन के बाद एक पृथक्करणीय समीकरण बन जाता है, और इसका क्रम तीसरे से पहले तक कम हो जाता है।

I. साधारण अंतर समीकरण

1.1. बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ

अवकल समीकरण एक ऐसा समीकरण है जो एक स्वतंत्र चर से संबंधित होता है एक्स, वांछित कार्य यऔर इसके व्युत्पन्न या अंतर।

प्रतीकात्मक रूप से, अंतर समीकरण इस प्रकार लिखा गया है:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

यदि वांछित फ़ंक्शन एक स्वतंत्र चर पर निर्भर करता है तो एक अंतर समीकरण को साधारण कहा जाता है।

अवकल समीकरण को हल करकेएक फ़ंक्शन कहा जाता है जो इस समीकरण को एक पहचान में बदल देता है।

विभेदक समीकरण का क्रमइस समीकरण में उच्चतम अवकलज का क्रम है

उदाहरण।

1. प्रथम कोटि अवकल समीकरण पर विचार करें

इस समीकरण का हल फलन y = 5 ln x है। दरअसल, प्रतिस्थापित करके य"समीकरण में, हमें मिलता है - एक पहचान।

और इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन y = 5 ln x– इस अंतर समीकरण का समाधान है।

2. दूसरे क्रम के अंतर समीकरण पर विचार करें y" - 5y" + 6y = 0. फलन इस समीकरण का हल है.

वास्तव में, ।

इन भावों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: - पहचान।

और इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन इस अंतर समीकरण का समाधान है।

विभेदक समीकरणों का एकीकरणविभेदक समीकरणों का समाधान खोजने की प्रक्रिया है।

अवकल समीकरण का सामान्य समाधानप्रपत्र का एक फ़ंक्शन कहा जाता है , जिसमें समीकरण के क्रम के अनुसार कई स्वतंत्र मनमाना स्थिरांक शामिल हैं।

अवकल समीकरण का आंशिक समाधानमनमाना स्थिरांकों के विभिन्न संख्यात्मक मानों के लिए सामान्य समाधान से प्राप्त समाधान कहा जाता है। मनमाना स्थिरांक के मान तर्क और फ़ंक्शन के कुछ प्रारंभिक मानों पर पाए जाते हैं।

अवकल समीकरण के किसी विशेष समाधान का ग्राफ कहलाता है अभिन्न वक्र.

उदाहरण

1. प्रथम-क्रम अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें

xdx + ydy = 0, अगर य= 4 बजे एक्स = 3.

समाधान। समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, हम पाते हैं

टिप्पणी। एकीकरण के परिणामस्वरूप प्राप्त एक मनमाना स्थिरांक C को आगे के परिवर्तनों के लिए सुविधाजनक किसी भी रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। इस मामले में, वृत्त के विहित समीकरण को ध्यान में रखते हुए, एक मनमाना स्थिरांक С को रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है।

अवकल समीकरण का सामान्य समाधान है।

किसी समीकरण का एक विशेष समाधान जो प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है य = 4 बजे एक्स प्रारंभिक स्थितियों को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करके सामान्य से = 3 पाया जाता है: 3 2 + 4 2 = सी 2 ; सी=5.

सामान्य समाधान में C=5 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है x2+y2 = 5 2 .

यह दी गई प्रारंभिक शर्तों के तहत सामान्य समाधान से प्राप्त अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान है।

2. अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए

इस समीकरण का हल फॉर्म का कोई भी फ़ंक्शन है, जहां सी एक मनमाना स्थिरांक है। वास्तव में, समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: , .

इसलिए, इस अंतर समीकरण में अनंत संख्या में समाधान हैं, क्योंकि स्थिरांक C के विभिन्न मानों के लिए, समानता समीकरण के विभिन्न समाधान निर्धारित करती है।

उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि कार्य समीकरण के समाधान हैं.

एक समस्या जिसमें समीकरण का एक विशेष समाधान खोजना आवश्यक है y" = f(x, y)प्रारंभिक शर्त को पूरा करना y(x0) = y0, कॉची समस्या कहलाती है।

समीकरण समाधान y" = f(x, y), प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करते हुए, y(x0) = y0, को कॉची समस्या का समाधान कहा जाता है।

कॉची समस्या के समाधान का एक सरल ज्यामितीय अर्थ है। दरअसल, इन परिभाषाओं के अनुसार, कॉची समस्या को हल करना है y" = f(x, y)मान लें कि y(x0) = y0, का अर्थ है समीकरण का अभिन्न वक्र ज्ञात करना y" = f(x, y)जो किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरता है M0 (x0,य 0).

द्वितीय. प्रथम कोटि अवकल समीकरण

2.1. बुनियादी अवधारणाओं

प्रथम-क्रम अवकल समीकरण एक प्रकार का समीकरण है एफ(एक्स,वाई,वाई") = 0.

पहले क्रम के अंतर समीकरण में पहला व्युत्पन्न शामिल है और इसमें उच्च क्रम के व्युत्पन्न शामिल नहीं हैं।

समीकरण y" = f(x, y)अवकलज के संबंध में हल किया गया प्रथम-क्रम समीकरण कहलाता है।

प्रथम-क्रम विभेदक समीकरण का एक सामान्य समाधान फॉर्म का एक फ़ंक्शन है, जिसमें एक मनमाना स्थिरांक होता है।

उदाहरण।प्रथम कोटि अवकल समीकरण पर विचार करें।

इस समीकरण का हल फलन है।

वास्तव में, इस समीकरण को इसके मान से प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

वह है 3x=3x

इसलिए, फ़ंक्शन किसी भी स्थिरांक C के लिए समीकरण का एक सामान्य समाधान है।

इस समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता हो y(1)=1प्रारंभिक शर्तों को प्रतिस्थापित करना x=1, y=1समीकरण के सामान्य समाधान में, हम कहाँ से प्राप्त करते हैं सी=0.

इस प्रकार, हम इस समीकरण में परिणामी मान को प्रतिस्थापित करके सामान्य समाधान से एक विशेष समाधान प्राप्त करते हैं सी=0एक निजी निर्णय है.

2.2. वियोज्य चरों के साथ विभेदक समीकरण

वियोज्य चरों वाला एक विभेदक समीकरण इस प्रकार का एक समीकरण है: y"=f(x)g(y)या अंतर के माध्यम से, कहाँ एफ(एक्स)और जी(वाई)फ़ंक्शन दिए गए हैं.

उन लोगों के लिए य, जिसके लिए , समीकरण y"=f(x)g(y)समीकरण के समतुल्य है जिसमें वेरिएबल यकेवल बाईं ओर मौजूद है, और चर x केवल दाईं ओर मौजूद है। वे कहते हैं, "समीकरण में y"=f(x)g(yचरों को अलग करना।

समीकरण टाइप करें पृथक् चर समीकरण कहलाता है।

समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करने के बाद द्वारा एक्स, हम पाते हैं जी(वाई) = एफ(एक्स) + सीसमीकरण का सामान्य समाधान है, जहाँ जी(वाई)और एफ(एक्स)क्रमशः कार्यों और के कुछ प्रतिअवकलन हैं एफ(एक्स), सीमनमाना स्थिरांक.

वियोज्य चरों के साथ प्रथम-क्रम विभेदक समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम

उदाहरण 1

प्रश्न हल करें y" = xy

समाधान। किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न य"के साथ बदलें

हम वेरिएबल्स को अलग करते हैं

आइए समानता के दोनों भागों को एकीकृत करें:

उदाहरण 2

2yy" = 1- 3x 2, अगर य 0 = 3पर x0 = 1

यह एक पृथक चर समीकरण है. आइए इसे भिन्न-भिन्न रूपों में प्रस्तुत करें। ऐसा करने के लिए, हम इस समीकरण को इस रूप में फिर से लिखते हैं यहाँ से

अंतिम समानता के दोनों भागों को एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं

प्रारंभिक मानों को प्रतिस्थापित करना एक्स 0 = 1, वाई 0 = 3खोजो साथ 9=1-1+सी, अर्थात। सी = 9.

अत: वांछित आंशिक समाकलन होगा या

उदाहरण 3

एक बिंदु से गुजरने वाले वक्र के लिए एक समीकरण लिखें एम(2;-3)और ढलान के साथ एक स्पर्शरेखा है

समाधान। शर्त के अनुसार

यह एक वियोज्य चर समीकरण है. चरों को विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करने पर, हमें मिलता है:

प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करते हुए, एक्स=2और y=-3खोजो सी:

अत: वांछित समीकरण का स्वरूप है

2.3. प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण

प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण एक प्रकार का समीकरण है y" = f(x)y + g(x)

कहाँ एफ(एक्स)और जी(एक्स)- कुछ दिए गए कार्य।

अगर जी(एक्स)=0तब रैखिक अवकल समीकरण को सजातीय कहा जाता है और इसका रूप होता है: y" = f(x)y

यदि तब समीकरण y" = f(x)y + g(x)विषमांगी कहा जाता है.

एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान y" = f(x)yसूत्र द्वारा दिया गया: कहाँ साथएक मनमाना स्थिरांक है.

विशेषकर, यदि सी = 0,तो समाधान है y=0यदि रैखिक सजातीय समीकरण का रूप है y" = kyकहाँ ककुछ स्थिरांक है, तो उसके सामान्य समाधान का रूप है: .

एक रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण का सामान्य समाधान y" = f(x)y + g(x)सूत्र द्वारा दिया गया है ,

वे। संगत रैखिक सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान और इस समीकरण के विशेष समाधान के योग के बराबर है।

प्रपत्र के एक रैखिक अमानवीय समीकरण के लिए y" = kx + b,

कहाँ कऔर बी- कुछ संख्याएँ और एक विशेष समाधान एक स्थिर फलन होगा। इसलिए, सामान्य समाधान का रूप है।

उदाहरण. प्रश्न हल करें y" + 2y +3 = 0

समाधान। हम समीकरण को प्रपत्र में निरूपित करते हैं y" = -2y - 3कहाँ k=-2, b=-3सामान्य समाधान सूत्र द्वारा दिया गया है।

इसलिए, जहां C एक मनमाना स्थिरांक है।

2.4. बर्नौली विधि द्वारा प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरणों का समाधान

प्रथम-क्रम रैखिक विभेदक समीकरण का सामान्य समाधान ढूँढना y" = f(x)y + g(x)प्रतिस्थापन का उपयोग करके अलग-अलग चर वाले दो अंतर समीकरणों को हल करना कम हो जाता है y=यूवी, कहाँ यूऔर वी- से अज्ञात कार्य एक्स. इस समाधान विधि को बर्नौली विधि कहा जाता है।

प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम

y" = f(x)y + g(x)

1. एक प्रतिस्थापन दर्ज करें y=यूवी.

2. इस समानता को विभेदित कीजिए y"=u"v + uv"

3. स्थानापन्न यऔर य"इस समीकरण में: यू"वी + यूवी" =एफ(एक्स)यूवी + जी(एक्स)या यू"वी + यूवी" + एफ(एक्स)यूवी = जी(एक्स).

4. समीकरण के पदों को इस प्रकार समूहित करें यूइसे कोष्ठक से बाहर निकालें:

5. कोष्ठक से शून्य के बराबर करके फलन ज्ञात कीजिए

यह एक अलग करने योग्य समीकरण है:

चरों को विभाजित करें और प्राप्त करें:

कहाँ . .

6. प्राप्त मूल्य को प्रतिस्थापित करें वीसमीकरण में (आइटम 4 से):

और फ़ंक्शन ढूंढें यह एक अलग करने योग्य समीकरण है:

7. सामान्य समाधान इस रूप में लिखें: , अर्थात। .

उदाहरण 1

समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें y" = -2y +3 = 0अगर आप=1पर एक्स=0

समाधान। आइए इसे प्रतिस्थापन के साथ हल करें y=यूवी,.y"=u"v + uv"

स्थानापन्न यऔर य"इस समीकरण में, हम पाते हैं

समीकरण के बाईं ओर दूसरे और तीसरे पदों को समूहीकृत करते हुए, हम उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं यू कोष्ठक से बाहर

हम कोष्ठक में दिए गए व्यंजक को शून्य के बराबर करते हैं और, परिणामी समीकरण को हल करने के बाद, हम फ़ंक्शन पाते हैं वी = वी(एक्स)

हमें अलग-अलग चरों वाला एक समीकरण मिला। हम इस समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं: फ़ंक्शन खोजें वी:

परिणामी मान को प्रतिस्थापित करें वीसमीकरण में हमें मिलता है:

यह एक पृथक चर समीकरण है. हम समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं: आइए फ़ंक्शन ढूंढें यू = यू(एक्स,सी) आइए एक सामान्य समाधान खोजें: आइए हम समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता हो आप=1पर एक्स=0:

तृतीय. उच्च क्रम विभेदक समीकरण

3.1. बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ

दूसरे क्रम का अंतर समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें दूसरे क्रम से अधिक व्युत्पन्न नहीं होता है। सामान्य स्थिति में, दूसरे क्रम का अंतर समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है: एफ(एक्स,वाई,वाई",वाई") = 0

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का सामान्य समाधान फॉर्म का एक फ़ंक्शन है, जिसमें दो मनमाने स्थिरांक शामिल हैं सी 1और सी2.

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान मनमाना स्थिरांक के कुछ मूल्यों के लिए सामान्य से प्राप्त एक समाधान है सी 1और सी2.

3.2. दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण स्थिर अनुपात.

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम का रैखिक सजातीय अंतर समीकरणरूप का समीकरण कहलाता है y" + py" + qy = 0, कहाँ पीऔर क्यूस्थिर मूल्य हैं.

स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के सजातीय अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1. अवकल समीकरण को इस रूप में लिखें: y" + py" + qy = 0.

2. निरूपित करते हुए इसका अभिलक्षणिक समीकरण संकलित करें य"के माध्यम से आर2, य"के माध्यम से आर, यपहले में: आर2 + पीआर +क्यू = 0

प्रथम कोटि अवकल समीकरण. समाधान के उदाहरण.
वियोज्य चरों के साथ विभेदक समीकरण

विभेदक समीकरण (डीई)। ये दो शब्द आमतौर पर औसत आम आदमी को भयभीत कर देते हैं। विभेदक समीकरण कई छात्रों के लिए अपमानजनक और कठिन प्रतीत होते हैं। उउउउउउ...विभेदक समीकरण, मैं यह सब कैसे जीवित रहूँगा?!

ऐसी राय और ऐसा रवैया मौलिक रूप से गलत है, क्योंकि वास्तव में विभेदक समीकरण सरल और मज़ेदार भी हैं. अंतर समीकरणों को हल करने के लिए आपको क्या जानने और सीखने में सक्षम होने की आवश्यकता है? भिन्नताओं का सफलतापूर्वक अध्ययन करने के लिए, आपको एकीकृत और विभेदित करने में अच्छा होना चाहिए। विषयों का अध्ययन जितना बेहतर होगा एक चर के फ़ंक्शन का व्युत्पन्नऔर अनिश्चितकालीन अभिन्न, अंतर समीकरणों को समझना उतना ही आसान होगा। मैं और अधिक कहूंगा, यदि आपके पास कम या ज्यादा सभ्य एकीकरण कौशल है, तो विषय व्यावहारिक रूप से महारत हासिल है! विभिन्न प्रकार के जितने अधिक अभिन्न अंग आप हल कर सकेंगे, उतना बेहतर होगा। क्यों? आपको बहुत कुछ एकीकृत करना होगा. और अंतर करें. भी अत्यधिक सिफारिश किया जाता हैखोजना सीखो.

95% मामलों में, परीक्षण पत्रों में 3 प्रकार के प्रथम-क्रम अंतर समीकरण होते हैं: वियोज्य समीकरण, जिसे हम इस पाठ में शामिल करेंगे; सजातीय समीकरणऔर रैखिक अमानवीय समीकरण. डिफ्यूज़र का अध्ययन करने वाले शुरुआती लोगों के लिए, मैं आपको इस क्रम में पाठ पढ़ने की सलाह देता हूं, और पहले दो लेखों का अध्ययन करने के बाद, एक अतिरिक्त कार्यशाला में अपने कौशल को मजबूत करने में कोई दिक्कत नहीं होगी - समीकरण जो सजातीय को कम करते हैं.

अंतर समीकरणों के और भी दुर्लभ प्रकार हैं: कुल अंतर वाले समीकरण, बर्नौली के समीकरण और कुछ अन्य। पिछले दो प्रकारों में से, सबसे महत्वपूर्ण कुल अंतर में समीकरण हैं, क्योंकि इस डीई के अलावा, मैं नई सामग्री पर विचार कर रहा हूं - आंशिक एकीकरण.

अगर आपके पास सिर्फ एक या दो दिन ही बचे हैं, वह अति तीव्र तैयारी के लिएवहाँ है ब्लिट्ज कोर्सपीडीएफ प्रारूप में.

तो, मील के पत्थर निर्धारित हैं - आइए चलते हैं:

आइए सबसे पहले सामान्य बीजगणितीय समीकरणों को याद करें। उनमें चर और संख्याएँ होती हैं। सबसे सरल उदाहरण: . एक साधारण समीकरण को हल करने का क्या मतलब है? इसका मतलब है ढूंढना संख्याओं का सेटजो इस समीकरण को संतुष्ट करता है। यह देखना आसान है कि बच्चों के समीकरण का एक ही मूल है:। मनोरंजन के लिए, आइए जाँच करें, पाए गए मूल को हमारे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

- सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि समाधान सही पाया जाता है।

डिफ्यूज़ को लगभग उसी तरह से व्यवस्थित किया जाता है!

अंतर समीकरण पहले के आदेशसामान्य रूप में रोकना:
1) स्वतंत्र चर ;
2) आश्रित चर (फ़ंक्शन);
3) फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न:।

प्रथम क्रम के कुछ समीकरणों में, कोई "x" या (और) "y" नहीं हो सकता है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है - महत्वपूर्णताकि डीयू में थाप्रथम व्युत्पन्न, और नहीं थाउच्च आदेशों के व्युत्पन्न - आदि।

मतलब क्या है ?अवकल समीकरण को हल करने का अर्थ है खोजना सभी कार्यों का सेटजो इस समीकरण को संतुष्ट करता है। फ़ंक्शंस के ऐसे सेट में अक्सर फॉर्म (एक मनमाना स्थिरांक होता है) होता है, जिसे कहा जाता है विभेदक समीकरण का सामान्य समाधान.

उदाहरण 1

अवकल समीकरण हल करें

पूरा गोला बारूद. कहाँ से शुरू करें समाधान?

सबसे पहले, आपको व्युत्पन्न को थोड़े अलग रूप में फिर से लिखना होगा। हम उस बोझिल संकेतन को याद करते हैं, जिसे आपमें से कई लोग शायद हास्यास्पद और अनावश्यक मानते थे। यह वह है जो डिफ्यूज़र में नियम बनाता है!

दूसरे चरण में, आइए देखें कि क्या यह संभव है विभाजित चर?चरों को अलग करने का क्या मतलब है? मोटे तौर पर, बायीं तरफ परहमें जाना होगा केवल "खेल", ए दाहिने तरफ़आयोजन केवल एक्स. चरों का पृथक्करण "स्कूल" जोड़-तोड़ की मदद से किया जाता है: कोष्ठक, संकेत परिवर्तन के साथ शब्दों का एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरण, अनुपात के नियम के अनुसार कारकों का एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरण, आदि।

विभेदक और शत्रुता में पूर्ण गुणक और सक्रिय भागीदार हैं। इस उदाहरण में, अनुपात के नियम के अनुसार चरों को फ़्लिपिंग कारकों द्वारा आसानी से अलग किया जाता है:

वेरिएबल अलग हो गए हैं. बाईं ओर - केवल "गेम", दाईं ओर - केवल "X"।

अगला पड़ाव - विभेदक समीकरण एकीकरण. यह सरल है, हम दोनों भागों पर इंटीग्रल लटकाते हैं:

निःसंदेह, अभिन्नों को लिया जाना चाहिए। इस मामले में, वे सारणीबद्ध हैं:

जैसा कि हमें याद है, किसी भी प्रतिअवकलन को एक स्थिरांक निर्दिष्ट किया जाता है। यहाँ दो अभिन्न हैं, लेकिन अचर को एक बार लिखना ही पर्याप्त है (क्योंकि एक स्थिरांक + एक स्थिरांक अभी भी दूसरे स्थिरांक के बराबर है). ज्यादातर मामलों में, इसे दाहिनी ओर रखा जाता है।

कड़ाई से बोलते हुए, अभिन्नों को लेने के बाद, अंतर समीकरण को हल माना जाता है। बात केवल इतनी है कि हमारा "y" "x" से व्यक्त नहीं होता अर्थात समाधान प्रस्तुत होता है निहित मेंप्रपत्र। अवकल समीकरण का अन्तर्निहित समाधान कहलाता है विभेदक समीकरण का सामान्य अभिन्न अंग. अर्थात् सामान्य अभिन्न है।

इस रूप में उत्तर काफी स्वीकार्य है, लेकिन क्या कोई बेहतर विकल्प है? आइए पाने का प्रयास करें सामान्य निर्णय.

कृपया, पहली तकनीक याद रखें, यह बहुत आम है और अक्सर व्यावहारिक कार्यों में उपयोग किया जाता है: यदि एकीकरण के बाद एक लघुगणक दाहिनी ओर दिखाई देता है, तो कई मामलों में (लेकिन हमेशा नहीं!) लघुगणक के नीचे स्थिरांक लिखने की भी सलाह दी जाती है.

वह है, के बजायरिकार्ड आमतौर पर लिखे जाते हैं .

इसकी आवश्यकता क्यों है? और "y" को व्यक्त करना आसान बनाने के लिए। हम लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करते हैं . इस मामले में:

अब लघुगणक और मॉड्यूल को हटाया जा सकता है:

फ़ंक्शन स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया है. यह सामान्य समाधान है.

उत्तर: सामान्य निर्णय: .

कई विभेदक समीकरणों के उत्तर जांचना काफी आसान है। हमारे मामले में, यह काफी सरलता से किया जाता है, हम पाए गए समाधान को लेते हैं और इसे अलग करते हैं:

फिर हम व्युत्पन्न को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

- सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि सामान्य समाधान समीकरण को संतुष्ट करता है, जिसे जांचना आवश्यक था।

लगातार अलग-अलग मान देकर, आप अनंत संख्या प्राप्त कर सकते हैं निजी निर्णयअंतर समीकरण। यह स्पष्ट है कि कोई भी फ़ंक्शन, इत्यादि। विभेदक समीकरण को संतुष्ट करता है।

कभी-कभी सामान्य समाधान कहा जाता है कार्यों का परिवार. इस उदाहरण में, सामान्य समाधान रैखिक कार्यों का एक परिवार है, या बल्कि, प्रत्यक्ष आनुपातिकताओं का एक परिवार है।

पहले उदाहरण की विस्तृत चर्चा के बाद, अंतर समीकरणों के बारे में कुछ सरल प्रश्नों का उत्तर देना उचित होगा:

1)इस उदाहरण में, हम वेरिएबल्स को अलग करने में कामयाब रहे। क्या ऐसा करना हमेशा संभव है?नहीं हमेशा नहीं. और इससे भी अधिक बार चरों को अलग नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, में सजातीय प्रथम क्रम समीकरणपहले बदला जाना चाहिए. अन्य प्रकार के समीकरणों में, उदाहरण के लिए, पहले क्रम के एक रैखिक गैर-सजातीय समीकरण में, आपको सामान्य समाधान खोजने के लिए विभिन्न युक्तियों और विधियों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। पहले पाठ में हम जिन वियोज्य चर समीकरणों पर विचार करते हैं, वे सबसे सरल प्रकार के अवकल समीकरण हैं।

2) क्या विभेदक समीकरण को एकीकृत करना हमेशा संभव है?नहीं हमेशा नहीं. एक "फैंसी" समीकरण बनाना बहुत आसान है जिसे एकीकृत नहीं किया जा सकता है, इसके अलावा, ऐसे अभिन्न अंग भी हैं जिन्हें नहीं लिया जा सकता है। लेकिन ऐसे डीई को विशेष तरीकों का उपयोग करके लगभग हल किया जा सकता है। डी'अलेम्बर्ट और कॉची गारंटी देते हैं... ...उह, लर्कमोर.तो मैंने अभी बहुत कुछ पढ़ा है, मैंने लगभग "दूसरी दुनिया से" जोड़ दिया है।

3) इस उदाहरण में, हमने एक सामान्य समाकलन के रूप में एक समाधान प्राप्त किया है . क्या सामान्य अभिन्न से एक सामान्य समाधान खोजना हमेशा संभव है, अर्थात "y" को स्पष्ट रूप में व्यक्त करना?नहीं हमेशा नहीं. उदाहरण के लिए: । खैर, मैं यहाँ "y" कैसे व्यक्त कर सकता हूँ?! ऐसे मामलों में, उत्तर को सामान्य समाकलन के रूप में लिखा जाना चाहिए। इसके अलावा, कभी-कभी एक सामान्य समाधान पाया जा सकता है, लेकिन यह इतना बोझिल और अनाड़ी ढंग से लिखा जाता है कि उत्तर को सामान्य अभिन्न के रूप में छोड़ना बेहतर होता है

4)...शायद अभी के लिए काफी है। पहले उदाहरण में हम मिले एक और महत्वपूर्ण बिंदु, लेकिन नई जानकारी के हिमस्खलन के साथ "डमीज़" को कवर न करने के लिए, मैं इसे अगले पाठ तक छोड़ दूंगा।

चलो जल्दी मत करो. एक अन्य सरल रिमोट कंट्रोल और एक अन्य विशिष्ट समाधान:

उदाहरण 2

अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता हो

समाधान: स्थिति के अनुसार इसे ढूंढना आवश्यक है निजी समाधान DE जो दी गई प्रारंभिक शर्त को पूरा करता है। इस तरह की पूछताछ भी कही जाती है कॉची समस्या.

सबसे पहले, हम एक सामान्य समाधान ढूंढते हैं। समीकरण में कोई "x" चर नहीं है, लेकिन यह शर्मनाक नहीं होना चाहिए, मुख्य बात यह है कि इसमें पहला व्युत्पन्न है।

हम व्युत्पन्न को आवश्यक रूप में फिर से लिखते हैं:

जाहिर है, चरों को विभाजित किया जा सकता है, लड़के बाईं ओर, लड़कियां दाईं ओर:

हम समीकरण को एकीकृत करते हैं:

सामान्य समाकलन प्राप्त होता है। यहां मैंने एक उच्चारण तारे के साथ एक स्थिरांक बनाया, तथ्य यह है कि बहुत जल्द यह एक और स्थिरांक में बदल जाएगा।

अब हम सामान्य अभिन्न को एक सामान्य समाधान (स्पष्ट रूप से "y" व्यक्त करें) में बदलने का प्रयास कर रहे हैं। हमें पुराना, अच्छा, स्कूल याद है: . इस मामले में:

संकेतक में स्थिरांक किसी तरह कोषेर नहीं दिखता है, इसलिए इसे आमतौर पर स्वर्ग से पृथ्वी पर उतारा जाता है। विस्तार से ऐसा होता है. डिग्री की संपत्ति का उपयोग करके, हम फ़ंक्शन को निम्नानुसार फिर से लिखते हैं:

यदि एक अचर है, तो कुछ अचर भी है, इसे अक्षर से पुन: नामित करें:

याद रखें एक स्थिरांक का "विध्वंस" है दूसरी तकनीक, जिसका उपयोग अक्सर अंतर समीकरणों को हल करने के दौरान किया जाता है।

तो सामान्य समाधान यह है: घातीय कार्यों का इतना अच्छा परिवार।

अंतिम चरण में, आपको एक विशेष समाधान ढूंढना होगा जो दी गई प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता हो। यह सरल भी है.

कार्य क्या है? लेने की जरूरत है ऐसाशर्त को पूरा करने के लिए स्थिरांक का मान।

आप इसे अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं, लेकिन सबसे अधिक समझने योग्य, शायद, इस तरह होगा। सामान्य समाधान में, "x" के स्थान पर हम शून्य और "y" के स्थान पर दो प्रतिस्थापित करते हैं:



वह है,

मानक डिज़ाइन संस्करण:

अब हम स्थिरांक के पाए गए मान को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं:
- यह वह विशेष समाधान है जिसकी हमें आवश्यकता है।

उत्तर: निजी समाधान:

चलो एक जाँच करते हैं. किसी विशेष समाधान के सत्यापन में दो चरण शामिल हैं:

सबसे पहले, यह जांचना आवश्यक है कि क्या पाया गया विशेष समाधान वास्तव में प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है? "x" के स्थान पर हम शून्य डालते हैं और देखते हैं कि क्या होता है:
- हाँ, वास्तव में, एक ड्यूस प्राप्त हुआ था, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक स्थिति पूरी हो गई है।

दूसरा चरण पहले से ही परिचित है. हम परिणामी विशेष समाधान लेते हैं और व्युत्पन्न पाते हैं:

मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

- सही समानता प्राप्त होती है.

निष्कर्ष: विशेष समाधान सही ढंग से पाया गया है।

आइए अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर आगे बढ़ें।

उदाहरण 3

अवकल समीकरण हल करें

समाधान:हम व्युत्पन्न को उस रूप में फिर से लिखते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है:

यह आकलन करना कि क्या चरों को अलग किया जा सकता है? कर सकना। हम दूसरे पद को एक चिह्न परिवर्तन के साथ दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

और हम अनुपात के नियम के अनुसार कारकों को पलटते हैं:

चर अलग हो गए हैं, आइए दोनों भागों को एकीकृत करें:

मुझे तुम्हें चेतावनी देनी चाहिए, फैसले का दिन आ रहा है। अगर आपने अच्छे से नहीं सीखा है अनिश्चितकालीन अभिन्न, कुछ उदाहरण हल किए, फिर कहीं नहीं जाना है - अब आपको उनमें महारत हासिल करनी होगी।

बाईं ओर का अभिन्न अंग ढूंढना आसान है, कोटैंजेंट के अभिन्न अंग के साथ हम उस मानक तकनीक से निपटते हैं जिस पर हमने पाठ में विचार किया था त्रिकोणमितीय कार्यों का एकीकरणपिछले साल:

दाईं ओर, हमारे पास एक लघुगणक है, और, मेरी पहली तकनीकी अनुशंसा के अनुसार, लघुगणक के अंतर्गत स्थिरांक भी लिखा जाना चाहिए।

अब हम सामान्य समाकलन को सरल बनाने का प्रयास करते हैं। चूँकि हमारे पास केवल लघुगणक हैं, इसलिए उनसे छुटकारा पाना काफी संभव (और आवश्यक) है। का उपयोग करके ज्ञात गुणलघुगणक को अधिकतम "पैक" करें। मैं विस्तार से लिखूंगा:

पैकेजिंग पूरी तरह से बर्बरतापूर्वक फटी हुई है:

क्या "y" को व्यक्त करना संभव है? कर सकना। दोनों हिस्से चौकोर होने चाहिए.

लेकिन आपको ऐसा करने की ज़रूरत नहीं है.

तीसरी तकनीकी युक्ति:यदि एक सामान्य समाधान प्राप्त करने के लिए आपको शक्ति बढ़ाने या जड़ें जमाने की आवश्यकता है, तो अधिकतर परिस्थितियों मेंआपको इन कार्यों से बचना चाहिए और उत्तर को सामान्य अभिन्न के रूप में छोड़ देना चाहिए। तथ्य यह है कि सामान्य समाधान बहुत ही भयानक लगेगा - बड़ी जड़ों, संकेतों और अन्य कचरे के साथ।

इसलिए, हम उत्तर को सामान्य समाकलन के रूप में लिखते हैं। इसे उसी रूप में प्रस्तुत करना अच्छा माना जाता है अर्थात दाहिनी ओर, यदि संभव हो तो स्थिरांक ही छोड़ें। ऐसा करना जरूरी नहीं है, लेकिन प्रोफेसर को खुश करना हमेशा फायदेमंद होता है ;-)

उत्तर:सामान्य अभिन्न:

! टिप्पणी: किसी भी समीकरण का सामान्य समाकलन एक से अधिक तरीकों से लिखा जा सकता है। इस प्रकार, यदि आपका परिणाम पहले से ज्ञात उत्तर से मेल नहीं खाता है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि आपने समीकरण को गलत तरीके से हल किया है।

सामान्य अभिन्न को भी काफी आसानी से जांचा जाता है, मुख्य बात खोजने में सक्षम होना है अंतर्निहित रूप से परिभाषित किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. आइए उत्तर को अलग करें:

हम दोनों पदों को इससे गुणा करते हैं:

और हम इससे विभाजित करते हैं:

मूल अवकल समीकरण ठीक-ठीक प्राप्त हुआ, जिसका अर्थ है कि सामान्य समाकलन सही पाया गया।

उदाहरण 4

अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता हो। एक जाँच चलाएँ.

यह स्वयं करने का उदाहरण है.

मैं आपको याद दिला दूं कि एल्गोरिदम में दो चरण होते हैं:
1) एक सामान्य समाधान खोजना;
2) आवश्यक विशेष समाधान ढूँढना।

जाँच भी दो चरणों में की जाती है (उदाहरण संख्या 2 में नमूना देखें), आपको चाहिए:
1) सुनिश्चित करें कि पाया गया विशेष समाधान प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है;
2) जांचें कि कोई विशेष समाधान आम तौर पर अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है।

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

उदाहरण 5

अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें , प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करना . एक जाँच चलाएँ.

समाधान:सबसे पहले, आइए एक सामान्य समाधान खोजें। इस समीकरण में पहले से ही तैयार अंतर शामिल हैं और, जिसका अर्थ है कि समाधान सरल है। अलग-अलग चर:

हम समीकरण को एकीकृत करते हैं:

बायीं ओर का समाकलन सारणीबद्ध है, दायीं ओर का समाकलन लिया गया है अंतर के चिह्न के अंतर्गत फ़ंक्शन का योग करने की विधि:

सामान्य समाकलन प्राप्त हो गया है, क्या सामान्य समाधान को सफलतापूर्वक व्यक्त करना संभव है? कर सकना। हम दोनों तरफ लघुगणक लटकाते हैं। चूँकि वे सकारात्मक हैं, मॉड्यूलो संकेत निरर्थक हैं:

(मुझे आशा है कि हर कोई परिवर्तन को समझेगा, ऐसी बातें पहले से ही पता होनी चाहिए)

तो सामान्य समाधान यह है:

आइए दी गई प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप एक विशेष समाधान खोजें।
सामान्य समाधान में, "x" के स्थान पर हम शून्य, और "y" के स्थान पर दो का लघुगणक रखते हैं:

अधिक परिचित डिज़ाइन:

हम स्थिरांक के पाए गए मान को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं।

उत्तर:निजी समाधान:

जांचें: सबसे पहले, जांचें कि प्रारंभिक शर्त पूरी हुई है या नहीं:
- सब कुछ अच्छा है।

अब देखते हैं कि पाया गया विशेष समाधान अवकल समीकरण को बिल्कुल भी संतुष्ट करता है या नहीं। हम व्युत्पन्न पाते हैं:

आइए मूल समीकरण देखें: - इसे विभेदकों में प्रस्तुत किया गया है। जाँच करने के दो तरीके हैं। पाए गए व्युत्पन्न से अंतर व्यक्त करना संभव है:

हम पाए गए विशेष समाधान और परिणामी अंतर को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं :

हम मूल लघुगणकीय पहचान का उपयोग करते हैं:

सही समानता प्राप्त की जाती है, जिसका अर्थ है कि विशेष समाधान सही पाया गया है।

जाँच का दूसरा तरीका प्रतिबिंबित और अधिक परिचित है: समीकरण से व्युत्पन्न को व्यक्त करें, इसके लिए हम सभी टुकड़ों को इस प्रकार विभाजित करते हैं:

और परिवर्तित DE में हम प्राप्त विशेष समाधान और पाए गए व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित करते हैं। सरलीकरण के फलस्वरूप सही समानता भी प्राप्त होनी चाहिए।

उदाहरण 6

अवकल समीकरण को हल करें. उत्तर को सामान्य समाकलन के रूप में व्यक्त करें।

यह पाठ के अंत में स्व-समाधान, पूर्ण समाधान और उत्तर का एक उदाहरण है।

वियोज्य चरों वाले अवकल समीकरणों को हल करने में कौन-सी कठिनाइयाँ आती हैं?

1) यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है (विशेषकर चायदानी के लिए) कि चरों को अलग किया जा सकता है। एक सशर्त उदाहरण पर विचार करें: . यहां आपको कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालना होगा: और जड़ों को अलग करना होगा:। आगे कैसे बढ़ना है यह स्पष्ट है।

2) एकीकरण में ही कठिनाइयाँ। इंटीग्रल अक्सर सबसे सरल नहीं होते हैं, और यदि खोजने के कौशल में खामियां हैं अनिश्चितकालीन अभिन्न, तो कई डिफ्यूज़र के साथ यह मुश्किल होगा। इसके अलावा, संग्रह और मैनुअल के संकलनकर्ता इस तर्क के साथ लोकप्रिय हैं "चूंकि अंतर समीकरण सरल है, तो कम से कम अभिन्न अधिक जटिल होंगे।"

3) स्थिरांक के साथ परिवर्तन। जैसा कि सभी ने देखा है, अंतर समीकरणों में स्थिरांक को काफी स्वतंत्र रूप से संभाला जा सकता है, और कुछ परिवर्तन हमेशा एक शुरुआत के लिए स्पष्ट नहीं होते हैं। आइए एक और काल्पनिक उदाहरण देखें: . इसमें सभी पदों को 2 से गुणा करने की सलाह दी जाती है: . परिणामी स्थिरांक भी एक प्रकार का स्थिरांक है, जिसे निम्न द्वारा दर्शाया जा सकता है: . हां, और चूंकि दाहिनी ओर एक लघुगणक है, तो स्थिरांक को दूसरे स्थिरांक के रूप में फिर से लिखने की सलाह दी जाती है: .

समस्या यह है कि वे अक्सर सूचकांकों की परवाह नहीं करते और एक ही अक्षर का उपयोग करते हैं। परिणामस्वरूप, निर्णय रिकॉर्ड निम्नलिखित रूप लेता है:

क्या विधर्म? यहाँ त्रुटियाँ हैं! सच कहूँ तो, हाँ। हालाँकि, वास्तविक दृष्टिकोण से, कोई त्रुटि नहीं है, क्योंकि एक चर स्थिरांक के परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक चर स्थिरांक अभी भी प्राप्त होता है।

या दूसरा उदाहरण, मान लीजिए कि समीकरण को हल करने के दौरान, एक सामान्य अभिन्न अंग प्राप्त होता है। यह उत्तर बदसूरत दिखता है, इसलिए प्रत्येक पद का चिह्न बदलने की सलाह दी जाती है: . औपचारिक रूप से, फिर से एक त्रुटि है - दाईं ओर, इसे लिखा जाना चाहिए। लेकिन यह अनौपचारिक रूप से निहित है कि "माइनस सीई" अभी भी एक स्थिरांक है ( जो किसी भी मूल्य को अच्छी तरह से ग्रहण करता है!), इसलिए "माइनस" लगाने का कोई मतलब नहीं है और आप उसी अक्षर का उपयोग कर सकते हैं।

मैं लापरवाह दृष्टिकोण से बचने की कोशिश करूंगा, और फिर भी उन्हें परिवर्तित करते समय स्थिरांक के लिए अलग-अलग सूचकांक डालूंगा।

उदाहरण 7

अवकल समीकरण को हल करें. एक जाँच चलाएँ.

समाधान:यह समीकरण चरों के पृथक्करण को स्वीकार करता है। अलग-अलग चर:

हम एकीकृत करते हैं:

यहां स्थिरांक को लघुगणक के अंतर्गत परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इससे कुछ भी अच्छा नहीं होगा।

उत्तर:सामान्य अभिन्न:

जांचें: उत्तर को अलग करें (अंतर्निहित फ़ंक्शन):

हमें भिन्नों से छुटकारा मिलता है, इसके लिए हम दोनों पदों को इससे गुणा करते हैं:

मूल अवकल समीकरण प्राप्त हो गया है, जिसका अर्थ है कि सामान्य समाकलन सही पाया गया है।

उदाहरण 8

DE का एक विशेष समाधान खोजें।
,

यह स्वयं करने का उदाहरण है. एकमात्र संकेत यह है कि यहां आपको एक सामान्य अभिन्न अंग मिलता है, और, अधिक सही ढंग से, आपको किसी विशेष समाधान को खोजने के लिए प्रयास करने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि निजी अभिन्न. पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

6.1. बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ

गणित और भौतिकी, जीव विज्ञान और चिकित्सा की विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, अक्सर अध्ययन के तहत प्रक्रिया का वर्णन करने वाले चर को जोड़ने वाले सूत्र के रूप में एक कार्यात्मक निर्भरता स्थापित करना संभव नहीं होता है। आमतौर पर, किसी को स्वतंत्र चर और अज्ञात फ़ंक्शन के अलावा, उसके डेरिवेटिव वाले समीकरणों का उपयोग करना पड़ता है।

परिभाषा।एक स्वतंत्र चर, एक अज्ञात फलन और उसके विभिन्न कोटि के व्युत्पन्नों से संबंधित समीकरण कहलाता है अंतर.

अज्ञात फ़ंक्शन को आमतौर पर दर्शाया जाता है वाई(एक्स)या केवल हाँ,और इसके व्युत्पन्न हैं य", य"वगैरह।

अन्य संकेतन भी संभव हैं, उदाहरण के लिए: यदि य= x(t), फिर एक्स"(टी), एक्स""(टी)इसके व्युत्पन्न हैं, और टीएक स्वतंत्र चर है.

परिभाषा।यदि फलन एक चर पर निर्भर करता है, तो अवकल समीकरण को साधारण कहा जाता है। सामान्य फ़ॉर्म साधारण अंतर समीकरण:

या

कार्य एफऔर एफइसमें कुछ तर्क नहीं हो सकते हैं, लेकिन समीकरणों के भिन्न होने के लिए, व्युत्पन्न की उपस्थिति आवश्यक है।

परिभाषा।विभेदक समीकरण का क्रमइसमें शामिल उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

उदाहरण के लिए, x 2 y"- य= 0, y" + पाप एक्स= 0 प्रथम-क्रम समीकरण हैं, और य"+ 2 य"+ 5 य= एक्सदूसरे क्रम का समीकरण है.

विभेदक समीकरणों को हल करते समय, एकीकरण ऑपरेशन का उपयोग किया जाता है, जो एक मनमाना स्थिरांक की उपस्थिति से जुड़ा होता है। यदि एकीकरण क्रिया लागू की जाती है एनसमय, तो, जाहिर है, समाधान शामिल होगा एनमनमाना स्थिरांक.

6.2. प्रथम कोटि विभेदक समीकरण

सामान्य फ़ॉर्म प्रथम कोटि अवकल समीकरणअभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है

समीकरण में स्पष्ट रूप से शामिल नहीं हो सकता है एक्सऔर हाँ,लेकिन इसमें आवश्यक रूप से y" शामिल है।

यदि समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

तब हमें अवकलज के संबंध में हल किया गया प्रथम-क्रम अवकल समीकरण प्राप्त होता है।

परिभाषा।प्रथम कोटि अवकल समीकरण (6.3) (या (6.4)) का सामान्य समाधान समाधानों का समुच्चय है , कहाँ साथएक मनमाना स्थिरांक है.

अवकल समीकरण को हल करने का ग्राफ कहलाता है अभिन्न वक्र.

एक मनमाना स्थिरांक देना साथविभिन्न मानों से विशेष समाधान प्राप्त करना संभव है। सतह पर xOyसामान्य समाधान प्रत्येक विशेष समाधान के अनुरूप अभिन्न वक्रों का एक परिवार है।

यदि आप एक बिंदु निर्धारित करते हैं ए(x0, y0),जिसके माध्यम से अभिन्न वक्र को, एक नियम के रूप में, कार्यों के सेट से गुजरना होगा एक को अलग किया जा सकता है - एक विशेष समाधान।

परिभाषा।निजी निर्णयएक अवकल समीकरण का समाधान उसका समाधान है जिसमें मनमाने स्थिरांक नहीं होते हैं।

अगर एक सामान्य समाधान है, फिर स्थिति से

आप एक स्थायी पा सकते हैं साथ।शर्त कहलाती है आरंभिक दशा।

अंतर समीकरण (6.3) या (6.4) का एक विशेष समाधान खोजने की समस्या जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करती है पर बुलाया कॉची समस्या.क्या इस समस्या का हमेशा कोई समाधान होता है? उत्तर निम्नलिखित प्रमेय में निहित है।

कॉची का प्रमेय(अस्तित्व का प्रमेय और समाधान की विशिष्टता)। चलो अंतर समीकरण में य"= एफ(एक्स, वाई)समारोह एफ(एक्स, वाई)और वह

आंशिक व्युत्पन्न कुछ में परिभाषित और निरंतर

क्षेत्रों डी,एक बिंदु युक्त फिर क्षेत्र में डीमौजूद

समीकरण का एकमात्र समाधान जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है पर

कॉची के प्रमेय में कहा गया है कि कुछ शर्तों के तहत एक अद्वितीय अभिन्न वक्र होता है य= एफ(एक्स),एक बिंदु से गुजरना वे बिंदु जहां प्रमेय की शर्तें संतुष्ट नहीं हैं

बिल्लियाँ कहलाती हैं विशेष।इन बिंदुओं पर होता है ब्रेक एफ(एक्स, वाई) या।

या तो कई अभिन्न वक्र एक एकल बिंदु से गुजरते हैं, या एक भी नहीं।

परिभाषा।यदि समाधान (6.3), (6.4) के रूप में पाया जाता है एफ(एक्स, वाई, सी)= y के संबंध में 0 की अनुमति नहीं है, तो इसे कहा जाता है सामान्य अभिन्नअंतर समीकरण।

कॉची का प्रमेय केवल यह गारंटी देता है कि समाधान मौजूद है। चूँकि समाधान खोजने के लिए कोई एकल विधि नहीं है, हम केवल कुछ प्रकार के प्रथम-क्रम अवकल समीकरणों पर विचार करेंगे जो कि पूर्णांक हैं वर्ग।

परिभाषा।अवकल समीकरण कहलाता है चतुर्भुजों में समाकलनीय,यदि इसके समाधान की खोज कार्यों के एकीकरण तक कम हो जाती है।

6.2.1. वियोज्य चरों के साथ प्रथम कोटि अवकल समीकरण

परिभाषा।प्रथम कोटि अवकल समीकरण को समीकरण कहा जाता है वियोज्य चर,

समीकरण (6.5) का दायाँ पक्ष दो कार्यों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक केवल एक चर पर निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण अलग करने वाला एक समीकरण है

चर पारित करना
और समीकरण

प्रपत्र (6.5) में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता।

मान लें कि , हम (6.5) को इस प्रकार पुनः लिखते हैं

इस समीकरण से हमें अलग-अलग चर के साथ एक अंतर समीकरण प्राप्त होता है, जिसमें अंतर में ऐसे कार्य होते हैं जो केवल संबंधित चर पर निर्भर करते हैं:

शब्द दर शब्द एकीकृत करते हुए, हमारे पास है

जहां सी = सी 2 - सी 1 एक मनमाना स्थिरांक है। अभिव्यक्ति (6.6) समीकरण (6.5) का सामान्य अभिन्न अंग है।

समीकरण (6.5) के दोनों भागों को से विभाजित करने पर, हम उन समाधानों को खो सकते हैं जिनके लिए, वास्तव में, यदि पर

वह स्पष्टतः समीकरण (6.5) का एक हल है।

उदाहरण 1समीकरण का संतोषजनक समाधान खोजें

स्थिति: य= 6 बजे एक्स= 2 (य(2) = 6).

समाधान।आइए प्रतिस्थापित करें पर"तब के लिए . दोनों पक्षों को इससे गुणा करें

डीएक्स,चूँकि आगे एकीकरण में इसे छोड़ना असंभव है डीएक्सहर में:

और फिर दोनों भागों को विभाजित करें हमें समीकरण मिलता है,

जिसे एकीकृत किया जा सकता है. हम एकीकृत करते हैं:

तब ; प्रबल करने पर, हमें y = C प्राप्त होता है। (एक्स + 1) - ओब-

समाधान।

प्रारंभिक डेटा के आधार पर, हम उन्हें सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करके एक मनमाना स्थिरांक निर्धारित करते हैं

अंततः हम पाते हैं य= 2(x + 1) एक विशेष हल है। वियोज्य चर वाले समीकरणों को हल करने के कुछ और उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 2समीकरण का हल खोजें

समाधान।मान लें कि , हम पाते हैं .

समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हुए, हमारे पास है

कहाँ

उदाहरण 3समीकरण का हल खोजें समाधान।हम समीकरण के दोनों भागों को उन कारकों से विभाजित करते हैं जो एक ऐसे चर पर निर्भर करते हैं जो अंतर चिह्न के तहत चर के साथ मेल नहीं खाता है, अर्थात, द्वारा और एकीकृत करें. फिर हमें मिलता है

और अंत में

उदाहरण 4समीकरण का हल खोजें

समाधान।यह जानते हुए कि हमें क्या मिलेगा. अनुभाग-

सीमित चर. तब

एकीकृत करने पर हमें प्राप्त होता है

टिप्पणी।उदाहरण 1 और 2 में, वांछित फ़ंक्शन यस्पष्ट रूप से व्यक्त (सामान्य समाधान)। उदाहरण 3 और 4 में - अंतर्निहित रूप से (सामान्य अभिन्न)। भविष्य में, निर्णय का स्वरूप निर्दिष्ट नहीं किया जाएगा.

उदाहरण 5समीकरण का हल खोजें समाधान।

उदाहरण 6समीकरण का हल खोजें संतुष्टि देने वाला

स्थिति वाई(ई)= 1.

समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करना डीएक्सऔर आगे, हम पाते हैं

समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर (दाहिनी ओर का अभिन्न अंग भागों द्वारा लिया जाता है), हम प्राप्त करते हैं

लेकिन शर्त से य= 1 बजे एक्स= इ. तब

पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें साथएक सामान्य समाधान में:

परिणामी अभिव्यक्ति को अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान कहा जाता है।

6.2.2. प्रथम कोटि के सजातीय अवकल समीकरण

परिभाषा।प्रथम कोटि अवकल समीकरण कहलाता है सजातीययदि इसे इस रूप में प्रस्तुत किया जा सके

हम एक सजातीय समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम प्रस्तुत करते हैं।

1. इसके बजाय यफिर एक नया फ़ंक्शन पेश करें और इसलिए

2. कार्य की दृष्टि से यूसमीकरण (6.7) का रूप लेता है

यानी, प्रतिस्थापन सजातीय समीकरण को अलग-अलग चर वाले समीकरण में कम कर देता है।

3. समीकरण (6.8) को हल करते हुए, हम पहले u पाते हैं, और फिर य= ux.

उदाहरण 1प्रश्न हल करें समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

हम एक प्रतिस्थापन करते हैं:
तब

आइए प्रतिस्थापित करें

dx से गुणा करें: से भाग एक्सऔर पर तब

समीकरण के दोनों भागों को संबंधित चरों के संबंध में एकीकृत करने पर, हमें यह प्राप्त होता है

या, पुराने वेरिएबल्स पर लौटते हुए, हम अंततः प्राप्त करते हैं

उदाहरण 2प्रश्न हल करें समाधान।होने देना तब

समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें x2: आइए कोष्ठक खोलें और शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करें:

पुराने चरों पर आगे बढ़ते हुए, हम अंतिम परिणाम पर पहुँचते हैं:

उदाहरण 3समीकरण का हल खोजें मान लें कि

समाधान।एक मानक प्रतिस्थापन करना हम पाते हैं

या

या

तो विशेष समाधान का स्वरूप होता है उदाहरण 4समीकरण का हल खोजें

समाधान।

उदाहरण 5समीकरण का हल खोजें समाधान।

स्वतंत्र काम

वियोज्य चर वाले अवकल समीकरणों का समाधान खोजें (1-9).

समांगी अवकल समीकरणों का हल खोजें (9-18).

6.2.3. प्रथम कोटि अवकल समीकरणों के कुछ अनुप्रयोग

रेडियोधर्मी क्षय की समस्या

समय के प्रत्येक क्षण में रा (रेडियम) की क्षय दर उसके उपलब्ध द्रव्यमान के समानुपाती होती है। रा के रेडियोधर्मी क्षय का नियम ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि प्रारंभिक क्षण में रा था और रा का आधा जीवन 1590 वर्ष है।

समाधान।मान लीजिए फिलहाल द्रव्यमान रा है एक्स= एक्स(टी)जी, और तब रा की क्षय दर है

कार्य के अनुसार

कहाँ क

अंतिम समीकरण में चरों को अलग करने और एकीकृत करने पर, हमें प्राप्त होता है

कहाँ

निर्धारण हेतु सीहम प्रारंभिक शर्त का उपयोग करते हैं: .

तब और इसलिए,

आनुपातिकता कारक कअतिरिक्त शर्त से निर्धारित:

हमारे पास है

यहाँ से और वांछित सूत्र

जीवाणुओं के प्रजनन की दर की समस्या

जीवाणुओं के प्रजनन की दर उनकी संख्या के समानुपाती होती है। शुरुआती समय में 100 बैक्टीरिया थे। 3 घंटे के अंदर इनकी संख्या दोगुनी हो गई. समय पर जीवाणुओं की संख्या की निर्भरता ज्ञात कीजिए। 9 घंटे के भीतर बैक्टीरिया की संख्या कितनी बार बढ़ जाएगी?

समाधान।होने देना एक्स- इस समय जीवाणुओं की संख्या टी।फिर शर्त के अनुसार,

कहाँ क- आनुपातिकता का गुणांक.

यहाँ से हालात से पता चल रहा है कि . मतलब,

अतिरिक्त शर्त से . तब

आवश्यक कार्य:

तो, पर टी= 9 एक्स= 800, यानी 9 घंटे के भीतर बैक्टीरिया की संख्या 8 गुना बढ़ गई।

एंजाइम की मात्रा बढ़ाने का काम

शराब बनाने वाले के खमीर की संस्कृति में, सक्रिय एंजाइम की वृद्धि दर इसकी प्रारंभिक मात्रा के समानुपाती होती है। एक्स।एंजाइम की प्रारंभिक मात्रा एएक घंटे के अंदर दोगुना हो गया. निर्भरता खोजें

एक्स(टी).

समाधान।शर्त के अनुसार, प्रक्रिया के विभेदक समीकरण का रूप होता है

यहाँ से

लेकिन . मतलब, सी= एऔर तब

यह भी ज्ञात है

इस तरह,

6.3. दूसरे क्रम के विभेदक समीकरण

6.3.1. बुनियादी अवधारणाओं

परिभाषा।दूसरे क्रम का अंतर समीकरणस्वतंत्र चर, वांछित फ़ंक्शन और उसके पहले और दूसरे डेरिवेटिव को जोड़ने वाला संबंध है।

विशेष मामलों में, x समीकरण में अनुपस्थित हो सकता है, परया y"। हालाँकि, दूसरे क्रम के समीकरण में आवश्यक रूप से y शामिल होना चाहिए"। सामान्य स्थिति में, दूसरे क्रम का अंतर समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है:

या, यदि संभव हो तो, दूसरे व्युत्पन्न के लिए अनुमत प्रपत्र में:

पहले-क्रम समीकरण के मामले में, दूसरे-क्रम समीकरण में एक सामान्य और एक विशेष समाधान हो सकता है। सामान्य समाधान इस प्रकार दिखता है:

एक निजी समाधान ढूँढना

प्रारंभिक शर्तों के तहत - दिया गया

संख्या) कहा जाता है कॉची समस्या.ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि अभिन्न वक्र को खोजना आवश्यक है पर= वाई(एक्स),किसी दिए गए बिंदु से गुजरना और इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा है, जो लगभग है

सकारात्मक अक्ष दिशा वाले कांटे बैलदिया गया कोण. इ। (चित्र 6.1)। कॉची समस्या का एक अनोखा समाधान है यदि समीकरण का दाहिना भाग (6.10), अपरिपक्व-

असंतत है और इसके संबंध में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं तुम तुम"आरंभिक बिंदु के किसी पड़ोस में

स्थिरांक खोजने के लिए किसी विशेष समाधान में शामिल होने के लिए सिस्टम को अनुमति देना आवश्यक है

चावल। 6.1.अभिन्न वक्र