व्युत्पन्न क्या है?
व्युत्पन्न फलन की परिभाषा और अर्थ

एक चर के फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और उसके अनुप्रयोगों पर मेरे लेखक के पाठ्यक्रम में इस लेख के अप्रत्याशित स्थान से कई लोग आश्चर्यचकित होंगे। आख़िरकार, जैसा कि स्कूल के समय से होता आ रहा है: मानक पाठ्यपुस्तक सबसे पहले व्युत्पन्न की परिभाषा, उसका ज्यामितीय, यांत्रिक अर्थ देती है। इसके बाद, छात्र परिभाषा के आधार पर कार्यों के व्युत्पन्न ढूंढते हैं, और वास्तव में, केवल तभी वे विभेदीकरण की तकनीक का उपयोग करके परिपूर्ण होते हैं व्युत्पन्न तालिकाएँ.

लेकिन मेरे दृष्टिकोण से, निम्नलिखित दृष्टिकोण अधिक व्यावहारिक है: सबसे पहले, अच्छी तरह से समझने की सलाह दी जाती है किसी फ़ंक्शन की सीमा, खास तरीके से, अपरिमित मात्राएँ. तथ्य यह है कि व्युत्पन्न की परिभाषा सीमा की अवधारणा पर आधारित है, जिसे स्कूली पाठ्यक्रम में ख़राब माना जाता है। यही कारण है कि ज्ञान के ग्रेनाइट के युवा उपभोक्ताओं का एक महत्वपूर्ण हिस्सा व्युत्पन्न के सार को नहीं समझता है। इस प्रकार, यदि आपको डिफरेंशियल कैलकुलस की कम समझ है या बुद्धिमान मस्तिष्क ने कई वर्षों में इस बोझ से सफलतापूर्वक छुटकारा पा लिया है, तो कृपया शुरुआत करें कार्य सीमाएँ. साथ ही, उनके समाधान में महारत हासिल करें/याद रखें।

वही व्यावहारिक समझ यह निर्देशित करती है कि सबसे पहले यह लाभप्रद है डेरिवेटिव ढूंढना सीखें, शामिल जटिल कार्यों के व्युत्पन्न. सिद्धांत तो सिद्धांत है, लेकिन, जैसा कि वे कहते हैं, आप हमेशा अंतर करना चाहते हैं। इस संबंध में, सूचीबद्ध बुनियादी पाठों के माध्यम से काम करना बेहतर है, और शायद विभेदीकरण का स्वामीउनके कार्यों का सार समझे बिना भी।

मेरा सुझाव है कि लेख पढ़ने के बाद इस पृष्ठ पर मौजूद सामग्रियों से शुरुआत करें। डेरिवेटिव के साथ सबसे सरल समस्याएं, जहां, विशेष रूप से, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा की समस्या पर विचार किया जाता है। लेकिन आप इंतज़ार कर सकते हैं. तथ्य यह है कि व्युत्पन्न के कई अनुप्रयोगों को इसे समझने की आवश्यकता नहीं है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है कि सैद्धांतिक पाठ काफी देर से सामने आया - जब मुझे समझाने की आवश्यकता थी बढ़ते/घटते अंतराल और एक्स्ट्रेमा का पता लगानाकार्य. इसके अलावा, वह काफी लंबे समय तक इस विषय पर थे। कार्य और ग्राफ़”, जब तक मैंने अंततः इसे पहले रखने का फैसला नहीं किया।

इसलिए, प्रिय चायदानी, भूखे जानवरों की तरह व्युत्पन्न के सार को अवशोषित करने में जल्दबाजी न करें, क्योंकि संतृप्ति बेस्वाद और अधूरी होगी।

किसी फलन के बढ़ने, घटने, अधिकतम, न्यूनतम की अवधारणा

कई पाठ्यपुस्तकें कुछ व्यावहारिक समस्याओं की मदद से डेरिवेटिव की अवधारणा का परिचय देती हैं, और मैं एक दिलचस्प उदाहरण भी लेकर आया हूं। कल्पना कीजिए कि हम एक ऐसे शहर की यात्रा करने वाले हैं जहाँ विभिन्न तरीकों से पहुँचा जा सकता है। आइए तुरंत घुमावदार रास्तों को त्यागें और केवल सीधे राजमार्गों पर विचार करें। हालाँकि, सीधी-रेखा दिशाएँ भी भिन्न हैं: आप एक समतल राजमार्ग के साथ शहर तक पहुँच सकते हैं। या किसी पहाड़ी राजमार्ग पर - ऊपर और नीचे, ऊपर और नीचे। एक अन्य सड़क केवल ऊपर की ओर जाती है, और एक अन्य सदैव नीचे की ओर जाती है। अत्यधिक उत्साही लोग खड़ी चट्टान और खड़ी चढ़ाई वाली घाटी से होकर जाने वाला मार्ग चुनेंगे।

लेकिन आपकी प्राथमिकताएं जो भी हों, यह सलाह दी जाती है कि क्षेत्र को जानें या कम से कम उसका स्थलाकृतिक मानचित्र रखें। यदि ऐसी जानकारी अनुपलब्ध हो तो क्या होगा? आखिरकार, आप चुन सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक सुगम रास्ता, लेकिन परिणामस्वरूप हंसमुख फिन्स के साथ स्की ढलान पर ठोकर खा सकते हैं। यह सच नहीं है कि एक नाविक या एक उपग्रह छवि भी विश्वसनीय डेटा प्रदान करेगी। इसलिए, गणित का उपयोग करके पथ की राहत को औपचारिक बनाना अच्छा होगा।

आइए कुछ सड़क देखें (साइड व्यू):

बस किसी मामले में, मैं आपको एक प्राथमिक तथ्य याद दिलाता हूं: यात्रा होती है बाएं से दाएं. सरलता के लिए, हम मानते हैं कि फ़ंक्शन निरंतरविचाराधीन क्षेत्र में.

इस ग्राफ़ की विशेषताएं क्या हैं?

अंतरालों पर समारोह बढ़ती है, अर्थात्, इसका प्रत्येक अगला मान अधिकपिछला। मोटे तौर पर कहें तो शेड्यूल चालू है ऊपर से नीचे(हम पहाड़ी पर चढ़ते हैं)। और अंतराल पर समारोह कम हो जाती है– प्रत्येक अगला मान कमपिछला, और हमारा शेड्यूल चालू है उपर से नीचे(हम ढलान से नीचे जाते हैं)।

आइए खास बिंदुओं पर भी ध्यान दें. हम जिस मुकाम पर पहुंचते हैं अधिकतम, वह है मौजूदपथ का ऐसा भाग जहां मान सबसे बड़ा (उच्चतम) होगा। उसी बिंदु पर उसे प्राप्त किया जाता है न्यूनतम, और मौजूदइसका पड़ोस जिसमें मूल्य सबसे छोटा (न्यूनतम) है।

हम कक्षा में अधिक सख्त शब्दावली और परिभाषाओं पर गौर करेंगे। कार्य की चरम सीमा के बारे में, लेकिन अभी आइए एक और महत्वपूर्ण विशेषता का अध्ययन करें: अंतराल पर कार्य बढ़ता है, लेकिन यह बढ़ता है अलग-अलग गति से. और पहली चीज़ जो आपका ध्यान खींचती है वह यह है कि अंतराल के दौरान ग्राफ़ ऊपर चढ़ जाता है बहुत अधिक अच्छा, अंतराल पर की तुलना में . क्या गणितीय उपकरणों का उपयोग करके सड़क की ढलान को मापना संभव है?

कार्य परिवर्तन की दर

विचार यह है: आइए कुछ मूल्य लें (पढ़ें "डेल्टा एक्स"), जिसे हम कहेंगे तर्क वृद्धि, और आइए अपने पथ के विभिन्न बिंदुओं पर "इसे आज़माना" शुरू करें:

1) आइए सबसे बाएं बिंदु को देखें: दूरी पार करते हुए, हम ढलान पर ऊंचाई (हरी रेखा) पर चढ़ते हैं। मात्रा कहलाती है कार्य वृद्धि, और इस मामले में यह वृद्धि सकारात्मक है (अक्ष के साथ मूल्यों में अंतर शून्य से अधिक है)। आइए एक अनुपात बनाएं जो हमारी सड़क की ढलान का माप होगा। जाहिर है, यह एक बहुत ही विशिष्ट संख्या है, और चूंकि दोनों वृद्धियां सकारात्मक हैं, तो।

ध्यान! पदनाम हैं एकप्रतीक, यानी, आप "एक्स" से "डेल्टा" को "फाड़" नहीं सकते हैं और इन अक्षरों पर अलग से विचार कर सकते हैं। बेशक, टिप्पणी फ़ंक्शन वृद्धि प्रतीक से भी संबंधित है।

आइए परिणामी भिन्न की प्रकृति को अधिक सार्थक ढंग से जानें। आइए शुरू में हम 20 मीटर (बाएं काले बिंदु पर) की ऊंचाई पर हों। मीटर की दूरी (बाएं लाल रेखा) तय करने के बाद, हम खुद को 60 मीटर की ऊंचाई पर पाएंगे। तब फ़ंक्शन की वृद्धि होगी मीटर (हरी रेखा) और:। इस प्रकार, हर मीटर परसड़क का यह भाग ऊंचाई बढ़ती है औसत 4 मीटर से...अपना चढ़ाई उपकरण भूल गए? =) दूसरे शब्दों में, निर्मित संबंध फ़ंक्शन की औसत परिवर्तन दर (इस मामले में, वृद्धि) को दर्शाता है।

टिप्पणी : प्रश्न में उदाहरण के संख्यात्मक मान केवल ड्राइंग के अनुपात के अनुरूप हैं।

2) अब सबसे दाहिने काले बिंदु से समान दूरी पर चलते हैं। यहां वृद्धि अधिक क्रमिक है, इसलिए वृद्धि (क्रिमसन लाइन) अपेक्षाकृत छोटी है, और पिछले मामले की तुलना में अनुपात बहुत मामूली होगा। अपेक्षाकृत बोल रहा है, मीटर और कार्य वृद्धि दरहै । यानी यहां रास्ते के हर मीटर के लिए कुछ न कुछ हैं औसतआधा मीटर की वृद्धि.

3)पहाड़ पर एक छोटा सा रोमांच। आइए ऑर्डिनेट अक्ष पर स्थित शीर्ष काले बिंदु को देखें। चलिए मान लेते हैं कि यह 50 मीटर का निशान है। हमने दूरी को फिर से पार कर लिया, जिसके परिणामस्वरूप हम खुद को नीचे पाते हैं - 30 मीटर के स्तर पर। चूंकि आंदोलन किया गया है उपर से नीचे(अक्ष की "काउंटर" दिशा में), फिर अंतिम फ़ंक्शन की वृद्धि (ऊंचाई) नकारात्मक होगी: मीटर (ड्राइंग में भूरा खंड)। और इस मामले में हम पहले से ही बात कर रहे हैं कमी की दरविशेषताएँ: , अर्थात्, इस खंड के पथ के प्रत्येक मीटर के लिए, ऊंचाई कम हो जाती है औसत 2 मीटर से. पांचवे बिंदु पर अपने कपड़ों का ख्याल रखें।

आइए अब अपने आप से प्रश्न पूछें: "माप मानक" के किस मूल्य का उपयोग करना सबसे अच्छा है? यह पूरी तरह से समझ में आता है, 10 मीटर बहुत कठिन है। उन पर एक दर्जन से अधिक हम्मॉक्स आसानी से फिट हो सकते हैं। उतार-चढ़ाव से कोई फर्क नहीं पड़ता, नीचे एक गहरी खाई हो सकती है, और कुछ मीटर के बाद इसका दूसरा किनारा और अधिक तीव्र वृद्धि के साथ होता है। इस प्रकार, दस-मीटर के साथ हमें अनुपात के माध्यम से पथ के ऐसे खंडों का एक समझदार विवरण नहीं मिलेगा।

उपरोक्त चर्चा से निम्नलिखित निष्कर्ष निकलता है: मूल्य उतना ही कम होगा, जितना अधिक सटीक रूप से हम सड़क स्थलाकृति का वर्णन करते हैं। इसके अलावा, निम्नलिखित तथ्य सत्य हैं:

– किसी के लिए भीउठाने के बिंदु आप एक ऐसा मान चुन सकते हैं (भले ही बहुत छोटा हो) जो किसी विशेष वृद्धि की सीमाओं के भीतर फिट बैठता हो। इसका मतलब यह है कि संबंधित ऊंचाई वृद्धि सकारात्मक होने की गारंटी होगी, और असमानता इन अंतरालों के प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि को सही ढंग से इंगित करेगी।

- वैसे ही, किसी के लिएढलान बिंदु पर एक मान है जो इस ढलान पर पूरी तरह फिट होगा। नतीजतन, ऊंचाई में संबंधित वृद्धि स्पष्ट रूप से नकारात्मक है, और असमानता दिए गए अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शन में कमी को सही ढंग से दिखाएगी।

- एक विशेष रूप से दिलचस्प मामला तब होता है जब फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर शून्य होती है:। सबसे पहले, शून्य ऊंचाई वृद्धि () एक सुगम पथ का संकेत है। और दूसरी बात, अन्य दिलचस्प स्थितियाँ भी हैं, जिनके उदाहरण आप चित्र में देख सकते हैं। कल्पना कीजिए कि भाग्य हमें उड़ते हुए चील वाली पहाड़ी की चोटी पर या टर्राने वाले मेंढकों वाली खड्ड के निचले हिस्से पर ले आया है। यदि आप किसी भी दिशा में एक छोटा कदम उठाते हैं, तो ऊंचाई में परिवर्तन नगण्य होगा, और हम कह सकते हैं कि फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर वास्तव में शून्य है। बिंदुओं पर देखी गई बिल्कुल यही तस्वीर है।

इस प्रकार, हमारे पास किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को पूरी तरह से सटीक रूप से चित्रित करने का एक अद्भुत अवसर आया है। आख़िरकार, गणितीय विश्लेषण तर्क की वृद्धि को शून्य: तक निर्देशित करना संभव बनाता है, अर्थात इसे बनाना बहुत छोता.

नतीजतन, एक और तार्किक सवाल उठता है: क्या सड़क और उसके शेड्यूल का पता लगाना संभव है एक अन्य कार्य, कौन हमें बताएंगेसभी समतल खंडों, आरोहण, अवरोह, चोटियों, घाटियों के साथ-साथ रास्ते में प्रत्येक बिंदु पर वृद्धि/कमी की दर के बारे में?

व्युत्पन्न क्या है? व्युत्पन्न की परिभाषा.
व्युत्पन्न और विभेदक का ज्यामितीय अर्थ

कृपया ध्यान से पढ़ें और बहुत जल्दी नहीं - सामग्री सरल और सभी के लिए सुलभ है! यह ठीक है अगर कुछ स्थानों पर कुछ बहुत स्पष्ट नहीं लगता है, तो आप बाद में लेख पर कभी भी लौट सकते हैं। मैं और अधिक कहूंगा, सभी बिंदुओं को अच्छी तरह से समझने के लिए सिद्धांत का कई बार अध्ययन करना उपयोगी है (सलाह विशेष रूप से "तकनीकी" छात्रों के लिए प्रासंगिक है, जिनके लिए उच्च गणित शैक्षिक प्रक्रिया में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है)।

स्वाभाविक रूप से, एक बिंदु पर व्युत्पन्न की परिभाषा में हम इसे इसके साथ प्रतिस्थापित करते हैं:

हम क्या करने आये हैं? और हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि कार्य कानून के अनुसार होगा के अनुरूप रखा गया है अन्य कार्य, जिसे कहा जाता है व्युत्पन्न कार्य(या केवल व्युत्पन्न).

व्युत्पन्न विशेषताएँ परिवर्तन की दरकार्य कैसे? यह विचार लेख की शुरुआत से ही लाल धागे की तरह चलता है। आइए कुछ बिंदु पर विचार करें परिभाषा का क्षेत्रकार्य मान लीजिए कि फ़ंक्शन किसी दिए गए बिंदु पर भिन्न हो सकता है। तब:

1) यदि, तो बिंदु पर फलन बढ़ता है। और जाहिर है वहाँ है मध्यान्तर(बहुत छोटा भी), जिसमें एक बिंदु होता है जिस पर फ़ंक्शन बढ़ता है, और इसका ग्राफ़ "नीचे से ऊपर तक" जाता है।

2) यदि, तो बिंदु पर फलन घट जाता है। और एक अंतराल होता है जिसमें एक बिंदु होता है जिस पर फ़ंक्शन घटता है (ग्राफ़ "ऊपर से नीचे" जाता है)।

3) यदि , तो असीम रूप से करीबएक बिंदु के निकट फ़ंक्शन अपनी गति स्थिर बनाए रखता है। ऐसा होता है, जैसा कि उल्लेख किया गया है, एक निरंतर कार्य के साथ और फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, विशेष रूप से न्यूनतम और अधिकतम बिंदुओं पर.

थोड़ा सा शब्दार्थ। क्रिया "अंतर करना" का व्यापक अर्थ में क्या अर्थ है? अंतर करने का अर्थ है किसी विशेषता को उजागर करना। किसी फ़ंक्शन को विभेदित करके, हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में इसके परिवर्तन की दर को "पृथक" करते हैं। वैसे, "व्युत्पन्न" शब्द का क्या अर्थ है? समारोह घटितफ़ंक्शन से.

व्युत्पन्न के यांत्रिक अर्थ से शब्दों की बहुत सफलतापूर्वक व्याख्या की जाती है :
आइए समय के आधार पर किसी पिंड के निर्देशांक में परिवर्तन के नियम और किसी दिए गए पिंड की गति की गति के कार्य पर विचार करें। फ़ंक्शन शरीर के निर्देशांक में परिवर्तन की दर को दर्शाता है, इसलिए यह समय के संबंध में फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न है:। यदि "शरीर गति" की अवधारणा प्रकृति में मौजूद नहीं होती, तो अस्तित्व में नहीं होती यौगिक"शरीर की गति" की अवधारणा।

किसी पिंड का त्वरण गति परिवर्तन की दर है, इसलिए: . यदि "शरीर की गति" और "शरीर की गति" की प्रारंभिक अवधारणाएँ प्रकृति में मौजूद नहीं होतीं, तो उनका अस्तित्व ही नहीं होता यौगिक"शरीर त्वरण" की अवधारणा।

(\large\bf किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न)

फ़ंक्शन पर विचार करें y=f(x), अंतराल पर निर्दिष्ट (ए, बी). होने देना एक्स- अंतराल का कोई निश्चित बिंदु (ए, बी), ए Δx- एक मनमाना संख्या जैसे कि मान x+Δxअंतराल का भी है (ए, बी). यह नंबर Δxतर्क वृद्धि कहा जाता है।

परिभाषा. कार्य वृद्धि y=f(x)बिंदु पर एक्स, तर्क वृद्धि के अनुरूप Δx, चलो नंबर पर कॉल करें

Δy = f(x+Δx) - f(x).

ऐसा हमारा विश्वास है Δx ≠ 0. किसी निश्चित बिंदु पर विचार करें एक्सइस बिंदु पर फ़ंक्शन वृद्धि का अनुपात संबंधित तर्क वृद्धि से है Δx

इस संबंध को हम अंतर संबंध कहेंगे. मान के बाद से एक्सहम निश्चित मानते हैं, अंतर अनुपात तर्क का एक कार्य है Δx. यह फ़ंक्शन सभी तर्क मानों के लिए परिभाषित है Δx, बिंदु के कुछ पर्याप्त छोटे पड़ोस से संबंधित Δx=0, बिंदु को छोड़कर Δx=0. इस प्रकार, हमें निर्दिष्ट फ़ंक्शन की सीमा के अस्तित्व के प्रश्न पर विचार करने का अधिकार है Δx → 0.

परिभाषा. किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y=f(x)किसी निश्चित बिंदु पर एक्सपर सीमा कहा जाता है Δx → 0अंतर अनुपात, अर्थात्

बशर्ते कि यह सीमा मौजूद हो.

पद का नाम. y'(x)या एफ'(एक्स).

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ(एक्स)इस समय एक्सअक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर बैलऔर संबंधित बिंदु पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा:

f′(x 0) = \tgα.

व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ: समय के संबंध में पथ का व्युत्पन्न बिंदु की सीधी गति की गति के बराबर है:

एक रेखा की स्पर्शरेखा का समीकरण y=f(x)बिंदु पर म 0 (x 0 ,y 0)रूप ले लेता है

y-y 0 = f'(x 0) (x-x 0).

किसी बिंदु पर किसी वक्र का अभिलंब उसी बिंदु पर स्पर्शरेखा का लंबवत होता है। अगर f′(x 0)≠ 0, फिर रेखा के अभिलम्ब का समीकरण y=f(x)बिंदु पर म 0 (x 0 ,y 0)इस प्रकार लिखा गया है:

किसी फ़ंक्शन की भिन्नता की अवधारणा

कार्य करने दो y=f(x)एक निश्चित अंतराल पर परिभाषित (ए, बी), एक्स- इस अंतराल से कुछ निश्चित तर्क मान, Δx- तर्क की कोई भी वृद्धि जैसे कि तर्क का मूल्य x+Δx ∈ (ए, बी).

परिभाषा. समारोह y=f(x)किसी दिए गए बिंदु पर अवकलनीय कहा जाता है एक्स, यदि वृद्धि Δयबिंदु पर यह कार्य एक्स, तर्क वृद्धि के अनुरूप Δx, प्रपत्र में दर्शाया जा सकता है

Δy = A Δx +αΔx,

कहाँ ए- कुछ संख्या से स्वतंत्र Δx, ए α - तर्क समारोह Δx, जो कि अतिसूक्ष्म है Δx→ 0.

चूँकि दो अतिसूक्ष्म फलनों का गुणनफल αΔxसे उच्च कोटि का एक अतिसूक्ष्म है Δx(3 अतिसूक्ष्म फलनों का गुणधर्म), तो हम लिख सकते हैं:

Δy = A Δx +o(Δx).

प्रमेय. समारोह के लिए y=f(x)किसी दिए गए बिंदु पर भिन्न था एक्स, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इस बिंदु पर इसका एक सीमित व्युत्पन्न हो। जिसमें A=f′(x), वह है

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

व्युत्पन्न खोजने की क्रिया को आमतौर पर विभेदीकरण कहा जाता है।

प्रमेय. यदि फ़ंक्शन y=f(x) एक्स, तो यह इस बिंदु पर निरंतर है।

टिप्पणी. समारोह की निरंतरता से y=f(x)इस समय एक्स, आम तौर पर बोलते हुए, फ़ंक्शन की भिन्नता का पालन नहीं होता है एफ(एक्स)इस समय। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y=|x|- एक बिंदु पर निरंतर एक्स=0, लेकिन इसका कोई व्युत्पन्न नहीं है।

विभेदक कार्य की अवधारणा

परिभाषा. फ़ंक्शन अंतर y=f(x)इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और स्वतंत्र चर की वृद्धि का उत्पाद कहा जाता है एक्स:

डाई = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

समारोह के लिए y=xहम पाते हैं dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, वह है dx=Δx- एक स्वतंत्र चर का अंतर इस चर की वृद्धि के बराबर होता है।

इस प्रकार, हम लिख सकते हैं

डाई = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

अंतर डीवाईऔर वेतन वृद्धि Δयकार्य y=f(x)इस समय एक्स, दोनों एक ही तर्क वृद्धि के अनुरूप हैं Δx, सामान्यतया, एक दूसरे के बराबर नहीं हैं।

अंतर का ज्यामितीय अर्थ: किसी फ़ंक्शन का अंतर तर्क बढ़ने पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा की कोटि की वृद्धि के बराबर होता है Δx.

विभेदीकरण के नियम

प्रमेय. यदि प्रत्येक कार्य यू(एक्स)और वी(एक्स)किसी दिए गए बिंदु पर भिन्न होना एक्स, फिर इन कार्यों का योग, अंतर, उत्पाद और भागफल (भागफल प्रदान किया गया)। वी(एक्स)≠ 0) इस बिंदु पर भी भिन्न हैं, और सूत्र मानते हैं:

जटिल फ़ंक्शन पर विचार करें y=f(φ(x))≡ F(x), कहाँ y=f(u), u=φ(x). इस मामले में यूबुलाया मध्यवर्ती तर्क, एक्स - स्वतंत्र चर.

प्रमेय. अगर y=f(u)और u=φ(x)उनके तर्कों के अवकलनीय फलन हैं, फिर एक जटिल फलन के व्युत्पन्न y=f(φ(x))मौजूद है और मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के उत्पाद के बराबर है और स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न है, अर्थात।

टिप्पणी. एक जटिल फ़ंक्शन के लिए यह तीन फ़ंक्शंस का सुपरपोज़िशन है y=F(f(φ(x))), विभेदीकरण नियम का रूप है

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

कार्य कहां हैं v=φ(x), यू=एफ(वी)और y=F(u)- उनके तर्कों के भिन्न-भिन्न कार्य।

प्रमेय. कार्य करने दो y=f(x)बढ़ता है (या घटता है) और बिंदु के कुछ पड़ोस में निरंतर रहता है एक्स 0. इसके अलावा, यह फ़ंक्शन संकेतित बिंदु पर भिन्न हो सकता है एक्स 0और इस बिंदु पर इसका व्युत्पन्न f′(x 0) ≠ 0. फिर संबंधित बिंदु के किसी पड़ोस में आप 0 =एफ(एक्स 0)व्युत्क्रम को परिभाषित किया गया है y=f(x)समारोह x=f -1 (y), और संकेतित व्युत्क्रम फलन संगत बिंदु पर अवकलनीय है आप 0 =एफ(एक्स 0)और इस बिंदु पर इसके व्युत्पन्न के लिए यसूत्र मान्य है

व्युत्पन्न तालिका

प्रथम अंतर के स्वरूप का अपरिवर्तन

आइए एक जटिल फ़ंक्शन के अंतर पर विचार करें। अगर y=f(x), x=φ(t)- उनके तर्कों के कार्य भिन्न होते हैं, फिर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न y=f(φ(t))सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

y′ t = y′ x x′ t.

ए-प्राथमिकता डाई=वाई′ टी डीटी, तो हमें मिलता है

डाई = y' t dt = y' x · x' t dt = y' x (x' t dt) = y' x dx,

डाई = y' x dx.

तो, हमने साबित कर दिया है

किसी फ़ंक्शन के पहले अंतर के रूप की अपरिवर्तनीयता की संपत्ति: जैसे उस मामले में जब तर्क एक्सएक स्वतंत्र चर है, और उस स्थिति में जब तर्क एक्सस्वयं नए चर का एक अवकलनीय फलन है, अवकलन डीवाईकार्य y=f(x)इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को तर्क के अंतर से गुणा करने के बराबर है डीएक्स.

अनुमानित गणना में अंतर का अनुप्रयोग

हमने वह अंतर दिखाया है डीवाईकार्य y=f(x)सामान्यतया, वेतन वृद्धि के बराबर नहीं है Δययह फ़ंक्शन. हालाँकि, छोटेपन के उच्च क्रम के एक अतिसूक्ष्म कार्य तक Δx, अनुमानित समानता मान्य है

Δy ≈ डाई.

अनुपात को इस समानता की समानता की सापेक्ष त्रुटि कहा जाता है। क्योंकि Δy-dy=o(Δx), तो इस समानता की सापेक्ष त्रुटि घटते-घटते वांछित जितनी छोटी हो जाती है |Δх|.

ध्यान में रख कर Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, हम पाते हैं f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxया

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

यह अनुमानित समानता त्रुटि की अनुमति देती है हे(Δx)फ़ंक्शन बदलें एफ(एक्स)बिंदु के एक छोटे से पड़ोस में एक्स(अर्थात् छोटे मानों के लिए Δx) तर्क का रैखिक कार्य Δx, दाहिनी ओर खड़ा है।

उच्च क्रम डेरिवेटिव

परिभाषा. किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न (या दूसरे क्रम का व्युत्पन्न)। y=f(x)इसके प्रथम अवकलज का अवकलज कहा जाता है।

किसी फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न के लिए संकेतन y=f(x):

दूसरे व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ. यदि फ़ंक्शन y=f(x)एक सीधी रेखा में किसी भौतिक बिंदु की गति के नियम का वर्णन करता है, फिर दूसरा व्युत्पन्न एफ″(एक्स)समय के क्षण में किसी गतिमान बिंदु के त्वरण के बराबर एक्स.

तीसरा और चौथा व्युत्पन्न समान रूप से निर्धारित किया जाता है।

परिभाषा. एनवें व्युत्पन्न (या व्युत्पन्न एन-वें क्रम) कार्य y=f(x)इसका व्युत्पन्न कहा जाता है एन-1वें व्युत्पन्न:

y (n) =(y (n-1))', f (n) (x)=(f (n-1) (x))'.

पदनाम: आप″′, य चतुर्थ, वाई वीवगैरह।

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

वक्र की स्पर्शरेखा की परिभाषा किसी वक्र की स्पर्शरेखा y=˒(x)बिंदु पर एमकिसी बिंदु से होकर खींची गई छेदक रेखा की सीमित स्थिति कहलाती है एमऔर उसके समीप बिंदु एम 1वक्र, बशर्ते कि बिंदु एम 1वक्र के अनुदिश बिंदु तक अनिश्चित काल तक पहुंचता है एम. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y=˒(x)बिंदु पर एक्स 0 संख्यात्मक रूप से अक्ष के झुकाव कोण की स्पर्शरेखा के बराबर है ओहवक्र की स्पर्शरेखा y=˒(x)बिंदु पर एम (एक्स 0; उं (एक्स 0)).

वेरिएशन डॉटिक टू कर्व वक्र की ओर बिंदीदार y=˒(x)बिल्कुल एमबिंदु से होकर खींची गई रेखा की सीमा स्थिति कहलाती है एमऔर अगला बिंदु उसके साथ एम 1टेढ़ा, मन से परे, क्या बात है एम 1वक्र अनिवार्य रूप से बिंदु के निकट आ रहा है एम. ज्यामितीय ज़मिस्ट पोखिडनोई समान कार्य y=˒(x)बिल्कुल एक्स 0संख्यात्मक रूप से अक्ष पर ढलान की स्पर्शरेखा के बराबर ओहडॉटिक, वक्र तक ले जाया गया y=˒(x)बिल्कुल एम (एक्स 0; उं (एक्स 0)).

व्युत्पत्ति का व्यावहारिक अर्थ

आइए विचार करें कि किसी निश्चित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में हमें मिली मात्रा का व्यावहारिक रूप से क्या मतलब है।

सबसे पहले, यौगिक- यह डिफरेंशियल कैलकुलस की मूल अवधारणा है, जो किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाती है।

"परिवर्तन की दर" क्या है? आइए फ़ंक्शन की कल्पना करें एफ(एक्स) = 5. तर्क (x) के मान के बावजूद, इसका मान किसी भी तरह से नहीं बदलता है। अर्थात् इसके परिवर्तन की दर शून्य है।

अब फ़ंक्शन पर विचार करें एफ(एक्स) = एक्स. x का अवकलज एक के बराबर है। वास्तव में, यह नोटिस करना आसान है कि तर्क (x) में प्रत्येक परिवर्तन के लिए, फ़ंक्शन का मान भी एक से बढ़ जाता है।

प्राप्त जानकारी के दृष्टिकोण से, आइए अब सरल फलनों के व्युत्पन्नों की तालिका देखें। इसके आधार पर, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने का भौतिक अर्थ तुरंत स्पष्ट हो जाता है। इस समझ से व्यावहारिक समस्याओं को हल करना आसान हो जाएगा।

तदनुसार, यदि व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर दिखाता है, तो दोहरा व्युत्पन्न त्वरण दिखाता है।

2080.1947

दिनांक: 11/20/2014

व्युत्पन्न क्या है?

डेरिवेटिव की तालिका.

व्युत्पन्न उच्च गणित की मुख्य अवधारणाओं में से एक है। इस पाठ में हम इस अवधारणा का परिचय देंगे। आइए सख्त गणितीय सूत्रों और प्रमाणों के बिना, एक-दूसरे को जानें।

यह परिचित आपको इसकी अनुमति देगा:

डेरिवेटिव के साथ सरल कार्यों का सार समझें;

इन सरलतम कार्यों को सफलतापूर्वक हल करें;

डेरिवेटिव पर अधिक गंभीर पाठों की तैयारी करें।

पहला - एक सुखद आश्चर्य।)

व्युत्पन्न की सख्त परिभाषा सीमा के सिद्धांत पर आधारित है और बात काफी जटिल है। यह परेशान करने वाला है. लेकिन डेरिवेटिव के व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए, एक नियम के रूप में, इतने व्यापक और गहन ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है!

स्कूल और विश्वविद्यालय में अधिकांश कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, यह जानना ही पर्याप्त है बस कुछ शर्तें- कार्य को समझने के लिए, और बस कुछ नियम- इसे हल करने के लिए. बस इतना ही। यह मुझे आनंद देता है।

आइए परिचित होना शुरू करें?)

शर्तें और पदनाम.

प्रारंभिक गणित में कई अलग-अलग गणितीय संक्रियाएँ होती हैं। जोड़, घटाव, गुणा, घातांक, लघुगणक, आदि। यदि आप इन संक्रियाओं में एक और संक्रिया जोड़ दें, तो प्रारंभिक गणित उच्चतर हो जाता है। इस नए ऑपरेशन को कहा जाता है भेदभावइस ऑपरेशन की परिभाषा और अर्थ पर अलग-अलग पाठों में चर्चा की जाएगी।

यहां यह समझना महत्वपूर्ण है कि विभेदन किसी फ़ंक्शन पर केवल एक गणितीय संक्रिया है। हम कोई भी कार्य लेते हैं और कुछ नियमों के अनुसार उसे रूपांतरित करते हैं। परिणाम एक नया कार्य होगा. इस नए फ़ंक्शन को कहा जाता है: व्युत्पन्न.

भेदभाव- किसी फ़ंक्शन पर कार्रवाई।

यौगिक- इस क्रिया का परिणाम.

जैसे, उदाहरण के लिए, जोड़- जोड़ का परिणाम. या निजी-विभाजन का परिणाम.

शर्तों को जानकर, आप कम से कम कार्यों को समझ सकते हैं।) सूत्रीकरण इस प्रकार हैं: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें; व्युत्पन्न ले लो; फ़ंक्शन को अलग करें; व्युत्पन्न की गणना करेंऔर इसी तरह। यह सब है वही।बेशक, अधिक जटिल कार्य भी हैं, जहां व्युत्पन्न (विभेदीकरण) खोजना समस्या को हल करने के चरणों में से एक होगा।

व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के शीर्ष दाईं ओर एक डैश द्वारा दर्शाया गया है। इस कदर: य"या च"(x)या अनुसूचित जनजाति)और इसी तरह।

पढ़ना इग्रेक स्ट्रोक, एक्स से ईएफ स्ट्रोक, टी से ईएस स्ट्रोक,ठीक है, आप समझते हैं...)

एक अभाज्य किसी विशेष फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भी इंगित कर सकता है, उदाहरण के लिए: (2x+3)", (एक्स 3 )" , (सिनक्स)"वगैरह। अक्सर व्युत्पन्नों को विभेदकों का उपयोग करके दर्शाया जाता है, लेकिन हम इस पाठ में ऐसे अंकन पर विचार नहीं करेंगे।

चलिए मान लेते हैं कि हमने कार्यों को समझना सीख लिया है। जो कुछ बचा है वह सीखना है कि उन्हें कैसे हल किया जाए।) मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं: व्युत्पन्न खोजना है कुछ नियमों के अनुसार किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन।हैरानी की बात यह है कि इनमें से बहुत कम नियम हैं।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको केवल तीन चीज़ें जानने की आवश्यकता है। तीन स्तंभ जिन पर सभी भेदभाव खड़े हैं। यहाँ वे तीन स्तंभ हैं:

1. डेरिवेटिव की तालिका (विभेदीकरण सूत्र)।

3. एक जटिल फलन का व्युत्पन्न।

आइए क्रम से शुरू करें। इस पाठ में हम डेरिवेटिव की तालिका देखेंगे।

डेरिवेटिव की तालिका.

संसार में अनगिनत प्रकार के कार्य हैं। इस सेट में ऐसे कार्य हैं जो व्यावहारिक उपयोग के लिए सबसे महत्वपूर्ण हैं। ये कार्य प्रकृति के सभी नियमों में पाए जाते हैं। इन कार्यों से, जैसे ईंटों से, आप अन्य सभी का निर्माण कर सकते हैं। कार्यों के इस वर्ग को कहा जाता है प्राथमिक कार्य.स्कूल में इन कार्यों का अध्ययन किया जाता है - रैखिक, द्विघात, अतिपरवलय, आदि।

कार्यों का विभेदन "शुरुआत से", अर्थात्। व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमा के सिद्धांत के आधार पर, यह काफी श्रम-गहन बात है। और गणितज्ञ भी लोग हैं, हाँ, हाँ!) इसलिए उन्होंने अपना (और हमारा) जीवन सरल बना दिया। उन्होंने हमसे पहले प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न की गणना की। परिणाम डेरिवेटिव की एक तालिका है, जहां सब कुछ तैयार है।)

यहाँ यह है, सबसे लोकप्रिय कार्यों के लिए यह प्लेट। बाईं ओर एक प्राथमिक कार्य है, दाईं ओर इसका व्युत्पन्न है।

	समारोह य	फ़ंक्शन y का व्युत्पन्न य"
1	सी (निरंतर मूल्य)	सी" = 0
2	एक्स	एक्स" = 1
3	x n (n - कोई भी संख्या)	(x n)" = nx n-1
	एक्स 2 (एन = 2)	(x 2)" = 2x
4	पाप एक्स	(पाप x)" = cosx
	क्योंकि x	(क्योंकि x)" = - पाप x
	टीजी एक्स
	सीटीजी एक्स
5	आर्कसिन एक्स
	आर्ककोस एक्स
	आर्कटान एक्स
	आर्कसीटीजी एक्स
4	एएक्स
	इएक्स
5	लकड़ी का लट्ठा एएक्स
	एलएन एक्स ( ए = ई)

मैं डेरिवेटिव की इस तालिका में कार्यों के तीसरे समूह पर ध्यान देने की सलाह देता हूं। पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सबसे आम सूत्रों में से एक है, यदि सबसे आम नहीं है! क्या आप संकेत समझ गए?) हां, डेरिवेटिव की तालिका को दिल से जानने की सलाह दी जाती है। वैसे, यह उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है। अधिक उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें, तालिका स्वयं याद हो जाएगी!)

जैसा कि आप समझते हैं, व्युत्पन्न का तालिका मान ज्ञात करना सबसे कठिन कार्य नहीं है। इसलिए, अक्सर ऐसे कार्यों में अतिरिक्त चिप्स होते हैं। या तो कार्य के शब्दों में, या मूल फ़ंक्शन में, जो तालिका में प्रतीत नहीं होता है...

आइए कुछ उदाहरण देखें:

1. फलन y = x का अवकलज ज्ञात कीजिए 3

तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन नहीं है. लेकिन सामान्य रूप (तीसरे समूह) में पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होता है। हमारे मामले में n=3. इसलिए हम n के स्थान पर तीन प्रतिस्थापित करते हैं और परिणाम को ध्यानपूर्वक लिखते हैं:

(एक्स 3) " = 3 एक्स 3-1 = 3x 2

इतना ही।

उत्तर: y" = 3x 2

2. बिंदु x = 0 पर फलन y = synx के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

इस कार्य का अर्थ है कि आपको पहले साइन का व्युत्पन्न खोजना होगा, और फिर मान को प्रतिस्थापित करना होगा एक्स = 0इसी व्युत्पन्न में. बिल्कुल उसी क्रम में!अन्यथा, ऐसा होता है कि वे मूल फ़ंक्शन में तुरंत शून्य डाल देते हैं... हमें मूल फ़ंक्शन का मान नहीं, बल्कि मान ज्ञात करने के लिए कहा जाता है इसका व्युत्पन्न.व्युत्पन्न, मैं आपको याद दिला दूं, एक नया फ़ंक्शन है।

टैबलेट का उपयोग करके हम साइन और संबंधित व्युत्पन्न पाते हैं:

y" = (sin x)" = cosx

हम व्युत्पन्न में शून्य प्रतिस्थापित करते हैं:

y"(0) = cos 0 = 1

यही उत्तर होगा.

3. फ़ंक्शन को अलग करें:

यह क्या प्रेरित करता है?) डेरिवेटिव की तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन नहीं है।

मैं आपको याद दिला दूं कि किसी फ़ंक्शन को अलग करने का मतलब केवल इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढना है। यदि आप प्राथमिक त्रिकोणमिति को भूल जाते हैं, तो हमारे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करना काफी परेशानी भरा है। तालिका मदद नहीं करती...

लेकिन अगर हम देखें तो हमारा कार्य है द्विकोण कोज्या, तो सब कुछ तुरंत बेहतर हो जाता है!

हां हां! याद रखें कि मूल फ़ंक्शन को बदलना भेदभाव से पहलेबिल्कुल स्वीकार्य! और ऐसा होने से जीवन बहुत आसान हो जाता है। दोहरे कोण कोज्या सूत्र का उपयोग करना:

वे। हमारा पेचीदा कार्य इससे अधिक कुछ नहीं है y = cosx. और यह एक टेबल फ़ंक्शन है. हमें तुरंत मिलता है:

उत्तर: y" = - पाप x.

उन्नत स्नातकों और छात्रों के लिए उदाहरण:

4. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

निस्संदेह, डेरिवेटिव तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन नहीं है। लेकिन अगर आपको प्रारंभिक गणित, शक्तियों के साथ संचालन याद है... तो इस फ़ंक्शन को सरल बनाना काफी संभव है। इस कदर:

और x से दसवें की घात पहले से ही एक सारणीबद्ध फलन है! तीसरा समूह, n=1/10. हम सीधे सूत्र के अनुसार लिखते हैं:

बस इतना ही। यही उत्तर होगा.

मुझे आशा है कि विभेदीकरण के पहले स्तंभ - डेरिवेटिव की तालिका - के साथ सब कुछ स्पष्ट है। शेष दो व्हेलों से निपटना बाकी है। अगले पाठ में हम विभेदन के नियम सीखेंगे।

मान लीजिए कि फ़ंक्शन को एक बिंदु और उसके कुछ पड़ोस पर परिभाषित किया गया है। आइए तर्क को इस प्रकार बढ़ाएँ कि बिंदु फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में आ जाए। इसके बाद कार्य बढ़ाया जाएगा।

परिभाषा। एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा को तर्क की वृद्धि कहा जाता है, (यदि यह सीमा मौजूद है और सीमित है), अर्थात।

निरूपित करें: ,,,।

दाएँ (बाएँ) पर एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न बुलाया

(यदि यह सीमा मौजूद है और सीमित है)।

द्वारा निर्दिष्ट: , - दाईं ओर बिंदु पर व्युत्पन्न,

, बाईं ओर के बिंदु पर व्युत्पन्न है।

जाहिर है, निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

प्रमेय. किसी फ़ंक्शन का एक बिंदु पर व्युत्पन्न होता है यदि और केवल यदि इस बिंदु पर दाएं और बाएं पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न मौजूद होते हैं और एक दूसरे के बराबर होते हैं। इसके अतिरिक्त

निम्नलिखित प्रमेय एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के अस्तित्व और उस बिंदु पर फ़ंक्शन की निरंतरता के बीच संबंध स्थापित करता है।

प्रमेय (एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त)। यदि किसी फ़ंक्शन का किसी बिंदु पर व्युत्पन्न है, तो उस बिंदु पर फ़ंक्शन निरंतर है।

सबूत

इसे अस्तित्व में रहने दो. तब

,

जहां पर अतिसूक्ष्म है.

टिप्पणी

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न और निरूपित करें

कार्य का विभेदन .

ज्यामितीय और भौतिक अर्थ

1) व्युत्पत्ति का भौतिक अर्थ. यदि कोई फ़ंक्शन और उसका तर्क भौतिक मात्राएं हैं, तो व्युत्पन्न एक बिंदु पर चर के सापेक्ष एक चर के परिवर्तन की दर है। उदाहरण के लिए, यदि समय में किसी बिंदु द्वारा तय की गई दूरी है, तो इसका व्युत्पन्न समय के क्षण में गति है। यदि एक पल में कंडक्टर के क्रॉस सेक्शन के माध्यम से बहने वाली बिजली की मात्रा है, तो एक पल में बिजली की मात्रा में परिवर्तन की दर है, यानी। समय के एक क्षण में वर्तमान ताकत।

2) व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ.

चलो कोई वक्र हो, वक्र पर एक बिंदु हो।

कम से कम दो बिंदुओं को प्रतिच्छेद करने वाली कोई भी सीधी रेखा कहलाती है काटनेवाला .

एक बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा यदि बिंदु किसी वक्र के अनुदिश गति करता है, तो इसे सेकेंट की सीमा स्थिति कहा जाता है।

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि यदि किसी बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा मौजूद है, तो वह एकमात्र है

एक वक्र पर विचार करें (अर्थात किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़)। इसे एक बिंदु पर एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा होने दें। इसका समीकरण: (एक बिंदु से गुजरने वाली और कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण)।

ढलान की परिभाषा के अनुसार

अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण कहां है।

मान लीजिए कि छेदक का अक्ष पर झुकाव का कोण है, जहां। चूँकि स्पर्शरेखा है, तो कब

इस तरह,

इस प्रकार, हमें वह मिल गया - बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक(एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ)। अत: किसी बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा का समीकरण इस रूप में लिखा जा सकता है

टिप्पणी . किसी बिंदु से होकर उस बिंदु पर वक्र पर खींची गई स्पर्शरेखा के लंबवत गुजरने वाली सीधी रेखा को कहा जाता है बिंदु पर वक्र के सामान्य . चूँकि लंब सीधी रेखाओं के कोणीय गुणांक संबंध से संबंधित होते हैं, एक बिंदु पर वक्र के सामान्य के समीकरण का रूप होगा

, अगर ।

यदि, तो बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा का रूप होगा

और सामान्य.

स्पर्शरेखा और सामान्य समीकरण

स्पर्शरेखा समीकरण

मान लीजिए कि फलन समीकरण द्वारा दिया गया है य=एफ(एक्स), आपको समीकरण लिखना होगा स्पर्शरेखाबिंदु पर एक्स 0. व्युत्पन्न की परिभाषा से:

य/(एक्स)=limΔ एक्स→0Δ यΔ एक्स

Δ य=एफ(एक्स+Δ एक्स)−एफ(एक्स).

समीकरण स्पर्शरेखाफ़ंक्शन ग्राफ़ के लिए: य=केएक्स+बी (क,बी=कॉन्स्ट). व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ से: एफ/(एक्स 0)=टीजीα= कक्योंकि एक्स 0 और एफ(एक्स 0)∈ सीधी रेखा, फिर समीकरण स्पर्शरेखाइस प्रकार लिखा गया है: य−एफ(एक्स 0)=एफ/(एक्स 0)(एक्स−एक्स 0) , या

य=एफ/(एक्स 0)· एक्स+एफ(एक्स 0)−एफ/(एक्स 0)· एक्स 0.

सामान्य समीकरण

सामान्य- के लंबवत है स्पर्शरेखा(तस्वीर देखने)। इस पर आधारित:

टीजीβ= टीजी(2π−α)= सीटीजीα=1 टीजीα=1 एफ/(एक्स 0)

क्योंकि अभिलंब के झुकाव का कोण कोण β1 है, तो हमारे पास है:

टीजीβ1= टीजी(π−β)=− टीजीβ=−1 एफ/(एक्स).

बिंदु ( एक्स 0,एफ(एक्स 0))∈ सामान्य, समीकरण निम्न रूप लेता है:

य−एफ(एक्स 0)=−1एफ/(एक्स 0)(एक्स−एक्स 0).

सबूत

इसे अस्तित्व में रहने दो. तब

,

जहां पर अतिसूक्ष्म है.

लेकिन इसका मतलब यह है कि यह एक बिंदु पर निरंतर है (निरंतरता की ज्यामितीय परिभाषा देखें)। ∎

टिप्पणी . किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता किसी बिंदु पर इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्त नहीं है। उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन सतत है, लेकिन किसी बिंदु पर उसका कोई व्युत्पन्न नहीं है। वास्तव में,

और इसलिए अस्तित्व में नहीं है.

जाहिर है, पत्राचार किसी सेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है। वे उसे बुलाते हैं किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न और निरूपित करें

किसी फ़ंक्शन के लिए उसके व्युत्पन्न फ़ंक्शन को खोजने की प्रक्रिया को कहा जाता है कार्य का विभेदन .

योग और अंतर का व्युत्पन्न

मान लीजिए कि फलन f(x) और g(x) दिए गए हैं जिनके अवकलज हमें ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, आप ऊपर चर्चा किए गए प्राथमिक कार्यों को ले सकते हैं। फिर आप इन कार्यों के योग और अंतर का व्युत्पन्न पा सकते हैं:

(एफ + जी)' = एफ '+ जी'

(एफ - जी)' = एफ ' - जी'

तो, दो कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग (अंतर) के बराबर है। और भी शर्तें हो सकती हैं. उदाहरण के लिए, (f + g + h)' = f' + g' + h'।

कड़ाई से कहें तो, बीजगणित में "घटाव" की कोई अवधारणा नहीं है। "नकारात्मक तत्व" की एक अवधारणा है। इसलिए, अंतर f - g को योग f + (−1) g के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, और तब केवल एक सूत्र बचता है - योग का व्युत्पन्न।