Одной из областей наиболее эффективного применения 2-спи-норных методов оказалось исследование асимптотических проблем теории относительности. Примером таких проблем, имеющим важное значение, может служить определение полной величины энергии-импульса, содержащейся в асимптотически плоском пространстве-времени, и гравитационного излучения. В этом случае спинорные методы особенно эффективны в сочетании с методом , при котором путем конформного преобразования метрики «бесконечность делается конечной». При таком методе мы преобразуем метрику пространства-времени заменяя исходную физическую метрику новой, «нефизической» метрикой конформно-связанной с

где - достаточно гладкая и всюду положительная функция, определенная на Метрический тензор и обратный ему тензор преобразуются по формулам

Если обладает соответствующей асимптотической структурой и выбран подходящий конформный множитель то к можно «присоединить» некоторую граничную поверхность 3 [это обозначение читается «скрай» - аббревиатура от «script I»]. Эта поверхность вводится таким образом, что «нефизическая» метрика может быть продолжена до лежащих на границе новых точек без вырождения и с определенной степенью гладкости. Функция Й тоже может быть продолжена с соответствующей степенью гладкости, но на поверхности обращается в нуль. Это означает, что физическая метрика должна быть на границе У бесконечной, а потому не может быть на нее продолжена. Так что в плане физической метрики новые точки (а именно точки на поверхности бесконечно удалены от

соседних с ними точек. В физике это соответствует «точкам в бесконечности».

Присоединение поверхности к такого рода пространству-времени дает нам гладкое многообразие с границей, которое мы будем обозначать символом причем

Символ границы, - символ внутренней области многообразия). Преимущество предлагаемого подхода заключается в том, что теперь можно применить к мощные локальные методы дифференциальной геометрии и спинорной алгебры, которые будут давать информацию об асимптотике пространства-времени Таким образом, при исследовании важнейших законов убывания физических и геометрических величин, например в вопросах, связанных с излучением в асимптотически-плоском пространстве-времени, отпадает необходимость в сложных предельных переходах. Да и само определение асимптотической евклидовости в общей теории относительности может быть теперь дано в удобной «бескоординатной» форме. Конформные методы очень подходят для теории относительности по той простой причине, что многое в ней является конформноинвариантным: уравнения для безмассового свободного поля, конформный тензор Вейля, изотропные геодезические, изотропные гиперповерхности, релятивистская причинность и (особенно в случае пространства Минковского) теория твисторов. Предлагаемый метод подобен используемому в комплексном анализе, где для получения римановой сферы «точку на бесконечности» присоединяют к аргандовой плоскости (гл. 1, § 2), а также методу, используемому в проективной геометрии.

Описание в явно координатной форме

Сначала рассмотрим процедуру построения конформной бесконечности для пространства Минковского М. В этом случае физическая метрика в сферических координатах имеет вид

Для удобства введем два параметра времени: запаздывающий и опережающий Получим

Свобода в выборе конформного множителя довольно велика. Однако в случае интересующего нас здесь пространства-времени (а именно асимптотически-простого) из общих соображений [см. текст после формулы (9.7.22)] функцию нужно выбрать так, чтобы она вдоль любого луча стремилась к нулю (и в прошлом, и в будущем) как величина, обратная аффинному параметру луча А, (т. е. при при вдоль луча). Всякая гиперповерхность представляет собой световой конус будущего, построенный из лучей (изотропных прямых линий), для которых величины 0 и тоже остаются постоянными. Координата играет роль аффинного параметра будущего каждого из этих радиальных лучей. Аналогично координата и служит аффинным параметром прошлого этих лучей. Следовательно, нужно потребовать, чтобы выполнялись условия при и на луче при и на луче Если мы к тому же хотим, чтобы функция была гладкой на конечных кусках пространства-времени, то сам собой напрашивается выбор

(множитель 2 введен для удобства в дальнейшем), и тогда

Допустимы и многие другие формы функции , но эта, как мы скоро убедимся, оказывается особенно удобной.

Чтобы нашим «точкам на бесконечности» соответствовали конечные значения координат, следует и и о заменить параметрами такими, что

Пределы изменения переменных и указаны на рис. 9.1, где каждая точка представляет 2-сферу радиусом Вертикальная прямая соответствует пространственному началу координат и представляет всего лишь координатную сингулярность. Само же пространство-время на этой прямой (да и всюду), конечно, несингулярно. Наклонные прямые изображают (изотропную) бесконечность (обозначаемую символами соответственно) пространства Минковского (ибо этим прямым отвечают значения Но метрика (9.1.5), очевидно, идеально регулярна на этих прямых. Можно ожидать, что пространство-время

Рис. 9.1. Область пространства соответствующая пространству М. Прямая значит, и является осью сферической симметрии.

и его метрика будут несингулярными и вне этих областей. Вертикальная прямая тоже является координатной сингулярностью точно такого же типа, что и прямая Всю вертикальную полосу можно использовать для определения пространства-времени глобальная структура которого отвечает произведению пространственноподобной 3-сферы и бесконечной времениподобной прямой («статическая вселенная Эйнштейна»). Чтобы убедиться в этом, выберем новые координаты

Часть этой метрики, заключенная в фигурные скобки, есть метрика единичной 3-сферы.

Часть пространства-времени конформную исходному пространству Минковского, можно рассматривать как пространство, заключенное между световыми конусами точек Точка имеет координаты , а точка - координаты Эта часть «обертывается» вокруг

Рис. 9.2. Область на эйнштейновском цилиндре соответствующая пространству М.

и замыкается с «тыльной» стороны в единственной, точке с координатами Заметим, что в точке а это и говорит о том, что точку следует рассматривать как единственную точку, а не 2-сферу. Рассматриваемая ситуация изображена на рис. 9.2, где отброшены два измерения. Два-пространство Минковского конформно внутренней части квадрата (изображенного наклоненным на 45°). Этот квадрат обертывается вокруг цилиндра, который представляет собой двумерный вариант статической вселенной Эйнштейна. Учет недостающих измерений ничего существенно не изменяет. Вблизи точки интересующая нас область находится внутри светового конуса будущего, связанного с точкой Этот световой конус (т. е. точечное множество, «ометаемое» лучами, которые идут из точки в будущее) фокусируется на задней стороне вселенной Эйнштейна в одной точке (которая в пространственном отношении диаметрально противоположна точке Вблизи точки интересующая; нас область (пространства Минковского) простирается в пространственноподобных направлениях от Световой конус будущего для точки опять же фокусируется в одной точке пространственное положение

Прежде всего отметим, что проективная плоскость в отличие от евклидовой плоскости не имеет бесконечной протяженности. Давайте выясним, в чем же различие между ними, а с другой стороны, как они между собой связаны? Для этого давайте уточним, какие положения евклидовой плоскости используются в проективной геометрии. В основе проективной геометрии лежит своя система аксиом. И хотя логические построения на аксиоматическом фундаменте являются замечательной иллюстрацией математического метода, однако, будучи при этом оторванным от евклидовой геометрии, такое изложение проективной геометрии излишне абстрактно. Поэтому для большей конкретности и наглядности целесообразно исходить из модели евклидовой плоскости.

Известно, что прямая на евклидовой плоскости продолжается в обе стороны бесконечно и что между точками прямой и всеми действительными числами можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором естественной упорядоченности точек на прямой отвечает упорядоченность чисел но их величине.

Дополним теперь прямую «слева и справа» одной и той же условной точкой которую назовем бесконечно удаленной точкой.

Понятно, что возникает сомнение - а можно ли говорить о реальности несуществующих точек? Однако в современных теориях это встречается часто. Так, например, хотя среди действительных чисел нет бесконечно больших чисел, в математическом анализе применяется символ правда не в качестве числа, а для обозначения неограниченного роста. (В этом же смысле символ употребляется по отношению к тригонометрическим функциям.) После добавления к обычной прямой бесконечно удаленной точки «пополненная» прямая становится замкнутой. Давайте теперь прибавим к: каждой обычной прямой по бесконечно удаленной точке, причем условимся, что когда прямые параллельны, то добавляемые к ним точки совпадают, когда же прямые не параллельны, то их бесконечно удаленные точки различны.

Две пересекающиеся на евклидовой плоскости прямые пересекаются в обычной точке, причем бесконечно удаленные точки этих прямых не совпадают. Следовательно, в этой новой геометрии параллельных прямых не существует, каждые две прямые обязательно

пересекаются в одной точке. Семейство параллельных между собой в обычной геометрии прямых имеет одну общую бесконечно удаленную точку, разнонаправленные же прямые имеют разные бесконечно удаленные точки. В связи с этим бесконечно удаленных точек бесконечно много.

Множество этих бесконечно удаленных точек, опять-таки по определению, составляет одну так называемую бесконечно удаленную прямую

Таким образом мы получаем геометрию, в которой к евклидовой плоскости добавляется одна бесконечно удаленная прямая.

По существу, эта геометрия пока не очень отличается от евклидовой геометрии. Вместо положения о параллельности двух прямых вводится положение об их пересечении в бесконечно удаленной точке.

Основные аксиомы, принятые в проективной геометрии, утверждают, что две точки определяют одну прямую (если обе точки - бесконечно удаленные, то они определяют бесконечно удаленную прямую и что две прямые всегда пересекаются в одной точке. И хотя положения этих двух аксиом весьма важны, но до тех пор пока мы выделяем

некоторые точки в одну бесконечно удаленную прямую, мы практически не меняем сути евклидовой геометрии и не привносим в геометрию ничего нового.

- (англ. assemblage point) одно из основополагающих понятий, использованное мыслителем эзотерической ориентации и мистиком Карлосом Кастанедой в своих книгах. Одной из самых драматических черт человеческой природы является ужасная связь между … Википедия

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L. Предел функции одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x0, если для всех значений x, достаточно близких к x0,… … Википедия

Указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения). Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например, точка в которой… … Википедия

Особая точка указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения). Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например,… … Википедия

- ∞ Термин бесконечность соответствует нескольким различным понятиям, в зависимости от области применения, будь то математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь. Финитизм отрицает понятие Бесконечность. Бесконечность в большинстве… … Википедия

Температура (около 2,17 K), ниже которой жидкий гелий (гелий I), переходит в состояние сверхтекучести (гелий II). Если быть более точным, существуют нижняя лямбда точка (при 2.172 K и 0.0497 атм) и верхняя лямбда точка (при 1.76 K и 29.8 атм).… … Википедия

1) К. т. порядка та такая точка акомплексной плоскости, в к рой аналитич. функция f(z) регулярна, а ее производная f (z) имеет нуль порядка m, где т натуральное число. Иными словами, К. т. определяется условиями: Бесконечно удаленная К. т.… … Математическая энциклопедия

Аналитической функции точка, в к рой нарушаются условия аналитичности. Если аналитическаяфункция f(z)задана в нек рой окрестности точки z0 всюду … Физическая энциклопедия

В теории дифференциальных уравнений с комплексным временем, точка называется фуксовой особой точкой линейного дифференциального уравнения если матрица системы A(t) имеет в ней полюс первого порядка. Это простейшая возможная особенность… … Википедия

Несобственная седловая точка, тип расположения траекторий динамич. системы. Говорят, что динамич. система ft (или, иначе, f(, р),. см. ), заданная на, имеет С. в б., если найдутся точки и числа, такие, что последовательности сходящиеся, а … Математическая энциклопедия

Задача Аполлония построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна … Википедия

Книги

• , Дэвид Дойч. Цитата "... Прогресс вовсе не обязательно должен иметь конец, но у него всегда есть отправная точка - причина, по которой он начался, событие, которое способствовало этому, или необходимое…
• Начало бесконечности. Объяснения, которые меняют мир , Дэвид Дойч. Цитата `... Прогресс вовсе не обязательно должен иметь конец, но у него всегда есть отправная точка - причина, по которой он начался, событие, которое способствовало этому, или необходимое…

Если некоторая последовательность сходится к конечному числу a , то пишут
.
Ранее мы ввели в рассмотрение бесконечно большие последовательности . Мы приняли, что они являются сходящимися и обозначили их пределы символами и . Эти символы обозначают бесконечно удаленные точки . Они не принадлежат множеству действительных чисел. Но понятие предела позволяет ввести такие точки и дает инструмент для изучения их свойств с помощью действительных чисел.

Определение
Бесконечно удаленная точка , или бесконечность без знака, - это предел, к которому стремится бесконечно большая последовательность.
Бесконечно удаленная точка плюс бесконечность , - это предел, к которому стремится бесконечно большая последовательность с положительными членами.
Бесконечно удаленная точка минус бесконечность , - это предел, к которому стремится бесконечно большая последовательность с отрицательными членами.

Для любого действительного числа a имеют место следующее неравенства:
;
.

Используя действительные числа, мы ввели понятие окрестности бесконечно удаленной точки .
Окрестностью точки является множество .
Наконец, окрестностью точки является множество .
Здесь M - произвольное, сколь угодно большое действительные число.

Таким образом, мы расширили множество действительных чисел, введя в него новые элементы. В связи с этим, имеет место следующее определение:

Расширенной числовой прямой или расширенным множеством действительных чисел называется множество действительных чисел , дополненное элементами и :
.

Вначале мы выпишем свойства, которыми обладают точки и . Далее рассмотрим вопрос строгого математического определения операций для этих точек и доказательства этих свойств.

Свойства бесконечно удаленных точек

Сумма и разность .
; ;
; ;

Произведение и частное .
; ; ;
;
;
; ; .

Связь с действительными числами .
Пусть a - произвольное действительное число. Тогда
; ;
; ; ; .
Пусть a > 0 . Тогда
; ; .
Пусть a < 0 . Тогда
; .

Неопределенные операции .
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Доказательства свойств бесконечно удаленных точек

Определение математических операций

Мы уже дали определения для бесконечно удаленных точек. Теперь мы должны определить для них математические операции. Поскольку мы определили эти точки посредством последовательностей, то и операции с этими точками также следует определить, используя последовательности.

Итак, суммой двух точек
c = a + b ,
принадлежащих расширенному множеству действительных чисел,
,
мы будем называть предел
,
где и - произвольные последовательности, имеющие пределы
и .

Аналогичным образом определяются операции вычитания, умножения и деления. Только, в случае деления, элементы в знаменателе дроби не должны быть равными нулю.
Тогда разность двух точек:
- это предел: .
Произведение точек:
- это предел: .
Частное:
- это предел: .
Здесь и - произвольные последовательности, чьи пределы равны a и b , соответственно. В последнем случае, .

Доказательства свойств

Для доказательства свойств бесконечно удаленных точек, нам нужно использовать свойства бесконечно больших последовательностей.

Рассмотрим свойство:
.
Для его доказательства, мы должны показать, что
,

Другими словами нам нужно доказать, что сумма двух последовательностей, сходящихся к плюс бесконечности, сходится к плюс бесконечности.

1 выполняются неравенства:
;
.
Тогда при и имеем:
.
Положим . Тогда
при ,
где .
Это и означает, что .

Аналогичным способом доказываются и другие свойства. В качестве примера приведем еще одно доказательство.

Докажем, что:
.
Для этого мы должны показать, что
,
где и - произвольные последовательности, с пределами и .

То есть нам нужно доказать, что произведение двух бесконечно больших последовательностей является бесконечно большой последовательностью.

Докажем это. Поскольку и , то имеются некоторые функции и , так что для любого положительного числа M 1 выполняются неравенства:
;
.
Тогда при и имеем:
.
Положим . Тогда
при ,
где .
Это и означает, что .

Неопределенные операции

Часть математических операций с бесконечно удаленными точками не определены. Чтобы показать их неопределенность, нужно привести пару частных случаев, когда результат операции зависит от выбора входящих в них последовательностей.

Рассмотрим такую операцию:
.
Легко показать, что если и , то предел суммы последовательностей зависит от выбора последовательностей и .

Действительно, возьмем . Пределы этих последовательностей равны . Предел суммы

равен бесконечности.

Теперь возьмем . Пределы этих последовательностей также равны . Но предел их суммы

равен нулю.

То есть при условии, что и , значение предела суммы может принимать различные значения. Поэтому операция не определена.

Аналогичным способом можно показать неопределенность остальных операции, представленных выше.

Определение
Последовательность { β n } называется бесконечно большой последовательностью , если для любого, сколь угодно большого числа M , существует такое натуральное число N M , зависящее от M , что для всех натуральных n > N M выполняется неравенство
|β n | > M .
В этом случае пишут
.
Или при .
Говорят, что стремится к бесконечности, или сходится к бесконечности .

Если , начиная с некоторого номера N 0 , то
( сходится к плюс бесконечности ).
Если же , то
( сходится к минус бесконечности ).

Запишем эти определения с помощью логических символов существования и всеобщности:
(1) .
(2) .
(3) .

Последовательности с пределами (2) и (3) являются частными случаями бесконечно большой последовательности (1). Из этих определений следует, что если предел последовательности равен плюс или минус бесконечности, то он также равен и бесконечности:
.
Обратное, естественно, не верно. Члены последовательности могут иметь чередующиеся знаки. При этом предел может равняться бесконечности, но без определенного знака.

Заметим также, что если какое-то свойство выполняется для произвольной последовательности с пределом равным бесконечности, то это же свойство выполняется и для последовательности, чей предел равен плюс или минус бесконечности.

Во многих учебниках по математическому анализу, в определении бесконечно большой последовательности указывается, что число M является положительным: M > 0 . Однако это требование является лишним. Если его отменить, то никаких противоречий не возникает. Просто малые или отрицательные значения для нас не представляют никакого интереса. Нас интересует поведение последовательности при сколь угодно больших положительных значениях M . Поэтому, если возникнет необходимость, то M можно ограничить снизу любым, наперед заданным числом a , то есть считать, что M > a .

Когда же мы определяли ε - окрестность конечной точки, то требование ε > 0 является важным. При отрицательных значениях, неравенство вообще не может выполняться.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Когда мы рассматривали конечные пределы, то ввели понятие окрестности точки. Напомним, что окрестностью конечной точки является открытый интервал, содержащий эту точку. Также мы можем ввести понятия окрестностей бесконечно удаленных точек.

Пусть M - произвольное число.
Окрестностью точки "бесконечность" , , называется множество .
Окрестностью точки "плюс бесконечность" , , называется множество .
Окрестностью точки "минус бесконечность" , , называется множество .

Строго говоря, окрестностью точки "бесконечность" является множество
(4) ,
где M 1 и M 2 - произвольные положительные числа. Мы будем использовать первое определение, , поскольку оно проще. Хотя, все сказанное ниже, также справедливо и при использовании определения (4).

Теперь мы можем дать единое определение предела последовательности, которое относится как к конечным, так и к бесконечным пределам.

Универсальное определение предела последовательности .
Точка a (конечная или бесконечно удаленная) является пределом последовательности , если для любой окрестности этой точки существует такое натуральное число N , что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.

Таким образом, если предел существует, то за пределами окрестности точки a может находиться только конечное число членов последовательности, или пустое множество. Это условие является необходимым и достаточным. Доказательство этого свойства, точно такое, как для конечных пределов.

Свойство окрестности сходящейся последовательности
Для того, чтобы точка a (конечная или бесконечно удаленная) являлась пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы за пределами любой окрестности этой точки находилось конечное число членов последовательности или пустое множество.
Доказательство .

Также иногда вводят понятия ε - окрестностей бесконечно удаленных точек.
Напомним, что ε - окрестностью конечной точки a называется множество .
Введем следующее обозначение. Пусть обозначает ε - окрестность точки a . Тогда для конечной точки,
.
Для бесконечно удаленных точек:
;
;
.
Используя понятия ε - окрестностей, можно дать еще одно универсальное определение предела последовательности:

Точка a (конечная или бесконечно удаленная) является пределом последовательности , если для любого положительного числа ε > 0 существует такое натуральное число N ε , зависящее от ε , что для всех номеров n > N ε члены x n принадлежат ε - окрестности точки a :
.

С помощью логических символов существования и всеобщности, это определение запишется так:
.

Примеры бесконечно больших последовательностей

Сначала мы рассмотрим три простых похожих примера, а затем решим более сложный.

Пример 1

.

.
Выпишем определение бесконечно большой последовательности:
(1) .
В нашем случае
.

Вводим числа и , связав их неравенствами:
.
По свойствам неравенств , если и , то
.
Заметим, что при это неравенство выполняется для любых n . Поэтому можно выбрать и так:
при ;
при .

Итак, для любого можно найти натуральное число , удовлетворяющее неравенству . Тогда для всех ,
.
Это означает, что . То есть последовательность является бесконечно большой.

Пример 2

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

(2) .
Общий член заданной последовательности имеет вид:
.

Вводим числа и :
.
.

Тогда для любого можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству , так что для всех ,
.
Это означает, что .

.

Пример 3

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Выпишем определение предела последовательности, равному минус бесконечности:
(3) .
Общий член заданной последовательности имеет вид:
.

Вводим числа и :
.
Отсюда видно, что если и , то
.

Поскольку для любого можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству , то
.

При заданном , в качестве N можно взять любое натуральное число, удовлетворяющее следующему неравенству:
.

Пример 4

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Выпишем общий член последовательности:
.
Выпишем определение предела последовательности, равному плюс бесконечности:
(2) .

Поскольку n есть натуральное число, n = 1, 2, 3, ... , то
;
;
.

Вводим числа и M , связав их неравенствами:
.
Отсюда видно, что если и , то
.

Итак, для любого числа M можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству . Тогда для всех ,
.
Это означает, что .

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.