Рассмотрим проекции точек на две плоскости, для чего возьмем две перпендикулярные плоскости (рис. 4), которые будем называть горизонтальной фронтальной и плоскостями. Линию пересечения данных плоскостей называют осью проекций. На рассмотренные плоскости спроецируем одну точку А с помощью плоской проекции. Для этого необходимо опустить из данной точки перпендикуляры Аа и A на рассмотренные плоскости.

Проекцию на горизонтальную плоскость называют горизонтальной проекцией точки А , а проекцию а? на фронтальную плоскость называют фронтальной проекцией .

Точки, которые подлежат проецированию, в начертательной геометрии принято обозначать с помощью больших латинских букв А, В, С . Для обозначения горизонтальных проекций точек применяют малые буквы а, b, с … Фронтальные проекции обозначают малыми буквами со штрихом вверху а?, b?, с? …

Применяется также и обозначение точек римскими цифрами I, II,… а для их проекций – арабскими цифрами 1, 2… и 1?, 2?…

При повороте горизонтальной плоскости на 90° можно получить чертеж, в котором обе плоскости находятся в одной плоскости (рис. 5). Данная картина называется эпюром точки .

Через перпендикулярные прямые Аа и Аа? проведем плоскость (рис. 4). Полученная плоскость является перпендикулярной фронтальной и горизонтальной плоскостям, потому что содержит перпендикуляры к этим плоскостям. Следовательно, данная плоскость перпендикулярна линии пересечения плоскостей. Полученная прямая пересекает горизонтальную плоскость по прямой аа х, а фронтальную плоскость – по прямой а?а х. Прямые аах и а?а х являются перпендикулярными оси пересечения плоскостей. То есть Аааха? является прямоугольником.

При совмещении горизонтальной и фронтальной плоскостей проекции а и а? будут лежать на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей, так как при вращении горизонтальной плоскости перпендикулярность отрезков аа х и а?а х не нарушится.

Получаем, что на эпюре проекции а и а? некоторой точки А всегда лежат на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей.

Две проекции а и а? некоторой точки А могут однозначно определить ее положение в пространстве (рис. 4). Это подтверждается тем, что при построении перпендикуляра из проекции а к горизонтальной плоскости он пройдет через точку А. Точно так же перпендикуляр из проекции а? к фронтальной плоскости пройдет через точку А , т. е. точка А находится одновременно на двух определенных прямых. Точка А является их точкой пересечения, т. е. является определенной.

Рассмотрим прямоугольник Aaa х а? (рис. 5), для которого справедливы следующие утверждения:

1) Расстояние точки А от фронтальной плоскости равно расстоянию ее горизонтальной проекции а от оси пересечения плоскостей, т. е.

Аа? = аа х;

2) расстояние точки А от горизонтальной плоскости проекций равно расстоянию ее фронтальной проекции а? от оси пересечения плоскостей, т. е.

Аа = а?а х.

Иначе говоря, даже без самой точки на эпюре, используя только две ее проекции, можно узнать, на каком расстоянии от каждой из плоскостей проекций находится данная точка.

Пересечение двух плоскостей проекций разделяет пространство на четыре части, которые называют четвертями (рис. 6).

Ось пересечения плоскостей делит горизонтальную плоскость на две четверти – переднюю и заднюю, а фронтальную плоскость – на верхнюю и нижнюю четверти. Верхнюю часть фронтальной плоскости и переднюю часть горизонтальной плоскости рассматривают как границы первой четверти.

При получении эпюра вращается горизонтальная плоскость и совмещается с фронтальной плоскостью (рис. 7). В этом случае передняя часть горизонтальной плоскости совпадет с нижней частью фронтальной плоскости, а задняя часть горизонтальной плоскости – с верхней частью фронтальной плоскости.

На рисунках 8-11 показаны точки А, В, С, D, располагающиеся в различных четвертях пространства. Точка А расположена в первой четверти, точка В – во второй, точка С – в третьей и точка D – в четвертой.

При расположении точек в первой или четвертой четвертях их горизонтальные проекции находятся на передней части горизонтальной плоскости, а на эпюре они лягут ниже оси пересечения плоскостей. Когда точка расположена во второй или третьей четверти, ее горизонтальная проекция будет лежать на задней части горизонтальной плоскости, а на эпюре будет находиться выше оси пересечения плоскостей.

Фронтальные проекции точек, которые расположены в первой или второй четвертях, будут лежать на верхней части фронтальной плоскости, а на эпюре будут находиться выше оси пересечения плоскостей. Когда точка расположена в третьей или четвертой четверти, ее фронтальная проекция – ниже оси пересечения плоскостей.

Чаще всего при реальных построениях фигуру располагают в первой четверти пространства.

В некоторых частных случаях точка (Е ) может лежать на горизонтальной плоскости (рис. 12). В этом случае ее горизонтальная проекция е и сама точка будут совпадать. Фронтальная проекция такой точки будет находиться на оси пересечения плоскостей.

В случае, когда точка К лежит на фронтальной плоскости (рис. 13), ее горизонтальная проекция k лежит на оси пересечения плоскостей, а фронтальная k? показывает фактическое местонахождение этой точки.

Для подобных точек признаком того, что она лежит на одной из плоскостей проекций, служит то, что одна ее проекция находится на оси пересечения плоскостей.

Если точка лежит на оси пересечения плоскостей проекций, она и обе ее проекции совпадают.

Когда точка не лежит на плоскостях проекций, она называется точкой общего положения . В дальнейшем, если нет особых отметок, рассматриваемая точка является точкой общего положения.

2. Отсутствие оси проекций

Для пояснения получения на модели проекций точки на перпендикулярные плоскости проекций (рис. 4) необходимо взять кусок плотной бумаги в форме удлиненного прямоугольника. Его нужно согнуть между проекциями. Линия сгиба будет изображать ось пересечения плоскостей. Если после этого согнутый кусок бумаги вновь расправить, получим эпюр, похожий на тот, что изображен на рисунке.

Совмещая две плоскости проекций с плоскостью чертежа, можно не показывать линию сгиба, т. е. не проводить на эпюре ось пересечения плоскостей.

При построениях на эпюре всегда следует располагать проекции а и а? точки А на одной вертикальной прямой (рис. 14), которая перпендикулярна оси пересечения плоскостей. Поэтому, даже если положение оси пересечения плоскостей остается неопределенным, но ее направление определено, ось пересечения плоскостей может находиться на эпюре только перпендикулярно прямой аа? .

Если на эпюре точки нет оси проекций, как на первом рисунке 14 а, можно представить положение этой точки в пространстве. Для этого проведем в любом месте перпендикулярно прямой аа? ось проекции, как на втором рисунке (рис. 14) и согнем чертеж по этой оси. Если восстановить перпендикуляры в точках а и а? до их пересечения, можно получить точку А . При изменении положения оси проекций получаются различные положения точки относительно плоскостей проекций, но неопределенность положения оси проекций не влияет на взаимное расположение нескольких точек или фигур в пространстве.

3. Проекции точки на три плоскости проекций

Рассмотрим профильную плоскость проекций. Проекции на две перпендикулярные плоскости обычно определяют положение фигуры и дают возможность узнать ее настоящие размеры и форму. Но бывают случаи, когда двух проекций оказывается недостаточно. Тогда применяют построение третьей проекции.

Третью плоскость проекции проводят так, чтобы она была перпендикулярна одновременно обеим плоскостям проекций (рис. 15). Третью плоскость принято называть профильной .

В таких построениях общую прямую горизонтальной и фронтальной плоскостей называют осью х , общую прямую горизонтальной и профильной плоскостей – осью у , а общую прямую фронтальной и профильной плоскостей – осью z . Точка О , которая принадлежит всем трем плоскостям, называется точкой начала координат.

На рисунке 15а показана точка А и три ее проекции. Проекцию на профильную плоскость (а?? ) называют профильной проекцией и обозначают а?? .

Для получения эпюра точки А, которая состоит из трех проекций а, а а , необходимо разрезать трехгранник, образующийся всеми плоскостями, вдоль оси у (рис. 15б) и совместить все эти плоскости с плоскостью фронтальной проекции. Горизонтальную плоскость необходимо вращать около оси х , а профильную плоскость – около оси z в направлении, указанном на рисунке 15 стрелкой.

На рисунке 16 изображено положение проекций а, а? и а?? точки А , полученное в результате совмещения всех трех плоскостей с плоскостью чертежа.

В результате разреза ось у встречается на эпюре в двух различных местах. На горизонтальной плоскости (рис. 16) она принимает вертикальное положение (перпендикулярно оси х ), а на профильной плоскости – горизонтальное (перпендикулярно оси z ).

На рисунке 16 три проекции а, а? и а?? точки А имеют на эпюре строго определенное положение и подчинены однозначным условиям:

а и а? всегда должны располагаться на одной вертикальной прямой, перпендикулярной оси х ;

а? и а?? всегда должны располагаться на одной горизонтальной прямой, перпендикулярной оси z ;

3) при проведении через горизонтальную проекцию а горизонтальной прямой, а через профильную проекцию а?? – вертикальной прямой построенные прямые обязательно пересекутся на биссектрисе угла между осями проекций, так как фигура Оа у а 0 а н – квадрат.

При выполнении построения трех проекций точки нужно проверять выполняемость всех трех условий для каждой точки.

4. Координаты точки

Положение точки в пространстве может быть определено с помощью трех чисел, называемых ее координатами . Каждой координате соответствует расстояние точки от какой-нибудь плоскости проекций.

Расстояние определяемой точки А до профильной плоскости является координатой х , при этом х = а?А (рис. 15), расстояние до фронтальной плоскости – координатой у, причем у = а?А , а расстояние до горизонтальной плоскости – координатой z , при этом z = aA .

На рисунке 15 точка А занимает ширину прямоугольного параллелепипеда, и измерения этого параллелепипеда соответствуют координатам этой точки, т. е., каждая из координат представлена на рисунке 15 четыре раза, т. е.:

х = а?А = Оа х = а у а = a z a?;

y = а?А = Оа y = а x а = а z а?;

z = aA = Oa z = а x а? = а y а?.

На эпюре (рис. 16) координаты х и z встречаются по три раза:

х = а z а?= Оа x = а y а,

z = а x a? = Oa z = а y а?.

Все отрезки, которые соответствуют координате х (или z ), являются параллельными между собой. Координата у два раза представлена осью, расположенной вертикально:

y = Оа у = а х а

и два раза – расположенной горизонтально:

у = Оа у = а z а?.

Данное различие появилось из-за того, что ось у присутствует на эпюре в двух различных положениях.

Следует учесть, что положение каждой проекции определяется на эпюре только двумя координатами, а именно:

1) горизонтальной – координатами х и у ,

2) фронтальной – координатами x и z ,

3) профильной – координатами у и z .

Используя координаты х, у и z , можно построить проекции точки на эпюре.

Если точка А задается координатами, их запись определяется так: А (х; у; z ).

При построении проекций точки А нужно проверять выполняемость следующих условий:

1) горизонтальная и фронтальная проекции а и а? х х ;

2) фронтальная и профильная проекции а? и а? должны располагаться на одном перпендикуляре к оси z , так как имеют общую координату z ;

3) горизонтальная проекция а так же удалена от оси х , как и профильная проекция а удалена от оси z , так как проекции а? и а? имеют общую координату у .

В случае, если точка лежит в любой из плоскостей проекций, то одна из ее координат равна нулю.

Когда точка лежит на оси проекций, две ее координаты равны нулю.

Если точка лежит в начале координат, все три ее координаты равны нулю.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ.

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

Сущность метода ортогонального проецирования заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, ортогональными (перпендикулярными) к этим плоскостям..

Одну из плоскостей проекций H располагают горизонтально, а вторую V — вертикально. Плоскость H называют горизонтальной плоскостью проекций, V — фронтальной. Плоскости H и V бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается OX . Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла — четверти.

Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те точки, линии и фигуры, которые расположены в пределах той же первой четверти.

При построении проекций необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость.

На рисунке показаны точка А и ее ортогональные проекции а 1 и а 2 .

Точку а 1 называют горизонтальной проекцией точки А, точку а 2 — ее фронтальной проекцией . Каждая из них является основанием перпендикуляра, опущенного из точки А соответственно на плоскости H и V .

Можно доказать, что проекции точки всегда расположены на прямых, перпенди кулярных оси ОХ и пересекающих эту ось в одной и той же точке. Действительно, проецирующие лучи А а 1 и А а 2 определяют плоскость, перпендикулярную плоскостям проекций и линии их пересечения — оси ОХ. Эта плоскость пересекает H и V по прямым а 1 а x и а 1 а x , которые образуют с осью OX и друг с другом прямые углы с вершиной в точке а x .

Справедливо и обратное, т. е. если на плоскостях проекций даны точки a 1 и a 2 , расположенные на прямых, пересекающих ось OX в данной точке под прямым углом, то они являются проекциями некоторой точки А. Эта точка определяется пересечением перпендикуляров, восставленных из точек a 1 и a 2 к плоскостям H и V .

Заметим, что положение плоскостей проекций в пространстве может оказаться иным. Например, обе плоскости, будучи взаимно перпендикулярными, могут быть вертикальными Но и в этом случае доказанное выше предположение об ориентации разноименных проекций точек относительно оси остается справедливым.

Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных выше проекций, плоскость H совмещают вращением вокруг оси OX с плоскостью V , как показано стрелками на рисунке. В результате передняя полуплоскость H будет совмещена с нижней полуплоскостью V , а задняя полуплоскость H — с верхней полуплоскостью V .

Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным образом одна с другой, называется эпюром (от франц. еpure - чертеж). На рисунке показан эпюр точки А.

При таком способе совмещения плоскостей H и V проекции a 1 и a 2 окажутся расположенными на одном перпендикуляре к оси OX . При этом расстояние a 1 a x — от горизонтальной проекции точки до оси OX А до плоскости V , а расстояние a 2 a x — от фронтальной проекции точки до оси OX равно расстоянию от самой точки А до плоскости H .

Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, условимся называть линиями проекционной связи .

Положение проекций точек на эпюре зависит от того, в какой четверти находится данная точка. Так, если точка В расположена во второй четверти, то после совмещения плоскостей обе проекции окажутся лежащими над осью OX.

Если точка С находится в третьей четверти, то ее горизонтальная проекция после совмещения плоскостей окажется над осью, а фронтальная — под осью OX . Наконец, если точка D расположена в четвертой четверти, то обе проекции ее окажутся под осью OX . На рисунке показаны точки М и N , лежащие на плоскостях проекций. При таком положении точка совпадает с одной из своих проекций, другая же проекция ее оказывается лежащей на оси OX . Эта особенность отражена и в обозначении: около той проекции, с которой совпадает сама точка, пишется заглавная буква без индекса.

Следует отметить и тот случай, когда обе проекции точки совпадают. Так будет, если точка находится во второй или четвертой четверти на одинаковом расстоянии от плоскостей проекций. Обе проекции совмещаются с самой точкой, если последняя расположена на оси OX .

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в пространстве. Так как каждая фигура или тело представляет собой совокупность точек, то можно утверждать, что и две ортогональные проекции предмета (при наличии буквенных обозначений) вполне определяют его форму.

Однако в практике изображения строительных конструкций, машин и различных инженерных сооружений возникает необходимость в создании дополнительных проекций. Поступают так с единственной целью — сделать проекционный чертеж более ясным, удобочитаемым.

Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке. Третья плоскость, перпендикулярная и H и V , обозначается буквой W и называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость будут также именоваться профильными, а обозначают их заглавными буквами или цифрами с индексом 3 (a з, b з, c з, ... 1з, 2з, 3 3 ...).

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси: О X , О Y и О Z , которые можно рассматривать как систему прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О. Система знаков, указанная на рисунке, соответствует «правой системе» координат.

Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов — это так называемые октанты . Нумерация октантов дана на рисунке.

Для получения эпюра плоскости H и W вращают, как показано на рисунке, до совмещения с плоскостью V . В результате вращения передняя полуплоскость H оказывается совмещенной с нижней полуплоскостью V , а задняя полуплоскость H — с верхней полуплоскостью V . При повороте на 90° вокруг оси О Z передняя полуплоскость W совместится с правой полуплоскостью V , а задняя полуплоскость W — с левой полуплоскостью V .

Окончательный вид всех совмещенных плоскостей проекций дан на рисунке. На этом чертеже оси О X и О Z , лежащие в не подвижной плоскости V , изображены только один раз, а ось О Y показана дважды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью H , ось О Y на эпюре совмещается с осью О Z , а вращаясь вместе с плоскостью W , эта же ось совмещается с осью О X .

В дальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— О X , — О Y , — О Z ) указываться не будут.

ТРИ КООРДИНАТЫ И ТРИ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ЕЕ РАДИУСА-ВЕКТОРА.

Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определе ния ее положения в пространстве или на поверхности.

В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат х, у и z .

Координату х называют абсциссой , у — ординатой и z — аппликатой. Абсцисса х определяет расстояние от данной точки до плоскости W , ордината у — до плоскости V и аппликата z - до плоскости H . Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рисунке, составим таблицу знаков координат во всех восьми октантах. Какая-либо точка пространства А, заданная координатами, будет обозначаться так: A (х, у, z ).

Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись примет следующий вид А (5, 4, 6). Эта точка А, все координаты которой положительны, находится в первом октанте

Координаты точки А являются вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора

ОА по отношению к началу координат. Если i , j , k — единичные векторы, направленные соответственно вдоль координатных осей х, у, z (рисунок), то

ОА = О A x i +ОА y j + ОА z k , где ОА Х, ОА У, ОА г — координаты вектора ОА

Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели (рисунок) рекомендуется осуществлять с помощью координатного прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки О откладывают отрезки, соответственно равные 5, 4 и 6 единицам длины. На этих отрезках (О a x , О a y , О a z ), как на ребрах, строят прямоугольный параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат, и будет определять заданную точку А. Легко заметить, что для определения точки А достаточно построить только три ребра параллелепипеда, например О a x , a x a 1 и a 1 А или О a y , a y a 1 и a 1 A и т. д. Эти ребра образуют координатную ломаную линию, длина каждого звена которой определяется соответствующей координатой точки.

Однако построение параллелепипеда позволяет определить не только точку А, но и все три ее ортогональные проекции.

Лучами, проецирующими точку на плоскости H , V , W являются те три ребра параллелепипеда, которые пересекаются в точке А.

Каждая из ортогональных проекций точки А, будучи расположенной на плоскости, определяется только двумя координатами.

Так, горизонтальная проекция a 1 определяется координатами х и у, фронтальная проекция a 2 — координатами х и z , профильная проекция a 3 — координатами у и z . Но две любые проекции определяются тремя координатами. Вот почему задание точки двумя проекциями равносильно заданию точки тремя координатами.

На эпюре (рисунок), где все плоскости проекций совмещены, проекции a 1 и a 2 окажутся на одном перпендикуляре к оси О X , а проекции a 2 и a 3 — на одном перпендикуляре к оси OZ .

Что касается проекций a 1 и a 3 , то и они связаны прямыми a 1 a y и a 3 a y , перпендикулярными оси О Y . Но так как эта ось на эпюре занимает два положения, то отрезок a 1 a y не может быть продолжением отрезка a 3 a y .

Построение проекций точки А (5, 4, 6) на эпюре по заданным координатам выполняют в такой последовательности: прежде всего на оси абсцисс от начала координат откладывают отрезок О a x = х (в нашем случае х = 5), затем через точку a x проводят перпендикуляр к оси О X , на котором с учетом знаков откладываем отрезки a x a 1 = у (получаем a 1 ) и a x a 2 = z (получаем a 2 ). Остается построить профильную проекцию точки a 3 . Так как профильная и фронтальная проекции точки должны быть расположены на одном перпендикуляре к оси OZ , то через a 3 проводят прямую a 2 a z ^ OZ .

Наконец, возникает последний вопрос: на каком расстоянии от оси О Z должна находиться a 3 ?

Рассматривая координатный параллелепипед (см. рисунок), ребра которого a z a 3 = Oa y = a x a 1 = y заключаем, что искомое расстояние a z a 3 равно у. Отрезок a z a 3 откладывают вправо от оси ОZ, если у>0, и влево, если у

Проследим за тем, какие изменения произойдут на эпюре, когда точка начнет менять свое положение в пространстве.

Пусть, например, точка А (5, 4, 6) станет перемещаться по прямой, перпендикулярной плоскости V . При таком движении будет меняться только одна координата у, показывающая расстояние от точки до плоскости V . Постоянными будут оставаться координаты х и z , а проекция точки, определяемая этими координатами, т. е. a 2 не изменит своего положения.

Что касается проекций a 1 и a 3 , то первая начнет приближаться к оси О X , вторая — к оси О Z . На рисунках новому положению точки соответствуют обозначения a 1 (a 1 1 a 2 1 a 3 1 ). В тот момент, когда точка окажется на плоскости V (y = 0), две из трех проекций (a 1 2 и a 3 2 ) будут лежать на осях.

Переместившись из I октанта во II , точка начнет удаляться от плоскости V , координата у станет отрицательной, ее абсолютная величина будет возрастать. Горизонтальная проекция этой точки, будучи расположенной на задней полуплоскости H , на эпюре окажется выше оси О X , а профильная проекция, находясь на задней полуплоскости W , на эпюре будет слева от оси О Z . Как всегда, отрезок a z a 3 3 = у.

На последующих эпюрах мы не станем обозначать буквами точки пересечения координатных осей с линиями проекционной связи. Это в какой-то мере упростит чертеж.

В дальнейшем встретятся эпюры и без координатных осей. Так поступают на практике при изображении предметов, когда существенно только само изображе ние предмета, а не его положение относи тельно плоскостей проекций.

Плоскости проекций в этом случае определены с точностью лишь до параллельного переноса (рисунок). Их обычно перемещают параллельно самим себе с таким расчетом, чтобы все точки предмета оказались над плоскостью H и перед плоскостью V . Так как положение оси X 12 оказывается неопределенным, то образование эпюра в этом случае не нужно связывать с вращением плоскостей вокруг координатной оси. При переходе к эпюру плоскости H и V совмещают так, чтобы разноименные проекции точек были расположены на вертикальных прямых.

Безосный эпюр точек А и В (рисунок) не определяет их положения в пространстве, но позволяет судить об их относительной ориентировке. Так, отрезок △x характеризует смещение точки А по отношению к точке В в направлении, параллельном плоскостям H и V. Иными словами, △x указывает, насколько точка А расположена левее точки В. Относительное смещение точки в направлении, перпендикулярном плоскости V, определяется отрезком △y, т. е. точка А в нашем примере ближе к наблюдателю, чем точка В, на расстояние, равное △y.

Наконец, отрезок △z показывает превышение точки А над точкой В.

Сторонники безосного изучения курса начертательной геометрии справедливо указывают, что при решении многих задач можно обходиться без осей координат. Однако полный отказ от них нельзя признать целесообразным. Начертательная геометрия призвана подготовить будущего инженера не только к грамотному выполнению чертежей, но и к решению различных технических задач, среди которых не последнее место занимают задачи пространственной статики и механики. А для этого необходимо воспитывать умение ориентировать тот или иной предмет относительно декартовых осей координат. Указанные навыки будут необходимы и при изучении таких разделов начертательной геометрии, как перспектива и аксонометрия. Поэтому на ряде эпюров этой книги мы сохраняем изображения координатных осей. Такие чертежи определяют не только форму предмета, но и его расположение относительно плоскостей проекций.

Для построения изображений ряда деталей необходимо уметь находить проекции отдельных точек. Например, трудно вычертить вид сверху детали, приведенной на рис. 139, не строя горизонтальных проекций точек А, В, С, D, Е, F и др.

Задача нахождения проекций точек по одной, заданной на поверхности предмета, решается следующим образом. Сначала находят проекции поверхности, на которой расположена точка. Затем, проведя линию связи к проекции, где поверхность изображается линией, находят вторую проекцию точки. Третья проекция лежит на пересечении линий связи.

Рассмотрим пример.

Даны три проекции детали (рис. 140, а). Задана горизонтальная проекция а точки А, лежащей на видимой поверхности. Нужно найти остальные проекции этой точки.

Прежде всего надо провести вспомогательную прямую. Если даны два вида, то место вспомогательной прямой на чертеже выбирают произвольно, правее вида сверху, так чтобы вид слева оказался на нужном расстоянии от главного вида (рис. 141).

Если три вида уже построены (рис. 142, а), то место вспомогательной прямой произвольно выбирать нельзя; нужно найти точку, через которую она пройдет. Для этого достаточно продолжить до взаимного пересечения горизонтальную и профильную проекции оси симметрии и через полученную точку k (рис. 142, б) провести под углом 45° отрезок прямой, который и будет вспомогательной прямой.

Если осей симметрии нет, то продолжают до пересечения в точке k 1 горизонтальную и профильную проекции любой грани, проецирующейся в виде отрезков прямой (рис. 142, б).

Проведя вспомогательную прямую, приступают к построению проекций точки (см. рис. 140, б).

Фронтальная а" и профильная а" проекции точки А должны располагаться на соответствующих проекциях поверхности, которой принадлежит точка А. Находят эти проекции. На рис. 140, б они выделены цветом. Проводят линии связи, как указано стрелками. В местах пересечения линий связи с проекциями поверхности находятся искомые проекции а" и а".

Построение проекций точек В, С, D показано на рис. 140, в линиями связи со стрелками. Заданные проекции точек цветные. Линии связи проводят к той проекции, на которой поверхность изображается в виде линии, а не в виде фигуры. Поэтому сначала находят фронтальную проекцию с" точки С. Профильная проекция с точки С определяется пересечением линий связи.

Если поверхность ни на одной проекции не изображается линией, то для построения проекций точек надо применять вспомогательную плоскость. Например, дана фронтальная проекция d точки А, лежащей на поверхности конуса (рис. 143, а). Через точку параллельно основанию проводят вспомогательную плоскость, которая пересечет конус по окружности; ее фронтальная проекция - отрезок прямой, а горизонтальная - окружность диаметром, равным длине этого отрезка (рис. 143, б). Проведя к этой окружности из точки а" линию связи, получают горизонтальную проекцию а точки А.

Профильную проекцию а" точки А находят обычным способом на пересечении линий связи.

Таким же приемом можно найти проекции точки, лежащей, например, на поверхности пирамиды или шара. При пересечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию и проходящей через заданную точку, образуется фигура, подобная основанию. На проекциях этой фигуры лежат проекции заданной точки.

Ответьте на вопросы

1. Под каким углом проводят вспомогательную прямую?

2. Где проводят вспомогательную прямую, если заданы виды спереди и сверху, а надо построить вид слева?

3. Как определить место вспомогательной прямой при наличии трех видов?

4. В чем заключается способ построения проекций точки по одной заданной, если одна из поверхностей предмета изображается линией?

5. Для каких геометрических тел и в каких случаях проекции точки, заданной на их поверхности, находят, пользуясь вспомогательной плоскостью?

Задания к § 20

Упражнение 68

Запишите в рабочей тетради, каким проекциям точек, обозначенных на видах цифрами, соответствуют точки, обозначенные на наглядном изображении буквами в примере, указанном Вам преподавателем (рис. 144, а-г).

Упражнение 69

На рис. 145, а-б буквами обозначено лишь по одной проекции некоторых из вершин. Найдите в примере, указанном Вам преподавателем, остальные проекции этих вершин и обозначьте их буквами. Постройте в одном из примеров недостающие проекции точек, заданных на ребрах предмета (рис. 145, г и д). Выделите цветом проекции ребер, на" которых находятся точки. Задание выполните на прозрачной бумаге, наложив ее на страницу учебника. Перечерчивать рис. 145 не надо.

Упражнение 70

Найдите недостающие проекции точек, заданных одной проекцией на видимых поверхностях предмета (рис. 146). Обозначьте их буквами. Заданные проекции точек выделите цветом. Решить задание Вам поможет наглядное изображение. Задание можно выполнить как в рабочей тетради, так и на прозрачной бумаге, наложив ее на страницу учебника. В последнем случае перечерчивать рис. 146 не надо.

Упражнение 71

В примере, указанном Вам преподавателем, перечертите три вида (рис. 147). Постройте недостающие проекции точек, заданных на видимых поверхностях предмета. Заданные проекции точек выделите цветом. Обозначьте буквами все проекции точек. Для построения проекций точек воспользуйтесь вспомогательной прямой. Выполните технический рисунок и нанесите на нем заданные точки.

Краткий курс начертательной геометрии

Лекции предназначены для студентов инженерно–технических специальностей

Метод Монжа

Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным. Основные принципы построения таких чертежей изложены Г. Монжем.
Изложенный Монжем метод - метод ортогонального проецирования, причем берутся две проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, - обеспечивая выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и остается основным методом составления технических чертежей

Рисунок 1.1 Точка в системе трех плоскостей проекций

Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке 1.1. Третья плоскость, перпендикулярная и П1, и П2, обозначается буквой П3 и называется профильной. Проекции точек на эту плоскость обозначаются заглавными буквами или цифрами с индексом 3. Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x, 0y и 0z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке 0. Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов - октантов. Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте. Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П1 и П3 вращают до совмещения с плоскостью П2. При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают. Если существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций, то оси на эпюре не показывают. Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности. В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x , y и z (абсцисса, ордината и аппликата).

Для определения положения прямой в пространстве существуют следующие методы: 1.Двумя точками (А и В). Рассмотрим две точки в пространстве А и В (рис. 2.1). Через эти точки можно провести прямую линию получим отрезок . Для того чтобы найти проекции этого отрезка на плоскости проекций необходимо найти проекции точек А и В и соединить их прямой. Каждая из проекций отрезка на плоскости проекций меньше самого отрезка: <; <; <.

Рисунок 2.1 Определение положения прямой по двум точкам

2. Двумя плоскостями (a; b). Этот способ задания определяется тем что две непараллельные плоскости пересекаются в пространстве по прямой линии (этот способ подробно рассматривается в курсе элементарной геометрии).

3. Точкой и углами наклона к плоскостям проекций. Зная координаты точки принадлежащей прямой и углы наклона ее к плоскостям проекций можно найти положение прямой в пространстве.

В зависимости от положения прямой по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения. 1. Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций называется прямой общего положения (рис.3.1).

2. Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня. В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

2.1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными или горизонталями (рис.3.2).

Рисунок 3.2 Горизонтальная прямая

2.2. Прямые параллельные фронтальной плоскости проекций называются фронтальными или фронталями(рис.3.3).

Рисунок 3.3 Фронтальная прямая

2.3. Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными (рис. 3.4).

Рисунок 3.4 Профильная прямая

3. Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими. Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна исследуемая прямая, различают:

3.1. Фронтально-проецирующая прямая - АВ (рис. 3.5).

Рисунок 3.5 Фронтально-проецирующая прямая

3.2. Профильно проецирующая прямая - АВ (рис.3.6).

Рисунок 3.6 Профильно-проецирующая прямая

3.3. Горизонтально-проецирующая прямая - АВ (рис.3.7).

Рисунок 3.7 Горизонтально-проецирующая прямая

Плоскость – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскость обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристические свойства плоскости: 1. Плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые ее точки; 2. Плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.

Способы графического задания плоскостей Положение плоскости в пространстве можно определить:

1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой линии (рис.4.1).

Рисунок 4.1 Плоскость заданная тремя точками, не лежащими на одной прямой

2. Прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой (рис.4.2).

Рисунок 4.2 Плоскость заданная прямой линией и точкой, не принадлежащей этой линии

3. Двумя пересекающимися прямыми (рис.4.3).

Рисунок 4.3 Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми линиями

4. Двумя параллельными прямыми (рис.4.4).

Рисунок 4.4 Плоскость заданная двумя параллельными прямыми линиями

Различное положение плоскости относительно плоскостей проекций

В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения. Такая плоскость пересекает все плоскости проекций (имеет три следа: - горизонтальный S 1; - фронтальный S 2; - профильный S 3). Следы плоскости общего положения пересекаются попарно на осях в точках ax,ay,az. Эти точки называются точками схода следов, их можно рассматривать как вершины трехгранных углов, образованных данной плоскостью с двумя из трех плоскостей проекций. Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие разноименные проекции лежат на осях (рис.5.1).

2. Плоскости перпендикулярные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна заданная плоскость, различают:

2.1. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (S ^П1) , называется горизонтально-проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является её горизонтальным следом. Горизонтальные проекции всех точек любых фигур в этой плоскости совпадают с горизонтальным следом (рис.5.2).

Рисунок 5.2 Горизонтально-проецирующая плоскость

2.2. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (S ^П2) - фронтально-проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости S является прямая линия, совпадающая со следом S 2 (рис.5.3).

Рисунок 5.3 Фронтально-проецирующая плоскость

2.3. Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости (S ^П3) - профильно-проецирующая плоскость. Частным случаем такой плоскости является биссекторная плоскость (рис.5.4).

Рисунок 5.4 Профильно-проецирующая плоскость

3. Плоскости параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня. В зависимости от того, какой плоскости параллельны исследуемая плоскость, различают:

3.1. Горизонтальная плоскость - плоскость параллельная горизонтальной плоскости проекций (S //П1) - (S ^П2, S ^П3). Любая фигура в этой плоскости проецируется на плоскость П1 без искажения, а на плоскости П2 и П3 в прямые - следы плоскости S 2 и S 3 (рис.5.5).

Рисунок 5.5 Горизонтальная плоскость

3.2. Фронтальная плоскость - плоскость параллельная фронтальной плоскости проекций (S //П2), (S ^П1, S ^П3). Любая фигура в этой плоскости проецируется на плоскость П2 без искажения, а на плоскости П1 и П3 в прямые - следы плоскости S 1 и S 3 (рис.5.6).

Рисунок 5.6 Фронтальная плоскость

3.3. Профильная плоскость - плоскость параллельная профильной плоскости проекций (S //П3), (S ^П1, S ^П2). Любая фигура в этой плоскости проецируется на плоскость П3 без искажения, а на плоскости П1 и П2 в прямые - следы плоскости S 1 и S 2 (рис.5.7).

Рисунок 5.7 Профильная плоскость

Следы плоскости

Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостями проекций. В зависимости от того с какой из плоскостей проекций пересекается данная, различают: горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.

Каждый след плоскости является прямой линией, для построения которых необходимо знать две точки, либо одну точку и направление прямой(как для построения любой прямой). На рисунке 5.8 показано нахождение следов плоскости S (АВС). Фронтальный след плоскости S 2, построен, как прямая соединяющая две точки 12 и 22, являющиеся фронтальными следами соответствующих прямых, принадлежащих плоскости S . Горизонтальный следS 1 – прямая, проходящая через горизонтальный след прямой АВ и S x. Профильный следS 3 – прямая соединяющая точки (S y и S z) пересечения горизонтального и фронтального следов с осями.

Рисунок 5.8 Построение следов плоскости

Определение взаимного положения прямой и плоскости - позиционная задача, для решения которой применяется метод вспомогательных секущих плоскостей. Сущность метода заключается в следующем: через прямую проведем вспомогательную секущую плоскость Q и установим относительное положение двух прямых a и b, последняя из которых является линией пересечения вспомогательной секущей плоскости Q и данной плоскости T(рис.6.1).

Рисунок 6.1 Метод вспомогательных секущих плоскостей

Каждому из трех возможных случаев относительного расположения этих прямых соответствует аналогичный случай взаимного расположения прямой и плоскости. Так, если обе прямые совпадают, то прямая а лежит в плоскости T, параллельность прямых укажет на параллельность прямой и плоскости и, наконец, пересечение прямых соответствует случаю когда прямая а пересекает плоскость T. Таким образом возможны три случая относительного расположения прямой и плоскости: Прямая принадлежит плоскости; Прямая параллельна плоскости; Прямая пересекает плоскость, частный случай – прямая перпендикулярна плоскости. Рассмотрим каждый случай.

Прямая линия, принадлежащая плоскости

Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат той же плоскости (рис.6.2).

Задача. Дана плоскость (n,k) и одна проекция прямой m2. Требуется найти недостающие проекции прямой m если известно, что она принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k. Проекция прямой m2 пересекает прямые n и k в точках В2 и С2, для нахождения недостающих проекций прямой необходимо найти недостающие проекции точек В и С как точек лежащих на прямых соответственно n и k. Таким образом точки В и С принадлежат плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эти точки, значит согласно аксиоме прямая принадлежит этой плоскости.

Аксиома 2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости (рис.6.3).

Задача. Через точку В провести прямую m если известно, что она принадлежит плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k. Пусть В принадлежит прямой n лежащей в плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k. Через проекцию В2 проведем проекцию прямой m2 параллельно прямой k2, для нахождения недостающих проекций прямой необходимо построить проекцию точки В1, как точки лежащей на проекции прямой n1 и через неё провести проекцию прямой m1 параллельно проекции k1. Таким образом точки В принадлежат плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эту точку и параллельна прямой k, значит согласно аксиоме прямая принадлежит этой плоскости.

Рисунок 6.3 Прямая имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна прямой расположенной в этой плоскости

Главные линии в плоскости

Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое место занимают прямые, занимающие частное положение в пространстве:

1. Горизонтали h - прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций (h//П1)(рис.6.4).

Рисунок 6.4 Горизонталь

2. Фронтали f - прямые, расположенные в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций (f//П2)(рис.6.5).

Рисунок 6.5 Фронталь

3. Профильные прямые р - прямые, которые находятся в данной плоскости и параллельны профильной плоскости проекций (р//П3) (рис.6.6). Следует заметить, что следы плоскости можно отнести тоже к главным линиям. Горизонтальный след - это горизонталь плоскости, фронтальный - фронталь и профильный - профильная линия плоскости.

Рисунок 6.6 Профильная прямая

4. Линия наибольшего ската и её горизонтальная проекция образуют линейный угол j , которым измеряется двугранный угол, составленный данной плоскостью и горизонтальной плоскостью проекций (рис.6.7). Очевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или параллельна плоскости, или пересекает ее.

Рисунок 6.7 Линия наибольшего ската

Взаимное расположение точки и плоскости

Возможны два варианта взаимного расположения точки и плоскости: либо точка принадлежит плоскости, либо нет. Если точка принадлежит плоскости то из трех проекций, определяющих положение точки в пространстве, произвольно задать можно только одну. Рассмотрим пример (рис.6.8): Построение проекции точки А принадлежащей плоскости общего положения заданной двумя параллельными прямыми a(a//b).

Задача. Дано: плоскость T(а,в) и проекция точки А2. Требуется построить проекцию А1 если известно, что точка А лежит в плоскости в,а. Через точку А2 проведем проекцию прямой m2, пересекающую проекции прямых a2 и b2 в точках С2 и В2. Построив проекции точек С1 и В1, определяющие положение m1, находим горизонтальную проекцию точки А.

Рисунок 6.8. Точка, принадлежащая плоскости

Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельны, в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей.

1. Параллельные плоскости. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Это определение хорошо иллюстрируется задачей, через точку В провести плоскость параллельную плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми ab (рис.7.1). Задача. Дано: плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми ab и точка В. Требуется через точку В провести плоскость, параллельную плоскости ab и задать её двумя пересекающимися прямыми c и d. Согласно определения если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости то эти плоскости параллельны между собой. Для того чтобы провести на эпюре параллельные прямые необходимо воспользоваться свойством параллельного проецирования - проекции параллельных прямых - параллельны между собой d||a, с||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2 ,с2||b2; d3||a3,с3||b3.

Рисунок 7.1. Параллельные плоскости

2. Пересекающиеся плоскости, частный случай – взаимно перпендикулярные плоскости. Линия пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей. Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая (рис.7.2).

Задача. Дано: плоскость общего положения задана треугольником АВС, а вторая плоскость - горизонтально проецирующая T. Требуется построить линию пересечения плоскостей. Решение задачи заключается в нахождении двух точек общих для данных плоскостей, через которые можно провести прямую линию. Плоскость, заданная треугольником АВС можно представить, как прямые линии (АВ), (АС), (ВС). Точка пересечения прямой (АВ) с плоскостью T - точка D, прямой (AС) -F. Отрезок определяет линию пересечения плоскостей. Так как T - горизонтально проецирующая плоскость, то проекция D1F1 совпадает со следом плоскости T1, таким образом остается только построить недостающие проекции на П2 и П3.

Рисунок 7.2. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью

Перейдем к общему случаю. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения a(m,n) и b (ABC) (рис.7.3).

Рисунок 7.3. Пересечение плоскостей общего положения

Рассмотрим последовательность построения линии пересечения плоскостей a(m//n) и b(АВС). По аналогии с предыдущей задачей для нахождения линии пересечения данных плоскостей проведем вспомогательные секущие плоскости g и d. Найдем линии пересечения этих плоскостей с рассматриваемыми плоскостями. Плоскость g пересекает плоскость a по прямой (12), а плоскость b - по прямой (34). Точка К - точка пересечения этих прямых одновременно принадлежит трем плоскостям a, b и g, являясь таким образом точкой принадлежащей линии пересечения плоскостей a и b. Плоскость d пересекает плоскости a и b по прямым (56) и (7C) соответственно, точка их пересечения М расположена одновременно в трех плоскостях a, b, d и принадлежит прямой линии пересечения плоскостей a и b. Таким образом найдены две точки принадлежащие линии пересечения плоскостей a и b - прямая (КМ).

Некоторого упрощения при построении линии пересечения плоскостей можно достичь, если вспомогательные секущие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость.

Взаимно перпендикулярные плоскости. Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости a(f,h). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость a . Для того чтобы из точки А провести плоскость перпендикулярную плоскости заданной двумя пересекающимися прямыми hf необходимо из точки А провести прямую n перпендикулярную плоскости hf (горизонтальная проекция n перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h, фронтальная проекция n перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f). Любая плоскость проходящая через прямую n будет перпендикулярна плоскости hf, поэтому для задания плоскости через точки А проводим произвольную прямую m. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми mn будет перпендикулярна плоскости hf (рис.7.4).

Рисунок 7.4. Взаимно перпендикулярные плоскости

Метод плоскопараллельного перемещения

Изменение взаимного положения проецируемого объекта и плоскостей проекций методом плоскопараллельного перемещения осуществляется путем изменения положения геометрического объекта так, чтобы траектория движения её точек находилась в параллельных плоскостях. Плоскости носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекций (рис. 8.1). Траектория произвольная линия. При параллельном переносе геометрического объекта относительно плоскостей проекций, проекция фигуры хотя и меняет свое положение, но остается конгруэнтной проекции фигуры в ее исходном положении.

Рисунок 8.1 Определение натуральной величины отрезка методом плоскопараллельного перемещения

Свойства плоскопараллельного перемещения:

1. При всяком перемещении точек в плоскости параллельной плоскости П1, её фронтальная проекция перемещается по прямой линии, параллельной оси х.

2. В случае произвольного перемещения точки в плоскости параллельной П2, её горизонтальная проекция перемещается по прямой параллельной оси х.

Метод вращения вокруг оси перпендикулярной плоскости проекций

Плоскости носитель траекторий перемещения точек параллельны плоскости проекций. Траектория - дуга окружности, центр которой находится на оси перпендикулярной плоскости проекций. Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения АВ (рис. 8.2), выберем ось вращения (i) перпендикулярную горизонтальной плоскости проекций и проходящую через В1. Повернем отрезок так, чтобы он стал параллелен фронтальной плоскости проекций (горизонтальная проекция отрезка параллельна оси x). При этом точка А1 переместиться в А"1, а точка В не изменит своего положения. Положение точки А"2 находится на пересечении фронтальной проекции траектории перемещения точки А (прямая линия параллельная оси x) и линии связи проведенной из А"1. Полученная проекция В2 А"2 определяет натуральную величину самого отрезка.

Рисунок 8.2 Определение натуральной величины отрезка методом вращения вокруг оси перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций

Метод вращения вокруг оси параллельной плоскости проекций

Рассмотрим этот способ на примере определения угла между пересекающимися прямыми (рис.8.3). Рассмотрим две проекции пересекающихся прямых а и в которые пересекаются в точке К. Для то чтобы определить натуральную величину угла между этими прямыми необходимо произвести преобразование ортогональных проекций так, чтобы прямые стали параллельны плоскости проекций. Воспользуемся способом вращения вокруг линии уровня - горизонтали. Проведем произвольно фронтальную проекцию горизонтали h2 параллельно оси Ох, которая пересекает прямые в точках 12 и 22 . Определив проекции 11 и 11, построим горизонтальную проекцию горизонтали h1 . Траектория движения всех точек при вращении вокруг горизонтали - окружность, которая проецируется на плоскость П1 в виде прямой линии перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали.

Рисунок 8.3 Определение угла между пересекающимися прямыми, вращением вокруг оси параллельной горизонтальной плоскости проекций

Таким образом, траектория движения точки К1 определена прямой К1О1, точка О -центр окружности - траектории движения точки К. Чтобы найти радиус этой окружности найдем методом треугольника натуральную величину отрезка КО.Продолжим прямую К1О1 так чтобы |О1К"1|=|КО| . Точка К"1 соответствует точке К, когда прямые а и в лежат в плоскости параллельной П1 и проведенной через горизонталь - ось вращения. С учетом этого через точку К"1 и точки 11 и 21 проведем прямые, которые лежат теперь в плоскости параллельной П1, а следовательно и угол фи - натуральная величина угла между прямыми а и в.

Метод замены плоскостей проекций

Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций методом перемены плоскостей проекций, достигается путем замены плоскостей П1 и П2 новыми плоскостями П4 (рис. 8.4). Новые плоскости выбираются перпендикулярно старым. Некоторые преобразования проекций требуют двойной замены плоскостей проекций (рис. 8.5). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.

Задача 1: Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рис. 8.4). Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости. Выберем новую плоскость проекций П4, параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П1. Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П1П2 в систему П1П4 , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А4В4 будет натуральной величиной отрезка АВ.

Рисунок 8.4. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций

Задача 2: Определить расстояние от точки C до прямой общего положения, заданной отрезком АВ (рис. 8.5).

Рисунок 8.5. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций

Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.

По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:

Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A", имеющая координаты x, y. Проведем из т. A" перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно A х, A у. Координата х для т. A равна длине отрезка A х O со знаком плюс, так как A х лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка A у O со знаком минус, так как т. A у лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A"" имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A"" на ось z и найдем A z . Координата z точки A равна длине отрезка A z O со знаком минус, так как A z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).

Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B – т. В". Так как она лежит на оси х, то B x = B" и координата B у = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка B х O со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B"" к оси z, таким образом найдем B z . Аппликата z точки B равна длине отрезка B z O со знаком минус, так как B z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.

Построение проекций точек

Точки A и B в плоскости П 3 имеют следующие координаты: A""" (y, z); B""" (y, z). При этом A"" и A""" лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B"" и B""". Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса A у O. После этого проведем перпендикуляр из A у до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A"" к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A""".

Точка B""" лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B"" к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B""".

Определение положения точек в пространстве

Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П 1 , П 2 и П 3 , расположение октантов , а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П 2 .

Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.

Октанты	Знаки координат
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П 2 . Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.

Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П 1 , П 2 , П 3

Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П 1 , П 2 , П 3 , а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.

Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A". Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки A х и A у. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из A х и A у соответственно к осям x и y определяет положение т. A". Отложив от A" параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA", длина которого равна 10, находим положение точки A.

Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П 2 по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из B х и B z , определит положение точки B.