Menurut definisi, diferensial (diferensial pertama) dari suatu fungsi dihitung dengan rumus
jika adalah variabel bebas.

CONTOH.

Mari kita tunjukkan bahwa bentuk diferensial pertama tetap tidak berubah (invarian) bahkan dalam kasus ketika argumen fungsi itu sendiri merupakan fungsi, yaitu, untuk fungsi kompleks
.

Biarlah
dapat dibedakan, maka menurut definisi

Selain itu, seperti yang diperlukan untuk membuktikan.

CONTOH.

Invarians yang terbukti dari bentuk diferensial pertama memungkinkan kita untuk mengasumsikan bahwa
yaitu turunannya sama dengan rasio diferensial fungsi ke diferensial argumennya, terlepas dari apakah argumennya adalah variabel independen atau fungsi.

Diferensiasi fungsi yang didefinisikan secara parametrik

Biarkan Jika fungsi
sudah di set sebaliknya, maka
Kemudian persamaan
ditentukan pada himpunan fungsi yang didefinisikan secara parametrik, – parameter (variabel menengah).

CONTOH. Gambarkan sebuah fungsi
.

kamu sekitar 1 x

Kurva yang terbentuk disebut sikloid(Gbr. 25) dan merupakan lintasan suatu titik pada lingkaran berjari-jari 1 yang menggelinding tanpa slip sepanjang sumbu OX.

KOMENTAR. Kadang-kadang, tetapi tidak selalu, suatu parameter dapat dihilangkan dari persamaan kurva parametrik.

CONTOH.
adalah persamaan parametrik lingkaran, karena, jelas,

adalah persamaan parametrik elips, karena

adalah persamaan parametrik parabola

Tentukan turunan dari suatu fungsi yang diberikan secara parametrik:

Turunan dari fungsi yang didefinisikan secara parametrik juga merupakan fungsi yang didefinisikan secara parametrik: .

DEFINISI. Turunan kedua dari suatu fungsi disebut turunan dari turunan pertama.

turunan orde ke - merupakan turunan dari turunan ordenya
.

menunjukkan turunan dari kedua dan urutannya seperti ini:

Ini mengikuti dari definisi turunan kedua dan aturan diferensiasi fungsi yang diberikan secara parametrik bahwa
Untuk menghitung turunan ketiga, turunan kedua harus direpresentasikan dalam bentuk
dan gunakan aturan yang dihasilkan lagi. Derivatif orde tinggi dihitung dengan cara yang sama.

CONTOH. Menemukan turunan orde pertama dan kedua dari suatu fungsi

.

Teorema dasar kalkulus diferensial

DALIL(Tanah pertanian). Biarkan fungsinya
memiliki pada intinya
ekstrim. Jika ada
, kemudian

BUKTI. Biarlah
, misalnya, adalah titik minimum. Menurut definisi titik minimum, ada lingkungan dari titik ini
, di mana
, yaitu
- kenaikan
pada intinya
. Prioritas-A
Hitung turunan satu sisi di suatu titik
:

dengan melewati teorema limit dalam pertidaksamaan,

sebagai

, sebagai
Tapi dengan syarat
ada, jadi turunan kiri sama dengan turunan kanan, dan ini hanya mungkin jika

Asumsi bahwa
- titik maksimum, mengarah ke hal yang sama.

Arti geometris dari teorema:

DALIL(Gulungan). Biarkan fungsinya
kontinu
, dapat dibedakan
dan
lalu ada
seperti yang

BUKTI. Sebagai
kontinu
, maka dengan teorema Weierstrass kedua tercapai
terbesar mereka
dan paling sedikit
nilai baik di titik ekstrem atau di ujung segmen.

1. Mari
, kemudian

2. Mari
Sebagai
antara
, atau
mencapai titik ekstrim
, tetapi dengan teorema Fermat
Q.E.D.

DALIL(Lagrange). Biarkan fungsinya
kontinu
dan dapat dibedakan
, maka ada
seperti yang
.

Arti geometris dari teorema:

Sebagai
, maka garis potong sejajar dengan garis singgung. Dengan demikian, teorema menyatakan bahwa ada garis singgung yang sejajar dengan garis potong yang melalui titik A dan B.

BUKTI. Melalui titik A
dan B
menggambar garis potong AB. Persamaan nya
Pertimbangkan fungsinya

- jarak antara titik-titik yang bersesuaian pada grafik dan garis potong AB.

1.
kontinu
sebagai perbedaan fungsi kontinu.

2.
dapat dibedakan
sebagai perbedaan fungsi terdiferensiasi.

3.

Cara,
memenuhi kondisi teorema Rolle, jadi ada
seperti yang

Teorema telah terbukti.

KOMENTAR. Rumusnya disebut Rumus Lagrange.

DALIL(Koshi). Biarkan fungsi
kontinu
, dapat dibedakan
dan
, maka ada titik
seperti yang
.

BUKTI. Mari kita tunjukkan itu
. Jika
, maka fungsi
akan memenuhi kondisi teorema Rolle, jadi akan ada titik
seperti yang
merupakan kontradiksi dengan kondisi. Cara,
, dan kedua bagian rumus didefinisikan. Mari kita pertimbangkan fungsi bantu.

kontinu
, dapat dibedakan
dan
, yaitu
memenuhi kondisi teorema Rolle. Lalu ada satu titik
, di mana
, tetapi

Q.E.D.

Rumus yang terbukti disebut rumus cauchy.

ATURAN L'Hopital(Teorema L'Hopital-Bernoulli). Biarkan fungsi
kontinu
, dapat dibedakan
,
dan
. Selain itu, ada yang terbatas atau tak terbatas
.

Lalu ada

BUKTI. Karena sesuai dengan kondisi
, maka kita definisikan
pada intinya
, asumsi
Kemudian
menjadi terus menerus
. Mari kita tunjukkan itu

Mari kita berpura-pura itu
lalu ada
seperti yang
, karena fungsi
pada
memenuhi kondisi teorema Rolle. Tapi dengan syarat
- sebuah kontradiksi. Jadi

. Fungsi
memenuhi kondisi teorema Cauchy pada setiap segmen
, yang terkandung dalam
. Mari kita tulis rumus Cauchy:

,
.

Oleh karena itu kami memiliki:
, karena jika
, kemudian
.

Mengganti nama variabel dalam batas terakhir, kami memperoleh yang diperlukan:

CATATAN 1. Aturan L'Hopital tetap berlaku bahkan ketika
dan
. Ini memungkinkan Anda untuk mengungkapkan tidak hanya ketidakpastian formulir , tetapi juga dalam bentuk :

.

CATATAN 2. Jika, setelah menerapkan aturan L'Hopital, ketidakpastian tidak terungkap, maka itu harus diterapkan lagi.

CONTOH.

KOMENTAR 3 . Aturan L'Hopital adalah cara universal untuk mengungkapkan ketidakpastian, tetapi ada batasan yang dapat diungkapkan dengan hanya menerapkan salah satu teknik khusus yang dipelajari sebelumnya.

Tapi jelas
, karena derajat pembilang sama dengan derajat penyebut, dan limitnya sama dengan rasio koefisien pada pangkat yang lebih tinggi

Ekspresi untuk diferensial total suatu fungsi dari beberapa variabel adalah sama baik u dan v adalah variabel bebas atau fungsi dari variabel bebas lainnya.

Pembuktiannya didasarkan pada rumus diferensial total

Q.E.D.

5.Total turunan dari suatu fungsi adalah turunan waktu dari fungsi sepanjang lintasan. Biarkan fungsi memiliki bentuk dan argumennya bergantung pada waktu: . Lalu , di mana parameter yang menentukan lintasan. Turunan total dari fungsi (pada titik ) dalam hal ini sama dengan turunan parsial waktu (pada titik yang bersesuaian ) dan dapat dihitung dengan rumus:

di mana - turunan parsial. Perlu dicatat bahwa penunjukan itu bersyarat dan tidak ada hubungannya dengan pembagian diferensial. Selain itu, turunan total suatu fungsi tidak hanya bergantung pada fungsi itu sendiri, tetapi juga pada lintasannya.

Misalnya, turunan total dari suatu fungsi:

Tidak ada di sini, karena dengan sendirinya ("secara eksplisit") tidak bergantung pada .

Diferensial penuh

Diferensial penuh

fungsi f (x, y, z, ...) dari beberapa variabel independen - ekspresi

dalam kasus ketika itu berbeda dari kenaikan penuh

f = f(x + x, y + y, z + z,…) - f(x, y, z, …)

ke nilai yang sangat kecil dibandingkan dengan

Bidang singgung ke permukaan

(X, Y, Z - koordinat titik saat ini pada bidang singgung; - vektor radius titik ini; x, y, z - koordinat titik singgung (masing-masing untuk normal); - vektor singgung ke garis koordinat, masing-masing v = const; u = const ; )

1.

2.

3.

Permukaan normal

3.

4.

Konsep diferensial. Arti geometris dari diferensial. Invarians bentuk diferensial pertama.

Pertimbangkan fungsi y = f(x) terdiferensialkan pada titik x yang diberikan. Kenaikannya Dy dapat direpresentasikan sebagai

D y \u003d f "(x) D x + a (D x) D x,

di mana suku pertama linier terhadap Dx, dan suku kedua pada titik Dx = 0 adalah fungsi yang sangat kecil dari orde yang lebih tinggi dari Dx. Jika f "(x) No. 0, maka suku pertama adalah bagian utama dari kenaikan Dy. Bagian utama dari kenaikan ini adalah fungsi linier dari argumen Dx dan disebut diferensial dari fungsi y \u003d f ( x). Jika f "(x) \u003d 0, maka fungsi diferensial menurut definisi dianggap nol.

Definisi 5 (diferensial). Diferensial fungsi y = f(x) adalah linier utama terhadap Dx bagian dari kenaikan Dy, sama dengan produk turunan dan kenaikan variabel bebas

Perhatikan bahwa diferensial dari variabel bebas sama dengan kenaikan variabel ini dx = Dx. Oleh karena itu, rumus diferensial biasanya ditulis dalam bentuk berikut: dy \u003d f "(x) dx. (4)

Mari kita cari tahu apa arti geometris dari diferensial. Ambil titik sembarang M(x, y) pada grafik fungsi y = f(x) (Gbr. 21.). Gambarlah garis singgung kurva y = f(x) di titik M yang membentuk sudut f dengan arah positif sumbu OX, yaitu f”(x) = tgf Dari segitiga siku-siku MKN

KN \u003d MNtgf \u003d D xtg f \u003d f "(x) D x,

yaitu dy = KN.

Jadi, diferensial suatu fungsi adalah pertambahan ordinat garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi y = f(x) pada suatu titik tertentu ketika x bertambah sebesar Dx.

Kami mencatat sifat-sifat utama dari diferensial, yang mirip dengan sifat-sifat turunan.

2. d(c u(x)) = c d u(x);

3. d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x)d u(x) + u(x)d v(x);

5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).

Mari kita tunjukkan satu properti lagi yang dimiliki diferensial, tetapi turunannya tidak. Pertimbangkan fungsi y = f(u), di mana u = f (x), yaitu, pertimbangkan fungsi kompleks y = f(f(x)). Jika masing-masing fungsi f dan f terdiferensial, maka turunan dari fungsi majemuk tersebut, menurut Teorema (3), sama dengan y" = f"(u) u". Maka diferensial dari fungsi tersebut

dy \u003d f "(x) dx \u003d f "(u) u" dx \u003d f "(u) du,

karena u "dx = du. Artinya, dy = f" (u) du. (5)

Persamaan terakhir berarti bahwa rumus diferensial tidak berubah jika, alih-alih fungsi x, kita mempertimbangkan fungsi variabel u. Sifat diferensial ini disebut invarians bentuk diferensial pertama.

Komentar. Perhatikan bahwa pada rumus (4) dx = Dx, sedangkan pada rumus (5) du hanya merupakan bagian linier dari kenaikan fungsi u.

Kalkulus integral adalah cabang matematika yang mempelajari sifat dan metode menghitung integral dan aplikasinya. Saya dan. terkait erat dengan kalkulus diferensial dan bersama-sama dengan itu merupakan salah satu bagian utama

Diferensial fungsi

Fungsi tersebut disebut terdiferensiasi pada suatu titik, membatasi untuk himpunan E, jika kenaikannya f(x 0) sesuai dengan kenaikan argumen x, dapat direpresentasikan sebagai

Δ f(x 0) = A(x 0)(x - x 0) + ω (x - x 0), (1)

di mana ω (x - x 0) = tentang(x - x 0) di x → x 0 .

Tampilan, disebut diferensial fungsi f pada intinya x 0, dan nilai A(x 0)h - nilai diferensial pada saat ini.

Untuk nilai fungsi diferensial f penunjukan yang diterima df atau df(x 0) jika Anda ingin tahu pada titik mana itu dihitung. Dengan demikian,

df(x 0) = A(x 0)h.

Membagi (1) dengan x - x 0 dan membidik x ke x 0, kita dapatkan A(x 0) = f"(x 0). Oleh karena itu kami memiliki

df(x 0) = f"(x 0)h. (2)

Membandingkan (1) dan (2), kita melihat bahwa nilai diferensial df(x 0) (ketika f"(x 0) 0) adalah bagian utama dari kenaikan fungsi f pada intinya x 0, linier dan homogen pada saat yang sama sehubungan dengan kenaikan h = x - x 0 .

Kriteria diferensiasi fungsi

Agar fungsinya f terdiferensialkan pada suatu titik tertentu x 0 , perlu dan cukup bahwa ia memiliki turunan hingga pada titik ini.

Invarians bentuk diferensial pertama

Jika sebuah x adalah variabel bebas, maka dx = x - x 0 (kenaikan tetap). Dalam hal ini kita memiliki

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

Jika sebuah x = φ (t) adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka dx = φ" (t 0)dt. Karena itu,