Berbeda dengan osilasi bebas, ketika sistem hanya menerima satu kali (ketika sistem dihilangkan dari ), dalam kasus osilasi paksa, sistem menyerap energi ini dari sumber gaya periodik eksternal secara terus menerus. Energi ini menebus kerugian yang dihabiskan untuk mengatasi, dan karena itu total tidak tetap tidak berubah.

Getaran paksa, tidak seperti getaran bebas, dapat terjadi pada frekuensi apa pun. bertepatan dengan frekuensi gaya eksternal yang bekerja pada sistem osilasi. Dengan demikian, frekuensi osilasi paksa tidak ditentukan oleh sifat-sifat sistem itu sendiri, tetapi oleh frekuensi pengaruh eksternal.

Contoh getaran paksa adalah getaran ayunan anak, getaran jarum pada mesin jahit, getaran piston pada silinder mesin mobil, getaran pegas mobil yang bergerak di jalan yang kasar, dll.

Resonansi

DEFINISI

Resonansi- ini adalah fenomena peningkatan tajam dalam osilasi paksa ketika frekuensi gaya penggerak mendekati frekuensi alami sistem osilasi.

Resonansi terjadi karena fakta bahwa pada , gaya eksternal, yang bekerja dalam waktu dengan getaran bebas, selalu memiliki arah yang sama dari benda yang berosilasi dan melakukan kerja positif: energi benda yang berosilasi meningkat dan menjadi besar. Jika gaya eksternal bertindak "tidak tepat waktu", maka gaya ini secara bergantian melakukan pekerjaan negatif atau positif, dan sebagai hasilnya, energi sistem berubah secara tidak signifikan.

Gambar 1 menunjukkan ketergantungan amplitudo osilasi paksa pada frekuensi gaya penggerak. Terlihat bahwa amplitudo ini mencapai maksimum pada nilai frekuensi tertentu, yaitu. di , Dimana adalah frekuensi alami dari sistem osilasi. Kurva 1 dan 2 berbeda dalam besarnya gaya gesekan. Pada gesekan rendah (kurva 1), kurva resonansi memiliki maksimum yang tajam; pada gaya gesekan yang lebih tinggi (kurva 2), tidak ada maksimum yang tajam.

Fenomena resonansi sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Jika jendela bergetar di dalam ruangan ketika truk berat melewati jalan, ini berarti frekuensi alami jendela sama dengan frekuensi mesin. Jika gelombang laut resonansi dengan periode kapal, maka pitching menjadi sangat kuat.

Fenomena resonansi harus diperhitungkan ketika merancang jembatan, bangunan dan struktur lain yang mengalami getaran di bawah beban, jika tidak, dalam kondisi tertentu, struktur ini dapat dihancurkan. Namun, resonansi juga dapat berguna. Fenomena resonansi digunakan saat menyetel penerima radio ke frekuensi siaran tertentu, serta dalam banyak kasus lainnya.

Contoh pemecahan masalah

CONTOH 1

Latihan	Pada ujung pegas pendulum horizontal, yang bebannya bermassa 1 kg, sebuah gaya variabel bekerja, frekuensi osilasinya adalah 16 Hz. Akankah resonansi diamati jika laju pegas adalah 400 N/m.
Keputusan	Mari kita tentukan frekuensi alami sistem osilasi dengan rumus: Hz Karena frekuensi gaya eksternal tidak sama dengan frekuensi alami sistem, fenomena resonansi tidak akan diamati.
Menjawab	Fenomena resonansi tidak akan diamati.

CONTOH 2

Latihan	Sebuah bola kecil digantungkan pada seutas benang yang panjangnya 1 m dari langit-langit mobil. Pada kecepatan berapa mobil akan bergetar terutama kuat di bawah dampak roda pada sambungan rel? Panjang rel 12,5 m.
Keputusan	Bola melakukan getaran paksa dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi roda yang mengenai sambungan rel: Jika dimensi bola kecil dibandingkan dengan panjang ulir, maka sistem dapat dipertimbangkan, frekuensi alaminya adalah: amplitudo osilasi tak teredam paksa maksimum dalam kasus resonansi, yaitu Kapan . Dengan demikian dimungkinkan untuk menulis:

Getaran paksa disebut getaran yang terjadi dalam sistem di bawah aksi gaya penggerak eksternal yang berubah secara berkala, yang disebut gaya penggerak.

Sifat (ketergantungan pada waktu) dari kekuatan pendorong bisa berbeda. Ini bisa menjadi kekuatan yang berubah sesuai dengan hukum harmonik. Misalnya, gelombang suara, yang sumbernya adalah garpu tala, mengenai gendang telinga atau membran mikrofon. Gaya tekanan udara yang berubah secara harmonis mulai bekerja pada membran.

Kekuatan pendorong dapat berupa kejutan atau impuls pendek. Misalnya, orang dewasa mengayunkan seorang anak di ayunan, mendorongnya secara berkala pada saat ayunan mencapai salah satu posisi ekstrem.

Tugas kita adalah mencari tahu bagaimana sistem osilasi bereaksi terhadap aksi gaya penggerak yang berubah secara berkala.

1 Gaya penggerak berubah sesuai dengan hukum harmonik

F cont = - rv x dan kekuatan pendorong F out \u003d F 0 sin wt.

Hukum II Newton ditulis sebagai:

Solusi persamaan (1) dicari dalam bentuk , dimana adalah solusi persamaan (1), jika tidak memiliki ruas kanan. Dapat dilihat bahwa tanpa ruas kanan, persamaan berubah menjadi persamaan osilasi teredam yang kita ketahui, penyelesaiannya sudah kita ketahui. Untuk waktu yang cukup lama, osilasi bebas yang muncul dalam sistem ketika dikeluarkan dari kesetimbangan praktis akan mati, dan hanya suku kedua yang akan tetap ada dalam penyelesaian persamaan. Kami akan mencari solusi ini dalam bentuk
Mari kita kelompokkan istilah secara berbeda:

Persamaan ini harus berlaku pada setiap waktu t, yang hanya mungkin jika koefisien pada sinus dan kosinus sama dengan nol.

Jadi, benda, tempat gaya penggerak bekerja, berubah menurut hukum harmonik, membuat gerakan osilasi dengan frekuensi gaya penggerak.

Mari kita periksa secara lebih rinci pertanyaan tentang amplitudo osilasi paksa:

1 Amplitudo osilasi paksa kondisi tunak tidak berubah dari waktu ke waktu. (Bandingkan dengan amplitudo osilasi teredam bebas).

2 Amplitudo osilasi paksa berbanding lurus dengan amplitudo gaya penggerak.

3 Amplitudo tergantung pada gesekan dalam sistem (A tergantung pada d, dan faktor redaman d, pada gilirannya, tergantung pada koefisien hambatan r). Semakin besar gesekan dalam sistem, semakin kecil amplitudo osilasi paksa.

4 Amplitudo osilasi paksa tergantung pada frekuensi gaya penggerak w. Bagaimana? Kami mempelajari fungsi A(w).

Ketika w = 0 (gaya konstan bekerja pada sistem osilasi), perpindahan tubuh tidak berubah dari waktu ke waktu (harus diingat bahwa ini mengacu pada keadaan tunak, ketika osilasi alami hampir padam).

· Ketika w ® , maka, karena mudah dilihat, amplitudo A cenderung nol.

· Jelas, pada beberapa frekuensi gaya penggerak, amplitudo osilasi paksa akan mengambil nilai terbesar (untuk d tertentu). Fenomena peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi paksa pada nilai tertentu dari frekuensi gaya penggerak disebut resonansi mekanis.

Menariknya, faktor kualitas sistem osilasi dalam kasus ini menunjukkan berapa kali amplitudo resonansi melebihi perpindahan tubuh dari posisi keseimbangan di bawah aksi gaya konstan F 0 .

Kita melihat bahwa frekuensi resonansi dan amplitudo resonansi bergantung pada faktor redaman d. Saat d turun ke nol, frekuensi resonansi meningkat dan cenderung ke frekuensi osilasi alami sistem w 0 . Dalam hal ini, amplitudo resonansi meningkat dan, pada d = 0, berubah menjadi tak terhingga. Tentu saja, dalam praktiknya, amplitudo osilasi tidak dapat tak terhingga, karena gaya hambatan selalu bekerja dalam sistem osilasi nyata. Jika sistem memiliki redaman rendah, maka kira-kira kita dapat mengasumsikan bahwa resonansi terjadi pada frekuensi osilasi alami:

di mana dalam kasus yang dipertimbangkan adalah pergeseran fasa antara gaya penggerak dan perpindahan benda dari posisi setimbang.

Sangat mudah untuk melihat bahwa pergeseran fasa antara gaya dan perpindahan tergantung pada gesekan dalam sistem dan frekuensi gaya penggerak eksternal. Ketergantungan ini ditunjukkan pada gambar. Terlihat bahwa pada< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- positif.

Mengetahui ketergantungan pada sudut , seseorang dapat memperoleh ketergantungan pada frekuensi gaya penggerak .

Pada frekuensi gaya eksternal yang secara signifikan lebih kecil darinya sendiri, perpindahan sedikit tertinggal di belakang gaya penggerak dalam fase. Ketika frekuensi gaya eksternal meningkat, penundaan fase ini meningkat. Pada resonansi (jika kecil), pergeseran fasa menjadi sama dengan . Pada >>, perpindahan dan fluktuasi gaya terjadi pada antifase. Ketergantungan seperti itu mungkin tampak aneh pada pandangan pertama. Untuk memahami fakta ini, mari kita beralih ke transformasi energi dalam proses osilasi paksa.

2 Transformasi energi

Seperti yang telah kita ketahui, amplitudo osilasi ditentukan oleh energi total sistem osilasi. Sebelumnya, telah ditunjukkan bahwa amplitudo osilasi paksa tetap tidak berubah seiring waktu. Ini berarti bahwa energi mekanik total dari sistem osilasi tidak berubah dari waktu ke waktu. Mengapa? Lagi pula, sistemnya tidak tertutup! Dua gaya - gaya eksternal yang berubah secara berkala dan gaya resistensi - melakukan pekerjaan yang seharusnya mengubah energi total sistem.

Mari kita coba mencari tahu apa masalahnya. Kekuatan kekuatan pendorong eksternal dapat ditemukan sebagai berikut:

Kita melihat bahwa kekuatan gaya eksternal , yang memberi energi pada sistem osilasi, sebanding dengan amplitudo osilasi .

Karena kerja gaya resistansi, energi sistem osilasi harus berkurang, berubah menjadi energi internal. Kekuatan kekuatan resistensi:

Jelas, kekuatan gaya drag sebanding dengan kuadrat amplitudo. Mari kita plot kedua dependensi pada grafik.

Agar osilasi menjadi stabil (amplitudo tidak berubah dari waktu ke waktu), pekerjaan gaya eksternal selama periode harus mengkompensasi kehilangan energi sistem karena kerja gaya resistensi. Titik perpotongan grafik daya hanya sesuai dengan mode ini. Bayangkan bahwa untuk beberapa alasan amplitudo osilasi paksa telah berkurang. Ini akan mengarah pada fakta bahwa kekuatan sesaat dari kekuatan eksternal akan lebih besar daripada kekuatan kerugian. Ini akan menyebabkan peningkatan energi sistem osilasi, dan amplitudo osilasi akan mengembalikan nilai sebelumnya.

Demikian pula, dapat dilihat bahwa dengan peningkatan acak dalam amplitudo osilasi, daya yang hilang akan melebihi daya gaya eksternal, yang akan menyebabkan penurunan energi sistem, dan, akibatnya, penurunan amplitudo. .

Mari kembali ke pertanyaan tentang pergeseran fasa antara perpindahan dan gaya penggerak pada resonansi. Kami telah menunjukkan bahwa perpindahan tertinggal, yang berarti bahwa gaya mendahului perpindahan sebesar . Di sisi lain, proyeksi kecepatan dalam proses osilasi harmonik selalu memimpin koordinat oleh . Ini berarti bahwa pada resonansi, gaya penggerak eksternal dan kecepatan berosilasi dalam fase yang sama. Jadi mereka diarahkan bersama kapan saja! Usaha yang dilakukan oleh gaya luar selalu positif dalam hal ini. semua pergi untuk mengisi sistem osilasi dengan energi.

3 Aksi periodik non-sinusoidal

Osilasi paksa dari osilator dimungkinkan di bawah pengaruh eksternal periodik, dan bukan hanya sinusoidal. Dalam hal ini, osilasi keadaan tunak, secara umum, tidak akan sinusoidal, tetapi akan mewakili gerakan periodik dengan periode yang sama dengan periode pengaruh eksternal.

Pengaruh eksternal dapat berupa, misalnya, dorongan berturut-turut (ingat bagaimana orang dewasa "mengayunkan" anak yang duduk di ayunan). Jika periode guncangan eksternal bertepatan dengan periode osilasi alami, maka resonansi dapat terjadi dalam sistem. Dalam hal ini, osilasi akan hampir sinusoidal. Energi yang diberikan ke sistem pada setiap dorongan mengisi kembali energi total sistem yang hilang karena gesekan. Jelas bahwa dalam kasus ini, opsi dimungkinkan: jika energi yang diberikan selama dorongan sama dengan atau melebihi kerugian gesekan untuk periode tersebut, maka osilasi akan menjadi keadaan tunak, atau amplitudonya akan meningkat. Hal ini terlihat jelas pada diagram fasa.

Jelas bahwa resonansi juga dimungkinkan dalam kasus ketika periode pengulangan guncangan adalah kelipatan dari periode osilasi alami. Ini tidak mungkin dengan sifat sinusoidal dari pengaruh eksternal.

Di sisi lain, bahkan jika frekuensi kejut bertepatan dengan frekuensi alami, resonansi mungkin tidak diamati. Jika hanya rugi gesekan per periode yang melebihi energi yang diterima sistem selama dorongan, maka energi total sistem akan berkurang dan osilasi akan teredam.

4 Resonansi parametrik

Pengaruh eksternal pada sistem osilasi dapat direduksi menjadi perubahan periodik dalam parameter sistem osilasi itu sendiri. Osilasi yang dieksitasi dengan cara ini disebut parametrik, dan mekanismenya sendiri disebut resonansi parametrik .

Pertama-tama, mari kita coba menjawab pertanyaan: apakah mungkin untuk mengayunkan osilasi kecil yang sudah ada dalam sistem dengan mengubah beberapa parameternya secara berkala dengan cara tertentu.

Sebagai contoh, pertimbangkan untuk mengayunkan seseorang di ayunan. Dengan menekuk dan meluruskan kakinya pada saat-saat yang "diperlukan", dia benar-benar mengubah panjang bandul. Dalam posisi ekstrem, seseorang berjongkok, sehingga sedikit menurunkan pusat gravitasi sistem osilasi, di posisi tengah, seseorang menegakkan tubuh, menaikkan pusat gravitasi sistem.

Untuk memahami mengapa seseorang berayun pada saat yang sama, pertimbangkan model yang sangat disederhanakan dari seseorang di ayunan - pendulum kecil biasa, yaitu bobot kecil pada utas yang ringan dan panjang. Untuk mensimulasikan naik dan turunnya pusat gravitasi, kita akan melewati ujung atas benang melalui lubang kecil dan kita akan menarik benang pada saat-saat ketika bandul melewati posisi setimbang, dan menurunkan benang dengan jumlah yang sama. ketika bandul melewati posisi ekstrim.

Kerja gaya tarik ulir untuk periode tersebut (dengan mempertimbangkan fakta bahwa beban diangkat dan diturunkan dua kali per periode dan bahwa D aku << aku):

Harap dicatat bahwa dalam tanda kurung tidak lain adalah energi tiga kali lipat dari sistem osilasi. Omong-omong, nilai ini positif, oleh karena itu, pekerjaan gaya tegangan (pekerjaan kita) adalah positif, ini mengarah pada peningkatan energi total sistem, dan karenanya pada ayunan pendulum.

Menariknya, perubahan energi relatif selama satu periode tidak bergantung pada apakah pendulum berayun lemah atau kuat. Ini sangat penting, dan inilah alasannya. Jika bandul "tidak dipompa" dengan energi, maka untuk setiap periode pendulum akan kehilangan sebagian energinya karena gaya gesekan, dan osilasi akan redam. Dan agar jangkauan osilasi meningkat, perlu energi yang diperoleh melebihi energi yang hilang untuk mengatasi gesekan. Dan kondisi ini ternyata sama - baik pada amplitudo kecil maupun besar.

Misalnya, jika dalam satu periode energi osilasi bebas berkurang 6%, maka agar osilasi bandul sepanjang 1 m tidak lembab, cukup untuk mengurangi panjangnya 1 cm di posisi tengah, dan meningkatkan dengan jumlah yang sama pada posisi ekstrim.

Kembali ke ayunan: setelah Anda mulai mengayun, tidak perlu jongkok lebih dalam dan lebih dalam - jongkok dengan cara yang sama sepanjang waktu dan Anda akan terbang lebih tinggi dan lebih tinggi!

*** Kebaikan lagi!

Seperti yang telah kita katakan, untuk pembentukan osilasi parametrik, perlu memenuhi kondisi DE > A gesekan per periode.

Carilah kerja gaya gesekan untuk periode tersebut

Dapat dilihat bahwa nilai relatif gaya angkat bandul terhadap penumpukannya ditentukan oleh faktor kualitas sistem.

5 Signifikansi resonansi

Getaran paksa dan resonansi banyak digunakan di bidang teknik, terutama di bidang akustik, teknik elektro, dan teknik radio. Resonansi, pertama-tama, digunakan ketika, dari sekumpulan besar osilasi frekuensi yang berbeda, mereka ingin memilih osilasi frekuensi tertentu. Resonansi juga digunakan dalam studi kuantitas berulang yang sangat lemah secara periodik.

Namun, dalam beberapa kasus, resonansi adalah fenomena yang tidak diinginkan, karena dapat menyebabkan deformasi besar dan penghancuran struktur.

6 Contoh pemecahan masalah

Tugas 1 Osilasi paksa pendulum pegas di bawah aksi gaya sinusoidal eksternal.

Sebuah beban bermassa m = 10 g digantungkan pada sebuah pegas dengan kekakuan k = 10 N/m dan sistem ditempatkan dalam media kental dengan koefisien hambatan r = 0,1 kg/s. Bandingkan frekuensi alami dan resonansi sistem. Tentukan amplitudo osilasi bandul pada resonansi di bawah aksi gaya sinusoidal dengan amplitudo F 0 = 20 mN.

Keputusan:

1 Frekuensi alami sistem osilasi adalah frekuensi osilasi bebas tanpa adanya gesekan. Frekuensi siklik alami adalah , frekuensi osilasi .

2 Frekuensi resonansi adalah frekuensi gaya penggerak eksternal di mana amplitudo getaran paksa meningkat tajam. Frekuensi siklik resonansi adalah , dimana koefisien atenuasi sama dengan .

Jadi, frekuensi resonansinya adalah . Sangat mudah untuk melihat bahwa frekuensi resonansi lebih kecil dari frekuensinya sendiri! Dapat juga dilihat bahwa semakin rendah gesekan pada sistem (r), semakin dekat frekuensi resonansi dengan frekuensinya sendiri.

3 Amplitudo resonansi adalah

Tugas 2 Amplitudo resonansi dan faktor kualitas dari sistem osilasi

Sebuah beban bermassa m = 100 g digantungkan pada sebuah pegas dengan kekakuan k = 10 N/m dan sistem ditempatkan dalam media kental dengan koefisien drag

r = 0,02 kg/s. Tentukan faktor kualitas sistem osilasi dan amplitudo osilasi bandul pada resonansi di bawah aksi gaya sinusoidal dengan amplitudo F 0 = 10 mN. Temukan rasio amplitudo resonansi dengan perpindahan statis di bawah aksi gaya konstan F 0 = 20 mN dan bandingkan rasio ini dengan faktor kualitas.

Keputusan:

1 Faktor kualitas sistem osilasi adalah , Dimana adalah penurunan redaman logaritmik.

Penurunan redaman logaritmik adalah .

Kami menemukan faktor kualitas sistem osilasi.

2 Amplitudo resonansi adalah

3 Perpindahan statis di bawah aksi gaya konstan F 0 = 10 mN adalah .

4 Rasio amplitudo resonansi dengan perpindahan statis di bawah aksi gaya konstan F 0 sama dengan

Sangat mudah untuk melihat bahwa rasio ini bertepatan dengan faktor kualitas sistem osilasi

Tugas 3 Getaran resonansi balok

Di bawah pengaruh berat motor listrik, tangki kantilever, tempat ia dipasang, ditekuk oleh . Pada berapa putaran angker motor dapat terjadi bahaya resonansi?

Keputusan:

1 Badan mesin dan balok yang dipasang mengalami goncangan berkala dari sisi angker motor yang berputar dan, oleh karena itu, melakukan osilasi paksa dengan frekuensi guncangan.

Resonansi akan diamati ketika frekuensi pengulangan guncangan bertepatan dengan frekuensi alami osilasi balok dengan motor. Hal ini diperlukan untuk menemukan frekuensi osilasi alami dari sistem balok-motor.

2 Analog dari balok sistem berosilasi - motor dapat berupa pendulum pegas vertikal, yang massanya sama dengan massa motor. Frekuensi alami osilasi bandul pegas adalah . Tetapi kekakuan pegas dan massa motor tidak diketahui! Bagaimana menjadi?

3 Pada posisi kesetimbangan pegas pendulum, gaya gravitasi beban seimbang dengan gaya elastisitas pegas

4 Kami menemukan rotasi angker mesin, mis. frekuensi sentakan

Soal 4 Getaran paksa dari pendulum pegas di bawah aksi guncangan periodik.

Sebuah berat bermassa m = 0,5 kg digantungkan pada pegas heliks dengan kekakuan k = 20 N/m. Penurunan redaman logaritmik dari sistem osilasi adalah . Mereka ingin mengayunkan beban dengan sentakan pendek, bekerja pada beban dengan gaya F = 100 mN untuk waktu = 0,01 s. Berapa frekuensi pengulangan tumbukan agar amplitudo kettlebell menjadi yang terbesar? Pada saat apa dan ke arah mana kettlebell harus didorong? Berapa amplitudo yang mungkin untuk mengayunkan kettlebell dengan cara ini?

Keputusan:

1 Getaran paksa dapat terjadi dengan tindakan periodik apa pun. Dalam hal ini, osilasi tetap akan terjadi dengan laju pengulangan aksi eksternal. Jika periode guncangan eksternal bertepatan dengan frekuensi osilasi alami, maka resonansi terjadi dalam sistem - amplitudo osilasi menjadi yang terbesar. Dalam kasus kami, untuk permulaan resonansi, periode pengulangan guncangan harus bertepatan dengan periode osilasi pendulum pegas.

Penurunan redaman logaritmik kecil, oleh karena itu, ada sedikit gesekan dalam sistem, dan periode osilasi pendulum dalam media kental praktis bertepatan dengan periode osilasi pendulum dalam ruang hampa:

2 Jelas, arah guncangan harus sesuai dengan kecepatan kettlebell. Dalam hal ini, pekerjaan gaya eksternal yang mengisi sistem dengan energi akan menjadi positif. Dan getaran akan bergoyang. Energi yang diterima oleh sistem selama tumbukan

akan lebih besar ketika beban melewati posisi setimbang, karena pada posisi ini kecepatan bandul maksimum.

Jadi, sistem akan berayun paling cepat di bawah aksi guncangan ke arah pergerakan beban ketika melewati posisi keseimbangan.

3 Amplitudo osilasi berhenti bertambah ketika energi yang diberikan ke sistem selama tumbukan akan sama dengan energi yang hilang karena gesekan selama periode: .

Kami menemukan kehilangan energi untuk periode tersebut melalui faktor kualitas sistem osilasi

di mana E adalah energi total dari sistem osilasi, yang dapat dihitung sebagai .

Kami menggantikan energi kerugian energi yang diterima oleh sistem selama tumbukan:

Kecepatan maksimum selama osilasi adalah . Dengan mengingat hal ini, kita mendapatkan .

7 Tugas untuk solusi independen

Uji "Getaran paksa"

1 Getaran apa yang disebut paksa?

A) Osilasi yang terjadi di bawah aksi gaya eksternal yang berubah secara berkala;

B) Osilasi yang terjadi dalam sistem setelah dorongan eksternal;

2 Manakah dari getaran berikut yang dipaksakan?

A) Osilasi beban yang ditangguhkan dari pegas setelah penyimpangan tunggal dari posisi keseimbangan;

B) Getaran difuser loudspeaker selama pengoperasian penerima;

C) Osilasi beban yang ditangguhkan dari pegas setelah tumbukan tunggal pada beban dalam posisi setimbang;

D) Getaran badan motor listrik selama operasinya;

E) Getaran membran timpani seseorang yang mendengarkan musik.

3 Sistem osilasi dengan frekuensi alami dipengaruhi oleh gaya penggerak eksternal yang berubah menurut hukum . Koefisien redaman dalam sistem osilasi adalah . Menurut hukum apa koordinat benda berubah dari waktu ke waktu?

C) Amplitudo osilasi paksa akan tetap tidak berubah, karena kehilangan energi sistem karena gesekan akan dikompensasi oleh perolehan energi karena kerja gaya penggerak eksternal.

5 Sistem melakukan osilasi paksa di bawah aksi gaya sinusoidal. Menentukan semua faktor di mana amplitudo osilasi ini bergantung.

A) Dari amplitudo gaya pendorong eksternal;

B) Adanya sistem energi osilasi pada saat dimulainya aksi gaya eksternal;

C) Parameter sistem osilasi itu sendiri;

D) Gesekan dalam sistem osilasi;

E) Adanya osilasi alami dalam sistem pada saat gaya luar mulai bekerja;

E) Waktu pembentukan osilasi;

G) Frekuensi kekuatan pendorong eksternal.

6 Sebuah batang bermassa m melakukan osilasi harmonik paksa sepanjang bidang horizontal dengan periode T dan amplitudo A. Koefisien gesekan . Berapa usaha yang dilakukan oleh gaya penggerak luar dalam waktu yang sama dengan periode T?

A) 4μmgA; B) 2μmgA; C) mgA; D) 0;

E) Tidak mungkin memberikan jawaban, karena besarnya gaya penggerak eksternal tidak diketahui.

7. Buatlah pernyataan yang benar!

Resonansi adalah fenomena ...

A) Kebetulan frekuensi gaya eksternal dengan frekuensi alami sistem osilasi;

B) Peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi paksa.

Resonansi diamati di bawah kondisi

A) Pengurangan gesekan dalam sistem osilasi;

B) Peningkatan amplitudo kekuatan pendorong eksternal;

C) Kebetulan frekuensi gaya eksternal dengan frekuensi alami sistem osilasi;

D) Ketika frekuensi gaya eksternal bertepatan dengan frekuensi resonansi.

8 Fenomena resonansi dapat diamati pada ...

A) Dalam sistem osilasi apa pun;

B) Dalam sistem yang melakukan osilasi bebas;

C) Dalam sistem osilasi diri;

D) Dalam sistem yang melakukan osilasi paksa.

9 Gambar tersebut menunjukkan grafik ketergantungan amplitudo osilasi paksa pada frekuensi gaya penggerak. Resonansi terjadi pada frekuensi...

10 Tiga bandul identik dalam media kental yang berbeda melakukan osilasi paksa. Gambar menunjukkan kurva resonansi untuk bandul ini. Manakah dari bandul yang mengalami hambatan terbesar dari media kental selama proses osilasi?

A) 1; B) 2; DALAM 3;

D) Tidak mungkin memberikan jawaban, karena amplitudo osilasi paksa, selain frekuensi gaya eksternal, juga bergantung pada amplitudonya. Kondisi tidak mengatakan apa-apa tentang amplitudo gaya pendorong eksternal.

11 Periode getaran alami sistem osilasi sama dengan T 0 . Berapa periode pengulangan guncangan sehingga amplitudo osilasi meningkat tajam, yaitu, resonansi terjadi dalam sistem?

A) T 0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;

C) Anda dapat mengayunkan ayunan dengan dorongan frekuensi berapa pun.

12 Adik laki-lakimu sedang duduk di ayunan, kamu mengayunkannya dengan dorongan pendek. Berapa lama periode gempa susulan agar proses dapat berjalan dengan paling efisien? Periode osilasi alami ayunan T 0 .

D) Anda dapat mengayunkan ayunan dengan dorongan frekuensi berapa pun.

13 Adik laki-lakimu sedang duduk di ayunan, kamu mengayunkannya dengan dorongan pendek. Dalam posisi apa ayunan harus dilakukan dan ke arah mana dorongan harus dilakukan agar proses berlangsung paling efisien?

A) Dorong dalam posisi ayunan paling atas ke arah posisi keseimbangan;

B) Dorong dalam posisi ayunan paling atas ke arah dari posisi keseimbangan;

B) Dorong dalam posisi seimbang ke arah gerakan ayunan;

D) Anda dapat mendorong dalam posisi apa pun, tetapi selalu ke arah ayunan.

14 Tampaknya dengan menembak dari ketapel di jembatan tepat waktu dengan getarannya sendiri dan membuat banyak tembakan, itu bisa sangat terguncang, tetapi ini tidak mungkin berhasil. Mengapa?

A) Massa jembatan (kelembamannya) besar dibandingkan dengan massa "peluru" dari katapel, jembatan tidak akan dapat bergerak di bawah pengaruh pukulan seperti itu;

B) Kekuatan tumbukan “peluru” dari ketapel sangat kecil sehingga jembatan tidak akan dapat bergerak di bawah pengaruh tumbukan tersebut;

C) Energi yang diberikan ke jembatan dalam satu pukulan jauh lebih kecil daripada energi yang hilang karena gesekan selama periode tersebut.

15 Anda membawa seember air. Air di ember bergoyang dan memercik keluar. Apa yang dapat dilakukan untuk mencegah hal ini terjadi?

A) Melambaikan tangan di mana ember berada tepat waktu dengan berjalan;

B) Ubah kecepatan gerakan, biarkan panjang langkah tidak berubah;

C) Berhenti secara berkala dan tunggu hingga getaran air mereda;

D) Pastikan selama gerakan tangan dengan ember ditempatkan secara vertikal.

tugas

1 Sistem melakukan osilasi teredam dengan frekuensi 1000 Hz. Tentukan frekuensinya v0 getaran alami, jika frekuensi resonansi

2 Tentukan berapa D v frekuensi resonansi berbeda dari frekuensi alami v0= 1000 Hz dari sistem osilasi yang dicirikan oleh koefisien redaman d = 400s -1 .

3 Sebuah massa 100 g, digantung pada pegas dengan kekakuan 10 N/m, melakukan osilasi paksa dalam media kental dengan koefisien hambatan r = 0,02 kg/s. Tentukan faktor redaman, frekuensi resonansi dan amplitudo. Nilai amplitudo gaya penggerak adalah 10 mN.

4 Amplitudo osilasi harmonik paksa pada frekuensi w 1 = 400 s -1 dan w 2 = 600 s -1 sama satu sama lain. Tentukan frekuensi resonansinya.

5 Truk memasuki gudang gandum di jalan tanah dari satu sisi, membongkar dan meninggalkan gudang dengan kecepatan yang sama, tetapi di sisi lain. Sisi gudang mana yang memiliki lebih banyak lubang di jalan daripada yang lain? Bagaimana menentukan dari sisi gudang mana pintu masuk dan keluar mana yang ditentukan oleh kondisi jalan? Buktikan jawabanmu

Dalam pelajaran ini, setiap orang akan dapat mempelajari topik “Transformasi energi selama gerak osilasi. getaran teredam. Getaran paksa. Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan jenis transformasi energi yang terjadi selama gerak osilasi. Untuk melakukan ini, kami akan melakukan percobaan penting dengan sistem pendulum pegas horizontal. Kami juga akan membahas masalah yang berkaitan dengan osilasi teredam dan osilasi paksa.

Pelajaran ini dikhususkan untuk topik "Konversi energi selama gerakan osilasi." Selain itu, kami akan mempertimbangkan masalah yang terkait dengan osilasi teredam dan paksa.

Mari kita kenali pertanyaan ini dengan eksperimen penting berikutnya. Sebuah benda dilekatkan pada pegas, yang dapat berosilasi secara horizontal. Sistem seperti ini disebut pendulum pegas horizontal. Dalam hal ini, efek gravitasi dapat diabaikan.

Beras. 1. Pendulum pegas horizontal

Kita akan berasumsi bahwa dalam sistem gaya gesekan, tidak ada gaya hambatan. Ketika sistem ini dalam kesetimbangan dan tidak ada osilasi yang terjadi, kecepatan benda adalah 0 dan tidak ada deformasi pegas. Dalam hal ini, bandul ini tidak memiliki energi. Tetapi segera setelah tubuh digeser relatif terhadap titik keseimbangan ke kanan atau ke kiri, dalam hal ini kita akan melakukan pekerjaan komunikasi energi dalam sistem osilasi ini. Apa yang terjadi dalam kasus ini? Hal berikut terjadi: pegas berubah bentuk, panjangnya berubah. Kami memberikan energi potensial pegas. Jika sekarang Anda melepaskan beban, jangan menahannya, maka ia akan mulai bergerak menuju posisi setimbang, pegas akan mulai lurus dan deformasi pegas akan berkurang. Kecepatan tubuh akan meningkat, dan menurut hukum kekekalan energi, energi potensial pegas akan diubah menjadi energi kinetik gerak tubuh.

Beras. 2. Tahapan osilasi pendulum pegas

Deformasi x pegas ditentukan sebagai berikut: x = x 0 - x. Setelah mempertimbangkan deformasi, kita dapat mengatakan bahwa semua energi potensial disimpan di pegas: .

Selama osilasi, energi potensial secara konstan diubah menjadi energi kinetik batang: .

Misalnya, ketika batang melewati titik kesetimbangan x 0 , deformasi pegas adalah 0, mis. x=0, oleh karena itu, energi potensial pegas adalah 0 dan semua energi potensial pegas berubah menjadi energi kinetik batang: E p (di titik B) \u003d E k (di titik A). Atau .

Sebagai hasil dari gerakan ini, energi potensial diubah menjadi energi kinetik. Kemudian apa yang disebut fenomena inersia mulai berlaku. Sebuah benda yang memiliki massa tertentu, dengan inersia, melewati titik kesetimbangan. Kecepatan tubuh mulai berkurang, dan deformasi, perpanjangan pegas meningkat. Dapat disimpulkan bahwa energi kinetik benda berkurang, dan energi potensial pegas mulai meningkat lagi. Kita dapat berbicara tentang transformasi energi kinetik menjadi potensial.

Ketika tubuh akhirnya berhenti, kecepatan tubuh akan sama dengan 0, dan deformasi pegas akan menjadi maksimum, dalam hal ini kita dapat mengatakan bahwa semua energi kinetik tubuh telah berubah menjadi energi potensial pegas. . Di masa depan, semuanya diulang dari awal. Jika satu syarat terpenuhi, proses seperti itu akan terjadi terus menerus. Apa kondisi ini? Kondisi ini adalah tidak adanya gesekan. Tapi gaya gesekan, gaya perlawanan hadir dalam sistem apapun. Oleh karena itu, dengan setiap gerakan pendulum berikutnya, terjadi kehilangan energi. Usaha sedang dilakukan untuk mengatasi gaya gesekan. Gaya gesekan pada hukum Coulomb - Amonton: F TP \u003d .N.

Berbicara tentang osilasi, kita harus selalu ingat bahwa gaya gesekan mengarah pada fakta bahwa secara bertahap semua energi yang tersimpan dalam sistem osilasi tertentu diubah menjadi energi internal. Akibatnya, osilasi berhenti, dan begitu osilasi berhenti, osilasi semacam itu disebut teredam.

getaran teredam - getaran, yang amplitudonya berkurang karena fakta bahwa energi sistem osilasi dihabiskan untuk mengatasi gaya hambatan dan gaya gesekan.

Beras. 3. Grafik osilasi teredam

Jenis osilasi berikutnya yang akan kita pertimbangkan, yang disebut. getaran paksa. Getaran paksa disebut getaran yang terjadi di bawah aksi periodik, gaya eksternal yang bekerja pada sistem osilasi tertentu.

Jika bandul berosilasi, maka agar osilasi tersebut tidak berhenti, setiap kali gaya luar harus bekerja pada bandul. Misalnya, kita bertindak pada bandul dengan tangan kita sendiri, membuatnya bergerak, mendorongnya. Sangat penting untuk bertindak dengan beberapa kekuatan dan menebus hilangnya energi. Jadi, getaran paksa adalah getaran yang terjadi di bawah aksi kekuatan pendorong eksternal. Frekuensi osilasi tersebut akan bertepatan dengan frekuensi gaya kerja eksternal. Ketika gaya eksternal mulai bekerja pada bandul, hal berikut terjadi: pada awalnya, osilasi akan memiliki amplitudo kecil, tetapi secara bertahap amplitudo ini akan meningkat. Dan ketika amplitudo memperoleh nilai konstan, frekuensi osilasi juga memperoleh nilai konstan, mereka mengatakan bahwa osilasi tersebut telah ditetapkan. Osilasi paksa telah ditetapkan.

didirikan getaran paksa menebus hilangnya energi justru karena kerja kekuatan pendorong eksternal.

Resonansi

Ada fenomena yang sangat penting yang cukup sering diamati di alam dan teknologi. Fenomena ini disebut resonansi. "Resonansi" adalah kata Latin dan diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia sebagai "respon". Resonansi (dari lat.resono - "Saya merespon") - fenomena peningkatan amplitudo osilasi paksa sistem, yang terjadi ketika frekuensi aksi eksternal gaya mendekati frekuensi osilasi alami pendulum atau sistem osilasi ini .

Jika ada bandul yang memiliki panjang, massa atau kekakuan pegasnya sendiri, maka bandul ini memiliki osilasinya sendiri, yang dicirikan oleh frekuensi. Jika gaya pendorong eksternal mulai bekerja pada pendulum ini dan frekuensi gaya ini mulai mendekati frekuensi alami pendulum (bertepatan dengan itu), maka terjadi peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi. Ini adalah fenomena resonansi.

Sebagai akibat dari fenomena seperti itu, osilasi bisa sangat besar sehingga tubuh, sistem osilasi itu sendiri, akan runtuh. Ada kasus yang diketahui ketika barisan tentara yang berjalan melintasi jembatan, sebagai akibat dari fenomena seperti itu, meruntuhkan jembatan. Lain halnya ketika, akibat pergerakan massa udara, hembusan angin yang cukup kuat, sebuah jembatan di Amerika Serikat runtuh. Ini juga merupakan fenomena resonansi. Osilasi jembatan, getarannya sendiri, bertepatan dengan frekuensi hembusan angin, kekuatan pendorong eksternal. Hal ini menyebabkan amplitudo meningkat sedemikian rupa sehingga jembatan runtuh.

Mereka mencoba mempertimbangkan fenomena ini ketika merancang struktur dan mekanisme. Misalnya, ketika kereta api bergerak, hal berikut mungkin terjadi. Jika sebuah gerobak bergerak dan gerobak ini mulai bergoyang mengikuti irama gerakannya, maka amplitudo osilasi dapat meningkat sedemikian rupa sehingga gerobak dapat tergelincir. Akan ada kecelakaan. Untuk mengkarakterisasi fenomena ini, kurva digunakan, yang disebut resonansi.

Beras. 4. Kurva resonansi. Puncak kurva - amplitudo maksimum

Tentu saja, resonansi tidak hanya diperangi, tetapi juga digunakan. Ini banyak digunakan dalam akustik. Di mana ada auditorium, aula teater, aula konser, kita harus memperhitungkan fenomena resonansi.

Daftar literatur tambahan:

Apakah Anda akrab dengan resonansi? // kuantum. - 2003. - No. 1. - Hal. 32-33 Fisika: Mekanika. Kelas 10: Prok. untuk studi mendalam fisika / M.M. Balashov, A.I. Gomonova, A.B. Dolitsky dan lainnya; Ed. G.Ya. Myakishev. - M.: Bustard, 2002. Buku teks fisika dasar. Ed. G.S. Landsberg, T.3 - M., 1974

Mari kita kembali ke Gambar 53. Dengan menggerakkan bola dari titik O (posisi setimbang) ke titik B, kita meregangkan pegas. Pada saat yang sama, kami melakukan beberapa pekerjaan untuk mengatasi kekuatan elastisitasnya, yang menyebabkan pegas memperoleh energi potensial. Jika sekarang kita melepaskan bola, maka saat mendekati titik O, deformasi pegas dan energi potensial bandul akan berkurang, sedangkan kecepatan dan energi kinetik akan meningkat.

Mari kita asumsikan bahwa kehilangan energi untuk mengatasi gaya gesekan selama gerakan pendulum sangat kecil. Kemudian, menurut hukum kekekalan energi, energi mekanik total pendulum (yaitu, E p + E k) setiap saat dapat dianggap sama dan sama dengan energi potensial yang kita berikan pada pegas, peregangan sepanjang segmen OB. Dalam hal ini, bandul dapat berosilasi untuk waktu yang lama dengan amplitudo konstan sama dengan OB.

Ini akan menjadi kasus jika tidak ada kehilangan energi selama gerakan.

Namun pada kenyataannya selalu ada kehilangan energi. Energi mekanik dikeluarkan, misalnya, untuk melakukan pekerjaan untuk mengatasi kekuatan hambatan udara, saat melewati energi internal. Amplitudo osilasi secara bertahap berkurang, dan setelah beberapa saat osilasi berhenti. Osilasi seperti itu disebut teredam (Gbr. 66).

Beras. 66. Grafik ketergantungan waktu dari amplitudo osilasi bebas yang terjadi di air dan di udara

Semakin besar gaya resistensi terhadap gerakan, semakin cepat osilasi berhenti. Misalnya, di dalam air, osilasi meluruh lebih cepat daripada di udara (Gbr. 66, a, b).

Sampai sekarang, kami telah mempertimbangkan osilasi bebas, yaitu osilasi yang terjadi karena cadangan energi awal.

Osilasi bebas selalu teredam, karena seluruh pasokan energi yang awalnya diberikan ke sistem osilasi akhirnya bekerja untuk mengatasi gaya gesekan dan hambatan medium (yaitu, energi mekanik diubah menjadi energi internal). Oleh karena itu, getaran bebas hampir tidak memiliki aplikasi praktis.

Agar osilasi tidak teredam, perlu untuk mengisi kembali kehilangan energi untuk setiap periode osilasi. Ini dapat dilakukan dengan bekerja pada benda yang berosilasi dengan gaya yang berubah secara berkala. Misalnya, setiap kali mendorong ayunan ke irama osilasi mereka, Anda dapat memastikan bahwa osilasi tidak memudar.

• Osilasi yang dibuat oleh benda di bawah aksi gaya eksternal yang berubah secara berkala disebut getaran paksa.

Gaya eksternal yang berubah secara berkala yang menyebabkan osilasi ini disebut kekuatan yang memaksa.

Jika gaya penggerak yang berubah secara berkala mulai bekerja pada ayunan saat istirahat, maka untuk beberapa waktu amplitudo osilasi paksa ayunan akan meningkat, yaitu, amplitudo setiap osilasi berikutnya akan lebih besar dari yang sebelumnya. Peningkatan amplitudo akan berhenti ketika energi yang hilang oleh ayunan untuk mengatasi gaya gesekan menjadi sama dengan energi yang diterima oleh mereka dari luar (karena kerja gaya penggerak).

Dalam kebanyakan kasus, frekuensi konstan osilasi paksa tidak ditetapkan segera, tetapi beberapa saat setelah mereka mulai.

Ketika amplitudo dan frekuensi osilasi paksa berhenti berubah, osilasi dikatakan telah menetap.

Frekuensi osilasi paksa yang stabil sama dengan frekuensi gaya penggerak.

Osilasi paksa dapat dilakukan bahkan oleh benda yang bukan sistem osilasi, misalnya jarum mesin jahit, piston di mesin pembakaran internal, dan banyak lainnya. Osilasi benda tersebut juga terjadi dengan frekuensi gaya penggerak.

Osilasi paksa tidak teredam. Mereka terjadi selama kekuatan pendorong berlaku.

pertanyaan

1. Apa yang dapat dikatakan tentang energi mekanik total dari pendulum yang berosilasi setiap saat, jika kita berasumsi bahwa tidak ada energi yang hilang? Menurut hukum apa hal ini dapat ditegaskan?
2. Bagaimana amplitudo osilasi bebas yang terjadi dalam kondisi nyata berubah dari waktu ke waktu? Apa alasan perubahan ini?
3. Di mana ayunan pendulum akan berhenti lebih cepat - di udara atau di air? Mengapa? (Pasokan energi awal adalah sama dalam kedua kasus.)
4. Bisakah osilasi bebas tidak teredam? Mengapa? Apa yang perlu dilakukan agar osilasi tidak teredam?
5. Apa yang dapat dikatakan tentang frekuensi osilasi paksa keadaan tunak dan frekuensi gaya penggerak?
6. Dapatkah benda yang bukan sistem osilasi melakukan osilasi paksa? Berikan contoh.
7. Berapa lama osilasi paksa berlangsung?

Latihan 25

Hilangnya energi mekanik dalam setiap sistem osilasi karena adanya gaya gesekan tidak dapat dihindari, oleh karena itu, tanpa "pemompaan" energi dari luar, osilasi akan teredam. Ada beberapa cara yang berbeda secara fundamental untuk membuat sistem osilasi dari osilasi tak teredam. Mari kita lihat lebih dekat osilasi tak teredam di bawah aksi gaya periodik eksternal. Osilasi seperti itu disebut paksa. Mari kita lanjutkan mempelajari gerak bandul harmonik (Gbr. 6.6).

Selain gaya elastik dan gesekan viskos yang telah dipertimbangkan sebelumnya, bola juga dikenai gaya eksternal menarik gaya periodik yang berubah sesuai dengan hukum harmonik

frekuensi, yang mungkin berbeda dari frekuensi alami bandul ω Hai. Sifat kekuatan ini tidak penting bagi kami dalam kasus ini. Gaya seperti itu dapat diciptakan dengan berbagai cara, misalnya, dengan memberikan muatan listrik ke bola dan menempatkannya dalam medan listrik bolak-balik eksternal. Persamaan gerak bola dalam kasus yang dipertimbangkan memiliki bentuk

Kami membaginya dengan massa bola dan menggunakan notasi sebelumnya untuk parameter sistem. Akibatnya, kita mendapatkan persamaan getaran paksa:

di mana f Hai = F Hai /m adalah rasio nilai amplitudo gaya penggerak eksternal dengan massa bola. Solusi umum Persamaan (3) agak rumit dan, tentu saja, tergantung pada kondisi awal. Sifat pergerakan bola, yang dijelaskan oleh persamaan (3), dapat dimengerti: di bawah aksi gaya penggerak, osilasi muncul, amplitudonya akan meningkat. Rezim transisi ini agak rumit dan tergantung pada kondisi awal. Setelah periode waktu tertentu, rezim osilasi akan terbentuk, amplitudonya akan berhenti berubah. Tepat osilasi keadaan tunak, dalam banyak kasus adalah kepentingan utama. Kami tidak akan mempertimbangkan transisi sistem ke kondisi mapan, tetapi akan fokus pada deskripsi dan studi tentang karakteristik rezim ini. Dengan pernyataan masalah seperti itu, tidak perlu menetapkan kondisi awal, karena rezim kondisi mapan yang menarik bagi kita tidak bergantung pada kondisi awal, karakteristiknya sepenuhnya ditentukan oleh persamaan itu sendiri. Kami menemukan situasi serupa ketika mempelajari gerakan benda di bawah aksi gaya eksternal yang konstan dan gaya gesekan kental.

Setelah beberapa waktu, tubuh bergerak dengan kecepatan tetap yang konstan v = F Hai /β , yang tidak bergantung pada kondisi awal dan sepenuhnya ditentukan oleh persamaan gerak. Kondisi awal menentukan rezim transisi ke gerak tunak. Atas dasar akal sehat, masuk akal untuk mengasumsikan bahwa dalam mode osilasi kondisi tunak, bola akan berosilasi dengan frekuensi gaya pendorong eksternal. Oleh karena itu, solusi persamaan (3) harus dicari dalam fungsi harmonik dengan frekuensi gaya penggerak. Pertama, kita selesaikan persamaan (3), dengan mengabaikan gaya hambatan

Mari kita coba mencari penyelesaiannya dalam bentuk fungsi harmonik

Untuk melakukan ini, kami menghitung ketergantungan kecepatan dan percepatan tubuh pada waktu, sebagai turunan dari hukum gerak

dan substitusikan nilainya ke persamaan (4)

Sekarang Anda dapat memotong menjadi biaya. Oleh karena itu, ekspresi ini berubah menjadi identitas sebenarnya kapan saja, asalkan kondisinya

Jadi, asumsi kami tentang solusi Persamaan (4) dalam bentuk (5)  dibenarkan: mode osilasi kondisi tunak dijelaskan oleh fungsi

Perhatikan bahwa koefisien A sesuai dengan ekspresi (6) yang diperoleh, dapat bernilai positif (untuk ω < ω Hai) dan negatif (untuk ω > ω Hai). Perubahan tanda sesuai dengan perubahan fase osilasi oleh π (alasan untuk perubahan seperti itu akan diklarifikasi sedikit kemudian), oleh karena itu, amplitudo osilasi adalah modulus dari koefisien ini |A|. Amplitudo osilasi tetap, seperti yang diharapkan, sebanding dengan besarnya gaya penggerak. Selain itu, amplitudo ini sangat bergantung pada frekuensi gaya penggerak. Diagram skematis ketergantungan ini ditunjukkan pada Gambar. 6.10

Beras. 6.10 Kurva resonansi

Sebagai berikut dari rumus (6) dan terlihat jelas pada grafik, ketika frekuensi gaya penggerak mendekati frekuensi alami sistem, amplitudo meningkat tajam. Alasan peningkatan amplitudo seperti itu jelas: gaya pendorong "dalam waktu" mendorong bola, dengan kebetulan frekuensi yang lengkap, keadaan tunak tidak ada - amplitudo meningkat hingga tak terbatas. Tentu saja, dalam praktiknya, peningkatan tak terbatas seperti itu tidak mungkin diamati: Pertama-tama, ini dapat menyebabkan kehancuran sistem osilasi itu sendiri, Kedua, pada amplitudo osilasi yang besar, gaya hambatan medium tidak dapat diabaikan. Peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi paksa ketika frekuensi gaya penggerak mendekati frekuensi alami osilasi sistem disebut fenomena resonansi. Mari kita lanjutkan ke pencarian solusi untuk persamaan osilasi paksa, dengan mempertimbangkan gaya hambatan

Tentu saja, dalam hal ini juga, solusinya harus dicari dalam bentuk fungsi harmonik dengan frekuensi gaya penggerak. Sangat mudah untuk melihat bahwa pencarian solusi dalam bentuk (5) dalam hal ini tidak akan membawa kesuksesan. Memang, persamaan (8), berbeda dengan persamaan (4), berisi kecepatan partikel, yang dijelaskan oleh fungsi sinus. Oleh karena itu, bagian waktu dalam persamaan (8) tidak akan berkurang. Oleh karena itu, solusi persamaan (8) harus direpresentasikan dalam bentuk umum fungsi harmonik

di mana dua parameter A Hai dan φ harus dicari dengan menggunakan persamaan (8). Parameter A Hai adalah amplitudo osilasi paksa, φ pergeseran fasa antara koordinat yang berubah dan gaya penggerak variabel. Menggunakan rumus trigonometri untuk kosinus jumlah, fungsi (9) dapat direpresentasikan dalam bentuk yang setara

yang juga berisi dua parameter B=A Hai karena dan C = -A Hai dosa untuk ditentukan. Menggunakan fungsi (10), kami menulis ekspresi eksplisit untuk ketergantungan kecepatan dan percepatan partikel pada waktu

dan substitusikan ke persamaan (8):

Mari kita tulis ulang ekspresi ini sebagai

Agar persamaan (13) berlaku setiap saat , koefisien pada cosinus dan sinus harus sama dengan nol. Berdasarkan kondisi ini, diperoleh dua persamaan linier untuk menentukan parameter fungsi (10):

Solusi untuk sistem persamaan ini memiliki bentuk

Berdasarkan rumus (10), kami menentukan karakteristik osilasi paksa: amplitudo

pergeseran fasa

Pada redaman rendah, ketergantungan ini memiliki maksimum yang tajam ketika frekuensi gaya penggerak mendekat ω dengan frekuensi alami sistem ω Hai. Jadi, dalam hal ini, resonansi juga dapat terjadi; oleh karena itu, ketergantungan yang dibangun sering disebut kurva resonansi. Perhitungan atenuasi lemah menunjukkan bahwa amplitudo tidak meningkat hingga tak terhingga, nilai maksimumnya tergantung pada koefisien atenuasi - ketika yang terakhir meningkat, amplitudo maksimum berkurang dengan cepat. Ketergantungan yang dihasilkan dari amplitudo osilasi pada frekuensi gaya penggerak (16) mengandung terlalu banyak parameter independen ( f Hai , ω Hai , γ ) untuk membangun keluarga lengkap kurva resonansi. Seperti dalam banyak kasus, ketergantungan ini dapat disederhanakan secara signifikan dengan meneruskan ke variabel "tanpa dimensi". Mari kita ubah rumus (16) menjadi bentuk berikut:

dan menunjukkan

frekuensi relatif (perbandingan frekuensi gaya penggerak dengan frekuensi alami osilasi sistem);

amplitudo relatif (perbandingan amplitudo osilasi dengan besarnya deviasi A Hai = f/ω Hai 2 pada frekuensi nol);

adalah parameter tak berdimensi yang menentukan besarnya redaman. Menggunakan notasi ini, fungsi (16) sangat disederhanakan

karena hanya berisi satu parameter δ . Sebuah keluarga kurva resonansi satu-parameter yang dijelaskan oleh fungsi  (16 b) dapat dibangun, terutama dengan mudah dengan bantuan komputer. Hasil konstruksi seperti itu ditunjukkan pada Gambar. 629.

Nasi. 6.11

Perhatikan bahwa transisi ke satuan pengukuran "biasa" dapat dilakukan dengan perubahan mendasar dalam skala sumbu koordinat. Perlu dicatat bahwa frekuensi gaya penggerak, di mana amplitudo  osilasi paksa maksimum, juga tergantung pada koefisien redaman, sedikit menurun dengan pertumbuhan yang terakhir. Akhirnya, kami menekankan bahwa peningkatan koefisien redaman menyebabkan peningkatan yang signifikan dalam lebar kurva resonansi. Pergeseran fasa yang dihasilkan antara osilasi titik dan gaya penggerak juga bergantung pada frekuensi osilasi dan koefisien atenuasinya. Kami akan berkenalan dengan peran pergeseran fase ini secara lebih rinci ketika mempertimbangkan transformasi energi dalam proses osilasi paksa.

frekuensi osilasi tak teredam bebas bertepatan dengan frekuensi alami, frekuensi osilasi teredam sedikit lebih kecil dari frekuensi alami, dan frekuensi osilasi paksa bertepatan dengan frekuensi gaya penggerak, dan bukan frekuensi alami.

Osilasi elektromagnetik paksa

terpaksa disebut osilasi yang terjadi dalam sistem osilasi di bawah pengaruh pengaruh periodik eksternal.

Gambar 6.12. Sirkuit dengan osilasi listrik paksa

Pertimbangkan proses yang terjadi dalam rangkaian osilasi listrik ( gambar 6.12) terhubung ke sumber eksternal, EMF yang bervariasi sesuai dengan hukum harmonik

,

di mana  m adalah amplitudo EMF eksternal,

adalah frekuensi siklik dari EMF.

Dilambangkan dengan kamu C tegangan melintasi kapasitor, dan saya - kekuatan arus dalam rangkaian. Di sirkuit ini, selain variabel EMF  (t) masih ada EMF induksi diri  L dalam induktor.

EMF induksi diri berbanding lurus dengan laju perubahan kekuatan arus dalam rangkaian

.

Untuk keluaran persamaan diferensial osilasi paksa timbul di sirkuit seperti itu, kami menggunakan aturan Kirchhoff kedua

.

Tegangan resistansi R temukan dengan hukum Ohm

.

Kuat arus listrik sama dengan muatan yang mengalir per satuan waktu melalui penampang konduktor

.

Karena itu

.

Tegangan kamu C pada kapasitor berbanding lurus dengan muatan pada pelat kapasitor

.

EMF dari induksi diri dapat direpresentasikan melalui turunan kedua dari muatan terhadap waktu

.

Mengganti tegangan dan ggl ke dalam aturan kedua Kirchhoff

.

Membagi kedua sisi ekspresi ini dengan L dan mendistribusikan suku-suku menurut derajat penurunan dalam orde turunan, kita memperoleh persamaan diferensial orde kedua

.

Mari kita perkenalkan notasi berikut dan dapatkan

adalah koefisien atenuasi,

adalah frekuensi siklik dari osilasi alami rangkaian.

. (1)

Persamaan (1) adalah heterogen persamaan diferensial linier orde dua. Persamaan jenis ini menggambarkan perilaku kelas luas sistem osilasi (listrik, mekanik) di bawah pengaruh aksi periodik eksternal (EMF eksternal atau gaya eksternal).

Solusi umum persamaan (1) adalah jumlah dari solusi umum q 1 homogen persamaan diferensial (2)

(2)

dan solusi khusus apa pun q 2 heterogen persamaan (1)

.

Jenis solusi umum homogen persamaan (2) tergantung pada nilai koefisien atenuasi  . Kami tertarik pada kasus redaman lemah  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

di mana B dan  0 adalah konstanta yang diberikan oleh kondisi awal.

Solusi (3) menjelaskan osilasi teredam dalam rangkaian. Nilai-nilai yang termasuk dalam (3):

adalah frekuensi siklik dari osilasi teredam;

adalah amplitudo osilasi teredam;

adalah fase osilasi teredam.

Kami mencari solusi tertentu dari persamaan (1) dalam bentuk osilasi harmonik yang terjadi dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi  pengaruh periodik eksternal - EMF, dan tertinggal dalam fase oleh  Dari dia

di mana
adalah amplitudo osilasi paksa, yang bergantung pada frekuensi.

Kami mengganti (4) menjadi (1) dan mendapatkan identitasnya

Untuk membandingkan fase osilasi, kami menggunakan rumus reduksi trigonometri

.

Kemudian persamaan kita akan ditulis ulang dalam bentuk

Mari kita nyatakan fluktuasi di sisi kiri dari identitas yang diperoleh dalam bentuk diagram vektor (Nasi.6.13)..

Istilah ketiga yang sesuai dengan fluktuasi kapasitansi Dengan, yang memiliki fase (  t –  ) dan amplitudo
, mewakili vektor horizontal yang diarahkan ke kanan.

Gambar 6.13. diagram vektor

Suku pertama dari ruas kiri, sesuai dengan osilasi pada induktansi L, akan direpresentasikan pada diagram vektor oleh vektor yang diarahkan secara horizontal ke kiri (amplitudonya
).

Suku kedua yang sesuai dengan osilasi dalam hambatan R, mewakili vektor yang diarahkan secara vertikal ke atas (amplitudonya
), karena fasenya /2 di belakang fase suku pertama.

Karena jumlah tiga getaran di sebelah kiri tanda sama dengan menghasilkan getaran harmonik
, maka jumlah vektor pada diagram (diagonal persegi panjang) menggambarkan osilasi dengan amplitudo dan fase  t, yang ada di  di depan fase osilasi suku ketiga.

Dari segitiga siku-siku, menggunakan teorema Pythagoras, Anda dapat menemukan amplitudo A( )

(5)

dan tg sebagai rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.

. (6)

Akibatnya, solusi (4), dengan mempertimbangkan (5) dan (6), berbentuk:

. (7)

Solusi umum persamaan diferensial(1) adalah jumlah q 1 dan q 2

. (8)

Rumus (8) menunjukkan bahwa ketika EMF eksternal periodik diterapkan ke sirkuit, osilasi dua frekuensi terjadi di dalamnya, yaitu. osilasi tak teredam dengan frekuensi EMF eksternal  dan getaran teredam dengan frekuensi
. Amplitudo osilasi teredam
menjadi dapat diabaikan dengan waktu, dan hanya osilasi paksa yang tersisa di sirkuit, yang amplitudonya tidak bergantung pada waktu. Akibatnya, osilasi paksa yang stabil dijelaskan oleh fungsi (4). Artinya, osilasi harmonik paksa terjadi di sirkuit, dengan frekuensi sama dengan frekuensi pengaruh eksternal, dan amplitudo
, tergantung pada frekuensi ini ( Nasi. 3sebuah) menurut undang-undang (5). Dalam hal ini, fase osilasi paksa tertinggal oleh  dari paksaan.

Membedakan ekspresi (4) sehubungan dengan waktu, kami menemukan kekuatan arus di sirkuit

di mana
adalah amplitudo kekuatan arus.

Kami menulis ekspresi ini untuk kekuatan saat ini dalam bentuk

, (9)

di mana
–pergeseran fasa antara arus dan ggl eksternal.

Menurut (6) dan Nasi. 2

. (10)

Dari rumus ini dapat disimpulkan bahwa pergeseran fasa antara arus dan EMF eksternal tergantung, pada resistansi konstan R, dari rasio antara frekuensi mengemudi EMF  dan frekuensi alami rangkaian  0 .

Jika sebuah  <  0 , maka pergeseran fasa antara arus dan EMF eksternal  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

Jika sebuah  >  0, maka  > 0. Fluktuasi arus tertinggal dari fluktuasi EMF dalam fase dengan sudut  .

Jika sebuah  =  0 (frekuensi resonansi), kemudian  \u003d 0, yaitu, kekuatan arus dan EMF berosilasi dalam fase yang sama.

Resonansi- ini adalah fenomena peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi ketika frekuensi gaya penggerak eksternal bertepatan dengan frekuensi alami sistem osilasi.

Pada resonansi  =  0 dan periode osilasi

.

Mengingat bahwa koefisien atenuasi

,

kami memperoleh ekspresi untuk faktor kualitas pada resonansi T = T 0

,

di sisi lain

.

Amplitudo tegangan pada induktansi dan kapasitansi pada resonansi dapat dinyatakan dalam faktor kualitas rangkaian

, (15)

. (16)

Dari (15) dan (16) dapat diketahui bahwa pada  =  0, amplitudo tegangan melintasi kapasitor dan induktansi dalam Q kali amplitudo ggl eksternal. Ini adalah properti dari serial RLC loop digunakan untuk mengisolasi sinyal radio dari frekuensi tertentu
dari spektrum frekuensi radio selama restrukturisasi penerima radio.

Saat latihan RLC sirkuit terhubung ke sirkuit lain, alat ukur atau perangkat penguat, memperkenalkan redaman tambahan ke RLC sirkuit. Oleh karena itu, nilai sebenarnya dari faktor kualitas yang dimuat RLC sirkuit ternyata lebih rendah dari faktor kualitas, diperkirakan dengan rumus

.

Nilai sebenarnya dari faktor kualitas dapat diperkirakan sebagai

Gambar 6.14. Penentuan faktor kualitas dari kurva resonansi

,

dimana f adalah bandwidth frekuensi di mana amplitudo adalah 0,7 dari nilai maksimum ( Nasi. 4).

Tegangan kapasitor kamu C, pada resistansi aktif kamu R dan pada induktor kamu L mencapai maksimum pada frekuensi yang berbeda, masing-masing

,
,
.

Jika redamannya kecil  0 >>  , maka semua frekuensi ini secara praktis bertepatan dan kita dapat mengasumsikan bahwa

.