Tetapi banyak bilangan asli yang habis dibagi dengan bilangan asli lainnya.

Misalnya:

Angka 12 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Bilangan 36 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, dan 36 habis dibagi.

Bilangan yang habis dibagi (untuk 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) disebut pembagi bilangan. Pembagi bilangan asli sebuah adalah bilangan asli yang membagi bilangan tersebut sebuah tanpa jejak. Bilangan asli yang memiliki lebih dari dua faktor disebut gabungan. Perhatikan bahwa angka 12 dan 36 memiliki pembagi yang sama. Ini adalah angka-angka: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembagi terbesar dari angka-angka ini adalah 12.

Pembagi persekutuan dari dua bilangan yang diberikan sebuah dan b adalah bilangan yang kedua bilangan tersebut habis dibagi tanpa sisa sebuah dan b. Pembagi Umum dari Beberapa Bilangan (GCD) adalah bilangan yang berfungsi sebagai pembagi untuk masing-masing bilangan tersebut.

Secara singkat pembagi persekutuan terbesar dari bilangan sebuah dan b ditulis seperti ini:

Contoh: gcd (12; 36) = 12.

Pembagi angka dalam catatan solusi dilambangkan dengan huruf kapital "D".

Contoh:

gcd (7; 9) = 1

Angka 7 dan 9 hanya memiliki satu pembagi yang sama - angka 1. Angka tersebut disebut koprimachi slam.

bilangan koprima adalah bilangan asli yang hanya memiliki satu pembagi yang sama - angka 1. gcd-nya adalah 1.

Pembagi Persekutuan Terbesar (GCD), properti.

• Properti utama: pembagi persekutuan terbesar m dan n habis dibagi oleh setiap pembagi umum dari angka-angka ini. Contoh: untuk bilangan 12 dan 18 pembagi persekutuan terbesar adalah 6; itu habis dibagi oleh semua pembagi umum dari angka-angka ini: 1, 2, 3, 6.
• Akibat wajar 1: himpunan pembagi umum m dan n bertepatan dengan himpunan pembagi gcd( m, n).
• Akibat wajar 2: himpunan kelipatan persekutuan m dan n bertepatan dengan himpunan beberapa KPK ( m, n).

Ini berarti, khususnya, bahwa untuk mereduksi pecahan menjadi bentuk tak tereduksi, pembilang dan penyebutnya harus dibagi dengan gcd-nya.

• Pembagi Umum Terbesar dari Bilangan m dan n dapat didefinisikan sebagai elemen positif terkecil dari himpunan semua kombinasi liniernya:

dan karena itu direpresentasikan sebagai kombinasi linier angka m dan n:

Rasio ini disebut rasio Bezout, dan koefisien kamu dan v — koefisien bezout. Koefisien Bézout dihitung secara efisien dengan algoritma Euclid yang diperluas. Pernyataan ini digeneralisasikan ke himpunan bilangan asli - artinya adalah bahwa subgrup dari grup yang dihasilkan oleh himpunan adalah siklik dan dihasilkan oleh satu elemen: gcd ( sebuah 1 , sebuah 2 , … , sebuah).

Perhitungan pembagi persekutuan terbesar (gcd).

Cara yang efisien untuk menghitung gcd dari dua bilangan adalah Algoritma Euclid dan bineralgoritma. Selain itu, nilai GCD ( m,n) dapat dengan mudah dihitung jika perluasan kanonik bilangan diketahui m dan n untuk faktor prima:

di mana adalah bilangan prima yang berbeda dan dan merupakan bilangan bulat non-negatif (mereka mungkin nol jika bilangan prima yang sesuai tidak dalam dekomposisi). Kemudian gcd ( m,n) dan KPK ( m,n) dinyatakan dengan rumus:

Jika ada lebih dari dua angka: , GCD mereka ditemukan sesuai dengan algoritma berikut:

- ini adalah GCD yang diinginkan.

Juga, untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar, Anda dapat menguraikan setiap bilangan yang diberikan menjadi faktor prima. Kemudian tuliskan secara terpisah hanya faktor-faktor yang termasuk dalam semua angka yang diberikan. Kemudian kami mengalikan angka-angka yang ditulis di antara mereka sendiri - hasil perkalian adalah pembagi persekutuan terbesar .

Mari kita menganalisis perhitungan pembagi persekutuan terbesar langkah demi langkah:

1. Uraikan pembagi bilangan menjadi faktor prima:

Perhitungan mudah ditulis menggunakan bilah vertikal. Di sebelah kiri baris, pertama-tama tuliskan dividen, di sebelah kanan - pembagi. Selanjutnya di kolom kiri kita tuliskan nilai-nilai private. Mari kita jelaskan segera dengan sebuah contoh. Mari kita memfaktorkan bilangan 28 dan 64 menjadi faktor prima.

2. Kami menggarisbawahi faktor prima yang sama di kedua bilangan:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Kami menemukan produk dari faktor prima yang identik dan menuliskan jawabannya:

KPK (28; 64) = 2. 2 = 4

Jawaban: KPK (28; 64) = 4

Anda dapat mengatur lokasi GCD dengan dua cara: di kolom (seperti yang dilakukan di atas) atau "dalam satu baris".

Cara pertama untuk menulis GCD:

Cari KPK 48 dan 36.

KPK (48; 36) = 2 . 2. 3 = 12

Cara kedua untuk menulis GCD:

Sekarang mari kita tulis solusi pencarian GCD dalam satu baris. Cari KPK 10 dan 15.

D(10) = (1, 2, 5, 10)

D(15) = (1, 3, 5, 15)

D(10, 15) = (1, 5)

Mari kita selesaikan masalahnya. Kami memiliki dua jenis cookie. Ada yang coklat dan ada yang polos. Ada 48 keping cokelat, dan 36 keping sederhana. Anda perlu membuat hadiah sebanyak mungkin dari kue-kue ini, dan semuanya harus digunakan.

Pertama, mari kita tuliskan semua pembagi dari masing-masing dua angka ini, karena kedua angka ini harus habis dibagi dengan jumlah hadiah.

Kita mendapatkan

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Mari kita temukan di antara pembagi yang umum yang dimiliki oleh angka pertama dan kedua.

Pembagi umum adalah: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Pembagi persekutuan terbesar dari semuanya adalah 12. Angka ini disebut pembagi persekutuan terbesar dari 36 dan 48.

Berdasarkan hasil tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa 12 hadiah dapat dibuat dari semua cookie. Satu hadiah tersebut akan berisi 4 kue coklat dan 3 kue biasa.

Menemukan Pembagi Persekutuan Terbesar

• Bilangan asli terbesar di mana dua bilangan a dan b habis dibagi tanpa sisa disebut pembagi persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan ini.

Terkadang singkatan GCD digunakan untuk menyingkat entri.

Beberapa pasangan bilangan memiliki satu sebagai pembagi persekutuan terbesarnya. Angka-angka seperti itu disebut bilangan koprima. Misal bilangan 24 dan 35. Memiliki KPK =1.

Bagaimana menemukan pembagi persekutuan terbesar

Untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar, tidak perlu menuliskan semua pembagi bilangan-bilangan ini.

Anda dapat melakukan sebaliknya. Pertama, faktorkan kedua bilangan tersebut menjadi faktor prima.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Nah, dari faktor-faktor yang termasuk dalam pemuaian bilangan pertama, kita hapus semua yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan kedua. Dalam kasus kami, ini adalah dua deuces.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Faktor 2, 2, dan 3. Hasil kali mereka adalah 12. Angka ini akan menjadi pembagi persekutuan terbesar dari angka 48 dan 36.

Aturan ini dapat diperluas untuk kasus tiga, empat, dan seterusnya. angka.

Skema umum untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar

• 1. Uraikan bilangan menjadi faktor prima.
• 2. Dari faktor-faktor yang termasuk dalam pemuaian salah satu bilangan tersebut, coretlah faktor-faktor yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan lainnya.
• 3. Hitung produk dari faktor-faktor yang tersisa.

Menemukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dan pembagi persekutuan terbesar (PBK) dari bilangan asli.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Kami menulis faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan bilangan pertama dan menambahkan faktor 5 yang hilang dari perluasan bilangan kedua. Kita peroleh: 2*2*3*5*5=300. Menemukan NOC, mis. jumlah ini = 300. Jangan lupa dimensi dan tulis jawabannya:
Jawaban: Ibu memberi masing-masing 300 rubel.

Definisi GCD: Pembagi Persekutuan Terbesar (PBK) bilangan asli sebuah dan di sebutkan bilangan asli terbesar c, ke mana dan sebuah, dan b dibagi tanpa sisa. Itu. c adalah bilangan asli terkecil di mana dan sebuah dan b adalah kelipatan.

Pengingat: Ada dua pendekatan untuk definisi bilangan asli:

• nomor yang digunakan dalam: pencacahan (penomoran) item (pertama, kedua, ketiga, ...); - di sekolah biasanya.
• menunjukkan jumlah item (tidak ada pokemon - nol, satu pokemon, dua pokemon, ...).

Bilangan negatif dan non-integer (rasional, real, ...) tidak alami. Beberapa penulis memasukkan nol dalam himpunan bilangan asli, yang lain tidak. Himpunan semua bilangan asli biasanya dilambangkan dengan simbol N

Pengingat: Pembagi bilangan asli sebuah hubungi nomornya b, yang sebuah dibagi tanpa sisa. Kelipatan bilangan asli b disebut bilangan asli sebuah, yang dibagi dengan b tanpa jejak. Jika nomor b- pembagi bilangan sebuah, kemudian sebuah beberapa dari b. Contoh: 2 adalah pembagi dari 4 dan 4 adalah kelipatan 2. 3 adalah pembagi dari 12, dan 12 adalah kelipatan 3.
Pengingat: Bilangan asli disebut prima jika hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan oleh 1. Koprima adalah bilangan yang hanya memiliki satu pembagi yang sama dengan 1.

Definisi bagaimana menemukan GCD dalam kasus umum: Untuk menemukan GCD (Pembagi Persekutuan Terbesar) Beberapa bilangan asli diperlukan:
1) Uraikan menjadi faktor prima. (Bagan Angka Prima bisa sangat membantu untuk ini.)
2) Tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pemuaian salah satunya.
3) Hapus yang tidak termasuk dalam perluasan bilangan yang tersisa.
4) Kalikan faktor-faktor yang diperoleh pada paragraf 3).

Tugas 2 aktif (NOK): Pada tahun baru, Kolya Puzatov membeli 48 hamster dan 36 teko kopi di kota. Fekla Dormidontova, sebagai gadis paling jujur ​​di kelas, diberi tugas untuk membagi properti ini menjadi sejumlah besar set hadiah untuk para guru. Berapa jumlah setnya? Apa komposisi himpunan?

Contoh 2.1. memecahkan masalah menemukan GCD. Menemukan GCD dengan seleksi.
Keputusan: Masing-masing dari angka 48 dan 36 harus dibagi dengan jumlah hadiah.
1) Tuliskan pembagi 48:48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Tuliskan pembagi 36:36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Pilih pembagi persekutuan terbesar. Op-la-la! Ditemukan, ini adalah jumlah set 12 buah.
3) Bagi 48 dengan 12, kita dapatkan 4, bagi 36 dengan 12, kita dapatkan 3. Jangan lupa dimensi dan tulis jawabannya:
Jawaban: Anda akan mendapatkan 12 set 4 hamster dan 3 teko kopi di setiap set.

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan berhubungan langsung dengan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan tersebut. Ini hubungan antara GCD dan NOC ditentukan oleh teorema berikut.

Dalil.

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat positif a dan b sama dengan hasil kali bilangan a dan b dibagi dengan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan a dan b , yaitu, KPK(a, b)=a b: KPK(a, b).

Bukti.

Biarlah M adalah kelipatan dari bilangan a dan b. Artinya, M habis dibagi a, dan menurut definisi habis dibagi, ada beberapa bilangan bulat k sedemikian rupa sehingga persamaan M=a·k benar. Tetapi M juga habis dibagi b, maka a k habis dibagi b.

Tunjukkan gcd(a, b) sebagai d . Kemudian kita dapat menuliskan persamaan a=a 1 ·d dan b=b 1 ·d, dan a 1 =a:d dan b 1 =b:d akan menjadi bilangan prima. Oleh karena itu, kondisi yang diperoleh pada paragraf sebelumnya bahwa a k habis dibagi b dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: a 1 d k habis dibagi b 1 d , dan ini, karena sifat-sifat habis dibagi, setara dengan kondisi bahwa a 1 k habis dibagi b satu.

Kita juga perlu menuliskan dua konsekuensi penting dari teorema yang dipertimbangkan.

Kelipatan persekutuan dua bilangan sama dengan kelipatan kelipatan persekutuan terkecilnya.

Ini benar, karena kelipatan persekutuan dari M bilangan a dan b ditentukan oleh persamaan M=LCM(a, b) t untuk beberapa nilai bilangan bulat t .

Kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan positif koprima a dan b sama dengan perkaliannya.

Alasan untuk fakta ini cukup jelas. Karena a dan b adalah koprima, maka gcd(a, b)=1 , oleh karena itu, KPK(a, b)=a b: KPK(a, b)=a b:1=a b.

Kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih

Menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat direduksi menjadi mencari KPK dari dua bilangan secara berurutan. Bagaimana hal ini dilakukan ditunjukkan dalam teorema berikut: a 1 , a 2 , …, a k bertepatan dengan kelipatan persekutuan bilangan m k-1 dan a k , oleh karena itu, bertepatan dengan kelipatan m k . Dan karena kelipatan positif terkecil dari bilangan m k adalah bilangan m k itu sendiri, maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan a 1 , a 2 , …, a k adalah m k .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. dll. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan.
• Vinogradov I.M. Dasar-dasar teori bilangan.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teori bilangan.
• Kulikov L.Ya. dan lain-lain Kumpulan soal aljabar dan teori bilangan: Buku ajar untuk mahasiswa fiz.-mat. spesialisasi lembaga pedagogis.

Artikel ini adalah tentang menemukan pembagi persekutuan terbesar (gcd) dua angka atau lebih. Pertama, pertimbangkan algoritma Euclid, ini memungkinkan Anda untuk menemukan GCD dari dua angka. Setelah itu, kita akan membahas metode yang memungkinkan kita menghitung KPK dari bilangan-bilangan sebagai produk dari faktor-faktor prima persekutuannya. Selanjutnya, kita akan berurusan dengan menemukan pembagi persekutuan terbesar dari tiga angka atau lebih, dan juga memberikan contoh menghitung FPB dari angka negatif.

Navigasi halaman.

Algoritma Euclid untuk mencari GCD

Perhatikan bahwa jika kita beralih ke tabel bilangan prima sejak awal, kita akan menemukan bahwa angka 661 dan 113 adalah bilangan prima, yang darinya kita dapat segera mengatakan bahwa pembagi persekutuan terbesarnya adalah 1.

Menjawab:

gcd(661, 113)=1 .

Mencari KPK dengan Memfaktorkan Bilangan Menjadi Faktor Prima

Pertimbangkan cara lain untuk menemukan GCD. Pembagi persekutuan terbesar dapat ditemukan dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima. Mari kita rumuskan aturannya: Gcd dua bilangan bulat positif a dan b sama dengan hasil kali semua faktor prima persekutuan dalam faktorisasi prima a dan b.

Mari kita berikan contoh untuk menjelaskan aturan untuk menemukan GCD. Sebutkan pemuaian bilangan 220 dan 600 menjadi faktor prima yang memiliki bentuk 220=2 2 5 11 dan 600=2 2 2 3 5 5 . Faktor prima umum yang terlibat dalam perluasan bilangan 220 dan 600 adalah 2 , 2 dan 5 . Oleh karena itu gcd(220, 600)=2 2 5=20 .

Jadi, jika kita menguraikan angka a dan b menjadi faktor prima dan menemukan produk dari semua faktor persekutuannya, maka ini akan menemukan pembagi persekutuan terbesar dari angka a dan b.

Perhatikan contoh menemukan GCD menurut aturan yang diumumkan.

Contoh.

Temukan pembagi persekutuan terbesar dari 72 dan 96.

Keputusan.

Memfaktorkan bilangan 72 dan 96:

Artinya, 72=2 2 2 3 3 dan 96=2 2 2 2 2 3 . Faktor prima yang umum adalah 2 , 2 , 2 dan 3 . Jadi gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .

Menjawab:

gcd(72, 96)=24 .

Sebagai kesimpulan dari bagian ini, kami mencatat bahwa validitas aturan di atas untuk menemukan gcd mengikuti dari sifat pembagi persekutuan terbesar, yang menyatakan bahwa KPK(m a 1 , m b 1)=m KPK(a 1 , b 1), di mana m adalah sembarang bilangan bulat positif.

Mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih

Menemukan pembagi persekutuan terbesar dari tiga bilangan atau lebih dapat direduksi menjadi pencarian gcd dua bilangan secara berurutan. Kami menyebutkan ini ketika mempelajari sifat-sifat GCD. Di sana kami merumuskan dan membuktikan teorema: pembagi persekutuan terbesar dari beberapa angka a 1 , a 2 , …, a k sama dengan angka d k , yang ditemukan dalam perhitungan berurutan gcd(a 1 , a 2)=d 2 , gcd(d 2 , a 3) =d 3 , FPB(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k-1 , a k)=d k .

Mari kita lihat bagaimana proses mencari KPK dari beberapa bilangan dengan memperhatikan solusi dari contoh.

Contoh.

Temukan pembagi persekutuan terbesar dari empat bilangan 78 , 294 , 570 dan 36 .

Keputusan.

Dalam contoh ini a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570, a 4 =36 .

Pertama, dengan menggunakan algoritma Euclid, kami menentukan pembagi persekutuan terbesar d 2 dari dua angka pertama 78 dan 294 . Saat membagi, kita mendapatkan persamaan 294=78 3+60 ; 78=60 1+18 ; 60=18 3+6 dan 18=6 3 . Jadi, d 2 =GCD(78, 294)=6 .

Sekarang mari kita hitung d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Sekali lagi kami menerapkan algoritma Euclid: 570=6·95 , oleh karena itu, d 3 =GCD(6, 570)=6 .

Tinggal menghitung d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Karena 36 habis dibagi 6, maka d 4 \u003d FPB (6, 36) \u003d 6.

Jadi, pembagi persekutuan terbesar dari empat bilangan yang diberikan adalah d 4 =6 , yaitu, gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

Menjawab:

gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

Menguraikan bilangan menjadi faktor prima juga memungkinkan Anda menghitung KPK dari tiga bilangan atau lebih. Dalam hal ini, pembagi persekutuan terbesar ditemukan sebagai hasil kali semua faktor prima persekutuan dari bilangan-bilangan yang diberikan.

Contoh.

Hitunglah KPK dari bilangan-bilangan dari contoh sebelumnya menggunakan faktorisasi primanya.

Keputusan.

Kami menguraikan angka 78 , 294 , 570 dan 36 menjadi faktor prima, kami mendapatkan 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19 , 36=2 2 3 . Faktor prima persekutuan dari keempat bilangan tersebut adalah bilangan 2 dan 3. Karena itu, KPK(78, 294, 570, 36)=2 3=6.