Sangat tidak mungkin untuk memecahkan masalah fisika atau contoh dalam matematika tanpa pengetahuan tentang turunan dan metode untuk menghitungnya. Derivatif adalah salah satu konsep yang paling penting dari analisis matematika. Kami memutuskan untuk mencurahkan artikel hari ini untuk topik mendasar ini. Apa itu turunan, apa arti fisis dan geometrisnya, bagaimana cara menghitung turunan suatu fungsi? Semua pertanyaan ini dapat digabungkan menjadi satu: bagaimana memahami turunan?

Arti geometris dan fisik dari turunan

Biarkan ada fungsi f(x) , diberikan dalam beberapa interval (a,b) . Titik x dan x0 termasuk dalam interval ini. Ketika x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Perubahan argumen - perbedaan nilainya x-x0 . Perbedaan ini ditulis sebagai delta x dan disebut kenaikan argumen. Perubahan atau kenaikan suatu fungsi adalah selisih antara nilai fungsi pada dua titik. Definisi turunan:

Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi pada titik tertentu dengan kenaikan argumen ketika yang terakhir cenderung nol.

Jika tidak, dapat ditulis seperti ini:

Apa gunanya menemukan batas seperti itu? Tapi yang mana:

turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut antara sumbu OX dan garis singgung grafik fungsi di titik tertentu.

Arti fisis turunan: turunan waktu dari lintasan sama dengan kecepatan gerak lurus.

Memang, sejak masa sekolah, semua orang tahu bahwa kecepatan adalah jalur pribadi. x=f(t) dan waktu t . Kecepatan rata-rata selama periode waktu tertentu:

Untuk mengetahui kecepatan gerakan pada suatu waktu t0 Anda perlu menghitung batas:

Aturan satu: keluarkan konstanta

Konstanta tersebut dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Apalagi harus dilakukan. Saat memecahkan contoh dalam matematika, ambil sebagai aturan - jika Anda dapat menyederhanakan ekspresi, pastikan untuk menyederhanakan .

Contoh. Mari kita hitung turunannya:

Aturan dua: turunan dari jumlah fungsi

Turunan jumlah dua fungsi sama dengan jumlah turunan fungsi tersebut. Hal yang sama berlaku untuk turunan dari perbedaan fungsi.

Kami tidak akan memberikan bukti teorema ini, melainkan mempertimbangkan contoh praktis.

Cari turunan dari suatu fungsi:

Aturan tiga: turunan dari produk fungsi

Turunan produk dari dua fungsi yang dapat diturunkan dihitung dengan rumus:

Contoh: mencari turunan dari suatu fungsi:

Keputusan:

Di sini penting untuk mengatakan tentang perhitungan turunan dari fungsi kompleks. Turunan dari fungsi kompleks sama dengan produk turunan dari fungsi ini sehubungan dengan argumen perantara dengan turunan dari argumen antara sehubungan dengan variabel bebas.

Dalam contoh di atas, kita menemukan ekspresi:

Dalam hal ini, argumen perantara adalah 8x pangkat lima. Untuk menghitung turunan dari ekspresi seperti itu, pertama-tama kita pertimbangkan turunan dari fungsi eksternal sehubungan dengan argumen antara, dan kemudian kalikan dengan turunan dari argumen antara itu sendiri sehubungan dengan variabel independen.

Aturan Empat: Turunan dari hasil bagi dua fungsi

Rumus untuk menentukan turunan dari hasil bagi dua fungsi:

Kami mencoba berbicara tentang turunan untuk boneka dari awal. Topik ini tidak sesederhana kelihatannya, jadi berhati-hatilah: sering ada jebakan dalam contoh, jadi berhati-hatilah saat menghitung turunan.

Jika ada pertanyaan tentang ini dan topik lainnya, Anda dapat menghubungi layanan siswa. Dalam waktu singkat, kami akan membantu Anda memecahkan kontrol yang paling sulit dan menangani tugas-tugas, bahkan jika Anda belum pernah berurusan dengan perhitungan turunan sebelumnya.

Penelitian fungsi. Pada artikel ini, kita akan berbicara tentang tugas di mana fungsi dipertimbangkan dan dalam kondisi ada pertanyaan yang terkait dengan studinya. Pertimbangkan poin teoretis utama yang perlu Anda ketahui dan pahami untuk menyelesaikannya.

Ini adalah seluruh kelompok tugas yang termasuk dalam ujian dalam matematika. Pertanyaan biasanya muncul tentang menemukan titik maksimum (minimum) atau menentukan nilai terbesar (terkecil) dari suatu fungsi pada interval tertentu.Dipertimbangkan:

- Fungsi daya dan irasional.

- Fungsi rasional

— Studi karya dan pribadi.

- Fungsi logaritma.

- Fungsi trigonometri.

Jika Anda memahami teori limit, konsep turunan, sifat-sifat turunan untuk mempelajari grafik fungsi dan , maka masalah seperti itu tidak akan menyulitkan Anda dan Anda akan menyelesaikannya dengan mudah.

Informasi di bawah ini adalah poin teoretis, yang pemahamannya akan memungkinkan untuk menyadari bagaimana menyelesaikan masalah tersebut. Saya akan mencoba untuk menyatakannya sedemikian rupa sehingga bahkan mereka yang melewatkan topik ini atau mempelajarinya dengan buruk dapat memecahkan masalah seperti itu tanpa banyak kesulitan.

Dalam masalah kelompok ini, seperti yang telah disebutkan, diperlukan untuk menemukan titik minimum (maksimum) dari fungsi, atau nilai terbesar (terkecil) dari fungsi pada interval.

Poin minimum dan maksimum.Sifat turunan.

Perhatikan grafik fungsi:

Titik A adalah titik maksimum, pada interval dari O ke A fungsi meningkat, pada interval dari A ke B menurun.

Titik B adalah titik minimum, pada interval dari A ke B fungsi menurun, pada interval dari B ke C meningkat.

Pada titik-titik ini (A dan B), turunannya menghilang (sama dengan nol).

Garis singgung pada titik-titik ini sejajar dengan sumbu sapi.

Saya akan menambahkan bahwa titik-titik di mana fungsi mengubah perilakunya dari meningkat menjadi menurun (dan sebaliknya, dari menurun menjadi meningkat) disebut ekstrem.

Poin penting:

1. Turunan pada interval yang meningkat memiliki tanda positif (nSaat mengganti nilai dari interval ke turunan, diperoleh angka positif).

Artinya jika turunan pada suatu titik tertentu dari selang tertentu bernilai positif, maka grafik fungsi pada selang tersebut bertambah.

2. Pada interval penurunan, turunan memiliki tanda negatif (ketika mensubstitusi nilai dari interval ke dalam ekspresi turunan, diperoleh angka negatif).

Jadi, jika turunan pada suatu titik tertentu dari suatu interval bernilai negatif, maka grafik fungsi pada interval tersebut menurun.

Ini perlu diperjelas!

Jadi, dengan menghitung turunan dan menyamakannya dengan nol, Anda dapat menemukan titik-titik yang membagi sumbu nyata menjadi interval.Pada setiap interval ini, Anda dapat menentukan tanda turunan dan kemudian menarik kesimpulan tentang kenaikan atau penurunannya.

* Secara terpisah, harus dikatakan tentang titik-titik di mana turunan tidak ada. Misalnya, kita bisa mendapatkan turunan yang penyebutnya hilang pada x tertentu. Jelas bahwa untuk x seperti itu turunannya tidak ada. Jadi, poin ini juga harus diperhitungkan saat menentukan interval kenaikan (penurunan).

Fungsi di titik-titik di mana turunannya sama dengan nol tidak selalu berubah tandanya. Ini akan menjadi artikel terpisah. Tidak akan ada tugas seperti itu di USE itu sendiri.

Sifat-sifat di atas diperlukan untuk mempelajari perilaku fungsi dalam naik dan turun.

Apa lagi yang perlu Anda ketahui untuk menyelesaikan masalah yang ditentukan: tabel turunan dan aturan diferensiasi. Tidak ada tanpa ini. Ini adalah pengetahuan dasar dalam topik turunan. Anda harus mengetahui turunan dari fungsi dasar dengan sangat baik.

Menghitung turunan dari fungsi kompleksf(g(x)), bayangkan fungsinyag(x) adalah variabel dan kemudian menghitung turunannyaf’(g(x)) dengan rumus tabel sebagai turunan biasa dari suatu variabel. Kemudian kalikan hasilnya dengan turunan fungsig(x) .

Tonton video tutorial oleh Maxim Semenikhin tentang fungsi kompleks:

Masalah untuk menemukan poin maksimum dan minimum

Algoritma untuk menemukan titik maksimum (minimum) dari fungsi:

1. Temukan turunan dari fungsi f’(x).

2. Temukan nol dari turunan (dengan menyamakan turunan dengan nol f’(x)=0 dan selesaikan persamaan yang dihasilkan). Kami juga menemukan titik di mana turunannya tidak ada(khususnya, ini menyangkut fungsi pecahan-rasional).

3. Kami menandai nilai yang diperoleh pada garis bilangan dan menentukan tanda-tanda turunan pada interval ini dengan mengganti nilai dari interval ke dalam ekspresi turunan.

Outputnya akan menjadi salah satu dari dua:

1. Poin maksimal adalah poindi mana turunannya berubah dari positif ke negatif.

2. Titik minimum adalah titikdi mana turunannya berubah dari negatif ke positif.

Masalah untuk menemukan nilai terbesar atau terkecil

fungsi pada interval.

Dalam jenis masalah lain, diperlukan untuk menemukan nilai terbesar atau terkecil dari suatu fungsi pada interval tertentu.

Algoritma untuk mencari nilai fungsi terbesar (terkecil):

1. Tentukan apakah ada poin maksimum (minimum). Untuk melakukan ini, kami menemukan turunannya f’(x) , lalu selesaikan f’(x)=0 (poin 1 dan 2 dari algoritma sebelumnya).

2. Kami menentukan apakah titik-titik yang diperoleh termasuk dalam interval tertentu dan menuliskan titik-titik yang terletak di dalamnya.

3. Kami mensubstitusikan ke dalam fungsi aslinya (bukan ke dalam turunan, tetapi ke dalam yang diberikan dalam kondisi) batas-batas interval yang diberikan dan titik-titik (maksimum-minimum) yang terletak di dalam interval (item 2).

4. Kami menghitung nilai fungsi.

5. Kami memilih nilai terbesar (terkecil) dari yang diperoleh, tergantung pada pertanyaan apa yang diajukan dalam tugas, dan kemudian menuliskan jawabannya.

Pertanyaan: mengapa dalam tugas mencari nilai terbesar (terkecil) dari suatu fungsi, perlu mencari titik maksimum (minimum)?

Jawabannya paling baik diilustrasikan, lihat representasi skema dari grafik yang diberikan oleh fungsi:

Dalam kasus 1 dan 2, cukup dengan mensubstitusi batas-batas interval untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi tersebut. Dalam kasus 3 dan 4, perlu untuk menemukan nol dari fungsi tersebut (titik maksimum-minimum). Jika kita mengganti batas-batas interval (tanpa mencari nol dari fungsi), kita akan mendapatkan jawaban yang salah, ini dapat dilihat dari grafik.

Dan masalahnya adalah kita tidak dapat melihat bagaimana grafik terlihat pada interval (apakah memiliki maksimum atau minimum dalam interval) menggunakan fungsi yang diberikan. Oleh karena itu, temukan nol dari fungsi tersebut tanpa gagal!!!

Jika persamaan f'(x)=0 tidak akan memiliki solusi, ini berarti bahwa tidak ada titik maksimum-minimum (Gambar 1.2), dan untuk menemukan tugas yang ditetapkan, hanya batas-batas interval yang disubstitusikan ke dalam fungsi ini.

Poin penting lainnya. Ingat bahwa jawabannya harus bilangan bulat atau desimal akhir. Saat menghitung nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi, Anda akan menerima ekspresi dengan angka e dan pi, serta ekspresi dengan akar. Ingatlah bahwa Anda tidak perlu menghitungnya sampai akhir, dan jelas bahwa hasil dari ekspresi seperti itu tidak akan menjadi jawabannya. Jika ada keinginan untuk menghitung nilai seperti itu, maka lakukanlah (angka: e 2.71 Pi 3.14).

Saya menulis banyak, mungkin bingung? Dengan contoh spesifik, Anda akan melihat bahwa semuanya sederhana.

Selanjutnya, saya ingin memberi tahu Anda sedikit rahasia. Faktanya adalah banyak tugas dapat diselesaikan tanpa mengetahui sifat-sifat turunan dan bahkan tanpa aturan diferensiasi. Saya pasti akan memberi tahu Anda tentang nuansa ini dan menunjukkan kepada Anda bagaimana melakukannya? jangan lewatkan!

Tetapi mengapa saya menyatakan teori itu sama sekali dan juga mengatakan bahwa itu harus diketahui tanpa gagal. Itu benar - Anda perlu tahu. Jika Anda memahaminya, maka tidak ada tugas dalam topik ini yang akan membingungkan Anda.

“Trik” yang akan Anda pelajari akan membantu Anda memecahkan (beberapa) masalah prototipe tertentu. KeSebagai alat tambahan, tentu saja teknik ini nyaman digunakan. Soal dapat diselesaikan 2-3 kali lebih cepat dan menghemat waktu untuk menyelesaikan bagian C.

Semua yang terbaik!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs di jejaring sosial.

Turunan dari fungsi satu variabel.

Pengantar.

Pengembangan metodologi ini ditujukan bagi mahasiswa Fakultas Teknik Industri dan Sipil. Mereka dikompilasi sehubungan dengan program kursus matematika di bagian "Kalkulus diferensial fungsi satu variabel."

Perkembangan tersebut merupakan panduan metodologis tunggal, yang meliputi: informasi teoretis singkat; tugas dan latihan "khas" dengan solusi dan penjelasan terperinci untuk solusi ini; pilihan kontrol.

Latihan tambahan di akhir setiap paragraf. Struktur perkembangan seperti itu membuat mereka cocok untuk penguasaan mandiri bagian dengan bantuan paling minim dari guru.

§satu. Definisi turunan.

Arti mekanik dan geometris

turunan.

Konsep turunan adalah salah satu konsep terpenting dalam analisis matematika, yang muncul pada awal abad ke-17. Pembentukan konsep turunan secara historis dikaitkan dengan dua masalah: masalah kecepatan gerak variabel dan masalah garis singgung kurva.

Tugas-tugas ini, meskipun isinya berbeda, mengarah pada operasi matematika yang sama yang harus dilakukan pada suatu fungsi.Operasi ini telah menerima nama khusus dalam matematika. Disebut operasi diferensiasi fungsi. Hasil dari operasi diferensiasi disebut turunan.

Jadi, turunan dari fungsi y=f(x) di titik x0 adalah limit (jika ada) rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen
pada
.

Derivatif biasanya dilambangkan sebagai berikut:
.

Jadi menurut definisi

Simbol juga digunakan untuk menunjukkan turunan
.

Arti mekanis dari turunan.

Jika s=s(t) adalah hukum gerak lurus suatu titik material, maka
adalah kecepatan titik ini pada waktu t.

Arti geometris turunan.

Jika fungsi y=f(x) memiliki turunan di suatu titik , maka kemiringan garis singgung grafik fungsi di titik
sama dengan
.

Contoh.

Tentukan turunan dari suatu fungsi
pada intinya =2:

1) Mari kita beri poin = 2 kenaikan
. Perhatikan itu.

2) Tentukan kenaikan fungsi di titik =2:

3) Tulis rasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen:

Mari kita cari limit dari relasi di
:

.

Dengan demikian,
.

2. Turunan dari beberapa

fungsi yang paling sederhana.

Siswa perlu mempelajari cara menghitung turunan fungsi spesifik: y=x,y= dan secara umum y= .

Tentukan turunan dari fungsi y=x.

itu. (x)′=1.

Mari kita cari turunan dari fungsi

Turunan

Biarlah
kemudian

Sangat mudah untuk melihat pola dalam ekspresi untuk turunan dari fungsi pangkat
pada n=1,2,3.

Karena itu,

. (1)

Rumus ini berlaku untuk n real apa pun.

Secara khusus, menggunakan rumus (1), kami memiliki:

;

.

Contoh.

Tentukan turunan dari suatu fungsi

.

.

Fungsi ini adalah kasus khusus dari fungsi bentuk

pada
.

Dengan menggunakan rumus (1), kita mendapatkan

.

Turunan fungsi y=sin x dan y=cos x.

Misalkan y=sinx.

Bagi dengan x, kita dapatkan

Melewati limit sebagai x→0, kita peroleh

Misalkan y=cosx .

Melewati limit sebagai x→0, kita peroleh

;
. (2)

3. Aturan dasar diferensiasi.

Pertimbangkan aturan diferensiasi.

Dalil1 . Jika fungsi u=u(x) dan v=v(x) dapat diturunkan di titik x tertentu, maka jumlah mereka juga dapat diturunkan pada titik ini, dan turunan dari jumlah tersebut sama dengan jumlah dari suku-suku turunannya: (u+v)"=u"+v".(3 )

Bukti: perhatikan fungsi y=f(x)=u(x)+v(x).

Kenaikan x dari argumen x sesuai dengan kenaikan ∆u=u(x+∆x)-u(x), v=v(x+∆x)-v(x) dari fungsi u dan v. Maka fungsi y akan bertambah

y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Karena itu,

Jadi, (u+v)"=u"+v".

Dalil2. Jika fungsi u=u(x) dan v=v(x) terdiferensial di suatu titik x, maka hasilkalinya juga terdiferensial di titik yang sama.Dalam hal ini, turunan dari hasil kali diperoleh dengan rumus berikut : (uv) "=u" v + uv ". ( 4)

Bukti: Misalkan y=uv, di mana u dan v adalah beberapa fungsi terdiferensiasi dari x. Misalkan x bertambah x; maka u bertambah u, v bertambah v, dan y bertambah y.

Kami memiliki y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), atau

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Oleh karena itu, y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Dari sini

Melewati limit sebagai x→0 dan dengan memperhitungkan bahwa u dan v tidak bergantung pada x, kita peroleh

Teorema 3. Turunan hasil bagi dua fungsi sama dengan suatu pecahan, yang penyebutnya sama dengan kuadrat dari pembagi, dan pembilangnya adalah selisih antara hasil kali turunan dari pembagian itu dengan pembagi dan hasil kali dari dividen dengan turunan dari pembagi, yaitu

Jika sebuah
kemudian
(5)

Teorema 4. Turunan dari konstanta adalah nol, mis. jika y=C, di mana =const, maka y"=0.

Teorema 5. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya, mis. jika y=Cu(x), di mana =const, maka y"=Cu"(x).

Contoh 1

Tentukan turunan dari suatu fungsi

.

Fungsi ini memiliki bentuk
, di mana u=x,v=cosx. Menerapkan aturan diferensiasi (4), kami menemukan

.

Contoh 2

Tentukan turunan dari suatu fungsi

.

Kami menerapkan rumus (5).

Di Sini
;
.

Tugas.

Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Susun rasionya dan hitung limitnya.

Dimana tabel aturan turunan dan diferensiasi? Berkat satu batas. Sepertinya sihir, tetapi dalam kenyataannya - sulap dan tidak ada penipuan. Pada pelajaran Apa itu turunan? Saya mulai mempertimbangkan contoh spesifik, di mana, menggunakan definisi, saya menemukan turunan dari fungsi linier dan kuadrat. Untuk tujuan pemanasan kognitif, kami akan terus mengganggu tabel turunan, mengasah algoritme dan solusi teknis:

Contoh 1

Bahkan, diperlukan untuk membuktikan kasus khusus turunan dari fungsi pangkat, yang biasanya muncul dalam tabel: .

Keputusan diformalkan secara teknis dalam dua cara. Mari kita mulai dengan pendekatan pertama yang sudah dikenal: tangga dimulai dengan papan, dan fungsi turunan dimulai dengan turunan di suatu titik.

Mempertimbangkan beberapa(spesifik) poin milik domain fungsi yang memiliki turunan. Tetapkan kenaikan pada titik ini (tentu saja, tidak lebih dari ituo/o -SAYA) dan buat peningkatan fungsi yang sesuai:

Mari kita hitung batasnya:

Ketidakpastian 0:0 dihilangkan dengan teknik standar yang dianggap sejak abad pertama SM. Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan ekspresi tambahan :

Teknik untuk memecahkan batas seperti itu dibahas secara rinci dalam pelajaran pengantar. tentang limit fungsi.

Karena SETIAP titik interval dapat dipilih sebagai, maka, dengan mengganti , kita mendapatkan:

Menjawab

Sekali lagi, mari kita bersukacita pada logaritma:

Contoh 2

Cari turunan fungsi menggunakan definisi turunan

Keputusan: mari kita pertimbangkan pendekatan yang berbeda untuk mempromosikan tugas yang sama. Ini persis sama, tetapi lebih rasional dalam hal desain. Idenya adalah untuk menghilangkan subscript di awal solusi dan menggunakan huruf sebagai ganti huruf.

Mempertimbangkan sewenang-wenang titik milik domain function (interval ), dan atur kenaikan di dalamnya. Dan di sini, omong-omong, seperti dalam kebanyakan kasus, Anda dapat melakukannya tanpa syarat apa pun, karena fungsi logaritmik dapat didiferensiasikan pada titik mana pun dalam domain definisi.

Maka kenaikan fungsi yang sesuai adalah:

Mari kita cari turunannya:

Kemudahan desain diimbangi dengan kebingungan yang dapat dialami oleh pemula (dan tidak hanya). Lagi pula, kita terbiasa dengan fakta bahwa huruf "X" berubah dalam batas! Tapi di sini semuanya berbeda: - patung antik, dan - pengunjung yang masih hidup, berjalan dengan riang di sepanjang koridor museum. Artinya, "x" adalah "seperti konstanta".

Saya akan mengomentari penghapusan ketidakpastian langkah demi langkah:

(1) Gunakan properti logaritma .

(2) Dalam tanda kurung, kita membagi pembilang dengan penyebut suku demi suku.

(3) Dalam penyebut, kita mengalikan dan membagi secara artifisial dengan "x" untuk memanfaatkan batas yang luar biasa , sedangkan sebagai kecil sekali menonjol.

Menjawab: menurut definisi turunan:

Atau singkatnya:

Saya mengusulkan untuk secara mandiri membuat dua rumus tabel lagi:

Contoh 3

Dalam hal ini, kenaikan yang dikompilasi segera nyaman untuk direduksi menjadi penyebut yang sama. Contoh perkiraan tugas di akhir pelajaran (metode pertama).

Contoh 3:Keputusan : pertimbangkan beberapa hal , termasuk dalam ruang lingkup fungsi . Tetapkan kenaikan pada titik ini dan buat peningkatan fungsi yang sesuai:

Mari kita cari turunannya di suatu titik :


Sejak sebagai Anda dapat memilih titik mana saja lingkup fungsi , kemudian dan
Menjawab : menurut definisi turunan

Contoh 4

Temukan turunan menurut definisi

Dan di sini semuanya harus direduksi menjadi batas yang luar biasa. Solusinya dibingkai dengan cara kedua.

Demikian pula sejumlah lainnya turunan tabel. Daftar lengkap dapat ditemukan di buku teks sekolah, atau, misalnya, volume pertama Fichtenholtz. Saya tidak melihat banyak gunanya menulis ulang dari buku dan bukti aturan diferensiasi - mereka juga dihasilkan oleh formula.

Contoh 4:Keputusan , dimiliki , dan atur kenaikan di dalamnya

Mari kita cari turunannya:

Memanfaatkan batas yang luar biasa

Menjawab : a-prioritas

Contoh 5

Tentukan turunan dari suatu fungsi , menggunakan definisi turunan

Keputusan: Gunakan gaya visual pertama. Mari kita pertimbangkan beberapa poin milik , mari kita atur kenaikan argumen di dalamnya. Maka kenaikan fungsi yang sesuai adalah:

Mungkin beberapa pembaca belum sepenuhnya memahami prinsip yang harus dilakukan peningkatan. Kami mengambil titik (angka) dan menemukan nilai fungsi di dalamnya: , yaitu ke dalam fungsi alih-alih"x" harus diganti. Sekarang kami juga mengambil nomor yang sangat spesifik dan juga menggantinya ke dalam fungsi alih-alih"x": . Kami menuliskan perbedaannya, sementara itu perlu tanda kurung sepenuhnya.

Peningkatan Fungsi Tersusun bermanfaat untuk segera disederhanakan. Untuk apa? Mempermudah dan memperpendek penyelesaian limit selanjutnya.

Kami menggunakan rumus, kurung buka, dan mengurangi semua yang dapat dikurangi:

Kalkun dimusnahkan, tidak ada masalah dengan daging panggang:

Pada akhirnya:

Karena bilangan real apa pun dapat dipilih sebagai kualitasnya, kami membuat substitusi dan mendapatkan .

Menjawab: a-prioritas.

Untuk tujuan verifikasi, kami menemukan turunannya menggunakan aturan dan tabel diferensiasi:

Itu selalu berguna dan menyenangkan untuk mengetahui jawaban yang benar terlebih dahulu, jadi lebih baik secara mental atau konsep membedakan fungsi yang diusulkan dengan cara "cepat" di awal solusi.

Contoh 6

Temukan turunan suatu fungsi dengan definisi turunan

Ini adalah contoh do-it-yourself. Hasilnya terletak di permukaan:

Contoh 6:Keputusan : pertimbangkan beberapa hal , dimiliki , dan atur kenaikan argumen di dalamnya . Maka kenaikan fungsi yang sesuai adalah:


Mari kita hitung turunannya:


Dengan demikian:
Karena sebagai setiap bilangan real dapat dipilih dan
Menjawab : a-prioritas.

Mari kembali ke gaya #2:

Contoh 7

Mari kita cari tahu segera apa yang seharusnya terjadi. Oleh aturan diferensiasi fungsi kompleks:

Keputusan: pertimbangkan titik sewenang-wenang milik , atur kenaikan argumen di dalamnya dan buat kenaikan fungsi:

Mari kita cari turunannya:


(1) Gunakan rumus trigonometri .

(2) Di bawah sinus kami membuka tanda kurung, di bawah kosinus kami menyajikan istilah yang serupa.

(3) Di bawah sinus kita kurangi sukunya, di bawah cosinus kita bagi pembilangnya dengan penyebutnya dengan suku.

(4) Karena keanehan sinus, kami mengambil "minus". Di bawah kosinus, kami menunjukkan bahwa istilah .

(5) Kami mengalikan penyebut secara artifisial untuk digunakan batas indah pertama. Dengan demikian, ketidakpastian dihilangkan, kami menyisir hasilnya.

Menjawab: a-prioritas

Seperti yang Anda lihat, kesulitan utama dari masalah yang sedang dipertimbangkan terletak pada kompleksitas batas itu sendiri + sedikit orisinalitas pengemasan. Dalam praktiknya, kedua metode desain ditemui, jadi saya menjelaskan kedua pendekatan itu sedetail mungkin. Mereka setara, tetapi tetap saja, dalam kesan subjektif saya, lebih bijaksana bagi boneka untuk tetap pada opsi pertama dengan "X nol".

Contoh 8

Dengan menggunakan definisi, cari turunan dari fungsi

Contoh 8:Keputusan : pertimbangkan titik sewenang-wenang , dimiliki , mari kita atur kenaikan di dalamnya dan buat peningkatan fungsi:

Mari kita cari turunannya:

Kami menggunakan rumus trigonometri dan batas luar biasa pertama:

Menjawab : a-prioritas

Mari kita menganalisis versi masalah yang lebih jarang:

Contoh 9

Temukan turunan suatu fungsi di suatu titik menggunakan definisi turunan.

Pertama, apa yang harus menjadi garis bawah? Nomor

Mari kita hitung jawabannya dengan cara standar:

Keputusan: dari sudut pandang kejelasan, tugas ini jauh lebih sederhana, karena rumus mempertimbangkan nilai tertentu sebagai gantinya.

Kami menetapkan kenaikan pada titik dan menyusun kenaikan fungsi yang sesuai:

Hitung turunan di suatu titik:

Kami menggunakan rumus yang sangat langka untuk perbedaan garis singgung dan sekali lagi kurangi solusinya menjadi batas indah pertama:

Menjawab: menurut definisi turunan di suatu titik.

Tugasnya tidak begitu sulit untuk diselesaikan dan "secara umum" - cukup untuk diganti dengan atau sederhana, tergantung pada metode desain. Dalam hal ini, tentu saja, Anda tidak mendapatkan angka, tetapi fungsi turunan.

Contoh 10

Dengan menggunakan definisi, cari turunan dari fungsi pada suatu titik (salah satunya mungkin tidak terbatas), yang telah saya bicarakan secara umum tentang pelajaran teori tentang turunan.

Beberapa fungsi yang didefinisikan secara sepotong-sepotong juga dapat dibedakan pada titik-titik "persimpangan" dari grafik, misalnya, catdog memiliki turunan umum dan garis singgung persekutuan (absis) di titik . Kurva, ya dapat dibedakan dengan ! Mereka yang ingin dapat memverifikasi ini sendiri pada model contoh yang baru saja diselesaikan.

©2015-2019 situs
Semua hak milik penulisnya. Situs ini tidak mengklaim kepengarangan, tetapi menyediakan penggunaan gratis.
Tanggal pembuatan halaman: 11-06-2017

Jenis pekerjaan: 7

Kondisi

Garis y=3x+2 bersinggungan dengan grafik fungsi y=-12x^2+bx-10. Temukan b , mengingat absis titik sentuh kurang dari nol.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Biarkan x_0 menjadi absis titik pada grafik fungsi y=-12x^2+bx-10 yang melaluinya garis singgung grafik ini.

Nilai turunan pada titik x_0 sama dengan kemiringan garis singgung, yaitu y"(x_0)=-24x_0+b=3. Sebaliknya, titik singgung termasuk dalam grafik fungsi dan grafik tangen, yaitu -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Kami mendapatkan sistem persamaan \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(kasus)

Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1. Menurut kondisi absis, titik sentuh kurang dari nol, oleh karena itu x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Menjawab

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Garis singgung fungsi grafik

Kondisi

Garis y=-3x+4 sejajar dengan garis singgung grafik fungsi y=-x^2+5x-7. Temukan absis titik kontak.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Kemiringan garis ke grafik fungsi y=-x^2+5x-7 pada sembarang titik x_0 adalah y"(x_0). Tapi y"=-2x+5, jadi y"(x_0)=- 2x_0+5 Sudut koefisien garis y=-3x+4 yang ditentukan dalam kondisi adalah -3.Garis sejajar memiliki koefisien kemiringan yang sama.Oleh karena itu, kami menemukan nilai x_0 yang =-2x_0 +5=-3.

Kami mendapatkan: x_0 = 4.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Garis singgung fungsi grafik

Kondisi

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Dari gambar, kita tentukan bahwa garis singgung melalui titik A(-6; 2) dan B(-1; 1). Dilambangkan dengan C(-6; 1) titik potong garis x=-6 dan y=1, dan dengan \alpha sudut ABC (dapat dilihat pada gambar bahwa runcing). Kemudian garis AB membentuk sudut tumpul \pi -\alpha dengan arah positif sumbu Ox.

Seperti yang Anda ketahui, tg(\pi -\alpha) akan menjadi nilai turunan dari fungsi f(x) pada titik x_0. perhatikan itu tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Dari sini, dengan rumus reduksi, kami memperoleh: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Garis singgung fungsi grafik

Kondisi

Garis y=-2x-4 bersinggungan dengan grafik fungsi y=16x^2+bx+12. Temukan b , mengingat bahwa absis titik sentuh lebih besar dari nol.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Biarkan x_0 menjadi absis dari titik pada grafik fungsi y=16x^2+bx+12 yang melaluinya

bersinggungan dengan grafik ini.

Nilai turunan pada titik x_0 sama dengan kemiringan garis singgung, yaitu y "(x_0)=32x_0+b=-2. Sebaliknya, titik singgung termasuk dalam grafik fungsi dan grafik tangen, yaitu 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Kita mendapatkan sistem persamaan \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(kasus)

Memecahkan sistem, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1. Menurut kondisi absis, titik sentuh lebih besar dari nol, oleh karena itu x_0=1, maka b=-2-32x_0=-34.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Garis singgung fungsi grafik

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) yang didefinisikan pada interval (-2; 8). Tentukan banyaknya titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar dengan garis lurus y=6.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Garis y=6 sejajar dengan sumbu Ox. Oleh karena itu, kami menemukan titik-titik di mana garis singgung grafik fungsi sejajar dengan sumbu Ox. Pada grafik ini, titik-titik tersebut adalah titik ekstrim (titik maksimum atau minimum). Seperti yang Anda lihat, ada 4 titik ekstrem.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Garis singgung fungsi grafik

Kondisi

Garis y=4x-6 sejajar dengan garis singgung grafik fungsi y=x^2-4x+9. Temukan absis titik kontak.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Kemiringan garis singgung grafik fungsi y \u003d x ^ 2-4x + 9 di sembarang titik x_0 adalah y "(x_0). Tapi y" \u003d 2x-4, yang berarti y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Kemiringan garis singgung y \u003d 4x-7 yang ditentukan dalam kondisi sama dengan 4. Garis paralel memiliki kemiringan yang sama. Oleh karena itu, kami menemukan nilai x_0 sehingga 2x_0-4 \u003d 4. Kami mendapatkan : x_0 \u003d 4.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Garis singgung fungsi grafik

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgungnya di titik dengan absis x_0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x_0.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Dari gambar tersebut, kita tentukan bahwa garis singgung melalui titik A(1; 1) dan B(5; 4). Dilambangkan dengan C(5; 1) titik potong garis x=5 dan y=1, dan dengan \alpha sudut BAC (dapat dilihat pada gambar bahwa tajam). Kemudian garis AB membentuk sudut \alpha dengan arah positif sumbu Ox.