Persamaan diferensial adalah persamaan yang mencakup fungsi dan satu atau lebih turunannya. Dalam kebanyakan masalah praktis, fungsi adalah besaran fisis, turunan berhubungan dengan laju perubahan besaran-besaran ini, dan persamaan menentukan hubungan di antara mereka.

Artikel ini membahas metode penyelesaian beberapa jenis persamaan diferensial biasa, yang penyelesaiannya dapat ditulis dalam bentuk fungsi dasar, yaitu, fungsi polinomial, eksponensial, logaritmik dan trigonometri, serta fungsi inversnya. Banyak dari persamaan ini terjadi dalam kehidupan nyata, meskipun sebagian besar persamaan diferensial lainnya tidak dapat diselesaikan dengan metode ini, dan bagi mereka jawabannya ditulis sebagai fungsi khusus atau deret pangkat, atau ditemukan dengan metode numerik.

Untuk memahami artikel ini, Anda perlu mengetahui kalkulus diferensial dan integral, serta memiliki beberapa pemahaman tentang turunan parsial. Disarankan juga untuk mengetahui dasar-dasar aljabar linier yang diterapkan pada persamaan diferensial, terutama persamaan diferensial orde dua, meskipun pengetahuan tentang kalkulus diferensial dan integral sudah cukup untuk menyelesaikannya.

Informasi awal

• Persamaan diferensial memiliki klasifikasi yang luas. Artikel ini berbicara tentang persamaan diferensial biasa, yaitu tentang persamaan yang menyertakan fungsi satu variabel dan turunannya. Persamaan diferensial biasa jauh lebih mudah dipahami dan diselesaikan daripada persamaan diferensial parsial, yang mencakup fungsi beberapa variabel. Artikel ini tidak membahas persamaan diferensial parsial, karena metode untuk menyelesaikan persamaan ini biasanya ditentukan oleh bentuk spesifiknya.
  • Di bawah ini adalah beberapa contoh persamaan diferensial biasa.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Di bawah ini adalah beberapa contoh persamaan diferensial parsial.
    • 2 f x 2 + ∂ 2 f y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\sebagian y^(2)))=0)
    • u ∂ t ∂ 2 u x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Memesan persamaan diferensial ditentukan oleh orde turunan tertinggi yang termasuk dalam persamaan ini. Yang pertama dari persamaan diferensial biasa di atas adalah dari orde pertama, sedangkan yang kedua adalah dari orde kedua. Derajat persamaan diferensial disebut pangkat tertinggi yang menaikkan salah satu suku persamaan ini.
  • Misalnya, persamaan di bawah ini adalah orde ketiga dan pangkat dua.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ kanan)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• persamaan diferensialnya adalah persamaan diferensial linier jika fungsi dan semua turunannya adalah pangkat pertama. Jika tidak, persamaannya adalah persamaan diferensial nonlinier. Persamaan diferensial linier luar biasa karena kombinasi linier dapat dibuat dari solusi mereka, yang juga akan menjadi solusi untuk persamaan ini.
  • Di bawah ini adalah beberapa contoh persamaan diferensial linier.
  • Di bawah ini adalah beberapa contoh persamaan diferensial nonlinier. Persamaan pertama adalah non-linier karena istilah sinus.
    • d 2 d t 2 + g l sin = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Keputusan bersama persamaan diferensial biasa tidak unik, itu termasuk konstanta integrasi sewenang-wenang. Dalam kebanyakan kasus, jumlah konstanta arbitrer sama dengan urutan persamaan. Dalam praktiknya, nilai konstanta ini ditentukan oleh kondisi awal, yaitu dengan nilai fungsi dan turunannya di x = 0. (\displaystyle x=0.) Banyaknya kondisi awal yang diperlukan untuk mencari keputusan pribadi persamaan diferensial, dalam banyak kasus juga sama dengan orde persamaan ini.
  • Misalnya, artikel ini akan melihat penyelesaian persamaan di bawah ini. Ini adalah persamaan diferensial linier orde dua. Solusi umumnya berisi dua konstanta arbitrer. Untuk menemukan konstanta ini, perlu diketahui kondisi awal di x (0) (\gaya tampilan x(0)) dan x′ (0) . (\gaya tampilan x"(0).) Biasanya kondisi awal diberikan pada titik x = 0 , (\displaystyle x=0,), meskipun ini tidak diperlukan. Artikel ini juga akan mempertimbangkan bagaimana menemukan solusi khusus untuk kondisi awal yang diberikan.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos k x + c 2 sin k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Langkah

Bagian 1

persamaan orde pertama

Saat menggunakan layanan ini, beberapa informasi dapat ditransfer ke YouTube.

1. Persamaan linear orde pertama. Bagian ini membahas metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier orde pertama dalam kasus umum dan khusus, ketika beberapa suku sama dengan nol. Mari kita berpura-pura itu y = y (x) , (\gaya tampilan y=y(x),) p (x) (\gaya tampilan p(x)) dan q (x) (\gaya tampilan q(x)) adalah fungsi x . (\gaya tampilan x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\gaya tampilan p(x)=0.) Menurut salah satu teorema utama analisis matematika, integral dari turunan suatu fungsi juga merupakan fungsi. Jadi, cukup dengan mengintegrasikan persamaan untuk menemukan solusinya. Dalam hal ini, harus diperhitungkan bahwa ketika menghitung integral tak tentu, konstanta arbitrer muncul.

   • y (x) = q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Kami menggunakan metode pemisahan variabel. Dalam hal ini, variabel yang berbeda ditransfer ke sisi persamaan yang berbeda. Misalnya, Anda dapat mentransfer semua anggota dari y (\gaya tampilan y) menjadi satu, dan semua anggota dengan x (\gaya tampilan x) ke sisi lain dari persamaan. Anggota juga dapat dipindahkan d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) dan d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), yang termasuk dalam ekspresi turunan, bagaimanapun, harus diingat bahwa ini hanya sebuah konvensi, yang nyaman ketika membedakan fungsi yang kompleks. Sebuah diskusi tentang istilah-istilah ini, yang disebut perbedaan, berada di luar cakupan artikel ini.

   • Pertama, Anda perlu memindahkan variabel pada sisi berlawanan dari tanda sama dengan.
     • 1 y d y = p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Kami mengintegrasikan kedua sisi persamaan. Setelah integrasi, konstanta arbitrer muncul di kedua sisi, yang dapat ditransfer ke sisi kanan persamaan.
     • ln y = − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Contoh 1.1. Pada langkah terakhir, kami menggunakan aturan e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) dan diganti e C (\gaya tampilan e^(C)) pada C (\gaya tampilan C), karena itu juga merupakan konstanta integrasi sewenang-wenang.
     • d y d x 2 y sin x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(selaras)))

   P (x) 0 , q (x) 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Untuk menemukan solusi umum, kami memperkenalkan faktor integrasi sebagai fungsi dari x (\gaya tampilan x) untuk mengurangi sisi kiri ke turunan umum dan dengan demikian menyelesaikan persamaan.

   • Kalikan kedua ruas dengan (x) (\displaystyle \mu (x))
     • d y d x + μ p y = q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Untuk mereduksi ruas kiri menjadi turunan umum, transformasi berikut harus dilakukan:
     • d d x (μ y) = d d x y + d y d x = d y d x + p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Persamaan terakhir berarti bahwa d d x = p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Ini adalah faktor integrasi yang cukup untuk menyelesaikan persamaan linier orde pertama. Sekarang kita dapat menurunkan rumus untuk menyelesaikan persamaan ini sehubungan dengan , (\displaystyle \mu ,) meskipun untuk pelatihan berguna untuk melakukan semua perhitungan menengah.
     • (x) = e p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Contoh 1.2. Dalam contoh ini, kami mempertimbangkan bagaimana menemukan solusi khusus untuk persamaan diferensial dengan kondisi awal yang diberikan.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • (x) = e p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(selaras)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Memecahkan persamaan linier orde pertama (direkam oleh Intuit - Universitas Terbuka Nasional).

2. Persamaan Orde Pertama Nonlinier. Pada bagian ini, metode untuk menyelesaikan beberapa persamaan diferensial nonlinier orde pertama akan dibahas. Meskipun tidak ada metode umum untuk menyelesaikan persamaan tersebut, beberapa di antaranya dapat diselesaikan dengan menggunakan metode di bawah ini.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Jika fungsi f (x , y) = h (x) g (y) (\gaya tampilan f(x,y)=h(x)g(y)) dapat dibagi menjadi fungsi dari satu variabel, persamaan seperti itu disebut persamaan diferensial yang dapat dipisahkan. Dalam hal ini, Anda dapat menggunakan metode di atas:

   • d y h (y) = g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • Contoh 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • y d y = x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ mulai(sejajar)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(selaras)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Mari kita berpura-pura itu g (x , y) (\gaya tampilan g(x, y)) dan h (x , y) (\gaya tampilan h(x, y)) adalah fungsi x (\gaya tampilan x) dan y. (\gaya tampilan y.) Kemudian persamaan diferensial homogen adalah persamaan dimana g (\gaya tampilan g) dan h (\gaya tampilan h) adalah fungsi homogen derajat yang sama. Artinya, fungsi harus memenuhi kondisi g (α x , y) = k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) di mana k (\gaya tampilan k) disebut derajat homogenitas. Persamaan diferensial homogen apa pun dapat diberikan oleh persamaan yang sesuai perubahan variabel (v = y / x (\gaya tampilan v=y/x) atau v = x / y (\displaystyle v=x/y)) untuk mengkonversi ke persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

   • Contoh 1.4. Deskripsi homogenitas di atas mungkin tampak tidak jelas. Mari kita lihat konsep ini dengan sebuah contoh.
     • d y d x = y 3 x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Untuk memulainya, perlu dicatat bahwa persamaan ini tidak linier terhadap y. (\gaya tampilan y.) Kami juga melihat bahwa dalam hal ini tidak mungkin untuk memisahkan variabel. Namun, persamaan diferensial ini homogen, karena pembilang dan penyebutnya homogen dengan pangkat 3. Oleh karena itu, kita dapat mengubah variabel v=y/x. (\gaya tampilan v=y/x.)
     • d y d x = y x x 2 y 2 = v 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Akibatnya, kita memiliki persamaan untuk v (\gaya tampilan v) dengan variabel bersama.
     • v (x) = 3 log x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x 3 ln x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Ini persamaan diferensial Bernoulli- jenis khusus persamaan nonlinier tingkat pertama, yang solusinya dapat ditulis menggunakan fungsi dasar.

   • Kalikan kedua ruas persamaan dengan (1 n) y n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 n) y − n d y d x = p (x) (1 n) y 1 n + (1 n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Kami menggunakan aturan diferensiasi fungsi kompleks di sisi kiri dan mengubah persamaan menjadi persamaan linier sehubungan dengan y 1 n , (\displaystyle y^(1-n),) yang dapat diselesaikan dengan metode di atas.
     • d y 1 n d x = p (x) (1 n) y 1 n + (1 n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) Ini persamaan diferensial total. Hal ini diperlukan untuk menemukan apa yang disebut fungsi potensial (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), yang memenuhi kondisi d d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Untuk memenuhi kondisi ini, perlu memiliki turunan total. Derivatif total memperhitungkan ketergantungan pada variabel lain. Untuk menghitung turunan total (\displaystyle \varphi ) pada x , (\gaya tampilan x,) kami berasumsi bahwa y (\gaya tampilan y) mungkin juga bergantung pada x . (\gaya tampilan x.)
     • d d x = φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\parsial x))+(\frac (\parsial \varphi )(\parsial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Membandingkan istilah memberi kita M (x , y) = φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) dan N (x, y) = y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Ini adalah hasil khas untuk persamaan dengan beberapa variabel, di mana turunan campuran dari fungsi halus sama satu sama lain. Terkadang kasus ini disebut Teorema Clairaut. Dalam hal ini, persamaan diferensial adalah persamaan diferensial total jika kondisi berikut dipenuhi:
     • M y = N x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Metode untuk menyelesaikan persamaan dalam diferensial total mirip dengan menemukan fungsi potensial dengan adanya beberapa turunan, yang akan kita bahas secara singkat. Pertama kita integrasikan M (\gaya tampilan M) pada x . (\gaya tampilan x.) Sejauh M (\gaya tampilan M) adalah fungsi dan x (\gaya tampilan x), dan y , (\gaya tampilan y,) ketika mengintegrasikan, kami mendapatkan fungsi yang tidak lengkap , (\displaystyle \varphi ,) berlabel sebagai ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Hasilnya juga termasuk ketergantungan pada y (\gaya tampilan y) konstanta integrasi.
     • (x , y) = M (x , y) d x = ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Setelah itu, untuk mendapatkan c (y) (\gaya tampilan c(y)) Anda dapat mengambil turunan parsial dari fungsi yang dihasilkan sehubungan dengan y , (\gaya tampilan y,) samakan hasilnya N (x , y) (\displaystyle N(x, y)) dan mengintegrasikan. Seseorang juga dapat berintegrasi terlebih dahulu N (\gaya tampilan N), dan kemudian mengambil turunan parsial terhadap x (\gaya tampilan x), yang memungkinkan kita menemukan fungsi arbitrer d(x). (\gaya tampilan d(x).) Kedua metode cocok, dan biasanya fungsi yang lebih sederhana dipilih untuk integrasi.
     • N (x , y) = φ y = ~ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ parsial (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Contoh 1.5. Anda dapat mengambil turunan parsial dan memverifikasi bahwa persamaan di bawah ini adalah persamaan diferensial total.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • = (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Jika persamaan diferensial bukan persamaan diferensial total, dalam beberapa kasus Anda dapat menemukan faktor integrasi yang memungkinkan Anda mengubahnya menjadi persamaan diferensial total. Namun, persamaan tersebut jarang digunakan dalam praktik, dan meskipun faktor integrasi ada, temukan itu terjadi tidak begitu mudah, jadi persamaan ini tidak dipertimbangkan dalam artikel ini.

Bagian 2

Persamaan orde kedua

1. Persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien konstan. Persamaan ini banyak digunakan dalam praktik, jadi solusinya sangat penting. Dalam hal ini, kita tidak berbicara tentang fungsi homogen, tetapi tentang fakta bahwa ada 0 di sisi kanan persamaan. heterogen persamaan diferensial. Di bawah a (\gaya tampilan a) dan b (\gaya tampilan b) adalah konstanta.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   persamaan karakteristik. Persamaan diferensial ini luar biasa karena dapat diselesaikan dengan sangat mudah jika Anda memperhatikan sifat apa yang seharusnya dimiliki oleh solusinya. Dari persamaan tersebut dapat diketahui bahwa y (\gaya tampilan y) dan turunannya sebanding satu sama lain. Dari contoh sebelumnya, yang dibahas pada bagian persamaan orde pertama, kita tahu bahwa hanya fungsi eksponensial yang memiliki sifat ini. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk mengajukan ansatz(tebakan terpelajar) tentang apa solusi untuk persamaan yang diberikan.

   • Solusinya akan berbentuk fungsi eksponensial e r x , (\displaystyle e^(rx),) di mana r (\gaya tampilan r) adalah konstanta yang nilainya akan dicari. Substitusikan fungsi ini ke dalam persamaan dan dapatkan ekspresi berikut
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Persamaan ini menunjukkan bahwa produk dari fungsi eksponensial dan polinomial harus nol. Diketahui bahwa eksponen tidak boleh sama dengan nol untuk nilai derajat apa pun. Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa polinomial sama dengan nol. Jadi, kita telah mereduksi masalah penyelesaian persamaan diferensial menjadi masalah yang lebih sederhana dalam memecahkan persamaan aljabar, yang disebut persamaan karakteristik untuk persamaan diferensial tertentu.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = a ± a 2 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Kami memiliki dua akar. Karena persamaan diferensial ini linier, solusi umumnya adalah kombinasi linier dari solusi parsial. Karena ini adalah persamaan orde kedua, kita tahu bahwa ini adalah Betulkah solusi umum, dan tidak ada yang lain. Pembenaran yang lebih ketat untuk ini terletak pada teorema tentang keberadaan dan keunikan solusi, yang dapat ditemukan di buku teks.
   • Cara yang berguna untuk memeriksa apakah dua solusi bebas linier adalah dengan menghitung Wronskian. Wronskian W (\gaya tampilan W)- ini adalah determinan matriks, di kolom-kolomnya terdapat fungsi dan turunannya yang berurutan. Teorema aljabar linier menyatakan bahwa fungsi-fungsi dalam Wronskian bergantung linier jika Wronskian sama dengan nol. Pada bagian ini, kita dapat menguji apakah dua solusi bebas linier dengan memastikan bahwa Wronskian bukan nol. Wronskian penting dalam memecahkan persamaan diferensial nonhomogen dengan koefisien konstan dengan metode variasi parameter.
     • w = | y 1 y 2 y 1 y 2 | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Dalam aljabar linier, himpunan semua solusi persamaan diferensial yang diberikan membentuk ruang vektor yang dimensinya sama dengan orde persamaan diferensial. Di ruang ini, seseorang dapat memilih basis dari bebas linier keputusan dari satu sama lain. Hal ini dimungkinkan karena fakta bahwa fungsi y (x) (\gaya tampilan y(x)) sah operator linier. Turunan adalah operator linier, karena ia mengubah ruang fungsi terdiferensiasi menjadi ruang semua fungsi. Persamaan disebut homogen dalam kasus di mana untuk beberapa operator linier L (\gaya tampilan L) diperlukan untuk menemukan solusi dari persamaan L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Sekarang mari kita beralih ke beberapa contoh spesifik. Kasus akar ganda dari persamaan karakteristik akan dibahas nanti, di bagian pengurangan orde.

   Jika akarnya r ± (\displaystyle r_(\pm )) adalah bilangan real yang berbeda, persamaan diferensial memiliki solusi berikut:

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Dua akar kompleks. Ini mengikuti dari teorema dasar aljabar bahwa solusi untuk solusi persamaan polinomial dengan koefisien real memiliki akar yang nyata atau membentuk pasangan konjugasi. Oleh karena itu, jika bilangan kompleks r = + i (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) adalah akar dari persamaan karakteristik, maka r = − i (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) juga merupakan akar dari persamaan ini. Dengan demikian, penyelesaiannya dapat ditulis dalam bentuk c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) namun, ini adalah bilangan kompleks dan tidak diinginkan dalam memecahkan masalah praktis.

   • Sebagai gantinya, Anda dapat menggunakan rumus Euler e i x = cos x + i sin x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), yang memungkinkan Anda untuk menulis solusi dalam bentuk fungsi trigonometri:
     • e x (c 1 cos x + i c 1 sin β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Sekarang Anda bisa bukannya konstan c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) tuliskan c 1 (\gaya tampilan c_(1)), dan ekspresi i (c 1 c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) digantikan oleh c 2 . (\displaystyle c_(2).) Setelah itu kita mendapatkan solusi berikut:
     • y (x) = e x (c 1 cos x + c 2 sin β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • Ada cara lain untuk menulis solusi dalam bentuk amplitudo dan fase, yang lebih cocok untuk masalah fisik.
   • Contoh 2.1. Mari kita cari solusi dari persamaan diferensial yang diberikan di bawah ini dengan kondisi awal yang diberikan. Untuk ini, perlu untuk mengambil solusi yang diperoleh, serta turunannya, dan substitusikan ke dalam kondisi awal, yang memungkinkan kita menentukan konstanta arbitrer.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x (0) = 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = 3 ± 9 40 2 = 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )saya)
     • x (t) = e 3 t / 2 (c 1 cos 31 2 t + c 2 sin 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\kanan))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x (t) = 3 2 e 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin 31 2 t) + e 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin 31 2 t + 31 2 c 2 cos 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x (0) = 1 = 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e 3 t / 2 (cos 31 2 t + 1 31 sin 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\kanan))
   
   Memecahkan persamaan diferensial orde ke-n dengan koefisien konstan (direkam oleh Intuit - Universitas Terbuka Nasional).

2. Menurunkan urutan. Reduksi orde adalah metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial ketika satu solusi bebas linier diketahui. Metode ini terdiri dari penurunan orde persamaan menjadi satu, yang memungkinkan persamaan diselesaikan menggunakan metode yang dijelaskan di bagian sebelumnya. Biarkan solusinya diketahui. Gagasan utama untuk menurunkan orde adalah menemukan solusi dalam formulir di bawah ini, di mana perlu untuk mendefinisikan fungsinya v (x) (\gaya tampilan v(x)), substitusikan ke persamaan diferensial dan temukan v(x). (\gaya tampilan v(x).) Mari kita pertimbangkan bagaimana reduksi orde dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan koefisien konstan dan akar ganda.

   
   

   Banyak akar persamaan diferensial homogen dengan koefisien konstan. Ingatlah bahwa persamaan orde kedua harus memiliki dua solusi bebas linier. Jika persamaan karakteristik memiliki banyak akar, himpunan solusi bukan membentuk ruang karena solusi ini bergantung linier. Dalam hal ini, reduksi orde harus digunakan untuk menemukan solusi bebas linier kedua.

   • Biarkan persamaan karakteristik memiliki banyak akar r (\gaya tampilan r). Kami berasumsi bahwa solusi kedua dapat ditulis sebagai y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), dan substitusikan ke persamaan diferensial. Dalam hal ini, sebagian besar suku, dengan pengecualian suku dengan turunan kedua dari fungsi v , (\gaya tampilan v,) akan berkurang.
     • v (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Contoh 2.2. Diketahui persamaan berikut, yang memiliki banyak akar: r = 4. (\displaystyle r=-4.) Saat mengganti, sebagian besar persyaratan dibatalkan.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e 4 x y = v (x) e − 4 x 4 v (x) e − 4 x y = v (x) e 4 x 8 v (x) e 4 x + 16 v (x) e 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(selaras)))
     • v e − 4 x 8 v ′ e 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e 4 x − 32 v e 4 x + 16 v e 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x))))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • Seperti ansatz kami untuk persamaan diferensial dengan koefisien konstan, dalam hal ini hanya turunan kedua yang bisa sama dengan nol. Kami mengintegrasikan dua kali dan mendapatkan ekspresi yang diinginkan untuk v (\gaya tampilan v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Maka solusi umum persamaan diferensial dengan koefisien konstan, jika persamaan karakteristik memiliki akar ganda, dapat ditulis dalam bentuk berikut. Untuk memudahkan, Anda dapat mengingat bahwa untuk memperoleh independensi linier, cukup dengan mengalikan suku kedua dengan x (\gaya tampilan x). Himpunan solusi ini bebas linier, dan dengan demikian kami telah menemukan semua solusi untuk persamaan ini.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Pengurangan orde dapat diterapkan jika solusinya diketahui y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), yang dapat ditemukan atau diberikan dalam pernyataan masalah.

   • Kami mencari solusi dalam bentuk y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) dan masukkan ke persamaan ini:
     • v y 1 + 2 v y 1 + p (x) v y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Sejauh y 1 (\gaya tampilan y_(1)) adalah solusi untuk persamaan diferensial, semua suku dengan v (\gaya tampilan v) menyusut. Akibatnya, tetap persamaan linear orde pertama. Untuk melihat ini lebih jelas, mari kita ubah variabelnya w (x) = v′ (x) (\gaya tampilan w(x)=v"(x)):
     • y 1 w + (2 y 1 + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp (∫ (2 y 1 (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\kanan)(\mathrm (d) )x\kanan))
     • v (x) = w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Jika integral dapat dihitung, kita mendapatkan solusi umum sebagai kombinasi fungsi dasar. Jika tidak, solusinya dapat dibiarkan dalam bentuk integral.

3. persamaan Cauchy-Euler. Persamaan Cauchy-Euler adalah contoh persamaan diferensial orde dua dengan variabel koefisien, yang memiliki solusi eksak. Persamaan ini digunakan dalam praktik, misalnya, untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam koordinat bola.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Persamaan karakteristik. Seperti yang Anda lihat, dalam persamaan diferensial ini, setiap suku mengandung faktor daya, yang derajatnya sama dengan orde turunan yang sesuai.

   • Dengan demikian, seseorang dapat mencoba mencari solusi dalam bentuk y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) di mana untuk menentukan n (\gaya tampilan n), sama seperti kita mencari solusi dalam bentuk fungsi eksponensial untuk persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan. Setelah diferensiasi dan substitusi, kita mendapatkan
     • x n (n 2 + (a 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Untuk menggunakan persamaan karakteristik, kita harus mengasumsikan bahwa x 0 (\displaystyle x\neq 0). Dot x = 0 (\gaya tampilan x=0) ditelepon titik tunggal reguler persamaan diferensial. Poin-poin tersebut penting ketika menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan deret pangkat. Persamaan ini memiliki dua akar, yang dapat berbeda dan konjugat real, ganda atau kompleks.
     • n ± = 1 a ± (a 1) 2 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   Dua akar real yang berbeda. Jika akarnya n ± (\displaystyle n_(\pm )) nyata dan berbeda, maka solusi persamaan diferensial memiliki bentuk sebagai berikut:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Dua akar kompleks. Jika persamaan karakteristik memiliki akar n ± = ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), penyelesaiannya adalah fungsi kompleks.

   • Untuk mengubah solusi menjadi fungsi nyata, kami membuat perubahan variabel x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) yaitu t = ln x , (\displaystyle t=\ln x,) dan menggunakan rumus Euler. Tindakan serupa dilakukan sebelumnya ketika mendefinisikan konstanta arbitrer.
     • y (t) = e t (c 1 e i t + c 2 e i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta itu)))
   • Maka solusi umumnya dapat ditulis sebagai
     • y (x) = x (c 1 cos (β ln ⁡ x) + c 2 sin (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Banyak akar. Untuk mendapatkan solusi bebas linier kedua, perlu dilakukan pengurangan orde lagi.

   • Dibutuhkan sedikit perhitungan, tetapi prinsipnya sama: kami mengganti y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) menjadi persamaan yang solusi pertamanya adalah y 1 (\gaya tampilan y_(1)). Setelah reduksi, persamaan berikut diperoleh:
     • v + 1 x v = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Ini adalah persamaan linier orde satu terhadap v′ (x) . (\gaya tampilan v"(x).) Solusi nya adalah v (x) = c 1 + c 2 ln x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Dengan demikian, penyelesaiannya dapat ditulis dalam bentuk berikut. Cukup mudah untuk diingat - untuk mendapatkan solusi bebas linier kedua, Anda hanya perlu suku tambahan dengan ln x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Persamaan diferensial linier tidak homogen dengan koefisien konstan. Persamaan tak homogen memiliki bentuk L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) di mana f (x) (\gaya tampilan f(x))- disebut anggota gratis. Menurut teori persamaan diferensial, solusi umum persamaan ini adalah superposisi keputusan pribadi y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) dan solusi tambahan yc (x) . (\gaya tampilan y_(c)(x).) Namun, dalam hal ini, solusi tertentu tidak berarti solusi yang diberikan oleh kondisi awal, melainkan solusi yang disebabkan oleh ketidakhomogenan (anggota bebas). Solusi komplementer adalah solusi dari persamaan homogen yang sesuai di mana f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Solusi umum adalah superposisi dari dua solusi ini, karena L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), dan sejak L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) superposisi seperti itu memang merupakan solusi umum.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Metode koefisien tak tentu. Metode koefisien tak tentu digunakan dalam kasus di mana suku bebasnya merupakan kombinasi dari fungsi eksponensial, trigonometri, hiperbolik, atau pangkat. Hanya fungsi-fungsi ini yang dijamin memiliki sejumlah turunan bebas linier berhingga. Pada bagian ini, kita akan menemukan solusi khusus untuk persamaan tersebut.

   • Bandingkan istilah dalam f (x) (\gaya tampilan f(x)) dengan istilah dalam mengabaikan faktor konstan. Tiga kasus mungkin.
     • Tidak ada anggota yang identik. Dalam hal ini, solusi tertentu y p (\gaya tampilan y_(p)) akan menjadi kombinasi linier dari istilah dari y p (\gaya tampilan y_(p))
     • f (x) (\gaya tampilan f(x)) berisi anggota x n (\gaya tampilan x^(n)) dan anggota dari y c , (\displaystyle y_(c),) di mana n (\gaya tampilan n) adalah nol atau bilangan bulat positif, dan suku ini sesuai dengan akar tunggal persamaan karakteristik. Pada kasus ini y p (\gaya tampilan y_(p)) akan terdiri dari kombinasi fungsi x n + 1 j (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) turunan bebas liniernya, serta suku-suku lainnya f (x) (\gaya tampilan f(x)) dan turunan bebas liniernya.
     • f (x) (\gaya tampilan f(x)) berisi anggota h (x) , (\gaya tampilan h(x),) yang merupakan karya x n (\gaya tampilan x^(n)) dan anggota dari y c , (\displaystyle y_(c),) di mana n (\gaya tampilan n) sama dengan 0 atau bilangan bulat positif, dan suku ini sesuai dengan banyak akar persamaan karakteristik. Pada kasus ini y p (\gaya tampilan y_(p)) adalah kombinasi linier dari fungsi x n + s h (x) (\gaya tampilan x^(n+s)h(x))(di mana s (\gaya tampilan s)- multiplisitas akar) dan turunan bebas liniernya, serta anggota fungsi lainnya f (x) (\gaya tampilan f(x)) dan turunan bebas liniernya.
   • Ayo tulis y p (\gaya tampilan y_(p)) sebagai kombinasi linier dari istilah-istilah di atas. Karena koefisien-koefisien ini dalam kombinasi linier, metode ini disebut "metode koefisien tak tentu". Setelah penampilan yang terkandung di y c (\gaya tampilan y_(c)) anggotanya dapat dibuang karena adanya konstanta arbitrer di y c . (\gaya tampilan y_(c).) Setelah itu kita ganti y p (\gaya tampilan y_(p)) menjadi persamaan dan menyamakan suku-suku sejenis.
   • Kami menentukan koefisien. Pada tahap ini, sistem persamaan aljabar diperoleh, yang biasanya dapat diselesaikan tanpa masalah khusus. Solusi dari sistem ini memungkinkan untuk mendapatkan y p (\gaya tampilan y_(p)) dan dengan demikian memecahkan persamaan.
   • Contoh 2.3. Pertimbangkan persamaan diferensial tidak homogen yang suku bebasnya mengandung sejumlah turunan bebas linier berhingga. Solusi khusus dari persamaan semacam itu dapat ditemukan dengan metode koefisien tak tentu.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t cos 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos 6 t + c 2 sin 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos 5 t + C sin 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t 25 B cos 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos 5 t + 6 C sin 5 t = 2 e 3 t cos 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(selaras)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 25 B + 6 B = 1 , B = 1 19 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ akhir (kasus)))
     • y (t) = c 1 cos 6 t + c 2 sin 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Metode Lagrange. Metode Lagrange, atau metode variasi konstanta arbitrer, adalah metode yang lebih umum untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak homogen, terutama dalam kasus di mana suku bebas tidak mengandung sejumlah turunan bebas linier terhingga. Misalnya, dengan anggota gratis tan x (\displaystyle \tan x) atau x n (\displaystyle x^(-n)) untuk menemukan solusi tertentu, perlu menggunakan metode Lagrange. Metode Lagrange bahkan dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan koefisien variabel, meskipun dalam kasus ini, dengan pengecualian persamaan Cauchy-Euler, lebih jarang digunakan, karena solusi tambahan biasanya tidak dinyatakan dalam fungsi dasar.

   • Mari kita asumsikan bahwa solusinya memiliki bentuk berikut. Turunannya diberikan pada baris kedua.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y = v 1 y 1 + v 1 y 1 + v 2 y 2 + v 2 y 2 (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Karena solusi yang diusulkan mengandung dua jumlah yang tidak diketahui, perlu untuk memaksakan tambahan kondisi. Kami memilih kondisi tambahan ini dalam bentuk berikut:
     • v 1 y 1 + v 2 y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y = v 1 y 1 + v 2 y 2 (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y = v 1 y 1 + v 1 y 1 + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Sekarang kita bisa mendapatkan persamaan kedua. Setelah mengganti dan mendistribusikan kembali anggota, Anda dapat mengelompokkan anggota dengan v 1 (\displaystyle v_(1)) dan anggota dari v 2 (\displaystyle v_(2)). Persyaratan ini dibatalkan karena y 1 (\gaya tampilan y_(1)) dan y 2 (\gaya tampilan y_(2)) adalah solusi dari persamaan homogen yang sesuai. Akibatnya, kita memperoleh sistem persamaan berikut:
     • v 1 y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(selaras)))
   • Sistem ini dapat ditransformasikan ke dalam persamaan matriks berbentuk A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) solusi siapa x = A 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Untuk matriks 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) matriks terbalik ditemukan dengan membagi dengan determinan, mengubah elemen diagonal, dan membalikkan tanda elemen off-diagonal. Faktanya, determinan matriks ini adalah Wronskian.
     • (v 1 v 2 ′) = 1 W (y 2 y 2 − y 1 y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatriks))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ akhir(pmatriks))(\mula(pmatriks)0\\f(x)\akhir(pmatriks)))
   • Ekspresi untuk v 1 (\displaystyle v_(1)) dan v 2 (\displaystyle v_(2)) tercantum di bawah ini. Seperti dalam metode reduksi orde, dalam kasus ini, konstanta arbitrer muncul selama integrasi, yang mencakup solusi tambahan dalam solusi umum persamaan diferensial.
     • v 1 (x) = ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Kuliah Umum Universitas Terbuka Nasional Intuit berjudul “Persamaan Diferensial Linier Orde ke-n Dengan Koefisien Konstanta”.

Penggunaan praktis

Persamaan diferensial membangun hubungan antara suatu fungsi dan satu atau lebih turunannya. Karena hubungan seperti itu sangat umum, persamaan diferensial telah menemukan aplikasi luas di berbagai bidang, dan karena kita hidup dalam empat dimensi, persamaan ini sering menjadi persamaan diferensial dalam pribadi turunan. Bagian ini membahas beberapa persamaan yang paling penting dari jenis ini.

• Pertumbuhan eksponensial dan pembusukan. peluruhan radioaktif. Bunga majemuk. Kecepatan reaksi kimia. Konsentrasi obat dalam darah. Pertumbuhan penduduk yang tidak terbatas. hukum Newton-Richmann. Ada banyak sistem di dunia nyata di mana laju pertumbuhan atau peluruhan pada waktu tertentu sebanding dengan jumlah pada waktu itu, atau dapat didekati dengan baik oleh sebuah model. Ini karena penyelesaian persamaan diferensial ini, fungsi eksponensial, adalah salah satu fungsi terpenting dalam matematika dan ilmu-ilmu lainnya. Secara umum, di bawah pertumbuhan penduduk yang terkendali, sistem tersebut dapat mencakup istilah tambahan yang membatasi pertumbuhan. Dalam persamaan di bawah ini, konstanta k (\gaya tampilan k) bisa lebih besar atau lebih kecil dari nol.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Getaran harmonik. Dalam mekanika klasik dan kuantum, osilator harmonik adalah salah satu sistem fisik yang paling penting karena kesederhanaannya dan aplikasi yang luas untuk mendekati sistem yang lebih kompleks seperti bandul sederhana. Dalam mekanika klasik, osilasi harmonik dijelaskan oleh persamaan yang menghubungkan posisi titik material dengan percepatannya melalui hukum Hooke. Dalam hal ini, redaman dan kekuatan pendorong juga dapat diperhitungkan. Dalam ekspresi di bawah ini x (\displaystyle (\dot (x)))- turunan waktu dari x , (\gaya tampilan x,) (\displaystyle \beta ) adalah parameter yang menggambarkan gaya redaman, 0 (\displaystyle \omega _(0))- frekuensi sudut sistem, F (t) (\gaya tampilan F(t)) adalah kekuatan pendorong yang bergantung pada waktu. Osilator harmonik juga hadir di sirkuit osilasi elektromagnetik, di mana ia dapat diimplementasikan dengan akurasi yang lebih besar daripada di sistem mekanis.
  • x + 2 x + 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• persamaan Bessel. Persamaan diferensial Bessel digunakan di banyak bidang fisika, termasuk solusi persamaan gelombang, persamaan Laplace, dan persamaan Schrödinger, terutama dengan adanya simetri silinder atau bola. Persamaan diferensial orde dua dengan koefisien variabel ini bukan merupakan persamaan Cauchy-Euler, sehingga penyelesaiannya tidak dapat dituliskan sebagai fungsi dasar. Solusi dari persamaan Bessel adalah fungsi Bessel, yang dipelajari dengan baik karena fakta bahwa mereka digunakan di banyak bidang. Dalam ekspresi di bawah ini (\displaystyle \alpha ) adalah konstanta yang cocok memesan Fungsi Bessel.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• persamaan Maxwell. Seiring dengan gaya Lorentz, persamaan Maxwell membentuk dasar elektrodinamika klasik. Ini adalah empat persamaan diferensial parsial untuk listrik E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) dan magnet B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) bidang. Dalam ekspresi di bawah ini = (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- kerapatan muatan, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) adalah rapat arus, dan 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) dan 0 (\displaystyle \mu _(0)) adalah konstanta listrik dan konstanta magnet.
  • E = ϵ 0 ∇ B = 0 × E = ∂ B ∂ t ∇ × B = 0 J + 0 0 E t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• persamaan Schrödinger. Dalam mekanika kuantum, persamaan Schrödinger adalah persamaan dasar gerak yang menggambarkan pergerakan partikel sesuai dengan perubahan fungsi gelombang. = (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) bersama waktu. Persamaan gerak dijelaskan oleh perilaku Hamiltonian H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - operator, yang menggambarkan energi sistem. Salah satu contoh persamaan Schrödinger yang terkenal dalam fisika adalah persamaan untuk satu partikel non-relativistik, yang dikenai potensial V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Banyak sistem dijelaskan oleh persamaan Schrödinger yang bergantung waktu, dengan persamaan di sisi kiri E , (\displaystyle E\Psi ,) di mana E (\gaya tampilan E) adalah energi partikel. Dalam ekspresi di bawah ini (\displaystyle \hbar ) adalah konstanta Planck tereduksi.
  • i ∂ t = H ^ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ∂ t = (− ℏ 2 2 m 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• persamaan gelombang. Mustahil membayangkan fisika dan teknologi tanpa gelombang, mereka hadir di semua jenis sistem. Secara umum, gelombang dijelaskan oleh persamaan di bawah ini, di mana u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) adalah fungsi yang diinginkan, dan c (\gaya tampilan c)- konstanta yang ditentukan secara eksperimental. d'Alembert adalah orang pertama yang menemukan bahwa untuk kasus satu dimensi, solusi persamaan gelombang adalah setiap fungsi dengan argumen x c t (\displaystyle x-ct), yang menggambarkan gelombang arbitrer yang merambat ke kanan. Solusi umum untuk kasus satu dimensi adalah kombinasi linier dari fungsi ini dengan fungsi kedua dengan argumen x + c t (\gaya tampilan x+ct), yang menggambarkan gelombang yang merambat ke kiri. Solusi ini disajikan di baris kedua.
  • 2 u t 2 = c 2 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• persamaan Navier-Stokes. Persamaan Navier-Stokes menggambarkan pergerakan fluida. Karena cairan hadir di hampir setiap bidang sains dan teknologi, persamaan ini sangat penting untuk prediksi cuaca, desain pesawat, arus laut, dan banyak aplikasi lainnya. Persamaan Navier-Stokes adalah persamaan diferensial parsial non-linier, dan dalam kebanyakan kasus sangat sulit untuk menyelesaikannya, karena non-linier menyebabkan turbulensi, dan untuk mendapatkan solusi yang stabil dengan metode numerik, perlu untuk mempartisi menjadi sel yang sangat kecil, yang membutuhkan daya komputasi yang signifikan. Untuk tujuan praktis dalam hidrodinamika, metode seperti rata-rata waktu digunakan untuk memodelkan aliran turbulen. Bahkan pertanyaan yang lebih mendasar, seperti keberadaan dan keunikan solusi untuk persamaan diferensial parsial nonlinier, adalah masalah yang kompleks, dan membuktikan keberadaan dan keunikan solusi untuk persamaan Navier-Stokes dalam tiga dimensi adalah salah satu masalah matematika milenium . Di bawah ini adalah persamaan aliran fluida tak termampatkan dan persamaan kontinuitas.
  • u ∂ t + (u ⋅ ∇) u 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) ) ) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Banyak persamaan diferensial tidak dapat diselesaikan dengan metode di atas, terutama yang disebutkan di bagian terakhir. Ini berlaku jika persamaan mengandung koefisien variabel dan bukan merupakan persamaan Cauchy-Euler, atau jika persamaan tersebut non-linier, kecuali dalam beberapa kasus yang sangat jarang terjadi. Namun, metode di atas memungkinkan Anda untuk menyelesaikan banyak persamaan diferensial penting yang sering ditemui di berbagai bidang ilmu pengetahuan.
• Tidak seperti diferensiasi, yang memungkinkan Anda untuk menemukan turunan dari fungsi apa pun, integral dari banyak ekspresi tidak dapat diekspresikan dalam fungsi dasar. Oleh karena itu, jangan buang waktu untuk mencoba menghitung integral jika tidak mungkin. Perhatikan tabel integral. Jika solusi persamaan diferensial tidak dapat dinyatakan dalam fungsi dasar, kadang-kadang dapat dinyatakan dalam bentuk integral, dan dalam hal ini tidak masalah apakah integral ini dapat dihitung secara analitik.

Peringatan

• Penampilan persamaan diferensial dapat menyesatkan. Sebagai contoh, di bawah ini adalah dua persamaan diferensial orde pertama. Persamaan pertama mudah diselesaikan menggunakan metode yang dijelaskan dalam artikel ini. Sekilas, perubahan kecil y (\gaya tampilan y) pada y 2 (\gaya tampilan y^(2)) dalam persamaan kedua membuatnya non-linier dan menjadi sangat sulit untuk dipecahkan.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Entah sudah diselesaikan sehubungan dengan turunan, atau mereka dapat diselesaikan sehubungan dengan turunan .

Solusi umum persamaan diferensial jenis pada interval X, yang diberikan, dapat ditemukan dengan mengambil integral dari kedua sisi persamaan ini.

Mendapatkan .

Jika kita melihat sifat-sifat integral tak tentu, kita menemukan solusi umum yang diinginkan:

y = F(x) + C,

di mana F(x)- salah satu antiturunan dari fungsi f(x) diantara X, sebuah Dengan adalah konstanta arbitrer.

Harap dicatat bahwa di sebagian besar tugas interval X tidak menunjukkan. Ini berarti bahwa solusi harus ditemukan untuk semua orang. x, yang dan fungsi yang diinginkan kamu, dan persamaan aslinya masuk akal.

Jika Anda perlu menghitung solusi tertentu dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal y(x0) = y0, kemudian setelah menghitung integral umum y = F(x) + C, masih perlu untuk menentukan nilai konstanta C=C0 menggunakan kondisi awal. Artinya, konstanta C=C0 ditentukan dari persamaan F(x 0) + C = y 0, dan solusi khusus yang diinginkan dari persamaan diferensial akan berbentuk:

y = F(x) + C0.

Pertimbangkan sebuah contoh:

Temukan solusi umum persamaan diferensial , periksa kebenaran hasilnya. Mari kita cari solusi khusus dari persamaan ini yang akan memenuhi kondisi awal .

Keputusan:

Setelah kita mengintegrasikan persamaan diferensial yang diberikan, kita mendapatkan:

.

Kami mengambil integral ini dengan metode integrasi dengan bagian:

Itu., adalah solusi umum dari persamaan diferensial.

Mari kita periksa untuk memastikan hasilnya benar. Untuk melakukan ini, kami mengganti solusi yang kami temukan ke dalam persamaan yang diberikan:

.

Yaitu, pada persamaan asli berubah menjadi identitas:

oleh karena itu, solusi umum persamaan diferensial ditentukan dengan benar.

Solusi yang kami temukan adalah solusi umum dari persamaan diferensial untuk setiap nilai nyata dari argumen x.

Tetap menghitung solusi tertentu dari ODE yang akan memenuhi kondisi awal . Dengan kata lain, perlu untuk menghitung nilai konstanta Dengan, di mana persamaan akan menjadi benar:

.

.

Kemudian, menggantikan C = 2 ke dalam solusi umum ODE, kami memperoleh solusi khusus dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal:

.

Persamaan diferensial biasa dapat diselesaikan sehubungan dengan turunan dengan membagi 2 bagian persamaan dengan f(x). Transformasi ini akan setara jika f(x) tidak pergi ke nol untuk apapun x dari interval integrasi persamaan diferensial X.

Situasi mungkin terjadi ketika, untuk beberapa nilai argumen x ∈ X fungsi f(x) dan g(x) berubah menjadi nol secara bersamaan. Untuk nilai serupa x solusi umum persamaan diferensial adalah fungsi apa pun kamu, yang didefinisikan di dalamnya, karena .

Jika untuk beberapa nilai argumen x ∈ X kondisi terpenuhi, yang berarti dalam hal ini ODE tidak memiliki solusi.

Untuk semua yang lain x dari interval X solusi umum persamaan diferensial ditentukan dari persamaan yang ditransformasikan.

Mari kita lihat contohnya:

Contoh 1

Mari kita cari solusi umum dari ODE: .

Keputusan.

Dari sifat-sifat fungsi dasar dasar, jelas bahwa fungsi logaritma natural didefinisikan untuk nilai argumen non-negatif, oleh karena itu, domain ekspresi log(x+3) ada jeda x > -3 . Oleh karena itu, persamaan diferensial yang diberikan masuk akal untuk x > -3 . Dengan nilai argumen ini, ekspresi x + 3 tidak hilang, jadi seseorang dapat menyelesaikan ODE sehubungan dengan turunan dengan membagi 2 bagian dengan x + 3.

Kita mendapatkan .

Selanjutnya, kami mengintegrasikan persamaan diferensial yang dihasilkan, diselesaikan sehubungan dengan turunan: . Untuk mengambil integral ini, kami menggunakan metode subsuming di bawah tanda diferensial.

Lampiran

Memecahkan persamaan diferensial secara online di situs bagi siswa untuk mengkonsolidasikan materi yang telah mereka pelajari. Dan latih keterampilan praktis Anda. persamaan diferensial online. Difuras online, solusi matematika online. Langkah demi langkah solusi masalah matematika online. Orde, atau derajat, persamaan diferensial adalah orde tertinggi dari turunan yang termasuk di dalamnya. persamaan diferensial online. Proses penyelesaian persamaan diferensial disebut integrasi. Masalah integrasi persamaan diferensial dianggap terpecahkan jika temuan fungsi yang tidak diketahui dapat dibawa ke kuadratur, terlepas dari apakah integral yang dihasilkan dinyatakan dalam bentuk akhir dalam hal fungsi yang diketahui atau tidak. Langkah demi langkah solusi persamaan diferensial online. Semua persamaan diferensial dapat dibagi menjadi persamaan diferensial biasa (ODE), yang hanya mencakup fungsi (dan turunannya) dari satu argumen, dan persamaan diferensial parsial (PDE), di mana fungsi input bergantung pada banyak variabel. persamaan diferensial online. Ada juga persamaan diferensial stokastik (SDE) yang melibatkan proses acak. Langkah demi langkah solusi persamaan diferensial online. Tergantung pada kombinasi turunan, fungsi, variabel independen, persamaan diferensial dibagi menjadi linier dan non-linier, dengan koefisien konstan atau variabel, homogen atau non-homogen. Karena pentingnya aplikasi, persamaan diferensial parsial kuasilinear (linier sehubungan dengan turunan yang lebih tinggi) dipilih dalam kelas yang terpisah. Penyelesaian persamaan diferensial dibagi menjadi solusi umum dan solusi khusus. persamaan diferensial online. Solusi umum meliputi konstanta tak terdefinisi, dan untuk persamaan diferensial parsial, fungsi sembarang dari variabel independen yang dapat disempurnakan dari kondisi integrasi tambahan (kondisi awal untuk persamaan diferensial biasa, kondisi awal dan batas untuk persamaan diferensial parsial). Langkah demi langkah solusi persamaan diferensial online. Setelah menentukan bentuk fungsi konstan dan tak tentu ini, penyelesaiannya menjadi partikular. Pencarian solusi untuk persamaan diferensial biasa mengarah pada pembentukan kelas fungsi khusus - fungsi yang sering ditemui dalam aplikasi yang tidak dinyatakan dalam fungsi dasar yang diketahui. persamaan diferensial online. Properti mereka dipelajari secara rinci, tabel nilai disusun, interkoneksi ditentukan, dll. . Himpunan nomor enumerated dapat dieksplorasi. Jawaban terbaik untuk masalah yang diberikan. Bagaimana menemukan dalam pendekatan pertama vektor keluar ke daerah konvergensi tentang persamaan Diferensial tanpa mengklarifikasi batas atas yang ditemukan. Pilihannya jelas untuk meningkatkan fungsi matematika. Ada metode progresif di atas tingkat penelitian. Untuk menyelaraskan dengan kondisi awal masalah, solusi diferensial akan membantu menemukan nilai terpilih yang bernilai tunggal. Mungkin dia bisa segera menentukan yang tidak diketahui. Seperti pada contoh sebelumnya yang menunjukkan solusi untuk masalah matematika, persamaan diferensial linier adalah jawaban untuk masalah tertentu dalam kerangka waktu tertentu. Pemeliharaan prosedur studi tidak ditentukan secara lokal. Ini akan menjadi contoh untuk setiap siswa dan solusi persamaan diferensial akan ditentukan oleh orang yang ditugaskan kepada pelaksana yang bertanggung jawab dari setidaknya dua nilai. Ambil fungsi nilai umum pada segmen tertentu dan peringatkan di sepanjang sumbu mana akan ada celah. Setelah mempelajari persamaan diferensial secara online, adalah mungkin untuk menunjukkan dengan jelas betapa pentingnya hasilnya, jika diberikan dari kondisi awal. Memotong suatu wilayah dari definisi fungsi tidak mungkin, karena tidak ada definisi tugas secara lokal. Ditemukan dari sistem persamaan, jawabannya berisi variabel yang dapat dihitung dalam pengertian umum, tetapi secara alami akan mungkin untuk menyelesaikan persamaan diferensial online tanpa tindakan ini untuk menentukan kondisi tersebut. Dekat interval segmen, dapat dilihat bagaimana solusi persamaan diferensial online mampu memajukan hasil penelitian ke arah yang positif pada saat cutoff pengetahuan siswa. Yang terbaik tidak selalu diperoleh dengan pendekatan bisnis yang diterima secara umum. Pada tingkat 2x, seseorang dapat dengan berguna melihat semua persamaan diferensial linier alami yang diperlukan, tetapi kemampuan untuk menghitung nilai numerik akan mengarah pada peningkatan pengetahuan. Menurut teknik apa pun dalam matematika, ada persamaan diferensial yang disajikan dalam ekspresi yang pada dasarnya berbeda, seperti homogen atau kompleks. Setelah melakukan analisis umum dari studi fungsi, akan menjadi jelas bahwa solusi diferensial sebagai himpunan kemungkinan mewakili kesalahan yang jelas dalam nilai. Kebenaran di dalamnya terletak pada ruang di atas garis absis. Di suatu tempat dalam domain fungsi kompleks, pada titik tertentu dalam definisinya, persamaan diferensial linier akan dapat mewakili jawabannya dalam bentuk analitik. yaitu, secara umum, sebagai esensi. Tidak ada yang akan berubah saat mengubah variabel. Namun, perlu untuk mengintip jawabannya dengan minat khusus. Faktanya, kalkulator mengubah rasio pada akhirnya, yaitu, bagaimana solusi persamaan diferensial sebanding dengan nilai global ditunjukkan dalam solusi yang diinginkan. Dalam beberapa kasus, peringatan kesalahan massal tidak dapat dihindari. Persamaan diferensial online menerapkan gagasan umum tentang masalah, tetapi pada akhirnya, Anda perlu menyediakan aspek positif dari produk silang sesegera mungkin. Dalam matematika, kasus kesalahan dalam teori bilangan tidak jarang terjadi. Pasti perlu diperiksa. Secara alami, lebih baik memberikan hak ini kepada para profesional di bidangnya dan merekalah yang akan membantu menyelesaikan persamaan diferensial secara online, karena pengalaman mereka sangat besar dan positif. Perbedaan pada permukaan gambar dan luas sedemikian rupa sehingga bukan solusi persamaan diferensial online yang memungkinkan Anda untuk melihat, tetapi himpunan objek yang tidak berpotongan sedemikian rupa sehingga garisnya sejajar dengan sumbu. Hasilnya, Anda bisa mendapatkan nilai dua kali lebih banyak. Menjadi implisit, gagasan kami tentang kebenaran notasi formal menyediakan persamaan diferensial linier baik di area tampilan maupun dalam kaitannya dengan perkiraan berlebihan yang disengaja dari kualitas hasil. Diskusi tentang topik yang menarik bagi semua siswa diterbitkan beberapa kali dalam ulasan. Sepanjang studi kuliah penuh, kami akan memusatkan perhatian kami pada persamaan diferensial dan bidang studi ilmu terkait, jika ini tidak bertentangan dengan kebenaran. Banyak tahapan yang bisa dihindari di awal perjalanan. Jika pemecahan perbedaan secara fundamental masih merupakan sesuatu yang baru bagi siswa, maka yang lama tidak dilupakan sama sekali, tetapi berkembang ke masa depan dengan tingkat perkembangan yang tinggi. Awalnya, kondisi untuk masalah dalam matematika berbeda, tetapi ini ditunjukkan dalam paragraf di sebelah kanan. Setelah berakhirnya waktu yang ditentukan oleh definisi, kemungkinan hasil dependen proporsional pada berbagai bidang gerak vektor tidak dikesampingkan. Kasus sederhana seperti itu dikoreksi dengan cara yang sama seperti persamaan diferensial linier yang dijelaskan pada kalkulator dalam bentuk umum, sehingga akan lebih cepat dan offset perhitungan tidak akan mengarah pada pendapat yang salah. Hanya lima kasus yang disebutkan menurut teori yang dapat mendorong batas-batas dari apa yang terjadi. Solusi persamaan diferensial kami akan membantu menghitung secara manual nilai dalam bilangan yang sudah pada tahap pertama dekomposisi ruang fungsional. Di tempat yang tepat, perlu untuk menyajikan titik kontak dari empat garis dalam arti umum. Tetapi jika Anda harus memaksakan tugas, maka akan mudah untuk menyamakan kerumitannya. Data awal cukup untuk merancang kaki yang berdekatan dan persamaan diferensial online terlihat rata kiri dan permukaan satu sisi diarahkan ke vektor rotor. Di atas batas atas, nilai numerik dimungkinkan melebihi kondisi yang ditunjukkan. Dimungkinkan untuk memperhitungkan rumus matematika dan menyelesaikan persamaan diferensial secara online karena tiga tidak diketahui dalam nilai umum proporsi. Metode penghitungan lokal diakui valid. Sistem koordinat berbentuk persegi panjang dalam gerak relatif bidang. Solusi online umum dari persamaan diferensial memungkinkan untuk secara jelas menarik kesimpulan yang mendukung sapuan komputasi melalui definisi matriks pada seluruh garis lurus yang terletak di atas grafik fungsi yang ditentukan secara eksplisit. Solusinya terlihat melalui jika Anda menerapkan vektor gerak ke titik kontak dari tiga belahan. Silinder diperoleh dengan memutar persegi panjang di sekitar sisi dan persamaan diferensial linier dapat menunjukkan arah gerakan titik sesuai dengan ekspresi yang diberikan dari hukum geraknya. Data awal benar dan masalah dalam matematika dapat dipertukarkan dalam satu kondisi sederhana. Namun, karena keadaan, mengingat kompleksitas submasalah pengaturan, persamaan diferensial menyederhanakan proses ruang numerik yang dihitung pada tingkat ruang tiga dimensi. Sangat mudah untuk membuktikan sebaliknya, tetapi dimungkinkan untuk menghindarinya, seperti pada contoh di atas. Dalam matematika yang lebih tinggi, poin-poin berikut diberikan: ketika masalah direduksi menjadi bentuk yang disederhanakan, upaya terbesar yang mungkin dilakukan siswa harus diperluas ke sana. Garis yang ditumpangkan satu sama lain jatuh ke dalam offset. Solusi diferensial pro masih melanjutkan keuntungan dari metode tersebut pada garis lengkung. Jika Anda mengenali pada awalnya bukan apa yang Anda butuhkan, maka rumus matematika akan membuat nilai baru dari ekspresi. Tujuannya adalah pendekatan optimal untuk menyelesaikan tugas-tugas yang ditetapkan oleh profesor. Anda tidak boleh berasumsi bahwa persamaan diferensial linier dalam bentuk yang disederhanakan akan melebihi hasil yang diharapkan. Kami menempatkan tiga vektor pada permukaan yang tersusun berhingga. ortogonal satu sama lain. Mari kita hitung produknya. Mari tambahkan lebih banyak simbol dan tulis semua variabel fungsi dari ekspresi yang dihasilkan. Ada proporsinya. Beberapa tindakan sebelum akhir perhitungan tidak akan memberikan jawaban yang jelas untuk solusi persamaan diferensial segera, tetapi hanya setelah waktu yang ditentukan telah berlalu di sepanjang sumbu ordinat. Di sebelah kiri titik diskontinuitas, yang diberikan secara implisit dari fungsi, kami menggambar sumbu ortogonal ke vektor peningkatan terbaik dan menempatkan persamaan diferensial online di sepanjang nilai batas terkecil dari batas bawah objek matematika. Mari tambahkan argumen tambahan di area istirahat fungsi. Di sebelah kanan titik-titik garis lengkung, rumus yang kami tulis untuk mereduksi menjadi penyebut yang sama akan membantu menyelesaikan persamaan diferensial secara online. Satu-satunya pendekatan yang benar adalah pendekatan yang akan menjelaskan masalah yang belum terpecahkan dari teori ke praktik, dalam kasus umum dengan jelas. Garis-garis pada arah koordinat titik-titik yang diberikan tidak pernah menutup posisi ekstrim kuadrat, namun, solusi persamaan diferensial online akan membantu siswa dan kita, dan hanya pemula di bidang ini, untuk belajar matematika. Kita berbicara tentang kemungkinan mensubstitusi argumen nilai ke dalam semua subbaris signifikan dari satu bidang. Pada prinsipnya, seperti yang diharapkan, persamaan diferensial linier kami adalah sesuatu yang terisolasi dalam satu konsep makna tereduksi. Untuk membantu siswa, salah satu yang terbaik di antara layanan serupa adalah kalkulator. Ikuti semua kursus dan pilih yang terbaik untuk Anda.

=

Persamaan diferensial biasa disebut persamaan yang menghubungkan variabel bebas, fungsi yang tidak diketahui dari variabel ini dan turunannya (atau diferensial) dari berbagai ordo.

Orde persamaan diferensial adalah orde turunan tertinggi yang terkandung di dalamnya.

Selain persamaan diferensial biasa, juga dipelajari persamaan diferensial parsial. Ini adalah persamaan yang berhubungan dengan variabel bebas, fungsi yang tidak diketahui dari variabel-variabel ini dan turunan parsialnya terhadap variabel yang sama. Tapi kami hanya akan mempertimbangkan persamaan diferensial biasa dan karena itu kami akan menghilangkan kata "biasa" untuk singkatnya.

Contoh persamaan diferensial:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Persamaan (1) orde keempat, persamaan (2) orde ketiga, persamaan (3) dan (4) orde kedua, persamaan (5) orde pertama.

persamaan diferensial n orde tidak harus secara eksplisit mengandung suatu fungsi, semua turunannya dari pertama sampai n orde dan variabel bebas. Ini mungkin tidak secara eksplisit mengandung turunan dari beberapa pesanan, fungsi, variabel independen.

Misalnya, dalam persamaan (1) jelas tidak ada turunan dari orde ketiga dan kedua, serta fungsi; dalam persamaan (2) - turunan dan fungsi orde kedua; dalam persamaan (4) - variabel bebas; dalam persamaan (5) - fungsi. Hanya persamaan (3) yang secara eksplisit memuat semua turunan, fungsi, dan variabel bebas.

Dengan menyelesaikan persamaan diferensial fungsi apa pun disebut y = f(x), substitusikan yang ke dalam persamaan, itu berubah menjadi identitas.

Proses mencari solusi persamaan diferensial disebut integrasi.

Contoh 1 Temukan solusi untuk persamaan diferensial.

Keputusan. Kami menulis persamaan ini dalam bentuk . Solusinya adalah mencari fungsi dengan turunannya. Fungsi asli, seperti yang diketahui dari kalkulus integral, adalah antiturunan untuk, yaitu.

Itulah apa itu solusi dari persamaan diferensial yang diberikan . berubah di dalamnya C, kita akan mendapatkan solusi yang berbeda. Kami menemukan bahwa ada banyak sekali solusi untuk persamaan diferensial orde pertama.

Solusi umum persamaan diferensial n orde ke-2 adalah penyelesaiannya yang dinyatakan secara eksplisit sehubungan dengan fungsi yang tidak diketahui dan mengandung n konstanta arbitrer independen, mis.

Penyelesaian persamaan diferensial pada contoh 1 bersifat umum.

Solusi parsial dari persamaan diferensial solusinya disebut, di mana nilai numerik tertentu diberikan ke konstanta arbitrer.

Contoh 2 Tentukan solusi umum persamaan diferensial dan solusi khusus untuk .

Keputusan. Kami mengintegrasikan kedua bagian persamaan beberapa kali sehingga orde persamaan diferensialnya sama.

,

.

Akibatnya, kami mendapat solusi umum -

diberikan persamaan diferensial orde ketiga.

Sekarang mari kita cari solusi tertentu di bawah kondisi yang ditentukan. Untuk melakukan ini, kami mengganti nilainya alih-alih koefisien arbitrer dan memperoleh

.

Jika, selain persamaan diferensial, kondisi awal diberikan dalam bentuk , maka masalah seperti itu disebut Masalah Cauchy . Nilai dan disubstitusikan ke dalam solusi umum persamaan dan nilai konstanta arbitrer ditemukan C, dan kemudian solusi khusus dari persamaan untuk nilai yang ditemukan C. Ini adalah solusi untuk masalah Cauchy.

Contoh 3 Memecahkan masalah Cauchy untuk persamaan diferensial dari Contoh 1 di bawah kondisi .

Keputusan. Kami mengganti ke dalam solusi umum nilai-nilai dari kondisi awal kamu = 3, x= 1. Kita dapatkan

Kami menuliskan solusi dari masalah Cauchy untuk persamaan diferensial yang diberikan dari orde pertama:

Memecahkan persamaan diferensial, bahkan yang paling sederhana, membutuhkan keterampilan yang baik dalam mengintegrasikan dan mengambil turunan, termasuk fungsi kompleks. Hal ini dapat dilihat pada contoh berikut.

Contoh 4 Temukan solusi umum dari persamaan diferensial.

Keputusan. Persamaan ditulis sedemikian rupa sehingga kedua ruas dapat segera diintegralkan.

.

Kami menerapkan metode integrasi dengan mengubah variabel (substitusi). Biarkan , lalu .

Diperlukan untuk mengambil dx dan sekarang - perhatian - kami melakukannya sesuai dengan aturan diferensiasi fungsi kompleks, karena x dan ada fungsi kompleks ("apel" - mengekstrak akar kuadrat atau, yang sama - meningkatkan pangkat "satu detik", dan "daging cincang" - ekspresi itu sendiri di bawah akar):

Kami menemukan integralnya:

Kembali ke variabel x, kita mendapatkan:

.

Ini adalah solusi umum dari persamaan diferensial tingkat pertama ini.

Tidak hanya keterampilan dari bagian sebelumnya dari matematika yang lebih tinggi akan diperlukan dalam memecahkan persamaan diferensial, tetapi juga keterampilan dari dasar, yaitu matematika sekolah. Seperti yang telah disebutkan, dalam persamaan diferensial dari urutan apa pun mungkin tidak ada variabel independen, yaitu variabel x. Pengetahuan tentang proporsi yang tidak dilupakan (namun, siapa pun menyukainya) dari bangku sekolah akan membantu menyelesaikan masalah ini. Ini adalah contoh selanjutnya.

Ingat kembali masalah yang kita hadapi ketika mencari integral tak tentu:

atau dy = f(x)dx. Solusi nya:

dan itu mengurangi ke perhitungan integral tak tentu. Dalam praktiknya, tugas yang lebih sulit lebih umum: menemukan fungsi kamu, jika diketahui memenuhi suatu relasi bentuk

Hubungan ini menghubungkan variabel bebas x, fungsi tidak diketahui kamu dan turunannya sampai dengan orde n inklusif, disebut .

Persamaan diferensial mencakup fungsi di bawah tanda turunan (atau diferensial) dari satu orde atau orde lain. Urutan yang paling tinggi disebut orde (9.1) .

Persamaan Diferensial:

- pesanan pertama

pesanan kedua,

- urutan kelima, dll.

Fungsi yang memenuhi persamaan diferensial tertentu disebut penyelesaiannya , atau integral . Memecahkannya berarti menemukan semua solusinya. Jika untuk fungsi yang diinginkan kamu berhasil mendapatkan formula yang memberikan semua solusi, maka kami mengatakan bahwa kami telah menemukan solusi umumnya , atau integral umum .

Keputusan bersama mengandung n konstanta arbitrer dan sepertinya

Jika diperoleh relasi yang berhubungan x, y dan n konstanta arbitrer, dalam bentuk yang tidak diizinkan sehubungan dengan kamu -

maka hubungan seperti itu disebut integral umum persamaan (9.1).

Masalah Cauchy

Setiap solusi spesifik, yaitu, setiap fungsi spesifik yang memenuhi persamaan diferensial yang diberikan dan tidak bergantung pada konstanta sembarang, disebut solusi partikular. , atau integral pribadi. Untuk mendapatkan solusi khusus (integral) dari solusi umum, perlu untuk melampirkan nilai numerik tertentu ke konstanta.

Grafik solusi tertentu disebut kurva integral. Solusi umum, yang berisi semua solusi khusus, adalah keluarga kurva integral. Untuk persamaan orde pertama, keluarga ini bergantung pada satu konstanta arbitrer; untuk persamaan n urutan ke - dari n konstanta arbitrer.

Masalah Cauchy adalah menemukan solusi khusus untuk persamaan n pesanan th, memuaskan n kondisi awal:

yang menentukan n konstanta 1 , 2 ,..., c n.

persamaan diferensial orde 1

Untuk yang belum terselesaikan sehubungan dengan turunan, persamaan diferensial dari orde 1 memiliki bentuk

atau untuk diizinkan relatif

Contoh 3.46. Temukan solusi umum untuk persamaan

Keputusan. Mengintegrasikan, kita mendapatkan

dimana C adalah konstanta sembarang. Jika kita memberikan nilai numerik spesifik C, maka kita mendapatkan solusi tertentu, misalnya,

Contoh 3.47. Pertimbangkan peningkatan jumlah uang yang disimpan di bank, tunduk pada akrual 100 r bunga majemuk per tahun. Biarkan Yo menjadi jumlah uang awal, dan Yx setelah kedaluwarsa x bertahun-tahun. Ketika bunga dihitung setahun sekali, kita mendapatkan

dimana x = 0, 1, 2, 3,.... Ketika bunga dihitung dua kali setahun, kita mendapatkan

dimana x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Saat menghitung bunga n setahun sekali dan jika x mengambil berturut-turut nilai 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., maka

Dilambangkan 1/n = h , maka persamaan sebelumnya akan terlihat seperti:

Dengan perbesaran tak terbatas n(pada ) dalam batas kita sampai pada proses peningkatan jumlah uang dengan akrual bunga terus menerus:

Dengan demikian, dapat dilihat bahwa dengan perubahan terus menerus x hukum perubahan jumlah uang beredar dinyatakan dengan persamaan diferensial orde 1. Dimana Y x adalah fungsi yang tidak diketahui, x- variabel bebas, r- konstan. Kami memecahkan persamaan ini, untuk ini kami menulis ulang sebagai berikut:

di mana , atau , di mana P adalah singkatan dari e C .

Dari kondisi awal Y(0) = Yo , kami menemukan P: Yo = Pe o , dari mana, Yo = P. Oleh karena itu, solusinya terlihat seperti:

Pertimbangkan masalah ekonomi kedua. Model makroekonomi juga dijelaskan oleh persamaan diferensial linier orde 1, menggambarkan perubahan pendapatan atau output Y sebagai fungsi waktu.

Contoh 3.48. Biarkan pendapatan nasional Y meningkat pada tingkat yang sebanding dengan ukurannya:

dan biarkan, defisit pengeluaran pemerintah berbanding lurus dengan pendapatan Y dengan koefisien proporsionalitas q. Defisit dalam pengeluaran menyebabkan peningkatan utang nasional D:

Kondisi awal Y = Yo dan D = Lakukan pada t = 0. Dari persamaan pertama Y= Yoe kt . Mengganti Y kita mendapatkan dD/dt = qYoe kt . Solusi umum memiliki bentuk
D = (q/ k) Yoe kt +С, dimana = const, yang ditentukan dari kondisi awal. Mensubstitusi kondisi awal, kita memperoleh Do = (q/k)Yo + C. Jadi, akhirnya,

D = Lakukan +(q/k)Yo (e kt -1),

ini menunjukkan bahwa utang nasional meningkat pada tingkat yang relatif sama k, yang merupakan pendapatan nasional.

Pertimbangkan persamaan diferensial paling sederhana n urutan, ini adalah persamaan bentuk

Solusi umumnya dapat diperoleh dengan menggunakan n kali integrasi.

Contoh 3.49. Perhatikan contoh y """ = cos x.

Keputusan. Mengintegrasikan, kami menemukan

Solusi umum memiliki bentuk

Persamaan diferensial linier

Dalam ekonomi, mereka sangat berguna, pertimbangkan solusi dari persamaan tersebut. Jika (9.1) berbentuk:

maka disebut linier, di mana po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) diberikan fungsi. Jika f(x) = 0, maka (9.2) disebut homogen, jika tidak disebut tidak homogen. Solusi umum persamaan (9.2) sama dengan jumlah semua solusi khususnya y(x) dan solusi umum persamaan homogen yang sesuai dengannya:

Jika koefisien p o (x), p 1 (x),..., p n (x) adalah konstanta, maka (9.2)

(9.4) disebut persamaan diferensial linier dengan koefisien orde konstan n .

Untuk (9.4) memiliki bentuk:

Kita dapat mengatur tanpa kehilangan keumuman p o = 1 dan menulis (9.5) dalam bentuk

Kami akan mencari solusi (9.6) dalam bentuk y = e kx , di mana k adalah konstanta. Kita punya: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Substitusikan ekspresi yang diperoleh ke (9.6), kita akan memiliki:

(9.7) adalah persamaan aljabar, yang tidak diketahui adalah k, itu disebut karakteristik. Persamaan karakteristik memiliki derajat n dan n akar, di antaranya bisa banyak dan kompleks. Misalkan k 1 , k 2 ,..., k n nyata dan berbeda, maka adalah solusi khusus (9.7), sedangkan solusi umum

Pertimbangkan persamaan diferensial homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan:

Persamaan karakteristiknya berbentuk

(9.9)

diskriminannya D = p 2 - 4q, tergantung pada tanda D, tiga kasus dimungkinkan.

1. Jika D>0, maka akar-akar k 1 dan k 2 (9.9) real dan berbeda, dan solusi umumnya berbentuk:

Keputusan. Persamaan karakteristik: k 2 + 9 = 0, dimana k = ± 3i, a = 0, b = 3, solusi umumnya adalah:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Persamaan diferensial linier orde kedua digunakan untuk mempelajari model ekonomi seperti web dengan stok barang, di mana tingkat perubahan harga P tergantung pada ukuran stok (lihat paragraf 10). Jika penawaran dan permintaan adalah fungsi linier dari harga, yaitu,

a - adalah konstanta yang menentukan laju reaksi, maka proses perubahan harga digambarkan dengan persamaan diferensial:

Untuk solusi tertentu, Anda dapat mengambil konstanta

yang memiliki arti harga keseimbangan. Deviasi memenuhi persamaan homogen

(9.10)

Persamaan karakteristik akan menjadi sebagai berikut:

Dalam kasus, istilahnya positif. Menunjukkan . Akar-akar persamaan karakteristik k 1,2 = ± i w, sehingga solusi umum (9.10) berbentuk:

di mana C dan konstanta arbitrer, mereka ditentukan dari kondisi awal. Kami telah memperoleh hukum perubahan harga dalam waktu:

Masukkan persamaan diferensial Anda, tanda kutip """ digunakan untuk memasukkan turunan, tekan kirim dan dapatkan solusinya