Dan hubungan ganda dipertahankan dalam transformasi proyektif yang lebih umum. Gagasan paralelisme, yang dipertahankan dalam geometri affine, tidak memiliki arti dalam geometri proyektif. Jadi, dengan memisahkan kelompok simetri dari geometri, hubungan antara simetri dapat dibangun pada tingkat kelompok. Karena kelompok geometri affine adalah subkelompok dari geometri proyektif, setiap gagasan tentang invarian dalam geometri proyektif sebuah prioritas masuk akal dalam geometri affine, yang tidak benar dalam arah yang berlawanan. Jika Anda menambahkan simetri yang diperlukan, Anda mendapatkan teori yang lebih kuat, tetapi lebih sedikit konsep dan teorema (yang akan lebih dalam dan lebih umum).

Sudut pandang Thurston

Fungsi ganjil

ƒ (x) = x 3 merupakan contoh fungsi ganjil.

Sekali lagi mari f(x) adalah fungsi dari variabel nyata dengan nilai nyata. f adalah aneh, jika dalam domain definisi f

f (x) = f (− x) , (\displaystyle -f(x)=f(-x)\,) f(x) + f(−x) = 0 . (\gaya tampilan f(x)+f(-x)=0\,.)

Secara geometris, grafik fungsi ganjil memiliki simetri putar terhadap titik asal, dalam arti grafik fungsi tidak berubah jika diputar 180 derajat terhadap titik asal.

Fungsi ganjil adalah x, x 3 , dosa ( x), sin ( x) dan erf ( x).

integral

Teori Galois

Mengingat polinomial, ada kemungkinan bahwa beberapa akar dihubungkan oleh persamaan aljabar yang berbeda. Misalnya, ternyata untuk dua akar, katakanlah, A dan B, A 2 + 5 B 3 = 7 (\displaystyle A^(2)+5B^(3)=7). Ide sentral dari teori Galois adalah kenyataan bahwa ketika akar-akar disusun ulang, mereka terus memenuhi semua persamaan ini. Adalah penting bahwa dalam melakukannya kita membatasi diri kita pada persamaan aljabar yang koefisiennya adalah bilangan rasional. Jadi, teori Galois mempelajari simetri yang diturunkan dari persamaan aljabar.

Automorfisme objek aljabar

Dalam kasus ketika peristiwa mewakili interval bilangan real, simetri yang memperhitungkan permutasi dari subinterval dengan panjang yang sama sesuai dengan distribusi seragam kontinu.

Dalam kasus lain, seperti "memilih bilangan bulat acak" atau "memilih real acak", tidak ada simetri dalam distribusi probabilitas, memungkinkan permutasi angka atau interval dengan panjang yang sama. Simetri lain yang dapat diterima tidak mengarah pada distribusi tertentu, atau dengan kata lain, tidak ada distribusi probabilitas unik yang memberikan simetri maksimum.

Ada satu jenis isometri satu dimensi, yang dapat menjaga distribusi probabilitas tidak berubah, adalah refleksi tentang suatu titik, misalnya, nol.

Kemungkinan simetri untuk nilai acak dengan probabilitas positif adalah yang berlaku untuk logaritma, yaitu ketika suatu peristiwa dan kebalikannya memiliki distribusi yang sama. Namun, simetri ini tidak mengarah pada distribusi probabilitas yang pasti.

Untuk "titik acak" dalam bidang atau ruang, seseorang dapat memilih pusat dan mempertimbangkan simetri distribusi probabilitas terhadap lingkaran atau bola.

Konsep gerakan

Mari kita pertimbangkan konsep seperti itu sebagai gerakan.

Definisi 1

Pemetaan bidang disebut gerak bidang jika pemetaan mempertahankan jarak.

Ada beberapa teorema yang berkaitan dengan konsep ini.

Teorema 2

Segitiga, ketika bergerak, melewati segitiga yang sama.

Teorema 3

Angka apa pun, ketika bergerak, melewati angka yang sama dengannya.

Simetri aksial dan sentral adalah contoh gerakan. Mari kita pertimbangkan mereka secara lebih rinci.

Simetri aksial

Definisi 2

Titik $A$ dan $A_1$ dikatakan simetris terhadap garis $a$ jika garis ini tegak lurus dengan segmen $(AA)_1$ dan melalui pusatnya (Gbr. 1).

Gambar 1.

Pertimbangkan simetri aksial menggunakan masalah sebagai contoh.

Contoh 1

Bangun segitiga simetris untuk segitiga yang diberikan sehubungan dengan salah satu sisinya.

Keputusan.

Mari kita diberikan segitiga $ABC$. Kami akan membangun simetrinya terhadap sisi $BC$. Sisi $BC$ dalam kasus simetri aksial akan masuk ke dirinya sendiri (mengikuti definisi). Titik $A$ akan menuju titik $A_1$ sebagai berikut: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Segitiga $ABC$ akan berubah menjadi segitiga $A_1BC$ (Gbr. 2).

Gambar 2.

Definisi 3

Suatu bangun disebut simetris terhadap garis $a$ jika setiap titik simetris dari gambar ini terdapat pada gambar yang sama (Gbr. 3).

Gambar 3

Gambar $3$ menunjukkan sebuah persegi panjang. Ini memiliki simetri aksial sehubungan dengan masing-masing diameternya, serta sehubungan dengan dua garis lurus yang melewati pusat-pusat sisi yang berlawanan dari persegi panjang yang diberikan.

Simetri pusat

Definisi 4

Titik $X$ dan $X_1$ dikatakan simetris terhadap titik $O$ jika titik $O$ adalah pusat segmen $(XX)_1$ (Gbr. 4).

Gambar 4

Mari kita perhatikan simetri pusat pada contoh soal.

Contoh 2

Bangun segitiga simetris untuk segitiga yang diberikan di salah satu simpulnya.

Keputusan.

Mari kita diberikan segitiga $ABC$. Kami akan membangun simetrinya terhadap simpul $A$. Titik $A$ di bawah simetri pusat akan masuk ke dirinya sendiri (mengikuti definisi). Titik $B$ akan menuju titik $B_1$ sebagai berikut $(BA=AB)_1$, dan titik $C$ akan menuju titik $C_1$ sebagai berikut: $(CA=AC)_1$. Segitiga $ABC$ masuk ke segitiga $(AB)_1C_1$ (Gbr. 5).

Gambar 5

Definisi 5

Suatu bangun simetris terhadap titik $O$ jika setiap titik simetris dari gambar ini terdapat pada gambar yang sama (Gbr. 6).

Gambar 6

Gambar $6$ menunjukkan jajaran genjang. Ini memiliki simetri pusat tentang titik perpotongan diagonal-diagonalnya.

Contoh tugas.

Contoh 3

Mari kita diberikan segmen $AB$. Bangun simetrinya terhadap garis $l$, yang tidak memotong segmen yang diberikan, dan terhadap titik $C$ yang terletak pada garis $l$.

Keputusan.

Mari kita gambarkan secara skematis kondisi masalah.

Gambar 7

Mari kita gambarkan terlebih dahulu simetri aksial terhadap garis lurus $l$. Karena simetri aksial adalah gerakan, maka dengan Teorema $1$, segmen $AB$ akan dipetakan ke segmen $A"B"$ yang sama dengannya. Untuk menyusunnya, kita lakukan hal berikut: melalui titik $A\ dan\ B$, tarik garis $m\ dan\ n$, tegak lurus dengan garis $l$. Misal $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. Selanjutnya, gambar segmen $A"X=AX$ dan $B"Y=BY$.

Angka 8

Sekarang mari kita gambarkan simetri pusat terhadap titik $C$. Karena simetri pusat adalah gerak, maka dengan Teorema $1$, segmen $AB$ akan dipetakan ke segmen $A""B""$ yang sama dengannya. Untuk membangunnya, kita akan melakukan hal berikut: menggambar garis $AC\ dan\ BC$. Selanjutnya, gambar segmen $A^("")C=AC$ dan $B^("")C=BC$.

Gambar 9

Konsep materi sebagai dasar yang tidak dapat dihancurkan dan tidak dapat diciptakan dari semua yang ada dibentuk kembali pada zaman kuno. Di sisi lain, pengamatan perubahan konstan di alam mengarah pada gagasan tentang gerakan materi yang terus-menerus sebagai properti terpentingnya. Gagasan "pelestarian" muncul dalam sains sebagai dugaan filosofis murni tentang keberadaan sesuatu yang stabil di dunia yang terus berubah. Kesatuan perubahan dan pelestarian menemukan ekspresi dalam konsep "simetri". Simetri - invarian (kekekalan) dari suatu objek sehubungan dengan transformasi yang dikenakan padanya. Transformasi yang menghasilkan benda simetris disebut simetris. Tingkat simetri ditentukan oleh jumlah (spektrum) kemungkinan transformasi simetris. Semakin homogen, semakin seimbang sistemnya, mis. semakin proporsional dengan bagiannya, semakin besar jumlah kemungkinan transformasi simetris untuknya, yaitu. semakin simetris. Oleh karena itu, konsep simetri dikaitkan dengan keseimbangan dan proporsionalitas bagian-bagian sistem. Simetri sistem fisik memanifestasikan dirinya dalam keberadaan hukum kekekalan. Pada awalnya, hukum kekekalan, seperti prinsip relativitas, ditetapkan secara empiris, dengan menggeneralisasi sejumlah besar fakta eksperimental. Jauh kemudian muncul pemahaman tentang hubungan mendalam antara hukum-hukum ini dan sifat-sifat simetri sistem fisik, yang memungkinkan untuk memahami universalitasnya. Dalam hal ini, simetri dipahami sebagai invarian hukum, jumlah yang termasuk di dalamnya, dan sifat-sifat benda alam yang dijelaskan olehnya sehubungan dengan kelompok transformasi tertentu dalam transisi dari satu kerangka acuan ke kerangka acuan lainnya. Misalnya, dalam teori relativitas khusus, untuk semua kerangka acuan inersia yang bergerak dengan kecepatan berbeda, kecepatan cahaya dalam ruang hampa, muatan listrik, dan hukum alam adalah invarian.

Kehadiran simetri mengarah pada fakta bahwa untuk sistem tertentu ada kuantitas yang kekal. Jadi, jika sifat-sifat simetri suatu sistem diketahui, dimungkinkan untuk menentukan hukum kekekalan untuk itu dan sebaliknya.

Hubungan antara simetri ruang-waktu dan hukum dasar kekekalan dibangun pada awal abad ke-20. E. Noether (1882 - 1935). Ruang dan waktu adalah homogen dan, oleh karena itu, simetris sehubungan dengan pergeseran asal yang sewenang-wenang. Isotropi ruang membuatnya simetris terhadap rotasi sumbu koordinat.

Simetri alam yang paling penting terungkap dalam teori relativistik: semua fenomena alam tidak berubah di bawah pergeseran, rotasi, dan pantulan dalam satu ruang-waktu empat dimensi. Simetri ini secara inheren "global", meliputi seluruh ruang-waktu. Hukum konservasi karena simetri global adalah hukum alam yang paling mendasar. Ini termasuk:

hukum kekekalan momentum, terhubung dengan keseragaman ruang;

hukum kekekalan momentum sudut, terhubung dengan isotropi ruang;

hukum kekekalan energi, terhubung dengan keseragaman waktu.

Jadi, setiap transformasi simetri ruang-waktu global sesuai dengan hukum kekekalan nilai tertentu. Hukum-hukum ini dipenuhi untuk sistem tertutup, tubuh yang berinteraksi satu sama lain, dan pengaruh eksternal dikompensasi.

Dalam fisika klasik, banyak besaran (seperti momentum, energi, dan momentum sudut) yang kekal. Teorema kekekalan untuk besaran yang sesuai juga ada dalam mekanika kuantum. Hal yang paling indah tentang mekanika kuantum adalah bahwa, dalam arti tertentu, teorema konservasi dapat disimpulkan dari sesuatu yang lain; dalam mekanika klasik, bagaimanapun, mereka sendiri secara praktis merupakan titik awal untuk hukum-hukum lain. (Namun, dalam mekanika klasik dimungkinkan untuk bertindak dengan cara yang sama seperti dalam mekanika kuantum, tetapi ini hanya mungkin pada tingkat yang sangat tinggi.) Namun, dalam mekanika kuantum, hukum kekekalan sangat erat kaitannya dengan prinsip superposisi. amplitudo dan simetri sistem fisik sehubungan dengan berbagai perubahan. Ini adalah topik kuliah ini. Meskipun kita akan menerapkan ide-ide ini terutama pada kekekalan momentum sudut, penting di sini bahwa semua teorema tentang kekekalan kuantitas apa pun selalu terhubung - dalam mekanika kuantum - dengan simetri sistem.

Oleh karena itu, mari kita mulai dengan mempelajari pertanyaan tentang simetri sistem. Contoh yang sangat sederhana diberikan oleh ion hidrogen molekuler (namun, molekul amonia akan sama-sama cocok), yang masing-masing memiliki dua keadaan. Untuk ion hidrogen molekuler, untuk satu keadaan basa, kita ambil keadaan seperti itu ketika elektron terletak di dekat proton No. 1, dan untuk keadaan basa lainnya, keadaan di mana elektron berada di dekat proton No. 2. Kedua keadaan ini (kami menyebutnya dan ) kami tunjukkan lagi pada Gambar. 15.1, a. Jadi, karena kedua inti persis sama, ada simetri tertentu dalam sistem fisik ini. Dengan kata lain, jika kita harus memantulkan sistem pada bidang yang ditempatkan di tengah-tengah antara dua proton (artinya, jika segala sesuatu di satu sisi bidang bergerak secara simetris ke sisi lain), maka gambar yang disajikan pada Gambar. 15.1b. Dan karena protonnya identik, operasi refleksi diterjemahkan menjadi , dan menjadi . Mari kita tunjukkan operasi refleksi ini dan tulis

. (15.1)

Jadi milik kita adalah operator, dalam arti "melakukan sesuatu" dengan negara sehingga keluar negara baru. Yang menarik di sini adalah bahwa, bertindak pada keadaan apa pun, menciptakan keadaan lain dari sistem.

Ara. 15.1. Jika negara bagian dan tercermin dalam pesawat , mereka pergi ke negara bagian dan , Masing-masing.

adalah elemen matriks yang diperoleh jika dan dikalikan di sebelah kiri . Menurut persamaan (15.1), mereka adalah sama

(15.2)

Dengan cara yang sama, Anda bisa mendapatkan dan , dan . Matriks terhadap sistem dasar adalah

Kita kembali melihat bahwa kata operator dan matriks dalam mekanika kuantum praktis dapat dipertukarkan. Tentu saja ada sedikit perbedaan teknis, seperti antara kata "angka" dan "angka", tetapi kami tidak terlalu bertele-tele untuk mempermasalahkan hal ini. Jadi kita akan memanggil salah satu operator atau matriks, terlepas dari apakah itu mendefinisikan operasi atau benar-benar digunakan untuk mendapatkan matriks numerik.

Sekarang kami ingin menarik perhatian Anda pada sesuatu. Mari kita asumsikan bahwa fisika seluruh sistem ion hidrogen molekuler itu sendiri simetris. Ini mungkin tidak - itu tergantung, misalnya, pada apa yang ada di sebelahnya. Tetapi jika sistemnya simetris, maka gagasan berikut harus benar. Misalkan pada awalnya, pada , sistem dalam keadaan , dan setelah jangka waktu tertentu kita menemukan bahwa sistem berada dalam posisi yang lebih kompleks - dalam beberapa kombinasi linier dari kedua keadaan dasar. Ingatlah bahwa dalam ch. 6 (Masalah 8), kami biasa merepresentasikan "evolusi dalam waktu" dengan mengalikannya dengan operator . Ini berarti bahwa sistem dalam beberapa saat (katakanlah, untuk kepastian, dalam 15 detik) akan berada dalam keadaan lain. Sebagai contoh, state on ini dapat terdiri dari state dan on state , dan kita akan menulis

Sekarang kita bertanya: apa yang terjadi jika kita pertama kali memulai sistem dalam keadaan simetris dan menunggu 15 detik dalam kondisi yang sama? Jelas bahwa jika dunia simetris (yang kita asumsikan), maka kita pasti akan mendapatkan keadaan simetris dengan (15.4):

Ide yang sama digambarkan secara skematis pada Gambar. 15.2. Jadi, jika fisika sistem simetris terhadap beberapa bidang dan kita telah menghitung perilaku satu atau lain keadaan, maka kita juga mengetahui perilaku keadaan yang akan dihasilkan setelah refleksi keadaan awal di bidang simetri.

Ara. 15.2. Jika dalam sistem simetris keadaan murni berkembang dalam waktu seperti yang ditunjukkan pada bagian (a), maka keadaan murni akan berkembang dalam waktu seperti yang ditunjukkan pada bagian (b).

Hal yang sama dapat dikatakan sedikit lebih umum, yaitu sedikit lebih abstrak. Biarkan - salah satu dari banyak operasi yang dapat Anda lakukan pada sistem tanpa mengubah fisika. Sebagai contoh, kita dapat mengambil operasi pemantulan pada bidang yang terletak di tengah antara dua atom dari molekul hidrogen. Atau dalam sistem dengan dua elektron satu bisa berarti operasi pertukaran dua elektron. Kemungkinan ketiga adalah, dalam sistem simetris bola, operasi memutar seluruh sistem dengan sudut terbatas pada beberapa sumbu; ini tidak mengubah fisika. Tentu saja, dalam setiap kasus individu, kami akan menunjuk dengan cara kami sendiri. Secara khusus, melalui kami biasanya akan menunjukkan operasi "memutar sistem di sekitar sumbu dengan sudut". Yang kami maksudkan hanyalah salah satu operator bernama atau operator lain yang membuat keseluruhan situasi fisik tidak berubah. Kami akan memanggil operator operator simetri untuk sistem.

Berikut adalah beberapa contoh operator simetri lainnya. Jika kita memiliki atom, dan tidak ada medan magnet atau medan listrik eksternal, maka setelah memutar sistem koordinat di sekitar sumbu apa pun, sistem fisik tetap sama. Sekali lagi, molekul amonia adalah simetris terhadap refleksi pada bidang yang sejajar dengan bidang di mana tiga atom hidrogen berada (selama tidak ada medan listrik). Jika ada medan listrik, maka medan tersebut juga harus dibalik selama refleksi, dan ini mengubah seluruh masalah fisik. Tetapi selama tidak ada medan luar, molekul itu simetris.

Sekarang pertimbangkan kasus umum. Misalkan kita mulai dengan keadaan , dan setelah beberapa waktu atau di bawah pengaruh kondisi fisik lainnya, itu berubah menjadi keadaan . Mari menulis

[Lihat rumus (15.4).] Sekarang bayangkan kita beroperasi di seluruh sistem. Negara akan diubah menjadi negara, yang juga ditulis sebagai . Dan negara menjadi. Dan sekarang, jika fisika relatif simetris (jangan lupakan ini, jika ini sama sekali bukan sifat umum sistem), maka, setelah menunggu waktu yang sama di bawah kondisi yang sama, kita harus mendapatkan

[Seperti pada (45.5).] Tetapi seseorang dapat menulis alih-alih , dan sebagai gantinya menulis , jadi (15.7) ditulis ulang dalam bentuk, berlaku untuk matriks dan .]

By the way, karena untuk waktu yang sangat kecil yang kita miliki , di mana Hamiltonian biasa [lihat. bagian 6 (edisi 8)], mudah untuk melihat bahwa ketika (15.10) terpenuhi, maka

Jadi (15.11) adalah formulasi matematis dari kondisi simetri situasi fisik terhadap operator . Ini mendefinisikan simetri.

Sistem arus listrik multi-fase simetris (asimetris) menurut GOST R 52002-2003

Di mana mereka sama (tidak sama) dalam amplitudo dan (atau) bergeser relatif satu sama lain dalam sudut yang sama (tidak sama). Catatan:

1. Dalam sistem arus listrik multi-fase simetris, pergeseran arus listrik relatif satu sama lain dalam fase adalah sudut yang sama dengan 2 p / m, di mana m - jumlah fase.
2. Demikian pula, sistem multi-fase simetris (asimetris) didefinisikan, dll.

[dari klausa 162 GOST R 52002-2003]

Sistem urutan negatif simetris (arus) menurut GOST R 52002-2003

Urutannya dibalik ke yang utama. Catatan:

1. Dengan urutan fase yang terbalik, fase bergeser dari masing-masing fase dari sistem multi-fase simetris arus listrik relatif terhadap fase yang diambil sebagai yang pertama berkurang atau bertambah dengan jumlah yang sama sama dengan 2 p (1-k ) / m, di mana m - jumlah fase; k = 1, 2, ..., m - nomor fase.
2. Sistem simetris dari urutan terbalik didefinisikan sama, dan seterusnya.

[dari klausa 165 GOST R 52002-2003]

Sistem urutan positif simetris (arus) menurut GOST R 52002-2003

Urutan yang diambil sebagai yang utama. Catatan:

1. Dengan urutan fase utama, fase bergeser dari masing-masing fase dari sistem multi-fase simetris dari arus listrik relatif terhadap fase yang diambil sebagai kenaikan atau penurunan pertama dengan jumlah yang sama sama dengan 2 p (1-k) / m, dimana m - jumlah fase; k = 1, 2, ..., m - nomor fase.
2. Sistem urutan positif simetris didefinisikan sama, dan seterusnya.

[dari klausul 164 GOST R 52002-2003]

Komponen simetris (sistem fase asimetris arus listrik) menurut GOST R 52002-2003

Urutan fase-m simetris di mana sistem arus listrik fase-m asimetris ini dapat diuraikan, yaitu, urutan dengan indeks n=0, 1, ..., m-1, pergeseran fase yang masing-masing relatif terhadap fase pertama adalah 2 p ( 1-k)n/m, di mana k = 1, 2, ... , m - nomor fase. Catatan:

1. Untuk penunjukan fase A, B dan C, nilai k=1, 2 dan 3 sesuai, dan nama urutan sebagai nol, langsung dan terbalik sesuai dengan nilai n = 0, 1 dan 2.
2. Demikian pula, komponen simetris dari sistem fase-m asimetris ditentukan, dll.

[dari klausul 166 GOST R 52002-2003]