Membiarkan dua vektor dan diberikan dalam ruang. Sisihkan dari titik yang sewenang-wenang HAI vektor dan . sudut antara vektor dan disebut sudut terkecil. Dilambangkan .

Perhatikan sumbu aku dan plot vektor satuan di atasnya (yaitu, vektor yang panjangnya sama dengan satu).

Sudut antara vektor dan sumbu aku memahami sudut antara vektor dan .

Jadi mari aku adalah beberapa sumbu dan merupakan vektor.

Dilambangkan dengan 1 dan B1 proyeksi pada sumbu aku poin A dan B. Mari kita berpura-pura itu 1 memiliki koordinat x 1, sebuah B1- koordinat x2 pada poros aku.

Kemudian proyeksi vektor per sumbu aku disebut perbedaan x 1 – x2 antara koordinat proyeksi akhir dan awal vektor ke sumbu ini.

Proyeksi vektor ke sumbu aku kami akan menunjukkan .

Jelas bahwa jika sudut antara vektor dan sumbu aku tajam kemudian x2> x 1, dan proyeksi x2 – x 1> 0; jika sudut ini tumpul, maka x2< x 1 dan proyeksi x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси aku, kemudian x2= x 1 dan x2– x 1=0.

Jadi, proyeksi vektor ke sumbu aku adalah panjang segmen A 1 B 1 diambil dengan tanda tertentu. Oleh karena itu, proyeksi vektor ke sumbu adalah angka atau skalar.

Proyeksi satu vektor ke vektor lain didefinisikan dengan cara yang sama. Dalam hal ini, proyeksi ujung vektor ini ditemukan pada garis di mana vektor ke-2 terletak.

Mari kita lihat beberapa yang utama properti proyeksi.

SISTEM VEKTOR BERGANTUNG LINIER DAN INDEPENDEN LINIER

Mari kita pertimbangkan beberapa vektor.

Kombinasi linear dari vektor-vektor ini adalah vektor apa pun dalam bentuk , di mana ada beberapa angka. Bilangan-bilangan tersebut disebut koefisien kombinasi linier. Juga dikatakan bahwa dalam hal ini dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor-vektor yang diberikan , yaitu . diperoleh dari mereka dengan operasi linier.

Misalnya, jika tiga vektor diberikan, maka vektor dapat dianggap sebagai kombinasi liniernya:

Jika suatu vektor direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari beberapa vektor, maka vektor tersebut dikatakan sebagai terurai sepanjang vektor-vektor ini.

Vektor tersebut disebut bergantung linier, jika ada angka seperti itu, tidak semuanya sama dengan nol, itu . Jelas bahwa vektor-vektor yang diberikan akan bergantung secara linier jika salah satu dari vektor-vektor ini dinyatakan secara linier dalam bentuk yang lain.

Jika tidak, yaitu ketika rasio dilakukan hanya bila , vektor-vektor ini disebut bebas linier.

Teorema 1. Setiap dua vektor bergantung linier jika dan hanya jika keduanya kolinear.

Bukti:

Teorema berikut dapat dibuktikan dengan cara yang sama.

Teorema 2. Tiga vektor bergantung linier jika dan hanya jika vektor tersebut koplanar.

Bukti.

DASAR

Dasar adalah kumpulan vektor-vektor bebas linier tak nol. Unsur-unsur basis dilambangkan dengan .

Pada subbab sebelumnya, kita melihat bahwa dua buah vektor non-kolinier pada bidang bebas linier. Oleh karena itu, menurut Teorema 1 dari paragraf sebelumnya, basis pada bidang adalah dua vektor non-kolinier pada bidang ini.

Demikian pula, setiap tiga vektor non-coplanar bebas linier dalam ruang. Oleh karena itu, tiga vektor non-coplanar disebut basis dalam ruang.

Pernyataan berikut ini benar.

Dalil. Biarkan dasar diberikan dalam ruang. Maka vektor apa pun dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier , di mana x, kamu, z- beberapa nomor. Dekomposisi seperti itu unik.

Bukti.

Dengan demikian, basis memungkinkan Anda untuk secara unik mengaitkan setiap vektor dengan tiga kali lipat angka - koefisien ekspansi vektor ini dalam hal vektor basis: . Kebalikannya juga benar, setiap rangkap tiga angka x, y, z menggunakan basis, Anda dapat mencocokkan vektor jika Anda membuat kombinasi linier .

Jika dasar dan , maka bilangan x, y, z ditelepon koordinat vektor dalam basis yang diberikan. Koordinat vektor menunjukkan .

SISTEM KOORDINASI CARTESIAN

Biarkan titik diberikan dalam ruang HAI dan tiga vektor non-coplanar.

Sistem koordinasi cartesian dalam ruang (pada bidang) disebut himpunan titik dan basis, yaitu himpunan titik dan tiga vektor non-coplanar (2 vektor non-collinear) keluar dari titik ini.

Dot HAI disebut asal; garis lurus yang melewati titik asal ke arah vektor basis disebut sumbu koordinat - sumbu absis, ordinat dan aplikasi. Bidang yang melalui sumbu koordinat disebut bidang koordinat.

Pertimbangkan titik sewenang-wenang dalam sistem koordinat yang dipilih M. Mari kita perkenalkan konsep koordinat titik M. Vektor yang menghubungkan titik asal ke titik M. ditelepon vektor radius poin M.

Vektor dalam basis yang dipilih dapat dikaitkan dengan tiga kali lipat angka - koordinatnya: .

Titik koordinat vektor radius M. ditelepon koordinat titik M. dalam sistem koordinat yang dipertimbangkan. M(x,y,z). Koordinat pertama disebut absis, yang kedua adalah ordinat, dan yang ketiga adalah aplikasi.

Koordinat Cartesian pada bidang didefinisikan dengan cara yang sama. Di sini titik hanya memiliki dua koordinat - absis dan ordinat.

Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk sistem koordinat yang diberikan, setiap titik memiliki koordinat tertentu. Di sisi lain, untuk setiap triplet angka, ada satu titik yang memiliki angka-angka ini sebagai koordinat.

Jika vektor-vektor yang dijadikan basis dalam sistem koordinat yang dipilih memiliki panjang satuan dan tegak lurus berpasangan, maka sistem koordinat tersebut disebut persegi panjang kartesius.

Sangat mudah untuk menunjukkan itu.

Kosinus arah dari sebuah vektor sepenuhnya menentukan arahnya, tetapi tidak mengatakan apa-apa tentang panjangnya.

Pendahuluan………………………………………………………………………………3

1. Nilai vektor dan skalar……………………………………………….4

2. Pengertian proyeksi, sumbu dan koordinat suatu titik………………………5

3. Proyeksi vektor ke sumbu………………………………………………...6

4. Rumus dasar aljabar vektor……………………………..8

5. Perhitungan modul vektor dari proyeksinya………………………9

Kesimpulan…………………………………………………………………….11

Sastra………………………………………………………………………...12

Pengantar:

Fisika erat kaitannya dengan matematika. Matematika memberikan fisika sarana dan teknik ekspresi umum dan tepat dari hubungan antara kuantitas fisik yang ditemukan sebagai hasil percobaan atau penelitian teoritis Bagaimanapun, metode utama penelitian dalam fisika adalah eksperimental. Ini berarti bahwa ilmuwan mengungkapkan perhitungan dengan bantuan pengukuran. Menunjukkan hubungan antara besaran-besaran fisika yang berbeda. Kemudian, semuanya diterjemahkan ke dalam bahasa matematika. Sebuah model matematika sedang dibentuk. Fisika adalah ilmu yang mempelajari hukum yang paling sederhana dan sekaligus paling umum. Tugas fisika adalah menciptakan dalam pikiran kita gambaran seperti dunia fisik yang paling sepenuhnya mencerminkan sifat-sifatnya dan memberikan hubungan semacam itu antara elemen-elemen model yang ada di antara elemen-elemen tersebut.

Jadi, fisika menciptakan model dunia di sekitar kita dan mempelajari sifat-sifatnya. Tapi model apapun terbatas. Saat membuat model fenomena tertentu, hanya properti dan koneksi yang penting untuk rentang fenomena tertentu yang diperhitungkan. Ini adalah seni seorang ilmuwan - dari semua variasi untuk memilih hal utama.

Model fisik adalah matematika, tetapi matematika bukanlah dasarnya. Hubungan kuantitatif antara kuantitas fisik diklarifikasi sebagai hasil pengukuran, pengamatan dan studi eksperimental dan hanya dinyatakan dalam bahasa matematika. Namun, tidak ada bahasa lain untuk membangun teori fisika.

1. Nilai vektor dan skalar.

Dalam fisika dan matematika, vektor adalah besaran yang dicirikan oleh nilai numerik dan arahnya. Dalam fisika banyak sekali besaran-besaran penting yang bersifat vektor, seperti gaya, posisi, kecepatan, percepatan, torsi, momentum, medan listrik dan magnet. Mereka dapat dikontraskan dengan besaran lain, seperti massa, volume, tekanan, suhu dan kerapatan, yang dapat digambarkan dengan bilangan biasa, dan mereka disebut " skalar" .

Mereka ditulis baik dalam huruf dengan font biasa, atau dalam angka (a, b, t, G, 5, -7 ....). Skalar bisa positif atau negatif. Pada saat yang sama, beberapa objek studi mungkin memiliki sifat-sifat seperti itu, untuk deskripsi lengkap yang pengetahuannya hanya tentang ukuran numerik tidak mencukupi, sifat-sifat ini juga perlu dicirikan dengan arah dalam ruang. Sifat-sifat tersebut dicirikan oleh besaran vektor (vektor). Vektor, tidak seperti skalar, dilambangkan dengan huruf tebal: a, b, g, F, C ....
Seringkali, vektor dilambangkan dengan huruf biasa (tidak tebal), tetapi dengan panah di atasnya:

Selain itu, vektor sering dilambangkan dengan sepasang huruf (biasanya dalam huruf kapital), dengan huruf pertama menunjukkan awal vektor, dan huruf kedua menunjukkan akhir.

Modul vektor, yaitu, panjang segmen garis lurus berarah, dilambangkan dengan huruf yang sama dengan vektor itu sendiri, tetapi dalam penulisan biasa (tidak tebal) dan tanpa panah di atasnya, atau seperti vektor (yaitu, dalam huruf tebal atau biasa, tetapi dengan panah), tetapi kemudian penunjukan vektor diapit oleh tanda hubung vertikal.
Vektor adalah objek kompleks yang dicirikan oleh besar dan arah pada saat yang bersamaan.

Juga tidak ada vektor positif dan negatif. Tapi vektor bisa sama satu sama lain. Ini adalah ketika, misalnya, a dan b memiliki modul yang sama dan diarahkan ke arah yang sama. Dalam hal ini, catatan sebuah= b. Juga harus diingat bahwa simbol vektor dapat didahului dengan tanda minus, misalnya -c, tetapi tanda ini secara simbolis menunjukkan bahwa vektor -c memiliki modulus yang sama dengan vektor c, tetapi diarahkan ke berlawanan arah.

Vektor -c disebut kebalikan (atau invers) dari vektor c.
Namun, dalam fisika, setiap vektor diisi dengan konten tertentu, dan ketika membandingkan vektor dari jenis yang sama (misalnya, gaya), poin penerapannya juga dapat menjadi sangat penting.

2. Penentuan proyeksi, sumbu dan koordinat titik.

Sumbu adalah garis lurus yang diberi arah.
Sumbu ditunjukkan oleh huruf apa saja: X, Y, Z, s, t ... Biasanya, sebuah titik (secara sewenang-wenang) dipilih pada sumbu, yang disebut titik asal dan, sebagai aturan, ditunjukkan oleh huruf O Jarak ke tempat menarik lainnya diukur dari titik ini.

proyeksi titik pada sumbu disebut alas tegak lurus yang dijatuhkan dari titik ini ke sumbu yang diberikan. Artinya, proyeksi suatu titik ke sumbu adalah titik.

koordinat titik pada sumbu tertentu disebut angka yang nilai absolutnya sama dengan panjang segmen sumbu (dalam skala yang dipilih) yang tertutup antara awal sumbu dan proyeksi titik ke sumbu ini. Angka ini diambil dengan tanda plus jika proyeksi titik terletak pada arah sumbu dari awalnya dan dengan tanda minus jika berlawanan arah.

3. Proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu.

Proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu adalah suatu vektor yang diperoleh dengan mengalikan proyeksi skalar suatu vektor pada sumbu tersebut dan vektor satuan dari sumbu tersebut. Misalnya, jika a x adalah proyeksi skalar dari vektor a ke sumbu X, maka a x i adalah proyeksi vektornya ke sumbu ini.

Mari kita nyatakan proyeksi vektor dengan cara yang sama seperti vektor itu sendiri, tetapi dengan indeks sumbu di mana vektor diproyeksikan. Jadi, proyeksi vektor dari vektor a pada sumbu X dilambangkan dengan x (huruf tebal yang menunjukkan vektor dan subskrip nama sumbu) atau

(huruf tidak tebal yang menunjukkan vektor, tetapi dengan panah di bagian atas (!) dan subskrip dari nama sumbu).

Proyeksi skalar vektor per sumbu disebut nomor, nilai absolutnya sama dengan panjang segmen sumbu (dalam skala yang dipilih) yang tertutup antara proyeksi titik awal dan titik akhir vektor. Biasanya alih-alih ekspresi proyeksi skalar katakan saja - proyeksi. Proyeksi dilambangkan dengan huruf yang sama dengan vektor yang diproyeksikan (dalam penulisan normal, tidak dicetak tebal), dengan subskrip (biasanya) nama sumbu di mana vektor ini diproyeksikan. Misalnya, jika sebuah vektor diproyeksikan ke sumbu x sebuah, maka proyeksinya dilambangkan dengan x . Saat memproyeksikan vektor yang sama ke sumbu lain, jika sumbunya adalah Y , proyeksinya akan dilambangkan sebagai y .

Untuk menghitung proyeksi vektor pada suatu sumbu (misalnya sumbu X) perlu dikurangi koordinat titik awal dari koordinat titik akhirnya, yaitu

dan x \u003d x k - x n.

Proyeksi vektor ke sumbu adalah angka. Selain itu, proyeksi dapat positif jika nilai x k lebih besar dari nilai x n,

negatif jika nilai x k lebih kecil dari nilai x n

dan sama dengan nol jika x k sama dengan x n.

Proyeksi vektor ke sumbu juga dapat ditemukan dengan mengetahui modulus vektor dan sudut yang dibuatnya dengan sumbu itu.

Terlihat dari gambar bahwa a x = a Cos

Artinya, proyeksi vektor ke sumbu sama dengan produk modulus vektor dan kosinus sudut antara arah sumbu dan arah vektor. Jika sudutnya lancip, maka
Cos > 0 dan a x > 0, dan jika tumpul, maka cosinus sudut tumpul adalah negatif, dan proyeksi vektor ke sumbu juga negatif.

Sudut yang dihitung dari sumbu berlawanan arah jarum jam dianggap positif, dan dalam arah - negatif. Namun, karena kosinus adalah fungsi genap, yaitu, Cos = Cos (− ), saat menghitung proyeksi, sudut dapat dihitung baik searah jarum jam maupun berlawanan arah jarum jam.

Untuk mencari proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu, modul vektor ini harus dikalikan dengan kosinus sudut antara arah sumbu dan arah vektor.

4. Rumus dasar aljabar vektor.

Kami memproyeksikan vektor a pada sumbu X dan Y dari sistem koordinat persegi panjang. Temukan proyeksi vektor dari vektor a pada sumbu berikut:

dan x = a x i, dan y = a y j.

Tetapi menurut aturan penjumlahan vektor

a \u003d a x + a y.

a = a x i + a y j.

Jadi, kita telah menyatakan sebuah vektor dalam bentuk proyeksinya dan ort dari sistem koordinat persegi panjang (atau dalam bentuk proyeksi vektornya).

Proyeksi vektor a x dan a y disebut komponen atau komponen dari vektor a. Operasi yang telah kita lakukan disebut dekomposisi vektor sepanjang sumbu sistem koordinat persegi panjang.

Jika vektor diberikan dalam ruang, maka

a = a x i + a y j + a z k.

Rumus ini disebut rumus dasar aljabar vektor. Tentu saja, itu juga bisa ditulis seperti ini.

dan pada suatu sumbu atau vektor lainnya, terdapat konsep proyeksi geometris dan proyeksi numerik (atau aljabar). Hasil proyeksi geometri adalah vektor, dan hasil proyeksi aljabar adalah bilangan real non-negatif. Tetapi sebelum beralih ke konsep-konsep ini, mari kita mengingat kembali informasi yang diperlukan.

Informasi awal

Konsep utamanya adalah langsung konsep vektor. Untuk memperkenalkan definisi vektor geometris, mari kita ingat apa itu segmen. Kami memperkenalkan definisi berikut.

Definisi 1

Ruas adalah bagian dari garis lurus yang memiliki dua batas berupa titik.

Segmen dapat memiliki 2 arah. Untuk menunjukkan arah, kami akan menyebut salah satu batas segmen sebagai awalnya, dan batas lainnya - ujungnya. Arahnya ditunjukkan dari awal hingga akhir segmen.

Definisi 2

Vektor atau segmen berarah adalah segmen yang diketahui batas segmen mana yang dianggap awal dan mana yang menjadi ujungnya.

Notasi: Dua huruf: $\overline(AB)$ – (dengan $A$ adalah awal dan $B$ adalah akhir).

Dalam satu huruf kecil: $\overline(a)$ (Gambar 1).

Mari kita perkenalkan beberapa konsep lagi yang berkaitan dengan konsep vektor.

Definisi 3

Dua vektor tak-nol akan disebut collinear jika mereka terletak pada garis yang sama atau pada garis yang sejajar satu sama lain (Gbr. 2).

Definisi 4

Dua vektor bukan nol akan disebut codirectional jika memenuhi dua kondisi:

1. Vektor-vektor ini kolinear.
2. Jika mereka diarahkan ke satu arah (Gbr. 3).

Penunjukan: $\overline(a)\overline(b)$

Definisi 5

Dua vektor bukan-nol akan disebut berlawanan arah jika memenuhi dua kondisi:

1. Vektor-vektor ini kolinear.
2. Jika mereka diarahkan ke arah yang berbeda (Gbr. 4).

Penunjukan: $\overline(a)↓\overline(d)$

Definisi 6

Panjang vektor $\overline(a)$ adalah panjang segmen $a$.

Notasi: $|\overline(a)|$

Mari kita beralih ke definisi persamaan dua vektor

Definisi 7

Dua vektor akan disebut sama jika memenuhi dua kondisi:

1. Mereka selaras;
2. Panjangnya sama (Gbr. 5).

proyeksi geometris

Seperti yang kami katakan sebelumnya, hasil proyeksi geometris akan menjadi vektor.

Definisi 8

Dengan proyeksi geometris vektor $\overline(AB)$ pada sumbu yang kami maksud adalah vektor seperti itu, yang diperoleh sebagai berikut: Titik awal vektor $A$ diproyeksikan ke sumbu yang diberikan. Kita mendapatkan titik $A"$ - awal dari vektor yang diinginkan. Titik akhir dari vektor $B$ diproyeksikan ke sumbu ini. Kita mendapatkan titik $B"$ - akhir dari vektor yang diinginkan. Vektor $\overline(A"B")$ akan menjadi vektor yang diinginkan.

Pertimbangkan masalahnya:

Contoh 1

Bangun proyeksi geometris $\overline(AB)$ ke sumbu $l$ yang ditunjukkan pada Gambar 6.

Gambarlah garis tegak lurus sumbu $l$ dari titik $A$, ambil titik $A"$ padanya. Selanjutnya gambar garis tegak lurus sumbu $l$ dari titik $B$, dapatkan titik $B" $ di atasnya (Gbr. 7).

1°.Untuk menentukan kuantitas vektor, selain nilai numerik, perlu diketahui arahnya. Contoh besaran tersebut adalah kecepatan dan percepatan, pergerakan suatu titik ketika suatu benda bergerak. Definisi.Vektor adalah segmen berarah, yaitu segmen di mana awal dan akhir dibedakan. Awal dari vektor disebut titik penerapannya; lurus aku, di mana vektor berada, disebut garis kerjanya. Definisi.Modulus suatu vektor adalah panjangnya. Modulus suatu vektor dilambangkan dengan simbol |A¯B| atau |a¯|.

Definisi.Proyeksi vektor ke suatu sumbu adalah skalar yang sama dengan modulus komponen vektor sepanjang sumbu ini, diambil dengan tanda plus jika arah komponen bertepatan dengan arah sumbu, dan dengan tanda minus jika arah ini berlawanan. Jika vektor tegak lurus terhadap sumbu, maka proyeksinya adalah nol.Properti proyeksi vektor ke sumbu:

1. Proyeksi vektor ke sumbu tidak berubah dari terjemahan paralel vektor. dll. l AB = pr l A 1 B 1

2. Aditif proyeksi. Proyeksi jumlah vektor pada beberapa sumbu sama dengan jumlah proyeksi vektor pada sumbu ini. pr l (a 1 + a 2 + a 3) = pr l a 1 + pr l a 2 + pr l a 3 3. homogenitas proyeksi. Faktor skalar dapat dihilangkan dari tanda proyeksi vektor ke sumbu 4. Vektor kanan pada sumbu sama. melecut. mod.vektor per kosinus sudut antara vektor dan sumbu pr l а‾ = /а‾/ * cos - jika sudut tajam - proyeksi positif

- jika sudut tumpul - proyeksi negatif

6. Konsep perkalian skalar dari vektor. Dengan besaran skalar didefinisikan oleh satu angka yang menyatakan rasio kuantitas ini dengan unit pengukuran. Contoh besaran tersebut adalah suhu, volume, massa Hasil kali skalar dari dua vektor disebut: skalar yang sama dengan produk modul vektor-vektor ini dan cos dari sudut di antara mereka. Contoh: temukan jika solusi:

Arti mekanis dari produk skalar: biarkan titik material bergerak dari titik B ke titik C dalam garis lurus di bawah aksi gaya - vektor perpindahan. Seperti yang Anda ketahui, pekerjaan A selesai.

Perpindahan skalar Jika titik material adalah variabel. lurus di bawah aksi beberapa gaya, maka produk skalar gaya dan vektor perpindahan \u003d pekerjaan yang dilakukan selama ini. Properti produk titik:

1) Komutatif (hukum perpindahan)

2) asosiatif (asosiatif) h.

3) Distributive (menyalurkan) h.

Rumus untuk menghitung koordinat faktor:Koordinat vektor a‾ adalah proyeksinya a x, a y, dan z pada sumbu koordinat. Hasil kali vektor dua buah vektor = hasil kali orde ketiga, dimana orts berada pada garis pertama, koordinat vektor pertama berada pada garis kedua, dan koordinat vektor kedua berada pada garis ketiga.

contoh:, keputusan:

Menjawab:

THEORMECH

1. Kekuatan, elemen grafostatika.

Ukuran interaksi mekanis benda, mis. interaksi yang mempengaruhi keadaan istirahat atau gerakan mereka ditandai dengan kekuatan. Kekuatan didefinisikan:

Jadi, gaya merupakan besaran vektor.

Sistem paksa kita akan menyebut himpunan gaya yang bekerja pada satu benda yang dipertimbangkan. Ada sistem kekuatan konvergen, paralel dan terletak secara sewenang-wenang.

Jika sistem gaya yang diberikan setara dengan satu gaya, maka gaya ini disebut yg dihasilkan sistem kekuatan ini.

Besaran yang sama dengan jumlah geometris gaya-gaya suatu sistem disebut vektor utama sistem kekuatan ini. jumlah geometris R Ch, (vektor utama) dari setiap sistem gaya ditentukan baik dengan penambahan berturut-turut gaya sistem menurut aturan jajaran genjang (atau segitiga) atau dengan membangun poligon gaya.

Sistem resultan gaya konvergen ditemukan langsung dengan menggunakan hukum jajaran genjang gaya. Masalah serupa dapat diselesaikan untuk sistem gaya arbitrer jika kita menemukan kemungkinan untuk mentransfer semua gaya ke satu titik. Kemungkinan seperti itu ada. Ayo pindahkan kekuatannya F dari titik A ke titik B.

Sistem yang dihasilkan dari tiga gaya adalah gaya F1 = F, tetapi diterapkan pada titik B, dan pasangan F , F 2 .(Sepasang gaya adalah sistem dua gaya yang sama dalam nilai absolut, paralel dan diarahkan dalam arah yang berlawanan, bekerja pada benda yang benar-benar kaku). Dengan demikian, sistem gaya yang ditempatkan secara sembarang, ketika direduksi menjadi pusat yang dipilih secara acak, setara dengan satu gaya R ch (vektor utama) yang diterapkan pada pusat reduksi, dan satu pasang M ch (momen utama).

Perhatikan bahwa gaya R ch bukan sistem gaya resultan, karena menggantikan sistem gaya tidak sendiri, tetapi bersama-sama dengan sepasang M ch .

Untuk keseimbangan sistem gaya apa pun, perlu dan cukup bahwa R ch=0 dan M ch =0.

2. Kerapuhan dan plastisitas kerapuhan- kemampuan material untuk runtuh pada tingkat yang dapat diabaikan. deformasi sisa. Plastik-cara untuk mendapatkan keseimbangan yang signifikan. Deformasi tanpa putus. Saat merancang struktur bangunan, perlu untuk menetapkan nilai kuantitas yang mencirikan kekuatan dan sifat deformasi material. Informasi terbesar tentang sifat mekanik logam dapat diperoleh dari uji tarik statis. Diagram tegangan direkam menggunakan perangkat khusus (yaitu grafik hubungan antara gaya tarik F dan contoh perpanjangan l) terlihat seperti:

Diagram pertama khas untuk bahan plastik (baja karbon rendah). Diagram memiliki sejumlah bagian karakteristik: OA - zona elastis, beban sebanding dengan deformasi;

AB - hingga titik B, tidak ada tanda-tanda deformasi plastis (sisa) yang ditemukan pada material;

CD - area fluiditas, deformasi tumbuh secara praktis tanpa menambah beban;

BD - zona hasil umum, di zona ini deformasi plastis berkembang secara signifikan.

DE - zona pengerasan, pada gaya maksimum (atau sedikit kurang) pada sampel, penyempitan terjadi di tempat terlemah - "leher";

EK - zona fluiditas lokal, deformasi terjadi di area "leher" hingga putus di titik K.

Diagram kedua adalah tipikal untuk bahan rapuh (besi cor). Diagram tidak memiliki bagian lurus awal yang jelas. Pecahnya spesimen yang terbuat dari logam rapuh terjadi pada perpanjangan yang sangat kecil dan tanpa pembentukan leher.

Diagram F = f(∆l) tergantung pada ukuran sampel, sehingga dibangun kembali dalam koordinat tegangan-regangan. Tegangan adalah gaya dalam per satuan luas pada titik tertentu dari penampang yang dipertimbangkan = F / A . Perubahan l dari panjang awal batang l disebut pemanjangan mutlak. Rasio perpanjangan mutlak dengan panjang asli ε = ∆ II disebut perpanjangan atau regangan relatif. Di bawah deformasi elastis, hubungan antara regangan dan tegangan adalah linier dan dijelaskan oleh hukum Hooke: σ = E* ε , dimana E adalah modulus elastisitas.

3. Derajat kebebasan sistem.

derajat kebebasan sistem menyebutkan jumlah terkecil parameter geometris (koordinat titik, sudut rotasi elemen sistem, panjangnya), yang dapat berubah secara independen ketika sistem bergerak relatif terhadap bumi.

L=3D-2W-3W-Cop-C co 6 cm in

W - derajat kebebasan sistem, D - jumlah disk,

W - jumlah engsel, W - jumlah hard drive, C op - jumlah batang pendukung, C sob - jumlah batang sistem itu sendiri.

W<0. Sistem ini dapat diubah secara geometris, itu tidak memiliki cukup tautan untuk memastikan kekekalan. Sistem seperti itu tidak digunakan dalam konstruksi. P > 0. Sistem memiliki apa yang disebut koneksi "ekstra", yang tidak diperlukan untuk memastikan kekekalan sistem, dan disebut statis tak tentu. W< 0. Sistem ini secara geometris tidak berubah-ubah.

Ketidakpastian statis dapat bersifat eksternal atau internal. Dalam kasus pertama, reaksi tumpuan, dan karenanya gaya-gaya dalam, tidak dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan statik saja. Dalam kasus kedua, reaksi tumpuan dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan statika, tetapi gaya dalam tidak bisa. W=0 . Sistem tidak memiliki koneksi tambahan, itu statis ditentukan dan mungkin tidak berubah. Untuk memutuskan kesesuaian menggunakan sistem seperti itu, perlu untuk melakukan analisis strukturalnya. Karena pengaturan koneksi yang salah, pembentukan apa yang disebut sistem yang dapat diubah "langsung" dimungkinkan, yang tidak dapat digunakan dalam konstruksi.

4. SSS (status tegangan-regangan)

Peregangan tengah (atau kompresi pusat) adalah jenis deformasi di mana hanya gaya longitudinal yang terjadi pada penampang balok. N (tarik atau tekan), dan semua gaya internal lainnya sama dengan nol.

Di bawah tegangan pusat (kompresi), hanya tegangan normal yang muncul di penampang =T/A Pemilihan bagian dilakukan sesuai dengan rumus

A=N/σ. Di bawah membengkokkan memahami jenis tegangan ini, di mana momen lentur terjadi pada penampang balok. Jika hanya momen lentur yang terjadi pada penampang balok, ini adalah kasus lentur murni, tetapi jika momen lentur dan gaya transversal terjadi, ini disebut lentur melintang.

Di semua titik penampang balok, normal σ dan tegangan tangensial , yang dapat ditentukan dengan rumus:

Diagram tegangan pada penampang balok berbentuk
Pemilihan bagian elemen bengkok dilakukan sesuai dengan nilai maksimum momen lentur L x mpe6- modulus bagian yang diperlukan. torsi jenis deformasi ini disebut, di mana hanya torsi Mcr yang terjadi pada penampang poros.

Keadaan tegangan adalah geser murni. Hanya tegangan tangensial yang timbul pada penampang.

Pemilihan bagian dilakukan sesuai dengan rumus: Tahanan kompleks berarti kombinasi dari keadaan tegangan sederhana (tarik, tekan, geser, puntiran dan tekukan.

membengkokkan disebut miring jika bidang aksi momen lentur tidak berimpit dengan salah satu bidang utamanya. Sebuah tikungan miring dapat dianggap sebagai kombinasi dari dua tikungan lurus di bidang yang saling tegak lurus. Dengan pembengkokan miring pada penampang balok, dalam kasus umum, 4 faktor gaya internal muncul: Q x , M x , Q y u M y .

Menjawab:

Properti proyeksi:

Properti proyeksi vektor

Properti 1.

Proyeksi jumlah dua vektor pada suatu sumbu sama dengan jumlah proyeksi vektor pada sumbu yang sama:

Properti ini memungkinkan Anda untuk mengganti proyeksi jumlah vektor dengan jumlah proyeksinya dan sebaliknya.

Properti 2. Jika sebuah vektor dikalikan dengan bilangan , maka proyeksinya ke sumbu juga dikalikan dengan bilangan ini:

Properti 3.

Proyeksi vektor ke sumbu l sama dengan produk modulus vektor dan kosinus sudut antara vektor dan sumbu:

sumbu orth. Penguraian vektor dalam bentuk vektor koordinat. Koordinat vektor. Koordinat Properti

Menjawab:

Hort dari kapak.

Sebuah sistem koordinat persegi panjang (dari dimensi apapun) juga dijelaskan oleh satu set vektor satuan sejajar dengan sumbu koordinat. Jumlah ort sama dengan dimensi sistem koordinat, dan semuanya tegak lurus satu sama lain.

Dalam kasus tiga dimensi, ort biasanya dilambangkan

AND Simbol dengan panah dan juga dapat digunakan.

Selain itu, dalam kasus sistem koordinat yang benar, rumus berikut dengan produk vektor dari vektor adalah valid:

Penguraian vektor dalam bentuk vektor koordinat.

Orth dari sumbu koordinat dilambangkan dengan , sumbu - oleh , sumbu - oleh (Gbr. 1)

Untuk setiap vektor yang terletak pada bidang, dekomposisi berikut terjadi:

Jika vektor terletak di luar angkasa, maka pemuaian dalam satuan vektor sumbu koordinat berbentuk:

Koordinat vektor:

Untuk menghitung koordinat vektor, mengetahui koordinat (x1; y1) dari awal A dan koordinat (x2; y2) dari ujung B, Anda perlu mengurangi koordinat awal dari koordinat akhir: (x2 - x1; y2 - y1).

Sifat koordinat.

Pertimbangkan garis koordinat dengan titik asal di titik O dan vektor satuan i. Maka untuk sembarang vektor a pada garis ini: a = axi.

Bilangan ax disebut koordinat vektor a pada sumbu koordinat.

Properti 1. Saat menambahkan vektor pada sumbu, koordinatnya ditambahkan.

Properti 2. Ketika sebuah vektor dikalikan dengan suatu bilangan, koordinatnya dikalikan dengan bilangan tersebut.

Produk skalar dari vektor. Properti.

Menjawab:

Hasil kali skalar dua vektor bukan nol adalah bilangan,

sama dengan produk dari vektor-vektor ini dengan kosinus sudut di antara mereka.

Properti:

1. Perkalian skalar memiliki sifat komutatif: ab=ba

Produk skalar dari vektor koordinat. Penentuan produk skalar vektor yang diberikan oleh koordinat mereka.

Menjawab:

Produk titik (×) ort

(X)	Saya	J	K
Saya
J
K

Penentuan produk skalar vektor yang diberikan oleh koordinat mereka.

Produk skalar dari dua vektor dan diberikan oleh koordinatnya dapat dihitung dengan rumus

Produk vektor dari dua vektor. Sifat produk vektor.

Menjawab:

Tiga vektor non-coplanar membentuk triple kanan jika, dari ujung vektor ketiga, rotasi dari vektor pertama ke vektor kedua berlawanan arah jarum jam. Jika searah jarum jam - lalu ke kiri., jika tidak, maka sebaliknya ( tunjukkan bagaimana dia menunjukkan dengan "pegangan")

Perkalian silang dari sebuah vektor sebuah per vektor b disebut vektor dengan yang:

1. Tegak lurus terhadap vektor sebuah dan b

2. Memiliki panjang yang secara numerik sama dengan luas jajaran genjang yang terbentuk pada sebuah dan b vektor

3. Vektor, a, b, dan c bentuk segitiga siku-siku dari vektor

Properti:

1.

3.

4.

Produk vektor dari vektor koordinat. Penentuan produk vektor dari vektor yang diberikan oleh koordinat mereka.

Menjawab:

Produk vektor dari vektor koordinat.

Penentuan produk vektor dari vektor yang diberikan oleh koordinat mereka.

Misalkan vektor a = (x1; y1; z1) dan b = (x2; y2; z2) diberikan oleh koordinatnya dalam sistem koordinat Kartesius persegi panjang O, i, j, k, dan rangkap tiga i, j, k adalah Baik.

Kami memperluas a dan b dalam hal vektor basis:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Dengan menggunakan sifat-sifat produk vektor, kita peroleh

[sebuah; b] ==

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (satu)

Dengan definisi produk vektor, kami menemukan

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Dengan adanya persamaan tersebut, rumus (1) dapat ditulis sebagai berikut:

[sebuah; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[sebuah; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Rumus (2) memberikan ekspresi untuk perkalian silang dari dua vektor yang diberikan oleh koordinatnya.

Rumus yang dihasilkan rumit. Dengan menggunakan notasi determinan, Anda dapat menulisnya dalam bentuk lain yang lebih mudah diingat:

Biasanya rumus (3) ditulis lebih pendek lagi: