• Properti 1 (pemeliharaan kelurusan). Ketika bergerak, tiga titik yang terletak pada garis lurus melewati tiga titik yang terletak pada garis lurus, dan sebuah titik yang terletak di antara dua titik lainnya melewati sebuah titik yang terletak di antara gambar dari dua titik lainnya (urutan pengaturan timbal baliknya dipertahankan) .

• Properti 2. Gambar segmen bergerak adalah segmen.

• Sifat 3. Gambar garis lurus yang bergerak adalah garis lurus, dan bayangan sinar adalah sinar.

• Sifat 4. Ketika bergerak, bayangan segitiga sama dengan segitiga, bayangan bidang adalah bidang, dan bidang-bidang sejajar dipetakan ke bidang-bidang sejajar, bayangan separuh bidang adalah separuh bidang.

• Properti 5. Ketika bergerak, gambar tetrahedron adalah tetrahedron, gambar ruang adalah seluruh ruang, gambar setengah ruang adalah setengah ruang.

• Properti 6. Saat bergerak, sudut dipertahankan, mis. setiap sudut dipetakan ke sudut yang sama jenis dan besarnya sama. Hal yang sama berlaku untuk sudut dihedral.

• Definisi. Perpindahan paralel, atau, singkatnya, pemindahan suatu gambar, adalah tampilannya di mana semua titiknya dipindahkan ke arah yang sama dengan jarak yang sama, mis. saat menerjemahkan, masing-masing dua titik X dan Y dari gambar dipetakan ke titik X" dan Y" sedemikian rupa sehingga XX" = YY".

• Properti transfer utama:

• Terjemahan paralel mempertahankan jarak dan arah, mis. X"Y" = XY.

• Dari sini dapat disimpulkan bahwa transfer paralel adalah gerakan yang mempertahankan arah, dan sebaliknya, gerakan yang mempertahankan arah adalah transfer paralel.

• Pernyataan-pernyataan ini juga menyiratkan bahwa komposisi terjemahan paralel adalah terjemahan paralel.

• Terjemahan paralel dari gambar ditentukan dengan menentukan satu pasang titik yang sesuai. Misalnya, jika ditunjukkan ke titik A" yang diberikan titik A, maka terjemahan ini diberikan oleh vektor AA", dan ini berarti bahwa semua titik digeser oleh vektor yang sama, yaitu. XX" = AA" untuk semua titik X.

• Simetri pusat suatu bangun terhadap O adalah pemetaan dari bangun tersebut yang menghubungkan dengan masing-masing titiknya suatu titik yang simetris terhadap O.

• Properti utama: Simetri pusat menjaga jarak, dan membalikkan arah. Dengan kata lain, setiap dua titik X dan Y dari gambar F sesuai dengan titik X" dan Y" sedemikian rupa sehingga X"Y" = -XY.

• Dari sini dapat disimpulkan bahwa simetri pusat adalah gerak yang berubah arah ke arah sebaliknya dan sebaliknya, gerak yang berubah arah ke arah sebaliknya adalah simetri pusat.

• Simetri pusat gambar ditentukan dengan menentukan satu pasang titik yang ada: jika titik A dipetakan ke A", maka pusat simetri adalah titik tengah segmen AA".

• Pemetaan suatu bangun, di mana masing-masing titiknya bersesuaian dengan suatu titik yang simetris terhadapnya terhadap suatu bidang tertentu, disebut pemantulan bangun di bidang ini (atau simetri cermin).

• Titik A dan A" dikatakan simetris terhadap sebuah bidang jika segmen AA" tegak lurus terhadap bidang ini dan dibagi dua olehnya. Setiap titik bidang (dianggap simetris dengan dirinya sendiri sehubungan dengan bidang ini.

• Teorema 1. Pemantulan pada bidang mempertahankan jarak dan, oleh karena itu, merupakan gerak.

• Teorema 2. Gerak di mana semua titik pada bidang tertentu ditetapkan adalah refleksi pada bidang ini atau pemetaan yang identik.

• Simetri cermin ditentukan dengan menentukan sepasang titik yang sesuai yang tidak terletak pada bidang simetri: bidang simetri melewati tengah segmen yang menghubungkan titik-titik ini, tegak lurus terhadapnya.

• Suatu bangun disebut figur revolusi jika ada garis lurus seperti itu, setiap putaran di sekitar yang menggabungkan gambar dengan dirinya sendiri, dengan kata lain, memetakannya ke dirinya sendiri. Garis lurus seperti itu disebut sumbu rotasi gambar. Benda revolusi yang paling sederhana: bola, silinder bundar siku-siku, kerucut bundar siku-siku.

Kasus khusus belokan di sekitar garis lurus adalah belokan 180 (. Ketika memutar garis a sebesar 180 (setiap titik A menuju ke titik A "sehingga garis a tegak lurus dengan segmen AA" dan memotongnya di tengah. Titik-titik A dan A tersebut "mengatakan bahwa mereka simetris terhadap sumbu a. Oleh karena itu, rotasi 180 (sekitar garis lurus disebut simetri aksial dalam ruang.

Gerakan

Memetakan pesawat ke dirinya sendiri

• Setiap titik pada bidang dikaitkan dengan beberapa titik pada bidang yang sama, dan setiap titik pada bidang dikaitkan dengan beberapa titik. Kemudian mereka mengatakan itu memetakan pesawat ke dirinya sendiri.

• Simetri aksial adalah pemetaan bidang ke dirinya sendiri.

• Simetri pusat juga merupakan pemetaan bidang ke dirinya sendiri.

Konsep gerakan

• Simetri aksial memiliki sifat penting - itu adalah pemetaan bidang-ke-diri yang menjaga jarak antar titik.

• Gerakan pesawat adalah pemetaan pesawat ke dirinya sendiri, menjaga jarak.

• Simetri pusat sebuah pesawat juga merupakan pemetaan dari pesawat itu sendiri

TEOREMA #1

• Saat bergerak, segmen ditampilkan pada segmen.

TEOREMA #1

• Diberikan: segmen MN.

• Buktikan: 1.MN ditampilkan pada gerakan tertentu M1N1 ;2.P ditampilkan di P1;

Bukti

• I.1)MP+PN=MN(dari kondisi)

• 2) karena saat bergerak, jaraknya tetap =>M1N1=MN, M1P1=MP dan N1P1=NP (1)

• =>M1P1 +P1N1= M1N1=>P1 MILIK M1N1 =>MN poin ditampilkan di segmen M1N1

• II Biarkan P1 menjadi titik sewenang-wenang M1N1, dan titik P untuk gerakan yang diberikan dipetakan ke P1

• Dari persamaan persamaan (1) dan M1N1= M1P1 +P1N1=>MP+PN=MN=>P termasuk ke dalam MN.

Konsekuensi

• Ini mengikuti dari Teorema No. 1 bahwa ketika bergerak, setiap sisi segitiga dipetakan ke segmen yang sama => segitiga dipetakan ke segitiga dengan sisi yang sama, yaitu ke segitiga yang sama ketika bergerak. Dari Teorema No. 1 berikut bahwa ketika bergerak:

• 1) garis lurus dipetakan ke garis lurus;

• 2) balok-ke-balok;

• 3) sudut - sudut yang sama dengan itu.

Hamparan dan gerakan

• Gambar sama dengan gambar 1, jika gambar dapat digabungkan dengan gambar 1. Di bawah pengenaan gambar pada gambar 1, kami maksudkan beberapa pemetaan gambar ke gambar 1. , tidak hanya titik-titik pada gambar , tetapi juga setiap titik pada bidang dipetakan ke titik tertentu pada bidang , yaitu. overlay adalah pemetaan bidang ke dirinya sendiri.

• Overlay adalah pemetaan bidang ke dirinya sendiri, yang memiliki sifat yang dinyatakan dalam aksioma. Mereka memungkinkan kita untuk membuktikan semua sifat pemaksaan yang kita bayangkan secara visual dan yang kita gunakan dalam memecahkan masalah

Teorema #2

• Saat melapisi titik yang berbeda dipetakan ke titik yang berbeda.

Bukti

Mari kita asumsikan bahwa ini bukan masalahnya, mis. pada posisi tertentu, beberapa titik A dan B ditampilkan, di 2=Ф1, yaitu dengan beberapa tumpang tindih, 2 ditampilkan di 1. Tetapi ini tidak mungkin, karena overlay adalah tampilan, dan dengan tampilan apa pun, hanya satu titik bidang yang sejajar dengan C => saat overlay, segmen ditampilkan pada segmen yang sama. Biarkan, ketika ditumpangkan, ujung A dan B dari segmen AB ditampilkan di A1 dan B1. Kemudian, AB dipetakan ke A1 B1 => AB=A1B1. Karena segmen yang sama memiliki panjang yang sama, maka overlay adalah pemetaan bidang ke dirinya sendiri, menjaga jarak, mis. tumpang tindih apapun adalah gerakan pesawat.

Teorema #3

• Setiap gerakan adalah overlay.

Teorema #3

• Diketahui: gerak arbitrer g segitiga ABC dipetakan ke segitiga A1 B1 C1

• f- overlay, di mana titik A,B,C ditampilkan di A1 B1 C1 .

• Buktikan: g sama dengan f.

Bukti

Asumsikan bahwa g tidak berhimpitan dengan f=> pada bidang setidaknya ada satu titik M, yang, ketika g bergerak, dipetakan ke M1, dan ketika f ditumpangkan, ke M2. Karena jarak dipertahankan di bawah pemetaan f dan g, maka AM=A1M1, AM=A1M2 , yaitu. titik A1 berjarak sama dari M1 dan M2=>A1,B1 dan C1 terletak pada garis bagi M1 M2. Tetapi ini tidak mungkin, karena titik sudut segitiga A1B1C1 tidak terletak pada garis lurus yang sama, sehingga g berimpit dengan f, yaitu gerakan g adalah overlay.

Konsekuensi

• Saat bergerak, angka apa pun dipetakan ke angka yang sama.

Transfer paralel

• Biarkan a menjadi vektor yang diberikan. Transfer paralel ke vektor a disebut pemetaan bidang ke dirinya sendiri, di mana setiap titik M dipetakan ke titik M1 sehingga vektor MM1 sama dengan vektor a

Teorema #4

• Terjemahan paralel adalah gerakan, yaitu pemetaan diri dari pesawat yang menjaga jarak.

Teorema #4

• Diketahui: Dengan transfer paralel ke a, M dan N dipetakan ke M1 dan N1.

• Buktikan:MN=M1N1.

Bukti

• Karena MM1=a, NN1=a=> MM1=NN1 =>MM1||NN1 dan MM1=NN1 => MM1NN1-paralelogram =>MN=M1N1, mis. jarak antara M dan N = jarak antara M1 dan N1.

• Jadi, terjemahan paralel menjaga jarak antara titik dan karena itu mewakili gerakan.

Berbelok

Dengan memutar pesawat mengelilingi titik O membentuk sudut sebuah disebut pemetaan bidang ke dirinya sendiri, di mana setiap titik M dipetakan ke titik M1 sehingga OM = OM1 dan sudut MOM1 sama dengan sebuah. Dalam hal ini, titik O tetap di tempatnya, mis. ditampilkan dengan sendirinya, dan semua titik lainnya berputar di sekitar titik O ke arah yang sama - searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam.

Teorema #5

• Giliran adalah sebuah gerakan, yaitu pemetaan jarak-melestarikan pesawat ke dirinya sendiri.

Teorema #5

• Diketahui: O - pusat rotasi d- sudut rotasi berlawanan arah jarum jam

• Buktikan: MN=M1N1

Bukti

• Asumsikan bahwa rotasi ini memetakan M dan N ke M1 dan N1.

• Segitiga OMN=OM1N1 (OM=OM1,ON=ON1, sudut MON=sudut M1ON1) Dari persamaan tersebut diperoleh MN=M1N1, yaitu jarak antara M dan N = jarak antara M1 dan N1.

• Rotasi menjaga jarak antara titik dan karena itu mewakili gerakan.

Diketahui: Sudut AOB dan sudut A1O1B1.

• Diketahui: Sudut AOB dan sudut A1O1B1.

• Buktikan bahwa ketika bergerak, sudut dipetakan ke sudut yang sama.

KEPUTUSAN

Biarkan sudut AOB dipetakan ke sudut 1О1В1 selama gerakan yang diberikan, dan titik-titik .О.в dipetakan ke titik 1, 1, 1 masing-masing. karena jarak dipertahankan selama gerakan, maka OA \u003d O1A1, OB \u003d O1B1. Jika sudut AOB tidak dikembangkan, maka segitiga AOB dan A1O1B1 sama di tiga sisi, dan, oleh karena itu, sudut AOB \u003d sudut A1O1v1. Jika sudut AOB bertambah, maka sudut A1O1B1 bertambah, sehingga sama besar.

• Tugas #2

KEPUTUSAN

• Segitiga ABC dan A1B1C1 sama panjang pada ketiga sisinya. Oleh karena itu terjadi tumpang tindih yaitu suatu gerakan dimana titik A, B dan C dipetakan masing-masing ke titik A1, B1 dan C1. Pergerakan ini merupakan satu-satunya gerakan yang titik A, B dan C dipetakan ke titik A1B1 dan C1 .

• Tugas nomor 3. Gambarlah sebuah segitiga ABC, sebuah vektor MM1 yang tidak sejajar pada salah satu sisi segitiga tersebut, dan sebuah vektor a yang sejajar dengan sisi AC. Bangun segitiga A1B1C1, yang diperoleh dari segitiga ABC dengan transfer paralel: a) ke vektor MM1; b) vektor a.

• Diberikan:

• Keputusan

b) Keputusan

• b) Keputusan

ringkasan presentasi lainnya

"Rata-rata garis trapesium"- Garis tengah trapesium. A. MN adalah garis tengah trapesium ABCD. Dalam segitiga, Anda dapat membangun ... garis tengah. Garis tengah segitiga memiliki sifat … MN = ? AB. Definisi garis tengah trapesium. Teorema pada garis tengah trapesium. D. Lanjutkan kalimat: MN || AB.

"Persamaan Elips"- Penulis: Gololobova O. Kelas 9 Negrova O. Kelas 9 Dolgova K. Kelas 9. Definisi elips. Bagaimana sifat-sifat elips terkait dengan sifat-sifat kurva "luar biasa" lainnya? 2. Kami menurunkan persamaan kanonik elips. Kemajuan penelitian. Hasil penelitian: 4. Menentukan parameter utama elips: Tujuan: Mempelajari parameter utama elips. 3. Membangun elips.

"Teorema Thales"- Diyakini bahwa Thales adalah orang pertama yang mempelajari pergerakan Matahari di bola langit. teorema Thales. Sebuah teorema geometri dinamai Thales. Mari kita tarik garis EF melalui titik B2 yang sejajar dengan garis A1A3. Astronomi. Geometri. Berdasarkan sifat jajar genjang A1A2=FB2, A2A3=B2E. Materialis Milesian. Dan karena A1A2=A2A3, maka FB2=B2E. Thales dikenal luas sebagai ahli geometri.

"Masalah tentang lingkaran dan lingkaran"- 2. Jawaban: S=25? cm2; C=10? lihat Pemecahan Masalah. 1. Keliling dan luas lingkaran.

"Geometri Poligon Reguler"- Tentang poligon biasa, Anda dapat menggambarkan lingkaran, dan hanya satu. Kami memperoleh rumus untuk menghitung sudut an dari n-gon beraturan. Ambil sembarang tiga simpul dari poligon A1A2...An, misalnya A1, A2, A3. Sekarang mari kita buktikan keunikan lingkaran seperti itu. Pusat poligon beraturan. Teorema di tengah poligon beraturan. Keunikan lingkaran tersebut mengikuti dari keunikan lingkaran berbatas di sekitar segitiga.

"Geometri gerakan kelas 9"- Aksial. Simetri aksial. Simetri Pusat dan Aksial. Dalil. Jenis-jenis gerakan. Berbelok. Hamparan. Setiap gerakan adalah overlay. Simetri aksial Simetri sentral Translasi paralel Rotasi. Perpindahan paralel. Pergerakan. simetri sentral. Konsep gerakan. Geometri kelas 9. Pusat. Saat bergerak, segmen ditampilkan pada segmen.

Memetakan pesawat ke dirinya sendiri

Definisi 1

Memetakan pesawat ke dirinya sendiri- ini adalah korespondensi seperti itu ke setiap titik bidang dari titik mana pun dari bidang yang sama, di mana setiap titik bidang akan dikaitkan untuk titik mana pun.

Contoh pemetaan bidang ke dirinya sendiri dapat berupa simetri aksial (Gbr. 1a) dan simetri pusat (Gbr. 1b).

Gambar 1. a) simetri aksial; b) simetri pusat

Konsep gerakan

Kami sekarang memperkenalkan definisi gerak.

Definisi 2

Pergerakan suatu bidang adalah pemetaan bidang ke dirinya sendiri, di mana jarak dipertahankan (Gbr. 2).

Gambar 2. Contoh gerakan

Teorema yang berkaitan dengan konsep gerak

Bukti.

Mari kita diberikan segmen $MN$. Biarkan titik $M$ dipetakan ke titik $M_1$ bidang ini untuk gerakan tertentu dari pesawat, dan titik $N$ dipetakan ke titik $N_1$ bidang ini. Ambil titik arbitrer $P$ dari segmen $MN$. Biarkan dipetakan ke titik $\ P_1$ dari bidang ini (Gbr. 3).

Gambar 3. Memetakan segmen ke segmen saat bergerak

Karena titik $P$ termasuk dalam segmen $MN$, persamaan

Karena, menurut definisi gerak, jarak adalah kekal, maka

Karena itu

Oleh karena itu, titik $P_1$ terletak pada segmen $M_1N_1$. Karena kesewenang-wenangan pemilihan titik $P_1$, kami memperoleh bahwa segmen $MN$ akan dipetakan ke segmen $M_1N_1$ selama gerakan. Kesetaraan segmen-segmen ini segera mengikuti dari definisi gerak.

Teorema telah terbukti.

Teorema 2

Saat bergerak, segitiga dipetakan ke segitiga yang sama.

Bukti.

Mari kita diberikan segitiga $ABC$. Berdasarkan Teorema 1, segmen $AB$ masuk ke segmen $A_1B_1$, segmen $AC$ masuk ke segmen $A_1C_1$, segmen $BC$ masuk ke segmen $B_1C_1$, dan $(AB=A) _1B_1$, $(AC =A)_1C_1$, $(BC=B)_1C_1$. Oleh karena itu, menurut kriteria III persamaan segitiga, segitiga $ABC$ masuk ke segitiga yang sama $A_1B_1C_1$.

Teorema telah terbukti.

Demikian pula, seseorang dapat membuktikan bahwa sinar dipetakan ke sinar, sudut dipetakan ke sudut yang sama.

Untuk merumuskan teorema berikut, pertama-tama kita perkenalkan definisi berikut.

Definisi 3

hamparan disebut gerak bidang seperti itu, yang memiliki aksioma sebagai berikut:

1. Jika ujung dua segmen bertepatan selama gerakan, maka segmen itu sendiri bertepatan.
2. Dari awal sinar apa pun, Anda dapat menunda segmen yang sama dengan segmen yang diberikan dan, terlebih lagi, hanya satu.
3. Dalam setiap setengah bidang dari sinar apa pun, seseorang dapat menyisihkan sudut yang sama dengan sudut yang tidak diperluas yang diberikan, dan hanya satu.
4. Setiap sosok sama dengan dirinya sendiri.
5. Jika angka 1 sama dengan angka 2, maka angka 2 sama dengan angka 1.
6. Jika angka 1 sama dengan angka 2, dan angka 2 sama dengan angka 3, maka angka 1 sama dengan angka 3.

Teorema 3

Setiap gerakan adalah overlay.

Bukti.

Perhatikan gerak $g$ dari segitiga $ABC$. Berdasarkan Teorema 2, ketika $g$ bergerak, segitiga $ABC$ masuk ke segitiga yang sama dengan $A_1B_1C_1$. Dengan definisi segitiga sama kaki, kita mendapatkan bahwa ada lapisan $f$ yang memetakan titik $A,B\ dan\ C$ masing-masing ke titik $A_1,B_1\ dan\ C_1$. Mari kita buktikan bahwa $g$ bertepatan dengan $f$.

Asumsikan sebaliknya bahwa $g$ tidak sama dengan $f$. Maka setidaknya ada satu titik $M$, yang, ketika $g$ bergerak, menuju ke titik $M_1$, dan ketika $f$ ditumpangkan, ia menuju ke titik $M_2$. Karena jarak dipertahankan untuk $f$ dan $g$, kita mendapatkan

Artinya, titik $A_1$ berjarak sama dari titik $M_1$ dan $M_2$. Demikian pula, kita memperoleh bahwa titik $B_1\ dan\ C_1$ berjarak sama dari titik $M_1$ dan $M_2$. Oleh karena itu titik $A_1,B_1\ dan\ C_1$ terletak pada garis lurus yang tegak lurus dengan segmen $M_1M_2$ dan melalui pusatnya. Ini tidak mungkin karena titik $A_1,B_1\ dan\ C_1$ tidak terletak pada garis yang sama. Oleh karena itu, gerakan $g$ bertepatan dengan pengenaan $f$.

Teorema telah terbukti.

Contoh tugas tentang konsep gerakan

Contoh 1

Buktikan bahwa ketika bergerak, sudut dipetakan ke sudut yang sama.

Bukti.

Diberikan sudut $AOB$. Biarkan titik $A,\ O\ dan\ B$ dipetakan ke titik $A_1,\ O_1\ dan\ B_1$ untuk gerakan tertentu. Dengan Teorema 2, kita mendapatkan bahwa segitiga $AOB$ dipetakan ke dalam segitiga $A_1O_1B_1$, dan segitiga-segitiga ini sama besar satu sama lain. Oleh karena itu, $\angle AOB=\angle A_1O_1B_1$.