Logika Matematika (BAGIAN 1)

Apa itu inferensi logis?

Biarkan dua pernyataan diberikan:

1. Buah bisa tumbuh di pohon.

2. Apel adalah buah.

Karena kedua pernyataan ini benar, kita dapat mengatakan bahwa pernyataan "Apel dapat tumbuh di pohon" juga benar. Pernyataan ketiga ini tidak terkandung dengan cara apa pun dalam dua yang pertama, itu mengikuti dari mereka. Atau, dengan kata lain, pernyataan ketiga adalah kesimpulan logis dari dua yang pertama.

Ini adalah contoh sederhana. Sekarang mari kita lihat contoh yang lebih rumit. Mari kita coba memecahkan masalah dari buku Profesor R.M. Smallian, Putri atau Harimau.

Kondisi. Dalam masalah ini, Anda perlu mencari tahu mana dari dua kamar yang merupakan putri, dan mana yang harimau. Di pintu masing-masing kamar ada piring dengan beberapa pernyataan, selain itu juga diketahui bahwa kebenaran tertulis di satu piring, dan bukan di piring yang lain, tetapi tidak diketahui mana yang benar dan mana yang salah. Dan juga diketahui bahwa ada seseorang di setiap ruangan.

1. Ada seorang putri di ruangan ini, dan seekor harimau duduk di ruangan lain.

2. Ada seorang putri di salah satu kamar ini; selain itu, ada seekor harimau duduk di salah satu ruangan ini.

Keputusan. Pernyataan pada tablet tidak boleh benar dan salah. Oleh karena itu, hanya dua situasi yang mungkin. Yang pertama: yang pertama benar dan yang kedua salah dan yang kedua: yang pertama salah dan yang kedua benar. Mari kita pertimbangkan mereka.

Situasi 1. Dari kebenaran pernyataan pertama dapat disimpulkan bahwa sang putri ada di kamar pertama, dan harimau ada di kamar kedua. Pada saat yang sama, dari kesalahan pernyataan kedua, dapat disimpulkan bahwa tidak ada ruang di mana sang putri berada dan tidak ada ruang di mana harimau duduk. Oleh karena itu, kebenaran pernyataan pertama dan kesalahan kedua tidak mungkin pada saat yang bersamaan.

Situasi 2. Dari kebenaran pernyataan kedua, hanya harimau dan putri yang hadir. Dari kepalsuan yang pertama, maka sang putri ada di kamar kedua, dan harimau di kamar pertama. Menganalisis situasi kedua, kami tidak mendapatkan kontradiksi, oleh karena itu situasi 2 adalah solusi untuk masalah tersebut.

Solusi dari masalah ini adalah contoh dari penalaran yang lebih kompleks. Namun, tidak sulit untuk melihat prinsip umumnya. Dalam penalaran ini, serta dalam contoh pertama, ada pernyataan dasar dari kebenaran, yang diikuti oleh benar atau salahnya pernyataan lain. Dan tujuan dari inferensi logis justru untuk menetapkan kebenaran atau kepalsuan dari berbagai pernyataan.

Inferensi logis bergantung pada pernyataan yang tampak jelas bahwa, mengingat pernyataan asli benar dan kesimpulan logisnya benar, pernyataan yang dihasilkan dari kesimpulan semacam itu juga benar.

Masih mencari tahu apa kesimpulan logis yang benar. Dan ini adalah pertanyaan yang sangat sulit. Untuk menjawabnya, diperlukan suatu ilmu yang utuh yang disebut logika matematika. Sekarang kita membutuhkan beberapa definisi.

Konsep ucapan

Semua pernyataan yang kami gunakan di atas sebagai contoh memiliki satu kesamaan. Terlepas dari artinya, mereka bisa benar atau salah. Pernyataan dengan sifat ini disebut proposisi. Tidak setiap pernyataan bisa menjadi pernyataan. Misalnya, pernyataan berikut: "Malachite adalah batu terindah dari semua permata yang dikenal" tidak bisa menjadi pernyataan, karena ini masalah selera.

Ada pernyataan benar atau salah, yang pada prinsipnya dapat diverifikasi, tetapi hanya pada prinsipnya, tetapi pada kenyataannya tidak mungkin. Misalnya, tidak mungkin untuk memverifikasi kebenaran pernyataan berikut: "Saat ini hanya ada satu pohon di planet Bumi yang memiliki tepat 10.000 daun." Secara teoritis, dimungkinkan untuk memeriksa ini, tetapi hanya secara teoretis, karena untuk pemeriksaan seperti itu perlu menggunakan terlalu banyak inspektur, jauh lebih banyak daripada orang yang hidup di planet ini.

Dengan demikian, logika matematika hanya mempelajari proposisi, dan hanya bagaimana menentukan kebenaran atau kepalsuannya. Logika matematika tidak menyelidiki makna proposisi, yang berarti bahwa rumusan proposisi tidak memainkan peran apa pun dan cukup untuk memperkenalkan notasi sederhana untuk proposisi.

Sebenarnya, inilah yang terjadi. Pernyataan hanya dilambangkan dengan huruf: A, B, C, dll. dan katakan tentang mereka hanya bahwa mereka benar atau salah.

Pernyataan kompleks. Operasi Boolean

Sebelumnya, kami hanya berbicara tentang pernyataan sederhana, pernyataan juga bisa kompleks, terdiri dari beberapa yang sederhana. Berikut ini contohnya:

Tomatnya bisa merah dan tomatnya bisa bulat.

Pernyataan ini terdiri dari dua pernyataan sederhana: "Tomat bisa merah", "Tomat bisa bulat" dihubungkan oleh penghubung logis "DAN". Kombinasi dua atau lebih pernyataan sederhana dengan penghubung logis "DAN" disebut operasi logis dari konjungsi tersebut. Hasil dari konjungsi adalah pernyataan kompleks, yang kebenarannya tergantung pada kebenaran pernyataan sederhana yang termasuk di dalamnya dan ditentukan oleh aturan berikut: Konjungsi benar jika dan hanya jika semua pernyataan di dalamnya benar.

Dalam logika matematika, ada notasi yang diterima secara umum untuk konjungsi - . Jika konjungsi melibatkan dua pernyataan sederhana A dan B, maka ini ditulis sebagai A B.

Aturan kebenaran konjungsi dapat direpresentasikan sebagai tabel berikut:

A	B	A dan B

Kebenaran dalam tabel ini ditulis sebagai satu, dan kepalsuan sebagai nol. Jika A bernilai 0 dan B bernilai 1, maka konjungsinya adalah: 0 dan 1 = 0, yang salah.

Tentu saja, konjungsi bukan satu-satunya operasi logis yang memungkinkan Anda membangun yang kompleks dari pernyataan sederhana. Mari kita definisikan beberapa lagi:

Pemisahan. Suatu pernyataan majemuk yang merupakan disjungsi dari dua pernyataan sederhana adalah benar jika paling sedikit satu pernyataan sederhana yang termasuk dalam disjungsi tersebut benar. Disjungsi dilambangkan sebagai berikut: :

A B. Tabel kebenarannya adalah:

Persamaan derajatnya. Pernyataan majemuk yang dibangun dengan bantuan operasi ekivalensi adalah benar jika kedua pernyataan yang termasuk di dalamnya benar secara bersamaan atau salah secara simultan. Setara didefinisikan sebagai berikut: A~B. Tabel kebenaran ditunjukkan di bawah ini.

Menggunakan operasi logis, Anda dapat membangun ekspresi logis dari tingkat kerumitan apa pun, yang kebenarannya juga dapat ditentukan menggunakan tabel kebenaran. Mari kita ambil ekspresi berikut sebagai contoh: (A B) ® (A B) dan buat tabel kebenarannya:

Tabel kebenaran dari ekspresi ini menunjukkan bahwa dibutuhkan nilai sebenarnya untuk setiap nilai dari pernyataan sederhana A dan B. Ekspresi seperti itu disebut identik benar. Ekspresi yang selalu bernilai salah disebut dengan salah identik.

Memverifikasi kebenaran dengan tabel kebenaran tidak selalu mudah. Ekspresi logis dapat mencakup banyak operasi, jumlah proposisi elementer yang dilambangkan dengan huruf juga bisa besar, dan dengan jumlah proposisi elementer yang cukup besar, tabel kebenaran bisa sangat besar sehingga tidak mungkin untuk membangunnya.

Dapat dilihat dari tabel-tabel di atas bahwa, untuk menyusunnya, perlu untuk menghitung semua kemungkinan kombinasi kebenaran dan kesalahan dari proposisi elementer. Untuk dua pernyataan, empat kombinasi dimungkinkan. Untuk tiga, jumlah kombinasinya adalah 8. Untuk N pernyataan, jumlah kombinasinya adalah 2 N . Misalnya, untuk N=10 2 N = 2 10 = 1024. Ini sudah terlalu banyak.

Dalam situasi seperti itu, teknik khusus sudah diperlukan untuk menentukan kebenaran dan kepalsuan ekspresi. Teknik-teknik ini terdiri dari menyederhanakan ekspresi asli, membawanya ke bentuk standar yang lebih sederhana. Bentuk yang lebih sederhana biasanya dipahami sebagai ekspresi yang lebih pendek, namun, tidak mungkin untuk mempersingkat ekspresi logis. Namun, Anda selalu dapat mengurangi jumlah operasi logis, dan Anda selalu dapat menyederhanakan bentuk ekspresi logis.

Ada dua bentuk standar yang dapat digunakan untuk mengeluarkan ekspresi logis apa pun.

Bentuk normal disjungtif. Ini adalah ekspresi logis, yang merupakan disjungsi dari konjungsi dasar, yang mencakup pernyataan dasar atau negasinya.

Contoh

(AÙBÙC)Ú(AÙùBÙùC)Ú(AÙBÙùC)

Bentuk normal konjungsi. Ini adalah ekspresi logis, yang merupakan konjungsi dari disjungsi dasar, yang mencakup pernyataan dasar atau negasinya.

(AÚùBÚC) (AÚùBÚC)Ù (AÚBÚùC)

Kebenaran ekspresi yang disajikan dalam bentuk normal jauh lebih mudah untuk diperiksa. Bentuk normal disjungtif bernilai benar jika setidaknya satu konjungsi elementer benar. Bentuk normal konjungtif salah jika setidaknya satu disjungsi dasar salah. Disjungsi elementer benar jika setidaknya satu proposisi elementer yang termasuk di dalamnya benar. Konjungsi elementer salah jika setidaknya satu proposisi elementer yang termasuk di dalamnya salah (Negasi dari proposisi tidak elementer).

Untuk membawa ekspresi logis ke salah satu bentuk di atas, aturan substitusi diterapkan yang menerjemahkan ekspresi logis menjadi ekspresi yang setara (yaitu, memiliki tabel kebenaran yang persis sama). Di bawah ini adalah daftar aturan tersebut.

©2015-2019 situs
Semua hak milik penulisnya. Situs ini tidak mengklaim kepengarangan, tetapi menyediakan penggunaan gratis.
Tanggal pembuatan halaman: 11-04-2016

Negasi, konjungsi, disjungsi.

Alasan kami terdiri dari pernyataan. Misalnya, dalam kesimpulan “Beberapa burung terbang; oleh karena itu, beberapa burung terbang " mencakup dua pernyataan yang berbeda.

Pernyataan adalah formasi yang lebih kompleks daripada nama. Saat menguraikan pernyataan menjadi bagian yang lebih sederhana, kami selalu mendapatkan satu atau nama lain. Misalkan pernyataan “Matahari adalah bintang” mencantumkan nama “Matahari” dan “bintang” sebagai bagian-bagiannya.

Pernyataan adalah kalimat yang secara tata bahasa benar, diambil bersama dengan makna (isi) yang diungkapkan olehnya, dan yang benar atau salah.

Konsep pernyataan adalah salah satu konsep awal dan kunci logika. Dengan demikian, tidak memungkinkan untuk definisi yang tepat yang sama-sama berlaku di berbagai bagian. Jelas bahwa setiap pernyataan menggambarkan situasi tertentu, menegaskan atau menyangkal sesuatu tentangnya, dan benar atau salah.

Suatu pernyataan dianggap benar jika deskripsi yang diberikan sesuai dengan keadaan sebenarnya, dan salah jika tidak sesuai dengan keadaan. "Benar" dan "salah" disebut nilai kebenaran dari proposisi.

Dari pernyataan individu dengan cara yang berbeda, Anda dapat membangun pernyataan baru. Jadi, dari pernyataan “Angin bertiup” dan “Hujan”, pernyataan yang lebih kompleks dapat dibentuk “Angin bertiup dan hujan”, “Angin bertiup atau hujan”, “Jika adalah hujan, angin bertiup”, dll. Ekspresi "dan", "baik, atau", "jika, maka", dll., yang berfungsi untuk membentuk pernyataan kompleks, disebut penghubung logis.

Suatu pernyataan disebut sederhana jika tidak menyertakan pernyataan lain sebagai bagian-bagiannya.

Suatu pernyataan dikatakan kompleks jika diperoleh dengan bantuan penghubung logis dari pernyataan lain yang lebih sederhana.

Bagian logika itu, yang menjelaskan hubungan logis proposisi yang tidak bergantung pada struktur proposisi sederhana, disebut teori deduksi umum.

Negasi adalah penghubung logis, yang dengannya pernyataan baru diperoleh dari pernyataan yang diberikan, sehingga jika pernyataan asli benar, negasinya salah, dan sebaliknya. Pernyataan negatif terdiri dari pernyataan asli dan negasi, biasanya diungkapkan dengan kata-kata “tidak”, “tidak benar itu”. Dengan demikian, proposisi negatif adalah proposisi majemuk: proposisi itu mencakup proposisi yang berbeda darinya sebagai bagiannya. Misalnya, negasi dari pernyataan "10 bilangan genap" adalah pernyataan "10 bukan bilangan genap" (atau: "Tidak benar 10 bilangan genap").

Sebagai hasil dari menghubungkan dua pernyataan dengan bantuan kata "dan", kami mendapatkan pernyataan kompleks yang disebut konjungsi. Pernyataan yang terhubung dengan cara ini disebut anggota konjungsi. Misalnya, jika pernyataan "Hari ini panas" dan "Kemarin dingin" digabungkan dengan cara ini, konjungsi "Hari ini panas dan kemarin dingin" diperoleh.

Konjungsi benar hanya jika kedua pernyataan di dalamnya benar; jika setidaknya salah satu istilahnya salah, maka seluruh konjungsinya salah.

Definisi konjungsi, serta definisi penghubung logis lainnya yang berfungsi untuk membentuk pernyataan kompleks, didasarkan pada dua asumsi berikut:

setiap proposisi (baik sederhana maupun kompleks) memiliki satu dan hanya satu dari dua nilai kebenaran: itu benar atau salah;

nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk hanya bergantung pada nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan yang termasuk di dalamnya dan cara mereka terhubung secara logis satu sama lain.

Asumsi ini tampak sederhana. Namun, setelah menerimanya, seseorang harus membuang gagasan bahwa, bersama dengan pernyataan benar dan salah, dapat juga ada pernyataan yang tidak tentu dalam hal nilai kebenarannya (seperti, katakanlah, "Dalam lima tahun saat ini akan turun hujan). dengan guntur” dll). Penting juga untuk menyangkal fakta bahwa nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk juga bergantung pada "hubungan makna" dari pernyataan-pernyataan yang digabungkan.

Dalam bahasa biasa, dua pernyataan dihubungkan oleh persatuan "dan" ketika mereka terkait dalam konten atau makna. Sifat hubungan ini tidak sepenuhnya jelas, tetapi jelas bahwa kita tidak akan menganggap konjungsi "Dia mengenakan mantel dan saya pergi ke universitas" sebagai ungkapan yang masuk akal dan bisa benar atau salah. Meskipun pernyataan “2 adalah bilangan prima” dan “Moskow adalah kota besar” adalah benar, kita tidak cenderung menganggap konjungsi mereka “2 adalah bilangan prima dan Moskow adalah kota besar” juga benar, karena konstituennya pernyataan tidak berhubungan dalam arti.

Dengan menyederhanakan arti dari konjungsi dan penghubung logis lainnya dan untuk ini, mengabaikan konsep yang tidak jelas tentang "hubungan pernyataan dengan makna", logika membuat arti dari penghubung ini lebih luas dan lebih jelas pada saat yang bersamaan.

Dengan menghubungkan dua pernyataan dengan kata "atau", kita mendapatkan disjungsi dari pernyataan-pernyataan ini. Pernyataan yang membentuk disjungsi disebut anggota disjungsi.

Kata “atau” dalam bahasa sehari-hari memiliki dua arti yang berbeda. Kadang-kadang itu berarti "satu atau yang lain, atau keduanya," dan kadang-kadang "satu atau yang lain, tetapi tidak keduanya bersama-sama." Pernyataan "Musim ini saya ingin pergi ke Ratu Sekop atau ke Aida" memungkinkan kemungkinan mengunjungi opera dua kali. Dalam pernyataan "Dia belajar di Moskow atau Universitas Leningrad", dipahami bahwa orang yang bersangkutan hanya belajar di salah satu universitas ini.

Arti pertama dari "atau" disebut non-eksklusif. Diambil dalam pengertian ini, pemisahan dua pernyataan hanya berarti bahwa setidaknya satu dari pernyataan ini benar, apakah keduanya benar atau tidak. Diambil dalam pengertian eksklusif kedua, disjungsi dua pernyataan menegaskan bahwa salah satunya benar dan yang lain salah.

Simbol V akan menunjukkan disjungsi dalam arti non-eksklusif, untuk disjungsi dalam arti eksklusif, simbol V akan digunakan. Tabel untuk dua jenis disjungsi menunjukkan bahwa disjungsi non-eksklusif benar jika setidaknya salah satu pernyataan yang termasuk di dalamnya benar, dan salah hanya jika kedua anggotanya salah; Disjungsi eksklusif adalah benar jika hanya salah satu syaratnya yang benar, dan salah jika kedua syaratnya benar atau keduanya salah.

Dalam logika dan matematika, kata "atau" selalu digunakan dalam pengertian yang tidak eksklusif.

Penguraian beberapa pernyataan menjadi bagian-bagian sederhana yang tidak dapat didekomposisi memberikan dua jenis ekspresi, yang disebut simbol yang tepat dan yang tidak tepat. Keunikan simbol sendiri adalah bahwa mereka memiliki beberapa konten, bahkan diambil sendiri. Ini termasuk nama (menunjukkan beberapa volume), belum terselesaikan (mengacu pada beberapa area objek), pernyataan (menggambarkan beberapa situasi dan menjadi benar atau salah). Simbol yang tidak tepat tidak memiliki konten independen, tetapi dalam kombinasi dengan satu atau lebih simbol sendiri membentuk ekspresi kompleks yang sudah memiliki konten independen. Simbol yang tidak tepat termasuk, khususnya, penghubung logis yang digunakan untuk membentuk pernyataan kompleks dari yang sederhana: "... dan ...", "... atau ...", "baik ... atau ..." , " jika..., maka...", "... kemudian dan hanya ketika...", "tidak... tidak juga...", "tidak... tapi... ”, “... tapi tidak ...", "tidak benar bahwa ...", dll. Kata itu sendiri, katakan "atau", tidak menunjukkan objek apa pun. Tetapi dalam kombinasi dengan dua simbol yang menunjukkan sendiri, kata ini memberikan simbol yang menunjukkan baru: dari dua pernyataan "Surat diterima" dan "Telegram terkirim" - pernyataan baru "Surat diterima atau telegram dikirim."

Tugas utama logika adalah pemisahan skema penalaran yang benar dari yang salah dan sistematisasi yang pertama. Kebenaran logis ditentukan oleh bentuk logis. Untuk mengungkapkannya, seseorang harus mengabstraksi dari bagian yang bermakna dari argumen (simbol yang tepat) dan fokus pada simbol yang tidak tepat yang mewakili bentuk ini dalam bentuknya yang paling murni. Oleh karena itu minat logika formal pada kata-kata yang biasanya tidak menarik perhatian, seperti “dan”, “atau”, “jika, maka”, dsb.

penyataan Kalimat deklaratif yang dapat dikatakan benar atau salah. Dalam aljabar, pernyataan sederhana dikaitkan dengan variabel logis (A, B, C, dll.)

variabel boolean merupakan pernyataan sederhana.
Variabel Boolean dilambangkan dengan huruf Latin besar dan kecil (a-z, A-Z) dan hanya dapat mengambil dua nilai - 1 jika pernyataan itu benar, atau 0 jika pernyataan itu salah.

Mengatakan contoh:

Fungsi Boolean- ini adalah pernyataan kompleks, yang diperoleh sebagai hasil dari melakukan operasi logis pada pernyataan sederhana.

Untuk pembentukan pernyataan kompleks, yang paling umum digunakan operasi logika dasar, dinyatakan dengan menggunakan penghubung logis "dan", "atau", "tidak".
Sebagai contoh,

Banyak orang tidak menyukai cuaca basah..

Misal A = "Banyak orang menyukai cuaca basah." Kami mendapatkan fungsi logis F(A) = bukan A

bundel “TIDAK”, “DAN”, “ATAU” digantikan oleh operasi logika inversi , konjungsi , pemisahan . Ini operasi logika dasar, yang dapat digunakan untuk menulis ekspresi logika apa pun.

rumus Boolean (ekspresi logis) - formula yang hanya berisi nilai logis dan tanda-tanda operasi logis. Hasil evaluasi rumus logika adalah TRUE (1) atau FALSE (0).

Nilai dari sebuah fungsi logika tergantung pada nilai dari variabel logika yang ada di dalamnya. Oleh karena itu, nilai fungsi logika dapat ditentukan dengan menggunakan tabel khusus ( tabel kebenaran), yang mencantumkan semua nilai yang mungkin dari variabel boolean input dan nilai fungsinya yang sesuai.

Operasi logika dasar (dasar):

1. Perkalian logis (konjungsi), dari lat. konjunctio - Saya menghubungkan:
Menggabungkan dua (atau beberapa) pernyataan menjadi satu menggunakan gabungan AND;
dalam bahasa pemrograman - Dan.
Notasi konvensional: /\ , , dan, dan.
Dalam aljabar himpunan, konjungsi berhubungan dengan operasi perpotongan himpunan.

Konjungsi bernilai benar jika dan hanya jika semua pernyataan di dalamnya benar.

Contoh:
Perhatikan pernyataan majemuk "2 2 = 4 dan 3 3 = 10". Mari kita lihat beberapa pernyataan sederhana:

B \u003d "3 3 \u003d 10" \u003d 0 (karena ini adalah pernyataan yang salah)
Oleh karena itu, fungsi logika F(A, B) = A /\ B = 1 /\ 0 = 0 (menurut tabel kebenaran), yaitu, pernyataan majemuk ini salah.

2. Penjumlahan logis (disjungsi), dari lat. disjunctio - saya membedakan:
Menggabungkan dua (atau lebih) pernyataan menjadi satu menggunakan gabungan OR;
dalam bahasa pemrograman - Atau.
Notasi: \/, +, atau, atau.
Dalam aljabar himpunan, disjungsi berhubungan dengan operasi persatuan himpunan.

Disjungsi salah jika dan hanya jika semua pernyataan yang termasuk di dalamnya salah.

Contoh:
Pertimbangkan pernyataan majemuk "2 2 = 4 atau 2 2 = 5". Mari kita pilih pernyataan sederhana:
A \u003d "2 2 \u003d 4" \u003d 1 (karena ini adalah pernyataan yang benar)
B \u003d "2 2 \u003d 5" \u003d 0 (karena ini adalah pernyataan yang salah)
Oleh karena itu, fungsi logis F(A, B) = A \/ B = 1 \/ 0 = 1 (menurut tabel kebenaran), yaitu, pernyataan majemuk ini benar.

3. Negasi (inversi), dari lat. InVersion - saya membalik:

Sesuai dengan partikel NOT, frasanya SALAH, APA atau TIDAK BENAR, APA;
dalam bahasa pemrograman - Tidak;
Sebutan: bukan A, A, bukan
Dalam aljabar himpunan, negasi logis sesuai dengan operasi komplemen ke himpunan universal.

terbalik i dari variabel boolean benar jika variabel itu sendiri salah, dan sebaliknya, kebalikannya salah jika variabel itu benar.

Contoh:

A \u003d (dua kali dua adalah empat) \u003d 1.

A= ( Tidak benar itu dua kali dua sama dengan empat = 0.

Perhatikan pernyataan A: Bulan adalah satelit bumi“; maka A akan dirumuskan sebagai berikut: “ Bulan bukan satelit bumi“.

Perhatikan pernyataan: "Tidak benar bahwa 4 habis dibagi 3." Dilambangkan dengan A pernyataan sederhana "4 habis dibagi 3". Maka bentuk logis dari negasi dari pernyataan ini berbentuk A

Prioritas operasi logika:

Operasi dalam ekspresi boolean dilakukan dari kiri ke kanan, termasuk tanda kurung di Selanjutnya baik:
1. inversi;
2. konjungsi;
3. disjungsi;
Tanda kurung digunakan untuk mengubah urutan tertentu dari operasi logis.

Ekspresi logika majemuk aljabar proposisi disebut rumus.
Nilai benar atau salah dari suatu rumus dapat ditentukan dengan hukum-hukum aljabar logika, tanpa mengacu pada artinya:
F = (0 \/ 1) /\ (¬0 \/ 1) = (0 \/ 1) /\ (1 \/ 0) =1 /\ 1=1 - benar
F = (¬0 /\ 1) \/ (¬1 \/ 1) = (1 /\ 0) \/ (0 \/ 0) = 0 \/ 0 = 0 - salah

Pernyataan adalah formasi yang lebih kompleks daripada nama. Saat menguraikan pernyataan menjadi bagian yang lebih sederhana, kami selalu mendapatkan satu atau nama lain. Misalkan pernyataan “Matahari adalah bintang” mencantumkan nama “Matahari” dan “bintang” sebagai bagian-bagiannya.

penyataan- kalimat yang benar secara tata bahasa, digabungkan dengan makna (isi) yang diungkapkan olehnya, dan mana yang benar atau salah.

Konsep pernyataan adalah salah satu konsep awal dan kunci logika. Dengan demikian, tidak memungkinkan untuk definisi yang tepat yang sama-sama berlaku di berbagai bagian.

Suatu pernyataan dianggap benar jika deskripsi yang diberikan sesuai dengan keadaan sebenarnya, dan salah jika tidak sesuai dengan keadaan. "Benar" dan "salah" disebut "nilai-kebenaran dari proposisi".

Dari pernyataan individu dengan cara yang berbeda, Anda dapat membangun pernyataan baru.

Misalnya, dari pernyataan “Angin bertiup” dan “Hujan”, pernyataan yang lebih kompleks dapat dibentuk “Angin bertiup dan hujan”, “Angin bertiup atau hujan”, “Jika hujan, lalu angin bertiup”, dll.

Pernyataan tersebut disebut sederhana, jika tidak termasuk pernyataan lain sebagai bagiannya.

Pernyataan tersebut disebut aku rumit, jika diperoleh dengan bantuan penghubung logis dari pernyataan lain yang lebih sederhana.

Mari kita pertimbangkan cara yang paling penting untuk membangun pernyataan yang kompleks.

pernyataan negatif terdiri dari pernyataan asli dan negasi, biasanya diungkapkan dengan kata-kata “tidak”, “tidak benar itu”. Dengan demikian, proposisi negatif adalah proposisi majemuk: proposisi itu mencakup proposisi yang berbeda darinya sebagai bagiannya. Misalnya, negasi dari pernyataan "10 bilangan genap" adalah pernyataan "10 bukan bilangan genap" (atau: "Tidak benar 10 bilangan genap").

Mari kita nyatakan pernyataan dengan huruf A, B, C, ... Arti lengkap dari konsep negasi suatu pernyataan diberikan oleh kondisi: jika pernyataan A benar, negasinya salah, dan jika A salah, negasinya adalah benar. Misalnya, karena proposisi "1 adalah bilangan bulat positif" benar, negasinya "1 bukan bilangan bulat positif" adalah salah, dan karena "1 adalah bilangan prima" salah, negasinya "1 bukan bilangan prima " adalah benar.

Menggabungkan dua pernyataan dengan kata "dan" menghasilkan pernyataan majemuk yang disebut konjungsi. Pernyataan yang terhubung dengan cara ini disebut "istilah konjungsi".

Misalnya, jika pernyataan "Hari ini panas" dan "Kemarin dingin" digabungkan dengan cara ini, konjungsi "Hari ini panas dan kemarin dingin" diperoleh.

Konjungsi benar hanya jika kedua pernyataan di dalamnya benar; jika setidaknya salah satu istilahnya salah, maka seluruh konjungsinya salah.

Dalam bahasa biasa, dua pernyataan dihubungkan oleh persatuan "dan" ketika mereka terkait dalam konten atau makna. Sifat hubungan ini tidak sepenuhnya jelas, tetapi jelas bahwa kita tidak akan menganggap konjungsi "Dia pergi ke mantel, dan saya pergi ke universitas" sebagai ungkapan yang masuk akal dan bisa benar atau salah. Meskipun pernyataan “2 adalah bilangan prima” dan “Moskow adalah kota besar” adalah benar, kita tidak cenderung menganggap konjungsi mereka “2 adalah bilangan prima dan Moskow adalah kota besar” juga benar, karena pernyataan yang membuat itu tidak terkait dalam arti. Dengan menyederhanakan arti dari konjungsi dan penghubung logis lainnya dan untuk ini, mengabaikan konsep yang tidak jelas tentang "hubungan pernyataan dengan makna", logika membuat arti dari penghubung ini lebih luas dan lebih jelas pada saat yang bersamaan.

Menghubungkan dua kalimat dengan kata "atau" memberi pemisahan pernyataan-pernyataan ini. Pernyataan yang membentuk disjungsi disebut "anggota disjungsi" .

Kata “atau” dalam bahasa sehari-hari memiliki dua arti yang berbeda. Kadang-kadang itu berarti "satu atau yang lain, atau keduanya," dan kadang-kadang "satu atau yang lain, tetapi tidak keduanya bersama-sama." Misalnya, pernyataan "Musim ini saya ingin pergi ke Ratu Sekop atau ke Aida" memungkinkan kemungkinan menghadiri opera dua kali. Pernyataan "Dia belajar di Moskow atau Universitas Yaroslavl" menyiratkan bahwa orang tersebut hanya belajar di salah satu universitas ini.

Arti pertama dari "atau" disebut non-eksklusif. Diambil dalam pengertian ini, disjungsi dua pernyataan berarti bahwa setidaknya satu dari pernyataan ini benar, baik keduanya benar atau tidak. Diambil di detik eksklusif, atau dalam arti sempit, disjungsi dua proposisi menyatakan bahwa salah satu proposisi benar dan yang lainnya salah.

Disjungsi non-eksklusif benar jika setidaknya salah satu pernyataannya benar, dan salah hanya jika kedua istilahnya salah.

Disjungsi eksklusif adalah benar jika hanya salah satu syaratnya yang benar, dan salah jika kedua syaratnya benar atau keduanya salah.

Dalam logika dan matematika, kata "atau" hampir selalu digunakan dalam pengertian non-eksklusif.

Pernyataan bersyarat - pernyataan kompleks, biasanya dirumuskan dengan bantuan tautan "jika ..., maka ..." dan menetapkan bahwa satu peristiwa, keadaan, dll. adalah, dalam satu atau lain hal, dasar atau kondisi untuk yang lain.

Misalnya: “Jika ada api, maka ada asap”, “Jika suatu bilangan habis dibagi 9, maka habis dibagi 3”, dsb.

Pernyataan bersyarat terdiri dari dua pernyataan yang lebih sederhana. Yang awalan kata "jika" disebut dasar, atau mendahului(sebelumnya), pernyataan yang muncul setelah kata "itu" disebut konsekuensi, atau konsekuensial(setelah).

Dengan menegaskan suatu pernyataan kondisional, pertama-tama kami bermaksud bahwa tidak mungkin apa yang dikatakan pada dasarnya terjadi, tetapi apa yang dikatakan dalam konsekuensinya tidak ada. Dengan kata lain, tidak mungkin terjadi anteseden benar dan konsekuen salah.

Dalam hal pernyataan bersyarat, konsep kondisi yang cukup dan perlu biasanya didefinisikan: anteseden (basis) adalah kondisi yang cukup untuk konsekuen (konsekuensi), dan konsekuen adalah kondisi yang diperlukan untuk anteseden. Misalnya, kebenaran pernyataan kondisional "Jika pilihannya rasional, maka alternatif terbaik yang tersedia dipilih" berarti rasionalitas adalah alasan yang cukup untuk memilih opsi terbaik yang tersedia, dan bahwa memilih opsi seperti itu adalah kondisi yang diperlukan untuknya. rasionalitas.

Fungsi khas dari pernyataan bersyarat adalah untuk mendukung satu pernyataan dengan mengacu pada pernyataan lain. Misalnya, fakta bahwa perak adalah konduktif listrik dapat dibenarkan dengan mengacu pada fakta bahwa itu adalah logam: "Jika perak adalah logam, itu adalah konduktif listrik."

Hubungan antara pembenar dan pembenar (alasan dan konsekuensi) yang diungkapkan oleh pernyataan bersyarat sulit untuk dicirikan secara umum, dan hanya kadang-kadang sifatnya relatif jelas. Hubungan ini dapat berupa, pertama, hubungan konsekuensi logis yang terjadi antara premis-premis dan kesimpulan dari kesimpulan yang benar (“Jika semua makhluk hidup multiseluler adalah fana, dan ubur-ubur adalah makhluk seperti itu, maka itu fana”); kedua, oleh hukum alam ("Jika tubuh mengalami gesekan, itu akan mulai memanas"); ketiga, dengan kausalitas ("Jika Bulan berada di simpul orbitnya di bulan baru, terjadi gerhana matahari"); keempat, keteraturan sosial, aturan, tradisi ("Jika masyarakat berubah, orangnya juga berubah", "Jika nasihat itu masuk akal, itu harus dilakukan"), dll.

Hubungan yang diungkapkan oleh pernyataan bersyarat biasanya dihubungkan dengan keyakinan bahwa konsekuensi harus "mengikuti" dari alasan dan bahwa ada beberapa hukum umum, setelah dapat merumuskan yang, secara logis kita dapat menyimpulkan konsekuensi dari alasan.

Misalnya, pernyataan bersyarat "Jika bismut adalah logam, maka ia plastik" tampaknya menyiratkan hukum umum "Semua logam adalah plastik", yang membuat konsekuen dari pernyataan ini sebagai konsekuensi logis dari antesedennya.

Baik dalam bahasa sehari-hari maupun dalam bahasa ilmu pengetahuan, pernyataan bersyarat, selain fungsi pembenaran, juga dapat melakukan sejumlah tugas lain: untuk merumuskan suatu kondisi yang tidak terkait dengan hukum atau aturan umum yang tersirat (“Jika saya mau, saya akan memotong jubah saya”); perbaiki beberapa urutan ("Jika musim panas lalu kering, maka tahun ini hujan"); untuk mengungkapkan ketidakpercayaan dalam bentuk yang aneh ("Jika Anda memecahkan masalah ini, saya akan membuktikan teorema terakhir Fermat"); oposisi ("Jika elderberry tumbuh di kebun, maka paman tinggal di Kyiv"), dll. Multiplisitas dan heterogenitas fungsi pernyataan kondisional secara signifikan memperumit analisisnya.

Penggunaan pernyataan bersyarat dikaitkan dengan faktor psikologis tertentu. Biasanya kita merumuskan pernyataan seperti itu hanya jika kita tidak mengetahui dengan pasti apakah anteseden dan konsekuennya benar atau tidak. Jika tidak, penggunaannya tampak tidak alami ("Jika kapas adalah logam, itu konduktif secara elektrik").

Pernyataan bersyarat menemukan aplikasi yang sangat luas di semua bidang penalaran. Dalam logika, biasanya diwakili oleh pernyataan implikatif, atau implikasi. Pada saat yang sama, logika mengklarifikasi, mensistematisasikan, dan menyederhanakan penggunaan "jika ..., maka ...", membebaskannya dari pengaruh faktor psikologis.

Logika disarikan, khususnya, dari fakta bahwa, tergantung pada konteksnya, hubungan antara dasar dan konsekuensi, yang merupakan karakteristik dari pernyataan bersyarat, dapat diungkapkan tidak hanya dengan bantuan "jika ..., maka ...", tetapi juga dengan sarana linguistik lainnya.

Misalnya, "Karena air adalah cairan, ia mentransfer tekanan secara merata ke segala arah", "Meskipun plastisin bukan logam, itu adalah plastik", "Jika pohon adalah logam, itu akan menjadi konduktif listrik", dll. Ini dan pernyataan serupa diwakili dalam bahasa logika melalui implikasi, meskipun penggunaan "jika ... maka ..." di dalamnya tidak akan sepenuhnya alami.

Dengan menegaskan implikasinya, kami menegaskan bahwa tidak mungkin terjadi bahwa fondasinya terjadi dan konsekuensinya tidak ada. Dengan kata lain, sebuah implikasi salah hanya jika alasannya benar dan konsekuensinya salah.

Definisi ini mengasumsikan, seperti definisi penghubung sebelumnya, bahwa setiap proposisi benar atau salah, dan bahwa nilai kebenaran dari proposisi majemuk hanya bergantung pada nilai kebenaran dari proposisi komponennya dan cara mereka terhubung.

Sebuah implikasi adalah benar ketika alasan dan konsekuensinya benar atau salah; itu benar jika alasannya salah dan konsekuensinya benar. Hanya dalam kasus keempat, ketika alasannya benar dan konsekuensinya salah, implikasinya salah.

Implikasinya tidak menyiratkan bahwa pernyataan A dan B entah bagaimana terkait dalam konten. Jika B benar, pernyataan "jika A, maka B" adalah benar, terlepas dari apakah A benar atau salah dan apakah secara semantik terkait dengan B atau tidak.

Misalnya, pernyataan dianggap benar: "Jika ada kehidupan di Matahari, maka dua kali dua sama dengan empat", "Jika Volga adalah danau, maka Tokyo adalah desa besar", dll. Pernyataan bersyarat juga benar ketika A salah, dan pada saat yang sama lagi, tidak ada bedanya apakah B benar atau tidak, dan apakah itu terhubung dalam konten dengan A atau tidak. Pernyataan berikut ini benar: “Jika Matahari kubus, maka Bumi adalah segitiga”, “Jika dua kali dua sama dengan lima, maka Tokyo adalah kota kecil”, dll.

Dalam penalaran biasa, semua pernyataan ini tidak mungkin dianggap bermakna, dan bahkan kurang benar.

Meskipun implikasi berguna untuk banyak tujuan, itu tidak cukup cocok dengan pemahaman biasa tentang asosiasi bersyarat. Implikasinya mencakup banyak fitur penting dari perilaku logis dari pernyataan bersyarat, tetapi pada saat yang sama itu bukan deskripsi yang cukup memadai tentangnya.

Dalam setengah abad terakhir, upaya keras telah dilakukan untuk mereformasi teori implikasi. Pada saat yang sama, itu bukan masalah untuk meninggalkan konsep implikasi yang dijelaskan, tetapi memperkenalkan, bersama dengan itu, konsep lain yang memperhitungkan tidak hanya nilai kebenaran pernyataan, tetapi juga hubungannya dalam konten.

Berhubungan erat dengan implikasi persamaan derajatnya, terkadang disebut "implikasi ganda".

Persamaan derajatnya- pernyataan kompleks "A, jika dan hanya jika B", dibentuk dari pernyataan A dan B dan didekomposisi menjadi dua implikasi: "jika A, maka B", dan "jika B, maka A". Misalnya: "Segitiga sama sisi jika dan hanya jika segitiga sama sisi." Istilah "kesetaraan" juga menunjukkan tautan "... jika dan hanya jika ...", yang dengannya pernyataan kompleks ini dibentuk dari dua pernyataan. Alih-alih "jika dan hanya jika", untuk tujuan ini, "jika dan hanya jika", "jika dan hanya jika", dll. dapat digunakan.

Jika penghubung logis didefinisikan dalam istilah benar dan salah, suatu ekivalensi adalah benar jika dan hanya jika kedua pernyataan penyusunnya memiliki nilai kebenaran yang sama, yaitu jika keduanya benar dan keduanya salah. Dengan demikian, suatu ekivalensi adalah salah jika salah satu pernyataannya benar dan yang lainnya salah.

Ketika mempertimbangkan cara membentuk pernyataan kompleks dari yang sederhana, struktur internal pernyataan sederhana tidak diperhitungkan. Mereka diambil sebagai partikel yang tidak dapat didekomposisi dengan hanya satu sifat: benar atau salah. Ucapan sederhana

bukan kebetulan bahwa mereka kadang-kadang disebut atom: dari mereka, seperti dari batu bata dasar, dengan bantuan penghubung logis "dan", "atau", dll., berbagai pernyataan kompleks ("molekul") dibangun.

Sekarang kita harus memikirkan pertanyaan tentang struktur internal, atau struktur internal, dari pernyataan-pernyataan sederhana itu sendiri: bagian-bagian spesifik apa yang mereka buat dan bagaimana bagian-bagian ini saling berhubungan.

Harus segera ditekankan bahwa pernyataan sederhana dapat diuraikan menjadi bagian-bagian komponennya dengan cara yang berbeda. Hasil dekomposisi tergantung pada tujuan dilakukannya, yaitu pada konsep inferensi logis (konsekuensi logis) di mana pernyataan tersebut dianalisis.

Ketertarikan khusus pada proposisi kategoris dijelaskan terutama oleh fakta bahwa perkembangan logika sebagai ilmu dimulai dengan studi tentang hubungan logisnya. Selain itu, pernyataan jenis ini banyak digunakan dalam penalaran kita. Teori koneksi logis dari pernyataan kategoris biasanya disebut silogistik.

Misalnya, dalam pernyataan "Semua dinosaurus punah," dinosaurus dikreditkan dengan atribut "punah." Dalam proposisi "Beberapa dinosaurus terbang," kemampuan untuk terbang dikaitkan dengan jenis dinosaurus tertentu. Proposisi "Semua komet bukan asteroid" menyangkal keberadaan atribut "menjadi asteroid" untuk masing-masing komet. Proposisi "Beberapa hewan bukan herbivora" menyangkal herbivora beberapa hewan.

Jika kita mengabaikan karakteristik kuantitatif yang terkandung dalam pernyataan kategoris dan diungkapkan dengan kata-kata "semua" dan "beberapa", maka kita mendapatkan dua versi pernyataan seperti itu: afirmatif dan negatif. Struktur mereka:

"S adalah P" dan "S bukan P"

dimana huruf S mewakili nama objek yang dimaksud dalam pernyataan, dan huruf P adalah nama fitur yang melekat atau tidak melekat pada objek ini.

Nama objek yang dirujuk dalam pernyataan kategoris disebut subjek, dan nama fiturnya adalah predikat. Subjek dan predikat diberi nama ketentuan pernyataan kategoris dan saling berhubungan oleh ligamen "adalah" atau "tidak" ("adalah" atau "tidak", dll.). Misalnya, dalam pernyataan “Matahari adalah bintang”, istilahnya adalah nama “Matahari” dan “bintang” (yang pertama adalah subjek pernyataan, yang kedua adalah predikatnya), dan kata “adalah ” adalah tautan.

Pernyataan sederhana seperti "S adalah (bukan) P" disebut atributif: mereka melakukan atribusi (penugasan) dari beberapa properti ke suatu objek.

Pernyataan atributif ditentang oleh pernyataan tentang hubungan di mana hubungan dibuat antara dua atau lebih objek: "Tiga kurang dari lima", "Kyiv lebih besar dari Odessa", "Musim semi lebih baik daripada musim gugur", "Paris antara Moskow dan Baru York”, dll. Pernyataan tentang hubungan memainkan peran penting dalam sains, terutama dalam matematika. Mereka tidak dapat direduksi menjadi pernyataan kategoris, karena hubungan antara beberapa objek (seperti "sama", "mencintai", "lebih hangat", "ada di antara", dll.) tidak dapat direduksi menjadi properti objek individu. Salah satu kekurangan penting dari logika tradisional adalah bahwa ia menganggap penilaian tentang hubungan dapat direduksi menjadi penilaian tentang properti.

Dalam pernyataan kategoris, hubungan antara objek dan atribut tidak hanya ditetapkan, tetapi juga diberikan karakteristik kuantitatif tertentu dari subjek pernyataan. Dalam pernyataan seperti "Semua S adalah (bukan) P" kata "semua" berarti "setiap objek dari kelas yang sesuai." Dalam pernyataan seperti "Beberapa S adalah (bukan) P" kata "beberapa" digunakan dalam arti non-eksklusif dan berarti "beberapa, tapi mungkin semua". Dalam arti eksklusif, kata "beberapa" berarti "hanya beberapa", atau "beberapa tetapi tidak semua". Perbedaan antara dua arti kata ini dapat diilustrasikan dengan contoh pernyataan "Beberapa bintang adalah bintang." Dalam arti non-eksklusif, itu berarti "Beberapa, mungkin semua bintang adalah bintang" dan jelas benar. Dalam pengertian eksklusif, pernyataan ini berarti "Hanya beberapa bintang yang merupakan bintang" dan jelas salah.

Dalam pernyataan kategoris, kepemilikan beberapa tanda pada objek yang dipertimbangkan ditegaskan atau ditolak dan ditunjukkan apakah itu tentang semua objek ini atau tentang beberapa di antaranya.

Dengan demikian, empat jenis pernyataan kategoris dimungkinkan:

Semua S adalah P - pernyataan afirmatif umum,

Beberapa S adalah P - pernyataan afirmatif pribadi,

Semua S bukan P - pernyataan negatif umum,

Beberapa S bukan P - pernyataan negatif tertentu.

Pernyataan kategoris dapat dianggap sebagai hasil dari penggantian beberapa nama ke dalam ekspresi berikut dengan spasi (elipsis): "Semuanya ... adalah ...", "Beberapa ... adalah ...", "Semuanya ... adalah tidak ..." dan "Beberapa ... tidak ...". Masing-masing ekspresi ini adalah konstanta logis (operasi logis) yang memungkinkan Anda mendapatkan pernyataan dari dua nama. Misalnya, dengan mengganti nama "terbang" dan "burung" alih-alih titik, kami memperoleh, masing-masing, pernyataan berikut: "Semua yang terbang adalah burung", "Beberapa yang terbang adalah burung",

kesimpulan

"Semua yang terbang bukanlah burung" dan "Beberapa yang terbang bukanlah burung." Pernyataan pertama dan ketiga salah, dan pernyataan kedua dan keempat benar.

kesimpulan

“Dengan setetes air, seseorang yang tahu cara berpikir logis dapat menyimpulkan keberadaan Samudra Atlantik atau Air Terjun Niagara, bahkan jika dia belum pernah melihat keduanya dan belum pernah mendengarnya ... Dengan kuku seseorang, dengan tangan, sepatu, lipatan celana di lututnya, dengan penebalan kulit di ibu jari dan jari telunjuk, dengan ekspresi di wajah dan manset kemejanya - tidak sulit untuk menebak profesinya dari hal-hal sepele seperti itu. . Dan tidak ada keraguan bahwa semua ini, secara bersama-sama, akan mendorong kesimpulan yang benar bagi pengamat yang berpengetahuan.

Ini adalah kutipan dari artikel utama oleh detektif konsultan paling terkenal di dunia, Sherlock Holmes. Berdasarkan detail terkecil, ia membangun rantai penalaran yang sempurna secara logis dan memecahkan kejahatan yang rumit, seringkali dari kenyamanan apartemennya di Baker Street. Holmes menggunakan metode deduktif yang dia ciptakan sendiri, seperti yang diyakini temannya Dr. Watson, memecahkan kejahatan di ambang ilmu pasti.

Tentu saja, Holmes agak melebih-lebihkan pentingnya deduksi dalam ilmu forensik, tetapi alasannya tentang metode deduktif berhasil. "Pengurangan" dari istilah khusus yang hanya diketahui oleh segelintir orang telah berubah menjadi konsep yang umum digunakan dan bahkan modis. Mempopulerkan seni penalaran yang benar, dan di atas semua penalaran deduktif, tidak kalah bagusnya dengan Holmes daripada semua kejahatan yang ditemukannya. Dia berhasil "memberi logika pesona mimpi, membuat jalan melalui labirin kristal dari kemungkinan deduksi ke satu kesimpulan bercahaya" (V. Nabokov).

Deduksi adalah kasus khusus dari inferensi.

Dalam arti luas kesimpulan - operasi logis, sebagai akibatnya pernyataan baru diperoleh dari satu atau lebih pernyataan yang diterima (premis) - kesimpulan (kesimpulan, konsekuensi).

Tergantung pada apakah ada hubungan antara premis dan kesimpulan konsekuensi logis, ada dua jenis inferensi.

Pada intinya penalaran deduktif terletak hukum logis, berdasarkan kesimpulan yang mengikuti dengan kebutuhan logis dari premis yang diterima.

Ciri khas dari inferensi semacam itu adalah bahwa inferensi selalu mengarah dari premis yang benar ke kesimpulan yang benar.

PADA penalaran induktif hubungan premis dan kesimpulan tidak didasarkan pada hukum logika, tetapi pada beberapa alasan faktual atau psikologis yang tidak memiliki karakter formal murni.

Dalam kesimpulan seperti itu, kesimpulan tidak mengikuti secara logis dari premis dan mungkin mengandung informasi yang tidak ada di dalamnya. Oleh karena itu, kebenaran premis tidak berarti kebenaran pernyataan yang diturunkan secara induktif darinya. Induksi hanya memberikan kemungkinan, atau terpercaya kesimpulan yang memerlukan verifikasi lebih lanjut.

Contoh penalaran deduktif meliputi:

Jika hujan, tanah menjadi basah. Sedang hujan.

Tanahnya basah.

Jika helium adalah logam, maka helium bersifat konduktif. Helium tidak bersifat konduktif listrik.

Helium bukan logam.

Garis yang memisahkan premis dari kesimpulan menggantikan, seperti biasa, kata "karena itu".

Penalaran dapat berfungsi sebagai contoh induksi:

Argentina adalah sebuah republik; Brasil adalah sebuah republik; Venezuela adalah sebuah republik; Ekuador adalah sebuah republik.

Argentina, Brasil, Venezuela, Ekuador adalah negara bagian Amerika Latin.

Semua negara bagian Amerika Latin adalah republik .

Italia adalah sebuah republik, Portugal adalah sebuah republik, Finlandia adalah sebuah republik, Perancis adalah sebuah republik.

Italia, Portugal, Finlandia, Prancis - negara-negara Eropa Barat.

Semua negara Eropa Barat adalah republik.

Induksi tidak memberikan jaminan penuh untuk memperoleh kebenaran baru dari yang sudah ada. Maksimum yang dapat didiskusikan adalah tingkat probabilitas tertentu dari pernyataan yang ditarik. Jadi premis dari penalaran induktif pertama dan kedua adalah benar, tetapi kesimpulan dari yang pertama benar, dan yang kedua salah. Memang, semua negara bagian Amerika Latin adalah republik; tetapi di antara negara-negara Eropa Barat tidak hanya republik, tetapi juga monarki, seperti Inggris, Belgia, dan Spanyol.

kesimpulan

Khusus deduksi karakteristik adalah transisi logis dari umum ke pengetahuan khusus, seperti:

Semua logam adalah plastik. Tembaga adalah logam.

Tembaga adalah plastik.

Dalam semua kasus ketika diperlukan untuk mempertimbangkan beberapa fenomena berdasarkan aturan umum yang sudah diketahui dan menarik kesimpulan yang diperlukan mengenai fenomena ini, kami menyimpulkan dalam bentuk deduksi. Penalaran yang mengarah dari pengetahuan tentang sebagian objek (pengetahuan pribadi) ke pengetahuan tentang semua objek dari kelas tertentu (pengetahuan umum) adalah induksi yang khas. Selalu ada kemungkinan bahwa generalisasi akan menjadi tergesa-gesa dan tidak berdasar ("Napoleon adalah seorang komandan; Suvorov adalah seorang komandan; oleh karena itu, setiap orang adalah seorang komandan").

Pada saat yang sama, seseorang tidak dapat mengidentifikasi deduksi dengan transisi dari umum ke khusus, dan induksi dengan transisi dari khusus ke umum.

Dalam penalaran “Shakespeare menulis soneta; oleh karena itu, tidak benar bahwa Shakespeare tidak menulis soneta” adalah deduksi, tetapi tidak ada transisi dari umum ke khusus. Argumen "Jika aluminium ulet atau tanah liat ulet, maka aluminium ulet" umumnya dianggap induktif, tetapi tidak ada transisi dari khusus ke umum.

Deduksi adalah derivasi kesimpulan yang dapat diandalkan seperti premis yang diterima, induksi adalah derivasi dari kemungkinan (masuk akal) kesimpulan. Inferensi induktif mencakup transisi dari khusus ke umum, serta analogi, metode untuk membangun hubungan sebab akibat, konfirmasi konsekuensi, pembenaran target, dll.

Minat khusus yang ditunjukkan dalam penalaran deduktif dapat dimengerti. Mereka memungkinkan seseorang untuk memperoleh kebenaran baru dari pengetahuan yang ada, dan, terlebih lagi, dengan bantuan penalaran murni, tanpa menggunakan pengalaman, intuisi, akal sehat, dll. adalah kemungkinan kesimpulan yang benar. Berawal dari premis-premis yang benar dan penalaran secara deduktif, kita tentu akan memperoleh pengetahuan yang andal dalam segala hal.

Sambil menekankan pentingnya deduksi dalam proses perluasan dan pembuktian pengetahuan, orang tidak boleh, bagaimanapun, memisahkannya dari induksi dan meremehkan yang terakhir. Hampir semua proposisi umum, termasuk hukum ilmiah, adalah hasil dari generalisasi induktif. Dalam pengertian ini, induksi adalah dasar dari pengetahuan kita. Itu tidak dengan sendirinya menjamin kebenaran dan validitasnya, tetapi menghasilkan dugaan, menghubungkannya dengan pengalaman, dan dengan demikian memberi mereka kemungkinan tertentu, tingkat probabilitas yang kurang lebih tinggi. Pengalaman adalah sumber dan dasar dari pengetahuan manusia. Induksi, mulai dari apa yang dipahami dalam pengalaman, merupakan sarana yang diperlukan untuk generalisasi dan sistematisasinya.

HUKUM LOGIS

Bab

Konsep hukum logis

Hukum logika membentuk dasar pemikiran manusia. Mereka menentukan kapan pernyataan lain secara logis mengikuti dari beberapa pernyataan, dan mereka mewakili kerangka besi yang tidak terlihat yang menjadi sandaran penalaran yang konsisten dan tanpanya itu berubah menjadi pembicaraan yang kacau dan tidak koheren. Tanpa hukum yang logis, tidak mungkin untuk memahami apa itu konsekuensi logis, dan dengan demikian apa itu pembuktian.

Benar, atau, seperti yang biasa mereka katakan, berpikir logis adalah berpikir menurut hukum-hukum logika, menurut pola-pola abstrak yang ditetapkan olehnya. Ini menjelaskan pentingnya hukum-hukum ini.

Hukum-hukum logika yang homogen digabungkan ke dalam sistem-sistem logika, yang juga biasa disebut “logika”. Masing-masing dari mereka memberikan deskripsi struktur logis dari fragmen tertentu, atau jenis, dari penalaran kita.

Misalnya, hukum yang menjelaskan hubungan logis dari proposisi, yang tidak bergantung pada struktur internal yang terakhir, digabungkan ke dalam sistem yang disebut "logika proposisional". Hukum-hukum logis yang menentukan hubungan proposisi kategoris membentuk sistem logis yang disebut "logika proposisi kategoris", atau "silogistik", dll.

Hukum logika bersifat objektif dan tidak bergantung pada kehendak dan kesadaran seseorang. Mereka bukan hasil kesepakatan antara orang-orang, beberapa konvensi yang dirancang khusus atau terbentuk secara spontan. Mereka juga bukan keturunan dari semacam "roh dunia", seperti yang pernah diyakini Plato. Kekuatan hukum logika atas seseorang, kekuatannya, yang wajib untuk pemikiran yang benar, disebabkan oleh fakta bahwa mereka mewakili refleksi dalam pemikiran manusia tentang dunia nyata dan pengalaman berabad-abad dari kognisi dan transformasi oleh pria.

Seperti semua hukum ilmiah lainnya, hukum logis bersifat universal dan perlu. Mereka bertindak selalu dan di mana-mana, menyebar secara merata ke semua orang dan ke era mana pun. Perwakilan

Konsep hukum logis

bangsa yang berbeda dan budaya yang berbeda, pria dan wanita, Mesir kuno dan Polinesia modern, dari sudut pandang logika penalaran mereka, tidak berbeda satu sama lain.

Keharusan yang melekat dalam hukum logika dalam beberapa hal bahkan lebih mendesak dan tidak dapat diubah daripada kebutuhan alami atau fisik. Bahkan tidak mungkin untuk membayangkan bahwa yang diperlukan secara logis adalah sebaliknya. Jika sesuatu bertentangan dengan hukum alam dan secara fisik tidak mungkin, maka tidak ada insinyur, dengan segala bakatnya, yang dapat mewujudkannya. Tetapi jika sesuatu bertentangan dengan hukum logika dan secara logis tidak mungkin, maka tidak hanya seorang insinyur - bahkan makhluk yang mahakuasa, jika tiba-tiba muncul, tidak dapat menghidupkannya.

Seperti disebutkan sebelumnya, dalam penalaran yang benar, kesimpulan mengikuti dari premis dengan kebutuhan logis, dan skema umum dari penalaran tersebut adalah hukum logis.

Jumlah skema penalaran yang benar (hukum logis) tidak terbatas. Banyak dari skema ini kita ketahui dari praktik penalaran. Kami menerapkannya secara intuitif, tanpa menyadari bahwa dalam setiap kesimpulan yang benar yang kami tarik, hukum logis ini atau itu digunakan.

Sebelum memperkenalkan konsep umum hukum logika, kami berikan beberapa contoh skema penalaran yang merupakan hukum logika. Alih-alih variabel A, B, C, ..., biasanya digunakan untuk menyatakan pernyataan, kita akan menggunakan, seperti yang dilakukan di zaman kuno, kata-kata "pertama" dan "kedua", menggantikan variabel.

“Jika ada yang pertama, maka ada yang kedua; ada yang pertama; oleh karena itu, ada yang kedua. Skema penalaran ini memungkinkan kita untuk beralih dari pernyataan pernyataan bersyarat ("Jika ada yang pertama, maka ada yang kedua") dan pernyataan fondasinya ("Ada yang pertama") ke pernyataan konsekuensi. (“Ada satu detik”). Menurut skema ini, khususnya, alasannya berlanjut: “Jika es dipanaskan, ia akan mencair; es dipanaskan; oleh karena itu, ia meleleh."

Diagram lain dari penalaran yang benar: “Entah yang pertama atau kedua terjadi; ada yang pertama; jadi tidak ada yang kedua. Melalui skema ini, dari dua alternatif yang saling eksklusif dan menetapkan mana yang terjadi, transisi dilakukan ke negasi alternatif kedua. Misalnya: “Dostoevsky lahir di Moskow, atau dia lahir di St. Petersburg. Dostoevsky lahir di Moskow. Jadi tidak benar dia lahir di Sankt Peterburg.” Di barat Amerika The Good, the Bad and the Ugly, seorang penjahat berkata kepada yang lain: “Ingat, dunia ini dibagi menjadi dua bagian: mereka yang memegang pistol dan mereka yang menggali. Saya punya pistol sekarang, jadi ambil sekop. Alasan ini juga didasarkan pada skema yang ditunjukkan.

Dan satu contoh awal terakhir dari hukum logis, atau skema umum penalaran yang benar: “Ada yang pertama atau kedua. Tapi tidak ada yang pertama. Jadi yang kedua terjadi. Mari kita ganti ungkapan "Ini siang hari" alih-alih ungkapan "pertama", dan pernyataan "Ini malam" alih-alih "kedua". Dari skema abstrak kita mendapatkan alasan: “Sekarang adalah siang atau sekarang adalah malam. Tapi itu tidak benar bahwa ini adalah siang hari.

Jadi sekarang sudah malam."

Ini adalah beberapa skema sederhana dari penalaran yang benar, yang menggambarkan konsep hukum logis. Ratusan dan ratusan skema seperti itu ada di kepala kita, meskipun kita tidak menyadarinya. Berdasarkan mereka, kami bernalar secara logis, atau benar.

Hukum logika (hukum logika)- ekspresi yang hanya mencakup konstanta dan variabel logis alih-alih bagian yang bermakna dan benar dalam bidang penalaran apa pun.

Ambil contoh ekspresi yang hanya terdiri dari variabel dan konstanta logika, ekspresi: “Jika A, maka B; jadi jika bukan A, maka bukan B. Konstanta logis di sini adalah penghubung proposisional "jika, maka" dan "tidak". Variabel A dan B mewakili beberapa pernyataan. Misalkan A adalah pernyataan “Ada sebab” dan B adalah pernyataan “Ada akibat”. Dengan konten khusus ini, kita mendapatkan alasan: “Jika ada sebab, maka ada akibat; jadi jika tidak ada akibat, maka tidak ada sebab. Misalkan, lebih lanjut, bahwa alih-alih A, pernyataan "Bilangannya habis dibagi enam" diganti, dan alih-alih B, pernyataan "Bilangannya habis dibagi tiga." Dengan konten khusus ini, berdasarkan skema yang sedang dipertimbangkan, kami mendapatkan alasan: “Jika suatu bilangan habis dibagi enam, ia habis dibagi tiga. Oleh karena itu, jika suatu bilangan tidak habis dibagi tiga, maka bilangan itu tidak habis dibagi enam.” Apapun pernyataan lain yang menggantikan variabel A dan B, jika pernyataan ini benar, maka kesimpulan yang ditarik dari mereka akan benar.

Dalam logika, reservasi biasanya dibuat bahwa area objek, tentang mana argumen dibuat dan tentang apa pernyataan yang diganti ke dalam hukum logis berbicara, tidak boleh kosong: harus berisi setidaknya satu objek. Jika tidak, penalaran menurut skema, yang merupakan hukum logika, dapat mengarah dari premis yang benar ke kesimpulan yang salah.

Misalnya, dari premis yang benar "Semua gajah adalah binatang" dan "Semua gajah memiliki belalai", menurut hukum logika, kesimpulan yang benar "Beberapa hewan memiliki belalai" berikut. Tetapi jika area objek yang dimaksud kosong, mengikuti hukum logika tidak menjamin kesimpulan yang benar dengan premis yang benar. Kami akan berdebat dengan cara yang sama, tetapi tentang gunung emas. Mari kita tarik kesimpulan: “Semua gunung emas adalah gunung; semua gunung emas adalah emas; oleh karena itu, beberapa gunung berwarna emas.” Kedua premis argumen ini benar. Tetapi kesimpulannya "Beberapa gunung berwarna emas" jelas salah: tidak ada gunung emas.

Konsep hukum logis

Jadi, untuk penalaran berdasarkan hukum logika, ada dua ciri yang khas:

Penalaran seperti itu selalu mengarah dari premis yang benar ke kesimpulan yang benar;

Konsekuensi mengikuti dari premis dengan kebutuhan logis.

Hukum logika disebut juga tautologi logis.

Tautologi logis- ekspresi yang tetap benar, terlepas dari objek apa yang terlibat, atau ekspresi "selalu benar".

Misalnya, semua hasil substitusi ke dalam hukum logika negasi rangkap “Jika A salah maka bukan A” adalah pernyataan yang benar: “Jika jelaga hitam, maka salah bahwa tidak hitam”, "Jika seseorang gemetar ketakutan, maka salah bahwa dia tidak gemetar ketakutan," dll.

Seperti yang telah disebutkan, konsep hukum logis berhubungan langsung dengan konsep konsekuensi logis: kesimpulan mengikuti secara logis dari premis yang diterima, jika dihubungkan dengan mereka oleh hukum logis. Misalnya, dari premis "Jika A, maka B" dan "Jika B, maka C", kesimpulan "Jika A, maka C" secara logis mengikuti, karena ekspresi "Jika A, maka B, dan jika B, maka C , maka jika A , maka C" adalah hukum logika, yaitu hukum transitivitas(transitivitas). Katakanlah, dari premis "Jika seseorang adalah ayah, maka dia adalah orang tua" dan "Jika seseorang adalah orang tua, maka dia adalah ayah atau ibu," menurut hukum ini, akibat wajar berikut: "Jika seorang seseorang adalah ayah, maka dia adalah ayah atau ibu.”

mengikuti logika- hubungan antara premis dan kesimpulan dari inferensi, skema umum yang merupakan hukum logis.

Karena hubungan konsekuensi logis didasarkan pada hukum logis, ia dicirikan oleh dua fitur:

Konsekuensi logis mengarah dari premis yang benar hanya ke kesimpulan yang benar;

Kesimpulan yang mengikuti dari premis mengikuti dari mereka dengan kebutuhan logis.

Tidak semua hukum logis secara langsung mendefinisikan konsep konsekuensi logis. Ada hukum yang menjelaskan hubungan logis lainnya: "dan", "atau", "tidak benar bahwa", dll., dan hanya secara tidak langsung terkait dengan hubungan konsekuensi logis. Secara khusus, demikianlah hukum kontradiksi yang dibahas di bawah ini: “Tidak benar bahwa suatu pernyataan yang diambil secara sewenang-wenang dan

Kalimat sederhana dan kompleks. Penolakan sebuah pernyataan

Logika matematika, yang fondasinya diletakkan oleh G. Leibniz pada abad ke-17, dibentuk sebagai disiplin ilmu hanya pada pertengahan abad ke-19 berkat karya matematikawan J. Boole dan O. Morgan, yang menciptakan logika matematika. aljabar logika.

1. Tuturan adalah setiap kalimat deklaratif yang diketahui benar atau salah. Pernyataan dapat diungkapkan dengan menggunakan kata-kata, serta matematika, kimia, dan tanda-tanda lainnya. Berikut beberapa contohnya:

b) 2+6>8 (pernyataan salah),

c) jumlah angka 2 dan 6 lebih besar dari angka 8 (pernyataan salah);

d) II + VI > VII (pernyataan yang benar);

e) di dalam Galaksi kita terdapat peradaban luar angkasa (pernyataan ini tidak diragukan lagi benar atau salah, tetapi belum diketahui yang mana dari kemungkinan ini yang benar).

Jelaslah bahwa pernyataan b) dan c) memiliki arti yang sama, tetapi pernyataannya berbeda. Secara umum, kita akan menulis pernyataan seperti ini: a: (Bulan adalah satelit Bumi); b:(ada bilangan real x sehingga 2x+5=15); c: (semua segitiga sama kaki).

Tidak setiap kalimat adalah pernyataan. Misalnya, kalimat seru dan interogatif bukanlah pernyataan ("Apa warna rumah ini?", "Minum jus tomat!", "Berhenti!", dll.). Demikian pula pernyataan dan definisi, misalnya, "Mari kita sebut median segmen yang menghubungkan titik sudut segitiga dengan titik tengah sisi yang berlawanan." Di sini hanya nama beberapa objek yang ditetapkan. Jadi definisi, tetapi mungkin benar atau salah, mereka hanya mencatat penggunaan istilah yang diterima. Kalimat "Dia bermata abu-abu" atau "x 2 - 4x + 3 \u003d 0" bukan pernyataan - mereka tidak menunjukkan orang seperti apa yang mereka bicarakan atau pada apa x yang mereka anggap setara. Kalimat seperti itu dengan anggota yang tidak diketahui (variabel) disebut pernyataan tak tentu. Perhatikan bahwa kalimat "Beberapa orang bermata abu-abu" atau "Untuk semua x persamaan x 2 - 4x + 3 = 0" sudah merupakan pernyataan (yang pertama benar, dan yang kedua salah).

2. Pernyataan yang dapat diuraikan menjadi bagian-bagian disebut kompleks, dan pernyataan yang tidak dapat diuraikan lebih lanjut disebut sederhana. Misalnya, pernyataan “Hari ini jam 4 sore saya di sekolah, dan jam 6 sore saya pergi ke arena skating” terdiri dari dua bagian “Hari ini jam 4 sore saya di sekolah” dan “Hari ini jam 6 sore saya pergi ke sekolah”. arena seluncur ". Atau pernyataan ini: "fungsi y \u003d ax 2 + bx + c kontinu dan dapat diturunkan untuk semua nilai X" terdiri dari dua pernyataan sederhana: "Fungsi y = ax 2 + bx + c kontinu untuk semua nilai x" dan "fungsi y = ax 2 + bx + c terdiferensiasi untuk semua nilai x".

Sama seperti bilangan lain yang dapat diperoleh dari bilangan yang diberikan menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, demikian pula pernyataan baru diperoleh dari pernyataan yang diberikan menggunakan operasi yang memiliki nama khusus: konjungsi, disjungsi, implikasi, ekivalensi, negasi. Meskipun nama-nama ini terdengar tidak biasa, mereka hanya berarti koneksi yang terkenal dari kalimat individu dengan penghubung "dan", "atau", "jika ... maka ...", "jika dan hanya jika ...", serta sebagai penambahan partikel "tidak" pada pernyataan,

3. Negasi dari proposisi a adalah proposisi sedemikian sehingga a salah jika a benar dan a benar jika a salah. Sebutan a dibaca seperti ini: “Bukan a”, atau “Tidak benar bahwa a”. Mari kita coba memahami definisi ini dengan contoh. Perhatikan pernyataan berikut:

a: (Hari ini jam 12 siang saya berada di arena skating);

b: (Hari ini saya berada di arena skating bukan jam 12 siang);

c: (Saya berada di arena skating jam 12 siang, bukan hari ini);

d:(Hari ini jam 12 siang aku di sekolah);

e: (Hari ini saya berada di arena skating jam 3 sore);

f:(Hari ini jam 12 siang saya tidak ada di arena skating);

Sepintas, semua proposisi b - f meniadakan proposisi a. Tapi sebenarnya tidak. Jika Anda membaca dengan cermat arti dari pernyataan b, Anda akan melihat bahwa kedua pernyataan a dan b dapat berubah menjadi salah pada saat yang sama - ini akan terjadi jika hari ini saya tidak berada di arena sama sekali. Hal yang sama berlaku untuk pernyataan a dan c, a dan a. Dan pernyataan a dan e bisa menjadi benar (jika, misalnya, saya bermain skating dari jam 11 hingga 4 sore), dan pada saat yang sama salah (jika hari ini saya tidak berada di arena sama sekali ). Dan hanya proposisi f yang memiliki sifat berikut: benar jika proposisi a salah, dan salah jika proposisi a benar. Jadi, pernyataan f adalah negasi dari pernyataan a, yaitu f = a. Tabel berikut menunjukkan hubungan antara pernyataan a dan ;

Huruf "i" dan "l" masing-masing adalah singkatan dari kata "benar" dan "salah". Kata-kata ini dalam logika disebut nilai kebenaran. Tabel tersebut disebut tabel kebenaran.