Untuk a=b=R persamaan (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 menggambarkan lingkaran dengan jari-jari R berpusat di titik O"(x_0,y_0) .

Persamaan parametrik elips

Persamaan parametrik elips dalam sistem koordinat kanonik memiliki bentuk

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Memang, dengan mensubstitusi ekspresi ini ke dalam persamaan (3.49), kita sampai pada identitas trigonometri dasar \cos^2t+\sin^2t=1.

Contoh 3.20. menggambar elips \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 dalam sistem koordinat kanonik Oxy. Temukan semiaxes, panjang fokus, eksentrisitas, rasio aspek, parameter fokus, persamaan directrix.

Keputusan. Membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan kanonik, kami menentukan semiaxis: a=2 - semiaxis mayor, b=1 - semiaxis minor elips. Kami membangun persegi panjang utama dengan sisi 2a=4,~2b=2 berpusat di titik asal (Gbr.3.39). Mengingat simetri elips, kami memasukkannya ke dalam persegi panjang utama. Jika perlu, kami menentukan koordinat beberapa titik elips. Sebagai contoh, dengan mensubstitusikan x=1 ke dalam persamaan elips, kita peroleh

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ segi empat y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Oleh karena itu, titik-titik dengan koordinat \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- milik elips.

Hitung rasio kompresi k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); Focal length 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); keanehan e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parameter fokus p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Kami membuat persamaan directrix: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

11.1. Konsep dasar

Pertimbangkan garis yang ditentukan oleh persamaan derajat kedua sehubungan dengan koordinat saat ini

Koefisien persamaan adalah bilangan real, tetapi setidaknya salah satu dari bilangan A, B, atau C tidak nol. Garis seperti itu disebut garis (kurva) orde kedua. Di bawah ini akan ditentukan bahwa persamaan (11.1) mendefinisikan lingkaran, elips, hiperbola, atau parabola pada bidang. Sebelum melanjutkan ke pernyataan ini, mari kita pelajari sifat-sifat kurva yang disebutkan.

11.2. Lingkaran

Kurva paling sederhana dari orde kedua adalah lingkaran. Ingat bahwa lingkaran dengan jari-jari R berpusat pada suatu titik adalah himpunan semua titik dari bidang yang memenuhi kondisi . Biarkan sebuah titik dalam sistem koordinat persegi panjang memiliki koordinat x 0, y 0 a - titik sembarang lingkaran (lihat Gambar 48).

Kemudian dari kondisi tersebut diperoleh persamaan

(11.2)

Persamaan (11.2) dipenuhi oleh koordinat titik mana pun pada lingkaran yang diberikan dan tidak dipenuhi oleh koordinat titik mana pun yang tidak terletak pada lingkaran.

Persamaan (11.2) disebut persamaan kanonik lingkaran

Secara khusus, dengan asumsi dan , kita memperoleh persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal .

Persamaan lingkaran (11.2) setelah transformasi sederhana akan berbentuk . Ketika membandingkan persamaan ini dengan persamaan umum (11.1) dari kurva orde kedua, mudah untuk melihat bahwa dua kondisi terpenuhi untuk persamaan lingkaran:

1) koefisien pada x 2 dan y 2 sama satu sama lain;

2) tidak ada anggota yang mengandung produk xy dari koordinat saat ini.

Mari kita pertimbangkan masalah kebalikannya. Menempatkan dalam persamaan (11.1) nilai dan , kami memperoleh

Mari kita ubah persamaan ini:

(11.4)

Oleh karena itu persamaan (11.3) mendefinisikan lingkaran di bawah kondisi . Pusatnya ada di titik , dan jari-jari

.

Jika , maka persamaan (11.3) memiliki bentuk

.

Itu dipenuhi oleh koordinat satu titik . Dalam hal ini, mereka mengatakan: "lingkaran telah berubah menjadi titik" (memiliki jari-jari nol).

Jika sebuah , maka persamaan (11.4), dan dengan demikian persamaan setara (11.3), tidak akan menentukan garis apapun, karena ruas kanan persamaan (11.4) adalah negatif, dan ruas kiri tidak negatif (katakanlah: “lingkaran imajiner”).

11.3. Elips

Persamaan kanonik dari elips

Elips adalah himpunan semua titik pada bidang, jumlah jarak dari masing-masing titik tersebut ke dua titik tertentu pada bidang ini, yang disebut Trik , adalah nilai konstanta yang lebih besar dari jarak antara fokus.

Tunjukkan fokus dengan F1 dan F2, jarak keduanya dalam 2 c, dan jumlah jarak dari titik sembarang elips ke fokus - melalui 2 sebuah(lihat gambar 49). Menurut definisi 2 sebuah > 2c, yaitu sebuah > c.

Untuk menurunkan persamaan elips, kita memilih sistem koordinat sehingga fokus F1 dan F2 terletak pada sumbu , dan titik asal bertepatan dengan titik tengah segmen F 1 F 2. Maka fokus akan memiliki koordinat berikut: dan .

Membiarkan menjadi sembarang titik elips. Kemudian, menurut definisi elips, yaitu.

Ini, sebenarnya, adalah persamaan elips.

Kami mengubah persamaan (11,5) ke bentuk yang lebih sederhana sebagai berikut:

Sebagai sebuah>dengan, kemudian . Mari kita taruh

(11.6)

Kemudian persamaan terakhir mengambil bentuk atau

(11.7)

Dapat dibuktikan bahwa persamaan (11.7) ekuivalen dengan persamaan semula. Ini disebut persamaan kanonik elips .

Elips adalah kurva orde kedua.

Mempelajari bentuk elips menurut persamaannya

Mari kita tentukan bentuk elips menggunakan persamaan kanoniknya.

1. Persamaan (11.7) hanya memuat x dan y pangkat genap, jadi jika suatu titik termasuk dalam elips, maka titik ,, juga termasuk dalam elips. Oleh karena itu elips adalah simetris terhadap sumbu dan , serta sehubungan dengan titik , yang disebut pusat elips.

2. Tentukan titik potong elips dengan sumbu koordinat. Puting , Kami menemukan dua titik dan , di mana sumbu memotong elips (lihat Gambar. 50). Menempatkan dalam persamaan (11.7), kami menemukan titik-titik persimpangan elips dengan sumbu: dan . poin A 1 , A2 , B1, B2 ditelepon titik sudut elips. Segmen A 1 A2 dan B1 B2, serta panjangnya 2 sebuah dan 2 b dipanggil masing-masing sumbu mayor dan minor elips. angka sebuah dan b masing-masing disebut besar dan kecil. poros gandar elips.

3. Dari persamaan (11.7) diperoleh bahwa setiap suku di ruas kiri tidak lebih dari satu, yaitu. ada pertidaksamaan dan atau dan . Oleh karena itu, semua titik elips terletak di dalam persegi panjang yang dibentuk oleh garis lurus.

4. Pada persamaan (11.7), jumlah suku tak negatif dan sama dengan satu. Akibatnya, ketika satu istilah meningkat, yang lain akan berkurang, yaitu, jika meningkat, maka menurun dan sebaliknya.

Dari apa yang telah dikatakan, maka elips memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. 50 (kurva tertutup oval).

Lebih lanjut tentang elips

Bentuk elips tergantung pada rasio. Ketika elips berubah menjadi lingkaran, persamaan elips (11.7) berbentuk . Sebagai ciri dari bentuk elips, rasio lebih sering digunakan. Perbandingan setengah jarak antara fokus dengan sumbu semi-utama elips disebut eksentrisitas elips dan o6o dilambangkan dengan huruf ("epsilon"):

dengan 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Hal ini menunjukkan bahwa semakin kecil eksentrisitas elips, semakin sedikit oblate elips tersebut; jika kita menempatkan = 0, maka elips berubah menjadi lingkaran.

Biarkan M(x; y) menjadi titik sembarang dari elips dengan fokus F 1 dan F 2 (lihat Gambar 51). Panjang segmen F 1 M=r 1 dan F 2 M = r 2 disebut jari-jari fokus titik M. Jelas sekali,

Ada rumus

Garis lurus disebut

Teorema 11.1. Jika adalah jarak dari sembarang titik elips ke suatu fokus, d adalah jarak dari titik yang sama ke direktriks yang sesuai dengan fokus ini, maka rasionya adalah nilai konstan yang sama dengan eksentrisitas elips:

Ini mengikuti dari persamaan (11.6) bahwa . Jika , maka persamaan (11.7) mendefinisikan elips, sumbu utama terletak pada sumbu Oy, dan sumbu minor terletak pada sumbu Ox (lihat Gambar 52). Fokus dari elips tersebut berada di titik dan , Dimana .

11.4. Hiperbola

Persamaan kanonik hiperbola

hiperbola himpunan semua titik bidang disebut, modulus perbedaan jarak dari masing-masing ke dua titik tertentu dari bidang ini, disebut Trik , adalah nilai konstan, lebih kecil dari jarak antara fokus.

Tunjukkan fokus dengan F1 dan F2 jarak antara mereka melalui 2 detik, dan modulus perbedaan jarak dari setiap titik hiperbola ke fokus melalui 2a. Prioritas-A 2a < 2 detik, yaitu sebuah < c.

Untuk menurunkan persamaan hiperbola, kita memilih sistem koordinat sehingga titik fokus F1 dan F2 terletak pada sumbu , dan titik asal bertepatan dengan titik tengah segmen F 1 F 2(lihat gambar 53). Maka fokus akan memiliki koordinat dan

Membiarkan menjadi sembarang titik hiperbola. Kemudian menurut definisi hiperbola atau , yaitu Setelah penyederhanaan, seperti yang dilakukan ketika menurunkan persamaan elips, kita mendapatkan persamaan kanonik hiperbola

(11.9)

(11.10)

Hiperbola adalah garis orde dua.

Penyelidikan bentuk hiperbola menurut persamaannya

Mari kita tentukan bentuk hiperbola menggunakan persamaan caconic-nya.

1. Persamaan (11.9) memuat x dan y hanya dalam pangkat genap. Oleh karena itu, hiperbola adalah simetris terhadap sumbu dan , serta terhadap titik , yang disebut pusat hiperbola.

2. Temukan titik potong hiperbola dengan sumbu koordinat. Menempatkan dalam persamaan (11.9), kami menemukan dua titik perpotongan hiperbola dengan sumbu : dan . Dengan memasukkan (11.9), kita peroleh , yang tidak mungkin. Oleh karena itu, hiperbola tidak memotong sumbu y.

Titik dan disebut puncak hiperbola, dan segmen

sumbu nyata , segmen garis - setengah sumbu nyata hiperbola.

Ruas garis yang menghubungkan titik-titik disebut sumbu imajiner , nomor b - sumbu imajiner . Persegi panjang dengan sisi 2a dan 2b ditelepon persegi panjang utama hiperbola .

3. Dari persamaan (11.9) diperoleh bahwa minuend tidak kurang dari satu, yaitu itu atau . Artinya titik-titik hiperbola terletak di sebelah kanan garis (cabang kanan hiperbola) dan di sebelah kiri garis (cabang kiri hiperbola).

4. Dari persamaan (11.9) hiperbola dapat dilihat bahwa jika bertambah maka bertambah pula. Ini mengikuti dari fakta bahwa perbedaan menjaga nilai konstan sama dengan satu.

Hal ini mengikuti dari apa yang telah dikatakan bahwa hiperbola memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar 54 (kurva yang terdiri dari dua cabang tak terbatas).

Asimtot hiperbola

Garis L disebut asimtot kurva K tak terbatas jika jarak d dari titik M kurva K ke garis ini cenderung nol karena titik M bergerak sepanjang kurva K tanpa batas dari titik asal. Gambar 55 mengilustrasikan konsep asimtot: garis L adalah asimtot untuk kurva K.

Mari kita tunjukkan bahwa hiperbola memiliki dua asimtot:

(11.11)

Karena garis (11.11) dan hiperbola (11.9) simetris terhadap sumbu koordinat, cukup untuk mempertimbangkan hanya titik-titik dari garis yang ditunjukkan yang terletak di kuadran pertama.

Ambil garis lurus sebuah titik N yang memiliki absis x yang sama dengan titik pada hiperbola (lihat Gambar 56), dan temukan perbedaan N antara ordinat garis lurus dan cabang hiperbola:

Seperti yang Anda lihat, saat x bertambah, penyebut pecahan bertambah; pembilang adalah nilai konstan. Oleh karena itu, panjang segmen N cenderung nol. Karena N lebih besar dari jarak d dari titik ke garis, maka d lebih cenderung ke nol. Dengan demikian, garis adalah asimtot dari hiperbola (11.9).

Saat membangun hiperbola (11.9), disarankan untuk terlebih dahulu membangun persegi panjang utama hiperbola (lihat Gambar 57), menggambar garis yang melewati simpul yang berlawanan dari persegi panjang ini - asimtot hiperbola dan menandai simpul dan , hiperbola .

Persamaan hiperbola sama sisi.

yang asimtotnya merupakan sumbu koordinat

Hiperbola (11.9) disebut sama sisi jika setengah sumbunya sama (). Persamaan kanoniknya

(11.12)

Asimtot hiperbola sama sisi memiliki persamaan dan karena itu merupakan garis bagi sudut koordinat.

Pertimbangkan persamaan hiperbola ini dalam sistem koordinat baru (lihat Gambar 58), diperoleh dari yang lama dengan memutar sumbu koordinat dengan sudut. Kami menggunakan rumus untuk rotasi sumbu koordinat:

Kami mengganti nilai x dan y dalam persamaan (11.12):

Persamaan hiperbola sama sisi, di mana sumbu Ox dan Oy asimtot, akan berbentuk .

Lebih lanjut mengenai hiperbola

keanehan hiperbola (11,9) adalah perbandingan jarak antara fokus dengan nilai sumbu nyata hiperbola, dilambangkan dengan :

Karena untuk hiperbola , eksentrisitas hiperbola lebih besar dari satu: . Eksentrisitas mencirikan bentuk hiperbola. Memang, ini mengikuti dari kesetaraan (11.10) yaitu. dan .

Ini menunjukkan bahwa semakin kecil eksentrisitas hiperbola, semakin kecil rasio - dari semi-sumbunya, yang berarti semakin panjang persegi panjang utamanya.

Eksentrisitas hiperbola sama sisi adalah . Betulkah,

Jari-jari fokus dan untuk titik-titik cabang kanan hiperbola memiliki bentuk dan , dan untuk kiri - dan .

Garis lurus disebut direktriks hiperbola. Karena untuk hiperbola > 1, maka . Artinya direktriks kanan terletak di antara pusat dan titik kanan hiperbola, direktriks kiri berada di antara pusat dan titik kiri.

Direktori hiperbola memiliki sifat yang sama dengan direktriks elips.

Kurva yang ditentukan oleh persamaan juga merupakan hiperbola, sumbu nyata 2b terletak pada sumbu Oy, dan sumbu imajiner 2 sebuah- pada sumbu Ox. Pada Gambar 59, ditunjukkan sebagai garis putus-putus.

Jelas, hiperbola dan memiliki asimtot yang sama. Hiperbola semacam itu disebut konjugasi.

11.5. Parabola

Persamaan parabola kanonik

Parabola adalah himpunan semua titik pada bidang, yang masing-masing berjarak sama dari suatu titik tertentu, yang disebut fokus, dan garis tertentu, yang disebut direktriks. Jarak dari fokus F ke direktriks disebut parameter parabola dan dilambangkan dengan p (p > 0).

Untuk menurunkan persamaan parabola, kita memilih sistem koordinat Oxy sehingga sumbu Oxy melewati fokus F tegak lurus terhadap direktriks dalam arah dari direktrix ke F, dan titik asal O terletak di tengah antara fokus dan direktriks (lihat Gambar 60). Dalam sistem yang dipilih, fokus F memiliki koordinat , dan persamaan directrix memiliki bentuk , atau .

1. Pada persamaan (11.13), variabel y termasuk dalam derajat genap, yang berarti parabola simetris terhadap sumbu Ox; sumbu x adalah sumbu simetri parabola.

2. Karena > 0, maka dari (11.13) bahwa . Oleh karena itu, parabola terletak di sebelah kanan sumbu y.

3. Ketika kita memiliki y \u003d 0. Oleh karena itu, parabola melewati titik asal.

4. Dengan peningkatan x yang tidak terbatas, modul y juga meningkat tanpa batas. Parabola memiliki bentuk (bentuk) yang ditunjukkan pada Gambar 61. Titik O (0; 0) disebut titik puncak parabola, segmen FM \u003d r disebut jari-jari fokus titik M.

Persamaan , , ( p>0) juga mendefinisikan parabola, mereka ditunjukkan pada Gambar 62

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa grafik trinomial bujur sangkar, di mana , B dan C adalah sembarang bilangan real, adalah parabola dalam pengertian definisi di atas.

11.6. Persamaan umum garis orde dua

Persamaan kurva orde kedua dengan sumbu simetri sejajar dengan sumbu koordinat

Mari kita cari dulu persamaan elips yang berpusat di sebuah titik yang sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu koordinat Ox dan Oy dan sumbu seminya masing-masing sama dengan sebuah dan b. Mari kita tempatkan di pusat elips O 1 asal sistem koordinat baru , yang sumbu dan semi-sumbunya sebuah dan b(lihat gambar 64):

Dan akhirnya, parabola yang ditunjukkan pada Gambar 65 memiliki persamaan yang sesuai.

persamaan

Persamaan elips, hiperbola, parabola dan persamaan lingkaran setelah transformasi (kurung terbuka, pindahkan semua suku persamaan ke satu arah, bawa suku sejenis, masukkan notasi baru untuk koefisien) dapat ditulis menggunakan persamaan tunggal formulir

dimana koefisien A dan C tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan.

Timbul pertanyaan: apakah ada persamaan bentuk (11.14) yang menentukan salah satu kurva (lingkaran, elips, hiperbola, parabola) dari orde kedua? Jawabannya diberikan oleh teorema berikut.

Teorema 11.2. Persamaan (11.14) selalu mendefinisikan: baik lingkaran (untuk A = C), atau elips (untuk A C > 0), atau hiperbola (untuk A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Persamaan umum orde kedua

Pertimbangkan sekarang persamaan umum derajat kedua dengan dua yang tidak diketahui:

Ini berbeda dari persamaan (11.14) dengan adanya istilah dengan produk koordinat (B¹ 0). Dimungkinkan, dengan memutar sumbu koordinat dengan sudut a, untuk mengubah persamaan ini sehingga suku dengan produk koordinat tidak ada di dalamnya.

Menggunakan rumus untuk memutar sumbu

Mari kita nyatakan koordinat lama dalam hal yang baru:

Kami memilih sudut a sehingga koefisien di x "y" hilang, yaitu, sehingga persamaan

Jadi, ketika sumbu diputar melalui sudut a yang memenuhi kondisi (11.17), persamaan (11.15) direduksi menjadi persamaan (11.14).

Kesimpulan: persamaan umum orde kedua (11.15) mendefinisikan pada bidang (kecuali untuk kasus degenerasi dan peluruhan) kurva berikut: lingkaran, elips, hiperbola, parabola.

Catatan: Jika A = C, maka persamaan (11.17) kehilangan artinya. Dalam hal ini cos2α = 0 (lihat (11.16)), maka 2α = 90°, yaitu = 45°. Jadi, pada A = C, sistem koordinat harus diputar sebesar 45°.

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang, jumlah jarak dari masing-masing titik ke dua titik tertentu F_1, dan F_2 adalah nilai konstan (2a), lebih besar dari jarak (2c) antara titik-titik yang diberikan ini (Gbr. 3.36, a). Definisi geometrik ini menyatakan sifat fokus elips.

Sifat fokus elips

Titik F_1 dan F_2 disebut titik fokus elips, jarak antara keduanya 2c=F_1F_2 adalah panjang fokus, titik tengah O ruas F_1F_2 adalah pusat elips, angka 2a adalah panjang sumbu utama elips elips (masing-masing, angka a adalah semiaxis utama dari elips). Segmen F_1M dan F_2M yang menghubungkan titik sembarang M dari elips dengan fokusnya disebut jari-jari fokus titik M . Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada elips disebut tali busur elips.

Rasio e=\frac(c)(a) disebut eksentrisitas elips. Dari definisi (2a>2c) diperoleh bahwa 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Definisi geometris dari elips, mengekspresikan properti fokusnya, setara dengan definisi analitisnya - garis yang diberikan oleh persamaan kanonik elips:

Memang, mari kita perkenalkan sistem koordinat persegi panjang (Gbr. 3.36, c). Pusat O dari elips diambil sebagai asal dari sistem koordinat; garis lurus yang melalui fokus (sumbu fokus atau sumbu pertama elips), kita akan mengambil sebagai sumbu absis (arah positif di atasnya dari titik F_1 ke titik F_2); garis lurus yang tegak lurus sumbu fokus dan melalui pusat elips (sumbu kedua elips) diambil sebagai sumbu y (arah pada sumbu y dipilih sehingga sistem koordinat persegi panjang Oxy benar ).

Mari kita rumuskan persamaan elips menggunakan definisi geometrisnya, yang menyatakan sifat fokus. Dalam sistem koordinat yang dipilih, kami menentukan koordinat fokus F_1(-c,0),~F_2(c,0). Untuk titik sewenang-wenang M(x,y) milik elips, kami memiliki:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Menulis persamaan ini dalam bentuk koordinat, kita mendapatkan:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Kami mentransfer radikal kedua ke sisi kanan, kuadratkan kedua sisi persamaan dan berikan suku-suku serupa:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Membagi dengan 4, kita kuadratkan kedua sisi persamaan:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

menunjukkan b=\sqrt(a^2-c^2)>0, kita mendapatkan b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Membagi kedua bagian dengan a^2b^2\ne0 , kita sampai pada persamaan kanonik elips:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Oleh karena itu, sistem koordinat yang dipilih adalah kanonik.

Jika fokus elips bertepatan, maka elips tersebut adalah lingkaran (Gbr. 3.36.6), karena a=b. Dalam hal ini, sembarang sistem koordinat persegi panjang dengan asal di titik O\equiv F_1\equiv F_2, dan persamaan x^2+y^2=a^2 adalah persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari a .

Dengan penalaran ke belakang, dapat ditunjukkan bahwa semua titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (3.49), dan hanya titik-titik tersebut, termasuk tempat kedudukan titik-titik yang disebut elips. Dengan kata lain, definisi analitik elips setara dengan definisi geometrisnya, yang menyatakan properti fokus elips.

Properti direktori dari elips

Direktriks elips adalah dua garis lurus yang sejajar dengan sumbu ordinat sistem koordinat kanonik pada jarak yang sama \frac(a^2)(c) darinya. Untuk c=0 , ketika elips adalah lingkaran, tidak ada directrix (kita dapat mengasumsikan bahwa directrix dihilangkan tak terhingga).

Elips dengan eksentrisitas 0 tempat kedudukan titik-titik pada bidang, yang masing-masing perbandingan jarak ke titik tertentu F (fokus) dengan jarak ke garis lurus tertentu d (directrix) yang tidak melalui titik tertentu adalah konstan dan sama dengan eksentrisitas e ( properti direktori elips). Di sini F dan d adalah salah satu fokus elips dan salah satu arahnya, yang terletak di sisi yang sama dari sumbu y dari sistem koordinat kanonik, yaitu. F_1,d_1 atau F_2,d_2 .

Memang, misalnya, untuk fokus F_2 dan directrix d_2 (Gbr. 3.37.6) kondisinya \frac(r_2)(\rho_2)=e dapat ditulis dalam bentuk koordinat:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\kanan)

Menyingkirkan irasionalitas dan mengganti e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, kita sampai pada persamaan kanonik elips (3,49). Penalaran serupa dapat dilakukan untuk fokus F_1 dan direktriks d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Persamaan elips dalam koordinat kutub

Persamaan elips dalam sistem koordinat kutub F_1r\varphi (Gbr.3.37,c dan 3.37(2)) berbentuk

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

di mana p=\frac(b^2)(a) adalah parameter fokus elips.

Faktanya, mari kita pilih fokus kiri F_1 dari elips sebagai kutub sistem koordinat kutub, dan sinar F_1F_2 sebagai sumbu kutub (Gbr. 3.37, c). Kemudian untuk sembarang titik M(r,\varphi) , menurut definisi geometris (properti fokus) dari elips, kita memiliki r+MF_2=2a . Kami menyatakan jarak antara titik M(r,\varphi) dan F_2(2c,0) (lihat poin 2 dari komentar 2.8):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(selaras)

Oleh karena itu, dalam bentuk koordinat, persamaan elips F_1M+F_2M=2a berbentuk

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Kami mengisolasi radikal, kuadratkan kedua sisi persamaan, bagi dengan 4 dan berikan suku-suku serupa:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\kanan)\!\cdot r=a^2-c^2.

Kami menyatakan jari-jari kutub r dan membuat substitusi e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Arti geometris dari koefisien dalam persamaan elips

Mari kita cari titik potong elips (lihat Gambar 3.37, a) dengan sumbu koordinat (simpul zlips). Dengan memasukkan y=0 ke dalam persamaan, kita menemukan titik potong elips dengan sumbu absis (dengan sumbu fokus): x=\pm a . Oleh karena itu, panjang ruas sumbu fokus yang berada di dalam elips adalah sama dengan 2a. Segmen ini, seperti disebutkan di atas, disebut sumbu utama elips, dan angka a adalah setengah sumbu utama elips. Mengganti x=0 , kita mendapatkan y=\pm b . Oleh karena itu, panjang ruas sumbu kedua elips yang berada di dalam elips adalah sama dengan 2b. Ruas ini disebut sumbu minor elips, dan angka b disebut sumbu minor elips.

Betulkah, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, dan persamaan b=a hanya diperoleh dalam kasus c=0 ketika elips adalah lingkaran. Sikap k=\frac(b)(a)\leqslant1 disebut faktor kontraksi elips.

Keterangan 3.9

1. Garis x=\pm a,~y=\pm b membatasi persegi panjang utama pada bidang koordinat, di mana elips berada (lihat Gambar 3.37, a).

2. Sebuah elips dapat didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang diperoleh dengan mengecilkan diameter lingkaran.

Memang, biarkan dalam sistem koordinat persegi panjang Oxy persamaan lingkaran memiliki bentuk x^2+y^2=a^2 . Ketika dikompresi ke sumbu x dengan faktor 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Mensubstitusikan x=x" dan y=\frac(1)(k)y" ke dalam persamaan lingkaran, kita memperoleh persamaan untuk koordinat bayangan M"(x",y") dari titik M(x ,y) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\kanan)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

karena b=k\cdot a . Ini adalah persamaan kanonik elips.

3. Sumbu koordinat (sistem koordinat kanonik) adalah sumbu simetri elips (disebut sumbu utama elips), dan pusatnya adalah pusat simetri.

Memang, jika titik M(x,y) milik elips . maka titik M"(x,-y) dan M""(-x,y) , simetris dengan titik M terhadap sumbu koordinat, juga termasuk elips yang sama.

4. Dari persamaan elips dalam sistem koordinat kutub r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(lihat Gambar 3.37, c), arti geometris dari parameter fokus diklarifikasi - ini adalah setengah panjang tali busur elips yang melewati fokusnya tegak lurus terhadap sumbu fokus ( r = p di \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Eksentrisitas e mencirikan bentuk elips, yaitu perbedaan antara elips dan lingkaran. Semakin besar e, semakin memanjang elips, dan semakin dekat e ke nol, semakin dekat elips dengan lingkaran (Gbr. 3.38, a). Memang, mengingat bahwa e=\frac(c)(a) dan c^2=a^2-b^2 , kita dapatkan

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\kanan )\^2=1-k^2, !}

di mana k adalah faktor kontraksi elips, 0

6. Persamaan \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 untuk sebuah

7. Persamaan \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b mendefinisikan elips yang berpusat pada titik O "(x_0, y_0), yang sumbunya sejajar dengan sumbu koordinat (Gbr. 3.38, c). Persamaan ini direduksi menjadi persamaan kanonik menggunakan terjemahan paralel (3.36).