Definisi 2.7. adalah pasangan bilangan acak (X, Y), atau sebuah titik pada bidang koordinat (Gbr. 2.11).
Beras. 2.11.
Variabel acak dua dimensi adalah kasus khusus dari variabel acak multidimensi, atau vektor acak.
Definisi 2.8. Vektor acak - apakah ini fungsi acak?,(/) dengan himpunan terbatas dari nilai argumen yang mungkin t, yang nilainya untuk nilai apa pun t adalah variabel acak.
Variabel acak dua dimensi disebut kontinu jika koordinatnya kontinu, dan diskrit jika koordinatnya diskrit.
Menetapkan hukum distribusi variabel acak dua dimensi berarti menetapkan korespondensi antara nilai-nilai yang mungkin dan probabilitas nilai-nilai ini. Menurut cara pengaturannya, variabel acak dibagi menjadi kontinu dan diskrit, meskipun ada cara umum untuk mengatur hukum distribusi RV apa pun.
Variabel acak dua dimensi diskrit
Variabel acak dua dimensi diskrit ditentukan menggunakan tabel distribusi (Tabel 2.1).
Tabel 2.1
Tabel alokasi (alokasi bersama) CB ( X, U)
Elemen tabel ditentukan oleh rumus
Properti elemen tabel distribusi:
Distribusi pada setiap koordinat disebut satu dimensi atau marjinal:
R 1> = P(X =.d,) - distribusi marginal SW X;
p^2) = P(Y= y,)- distribusi marginal SV U.
Komunikasi distribusi bersama CB X dan Y, diberikan oleh himpunan probabilitas [p() ), i = 1,..., n,j = 1,..., t(tabel distribusi), dan distribusi marginal.
Demikian pula untuk SV U hal- 2)= X p, g
Soal 2.14. Diberikan:
Variabel acak 2D berkelanjutan
/(X, y)dxdy- elemen probabilitas untuk variabel acak dua dimensi (X, Y) - probabilitas memukul variabel acak (X, Y) dalam persegi panjang dengan sisi cbc, dy pada dx, dy -* 0:
f(x, y) - kepadatan distribusi variabel acak dua dimensi (X, Y). Tugas /(x, y) kami memberikan informasi lengkap tentang distribusi variabel acak dua dimensi.
Distribusi marginal ditentukan sebagai berikut: untuk X - dengan densitas distribusi CB X/,(x); pada kamu- Kepadatan distribusi SV f>(y).
Menetapkan hukum distribusi variabel acak dua dimensi dengan fungsi distribusi
Cara universal untuk menentukan hukum distribusi untuk variabel acak dua dimensi diskrit atau kontinu adalah fungsi distribusi F(x, y).
Definisi 2.9. Fungsi distribusi F(x, y)- probabilitas terjadinya kejadian bersama (Xy), mis. F(x0,y n) = = P(X y), dilemparkan ke bidang koordinat, jatuh ke dalam kuadran tak hingga dengan titik di titik M(x 0, kamu saya)(di daerah yang diarsir pada Gambar 2.12).
Beras. 2.12. Ilustrasi fungsi distribusi F( x, y)
Properti Fungsi F(x, y)
- 1) 0 1;
- 2) F(-oo,-oo) = F(x,-oo) = F(-oo, y) = 0; F( oo, oo) = 1;
- 3) F(x, y)- tidak berkurang di setiap argumen;
- 4) F(x, y) - kiri dan bawah terus menerus;
- 5) konsistensi distribusi:
F(x, X: F(x, oo) = F,(x); F(y, oo) - distribusi marjinal lebih Y F( ooh, y) = F2 (y). Koneksi /(x, y) dengan F(x, y):
Hubungan antara kepadatan sendi dan kepadatan marginal. Dan f(x, y). Kami mendapatkan kepadatan distribusi marjinal f(x),f2 (y)".
Kasus koordinat independen dari variabel acak dua dimensi
Definisi 2.10. SW X dan tergantung yin(nc) jika ada peristiwa yang terkait dengan masing-masing RV ini independen. Dari definisi nc CB berikut ini:
- 1 )Pij = pX) pf
- 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y).
Ternyata untuk SW independen X dan kamu selesai dan
3 )f(x,y) = J(x)f,(y).
Mari kita buktikan bahwa untuk SW independen X dan Y2) 3). Bukti, a) Biarkan 2), yaitu,
dalam waktu yang bersamaan F(x,y) = f J f(u,v)dudv, dari mana mengikuti 3);
b) biarkan 3 sekarang tahan, lalu
itu. benar 2).
Mari kita pertimbangkan tugas.
Soal 2.15. Distribusinya diberikan oleh tabel berikut:
Kami membangun distribusi marjinal:
Kita mendapatkan P(X = 3, U = 4) = 0,17 * P(X = 3) P (Y \u003d 4) \u003d 0.1485 => => SV X dan Tanggungan.
Fungsi distribusi:
Soal 2.16. Distribusinya diberikan oleh tabel berikut:
Kita mendapatkan P tl = 0,2 0,3 = 0,06; P 12 \u003d 0,2? 0,7 = 0,14; P2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => SW X dan kamu nz.
Soal 2.17. Dan /(x, y) = 1/st exp| -0,5(d "+ 2xy + 5d/2)]. Mencari Oh) dan /Ay)-
Keputusan
(hitung sendiri).
Cukup sering, ketika mempelajari variabel acak, seseorang harus berurusan dengan dua, tiga, atau bahkan lebih variabel acak. Misalnya, variabel acak dua dimensi $\left(X,\ Y\right)$ akan menggambarkan titik tekan proyektil, di mana variabel acak $X,\ Y$ masing-masing adalah absis dan ordinatnya. Performa siswa yang dipilih secara acak selama sesi dicirikan oleh variabel acak berdimensi $n$ $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$, di mana variabel acaknya adalah $X_1,\ X_2,\ \titik ,\ X_n $ - ini adalah nilai yang dicantumkan dalam buku nilai dalam berbagai disiplin ilmu.
Himpunan variabel acak $n$ $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$ disebut vektor acak. Kami membatasi diri pada kasus $\left(X,\ Y\right)$.
Biarkan $X$ menjadi variabel acak diskrit dengan kemungkinan nilai $x_1,x_2,\ \dots ,\ x_n$, dan $Y$ menjadi variabel acak diskrit dengan kemungkinan nilai $y_1,y_2,\ \dots , \ y_n$.
Kemudian variabel acak dua dimensi diskrit $\left(X,\ Y\right)$ dapat mengambil nilai $\left(x_i,\ y_j\right)$ dengan probabilitas $p_(ij)=P\left( \kiri(X=x_i \kanan)\kiri(Y=y_j\kanan)\kanan)=P\kiri(X=x_i\kanan)P\kiri(Y=y_j|X=x_i\kanan)$. Di sini $P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$ adalah probabilitas bersyarat bahwa variabel acak $Y$ mengambil nilai $y_j$ mengingat variabel acak $X$ mengambil nilai $x_i$.
Probabilitas variabel acak $X$ mengambil nilai $x_i$ sama dengan $p_i=\sum_j(p_(ij))$. Probabilitas variabel acak $Y$ mengambil nilai $y_j$ sama dengan $q_j=\sum_i(p_(ij))$.
$$P\kiri(X=x_i|Y=y_j\kanan)=((P\kiri(\kiri(X=x_i\kanan)\kiri(Y=y_j\kanan)\kanan))\atas (P\ kiri(Y=y_j\kanan)))=((p_(ij))\atas (q_j)).$$
$$P\kiri(Y=y_j|X=x_i\kanan)=((P\kiri(\kiri(X=x_i\kanan)\kiri(Y=y_j\kanan)\kanan))\atas (P\ kiri(X=x_i\kanan)))=((p_(ij))\atas (p_i)).$$
Contoh 1 . Distribusi variabel acak dua dimensi diberikan:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\garis miring terbalik Y & 2 & 3 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(array)$
Mari kita definisikan hukum distribusi untuk variabel acak $X$ dan $Y$. Mari kita cari distribusi bersyarat dari variabel acak $X$ pada kondisi $Y=2$ dan variabel acak $Y$ pada kondisi $X=0$.
Mari kita isi tabel berikut ini:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\garis miring terbalik Y & 2 & 3 & p_i & p_(ij)/q_1 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 & & \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(array)$
Mari kita jelaskan bagaimana tabel diisi. Nilai dari tiga kolom pertama dari empat baris pertama diambil dari kondisi. Jumlah bilangan kolom ke-2$ dan ke-3$ dari baris ke-2$ (ke-$ ke-$3) ditunjukkan di kolom ke-$4 dari baris ke-$$ ke-(ke-$3). Jumlah bilangan pada kolom ke-2$ dan ke-3$ pada baris ke-4$ ditunjukkan pada kolom ke-4$ pada baris ke-$4.
Jumlah bilangan pada baris ke-2$, ke-3$, dan ke-4$ pada kolom ke-2$(ke-$3) ditulis pada baris ke-5$ pada kolom ke-2$(ke-$3). Setiap angka pada kolom $2$ dibagi dengan $q_1=0,52$, hasilnya dibulatkan menjadi dua desimal dan ditulis pada kolom $5$. Angka-angka dari kolom ke-2$ dan ke-3$ pada baris ke-3$ dibagi dengan $p_2=0.41$, hasilnya dibulatkan menjadi dua tempat desimal dan ditulis di baris terakhir.
Maka hukum distribusi variabel acak $X$ memiliki bentuk sebagai berikut.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,41 & 0,19 \\
\hline
\end(array)$
Hukum distribusi variabel acak $Y$.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Y & 2 & 3 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 \\
\hline
\end(array)$
Distribusi bersyarat dari variabel acak $X$ di bawah kondisi $Y=2$ memiliki bentuk berikut.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_(ij)/q_1 & 0,29 & 0,54 & 0,17 \\
\hline
\end(array)$
Distribusi bersyarat dari variabel acak $Y$ di bawah kondisi $X=0$ memiliki bentuk berikut.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Y & 2 & 3 \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 \\
\hline
\end(array)$
Contoh 2 . Kami memiliki enam pensil, dua di antaranya berwarna merah. Kami menempatkan pensil di dua kotak. $ 2 keping dimasukkan ke yang pertama, dan dua ke yang kedua. $X$ adalah jumlah pensil merah di kotak pertama, dan $Y$ di kotak kedua. Tulis hukum distribusi untuk sistem variabel acak $(X,\ Y)$.
Biarkan variabel acak diskrit $X$ menjadi jumlah pensil merah di kotak pertama, dan variabel acak diskrit $Y$ menjadi jumlah pensil merah di kotak kedua. Nilai yang mungkin dari variabel acak $X,\ Y$ berturut-turut adalah $X:0,\ 1,\ 2$, $Y:0,\ 1,\ 2$. Kemudian variabel acak dua dimensi diskrit $\left(X,\ Y\right)$ dapat mengambil nilai $\left(x,\ y\right)$ dengan probabilitas $P=P\left(\left( X=x\kanan) \times \left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)\times P\left(Y=y|X=x\right)$, di mana $P\left(Y =y|X=x\right)$ - probabilitas bersyarat bahwa variabel acak $Y$ mengambil nilai $y$, asalkan variabel acak $X$ mengambil nilai $x$. Mari kita nyatakan korespondensi antara nilai $\left(x,\ y\right)$ dan probabilitas $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right) \right)$ sebagai berikut tabel.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\garis miring terbalik Y & 0 & 1 & 2 \\
\hline
0 & ((1)\lebih (15)) & ((4)\lebih (15)) & ((1)\lebih (15)) \\
\hline
1 & ((4)\lebih (15)) & ((4)\lebih (15)) & 0 \\
\hline
2 & ((1)\lebih (15)) & 0 & 0 \\
\hline
\end(array)$
Baris dari tabel tersebut menunjukkan nilai $X$, dan kolom menunjukkan nilai $Y$, maka probabilitas $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y =y\right)\right)$ ditunjukkan di persimpangan baris dan kolom yang sesuai. Mari kita hitung probabilitas menggunakan definisi klasik tentang probabilitas dan teorema produk dari probabilitas dari kejadian-kejadian dependen.
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^1_2\ cdot C^1_2)\over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((2\cdot 2)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=2\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^2_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((3)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^1_1\cdot C^1_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((1\cdot 3)\over (6))=(( 4)\over(15));$$
$$P\left(\left(X=2\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_2)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_4) \over (C^2_4))=((1)\over (15))\cdot 1=((1)\over (15)).$$
Karena dalam hukum distribusi (tabel yang dihasilkan) seluruh rangkaian kejadian membentuk kelompok kejadian yang lengkap, jumlah probabilitasnya harus sama dengan 1. Mari kita periksa ini:
$$\sum_(i,\ j)(p_(ij))=((1)\over (15))+((4)\over (15))+((1)\over (15))+ ((4)\lebih (15))+((4)\lebih (15))+((1)\lebih (15))=1.$$
Fungsi distribusi variabel acak dua dimensi
fungsi distribusi Variabel acak dua dimensi $\left(X,\ Y\right)$ adalah fungsi $F\left(x,\ y\right)$, yang untuk sembarang bilangan real $x$ dan $y$ sama dengan probabilitas eksekusi bersama dari dua kejadian $ \left\(X< x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению
$$F\kiri(x,\ y\kanan)=P\kiri\(X< x,\ Y < y\right\}.$$
Untuk variabel acak dua dimensi diskrit, fungsi distribusi ditemukan dengan menjumlahkan semua probabilitas $p_(ij)$ dimana $x_i< x,\ y_j < y$, то есть
$$F\kiri(x,\ y\kanan)=\sum_(x_i< x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$
Sifat-sifat fungsi distribusi variabel acak dua dimensi.
1 . Fungsi distribusi $F\left(x,\ y\right)$ dibatasi, yaitu, $0\le F\left(x,\ y\right)\le 1$.
2 . $F\left(x,\ y\right)$ tidak berkurang untuk setiap argumennya dengan yang lain tetap, yaitu $F\left(x_2,\ y\right)\ge F\left(x_1,\ y\ kanan )$ untuk $x_2>x_1$, $F\left(x,\ y_2\right)\ge F\left(x,\ y_1\right)$ untuk $y_2>y_1$.
3 . Jika setidaknya salah satu argumen mengambil nilai $-\infty $, maka fungsi distribusi akan sama dengan nol, yaitu $F\left(-\infty ,\ y\right)=F\left(x,\ - \infty \right ),\ F\left(-\infty ,\ -\infty \right)=0$.
4 . Jika kedua argumen mengambil nilai $+\infty $, maka fungsi distribusi akan sama dengan $1$, yaitu $F\left(+\infty ,\ +\infty \right)=1$.
5 . Dalam kasus ketika tepat salah satu argumen mengambil nilai $+\infty $, fungsi distribusi $F\left(x,\ y\right)$ menjadi fungsi distribusi dari variabel acak yang sesuai dengan elemen lain, yaitu $ F\left(x ,\ +\infty \right)=F_1\left(x\right)=F_X\left(x\right),\ F\left(+\infty ,\ y\right)=F_y\left (y\kanan) =F_Y\kiri(y\kanan)$.
6 . $F\left(x,\ y\right)$ dibiarkan kontinu untuk setiap argumennya, mis.
$$(\mathop(lim)_(x\ke x_0-0) F\left(x,\ y\right)\ )=F\left(x_0,\ y\right),\ (\mathop(lim) _(y\ke y_0-0) F\kiri(x,\ y\kanan)\ )=F\kiri(x,\ y_0\kanan).$$
Contoh 3 . Biarkan variabel acak dua dimensi diskrit $\left(X,\ Y\right)$ diberikan oleh deret distribusi.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\garis miring terbalik Y & 0 & 1 \\
\hline
0 & ((1)\lebih (6)) & ((2)\lebih (6)) \\
\hline
1 & ((2)\lebih (6)) & ((1)\lebih (6)) \\
\hline
\end(array)$
Maka fungsi distribusinya:
$F(x,y)=\left\(\begin(matriks)
0,\ di\ x\le 0,\ y\le 0 \\
0,\ di\ x\le 0,\ 0< y\le 1 \\
0,\ untuk\ x\le 0,\ y>1 \\
0,\ pada\ 0< x\le 1,\ y\le 0 \\
((1)\lebih (6)),\ di\ 0< x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
((1)\over (6))+((2)\over (6))=((1)\over (2)),\ ketika\ 0< x\le 1,\ y>1 \\
0,\ untuk\ x>1,\ y\le 0 \\
((1)\over (6))+((2)\over (6))=((1)\over (2)),\ ketika\ x>1,\ 0< y\le 1 \\
((1)\over (6))+((2)\over (6))+((2)\over (6))+((1)\over (6))=1,\ untuk\ x >1,\ y>1 \\
\end(matriks)\kanan.$
bivariat distribusi diskrit acak
Seringkali hasil percobaan digambarkan oleh beberapa variabel acak: . Misalnya, cuaca di tempat tertentu pada waktu tertentu dalam sehari dapat dicirikan oleh variabel acak berikut: X 1 - suhu, X 2 - tekanan, X 3 - kelembaban udara, X 4 - kecepatan angin.
Dalam hal ini, seseorang berbicara tentang variabel acak multidimensi atau sistem variabel acak.
Pertimbangkan variabel acak dua dimensi yang kemungkinan nilainya adalah pasangan angka. Secara geometris, variabel acak dua dimensi dapat diartikan sebagai titik acak pada bidang.
Jika komponen X dan kamu adalah variabel acak diskrit, maka merupakan variabel acak diskrit dua dimensi, dan jika X dan kamu kontinu, maka merupakan variabel acak dua dimensi yang kontinu.
Hukum distribusi probabilitas dari variabel acak dua dimensi adalah korespondensi antara nilai yang mungkin dan probabilitasnya.
Hukum distribusi variabel acak diskrit dua dimensi dapat diberikan dalam bentuk tabel entri ganda (lihat Tabel 6.1), di mana adalah probabilitas bahwa komponen X mengambil artinya x saya, dan komponen kamu- berarti kamu j .
Tabel 6.1.1.
|
kamu 1 |
kamu 2 |
kamu j |
kamu m |
|||
|
x 1 |
p 11 |
p 12 |
p 1j |
p 1m |
||
|
x 2 |
p 21 |
p 22 |
p 2j |
p 2m |
||
|
x saya |
p i1 |
p i2 |
p aku j |
p aku |
||
|
x n |
p n1 |
p n2 |
p nj |
p nm |
Karena peristiwa membentuk kelompok lengkap peristiwa berpasangan yang tidak kompatibel, jumlah probabilitas sama dengan 1, yaitu.
Dari tabel 6.1 Anda dapat menemukan hukum distribusi komponen satu dimensi X dan kamu.
Contoh 6.1.1 . Temukan hukum distribusi komponen X dan y, jika distribusi variabel acak dua dimensi diberikan dalam bentuk tabel 6.1.2.
Tabel 6.1.2.
Jika kita memperbaiki nilai salah satu argumen, misalnya, maka distribusi kuantitas yang dihasilkan X disebut distribusi bersyarat. Distribusi bersyarat didefinisikan dengan cara yang sama kamu.
Contoh 6.1.2 . Menurut distribusi variabel acak dua dimensi yang diberikan pada Tabel. 6.1.2, temukan: a) hukum distribusi bersyarat dari komponen X mengingat bahwa; b) hukum distribusi bersyarat kamu dengan ketentuan.
Keputusan. Probabilitas bersyarat dari komponen X dan kamu dihitung dengan rumus
Hukum distribusi bersyarat X kondisi memiliki bentuk
Kontrol: .
Hukum distribusi variabel acak dua dimensi dapat diberikan sebagai: fungsi distribusi, yang menentukan untuk setiap pasangan angka peluang bahwa X mengambil nilai kurang dari X, dan dimana kamu mengambil nilai kurang dari kamu:
Secara geometris, fungsi berarti peluang suatu titik acak jatuh ke dalam bujur sangkar tak hingga dengan titik di titik tersebut (Gbr. 6.1.1).
Mari kita perhatikan propertinya.
- 1. Rentang fungsi - , mis. .
- 2. Fungsi - fungsi non-penurunan untuk setiap argumen.
- 3. Ada relasi pembatas:
Pada , fungsi distribusi sistem menjadi sama dengan fungsi distribusi komponen X, yaitu .
Juga, .
Mengetahui, Anda dapat menemukan probabilitas titik acak yang jatuh dalam persegi panjang ABCD.
Yaitu,
Contoh 6.1.3. Variabel acak diskrit bivariat ditentukan oleh tabel distribusi
Temukan fungsi distribusinya.
Keputusan. Nilai dalam hal komponen diskrit X dan kamu ditemukan dengan menjumlahkan semua probabilitas dengan indeks saya dan j, untuk itu, . Kemudian, jika dan, maka (peristiwa dan tidak mungkin). Demikian pula, kita mendapatkan:
jika dan kemudian;
jika dan kemudian;
jika dan kemudian;
jika dan kemudian;
jika dan kemudian;
jika dan kemudian;
jika dan kemudian;
jika dan kemudian;
jika dan kemudian.
Hasil yang diperoleh disajikan dalam bentuk tabel (6.1.3) nilai:
Untuk dua dimensi terus menerus variabel acak, konsep kepadatan probabilitas diperkenalkan
Kerapatan peluang geometrik adalah permukaan distribusi dalam ruang
Kerapatan peluang dua dimensi memiliki sifat-sifat berikut:
3. Fungsi distribusi dapat dinyatakan dalam rumus
4. Probabilitas memukul variabel acak kontinu di area sama dengan
5. Sesuai dengan properti (4) dari fungsi tersebut, rumus-rumusnya terjadi:
Contoh 6.1.4. Fungsi distribusi dari variabel acak dua dimensi diberikan
Pasangan terurut (X , Y) dari variabel acak X dan Y disebut variabel acak dua dimensi, atau vektor acak dari ruang dua dimensi. Variabel acak dua dimensi (X,Y) disebut juga sistem variabel acak X dan Y. Himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit dengan probabilitasnya disebut hukum distribusi variabel acak ini. Variabel acak dua dimensi diskrit (X, Y) dianggap diberikan jika hukum distribusinya diketahui:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m
tugas layanan. Menggunakan layanan, menurut hukum distribusi yang diberikan, Anda dapat menemukan:
- deret distribusi X dan Y, ekspektasi matematis M[X], M[Y], varians D[X], D[Y];
- kovarians cov(x,y), koefisien korelasi r x,y , deret distribusi bersyarat X, ekspektasi bersyarat M;
Petunjuk. Tentukan dimensi matriks distribusi probabilitas (jumlah baris dan kolom) dan bentuknya. Solusi yang dihasilkan disimpan dalam file Word.
Contoh 1. Sebuah variabel acak diskrit dua dimensi memiliki tabel distribusi:
| Y/X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | q |
Keputusan. Kami menemukan nilai q dari kondisi p ij = 1
p ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. Dari mana q = 0,09
Menggunakan rumus P(x saya, kamu j) = p saya(j=1..n), cari deret distribusi X.
M[y] = 1*0,05 + 2*0,46 + 3*0,34 + 4*0,15 = 2,59
Dispersi D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Standar deviasi(y) = kuadrat(D[Y]) = kuadrat(0,64) = 0,801
kovarians cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 20 0,02 + 1 30 0,02 + 2 30 0,11 + 3 30 0,08 + 4 30 0,01 + 1 40 0,03 + 2 40 0,11 + 3 40 0,05 + 4 40 0,09 - 25,2 2,59 = -0,068
Koefisien korelasi rxy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736
Contoh 2 . Data pengolahan statistik informasi mengenai dua indikator X dan Y dicerminkan dalam tabel korelasi. Diperlukan:
- tulis deret distribusi untuk X dan Y dan hitung rata-rata sampel dan simpangan baku sampelnya;
- tulis deret distribusi bersyarat Y/x dan hitung rata-rata bersyarat Y/x;
- menggambarkan secara grafis ketergantungan rata-rata bersyarat Y/x pada nilai-nilai X;
- menghitung koefisien korelasi sampel Y pada X;
- menulis contoh persamaan regresi langsung;
- mewakili geometris data tabel korelasi dan membangun garis regresi.
Himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit dengan probabilitasnya disebut hukum distribusi variabel acak ini.
Variabel acak dua dimensi diskrit (X,Y) dianggap diberikan jika hukum distribusinya diketahui:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m
| X/Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. Ketergantungan variabel acak X dan Y.
Tentukan deret distribusi X dan Y.
Menggunakan rumus P(x saya, kamu j) = p saya(j=1..n), cari deret distribusi X. Ekspektasi matematis M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42,3
Dispersi D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14)/100 - 42,3 2 = 99,71
Simpangan baku (y).
Karena, P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, maka variabel acak X dan Y bergantung.
2. Hukum distribusi bersyarat X.
Hukum distribusi bersyarat X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Ekspektasi bersyarat M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Varians bersyarat D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Hukum distribusi bersyarat X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Ekspektasi bersyarat M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Varians bersyarat D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Hukum distribusi bersyarat X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Ekspektasi bersyarat M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Varians bersyarat D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Hukum distribusi bersyarat X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Ekspektasi bersyarat M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Varians bersyarat D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Hukum distribusi bersyarat X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 14/7 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Ekspektasi bersyarat M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0,29 + 31*0,5 + 36*0,21 = 30,64
Varians bersyarat D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Hukum distribusi bersyarat Y.
Hukum distribusi bersyarat Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Ekspektasi bersyarat M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Varians bersyarat D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Hukum distribusi bersyarat Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Ekspektasi bersyarat M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Varians bersyarat D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Hukum distribusi bersyarat Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Ekspektasi bersyarat M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Varians bersyarat D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Hukum distribusi bersyarat Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Ekspektasi bersyarat M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Varians bersyarat D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Hukum distribusi bersyarat Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Ekspektasi bersyarat M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Varians bersyarat D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Hukum distribusi bersyarat Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Ekspektasi bersyarat M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Varians bersyarat D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
kovarians.
cov(X,Y) = M - M[X] M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Jika variabel acak independen, maka kovariansnya adalah nol. Dalam kasus kami cov(X,Y) 0.
Koefisien korelasi.
Persamaan regresi linier dari y ke x adalah:
Persamaan regresi linier dari x ke y adalah:
Temukan karakteristik numerik yang diperlukan.
Contoh artinya:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25,3
dispersi:
2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
Di mana kita mendapatkan standar deviasi:
x = 9,99 dan y = 4,9
dan kovarians:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Mari kita tentukan koefisien korelasi:
Mari kita tuliskan persamaan garis regresi y(x):
dan menghitung, kita mendapatkan:
yx = 0,38x + 9,14
Mari kita tuliskan persamaan garis regresi x(y):
dan menghitung, kita mendapatkan:
x y = 1,59 y + 2,15
Jika kita membangun titik-titik yang ditentukan oleh tabel dan garis regresi, kita akan melihat bahwa kedua garis melewati titik dengan koordinat (42.3; 25.3) dan titik-titik tersebut terletak dekat dengan garis regresi.
Signifikansi koefisien korelasi.
Berdasarkan tabel Student dengan tingkat signifikansi =0,05 dan derajat kebebasan k=100-m-1 = 98 diperoleh t crit:
t krit (n-m-1;α/2) = (98;0,025) = 1,984
di mana m = 1 adalah jumlah variabel penjelas.
Jika t ob > t kritis, maka nilai koefisien korelasi yang diperoleh diakui signifikan (hipotesis nol yang menyatakan bahwa koefisien korelasi sama dengan nol ditolak).
Karena t obl > t crit, kami menolak hipotesis bahwa koefisien korelasi sama dengan 0. Dengan kata lain, koefisien korelasi signifikan secara statistik.
Latihan. Jumlah hit pasangan nilai variabel acak X dan Y dalam interval yang sesuai diberikan dalam tabel. Dari data tersebut, tentukan koefisien korelasi sampel dan persamaan sampel garis regresi lurus Y pada X dan X pada Y .
Keputusan
Contoh. Distribusi probabilitas variabel acak dua dimensi (X, Y) diberikan oleh sebuah tabel. Temukan hukum distribusi besaran komponen X, Y dan koefisien korelasi p(X, Y).
Unduh Solusi
Latihan. Nilai diskrit dua dimensi (X, Y) diberikan oleh hukum distribusi. Temukan hukum distribusi komponen X dan Y, kovarians dan koefisien korelasi.
