Sebuah bola yang volumenya 8π dimasukkan ke dalam kubus. Cari volume kubus.

Keputusan

Biarkan a menjadi sisi kubus. Maka volume kubus adalah V = a3.

Karena bola dimasukkan ke dalam kubus, jari-jari bola sama dengan setengah tepi kubus, yaitu R = a/2 (lihat Gambar).

Volume bola adalah V w \u003d (4/3)πR 3 dan sama dengan 8π, oleh karena itu

(4/3)πR 3 = 8π,

Dan volume kubus adalah V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

Tugas B9 (Studi Kasus 2015)

Volume kerucut adalah 32. Melalui tengah tinggi, sebuah bagian digambar sejajar dengan alas kerucut, yang merupakan alas kerucut yang lebih kecil dengan simpul yang sama. Temukan volume kerucut yang lebih kecil.

Keputusan

Pertimbangkan tugas-tugasnya:

72353. Volume kerucut adalah 10. Sebuah bagian ditarik melalui tengah tinggi yang sejajar dengan alas kerucut, yang merupakan alas kerucut yang lebih kecil dengan simpul yang sama. Temukan volume kerucut yang lebih kecil.

Segera, kami mencatat bahwa kerucut asli dan terpotong serupa, dan jika kami mempertimbangkan kerucut terpotong relatif terhadap aslinya, maka kami dapat mengatakan ini: kerucut yang lebih kecil mirip dengan yang lebih besar dengan koefisien sama dengan satu detik atau 0,5. Kita dapat menulis:

Itu bisa ditulis:

Anda bisa berpikir begitu!

Pertimbangkan kerucut asli sehubungan dengan yang dipotong. Kita dapat mengatakan bahwa kerucut yang lebih besar mirip dengan yang dipotong dengan faktor dua, kami menulis:

Sekarang lihat solusinya tanpa menggunakan properti kesamaan.

Volume kerucut sama dengan sepertiga dari produk luas alas dan tingginya:

Pertimbangkan proyeksi samping (side view) dengan bagian yang ditentukan:

Biarkan jari-jari kerucut yang lebih besar sama dengan R, tingginya sama dengan H. Bagian (alas kerucut yang lebih kecil) melewati tengah tinggi, yang berarti tingginya akan sama dengan H / 2. Dan jari-jari alasnya adalah R / 2, ini mengikuti kesamaan segitiga.

Mari kita tulis volume kerucut asli:

Volume kerucut yang dipotong akan sama dengan:

Solusi terperinci seperti itu disajikan sehingga Anda dapat melihat bagaimana Anda dapat membangun penalaran. Bertindak dengan cara apa pun - yang utama adalah Anda memahami esensi dari keputusan itu. Biarkan jalan yang Anda pilih tidak rasional, hasilnya penting (hasil yang benar).

Jawaban: 1.25

318145. Dalam bejana yang berbentuk seperti kerucut, ketinggian cairan mencapai setengah tingginya. Volume cairan adalah 70 ml. Berapa mililiter cairan yang harus ditambahkan untuk mengisi bejana sampai penuh?

Tugas ini mirip dengan yang sebelumnya. Meskipun kita berbicara tentang cairan di sini, prinsip larutannya sama.

Kami memiliki dua kerucut - ini adalah wadah itu sendiri dan kerucut "kecil" (diisi dengan cairan), mereka serupa. Diketahui bahwa volume benda serupa terkait sebagai berikut:

Kerucut (wadah) awal mirip dengan kerucut yang diisi dengan cairan dengan koefisien sama dengan 2, karena dikatakan bahwa tingkat cairan mencapai setengah tinggi. Anda dapat menulis lebih detail:

Kami menghitung:

Dengan demikian, Anda perlu menambahkan:

Tugas lain dengan cairan.

74257. Temukan volume V sebuah kerucut yang generatrixnya 44 dan miring ke bidang alasnya dengan sudut 30 0 . Berikan jawaban Anda V/Pi.

Volume kerucut:

Kami menemukan ketinggian kerucut dengan properti segitiga siku-siku.

Kaki yang berhadapan dengan sudut 30° sama dengan setengah dari sisi miring. Sisi miring, dalam hal ini, adalah generatrix kerucut. Jadi, tinggi kerucut adalah 22.

Kami menemukan kuadrat jari-jari alas menggunakan teorema Pythagoras:

*Kita membutuhkan kuadrat jari-jari, bukan jari-jari itu sendiri.

Kerucut. frustrasi

Permukaan meruncing disebut permukaan yang dibentuk oleh semua garis lurus yang melalui setiap titik dari kurva yang diberikan dan sebuah titik di luar kurva (Gbr. 32).

Kurva ini disebut memandu , langsung - menghasilkan , dot - puncak permukaan kerucut.

Permukaan runcing melingkar lurus disebut permukaan yang dibentuk oleh semua garis yang melalui setiap titik lingkaran yang diberikan dan sebuah titik pada garis yang tegak lurus terhadap bidang lingkaran dan melalui pusatnya. Berikut ini, permukaan ini akan secara singkat disebut sebagai permukaan kerucut (gbr.33).

kerucut (kerucut melingkar lurus ) disebut benda geometris yang dibatasi oleh permukaan kerucut dan bidang yang sejajar dengan bidang lingkaran pemandu (Gbr. 34).

Beras. 32 Gambar. 33 Gambar. 34

Kerucut dapat dianggap sebagai benda yang diperoleh dengan memutar segitiga siku-siku di sekitar sumbu yang memuat salah satu kaki segitiga.

Lingkaran yang membatasi kerucut disebut dasar . Titik sudut permukaan kerucut disebut puncak kerucut. Ruas garis yang menghubungkan puncak kerucut dengan pusat alasnya disebut tinggi kerucut. Segmen yang membentuk permukaan kerucut disebut menghasilkan kerucut. sumbu kerucut adalah garis lurus yang melalui titik sudut kerucut dan pusat alasnya. Bagian aksial disebut bagian yang melalui sumbu kerucut. Perkembangan permukaan lateral Kerucut adalah suatu bidang yang jari-jarinya sama dengan panjang generatrix kerucut, dan panjang busur bidang tersebut sama dengan keliling alas kerucut.

Untuk kerucut, rumus berikut ini benar:

di mana R adalah jari-jari alas;

H- tinggi;

aku- panjang generatrix;

S utama- daerah dasar;

sisi S

S penuh

V adalah volume kerucut.

kerucut terpotong disebut bagian kerucut yang tertutup antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas kerucut (Gbr. 35).

Kerucut terpotong dapat dianggap sebagai benda yang diperoleh dengan memutar trapesium persegi panjang di sekitar sumbu yang memuat sisi lateral trapesium, tegak lurus dengan alasnya.

Dua lingkaran yang mengikat kerucut disebut alasan . Tinggi kerucut terpotong adalah jarak antara alasnya. Segmen yang membentuk permukaan kerucut dari kerucut terpotong disebut menghasilkan . Garis lurus yang melalui pusat-pusat alas disebut sumbu kerucut terpotong. Bagian aksial disebut bagian yang melalui sumbu kerucut terpotong.

Untuk kerucut terpotong, rumus berikut ini benar:

(8)

di mana R adalah jari-jari alas bawah;

r adalah jari-jari alas atas;

H adalah tinggi, l adalah panjang generatrix;

sisi S adalah luas permukaan lateral;

S penuh adalah luas permukaan total;

V adalah volume kerucut yang terpotong.

Contoh 1 Bagian kerucut yang sejajar dengan alas membagi tinggi dengan perbandingan 1:3, dihitung dari atas. Hitunglah luas permukaan sisi kerucut yang terpotong jika jari-jari alas dan tinggi kerucut adalah 9 cm dan 12 cm.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 36).

Untuk menghitung luas permukaan lateral kerucut terpotong, kami menggunakan rumus (8). Cari jari-jari alasnya Sekitar 1 A dan Sekitar 1 V dan menghasilkan AB.

Perhatikan segitiga sebangun SO 2 B dan SO 1 A, koefisien kesamaan , maka

Dari sini

Dari dulu

Luas permukaan lateral kerucut terpotong sama dengan:

Menjawab: .

Contoh2. Seperempat lingkaran jari-jari dilipat menjadi permukaan kerucut. Temukan jari-jari alas dan tinggi kerucut.

Keputusan. Empat kali lipat lingkaran adalah pengembangan dari permukaan lateral kerucut. Menunjukkan r adalah jari-jari alasnya, H- tinggi. Luas permukaan lateral dihitung dengan rumus: . Itu sama dengan luas seperempat lingkaran: . Kami mendapatkan persamaan dengan dua yang tidak diketahui r dan aku(pembangkit kerucut). Dalam hal ini, generatrix sama dengan jari-jari seperempat lingkaran R, jadi kita mendapatkan persamaan berikut: , Dimana Mengetahui jari-jari alas dan generatrix, kita menemukan ketinggian kerucut:

Menjawab: 2cm, .

Contoh 3 Sebuah trapesium persegi panjang dengan sudut lancip 45 O, alas yang lebih kecil 3 cm dan sisi miring sama dengan , berputar mengelilingi sisi yang tegak lurus alas. Temukan volume tubuh revolusi yang diperoleh.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 37).

Sebagai hasil dari rotasi, kami mendapatkan kerucut terpotong; untuk menemukan volumenya, kami menghitung jari-jari alas yang lebih besar dan tingginya. dalam trapesium O 1 O 2 AB kita akan menghabiskan AC^O 1 B. Di kita miliki: jadi segitiga ini sama kaki AC=SM\u003d 3 cm.

Menjawab:

Contoh 4 Sebuah segitiga dengan sisi 13 cm, 37 cm dan 40 cm berputar mengelilingi sumbu luar yang sejajar dengan sisi yang lebih besar dan berjarak 3 cm darinya (sumbu terletak pada bidang segitiga). Temukan luas permukaan benda revolusi yang dihasilkan.

Keputusan . Mari kita membuat gambar (Gbr. 38).

Permukaan badan putaran yang dihasilkan terdiri dari permukaan samping dua kerucut terpotong dan permukaan samping silinder. Untuk menghitung luas ini, perlu diketahui jari-jari alas kerucut dan silinder ( MENJADI dan OC) membentuk kerucut ( SM dan AC) dan tinggi silinder ( AB). Yang tidak diketahui hanyalah BERSAMA. adalah jarak dari sisi segitiga ke sumbu rotasi. Ayo temukan DC. Luas segitiga ABC di satu sisi sama dengan hasil kali setengah sisi AB dan tinggi yang ditarik padanya DC, di sisi lain, mengetahui semua sisi segitiga, kami menghitung luasnya menggunakan rumus Heron.

Volume kerucut. Jadi kita sampai pada kerucut dan silinder. Selain yang sudah diterbitkan, akan ada sekitar sembilan artikel, kami akan mempertimbangkan semua jenis tugas. Jika tugas baru ditambahkan ke bank terbuka sepanjang tahun, tentu saja, itu juga akan diposting di blog. Artikel ini menyajikan teori, dan contoh penggunaannya. Tidak cukup hanya mengetahui rumus volume kerucut, ini dia:

Kita dapat menulis:

Untuk memecahkan beberapa contoh, Anda perlu memahami bagaimana volume benda serupa berkorelasi. Ini untuk memahami, dan bukan hanya mempelajari rumus:

Artinya, jika kita menambah (mengurangi) dimensi linier benda sebanyak k kali, maka rasio volume benda yang dihasilkan dengan volume aslinya akan sama dengan k 3 .

CATATAN! Tidak masalah bagaimana Anda mendefinisikan volume:

Faktanya adalah bahwa dalam proses penyelesaian masalah ketika mempertimbangkan benda-benda seperti itu, beberapa orang mungkin bingung dengan koefisien k. Pertanyaan mungkin muncul - Apa yang sama dengan?

(tergantung pada nilai yang ditentukan dalam kondisi)

Itu semua tergantung dari sisi mana Anda melihat. Penting untuk memahami ini! Pertimbangkan sebuah contoh - sebuah kubus diberikan, tepi kubus kedua tiga kali lebih besar:

Dalam hal ini, koefisien kesamaan sama dengan tiga (tepinya meningkat tiga kali lipat), yang berarti rasionya akan terlihat seperti ini:

Artinya, volume kubus (lebih besar) yang dihasilkan akan menjadi 27 kali lebih besar.

Anda bisa melihat dari sisi lain.

Diketahui sebuah kubus, rusuk kubus kedua tiga kali lebih kecil:

Koefisien kesamaan sama dengan sepertiga (mengurangi tepi dengan faktor tiga), yang berarti rasionya akan terlihat seperti:

Artinya, volume kubus yang dihasilkan akan menjadi 27 kali lebih kecil.

Kesimpulan! Indeks tidak penting saat menentukan volume, penting untuk memahami bagaimana tubuh dianggap relatif satu sama lain.

Jelas bahwa:

- jika benda asli bertambah, maka koefisiennya akan lebih besar dari satu.

- jika benda asli berkurang, maka koefisiennya akan kurang dari satu.

Tentang rasio volume, kita dapat mengatakan sebagai berikut:

- jika dalam masalah kita membagi volume benda yang lebih besar dengan yang lebih kecil, maka kita mendapatkan pangkat tiga dari koefisien kesamaan, dan koefisien itu sendiri akan menjadi lebih besar dari satu.

- jika kita membagi volume benda yang lebih kecil dengan yang lebih besar, maka kita mendapatkan pangkat tiga dari koefisien kesamaan, dan koefisien itu sendiri akan menjadi kurang dari satu.

Yang paling penting untuk diingat adalah bahwa ketika menyangkut VOLUME benda yang serupa, koefisien kesamaan memiliki derajat KETIGA, dan bukan yang kedua, seperti dalam kasus area.

Satu hal lagi tentang.

Kondisi tersebut mengandung hal seperti generatrix kerucut. Ini adalah segmen yang menghubungkan bagian atas kerucut dengan titik-titik keliling alas (ditunjukkan dengan huruf L pada gambar).

Di sini perlu dicatat bahwa kita akan menganalisis masalah hanya dengan kerucut langsung (selanjutnya hanya kerucut). Generator kerucut siku-siku adalah sama

Hormat kami, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu situs ini di jejaring sosial.