Matematikawan memiliki selera humor yang spesifik dan beberapa masalah yang berkaitan dengan perhitungan tidak ditanggapi dengan serius untuk waktu yang lama. Tidak selalu jelas apakah mereka mencoba menjelaskan kepada Anda dengan sungguh-sungguh mengapa tidak mungkin membagi dengan nol, atau apakah ini lelucon lain. Tetapi pertanyaannya sendiri tidak begitu jelas, jika dalam matematika dasar dimungkinkan untuk mencapai penyelesaiannya secara logis murni, maka dalam matematika yang lebih tinggi mungkin ada kondisi awal lainnya.

Kapan nol muncul?

Angka nol penuh dengan banyak misteri:

• Di Roma kuno, nomor ini tidak diketahui, sistem referensi dimulai dengan I.
• Orang-orang Arab dan India berdebat tentang hak untuk disebut nenek moyang nol untuk waktu yang lama.
• Studi budaya Maya telah menunjukkan bahwa peradaban kuno ini bisa menjadi yang pertama dalam hal penggunaan nol.
• Nol tidak memiliki nilai numerik, bahkan tidak minimal.
• Secara harfiah tidak berarti apa-apa, tidak adanya hal-hal untuk dihitung.

Dalam sistem primitif tidak ada kebutuhan khusus untuk sosok seperti itu, tidak adanya sesuatu dapat dijelaskan dengan bantuan kata-kata. Namun dengan bangkitnya peradaban, kebutuhan manusia juga meningkat, dalam hal arsitektur dan rekayasa.

Untuk melakukan perhitungan yang lebih kompleks dan mendapatkan fungsi baru, dibutuhkan angka yang akan menunjukkan tidak adanya sesuatu.

Apakah mungkin untuk membagi dengan nol?

Di akun ini, ada dua pendapat yang bertentangan secara diametral:

Di sekolah, bahkan di kelas dasar, mereka mengajarkan bahwa pembagian dengan nol tidak mungkin dilakukan. Ini dijelaskan dengan sangat sederhana:

1. Bayangkan Anda memiliki 20 irisan jeruk keprok.
2. Dengan membaginya dengan 5, Anda akan membagikan 4 irisan ke lima teman.
3. Membagi dengan nol tidak akan berhasil, karena proses pembagian antara seseorang tidak akan berhasil.

Tentu saja, ini adalah penjelasan kiasan, sebagian besar disederhanakan dan tidak sepenuhnya konsisten dengan kenyataan. Tapi itu menjelaskan dengan cara yang paling mudah dipahami tentang ketidakberartian membagi sesuatu dengan nol.

Lagi pula, pada kenyataannya, dengan cara ini dimungkinkan untuk menunjukkan fakta tidak adanya pembagian. Dan mengapa mempersulit perhitungan matematis dan menuliskan juga tidak adanya pembagian?

Bisakah nol dibagi dengan angka?

Dari sudut pandang matematika terapan, pembagian apa pun yang melibatkan nol tidak masuk akal. Tetapi buku pelajaran sekolah dengan tegas menurut pendapat mereka:

• Nol dapat dibagi.
• Setiap nomor harus digunakan untuk pembagian.
• Anda tidak dapat membagi nol dengan nol.

Poin ketiga mungkin sedikit membingungkan, karena hanya beberapa paragraf di atas yang menunjukkan bahwa pembagian seperti itu sangat mungkin terjadi. Sebenarnya, itu semua tergantung pada disiplin di mana Anda melakukan perhitungan.

Dalam hal ini, benar-benar lebih baik bagi anak sekolah untuk menulis itu ekspresi tidak dapat ditentukan dan, oleh karena itu, tidak masuk akal. Namun di beberapa cabang ilmu aljabar diperbolehkan menuliskan ungkapan seperti itu, dengan pembagian nol dengan nol. Terutama dalam hal komputer dan bahasa pemrograman.

Kebutuhan untuk membagi nol dengan angka mungkin muncul selama penyelesaian persamaan apa pun dan pencarian nilai awal. Tapi dalam hal itu, jawabannya akan selalu nol. Di sini, seperti halnya perkalian, berapa pun angka yang Anda bagi dengan nol, Anda tidak akan mendapatkan lebih dari nol. Karena itu, jika angka yang disayangi ini diperhatikan dalam formula yang sangat besar, cobalah untuk "memperkirakan" dengan cepat apakah semua perhitungan akan direduksi menjadi solusi yang sangat sederhana.

Jika tak terhingga dibagi dengan nol

Penting untuk menyebutkan nilai-nilai yang sangat besar dan sangat kecil sedikit lebih awal, karena ini juga membuka beberapa celah untuk pembagian, termasuk menggunakan nol. Itu benar, dan ada halangan kecil, karena nilai yang sangat kecil dan ketiadaan nilai sama sekali adalah konsep yang berbeda.

Tetapi perbedaan kecil dalam kondisi kami ini dapat diabaikan, pada akhirnya, perhitungan dilakukan dengan menggunakan besaran abstrak:

• Pembilang harus memiliki tanda tak terhingga.
• Penyebut adalah gambar simbolis dari nilai yang cenderung nol.
• Jawabannya adalah tak terhingga, mewakili fungsi yang sangat besar.

Perlu dicatat bahwa kita masih berbicara tentang tampilan simbolis dari fungsi yang sangat kecil, dan bukan tentang menggunakan nol. Tidak ada yang berubah dengan tanda ini, masih tidak dapat dibagi ke dalamnya, hanya sebagai pengecualian yang sangat, sangat jarang.

Untuk sebagian besar, nol digunakan untuk menyelesaikan masalah yang ada di bidang teoretis murni. Mungkin, setelah beberapa dekade atau bahkan berabad-abad, semua perhitungan modern akan menemukan aplikasi praktis, dan mereka akan memberikan semacam terobosan besar dalam sains.

Sementara itu, kebanyakan jenius matematika hanya memimpikan pengakuan dunia. Pengecualian untuk aturan ini adalah rekan senegaranya, Perelman. Tapi dia dikenal berkat solusi dari masalah yang benar-benar membuat zaman dengan bukti dugaan Poinquere dan perilaku boros.

Paradoks dan tidak berartinya pembagian dengan nol

Pembagian dengan nol, sebagian besar, tidak masuk akal:

• pembagian direpresentasikan sebagai fungsi kebalikan dari perkalian.
• Kita dapat mengalikan angka apa pun dengan nol dan mendapatkan nol dalam jawabannya.
• Dengan logika yang sama, seseorang dapat membagi bilangan apa pun dengan nol.
• Dalam kondisi seperti itu, tidak akan sulit untuk menyimpulkan bahwa bilangan apa pun yang dikalikan atau dibagi dengan nol sama dengan bilangan lain yang digunakan untuk operasi ini.
• Kami membuang tindakan matematika dan mendapatkan kesimpulan yang menarik - angka apa pun sama dengan angka apa pun.

Selain menciptakan insiden seperti itu, pembagian dengan nol tidak memiliki nilai praktis, dari kata pada umumnya. Bahkan jika Anda dapat melakukan tindakan ini, Anda tidak akan mendapatkan informasi baru.

Dari sudut pandang matematika dasar, selama pembagian dengan nol, seluruh objek dibagi nol kali, yaitu, bahkan tidak satu kali pun. Sederhananya - tidak ada proses pembagian, oleh karena itu, hasil dari peristiwa ini tidak mungkin.

Berada di masyarakat yang sama dengan ahli matematika, Anda selalu dapat mengajukan beberapa pertanyaan dangkal, misalnya, mengapa Anda tidak dapat membagi dengan nol dan mendapatkan jawaban yang menarik dan dapat dimengerti. Atau lekas marah, karena ini mungkin bukan pertama kalinya seseorang ditanyai hal ini. Dan bahkan tidak sepuluh. Jadi jagalah teman matematikamu, jangan sampai mereka mengulang satu penjelasan ratusan kali.

Video: bagi dengan nol

Dalam video ini, matematikawan Anna Lomakova akan memberi tahu Anda apa yang terjadi jika Anda membagi angka dengan nol dan mengapa ini tidak dapat dilakukan, dari sudut pandang matematika:

Pembagian dengan nol dalam matematika, sebuah divisi di mana pembagi adalah nol. Pembagian seperti itu dapat ditulis secara formal sebagai 0, di mana adalah dividen.

Dalam aritmatika biasa (dengan bilangan real), ungkapan ini tidak masuk akal, karena:

• di 0, tidak ada bilangan yang, jika dikalikan dengan 0,, oleh karena itu, tidak ada bilangan yang dapat diambil sebagai hasil bagi 0;
• di = 0, pembagian dengan nol juga tidak terdefinisi, karena bilangan apa pun, ketika dikalikan dengan 0, menghasilkan 0 dan dapat diambil sebagai hasil bagi 0 0.

Secara historis, salah satu referensi pertama tentang ketidakmungkinan matematis untuk menetapkan nilai 0 adalah dalam kritik George Berkeley terhadap kalkulus yang sangat kecil.

Kesalahan logika

Karena saat mengalikan bilangan apa pun dengan nol, hasilnya selalu nol, saat membagi kedua bagian ekspresi × 0 = × 0, yang benar terlepas dari nilai dan, dengan 0, kita mendapatkan ekspresi = , yang salah dalam kasus variabel yang diberikan secara arbitrer. Karena nol dapat diberikan secara implisit, tetapi dalam bentuk ekspresi matematika yang agak rumit, misalnya, dalam bentuk perbedaan antara dua nilai yang direduksi satu sama lain dengan transformasi aljabar, pembagian semacam itu bisa menjadi kesalahan yang agak tidak jelas. Pengenalan yang tidak terlihat dari pembagian semacam itu ke dalam proses pembuktian untuk menunjukkan identitas kuantitas yang jelas berbeda, dengan demikian membuktikan pernyataan yang tidak masuk akal, adalah salah satu jenis sofisme matematika.

Dalam ilmu komputer

Dalam pemrograman, tergantung pada bahasa pemrograman, tipe data, dan nilai dividen, upaya untuk membagi dengan nol dapat menyebabkan konsekuensi yang berbeda. Konsekuensi dari pembagian dengan nol dalam bilangan bulat dan aritmatika nyata pada dasarnya berbeda:

• Percobaan bilangan bulat pembagian dengan nol selalu merupakan kesalahan kritis yang membuat program tidak dapat dilanjutkan. Ini mengarah pada melempar pengecualian (yang dapat ditangani sendiri oleh program, sehingga menghindari penghentian darurat), atau untuk segera menghentikan program dengan pesan kesalahan fatal dan, mungkin, isi tumpukan panggilan. Dalam beberapa bahasa pemrograman, seperti Go, pembagian bilangan bulat dengan konstanta nol dianggap sebagai kesalahan sintaks dan akan menyebabkan program untuk mengompilasi dibatalkan.
• PADA nyata konsekuensi aritmatika dapat berbeda dalam bahasa yang berbeda:

• melempar pengecualian atau menghentikan program, seperti halnya pembagian bilangan bulat;
• memperoleh nilai non-numerik khusus sebagai hasil dari operasi. Dalam hal ini, perhitungan tidak terganggu, dan hasilnya selanjutnya dapat ditafsirkan oleh program itu sendiri atau oleh pengguna sebagai nilai yang berarti atau sebagai bukti perhitungan yang salah. Prinsip ini banyak digunakan, yang menurutnya, ketika membagi bentuk 0, di mana 0 adalah angka floating point, hasilnya sama dengan positif atau negatif (tergantung pada tanda dividen) tak terhingga - atau, dan ketika = 0, hasilnya adalah nilai khusus NaN (disingkat dari bahasa Inggris bukan angka - "bukan angka"). Pendekatan ini diadopsi dalam standar IEEE 754, yang didukung oleh banyak bahasa pemrograman modern.

Pembagian acak dengan nol dalam program komputer terkadang dapat menyebabkan kegagalan yang mahal atau berbahaya pada peralatan yang dikendalikan oleh program tersebut. Misalnya, pada tanggal 21 September 1997, sebuah divisi dengan nol dalam sistem kontrol komputerisasi kapal penjelajah USS Yorktown (CG-48) Angkatan Laut AS mematikan semua peralatan elektronik dalam sistem, menyebabkan pembangkit listrik kapal berhenti bekerja.

Lihat juga

Catatan

Fungsi = 1 . Ketika cenderung nol dari kanan, cenderung tak terhingga; ketika cenderung nol dari kiri, cenderung minus tak terhingga

Jika Anda membagi angka apa pun dengan nol pada kalkulator konvensional, maka itu akan memberi Anda huruf E atau kata Kesalahan, yaitu, "kesalahan".

Kalkulator komputer dalam kasus serupa menulis (di Windows XP): "Pembagian dengan nol dilarang."

Semuanya konsisten dengan aturan yang diketahui dari sekolah bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol.

Mari kita lihat mengapa.

Pembagian adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari perkalian. Pembagian didefinisikan melalui perkalian.

Bagilah sebuah bilangan sebuah(dividen, misalnya 8) dengan angka b(pembagi, misalnya, angka 2) - berarti menemukan angka seperti itu x(hasil bagi), ketika dikalikan dengan pembagi b ternyata habis dibagi sebuah(4 2 = 8), yaitu sebuah dibagi dengan b berarti menyelesaikan persamaan x · b = a.

Persamaan a: b = x ekuivalen dengan persamaan x · b = a.

Kami mengganti pembagian dengan perkalian: alih-alih 8: 2 = x kami menulis x 2 = 8.

8: 2 = 4 sama dengan 4 2 = 8

18: 3 = 6 sama dengan 6 3 = 18

20: 2 = 10 sama dengan 10 2 = 20

Hasil pembagian selalu dapat diperiksa dengan perkalian. Hasil mengalikan pembagi dengan hasil bagi harus berupa dividen.

Demikian pula, mari kita coba membagi dengan nol.

Misalnya, 6: 0 = ... Kita perlu mencari sebuah bilangan yang, jika dikalikan dengan 0, akan menghasilkan 6. Tapi kita tahu bahwa ketika dikalikan dengan nol, selalu diperoleh nol. Tidak ada angka yang, ketika dikalikan dengan nol, akan menghasilkan sesuatu selain nol.

Ketika mereka mengatakan bahwa tidak mungkin atau dilarang untuk membagi dengan nol, itu berarti bahwa tidak ada angka yang sesuai dengan hasil pembagian seperti itu (dimungkinkan untuk membagi dengan nol, tetapi tidak untuk membagi :)).

Mengapa mereka mengatakan di sekolah bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol?

Oleh karena itu, dalam definisi operasi pembagian a dengan b, segera ditekankan bahwa b 0.

Jika semua yang tertulis di atas tampak terlalu rumit bagi Anda, maka itu sepenuhnya ada di tangan Anda: Membagi 8 dengan 2 berarti mencari tahu berapa banyak dua yang perlu Anda ambil untuk mendapatkan 8 (jawaban: 4). Membagi 18 dengan 3 berarti mencari tahu berapa kali tiga kali lipat untuk mendapatkan 18 (jawaban: 6).

Membagi 6 dengan nol berarti mencari tahu berapa banyak nol yang perlu Anda ambil untuk mendapatkan 6. Tidak peduli berapa banyak nol yang Anda ambil, Anda masih mendapatkan nol, tetapi Anda tidak pernah mendapatkan 6, yaitu pembagian dengan nol tidak ditentukan.

Hasil menarik diperoleh jika Anda mencoba membagi angka dengan nol pada kalkulator android. Layar akan menampilkan (tak terhingga) (atau - jika Anda membagi dengan angka negatif). Hasil ini salah, karena tidak ada bilangan . Rupanya, programmer telah mengacaukan operasi yang sama sekali berbeda - membagi angka dan menemukan batas urutan numerik n / x, di mana x → 0. Saat membagi nol dengan nol, NaN (Bukan Angka - Bukan angka) akan ditulis.

"Kamu tidak bisa membagi dengan nol!" - Sebagian besar siswa menghafal aturan ini, tanpa bertanya. Semua anak tahu apa itu "tidak" dan apa yang akan terjadi jika Anda menjawabnya dengan bertanya: "Mengapa?" Tetapi pada kenyataannya, sangat menarik dan penting untuk mengetahui mengapa itu tidak mungkin.

Masalahnya adalah bahwa empat operasi aritmatika - penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian - sebenarnya tidak sama. Matematikawan hanya mengenali dua di antaranya sebagai yang lengkap - penjumlahan dan perkalian. Operasi ini dan sifat-sifatnya termasuk dalam definisi konsep bilangan. Semua tindakan lain dibangun dengan satu atau lain cara dari keduanya.

Pertimbangkan, misalnya, pengurangan. Apa artinya? 5 - 3 ? Siswa akan menjawab ini dengan sederhana: Anda perlu mengambil lima item, mengambil (menghapus) tiga dari mereka dan melihat berapa banyak yang tersisa. Tapi matematikawan melihat masalah ini dengan cara yang sama sekali berbeda. Tidak ada pengurangan, hanya penambahan. Oleh karena itu, entri 5 - 3 berarti angka yang, ketika ditambahkan ke angka 3 akan memberikan nomor 5 . Yaitu 5 - 3 hanyalah singkatan dari persamaan: x + 3 = 5. Tidak ada pengurangan dalam persamaan ini.

Pembagian dengan nol

Hanya ada tugas - untuk menemukan nomor yang cocok.

Hal yang sama berlaku dengan perkalian dan pembagian. Rekaman 8: 4 dapat dipahami sebagai hasil dari pembagian delapan objek menjadi empat tumpukan yang sama. Tapi itu benar-benar hanya bentuk singkat dari persamaan 4x = 8.

Di sinilah menjadi jelas mengapa tidak mungkin (atau lebih tepatnya tidak mungkin) untuk membagi dengan nol. Rekaman 5: 0 adalah singkatan dari 0 x = 5. Artinya, tugas ini adalah menemukan angka yang, jika dikalikan dengan 0 akan memberi 5 . Tapi kita tahu bahwa ketika dikalikan dengan 0 selalu ternyata 0 . Ini adalah properti yang melekat pada nol, secara tegas, bagian dari definisinya.

Suatu bilangan yang jika dikalikan dengan 0 akan memberikan sesuatu selain nol, tidak ada. Artinya, masalah kita tidak memiliki solusi. (Ya, itu terjadi, tidak setiap masalah memiliki solusi.) 5: 0 tidak sesuai dengan nomor tertentu, dan itu tidak berarti apa-apa dan karena itu tidak masuk akal. Ketidakberartian entri ini secara singkat diungkapkan dengan mengatakan bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol.

Pembaca yang paling penuh perhatian pada saat ini pasti akan bertanya: apakah mungkin membagi nol dengan nol?

Memang, karena persamaan 0 x = 0 berhasil diselesaikan. Misalnya, Anda dapat mengambil x=0, dan kemudian kita dapatkan 0 0 = 0. Ternyata 0: 0=0 ? Tapi jangan terburu-buru. Ayo coba ambil x=1. Mendapatkan 0 1 = 0. Benar? Cara, 0: 0 = 1 ? Tetapi Anda dapat mengambil nomor berapa pun dan mendapatkan 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 dll.

Tetapi jika ada nomor yang cocok, maka kami tidak punya alasan untuk memilih salah satu dari mereka. Artinya, kami tidak dapat membedakan nomor mana yang sesuai dengan entri 0: 0 . Dan jika demikian, maka kita terpaksa mengakui bahwa catatan ini juga tidak masuk akal. Ternyata bahkan nol tidak dapat dibagi dengan nol. (Dalam analisis matematis, ada kasus ketika, karena kondisi tambahan dari masalah, seseorang dapat memberikan preferensi ke salah satu opsi yang mungkin untuk menyelesaikan persamaan 0 x = 0; dalam kasus seperti itu, ahli matematika berbicara tentang "pengungkapan ketidakpastian", tetapi dalam aritmatika kasus seperti itu tidak terjadi.)

Ini adalah fitur dari operasi pembagian. Lebih tepatnya, operasi perkalian dan angka yang terkait dengannya memiliki nol.

Nah, yang paling teliti, setelah membaca sampai titik ini, mungkin bertanya: mengapa Anda tidak dapat membagi dengan nol, tetapi Anda dapat mengurangi nol? Dalam arti, di sinilah matematika yang sebenarnya dimulai. Itu dapat dijawab hanya dengan mengenal definisi matematika formal dari himpunan numerik dan operasinya. Ini tidak begitu sulit, tetapi untuk beberapa alasan itu tidak dipelajari di sekolah. Tetapi dalam kuliah tentang matematika di universitas, Anda akan diajarkan hal ini sejak awal.

Fungsi pembagian tidak didefinisikan untuk rentang di mana pembaginya nol. Anda dapat membagi, tetapi hasilnya tidak ditentukan

Anda tidak bisa delt dengan nol. Matematika kelas 2 SMA.

Jika ingatanku benar, maka nol dapat direpresentasikan sebagai nilai yang sangat kecil, jadi akan ada tak terhingga. Dan sekolah "nol - tidak ada" hanyalah penyederhanaan, ada begitu banyak dari mereka di matematika sekolah. Tetapi tanpa mereka dengan cara apa pun, semuanya pada waktunya.

Masuk untuk menulis balasan

Pembagian dengan nol

Pribadi dari pembagian dengan nol tidak ada bilangan selain nol.

Alasannya di sini adalah sebagai berikut: karena dalam hal ini tidak ada bilangan yang dapat memenuhi definisi hasil bagi.

Mari kita menulis, misalnya,

nomor berapa pun yang Anda ambil untuk pengujian (katakanlah, 2, 3, 7), itu tidak baik karena:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

Apa yang terjadi jika Anda membagi dengan 0?

dll., tetapi Anda harus memasukkan produk 2,3,7.

Kita dapat mengatakan bahwa masalah membagi dengan nol angka selain nol tidak memiliki solusi. Namun, angka selain nol dapat dibagi dengan angka yang mendekati nol secara sewenang-wenang, dan semakin dekat pembagi ke nol, semakin besar hasil bagi. Jadi jika kita membagi 7 dengan

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

kemudian kami mendapatkan 70, 700, 7000, 70.000, dll., yang meningkat tanpa batas.

Oleh karena itu, sering dikatakan bahwa hasil bagi membagi 7 dengan 0 adalah "besar tak terhingga", atau "sama dengan tak terhingga", dan mereka menulis

\[7:0 = \infin\]

Arti dari ungkapan ini adalah bahwa jika pembagi mendekati nol, dan dividen tetap sama dengan 7 (atau mendekati 7), maka hasil bagi meningkat tanpa batas.

Pertanyaan macam apa yang tidak ditanyakan anak-anak kita!.. Tapi pertanyaan “Mengapa kamu tidak bisa membagi dengan nol?” jangan tanya. Mengapa? Karena bahkan di sekolah guru mengatakan bahwa itu MUSTAHIL. Anda tidak bisa, jadi Anda tidak bisa! Jauh kemudian, sudah di institut, kami mengetahui bahwa masih mungkin untuk membagi, dan hasilnya adalah - ketakterbatasan. Tapi, akui saja, pikiran kita menerima fakta ini sebagai semacam asumsi, kesepakatan, karena kita ingat sejak kecil - itu tidak mungkin. Dan, sebenarnya, mengapa semua sama?

Untuk memulainya, mari kita cari tahu dari mana ketidakterbatasan berasal, konsep yang pada tahun-tahun pertama universitas kami perlakukan dengan beberapa tingkat ketidakpercayaan. Semuanya sangat sederhana: jika ada angka yang dibagi semakin kecil, maka semakin banyak nilai yang akan diperoleh. Semakin kecil pembagi, semakin besar hasil bagi menjadi. Ini adalah bagaimana infinity muncul.

Tetapi fisikawan dan matematikawan tidak menyukai ketidakterbatasan, karena Secara konvensional diterima bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol. Ternyata asumsinya adalah ketidakmungkinan membagi dengan nol.

Mari kita beralih ke dasar-dasar matematika. Ada empat operasi dalam aritmatika - penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Tapi mereka tidak setara. Matematikawan menganggap hanya dua di antaranya sebagai tindakan dasar: penjumlahan dan perkalian, sisanya adalah tindakan terbalik, konsekuensi dari yang utama.

Pertimbangkan konsep "pengurangan". Untuk menyelesaikan contoh "5 - 3 \u003d ...", tiga item harus dihapus dari lima item, nomor yang tersisa akan menjadi jawaban untuk contoh kita. Tetapi, mengingat bahwa penjumlahan dianggap sebagai tindakan utama, mari kita ubah sedikit contoh kita dengan menuliskannya dalam bentuk penjumlahan: "x + 3 = 5". Artinya, ke nomor berapa harus ditambahkan tiga untuk membuat lima?

Hal yang sama berlaku dengan pembagian. Ekspresi "8: 4 = ..." mengikuti dari ekspresi "4 x = 8". Berapa kali empat harus diambil untuk membuat delapan?

Dan ini dia, jawabannya! Jika 5: 0 adalah varian dari penulisan 0 x = 5, maka ternyata Anda perlu menemukan angka yang jika dikalikan dengan 0, akan menghasilkan 5. Berapa kali Anda perlu mengambil nol untuk mendapatkan sesuatu yang lebih dari tidak ada ?! Tetapi mengalikan dengan 0 selalu menghasilkan 0, fakta ini terletak pada definisi nol! Tidak ada bilangan yang, jika dikalikan dengan 0, memberikan sesuatu selain nol. Ternyata masalahnya tidak memiliki solusi, dan ekspresi 5: 0 tidak masuk akal. Untuk mengurangi jumlah tugas yang tidak berarti, diterima bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol.

Pembaca yang paling teliti pasti akan bertanya: Tapi bagaimana membagi nol dengan nol?

Mari kita cari tahu. Ternyata persamaan 0 x = 0 memiliki solusi? Atau jumlah solusi yang tak terbatas? "X" bisa sama dengan satu, dua, dan satu juta. Jadi, dengan x=0, ternyata 0 0 = 0, lalu 0: 0=0? Dan jika x=1, 0 1 =0, maka 0: 0 = 1?! Atau 0: 0 = 1000000?!

Ternyata kita tidak dapat menemukan solusi untuk ekspresi "0: 0", yang berarti ekspresi ini juga tidak memiliki solusi. Jadi Anda juga tidak bisa membagi nol dengan nol.

Anda dapat sampai pada kesimpulan yang begitu menarik dengan memikirkan fakta yang diketahui dari sekolah dasar: Anda tidak dapat membagi dengan nol.

Tertarik? Apakah Anda membaca sampai akhir? Jadi, karena orang-orang seperti Anda, anekdot kehidupan berikutnya muncul.

Mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol? Anda dapat mengalikan, dan itu juga ternyata nol.

- Kenapa tidak? Itu mungkin, hanya hasil dari pembagian seperti itu yang tak terhingga

Mengapa tidak nol?

- Nah, lihat: 2 * 0 - ini adalah dua mengambil nol kali, itu akan menjadi nol. Dan 2/0 adalah "berapa kali nol cocok dalam satu deuce", tak terhingga.

- Jika 2/0=x, maka 2=x*0 berarti 2=0. Dan jika 2=0, maka 2/0=0!

- Nah, agar tidak terlibat dalam omong kosong seperti itu, ahli matematika telah mengadopsi kesepakatan yang tidak diucapkan: Anda tidak dapat membagi dengan nol!

Kita masing-masing dari sekolah membuat setidaknya dua aturan yang tak tergoyahkan: "zhi dan shi - tulis dengan huruf I" dan " tidak bisa dibagi nol". Dan jika aturan pertama dapat dijelaskan oleh kekhasan bahasa Rusia, maka yang kedua menimbulkan pertanyaan yang sepenuhnya logis: "Mengapa?"

Mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol?

Tidak sepenuhnya jelas mengapa mereka tidak membicarakan hal ini di sekolah, tetapi dalam hal aritmatika, jawabannya sangat sederhana.

Ayo ambil nomornya 10 dan membaginya dengan 2 . Ini menyiratkan bahwa kita telah mengambil 10 benda apa saja dan mengaturnya sesuai dengan 2 kelompok yang sama, yaitu 10: 2 = 5 (pada 5 item dalam kelompok). Contoh yang sama juga dapat ditulis menggunakan persamaan x * 2 = 10(dan X di sini akan sama dengan 5 ).

Sekarang, untuk sesaat, bayangkan Anda dapat membagi dengan nol, dan coba 10 dibagi dengan 0 .

Anda akan mendapatkan yang berikut ini: 10:0=x, karena itu x * 0 = 10. Tapi perhitungan kita tidak mungkin benar, karena ketika mengalikan bilangan apapun dengan 0 selalu ternyata 0 . Dalam matematika, tidak ada bilangan seperti itu, yang jika dikalikan dengan 0 akan memberikan sesuatu selain 0 . Oleh karena itu, persamaan 10:0=x dan x * 0 = 10 tidak punya solusi. Mengingat hal ini, mereka mengatakan bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol.

Kapan kamu bisa membagi dengan nol?

Ada varian di mana pembagian dengan nol masih masuk akal. Jika kita membagi nol itu sendiri, maka kita mendapatkan yang berikut: 0: 0 = x, yang berarti x * 0 = 0.

Mari kita berpura-pura itu x=0, maka persamaan tidak menimbulkan pertanyaan, semuanya konvergen dengan sempurna 0: 0 = 0 , yang berarti 0 * 0 = 0 .

Tapi bagaimana jika X≠ 0 ? Mari kita berpura-pura itu x = 9? Kemudian 9 * 0 = 0 dan 0: 0 = 9 ? Dan jika x=45, kemudian 0: 0 = 45 .

Kami benar-benar dapat berbagi 0 pada 0 . Tetapi persamaan ini akan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas, karena 0:0 = apa saja.

Mengapa 0:0 = NaN

Pernahkah Anda mencoba untuk berbagi? 0 pada 0 di smartphone? Karena nol dibagi nol benar-benar memberikan angka apa pun, pemrogram harus mencari jalan keluar dari situasi ini, karena kalkulator tidak dapat mengabaikan permintaan Anda. Dan mereka menemukan semacam jalan keluar: ketika Anda membagi nol dengan nol, Anda mendapatkan NaN (bukan angka).

Mengapa x:0=∞ sebuah x: -0 = — ∞

Jika Anda mencoba membagi angka apa pun dengan nol di ponsel cerdas Anda, jawabannya akan sama dengan tak terhingga. Intinya adalah bahwa dalam matematika 0 kadang-kadang dipandang bukan sebagai "tidak ada", tetapi sebagai "jumlah yang sangat kecil". Oleh karena itu, jika bilangan apa pun dibagi dengan nilai yang sangat kecil, nilai yang sangat besar akan diperoleh (∞) .

Jadi apakah mungkin untuk membagi dengan nol?

Jawabannya, seperti yang sering terjadi, adalah ambigu. Di sekolah, yang terbaik adalah memotong hidungmu sendiri tidak bisa dibagi nol Ini akan menyelamatkan Anda dari komplikasi yang tidak perlu. Tapi kalau masuk Fakultas Matematika di universitas tetap harus dibagi nol.

Aturan matematika tentang pembagian dengan nol diajarkan kepada semua orang di kelas satu sekolah komprehensif. “Anda tidak dapat membagi dengan nol,” mereka mengajari kita semua dan melarang, di bawah rasa sakit tamparan di punggung, untuk membagi dengan nol dan umumnya membahas topik ini. Meskipun beberapa guru sekolah dasar masih mencoba menjelaskan mengapa tidak mungkin untuk membagi dengan nol menggunakan contoh-contoh sederhana, contoh-contoh ini sangat tidak logis sehingga lebih mudah untuk mengingat aturan ini dan tidak mengajukan terlalu banyak pertanyaan. Tetapi semua contoh ini tidak logis karena guru tidak dapat menjelaskannya secara logis kepada kami di kelas satu, karena di kelas satu kami bahkan tidak tahu apa itu persamaan, dan secara logis aturan matematika ini hanya dapat dijelaskan dengan bantuan persamaan.

Semua orang tahu bahwa ketika membagi angka apa pun dengan nol, kekosongan akan keluar. Mengapa justru kekosongan, kita akan pertimbangkan nanti.

Secara umum, dalam matematika, hanya dua prosedur dengan bilangan yang diakui sebagai independen. Ini adalah penjumlahan dan perkalian. Prosedur yang tersisa dianggap sebagai turunan dari kedua prosedur ini. Mari kita lihat ini dengan sebuah contoh.

Katakan padaku, berapa harganya, misalnya, 11-10? Kita semua akan langsung menjawab bahwa itu akan menjadi 1. Dan bagaimana kita menemukan jawaban seperti itu? Seseorang akan mengatakan bahwa sudah jelas bahwa itu akan menjadi 1, seseorang akan mengatakan bahwa dia mengambil 10 dari 11 apel dan menghitung bahwa itu ternyata menjadi satu apel. Dari sudut pandang logika, semuanya benar, tetapi menurut hukum matematika, masalah ini diselesaikan secara berbeda. Harus diingat bahwa penambahan dan perkalian dianggap sebagai prosedur utama, jadi Anda perlu membuat persamaan berikut: x + 10 \u003d 11, dan hanya kemudian x \u003d 11-10, x \u003d 1. Perhatikan bahwa penambahan didahulukan, dan baru kemudian, berdasarkan persamaan, kita dapat mengurangi. Tampaknya, mengapa begitu banyak prosedur? Lagi pula, jawabannya sangat jelas. Tetapi hanya prosedur seperti itu yang dapat menjelaskan ketidakmungkinan membagi dengan nol.

Misalnya, kita sedang mengerjakan tugas matematika berikut: kita ingin membagi 20 dengan nol. Jadi 20:0=x. Untuk mengetahui berapa banyak, Anda harus ingat bahwa prosedur pembagian mengikuti perkalian. Dengan kata lain, pembagian adalah prosedur turunan dari perkalian. Oleh karena itu, Anda perlu membuat persamaan dari perkalian. Jadi, 0*x=20. Inilah jalan buntu. Berapa pun angka yang kita kalikan dengan nol, tetap akan menjadi 0, tetapi bukan 20. Di sinilah aturannya: Anda tidak dapat membagi dengan nol. Nol dapat dibagi dengan angka berapa pun, tetapi angka tidak dapat dibagi dengan nol.

Ini menimbulkan pertanyaan lain: apakah mungkin membagi nol dengan nol? Jadi 0:0=x berarti 0*x=0. Persamaan ini dapat diselesaikan. Ambil, misalnya, x=4, yang berarti 0*4=0. Ternyata jika Anda membagi nol dengan nol, Anda mendapatkan 4. Tetapi bahkan di sini semuanya tidak sesederhana itu. Jika kita ambil, misalnya x=12 atau x=13, maka akan keluar jawaban yang sama (0*12=0). Pada umumnya berapapun angka yang kita gantikan tetap akan keluar 0. Oleh karena itu jika 0 : 0, maka akan menjadi tak terhingga. Berikut beberapa matematika sederhana. Sayangnya, prosedur untuk membagi nol dengan nol juga tidak ada artinya.

Secara umum, angka nol dalam matematika adalah yang paling menarik. Misalnya, semua orang tahu bahwa setiap angka pangkat nol memberikan satu. Tentu saja, kita tidak menemukan contoh seperti itu dalam kehidupan nyata, tetapi dengan pembagian dengan nol, situasi kehidupan sering muncul. Jadi ingatlah bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol.