Rumus probabilitas total memungkinkan Anda untuk menemukan probabilitas suatu peristiwa A, yang hanya dapat terjadi dengan masing-masing n kejadian saling lepas yang membentuk sistem lengkap jika probabilitasnya diketahui, dan probabilitas bersyarat acara A sehubungan dengan masing-masing peristiwa sistem adalah sama dengan .

Peristiwa juga disebut hipotesis, mereka saling eksklusif. Oleh karena itu, dalam literatur Anda juga dapat menemukan sebutannya bukan dengan huruf B, tapi dengan surat H(hipotesa).

Untuk memecahkan masalah dengan kondisi seperti itu, perlu untuk mempertimbangkan 3, 4, 5, atau dalam kasus umum n kemungkinan suatu kejadian A- dengan setiap acara.

Dengan menggunakan teorema penjumlahan dan perkalian peluang, kita memperoleh jumlah hasil kali peluang setiap kejadian sistem dengan probabilitas bersyarat acara A untuk setiap kejadian dalam sistem. Artinya, peluang suatu kejadian A dapat dihitung dengan rumus

atau secara umum

,

yang disebut rumus probabilitas total .

Rumus probabilitas total: contoh pemecahan masalah

Contoh 1 Ada tiga guci yang tampak identik: yang pertama ada 2 bola putih dan 3 hitam, yang kedua - 4 putih dan satu hitam, yang ketiga - tiga bola putih. Seseorang secara acak mendekati salah satu guci dan mengambil satu bola darinya. Mengambil keuntungan rumus probabilitas total, tentukan peluang terambilnya bola berwarna putih.

Keputusan. Peristiwa A- penampakan bola putih. Kami mengajukan tiga hipotesis:

Guci pertama dipilih;

Guci kedua dipilih;

Guci ketiga telah dipilih.

Probabilitas peristiwa bersyarat A untuk masing-masing hipotesis:

, , .

Kami menerapkan rumus probabilitas total, sebagai hasilnya - probabilitas yang diperlukan:

.

Contoh 2 Di pabrik pertama, dari setiap 100 bola lampu, rata-rata diproduksi 90 lampu standar, di pabrik kedua - 95, di pabrik ketiga - 85, dan produk dari pabrik-pabrik ini menyumbang 50%, 30% dan 20%, masing-masing, dari semua lampu listrik yang dipasok ke toko-toko di daerah tertentu. Tentukan peluang membeli bola lampu standar.

Keputusan. Mari kita nyatakan peluang memperoleh bola lampu standar sebagai A, dan peristiwa bahwa bola lampu yang dibeli diproduksi di pabrik pertama, kedua dan ketiga, masing-masing, melalui . Dengan syarat, peluang kejadian-kejadian ini diketahui: , , dan peluang bersyarat dari kejadian tersebut A mengenai masing-masing: , , . Ini adalah probabilitas memperoleh bola lampu standar, asalkan itu diproduksi di pabrik pertama, kedua, dan ketiga, masing-masing.

Peristiwa A akan terjadi jika suatu peristiwa terjadi atau K- bohlam dibuat di pabrik pertama dan merupakan standar, atau acara L- bohlam dibuat di pabrik kedua dan merupakan standar, atau acara M- bohlam diproduksi di pabrik ketiga dan merupakan standar. Kemungkinan lain untuk terjadinya acara A tidak. Oleh karena itu, acara A adalah jumlah kejadian K, L dan M yang tidak kompatibel. Menerapkan teorema penambahan probabilitas, kami mewakili probabilitas suatu peristiwa A sebagai

dan dengan teorema perkalian probabilitas kita dapatkan

yaitu, kasus khusus dari rumus probabilitas total.

Substitusikan peluang ke ruas kiri rumus, kita peroleh peluang kejadian A :

Contoh 3 Pesawat akan mendarat di bandara. Jika cuaca memungkinkan, pilot mendaratkan pesawat, selain menggunakan instrumen, juga observasi visual. Dalam hal ini, kemungkinan pendaratan yang berhasil adalah . Jika lapangan terbang mendung dengan awan rendah, maka pilot mendaratkan pesawat, mengarahkan dirinya hanya pada instrumen. Dalam hal ini, kemungkinan pendaratan yang berhasil adalah ; . Perangkat yang menyediakan pendaratan buta memiliki keandalan (probabilitas operasi bebas kegagalan) P. Dengan adanya kekeruhan yang rendah dan instrumen pendaratan buta yang gagal, kemungkinan pendaratan yang berhasil adalah ; . Statistik menunjukkan bahwa dalam k% pendaratan, lapangan terbang tertutup awan rendah. Mencari probabilitas penuh dari kejadian tersebut A- pendaratan pesawat yang aman.

Keputusan. Hipotesis:

Tidak ada tutupan awan rendah;

Ada tutupan awan yang rendah.

Probabilitas hipotesis (peristiwa):

;

Probabilitas Bersyarat.

Probabilitas bersyarat sekali lagi ditemukan oleh rumus untuk probabilitas total dengan hipotesis

Perangkat pendaratan buta berfungsi;

Instrumen pendaratan buta gagal.

Probabilitas hipotesis ini adalah:

Menurut rumus probabilitas total

Contoh 4 Perangkat dapat beroperasi dalam dua mode: normal dan tidak normal. Mode normal diamati pada 80% dari semua kasus pengoperasian perangkat, dan tidak normal - pada 20% kasus. Probabilitas kegagalan perangkat dalam waktu tertentu t sama dengan 0,1; di 0,7 yang tidak normal. Mencari probabilitas penuh kegagalan perangkat tepat waktu t.

Keputusan. Kami sekali lagi menunjukkan kemungkinan kegagalan perangkat sebagai A. Jadi, mengenai pengoperasian perangkat di setiap mode (peristiwa), probabilitas diketahui dengan kondisi: untuk mode normal adalah 80% (), untuk mode abnormal - 20% (). Probabilitas Peristiwa A(yaitu, kegagalan perangkat) tergantung pada peristiwa pertama (mode normal) adalah 0,1 (); tergantung pada acara kedua (mode abnormal) - 0,7 ( ). Kami mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus probabilitas total (yaitu, jumlah produk dari probabilitas masing-masing peristiwa sistem dan probabilitas bersyarat dari peristiwa tersebut A mengenai masing-masing peristiwa sistem) dan kami memiliki hasil yang diperlukan.

Jika acara TETAPI dapat terjadi hanya bersama-sama dengan salah satu peristiwa ,, ..., membentuk kelompok lengkap peristiwa yang tidak sesuai (peristiwa ini disebut hipotesis), maka peluang terjadinya peristiwa A dihitung dengan rumus probabilitas penuh :

. (4.1)

Biarkan acara dalam skema yang dijelaskan di atas TETAPI terjadi dan diperlukan untuk mengetahui probabilitas itu terjadi bersama-sama dengan salah satu hipotesis. Probabilitas ini dihitung dari Rumus Bayes :

, . (4.2)

Contoh Pemecahan Masalah

Contoh1 ‑ Ada tiga guci yang tampak identik; yang pertama memiliki 2 bola putih dan 3 bola hitam, yang kedua memiliki 4 bola putih dan 1 bola hitam, yang ketiga memiliki 3 bola putih. Salah satu guci dipilih secara acak dan satu bola diambil darinya. Tentukan peluang terambilnya bola ini berwarna putih.

Keputusan

Pengalaman menyarankan tiga hipotesis:

-pilihan guci pertama, ;

-pilihan guci kedua, ;

-pilihan guci ketiga, .

Pertimbangkan peristiwa yang menarik A - bola yang ditarik berwarna putih. Peristiwa ini hanya dapat terjadi dalam hubungannya dengan salah satu hipotesis berikut:

Menurut rumus probabilitas total (4.1), kami memperoleh

Menjawab: .

Contoh2 ‑ Dua mesin menghasilkan bagian yang sama yang diumpankan ke konveyor umum. Performa mesin pertama dua kali lipat dari mesin kedua. Mesin pertama menghasilkan rata-rata 60% bagian dengan kualitas yang sangat baik, dan yang kedua - 84%. Bagian yang diambil secara acak dari jalur perakitan ternyata memiliki kualitas yang sangat baik. Temukan probabilitas bahwa barang ini diproduksi oleh mesin pertama.

Keputusan

Dua asumsi (hipotesis) dapat dibuat: - bagian diproduksi oleh otomat pertama, dan (karena otomat pertama menghasilkan dua kali lebih banyak bagian dari yang kedua); - bagian diproduksi oleh otomat kedua, dan .

Probabilitas bersyarat bahwa bagian tersebut akan memiliki kualitas yang sangat baik jika diproduksi oleh mesin pertama, jika diproduksi oleh mesin kedua.

Probabilitas bahwa suatu bagian yang diambil secara acak akan memiliki kualitas yang sangat baik, menurut rumus probabilitas total (4.1), adalah sama dengan:

Probabilitas yang diinginkan bahwa bagian terbaik yang diambil diproduksi oleh otomat pertama, menurut rumus Bayes, sama dengan:

.

Menjawab: .

Tugas untuk solusi independen

1 Ada 20 pemain ski, 6 pengendara sepeda dan 4 pelari dalam kelompok atlet. Probabilitas memenuhi standar kualifikasi adalah sebagai berikut: untuk pemain ski - 0,9, untuk pengendara sepeda - 0,8 dan untuk pelari - 0,75. Tentukan peluang bahwa seorang atlet, yang dipilih secara acak, akan memenuhi norma.

2 Dari sebuah guci yang berisi 5 bola putih dan 3 bola hitam, diambil satu bola secara acak dan dipindahkan ke guci lain yang sebelumnya berisi 2 bola putih dan 7 bola hitam. Warna bola yang ditransfer tidak tetap. Satu bola diambil secara acak dari guci kedua. Berapa peluang terambilnya bola ini berwarna putih?

3 Ada 5 senapan di piramida, tiga di antaranya dilengkapi dengan penglihatan optik. Probabilitas penembak akan mengenai target ketika ditembakkan dari senapan dengan penglihatan teleskopik adalah 0,95; untuk senapan dengan lingkup normal, probabilitas ini adalah 0,7. Temukan probabilitas bahwa target akan terkena jika penembak menembakkan satu tembakan dari senapan yang diambil secara acak.

4 Dalam kondisi tugas sebelumnya, penembak mengenai sasaran. Tentukan probabilitas bahwa dia menembak: dari senapan dengan penglihatan teleskopik; dari senapan dengan pandangan konvensional.

5 Untuk berpartisipasi dalam kompetisi olahraga kualifikasi siswa, 4 siswa dipilih dari kelompok pertama saja, 6 dari yang kedua, dan 5 dari yang ketiga.Probabilitas bahwa seorang siswa dari kelompok pertama, kedua dan ketiga masuk ke tim dari lembaga, masing-masing, adalah 0,9; 0,7 dan 0,8. Seorang siswa yang dipilih secara acak berakhir di tim nasional sebagai hasil dari kompetisi. Ke kelompok manakah siswa ini kemungkinan besar termasuk?

6 Guci pertama berisi 10 bola, 8 di antaranya berwarna putih; Guci kedua berisi 20 bola, 4 di antaranya berwarna putih. Satu bola diambil secara acak dari masing-masing guci, dan kemudian satu bola diambil secara acak dari kedua bola ini. Tentukan peluang terambilnya bola putih.

7 Dalam kelompok 10 siswa yang datang untuk ujian, 3 sangat baik, 4 baik, 2 sedang, dan 1 buruk. Ada 20 pertanyaan di kertas ujian. Seorang siswa yang dipersiapkan dengan baik tahu semua 20 pertanyaan, seorang siswa yang dipersiapkan dengan baik tahu 16, seorang siswa biasa-biasa saja tahu 10, dan seorang siswa miskin tahu 5. Seorang siswa secara acak menjawab tiga pertanyaan yang diajukan secara acak. Temukan probabilitas bahwa siswa ini siap: sangat baik; buruk.

8 Masing-masing dari tiga guci berisi 6 bola hitam dan 4 bola putih. Satu bola diambil secara acak dari guci pertama dan dipindahkan ke guci kedua, setelah itu satu bola diambil secara acak dari guci kedua dan dipindahkan ke guci ketiga. Tentukan peluang terambilnya bola secara acak dari guci ketiga berwarna putih.

9 Tiga tembakan independen tunggal ditembakkan ke objek. Probabilitas mengenai pukulan pertama adalah 0,4; di detik - 0,5; dengan yang ketiga - 0,7. Tiga pukulan tentu saja cukup untuk menonaktifkan objek, dengan dua pukulan, itu gagal dengan probabilitas 0,6; dengan satu - dengan probabilitas 0,2. Temukan probabilitas bahwa sebagai hasil dari tiga tembakan, objek akan dinonaktifkan.

10 Tiga anak panah melepaskan tembakan, dan dua peluru mengenai sasaran. Temukan peluang bahwa penembak ketiga mengenai sasaran jika peluang mengenai sasaran oleh penembak pertama, kedua dan ketiga berturut-turut adalah 0,6; 0,5 dan 0,4.

Pekerjaan rumah.

1 Pengulangan tes. rumus Bernoulli dan Poisson. Teorema Lokal dan Integral Laplace.

2 Menyelesaikan masalah.

Tugas1 . Ada dua guci. Guci pertama berisi dua bola putih dan tiga bola hitam, dan guci kedua berisi tiga putih dan lima hitam. Dari guci pertama dan kedua, tanpa melihat, satu bola diambil dan ditempatkan di guci ketiga. Bola di guci ketiga dikocok dan diambil satu bola secara acak darinya. Tentukan peluang terambilnya bola ini berwarna putih.

Tugas2 . Salah satu dari tiga penembak dipanggil ke garis tembak dan melepaskan tembakan. Targetnya terkena. Probabilitas mengenai target dengan satu tembakan untuk penembak pertama adalah 0,3, untuk yang kedua - 0,5, untuk yang ketiga - 0,8. Temukan peluang bahwa tembakan itu ditembakkan oleh penembak kedua.

Tugas3 . Dari mesin pertama, 40% pergi ke perakitan, dari yang kedua - 35%, dari yang ketiga - 25% dari suku cadang. Di antara bagian-bagian mesin pertama 0,2% rusak, yang kedua - 0,3%, yang ketiga - 0,5%. Carilah peluang bahwa:

a) bagian yang diterima untuk perakitan rusak;

b) bagian yang ternyata rusak dibuat pada mesin kedua.

Tugas4 . Dalam kelompok 20 penembak, lima sangat baik, sembilan baik dan enam biasa-biasa saja. Dengan satu tembakan, penembak yang sangat baik mencapai target dengan probabilitas 0,9, yang baik dengan probabilitas 0,8 dan yang biasa-biasa saja dengan probabilitas 0,7. Penembak yang dipilih secara acak menembak dua kali; Ada satu hit dan satu miss. Penembak mana yang paling mungkin menjadi luar biasa, bagus, atau biasa-biasa saja?

Dari guci di mana mereka berada bola, termasuk hitam putih, sengaja ditarik keluar bola. Berapa peluang bahwa di antara mereka akan ada bola hitam putih?

Contoh 1. Pada guci pertama: tiga bola merah, satu bola putih. Di guci kedua: satu merah, tiga bola putih. Sebuah koin dilempar secara acak: jika lambang dipilih dari guci pertama, jika tidak, dari guci kedua.
Keputusan:
a.peluang terambilnya bola merah
A - mendapat bola merah
P 1 - lambang jatuh, P 2 - sebaliknya

b. Diambil bola berwarna merah. Temukan probabilitas bahwa itu diambil dari guci pertama, dari guci kedua.
B 1 - dari guci pertama, B 2 - dari guci kedua
,

Contoh 2. Ada 4 bola dalam sebuah kotak. Bisa berupa: hanya putih, hanya hitam atau putih dan hitam. (Komposisi tidak diketahui).
Keputusan:
A adalah peluang munculnya bola putih
a) Semua orang kulit putih:
(probabilitas bahwa salah satu dari tiga opsi di mana ada putih tertangkap)
(probabilitas bola putih muncul di mana semuanya putih)

b) Dicabut di mana semua orang berkulit hitam



c) mengeluarkan varian di mana semuanya berwarna putih atau/dan hitam

- setidaknya salah satunya berwarna putih

P a + P b + P c =

Contoh 3 . Sebuah guci berisi 5 bola putih dan 4 bola hitam. 2 bola diambil berturut-turut. Tentukan peluang terambilnya kedua bola berwarna putih.
Keputusan:
5 putih, 4 bola hitam
P(A 1) - mengambil bola putih

P(A2) adalah peluang terambilnya bola kedua juga berwarna putih

P(A) – Bola putih dipilih secara berurutan

Contoh 3a. Ada 2 uang kertas palsu dan 8 uang kertas asli dalam satu paket. 2 uang kertas ditarik keluar dari paket berturut-turut. Temukan peluang bahwa keduanya salah.
Keputusan:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022

Contoh 4. Ada 10 guci. 9 guci berisi 2 bola hitam dan 2 bola putih. Ada 5 putih dan 1 hitam dalam 1 guci. Sebuah bola diambil dari sebuah guci yang diambil secara acak.
Keputusan:
P(A)-? sebuah bola putih diambil dari sebuah guci berisi 5 bola putih
B - probabilitas dikeluarkan dari guci, di mana 5 berwarna putih
, - diambil dari orang lain
C 1 - probabilitas munculnya bola putih di lvl 9.

C 2 - probabilitas munculnya bola putih, di mana ada 5 di antaranya

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Contoh 5. 20 rol silinder dan 15 rol kerucut. Picker mengambil 1 rol dan kemudian yang lain.
Keputusan:
a) kedua rol berbentuk silinder
P(C 1)=; P(C2)=
C 1 - silinder pertama, C 2 - silinder kedua
P(A)=P(C 1)P(C 2) =
b) Setidaknya satu silinder
K 1 - kerucut pertama.
K 2 - kerucut kedua.
P(B)=P(C 1)P(K 2)+P(C 2)P(K 1)+P(C 1)P(C 2)
;

c) silinder pertama, dan silinder kedua bukan
P(C)=P(C1)P(K2)

e) Tidak satu silinder.
P(D)=P(K1)P(K2)

e) Tepat 1 silinder
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

Contoh 6. Ada 10 suku cadang standar dan 5 suku cadang cacat dalam sebuah kotak.
Tiga buah diambil secara acak.
a) Salah satunya rusak
P n (K)=C n k p k q n-k ,
P adalah peluang produk cacat

q adalah probabilitas bagian standar

n=3, tiga bagian


b) dua dari tiga bagian rusak P(2)
c) setidaknya satu standar
P(0) - tidak ada cacat

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - probabilitas bahwa setidaknya satu bagian akan menjadi standar

Contoh 7 . Guci ke-1 berisi 3 bola putih dan 3 bola hitam, dan kendi ke-2 berisi 3 bola putih dan 4 hitam. 2 bola dipindahkan dari guci ke-1 ke guci ke-2 tanpa melihat, dan kemudian 2 bola diambil dari guci ke-2. Berapa peluang terambilnya warna yang berbeda?
Keputusan:
Saat mentransfer bola dari guci pertama, opsi berikut dimungkinkan:
a) diambil 2 bola putih berturut-turut
P WB 1 =
Akan selalu ada satu bola yang lebih sedikit pada langkah kedua, karena satu bola telah dikeluarkan pada langkah pertama.
b) diambil satu bola putih dan satu bola hitam
Situasi ketika bola putih diambil terlebih dahulu, dan kemudian yang hitam
P BC =
Situasi ketika bola hitam diambil terlebih dahulu, dan kemudian yang putih
P BB =
Jumlah: P CU 1 =
c. diambil 2 bola hitam berturut-turut
P HH 1 =
Karena 2 bola dipindahkan dari guci pertama ke guci kedua, jumlah total bola di guci kedua adalah 9 (7 + 2). Karenanya, kami akan mencari semua opsi yang memungkinkan:
a) Pertama-tama diambil sebuah bola putih dan kemudian sebuah bola hitam diambil dari guci kedua

P BC 2 P BB 1 - berarti peluang terambilnya bola putih pertama, kemudian bola hitam, asalkan diambil 2 bola putih dari guci pertama berturut-turut. Itulah sebabnya jumlah bola putih dalam kasus ini adalah 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - berarti peluang terambilnya bola putih terlebih dahulu, kemudian bola hitam, asalkan terambil bola putih dan hitam dari guci pertama. Itulah sebabnya jumlah bola putih dalam kasus ini adalah 4 (3+1), dan jumlah bola hitam adalah lima (4+1).
P BC 2 P BC 1 - berarti peluang terambilnya bola putih pertama, kemudian bola hitam, asalkan kedua bola hitam dikeluarkan dari guci pertama secara berurutan. Itulah sebabnya jumlah bola hitam dalam kasus ini adalah 6 (4+2).

Peluang terambilnya 2 bola berbeda warna adalah:

Jawaban: P = 0,54

Contoh 7a. Dari guci ke-1, berisi 5 bola putih dan 3 bola hitam, 2 bola dipindahkan secara acak ke guci ke-2, yang berisi 2 bola putih dan 6 bola hitam. Kemudian diambil 1 bola secara acak dari guci ke-2.
1) Berapa peluang terambilnya bola dari kotak 2 berwarna putih?
2) Bola yang diambil dari guci ke-2 ternyata berwarna putih. Hitung peluang terambilnya bola dengan warna berbeda dari guci 1 ke guci 2.
Keputusan.
1) Kejadian A - bola yang diambil dari guci ke-2 ternyata berwarna putih. Pertimbangkan opsi berikut untuk terjadinya peristiwa ini.
a) Dua bola putih ditempatkan dari guci pertama ke guci kedua: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
Ada 4 bola putih di guci kedua. Maka peluang terambilnya bola putih dari guci kedua adalah P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Bola putih dan hitam ditempatkan dari guci pertama ke guci kedua: P1(bc) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Ada 3 bola putih di guci kedua. Maka peluang terambilnya bola putih dari guci kedua adalah P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Dua bola hitam ditempatkan dari guci pertama ke guci kedua: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
Ada 2 bola putih di guci kedua. Maka peluang terambilnya bola putih dari guci kedua adalah P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Maka peluang terambilnya bola dari guci ke-2 ternyata berwarna putih adalah:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Bola yang diambil dari guci ke-2 ternyata berwarna putih, mis. probabilitas totalnya adalah P(A)=13/32.
Peluang terambilnya bola yang berbeda warna (hitam dan putih) ke guci kedua dan putih adalah: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Contoh 7b. Guci pertama berisi 8 bola putih dan 3 bola hitam, guci kedua berisi 5 bola putih dan 3 bola hitam. Satu bola dipilih secara acak dari yang pertama, dan dua bola dari yang kedua. Setelah itu, diambil satu bola secara acak dari tiga bola yang terpilih. Bola terakhir ini ternyata berwarna hitam. Tentukan peluang terambilnya bola putih dari guci pertama.
Keputusan.
Mari kita pertimbangkan semua varian acara A - dari tiga bola, bola yang ditarik ternyata berwarna hitam. Bagaimana mungkin di antara ketiga bola itu berwarna hitam?
a) Sebuah bola hitam diambil dari guci pertama, dan dua bola putih diambil dari guci kedua.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) Sebuah bola hitam diambil dari guci pertama, dan dua bola hitam diambil dari guci kedua.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) Sebuah bola hitam diambil dari guci pertama, dan satu bola putih dan satu hitam diambil dari guci kedua.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Sebuah bola putih diambil dari guci pertama, dan dua bola hitam diambil dari guci kedua.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) Sebuah bola putih dikeluarkan dari guci pertama, dan satu bola putih dan satu bola hitam dikeluarkan dari guci kedua.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Probabilitas totalnya adalah: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Peluang terambilnya bola putih dari guci putih adalah:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Maka peluang terambilnya bola putih dari guci pertama, asalkan bola hitam terambil dari tiga bola, sama dengan:
Pch \u003d Pb (1) / P \u003d 36/77 / 57/77 \u003d 36/57

Contoh 7c. Guci pertama berisi 12 bola putih dan 16 bola hitam, guci kedua berisi 8 putih dan 10 hitam. Pada saat yang sama, sebuah bola diambil dari guci ke-1 dan ke-2, dicampur dan dikembalikan satu per satu ke masing-masing guci. Kemudian sebuah bola diambil dari masing-masing guci. Ternyata warnanya sama. Tentukan peluang bahwa ada banyak bola putih yang tersisa di guci pertama sama banyaknya dengan yang ada di awal.

Keputusan.
Kejadian A - pada saat yang sama, sebuah bola diambil dari guci ke-1 dan ke-2.
Peluang terambilnya bola putih dari guci pertama: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Peluang terambilnya bola hitam dari guci pertama: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Peluang terambilnya bola putih dari guci kedua: P2(B) = 8/18 = 4/9
Peluang terambilnya bola hitam dari guci kedua: P2(H) = 10/18 = 5/9

Peristiwa A terjadi. Kejadian B - sebuah bola diambil dari setiap guci. Setelah mengocok, peluang mengembalikan bola ke guci berisi bola putih atau hitam adalah .
Pertimbangkan varian acara B - ternyata warnanya sama.

Untuk guci pertama
1) sebuah bola putih dimasukkan ke dalam guci pertama, dan sebuah bola putih diambil, dengan syarat sebelumnya telah diambil bola putih, P1(BB/A=B) = * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) sebuah bola putih dimasukkan ke dalam guci pertama dan diambil sebuah bola putih, dengan syarat terlebih dahulu diambil bola hitam, P1(BB/A=W) = * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) sebuah bola putih dimasukkan ke dalam guci pertama dan sebuah bola hitam diambil, dengan syarat sebelumnya telah diambil bola putih, P1(BC/A=B) = * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) sebuah bola putih dimasukkan ke dalam guci pertama dan sebuah bola hitam diambil, asalkan sebuah bola hitam diambil lebih awal, P1(BC/A=Ch) = * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) sebuah bola hitam dimasukkan ke dalam guci pertama dan diambil sebuah bola putih, dengan syarat sebelumnya telah diambil bola putih, P1(BW/A=B) = * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) sebuah bola hitam dimasukkan ke dalam guci pertama dan sebuah bola putih diambil, asalkan sebelumnya telah diambil bola hitam, P1(BW/A=W) = * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) sebuah bola hitam dimasukkan ke dalam guci pertama, dan sebuah bola hitam diambil, asalkan sebelumnya telah diambil bola putih, P1(HH/A=B) = * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) sebuah bola hitam dimasukkan ke dalam guci pertama, dan sebuah bola hitam diambil, asalkan sebuah bola hitam diambil lebih awal, P1(HH/A=H) = * 16/28 * 4/7 = 8/49

Untuk guci kedua
1) sebuah bola putih dimasukkan ke dalam guci pertama, dan sebuah bola putih diambil, asalkan sebelumnya telah diambil bola putih, P1(BB/A=B) = * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) sebuah bola putih dimasukkan ke dalam guci pertama, dan sebuah bola putih diambil, asalkan sebuah bola hitam diambil lebih awal, P1(BB/A=W) = * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) sebuah bola putih dimasukkan ke dalam guci pertama dan sebuah bola hitam diambil, asalkan sebuah bola putih diambil lebih awal, P1(BC/A=B) = * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) sebuah bola putih dimasukkan ke dalam guci pertama dan sebuah bola hitam diambil, asalkan sebuah bola hitam diambil lebih awal, P1(BC/A=Ch) = * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) sebuah bola hitam dimasukkan ke dalam guci pertama dan sebuah bola putih diambil, dengan syarat sebelumnya telah diambil bola putih, P1(BW/A=B) = * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) sebuah bola hitam dimasukkan ke dalam guci pertama dan sebuah bola putih diambil, asalkan sebuah bola hitam telah diambil sebelumnya, P1(BW/A=W) = * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) sebuah bola hitam dimasukkan ke dalam guci pertama, dan sebuah bola hitam diambil, asalkan sebelumnya telah diambil bola putih, P1(HH/A=B) = * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) sebuah bola hitam dimasukkan ke dalam guci pertama, dan sebuah bola hitam diambil, asalkan sebuah bola hitam diambil lebih awal, P1(HH/A=H) = * 10/18 * 4/7 = 10/63

Bola-bola itu ternyata memiliki warna yang sama:
putih
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) hitam
P1(H) = P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(WB/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Contoh 7g. Kotak pertama berisi 5 bola putih dan 4 bola biru, kotak kedua 3 dan 1, dan kotak ketiga 4 dan 5. Sebuah kotak dipilih secara acak dan sebuah bola yang diambil dari kotak tersebut ternyata berwarna biru. Berapa peluang terambilnya bola dari kotak kedua?

Keputusan.
A - acara ekstraksi balon biru. Pertimbangkan semua opsi untuk hasil dari peristiwa semacam itu.
H1 - menarik bola dari kotak pertama,
H2 - bola ditarik dari kotak kedua,
H3 - bola yang ditarik dari kotak ketiga.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Menurut kondisi masalah, peluang bersyarat dari kejadian A adalah:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Peluang terambilnya bola dari kotak kedua adalah:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2

Contoh 8 . Lima kotak dengan 30 bola masing-masing berisi 5 bola merah (ini adalah kotak komposisi H1), enam kotak lainnya dengan 20 bola masing-masing berisi 4 bola merah (ini adalah kotak komposisi H2). Tentukan peluang terambilnya bola merah secara acak di salah satu dari lima kotak pertama.
Solusi: Tugas menerapkan rumus probabilitas total.

Kemungkinan bahwa setiap bola yang diambil berada di salah satu dari lima kotak pertama:
P(H 1) = 5/11
Kemungkinan bahwa setiap Bola yang diambil dimasukkan ke dalam salah satu dari enam kotak:
P(H2) = 6/11
Peristiwa itu terjadi - bola merah ditarik. Oleh karena itu, ini bisa terjadi dalam dua kasus:
a) ditarik keluar dari lima kotak pertama.
P 5 = 5 bola merah * 5 kotak / (30 bola * 5 kotak) = 1/6
P(P 5 / H 1) \u003d 1/6 * 5/11 \u003d 5/66
b) ditarik keluar dari enam kotak lainnya.
P 6 = 4 bola merah * 6 kotak / (20 bola * 6 kotak) = 1/5
P (P 6 / H 2) \u003d 1/5 * 6/11 \u003d 6/55
Jumlah: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Oleh karena itu, peluang terambilnya bola merah secara acak di salah satu dari lima kotak pertama adalah:
P k.sh. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

Contoh 9 . Sebuah guci berisi 2 bola putih, 3 hitam, dan 4 merah. Tiga bola diambil secara acak. Berapa peluang terambilnya paling sedikit dua bola berwarna sama?
Keputusan. Ada tiga kemungkinan hasil dari peristiwa:
a) di antara tiga bola yang diambil, paling sedikit dua berwarna putih.
P b (2) = P 2b
Banyaknya hasil elementer yang mungkin dari percobaan ini sama dengan banyaknya cara pengambilan 3 bola dari 9:

Tentukan peluang terambilnya 2 dari 3 bola berwarna putih.

Jumlah opsi untuk dipilih dari 2 bola putih:

Jumlah opsi untuk dipilih dari 7 bola lainnya bola ketiga:

b) di antara tiga bola yang diambil, setidaknya dua berwarna hitam (yaitu 2 hitam atau 3 hitam).
Tentukan peluang terambilnya 2 dari 3 bola berwarna hitam.

Jumlah opsi untuk dipilih dari 3 bola hitam:

Jumlah opsi untuk dipilih dari 6 bola lain dari satu bola:


P2j = 0,214
Tentukan peluang terambilnya semua bola berwarna hitam.

P h (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259

c) di antara tiga bola yang diambil, setidaknya dua berwarna merah (yaitu 2 merah atau 3 merah).
Tentukan peluang terambilnya 3 bola 2 berwarna merah.

Jumlah opsi untuk dipilih dari 4 bola hitam:

Jumlah opsi yang dapat dipilih dari 5 bola putih yang tersisa 1 putih:


Tentukan peluang terambilnya semua bola berwarna merah.

P ke (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Maka peluang terambilnya paling sedikit dua bola berwarna sama adalah: P = P b (2) + P h (2) + P c (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138

Contoh 10. Guci pertama berisi 10 bola, 7 di antaranya berwarna putih; Guci kedua berisi 20 bola, 5 di antaranya berwarna putih. Satu bola diambil secara acak dari masing-masing guci, dan kemudian satu bola diambil secara acak dari kedua bola ini. Tentukan peluang terambilnya bola putih.
Keputusan. Peluang terambilnya bola putih dari guci pertama adalah P(b)1 = 7/10. Jadi, peluang terambilnya bola hitam adalah P(h)1 = 3/10.
Peluang terambilnya bola putih dari guci kedua adalah P(b)2 = 5/20 = 1/4. Jadi, peluang terambilnya bola hitam adalah P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Kejadian A - sebuah bola putih diambil dari dua bola
Perhatikan hasil dari peristiwa A.

1. Sebuah bola putih diambil dari guci pertama, dan bola putih diambil dari guci kedua. Kemudian diambil sebuah bola putih dari kedua bola tersebut. P1=7/10*1/4=7/40
2. Sebuah bola putih diambil dari guci pertama, dan bola hitam diambil dari guci kedua. Kemudian diambil sebuah bola putih dari kedua bola tersebut. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. Sebuah bola hitam diambil dari guci pertama, dan bola putih diambil dari guci kedua. Kemudian diambil sebuah bola putih dari kedua bola tersebut. P3=3/10*1/4=3/40

Jadi probabilitas dapat ditemukan sebagai jumlah dari probabilitas di atas.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

Contoh 11 . Dalam sebuah kotak terdapat n bola tenis. Dari mereka bermain m . Untuk game pertama, mereka mengambil dua bola secara acak dan mengembalikannya setelah pertandingan. Untuk game kedua, mereka juga mengambil dua bola secara acak. Berapa peluang bahwa permainan kedua akan dimainkan dengan bola baru?
Keputusan. Pertimbangkan acara A - permainan dimainkan untuk kedua kalinya dengan bola baru. Mari kita lihat peristiwa apa yang dapat menyebabkan ini.
Dilambangkan dengan g = n-m, jumlah bola baru sebelum ditarik keluar.
a) Dua bola baru diambil untuk permainan pertama.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) untuk game pertama mereka mengeluarkan satu bola baru dan satu lagi sudah dimainkan.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) untuk game pertama, dua bola yang dimainkan ditarik keluar.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Pertimbangkan peristiwa game kedua.
a) Dua bola baru diambil, asalkan P1: karena bola baru sudah diambil untuk game pertama, maka untuk game kedua jumlahnya berkurang 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Dua bola baru ditarik, tunduk pada P2: karena satu bola baru telah diambil untuk game pertama, maka untuk game kedua jumlahnya berkurang 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Mereka mengeluarkan dua bola baru, asalkan P3: karena tidak ada bola baru yang digunakan untuk game pertama, jumlahnya tidak berubah untuk game kedua g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))

Probabilitas total P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Jawaban: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Contoh 12. Kotak pertama, kedua dan ketiga berisi 2 bola putih dan 3 bola hitam, kotak keempat dan kelima masing-masing berisi 1 bola putih dan 1 bola hitam. Sebuah kotak dipilih secara acak dan diambil sebuah bola darinya. Berapa peluang bersyarat bahwa kotak keempat atau kelima dipilih jika bola yang diambil berwarna putih?
Keputusan.
Peluang terambilnya setiap kotak adalah P(H) = 1/5.
Pertimbangkan peluang bersyarat dari kejadian A - terambilnya bola putih.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) =
P(A|H=5) =
Peluang terambil bola putih seluruhnya :
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Probabilitas bersyarat bahwa kotak keempat dipilih
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Probabilitas bersyarat bahwa kotak kelima dipilih
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Jadi, peluang bersyarat terambilnya kotak keempat atau kelima adalah
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546

Contoh 13. Sebuah guci berisi 7 bola putih dan 4 bola merah. Kemudian bola putih atau merah atau hitam lainnya dimasukkan ke dalam guci dan setelah tercampur satu bola dikeluarkan. Ternyata dia merah. Berapa peluang terambilnya a) bola merah? b.bola hitam?
Keputusan.
a) bola merah
Kejadian A - diambil bola merah. Acara H - taruh bola merah. Peluang terambilnya bola merah di dalam guci P(H=K) = 1 / 3
Maka P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
b) bola hitam
Kejadian A - diambil bola merah. Acara H - letakkan bola hitam.
Peluang terambilnya sebuah bola hitam dalam guci adalah P(H=H) = 1/3
Maka P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0,111

Contoh 14. Ada dua guci dengan bola. Yang satu memiliki 10 bola merah dan 5 bola biru, yang lain memiliki 5 bola merah dan 7 bola biru. Berapa peluang terambilnya bola merah secara acak dari guci pertama dan bola biru dari guci kedua?
Keputusan. Biarkan acara A1 - bola merah diambil dari guci pertama; A2 - sebuah bola biru diambil dari guci kedua:
,
Kejadian A1 dan A2 saling bebas. Peluang terjadinya bersama kejadian A1 dan A2 sama dengan

Contoh 15. Ada setumpuk kartu (36 buah). Dua kartu diambil secara acak. Berapa peluang terambilnya kedua kartu berwarna merah?
Keputusan. Biarkan acara A 1 menjadi kartu pertama yang ditarik dari setelan merah. Acara A 2 - kartu yang ditarik kedua dari setelan merah. B - kedua kartu yang ditarik dengan setelan merah. Karena kejadian A 1 dan kejadian A 2 harus terjadi, maka B = A 1 · A 2 . Kejadian A 1 dan A 2 saling bergantung, maka P(B) :
,
Dari sini

Contoh 16. Dua guci berisi bola yang hanya berbeda warnanya, dan di guci pertama ada 5 bola putih, 11 hitam dan 8 merah, dan di guci kedua masing-masing 10, 8, 6 bola. Satu bola diambil secara acak dari kedua guci. Berapa peluang terambilnya kedua bola dengan warna yang sama?
Keputusan. Biarkan indeks 1 berarti putih, indeks 2 hitam; 3 - warna merah. Biarkan acara A i - bola warna ke-i diambil dari guci pertama; acara B j - bola warna ke-j diambil dari guci kedua; kejadian A - kedua bola berwarna sama.
A \u003d A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3. Peristiwa A i dan B j saling bebas, sedangkan A i · B i dan A j · B j tidak cocok untuk i j . Karena itu,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =

Contoh 17. Dari sebuah guci yang berisi 3 bola putih dan 2 bola hitam diambil satu per satu sampai muncul warna hitam. Berapa peluang terambilnya 3 bola dari wadah tersebut? 5 bola?
Keputusan.
1) probabilitas bahwa 3 bola akan diambil dari guci (yaitu bola ketiga akan berwarna hitam, dan dua yang pertama akan berwarna putih).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) peluang terambil 5 bola dari guci
situasi seperti itu tidak mungkin, karena hanya 3 bola putih.
P=0

Akibat wajar dari kedua teorema utama - teorema penambahan probabilitas dan teorema perkalian probabilitas - adalah apa yang disebut rumus probabilitas total.

Biarkan diperlukan untuk menentukan probabilitas beberapa peristiwa yang dapat terjadi bersama-sama dengan salah satu peristiwa:

membentuk kelompok lengkap peristiwa yang tidak kompatibel. Kami akan menyebut peristiwa ini hipotesis.

Mari kita buktikan bahwa dalam kasus ini

, (3.4.1)

itu. probabilitas suatu peristiwa dihitung sebagai jumlah produk dari probabilitas setiap hipotesis dan probabilitas peristiwa di bawah hipotesis ini.

Rumus (3.4.1) disebut rumus probabilitas total.

Bukti. Karena hipotesis membentuk kelompok yang lengkap, peristiwa tersebut hanya dapat muncul dalam kombinasi dengan salah satu hipotesis berikut:

Karena hipotesis tidak konsisten, kombinasi juga tidak kompatibel; menerapkan teorema penambahan kepada mereka, kita mendapatkan:

Menerapkan teorema perkalian ke acara, kita mendapatkan:

,

Q.E.D.

Contoh 1. Ada tiga guci yang tampak identik; guci pertama berisi dua bola putih dan satu bola hitam; di yang kedua - tiga putih dan satu hitam; di yang ketiga - dua bola putih dan dua bola hitam. Seseorang memilih salah satu guci secara acak dan mengambil bola darinya. Tentukan peluang terambilnya bola ini berwarna putih.

Keputusan. Mari kita pertimbangkan tiga hipotesis:

Pilihan guci pertama,

Pilihan guci kedua,

Pilihan guci ketiga

dan kejadiannya adalah munculnya bola putih.

Karena hipotesis, menurut kondisi masalah, sama-sama mungkin, maka

.

Probabilitas bersyarat dari peristiwa di bawah hipotesis ini masing-masing sama:

Menurut rumus probabilitas total

.

Contoh 2. Tiga tembakan tunggal ditembakkan ke sebuah pesawat. Probabilitas memukul dengan tembakan pertama adalah 0,4, dengan yang kedua - 0,5, dengan yang ketiga 0,7. Tiga pukulan jelas cukup untuk melumpuhkan pesawat; dengan satu pukulan, pesawat gagal dengan probabilitas 0,2, dengan dua pukulan, dengan probabilitas 0,6. Temukan peluang bahwa sebagai hasil dari tiga tembakan, pesawat akan berhenti beraksi.

Keputusan. Mari kita pertimbangkan empat hipotesis:

Tidak ada satu peluru pun yang menabrak pesawat,

Satu peluru menghantam pesawat

Pesawat itu terkena dua peluru.

Tiga peluru menghantam pesawat.

Dengan menggunakan teorema penjumlahan dan perkalian, kita menemukan probabilitas dari hipotesis ini:

Probabilitas bersyarat dari peristiwa (kegagalan pesawat) di bawah hipotesis ini adalah:

Menerapkan rumus probabilitas total, kita mendapatkan:

Perhatikan bahwa hipotesis pertama tidak dapat dimasukkan ke dalam pertimbangan, karena istilah yang sesuai dalam rumus probabilitas total menghilang. Ini biasanya dilakukan ketika menerapkan rumus probabilitas total, dengan mempertimbangkan bukan kelompok lengkap dari hipotesis yang tidak konsisten, tetapi hanya hipotesis di mana peristiwa tertentu mungkin terjadi.

Contoh 3. Pengoperasian mesin dikendalikan oleh dua regulator. Periode waktu tertentu dipertimbangkan, di mana diinginkan untuk memastikan pengoperasian mesin yang bebas masalah. Jika kedua regulator ada, mesin gagal dengan probabilitas , jika hanya yang pertama bekerja, dengan probabilitas , jika hanya yang kedua bekerja, jika kedua regulator gagal, dengan probabilitas . Yang pertama dari regulator memiliki keandalan, yang kedua -. Semua elemen gagal secara independen satu sama lain. Temukan keandalan total (probabilitas operasi bebas kegagalan) mesin.