Pembilang

perempat

1. Ketertiban. sebuah dan b ada aturan yang memungkinkan Anda untuk mengidentifikasi secara unik di antara mereka satu dan hanya satu dari tiga hubungan: “< », « >' atau ' = '. Aturan ini disebut aturan pemesanan dan dirumuskan sebagai berikut: dua bilangan non-negatif dan dihubungkan oleh hubungan yang sama sebagai dua bilangan bulat dan ; dua bilangan bukan positif sebuah dan b terkait dengan hubungan yang sama sebagai dua angka non-negatif dan ; jika tiba-tiba sebuah non-negatif, dan b- negatif, maka sebuah > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   penjumlahan pecahan

2. operasi penambahan. Untuk sembarang bilangan rasional sebuah dan b ada yang disebut aturan penjumlahan c. Namun, nomor itu sendiri c ditelepon jumlah angka sebuah dan b dan dilambangkan , dan proses menemukan bilangan tersebut disebut penjumlahan. Aturan penjumlahan memiliki bentuk sebagai berikut: .
3. operasi perkalian. Untuk sembarang bilangan rasional sebuah dan b ada yang disebut aturan perkalian, yang menempatkan mereka dalam korespondensi dengan beberapa bilangan rasional c. Namun, nomor itu sendiri c ditelepon kerja angka sebuah dan b dan dilambangkan , dan proses menemukan bilangan tersebut juga disebut perkalian. Aturan perkaliannya adalah sebagai berikut: .
4. Transitivitas relasi orde. Untuk setiap rangkap tiga bilangan rasional sebuah , b dan c jika sebuah lebih kecil b dan b lebih kecil c, kemudian sebuah lebih kecil c, dan jika sebuah sama dengan b dan b sama dengan c, kemudian sebuah sama dengan c. 6435">Komutatifitas penjumlahan. Jumlahnya tidak berubah dari perubahan tempat suku-suku rasional.
5. Asosiatif penjumlahan. Urutan penambahan tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
6. Kehadiran nol. Ada bilangan rasional 0 yang mempertahankan setiap bilangan rasional lainnya ketika dijumlahkan.
7. Kehadiran angka yang berlawanan. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional yang berlawanan, yang jika dijumlahkan menghasilkan 0.
8. Komutatifitas perkalian. Dengan mengubah tempat faktor rasional, produk tidak berubah.
9. Asosiatif perkalian. Urutan perkalian tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
10. Kehadiran satu kesatuan. Ada bilangan rasional 1 yang mempertahankan setiap bilangan rasional lainnya ketika dikalikan.
11. Kehadiran timbal balik. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional terbalik, yang, ketika dikalikan, menghasilkan 1.
12. Distribusi perkalian terhadap penjumlahan. Operasi perkalian konsisten dengan operasi penjumlahan melalui hukum distribusi:
13. Koneksi relasi order dengan operasi penjumlahan. Bilangan rasional yang sama dapat ditambahkan ke ruas kiri dan kanan pertidaksamaan rasional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Aksioma Archimedes. Berapapun bilangan rasionalnya sebuah, Anda dapat mengambil begitu banyak unit sehingga jumlahnya akan melebihi sebuah. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Properti tambahan

Semua sifat-sifat lain yang melekat pada bilangan rasional tidak dipilih sebagai sifat dasar, karena, secara umum, mereka tidak lagi didasarkan secara langsung pada sifat-sifat bilangan bulat, tetapi dapat dibuktikan berdasarkan sifat-sifat dasar yang diberikan atau langsung dengan definisi dari beberapa objek matematika. Ada banyak properti tambahan seperti itu. Masuk akal di sini untuk mengutip hanya beberapa dari mereka.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Setel keterhitungan

Penomoran bilangan rasional

Untuk memperkirakan jumlah bilangan rasional, Anda perlu menemukan kardinalitas himpunannya. Sangat mudah untuk membuktikan bahwa himpunan bilangan rasional dapat dihitung. Untuk melakukan ini, cukup memberikan algoritma yang menghitung bilangan rasional, yaitu, menetapkan bijeksi antara himpunan bilangan rasional dan bilangan asli.

Yang paling sederhana dari algoritma ini adalah sebagai berikut. Tabel tak terbatas dari pecahan biasa dikompilasi, pada masing-masing saya-baris ke-th di masing-masing j kolom ke- merupakan pecahan. Untuk kepastian, diasumsikan bahwa baris dan kolom tabel ini diberi nomor dari satu. Sel tabel dilambangkan , di mana saya- nomor baris tabel tempat sel berada, dan j- nomor kolom.

Tabel yang dihasilkan dikelola oleh "ular" sesuai dengan algoritma formal berikut.

Aturan-aturan ini dicari dari atas ke bawah dan posisi berikutnya dipilih oleh pertandingan pertama.

Dalam proses bypass seperti itu, setiap bilangan rasional baru ditetapkan ke bilangan asli berikutnya. Artinya, pecahan 1 / 1 diberi nomor 1, pecahan 2 / 1 - nomor 2, dll. Perlu dicatat bahwa hanya pecahan yang tidak dapat direduksi yang diberi nomor. Tanda formal tak dapat direduksi adalah persamaan dengan kesatuan dari pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut pecahan.

Mengikuti algoritma ini, seseorang dapat menghitung semua bilangan rasional positif. Ini berarti himpunan bilangan rasional positif dapat dihitung. Sangat mudah untuk menetapkan bijeksi antara himpunan bilangan rasional positif dan negatif, cukup dengan menetapkan lawannya pada setiap bilangan rasional. Itu. himpunan bilangan rasional negatif juga dapat dihitung. Persatuan mereka juga dapat dihitung oleh properti set yang dapat dihitung. Himpunan bilangan rasional juga dapat dihitung sebagai gabungan dari himpunan yang dapat dihitung dengan yang terbatas.

Pernyataan tentang keterhitungan himpunan bilangan rasional dapat menyebabkan beberapa kebingungan, karena pada pandangan pertama orang mendapat kesan bahwa itu jauh lebih besar daripada himpunan bilangan asli. Faktanya, ini bukan masalahnya, dan ada cukup banyak bilangan asli untuk menghitung semua bilangan rasional.

Ketidakcukupan bilangan rasional

Hipotenusa segitiga seperti itu tidak dinyatakan oleh bilangan rasional apa pun

Bilangan rasional bentuk 1 / n pada umumnya n jumlah kecil yang sewenang-wenang dapat diukur. Fakta ini menciptakan kesan yang menipu bahwa bilangan rasional dapat mengukur jarak geometris apa pun secara umum. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa ini tidak benar.

Diketahui dari teorema Pythagoras bahwa sisi miring segitiga siku-siku dinyatakan sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat kaki-kakinya. Itu. panjang sisi miring dari segitiga siku-siku sama kaki dengan satu kaki sama dengan, yaitu, bilangan yang kuadratnya 2.

Jika kita berasumsi bahwa bilangan tersebut diwakili oleh beberapa bilangan rasional, maka ada bilangan bulat seperti itu m dan bilangan asli seperti itu n, yang, apalagi, pecahan tidak dapat direduksi, yaitu, angka m dan n adalah koprima.

Kami menggunakan pecahan sepanjang waktu dalam hidup kami. Misalnya saat kita makan kue bersama teman-teman. Kue dapat dibagi menjadi 8 bagian yang sama atau 8 berbagi. Membagikan adalah bagian yang sama dari sesuatu yang utuh. Empat teman masing-masing makan sepotong kue. Empat dipilih dari delapan bagian dapat ditulis secara matematis sebagai pecahan biasa\(\frac(4)(8)\), pecahan tersebut berbunyi “empat perdelapan” atau “empat dibagi delapan”. Pecahan biasa disebut juga pecahan sederhana.

Bilah pecahan menggantikan pembagian:
\(4 \div 8 = \frac(4)(8)\)
Kami menuliskan bagian dalam pecahan. Secara harfiah akan menjadi seperti ini:
\(\bf m \div n = \frac(m)(n)\)

4 – pembilang atau habis dibagi, berada di atas bilah pecahan dan menunjukkan berapa banyak bagian atau bagian dari total yang diambil.
8 – penyebut atau pembagi, terletak di bawah bilah pecahan dan menunjukkan jumlah total bagian atau bagian.

Jika kita perhatikan lebih dekat, kita akan melihat bahwa teman-teman makan setengah dari kue, atau satu bagian dari dua. Kita tulis dalam bentuk pecahan biasa \(\frac(1)(2)\), dibaca “satu detik”.

Pertimbangkan contoh lain:
Ada persegi. Persegi dibagi menjadi 5 bagian yang sama. Dicat dua bagian. Tulis pecahan untuk bagian yang diarsir? Tuliskan pecahan untuk bagian yang tidak diarsir?

Dua bagian dicat, dan ada lima bagian total, sehingga pecahan akan terlihat seperti \(\frac(2)(5)\), pecahan “dua perlima” dibaca.
Tiga bagian tidak dicat, ada lima bagian total, jadi kami menulis pecahan seperti ini \(\frac(3)(5)\), pecahan "tiga perlima" dibaca.

Bagilah persegi menjadi persegi yang lebih kecil dan tulis pecahan untuk bagian yang diarsir dan tidak diarsir.

Diarsir 6 bagian, dan hanya 25 bagian. Kami mendapatkan pecahan \(\frac(6)(25)\) , pecahan "enam dua puluh lima" dibaca.
Tidak diarsir 19 bagian, tetapi hanya 25 bagian. Kami mendapatkan pecahan \(\frac(19)(25)\), pecahan "sembilan belas dua puluh lima" dibaca.

Diarsir 4 bagian, dan hanya 25 bagian. Kami mendapatkan pecahan \(\frac(4)(25)\), pecahan "empat dua puluh lima" dibaca.
Tidak diarsir 21 bagian, tetapi hanya 25 bagian. Kami mendapatkan pecahan \(\frac(21)(25)\), pecahan "dua puluh satu dua puluh lima" dibaca.

Setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai pecahan. Sebagai contoh:

\(5 = \frac(5)(1)\)
\(\bf m = \frac(m)(1)\)

Setiap angka habis dibagi satu, jadi angka ini dapat direpresentasikan sebagai pecahan.

Pertanyaan tentang topik "pecahan biasa":
Apa itu saham?
Menjawab: Bagikan adalah bagian yang sama dari sesuatu yang utuh.

Apa yang ditunjukkan penyebut?
Jawaban: penyebut menunjukkan berapa bagian atau bagian yang dibagi.

Apa yang ditunjukkan pembilang?
Jawaban: Pembilang menunjukkan berapa banyak bagian atau bagian yang diambil.

Jalan itu 100m. Misha berjalan 31m. Tuliskan ekspresi sebagai pecahan, berapa lama Misha pergi?
Jawaban:\(\frac(31)(100)\)

Apa itu pecahan biasa?
Jawaban: Pecahan biasa adalah perbandingan pembilang dan penyebutnya, dimana pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Contoh, pecahan biasa \(\frac(1)(4), \frac(3)(7), \frac(5)(13), \frac(9)(11)…\)

Bagaimana cara mengubah bilangan asli menjadi pecahan biasa?
Jawaban: bilangan apa saja dapat ditulis sebagai pecahan, misalnya \(5 = \frac(5)(1)\)

Tugas 1:
Membeli 2kg 700g melon. Melon \(\frac(2)(9)\) Misha dipotong. Berapa massa potongan yang dipotong? Berapa gram melon yang tersisa?

Keputusan:
Ubah kilogram menjadi gram.
2kg = 2000g
2000g + 700g = 2700g total berat melon.

Melon \(\frac(2)(9)\) Misha dipotong. Penyebutnya adalah 9, yang berarti melon dibagi menjadi 9 bagian.
2700: 9 = 300g berat satu potong.
Pembilangnya adalah angka 2, jadi Misha harus memberikan dua buah.
300 + 300 = 600g atau 300 2 = 600g adalah berapa banyak melon yang dimakan Misha.

Untuk menemukan berapa massa melon yang tersisa, Anda perlu mengurangi massa yang dimakan dari total massa melon.
2700 - 600 = sisa 2100 gram melon.

Pecahan- bentuk representasi angka dalam matematika. Garis miring menunjukkan operasi pembagian. pembilang pecahan disebut dividen, dan penyebut- pembagi. Misalnya, dalam pecahan, pembilangnya adalah 5 dan penyebutnya adalah 7.

Benar Suatu pecahan disebut jika modulus pembilangnya lebih besar dari modulus penyebutnya. Jika pecahan benar, maka modulus nilainya selalu lebih kecil dari 1. Semua pecahan lainnya adalah salah.

Pecahan disebut Campuran, jika ditulis sebagai bilangan bulat dan pecahan. Ini sama dengan jumlah bilangan ini dan pecahan:

Sifat dasar pecahan

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan dengan bilangan yang sama, maka nilai pecahan tidak akan berubah, yaitu, misalnya,

Membawa pecahan ke penyebut yang sama

Untuk membawa dua pecahan ke penyebut yang sama, Anda perlu:

1. Kalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut kedua
2. Kalikan pembilang pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama
3. Ganti penyebut kedua pecahan dengan perkaliannya

Tindakan dengan pecahan

Tambahan. Untuk menjumlahkan dua pecahan, Anda perlu

1. Tambahkan pembilang baru dari kedua pecahan, dan biarkan penyebutnya tidak berubah

Contoh:

Pengurangan. Untuk mengurangkan satu pecahan dari pecahan lainnya,

1. Bawa pecahan ke penyebut yang sama
2. Kurangi pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya tidak berubah

Contoh:

Perkalian. Untuk mengalikan satu pecahan dengan pecahan lainnya, kalikan pembilang dan penyebutnya:

Divisi. Untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, kalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut kedua, dan kalikan penyebut pecahan pertama dengan pembilang kedua:

Pembilang dan penyebut suatu pecahan. Jenis-jenis pecahan. Mari kita lanjutkan dengan pecahan. Pertama, peringatan kecil - kami, mempertimbangkan pecahan dan contoh yang sesuai dengannya, untuk saat ini kami hanya akan bekerja dengan representasi numeriknya. Ada juga ekspresi literal pecahan (dengan dan tanpa angka).Namun, semua "prinsip" dan aturan juga berlaku untuknya, tetapi kami akan membicarakan ekspresi seperti itu secara terpisah di masa mendatang. Saya sarankan mengunjungi dan mempelajari (mengingat) topik pecahan selangkah demi selangkah.

Yang paling penting adalah memahami, mengingat dan menyadari bahwa FRAKSI adalah ANGKA!!!

pecahan biasa adalah sejumlah bentuk:

Bilangan yang terletak “di atas” (dalam hal ini m) disebut pembilang, bilangan yang terletak di bawah (bilangan n) disebut penyebut. Mereka yang baru saja menyentuh topik sering bingung - apa namanya.

Inilah trik untuk Anda, cara mengingat selamanya - di mana pembilangnya, dan di mana penyebutnya. Teknik ini dikaitkan dengan asosiasi verbal-figuratif. Bayangkan sebotol air keruh. Diketahui bahwa ketika air mengendap, air bersih tetap di atas, dan kekeruhan (kotoran) mengendap, ingat:

CHISSS mencairkan air DI ATAS (penuang CHISSS di atas)

lumpur ZZZNNN th air BOTTOM (ZZZNN Amenator di bawah)

Jadi, segera setelah menjadi perlu untuk mengingat di mana pembilangnya dan di mana penyebutnya, maka mereka segera disajikan secara visual toples air yang menetap, di mana ada air BERSIH di atas dan air kotor di bawah. Ada trik lain yang perlu diingat, jika itu membantu Anda, maka bagus.

Contoh pecahan biasa:

Apa arti garis horizontal antar angka? Ini tidak lebih dari tanda pembagian. Ternyata pecahan dapat dianggap sebagai contoh dengan aksi pembagian. Tindakan ini hanya direkam dalam formulir ini. Artinya, angka atas (pembilang) dibagi dengan angka bawah (penyebut):

Selain itu, ada bentuk pencatatan lain - pecahan dapat ditulis seperti ini (melalui garis miring):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 dan seterusnya...

Pecahan di atas dapat kita tuliskan sebagai berikut:

Hasil pembagian, seperti yang Anda tahu, adalah angkanya.

Klarifikasi - FRAKSI NOMOR INI !!!

Seperti yang telah Anda perhatikan, dalam pecahan biasa, pembilangnya mungkin lebih kecil dari penyebutnya, mungkin lebih besar dari penyebutnya, dan mungkin sama dengannya. Ada banyak poin penting yang dapat dimengerti secara intuitif, tanpa embel-embel teoritis. Sebagai contoh:

1. Pecahan 1 dan 3 dapat ditulis 0,5 dan 0,01. Mari kita berlari sedikit ke depan - ini adalah pecahan desimal, kita akan membicarakannya sedikit lebih rendah.

2. Pecahan 4 dan 6 menghasilkan bilangan bulat 45:9=5, 11:1 = 11.

3. Pecahan 5 menghasilkan satuan 155:155 = 1.

Kesimpulan apa yang disarankan? Pengikut:

1. Pembilangnya, jika dibagi dengan penyebutnya, dapat menghasilkan bilangan berhingga. Ini mungkin tidak berhasil, bagi dengan kolom 7 dengan 13 atau 17 dengan 11 - tidak mungkin! Anda dapat membagi tanpa batas, tetapi kami juga akan membicarakan ini sedikit lebih rendah.

2. Pecahan dapat menghasilkan bilangan bulat. Oleh karena itu, kita dapat merepresentasikan bilangan bulat apa pun sebagai pecahan, atau lebih tepatnya serangkaian pecahan tak terbatas, lihat, semua pecahan ini sama dengan 2:

Lagi! Kita selalu dapat menulis bilangan bulat apa pun sebagai pecahan - bilangan ini sendiri ada di pembilangnya, satu di penyebutnya:

3. Kita selalu dapat menyatakan satuan sebagai pecahan dengan penyebut apa pun:

*Poin yang ditunjukkan sangat penting untuk bekerja dengan pecahan dalam perhitungan dan konversi.

Jenis-jenis pecahan.

Dan sekarang tentang pembagian teoritis pecahan biasa. Mereka dibagi menjadi Benar dan salah.

Pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya disebut pecahan biasa. Contoh:

Pecahan yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya disebut pecahan biasa. Contoh:

pecahan campuran(nomor campuran).

Pecahan campuran adalah pecahan yang ditulis sebagai bilangan bulat dan pecahan biasa dan dipahami sebagai jumlah dari bilangan ini dan bagian pecahannya. Contoh:

Pecahan campuran selalu dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa dan sebaliknya. Mari kita melangkah lebih jauh!

Desimal.

Kami telah menyentuhnya di atas, ini adalah contoh (1) dan (3), sekarang lebih terinci. Berikut adalah contoh desimal: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Pecahan yang penyebutnya adalah pangkat 10, seperti 10, 100, 1000, dan seterusnya, disebut desimal. Tidak sulit untuk menuliskan tiga pecahan pertama yang ditunjukkan sebagai pecahan biasa:

Pecahan keempat adalah pecahan campuran (campuran bilangan):

Pecahan desimal memiliki notasi berikut - denganbagian bilangan bulat dimulai, kemudian pemisah bagian bilangan bulat dan pecahan adalah titik atau koma dan kemudian bagian pecahan, jumlah digit bagian pecahan ditentukan secara ketat oleh dimensi bagian pecahan: jika ini adalah persepuluh, bagian pecahan ditulis satu angka; jika seperseribu - tiga; sepuluh ribu - empat, dll.

Pecahan ini terbatas dan tak terbatas.

Contoh desimal akhir: 0,234; 0,87; 34.00005; 5.765.

Contohnya tidak ada habisnya. Misalnya, bilangan Pi adalah pecahan desimal tak hingga, namun - 0,333333333333…… 0,16666666666…. dan lain-lain. Juga hasil ekstraksi akar dari angka 3, 5, 7, dst. akan menjadi pecahan tak terhingga.

Bagian pecahan bisa siklik (ada siklus di dalamnya), kedua contoh di atas sama persis, lebih banyak contoh:

0.123123123123…… siklus 123

0.781781781718…… siklus 781

0,0250102501…. siklus 02501

Mereka dapat ditulis sebagai 0, (123) 0, (781) 0, (02501).

Angka Pi bukan pecahan siklik, seperti, misalnya, akar tiga.

Di bawah dalam contoh, kata-kata seperti "balik" pecahan akan terdengar - ini berarti pembilang dan penyebut dipertukarkan. Faktanya, pecahan seperti itu memiliki nama - pecahan timbal balik. Contoh pecahan resiprokal:

Ringkasan kecil! pecahan adalah:

Biasa (benar dan salah).

Desimal (terhingga dan tak terhingga).

Campuran (angka campuran).

Itu saja!

Hormat kami, Alexander.

Kita akan memulai pembahasan kita tentang topik ini dengan mempelajari konsep pecahan secara keseluruhan, yang akan memberi kita pemahaman yang lebih lengkap tentang arti pecahan biasa. Mari kita berikan istilah utama dan definisinya, pelajari topik dalam interpretasi geometris, mis. pada garis koordinat, dan juga tentukan daftar tindakan dasar dengan pecahan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bagian dari keseluruhan

Bayangkan sebuah objek yang terdiri dari beberapa bagian yang benar-benar sama. Misalnya, itu bisa berupa jeruk, yang terdiri dari beberapa irisan identik.

Definisi 1

Bagikan keseluruhan atau bagikan adalah masing-masing bagian yang sama yang membentuk keseluruhan objek.

Jelas, sahamnya bisa berbeda. Untuk menjelaskan pernyataan ini dengan jelas, bayangkan dua apel, salah satunya dipotong menjadi dua bagian yang sama, dan yang kedua menjadi empat. Jelas bahwa ukuran bagian yang dihasilkan untuk apel yang berbeda akan bervariasi.

Saham memiliki nama sendiri, yang tergantung pada jumlah saham yang membentuk keseluruhan subjek. Jika suatu item memiliki dua bagian, maka masing-masing akan didefinisikan sebagai satu bagian kedua dari item ini; ketika suatu benda terdiri dari tiga bagian, maka masing-masing sepertiganya, dan seterusnya.

Definisi 2

Setengah- satu bagian kedua dari subjek.

Ketiga- sepertiga dari subjek.

Perempat- seperempat dari subjek.

Untuk mempersingkat catatan, notasi berikut untuk bagian diperkenalkan: setengah - 1 2 atau 1/2 ; ketiga - 1 3 atau 1/3 ; seperempat bagian 1 4 atau 1/4 dan seterusnya. Entri dengan batang horizontal lebih sering digunakan.

Konsep bagian secara alami berkembang dari objek ke besaran. Jadi, Anda dapat menggunakan pecahan meter (sepertiga atau seperseratus) untuk mengukur benda kecil, sebagai salah satu satuan panjang. Bagian dari kuantitas lain dapat diterapkan dengan cara yang sama.

Pecahan umum, definisi dan contoh

Pecahan biasa digunakan untuk menggambarkan jumlah bagian. Pertimbangkan contoh sederhana yang akan membawa kita lebih dekat ke definisi pecahan biasa.

Bayangkan sebuah jeruk, terdiri dari 12 irisan. Setiap bagian kemudian akan menjadi - satu per dua belas atau 1 / 12. Dua bagian - 2/12; tiga bagian - 3 / 12, dll. Semua 12 bagian atau bilangan bulat akan terlihat seperti ini: 12 / 12 . Setiap entri yang digunakan dalam contoh adalah contoh pecahan biasa.

Definisi 3

pecahan biasa adalah catatan bentuk m n atau m / n , di mana m dan n adalah sembarang bilangan asli.

Menurut definisi ini, contoh pecahan biasa dapat menjadi entri: 4 / 9, 1134, 91754. Dan entri ini: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 bukan pecahan biasa.

Pembilang dan penyebut

Definisi 4

pembilang pecahan biasa m n atau m / n adalah bilangan asli m .

penyebut pecahan biasa m n atau m / n adalah bilangan asli n .

Itu. pembilang adalah angka di atas batang pecahan biasa (atau di sebelah kiri garis miring), dan penyebut adalah angka di bawah batang (di sebelah kanan garis miring).

Apa yang dimaksud dengan pembilang dan penyebut? Penyebut pecahan biasa menunjukkan berapa banyak bagian yang terdiri dari satu item, dan pembilangnya memberi kita informasi tentang berapa banyak bagian tersebut yang dipertimbangkan. Misalnya, pecahan biasa 7 54 menunjukkan kepada kami bahwa objek tertentu terdiri dari 54 bagian, dan untuk pertimbangan kami mengambil 7 bagian tersebut.

Bilangan asli sebagai pecahan dengan penyebut 1

Penyebut pecahan biasa bisa sama dengan satu. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa objek (nilai) yang ditinjau tidak dapat dibagi-bagi, adalah sesuatu yang utuh. Pembilang dalam pecahan seperti itu akan menunjukkan berapa banyak item yang diambil, mis. pecahan biasa dari bentuk m 1 memiliki arti bilangan asli m . Pernyataan ini berfungsi sebagai pembenaran untuk persamaan m 1 = m .

Mari kita tulis persamaan terakhir seperti ini: m = m 1 . Ini akan memberi kita kesempatan untuk menggunakan bilangan asli apa pun dalam bentuk pecahan biasa. Misalnya, bilangan 74 adalah pecahan biasa dari bentuk 74 1 .

Definisi 5

Setiap bilangan asli m dapat ditulis sebagai pecahan biasa, di mana penyebutnya adalah satu: m 1 .

Pada gilirannya, setiap pecahan biasa dalam bentuk m 1 dapat diwakili oleh bilangan asli m .

Bilah pecahan sebagai tanda pembagian

Representasi objek yang diberikan di atas sebagai n bagian tidak lebih dari pembagian menjadi n bagian yang sama. Ketika sebuah objek dibagi menjadi n bagian, kami memiliki kesempatan untuk membaginya secara merata di antara n orang - semua orang mendapat bagiannya.

Dalam kasus ketika kita awalnya memiliki m objek yang identik (masing-masing dibagi menjadi n bagian), maka m objek ini dapat dibagi rata di antara n orang, memberikan masing-masing satu bagian dari masing-masing m objek. Dalam hal ini, setiap orang akan memiliki m bagian 1 n , dan m bagian 1 n akan memberikan pecahan biasa m n . Oleh karena itu, pecahan biasa m n dapat digunakan untuk menyatakan pembagian m item di antara n orang.

Pernyataan yang dihasilkan membuat hubungan antara pecahan biasa dan pembagian. Dan hubungan ini dapat dinyatakan sebagai berikut: : adalah mungkin untuk mengartikan garis pecahan sebagai tanda pembagian, yaitu. m/n=m:n.

Dengan bantuan pecahan biasa, kita dapat menulis hasil pembagian dua bilangan asli. Misalnya, membagi 7 apel dengan 10 orang akan ditulis sebagai 7 10: setiap orang akan mendapatkan tujuh persepuluh.

Pecahan biasa yang sama dan tidak sama

Tindakan logisnya adalah membandingkan pecahan biasa, karena jelas bahwa, misalnya, 1 8 sebuah apel berbeda dengan 7 8 .

Hasil dari membandingkan pecahan biasa dapat berupa: sama atau tidak sama.

Definisi 6

Pecahan Biasa Setara adalah pecahan biasa a b dan c d , yang persamaannya benar: a d = b c .

Pecahan biasa yang tidak sama- pecahan biasa a b dan c d , yang persamaannya: a · d = b · c tidak benar.

Contoh pecahan yang sama: 1 3 dan 4 12 - karena persamaan 1 12 \u003d 3 4 benar.

Dalam hal ternyata pecahan tidak sama, biasanya juga perlu untuk mengetahui pecahan mana yang lebih kecil dan mana yang lebih besar. Untuk menjawab pertanyaan ini, pecahan biasa dibandingkan dengan membawanya ke penyebut yang sama dan kemudian membandingkan pembilangnya.

bilangan pecahan

Setiap pecahan adalah catatan bilangan pecahan, yang sebenarnya hanyalah “kulit”, visualisasi dari beban semantik. Tapi tetap saja, untuk kenyamanan, kami menggabungkan konsep pecahan dan bilangan pecahan, secara sederhana - pecahan.

Semua bilangan pecahan, seperti bilangan lainnya, memiliki lokasi uniknya sendiri pada sinar koordinat: ada korespondensi satu-satu antara pecahan dan titik pada sinar koordinat.

Untuk menemukan titik pada sinar koordinat, yang menunjukkan pecahan m n , perlu untuk menunda m segmen ke arah positif dari titik asal koordinat, yang panjangnya masing-masing akan menjadi 1 n pecahan dari unit segmen. Segmen dapat diperoleh dengan membagi satu segmen menjadi n bagian yang identik.

Sebagai contoh, mari kita tunjukkan titik M pada sinar koordinat, yang sesuai dengan pecahan 14 10 . Panjang segmen, yang ujungnya adalah titik O dan titik terdekat yang ditandai dengan goresan kecil, sama dengan 1 10 fraksi unit segmen. Titik yang sesuai dengan fraksi 14 10 terletak pada jarak dari titik asal koordinat pada jarak 14 segmen tersebut.

Jika pecahannya sama, mis. mereka sesuai dengan nomor pecahan yang sama, maka pecahan ini berfungsi sebagai koordinat titik yang sama pada sinar koordinat. Misalnya, koordinat dalam bentuk pecahan yang sama 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 sesuai dengan titik yang sama pada sinar koordinat, yang terletak pada jarak sepertiga segmen satuan, ditunda dari asal ke arah positif.

Prinsip yang sama bekerja di sini seperti halnya dengan bilangan bulat: pada sinar koordinat horizontal yang diarahkan ke kanan, titik yang sesuai dengan fraksi besar akan ditempatkan di sebelah kanan titik yang sesuai dengan fraksi yang lebih kecil. Dan sebaliknya: titik, yang koordinatnya merupakan pecahan yang lebih kecil, akan terletak di sebelah kiri titik, yang sesuai dengan koordinat yang lebih besar.

Pecahan yang tepat dan tidak tepat, definisi, contoh

Pembagian pecahan menjadi benar dan tidak tepat didasarkan pada perbandingan pembilang dan penyebut dalam pecahan yang sama.

Definisi 7

pecahan biasa adalah pecahan biasa yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Artinya, jika pertidaksamaan m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Fraksi yang tidak tepat adalah pecahan yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya. Artinya, jika pertidaksamaan tak terdefinisi benar, maka pecahan biasa m n tidak wajar.

Berikut adalah beberapa contohnya: - pecahan biasa:

Contoh 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Pecahan tak wajar:

Contoh 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Dimungkinkan juga untuk memberikan definisi pecahan biasa dan pecahan biasa, berdasarkan perbandingan pecahan dengan satuan.

Definisi 8

pecahan biasa adalah pecahan biasa yang kurang dari satu.

Fraksi yang tidak tepat adalah pecahan biasa yang sama dengan atau lebih besar dari satu.

Misalnya, pecahan 8 12 benar, karena 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 , dan 14 14 = 1 .

Mari kita berpikir lebih dalam mengapa pecahan yang pembilangnya lebih besar dari atau sama dengan penyebutnya disebut "tidak wajar".

Pertimbangkan pecahan biasa 8 8: ini memberi tahu kita bahwa 8 bagian dari suatu benda yang terdiri dari 8 bagian diambil. Jadi, dari delapan bagian yang tersedia, kita dapat menyusun objek keseluruhan, yaitu. fraksi yang diberikan 8 8 pada dasarnya mewakili seluruh objek: 8 8 \u003d 1. Pecahan yang pembilang dan penyebutnya sama sepenuhnya menggantikan bilangan asli 1.

Perhatikan juga pecahan yang pembilangnya lebih besar dari penyebutnya: 11 5 dan 36 3 . Jelas bahwa pecahan 11 5 menunjukkan bahwa kita dapat membuat dua benda utuh darinya dan masih akan ada seperlimanya. Itu. pecahan 11 5 adalah 2 objek dan 1 5 lagi darinya. Pada gilirannya, 36 3 adalah pecahan, yang pada dasarnya berarti 12 benda utuh.

Contoh-contoh ini memungkinkan untuk menyimpulkan bahwa pecahan biasa dapat diganti dengan bilangan asli (jika pembilangnya habis dibagi dengan penyebutnya tanpa sisa: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) atau jumlah bilangan asli dan a pecahan biasa (jika pembilangnya tidak habis dibagi oleh penyebutnya tanpa sisa: 11 5 = 2 + 1 5). Ini mungkin mengapa pecahan seperti itu disebut "tidak wajar".

Di sini juga, kita menemukan salah satu keterampilan angka yang paling penting.

Definisi 9

Mengekstrak bagian bilangan bulat dari pecahan biasa adalah pecahan biasa yang ditulis sebagai jumlah dari bilangan asli dan pecahan biasa.

Perhatikan juga bahwa ada hubungan yang erat antara pecahan biasa dan bilangan campuran.

pecahan positif dan negatif

Di atas kami mengatakan bahwa setiap pecahan biasa sesuai dengan bilangan pecahan positif. Itu. pecahan biasa adalah pecahan positif. Misalnya, pecahan 5 17 , 6 98 , 64 79 adalah positif, dan ketika perlu untuk menekankan "kepositifan" suatu pecahan, itu ditulis menggunakan tanda tambah: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Jika kita menetapkan tanda minus ke pecahan biasa, maka catatan yang dihasilkan akan menjadi catatan bilangan pecahan negatif, dan dalam hal ini kita berbicara tentang pecahan negatif. Misalnya, - 8 17 , - 78 14 dst.

Pecahan positif dan negatif m n dan - m n adalah bilangan berlawanan, misalnya pecahan 7 8 dan - 7 8 berlawanan.

Pecahan positif, seperti bilangan positif pada umumnya, berarti penambahan, perubahan ke atas. Pada gilirannya, pecahan negatif sesuai dengan konsumsi, perubahan arah penurunan.

Jika kita perhatikan garis koordinat, kita akan melihat bahwa pecahan negatif terletak di sebelah kiri titik acuan. Titik-titik yang sesuai dengan pecahan, yang berlawanan (m n dan - m n), terletak pada jarak yang sama dari titik asal koordinat O, tetapi di sisi yang berlawanan.

Di sini kita juga berbicara secara terpisah tentang pecahan yang ditulis dalam bentuk 0 n . Pecahan seperti itu sama dengan nol, mis. 0 n = 0 .

Meringkas semua hal di atas, kita telah sampai pada konsep bilangan rasional yang paling penting.

Definisi 10

Angka rasional adalah himpunan pecahan positif, pecahan negatif dan pecahan berbentuk 0 n .

Tindakan dengan pecahan

Mari kita daftar operasi dasar dengan pecahan. Secara umum, esensinya sama dengan operasi yang sesuai dengan bilangan asli

1. Perbandingan pecahan - kami membahas tindakan ini di atas.
2. Penjumlahan pecahan - hasil penjumlahan pecahan biasa adalah pecahan biasa (dalam kasus tertentu, direduksi menjadi bilangan asli).
3. Pengurangan pecahan adalah tindakan, kebalikan dari penambahan, ketika pecahan yang tidak diketahui ditentukan dari satu pecahan yang diketahui dan jumlah pecahan yang diberikan.
4. Perkalian pecahan - tindakan ini dapat digambarkan sebagai menemukan pecahan dari pecahan. Hasil perkalian dua pecahan biasa adalah pecahan biasa (dalam kasus tertentu, sama dengan bilangan asli).
5. Pembagian pecahan adalah kebalikan dari perkalian, ketika kita menentukan pecahan yang diperlukan untuk mengalikan pecahan yang diberikan untuk mendapatkan produk dua pecahan yang diketahui.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter