dari Wikipedia, ensiklopedia gratis

Nomor timbal balik(timbal balik, timbal balik) ke nomor tertentu x adalah bilangan yang dikalikan dengan x, memberikan satu. Entri yang diterima: $\backslash frac(1)x$ atau $x^(-1)$. Dua bilangan yang hasilkalinya sama dengan satu disebut saling terbalik. Kebalikan suatu bilangan tidak boleh disamakan dengan kebalikan suatu fungsi. Sebagai contoh, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$ berbeda dari nilai fungsi kosinus terbalik - arccosine, yang dilambangkan $\backslash cos^(-1)x$ atau $\backslash arccos\; x$.

Terbalik ke bilangan real

Bentuk bilangan kompleks	Nomor $(z)$	Membalik $\backslash kiri\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash kanan)$
Aljabar	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
trigonometri	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Demonstrasi	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Bukti:
Untuk bentuk aljabar dan trigonometri, kami menggunakan sifat dasar pecahan, mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat kompleks:

• Bentuk aljabar:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Bentuk trigonometri:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Bentuk indikatif:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Jadi, ketika menemukan invers bilangan kompleks, akan lebih mudah untuk menggunakan bentuk eksponensialnya.

Contoh:

Bentuk bilangan kompleks	Nomor $(z)$	Membalik $\backslash kiri\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash kanan)$
Aljabar	$1+i\; \backslash sqrt(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
trigonometri	$2\; \backslash kiri\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash kanan)$ atau $2\; \backslash kiri\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash kanan)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash kanan)$ atau $\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash kanan)$
Demonstrasi	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Terbalik ke unit imajiner

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Dengan demikian, kita mendapatkan

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ atau__ $i^(-1)=-i$

Demikian pula untuk $-saya$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ atau __ $-i^(-1)=i$

Tulis ulasan pada artikel "Nomor terbalik"

Catatan

Lihat juga

Kutipan yang mencirikan angka timbal balik

Jadi cerita mengatakan, dan semua ini benar-benar tidak adil, karena siapa pun yang ingin menyelidiki esensi masalah akan dengan mudah diyakinkan.
Rusia tidak mencari posisi yang lebih baik; tetapi, sebaliknya, dalam retret mereka, mereka melewati banyak posisi yang lebih baik daripada Borodino. Mereka tidak berhenti di salah satu posisi ini: baik karena Kutuzov tidak mau menerima posisi yang tidak dipilihnya, dan karena tuntutan untuk pertempuran rakyat belum diungkapkan dengan cukup kuat, dan karena Miloradovich belum mendekat. dengan milisi, dan juga karena alasan lain yang tak terhitung banyaknya. Faktanya adalah bahwa posisi sebelumnya lebih kuat dan bahwa posisi Borodino (di mana pertempuran diberikan) tidak hanya tidak kuat, tetapi untuk beberapa alasan itu sama sekali bukan posisi lebih dari tempat lain di Kekaisaran Rusia. , yang, menebak, seseorang akan menunjuk dengan pin di peta.
Rusia tidak hanya tidak membentengi posisi lapangan Borodino ke kiri di sudut kanan dari jalan (yaitu, tempat pertempuran terjadi), tetapi tidak pernah sebelum 25 Agustus 1812 tidak berpikir bahwa pertempuran itu bisa berlangsung di tempat ini. Ini dibuktikan, pertama, oleh fakta bahwa bukan hanya pada tanggal 25 tidak ada benteng di tempat ini, tetapi bahwa, dimulai pada tanggal 25, tidak selesai pada tanggal 26; kedua, posisi benteng Shevardinsky berfungsi sebagai bukti: benteng Shevardinsky, di depan posisi pertempuran, tidak masuk akal. Mengapa benteng ini dibentengi lebih kuat dari semua poin lainnya? Dan mengapa, mempertahankannya pada tanggal 24 hingga larut malam, semua upaya habis dan enam ribu orang hilang? Untuk mengamati musuh, patroli Cossack sudah cukup. Ketiga, bukti bahwa posisi di mana pertempuran itu terjadi tidak dapat diperkirakan sebelumnya dan bahwa benteng Shevardinsky bukanlah titik terdepan dari posisi ini adalah bahwa Barclay de Tolly dan Bagration sampai tanggal 25 yakin bahwa benteng Shevardinsky adalah sayap kiri dari posisi dan bahwa Kutuzov sendiri, dalam laporannya, yang ditulis dengan tergesa-gesa setelah pertempuran, menyebut Shevardinsky sebagai sayap kiri dari posisi tersebut. Jauh kemudian, ketika laporan tentang pertempuran Borodino ditulis di tempat terbuka, itu (mungkin untuk membenarkan kesalahan panglima tertinggi, yang harus sempurna) bahwa kesaksian yang tidak adil dan aneh ditemukan bahwa benteng Shevardinsky berfungsi sebagai pos maju (sedangkan itu hanya titik yang dibentengi dari sayap kiri) dan seolah-olah pertempuran Borodino diterima oleh kami dalam posisi yang dibentengi dan dipilih sebelumnya, sementara itu terjadi di tempat yang sama sekali tidak terduga dan hampir tidak berbenteng.
Kasusnya, jelas, seperti ini: posisi dipilih di sepanjang Sungai Kolocha, yang melintasi jalan utama tidak pada garis lurus, tetapi pada sudut yang tajam, sehingga sayap kiri berada di Shevardin, sayap kanan dekat desa Novy dan pusatnya berada di Borodino, pada pertemuan sungai Kolocha dan Vo. yn. Posisi ini, di bawah naungan Sungai Kolocha, untuk tentara, yang tujuannya adalah untuk menghentikan musuh yang bergerak di sepanjang jalan Smolensk ke Moskow, jelas bagi siapa saja yang melihat ke lapangan Borodino, melupakan bagaimana pertempuran itu terjadi.
Napoleon, berangkat pada tanggal 24 ke Valuev, tidak melihat (seperti yang dikatakan dalam cerita) posisi Rusia dari Utitsa ke Borodin (dia tidak dapat melihat posisi ini, karena tidak ada di sana) dan tidak melihat pos lanjutan dari Tentara Rusia, tetapi tersandung dalam mengejar barisan belakang Rusia di sayap kiri posisi Rusia, di benteng Shevardinsky, dan tiba-tiba Rusia mentransfer pasukan melalui Kolocha. Dan Rusia, yang tidak punya waktu untuk memasuki pertempuran umum, mundur dengan sayap kiri mereka dari posisi yang ingin mereka ambil, dan mengambil posisi baru, yang tidak diramalkan dan tidak dibentengi. Setelah menyeberang ke sisi kiri Kolocha, ke kiri jalan, Napoleon memindahkan seluruh pertempuran masa depan dari kanan ke kiri (dari sisi Rusia) dan memindahkannya ke lapangan antara Utitsa, Semenovsky dan Borodino (di bidang ini , yang tidak memiliki posisi yang lebih menguntungkan daripada bidang lain mana pun di Rusia), dan di bidang ini seluruh pertempuran terjadi pada tanggal 26. Secara kasar, rencana pertempuran yang diusulkan dan pertempuran yang terjadi adalah sebagai berikut:

Jika Napoleon tidak pergi pada malam tanggal 24 ke Kolocha dan tidak memerintahkan untuk menyerang benteng segera di malam hari, tetapi telah memulai serangan keesokan harinya di pagi hari, maka tidak ada yang akan meragukan bahwa benteng Shevardinsky adalah sayap kiri dari posisi kami; dan pertempuran akan terjadi seperti yang kita harapkan. Dalam hal ini, kami mungkin akan membela benteng Shevardino, sayap kiri kami, bahkan lebih keras kepala; mereka akan menyerang Napoleon di tengah atau di kanan, dan pada tanggal 24 akan ada pertempuran umum di posisi yang dibentengi dan diramalkan. Tetapi karena serangan di sayap kiri kami terjadi di malam hari, setelah mundurnya barisan belakang kami, yaitu, segera setelah pertempuran Gridneva, dan karena para pemimpin militer Rusia tidak ingin atau tidak punya waktu untuk memulai pertempuran umum. pada malam ke-24 yang sama, aksi pertama dan utama Borodinsky pertempuran itu hilang pada tanggal 24 dan, jelas, menyebabkan hilangnya pertempuran yang diberikan pada tanggal 26.
Setelah kehilangan benteng Shevardinsky, pada pagi hari tanggal 25 kami mendapati diri kami tidak memiliki posisi di sayap kiri dan dipaksa untuk menekuk sayap kiri kami dan buru-buru memperkuatnya di mana saja.
Tetapi tidak hanya pasukan Rusia hanya berdiri di bawah perlindungan benteng yang lemah dan belum selesai pada tanggal 26 Agustus, kerugian dari situasi ini semakin meningkat oleh fakta bahwa para pemimpin militer Rusia, tidak sepenuhnya mengakui fakta yang dicapai (hilangnya posisi di sisi kiri dan pemindahan seluruh medan perang masa depan dari kanan ke kiri ), tetap dalam posisi terbentang dari desa Novy ke Utitsa dan, sebagai akibatnya, harus memindahkan pasukan mereka dari kanan ke kiri selama pertempuran. Jadi, selama seluruh pertempuran, Rusia memiliki dua kali kekuatan terlemah melawan seluruh tentara Prancis, diarahkan ke sayap kiri kami. (Tindakan Poniatowski melawan Utitsa dan Uvarov di sayap kanan Prancis merupakan tindakan yang terpisah dari jalannya pertempuran.)
Jadi, pertempuran Borodino tidak terjadi sama sekali seperti yang digambarkan (berusaha menyembunyikan kesalahan para pemimpin militer kita dan, sebagai akibatnya, meremehkan kemuliaan tentara dan rakyat Rusia). Pertempuran Borodino tidak terjadi pada posisi yang dipilih dan dibentengi hanya dengan kekuatan terlemah di pihak Rusia, dan pertempuran Borodino, karena hilangnya benteng Shevardinsky, diambil oleh Rusia secara terbuka, daerah yang hampir tidak berbenteng dengan kekuatan dua kali terlemah melawan Prancis, yaitu, dalam kondisi seperti itu, di mana tidak hanya tidak terpikirkan untuk bertempur selama sepuluh jam dan membuat pertempuran menjadi tidak pasti, tetapi juga tidak terpikirkan untuk menjaga tentara dari kekalahan dan pelarian total. selama tiga jam.

Pada tanggal 25 pagi Pierre meninggalkan Mozhaisk. Saat turun dari gunung besar yang curam dan bengkok yang mengarah ke luar kota, melewati katedral yang berdiri di gunung di sebelah kanan, di mana ada kebaktian dan Injil, Pierre turun dari kereta dan berjalan kaki. Di belakangnya turun gunung semacam resimen kavaleri dengan peselnik di depan. Sebuah kereta gerobak dengan yang terluka dalam perbuatan kemarin naik ke arahnya. Pengemudi petani, meneriaki kuda dan mencambuk mereka dengan cambuk, berlari dari satu sisi ke sisi lain. Gerobak, tempat tiga dan empat tentara yang terluka berbaring dan duduk, melompati batu yang dilemparkan dalam bentuk trotoar di lereng yang curam. Yang terluka, terikat compang-camping, pucat, dengan bibir mengerucut dan alis berkerut, berpegangan pada tempat tidur, melompat dan berdesak-desakan di kereta. Semua orang memandang dengan rasa ingin tahu seperti anak kecil yang hampir naif pada topi putih dan jas berekor hijau Pierre.

Angka terbalik - atau timbal balik - adalah pasangan angka yang, jika dikalikan, menghasilkan 1. Dalam bentuk paling umum, kebalikannya adalah angka. Kasus khusus yang khas dari bilangan resiprokal adalah pasangan. Kebalikannya adalah, katakanlah, angka ; .

Bagaimana menemukan timbal balik

Aturan: Anda harus membagi 1 (satu) dengan angka yang diberikan.

Contoh 1.

Diberikan angka 8. Kebalikannya adalah 1:8 atau (pilihan kedua lebih disukai, karena notasi seperti itu secara matematis lebih benar).

Saat mencari kebalikan dari pecahan biasa, membaginya dengan 1 sangat tidak nyaman, karena perekaman menjadi rumit. Dalam hal ini, jauh lebih mudah untuk melakukan sebaliknya: pecahan hanya dibalik, menukar pembilang dan penyebut. Jika diberikan pecahan yang benar, maka setelah membaliknya, diperoleh pecahan yang tidak tepat, mis. satu dari mana seluruh bagian dapat diekstraksi. Untuk melakukan ini atau tidak, Anda perlu memutuskan kasus per kasus. Jadi, jika Anda kemudian harus melakukan beberapa tindakan dengan hasil pecahan terbalik (misalnya, perkalian atau pembagian), maka Anda tidak boleh memilih seluruh bagian. Jika pecahan yang dihasilkan adalah hasil akhir, maka mungkin pemilihan bagian bilangan bulat diinginkan.

Contoh #2.

Diberikan pecahan. Kebalikannya:.

Jika Anda ingin mencari kebalikan dari pecahan desimal, maka Anda harus menggunakan aturan pertama (membagi 1 dengan angka). Dalam situasi ini, Anda dapat bertindak dengan salah satu dari 2 cara. Yang pertama adalah dengan membagi 1 dengan angka ini menjadi sebuah kolom. Yang kedua adalah membentuk pecahan dari 1 di pembilang dan desimal di penyebut, dan kemudian kalikan pembilang dan penyebut dengan 10, 100, atau angka lain yang terdiri dari 1 dan nol sebanyak yang diperlukan untuk menghilangkan titik desimal dalam penyebut. Hasilnya akan menjadi pecahan biasa, yang merupakan hasilnya. Jika perlu, Anda mungkin perlu mempersingkatnya, mengekstrak bagian bilangan bulat darinya, atau mengubahnya menjadi bentuk desimal.

Contoh #3.

Angka yang diberikan adalah 0.82. Kebalikannya adalah: . Sekarang mari kita kurangi pecahan dan pilih bagian bilangan bulat: .

Bagaimana cara memeriksa apakah dua angka adalah kebalikan?

Prinsip verifikasi didasarkan pada definisi timbal balik. Artinya, untuk memastikan bahwa angka-angka itu terbalik satu sama lain, Anda harus mengalikannya. Jika hasilnya satu, maka angka-angka tersebut saling berbanding terbalik.

Contoh nomor 4.

Mengingat angka 0,125 dan 8. Apakah mereka timbal balik?

Penyelidikan. Penting untuk menemukan produk 0,125 dan 8. Untuk kejelasan, kami menyajikan angka-angka ini sebagai pecahan biasa: (mari kita kurangi pecahan pertama dengan 125). Kesimpulan: bilangan 0,125 dan 8 berbanding terbalik.

Sifat timbal balik

Properti #1

Kebalikannya ada untuk bilangan apa pun selain 0.

Keterbatasan ini disebabkan oleh fakta bahwa tidak mungkin untuk membagi dengan 0, dan ketika menentukan kebalikan dari nol, itu hanya perlu dipindahkan ke penyebut, yaitu. benar-benar membaginya.

Properti #2

Jumlah pasangan bilangan yang bersesuaian tidak pernah kurang dari 2.

Secara matematis, sifat ini dapat dinyatakan dengan pertidaksamaan: .

Properti #3

Mengalikan angka dengan dua angka timbal balik sama dengan mengalikan satu. Mari kita nyatakan properti ini secara matematis: .

Contoh nomor 5.

Temukan nilai dari ekspresi: 3,4 0,125 8. Karena angka 0,125 dan 8 adalah kebalikan (lihat Contoh #4), tidak perlu mengalikan 3,4 dengan 0,125 dan kemudian dengan 8. Jadi jawabannya di sini adalah 3.4.

Sepasang bilangan yang hasilkalinya sama dengan satu disebut saling terbalik.

Contoh: 5 dan 1/5, -6/7 dan -7/6, dan

Untuk sembarang bilangan a yang tidak sama dengan nol, terdapat invers 1/a.

Kebalikan dari nol adalah tak terhingga.

pecahan terbalik- ini adalah dua pecahan, produknya adalah 1. Misalnya, 3/7 dan 7/3; 5/8 dan 8/5 dst.

Lihat juga

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apa "Nomor terbalik" di kamus lain:

Bilangan yang hasil kali bilangan tertentu sama dengan satu. Dua angka seperti itu disebut timbal balik. Seperti, misalnya, 5 dan 1/5, 2/3 dan 3/2, dst. ... Kamus Ensiklopedis Besar

nomor timbal balik- - [AS Goldberg. Kamus Energi Bahasa Inggris Rusia. 2006] Topik energi secara umum EN bilangan terbalik bilangan kebalikan … Buku Pegangan Penerjemah Teknis

Bilangan yang hasil kali bilangan tertentu sama dengan satu. Dua angka seperti itu disebut timbal balik. Ini adalah, misalnya, 5 dan 1/5, 2/3 dan 3/2, dst. * * * REVERSE NUMBER REVERSE NUMBER, bilangan yang hasil perkaliannya dengan bilangan tertentu adalah ... kamus ensiklopedis

Bilangan yang hasil perkaliannya dengan bilangan tertentu sama dengan satu. Dua angka seperti itu disebut timbal balik. Tersebut, misalnya, 5 dan a, tidak sama dengan nol, ada invers ... Ensiklopedia Besar Soviet

Bilangan, hasil kali k dan bilangan yang diberikan sama dengan satu. Dua nomor seperti itu disebut saling terbalik. Seperti, misalnya, 5 dan 1/5. 2/3 dan 3/2 dst... Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Angka (arti). Bilangan adalah konsep dasar matematika yang digunakan untuk karakteristik kuantitatif, perbandingan dan penomoran benda. Setelah bangkit kembali dalam masyarakat primitif dari kebutuhan ... ... Wikipedia

Lihat juga: Number (linguistik) Number adalah abstraksi yang digunakan untuk mengkuantifikasi objek. Setelah muncul kembali di masyarakat primitif dari kebutuhan berhitung, konsep bilangan berubah dan diperkaya dan berubah menjadi matematika paling penting ... Wikipedia

Air yang berputar terbalik selama limpasan adalah mitos yang hampir ilmiah berdasarkan penerapan efek Coriolis yang salah terhadap pergerakan air di pusaran air yang terjadi ketika mengalir ke lubang pembuangan wastafel atau bak mandi. Inti dari mitos adalah air itu ... ... Wikipedia

ANGKA, IRRATIONAL, bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan. Contohnya termasuk nomor C2 dan p. Oleh karena itu, bilangan irasional adalah bilangan dengan jumlah tempat desimal (non-periodik) yang tak terbatas. (Namun, sebaliknya tidak …… Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis

Transformasi Laplace adalah transformasi integral yang menghubungkan fungsi variabel kompleks (gambar) dengan fungsi variabel nyata (asli). Dengan bantuannya, sifat-sifat sistem dinamis diselidiki dan diferensial dan ... Wikipedia

Buku

• Klub Istri Bahagia, Weaver Fon. 27 wanita dari berbagai belahan dunia yang tidak saling mengenal, dengan nasib yang berbeda. Mereka tidak memiliki kesamaan, kecuali satu hal - mereka sangat bahagia dalam pernikahan selama lebih dari 25 tahun, karena mereka tahu Rahasianya ... Kapan ...

Kami memberikan definisi dan memberikan contoh angka timbal balik. Pertimbangkan bagaimana menemukan kebalikan dari bilangan asli dan kebalikan dari pecahan biasa. Selain itu, kami menuliskan dan membuktikan pertidaksamaan yang mencerminkan sifat jumlah bilangan timbal balik.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Angka timbal balik. Definisi

Definisi. Bilangan timbal balik

Bilangan timbal balik adalah bilangan-bilangan yang produknya menghasilkan satu.

Jika a · b = 1 , maka kita dapat mengatakan bahwa bilangan a merupakan kebalikan dari bilangan b , seperti halnya bilangan b merupakan kebalikan dari bilangan a .

Contoh paling sederhana dari bilangan resiprokal adalah dua bilangan. Memang, 1 1 = 1, jadi a = 1 dan b = 1 adalah bilangan yang saling terbalik. Contoh lainnya adalah bilangan 3 dan 1 3 , - 2 3 dan - 3 2 , 6 13 dan 13 6 , log 3 17 dan log 17 3 . Produk dari setiap pasangan angka di atas sama dengan satu. Jika syarat ini tidak terpenuhi, seperti misalnya dengan angka 2 dan 2 3 , maka angka tersebut tidak saling terbalik.

Definisi bilangan resiprokal berlaku untuk semua bilangan - natural, integer, real, dan kompleks.

Bagaimana menemukan kebalikan dari angka yang diberikan

Mari kita pertimbangkan kasus umum. Jika bilangan asli sama dengan a , maka bilangan kebalikannya akan ditulis sebagai 1 a , atau a - 1 . Memang, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Untuk bilangan asli dan pecahan biasa, menemukan kebalikannya cukup mudah. Orang bahkan mungkin mengatakan itu sudah jelas. Dalam kasus menemukan bilangan yang merupakan kebalikan dari bilangan irasional atau kompleks, sejumlah perhitungan harus dilakukan.

Pertimbangkan kasus yang paling umum dalam praktik menemukan timbal balik.

Kebalikan dari pecahan biasa

Jelas, kebalikan dari pecahan biasa a b adalah pecahan b a . Jadi, untuk mencari kebalikan dari suatu pecahan, Anda hanya perlu membalik pecahan tersebut. Artinya, tukar pembilang dan penyebutnya.

Menurut aturan ini, Anda dapat segera menulis kebalikan dari pecahan biasa apa pun. Jadi, untuk pecahan 28 57, kebalikannya adalah pecahan 57 28, dan untuk pecahan 789 256 - angka 256 789.

Kebalikan dari bilangan asli

Anda dapat menemukan kebalikan dari bilangan asli apa pun dengan cara yang sama seperti kebalikan dari pecahan. Cukup untuk menyatakan bilangan asli a sebagai pecahan biasa a 1 . Maka kebalikannya adalah 1 a . Untuk bilangan asli 3, kebalikannya adalah 1 3 , untuk bilangan 666 kebalikannya adalah 1666 , dan seterusnya.

Perhatian khusus harus diberikan pada unit, karena ini adalah satu-satunya angka, yang kebalikannya sama dengan dirinya sendiri.

Tidak ada pasangan bilangan resiprokal lain yang kedua komponennya sama.

Kebalikan dari bilangan campuran

Bilangan campuran berbentuk a b c . Untuk menemukan kebalikannya, Anda perlu menyajikan bilangan campuran di sisi pecahan biasa, dan memilih kebalikan untuk pecahan yang dihasilkan.

Sebagai contoh, mari kita cari kebalikan dari 7 2 5 . Pertama, mari kita nyatakan 7 2 5 sebagai pecahan biasa: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5 .

Untuk pecahan biasa 37 5 kebalikannya adalah 5 37 .

Kebalikan dari desimal

Pecahan desimal juga dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa. Menemukan kebalikan dari pecahan desimal dari suatu angka berarti mewakili pecahan desimal sebagai pecahan biasa dan menemukan kebalikannya.

Misalnya, ada pecahan 5, 128. Mari kita temukan timbal baliknya. Pertama, kita ubah desimal menjadi pecahan biasa: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Untuk pecahan yang dihasilkan, kebalikannya adalah pecahan 125641.

Mari kita pertimbangkan satu contoh lagi.

Contoh. Menemukan kebalikan dari desimal

Temukan kebalikan dari pecahan desimal periodik 2 , (18) .

Ubah desimal menjadi biasa:

2, 18 = 2 + 18 10 - 2 + 18 10 - 4 + . . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Setelah translasi, kita dapat dengan mudah menuliskan kebalikan dari pecahan 24 11. Angka ini jelas akan menjadi 11 24 .

Untuk pecahan desimal tak berhingga dan tak berulang, kebalikannya ditulis sebagai pecahan dengan satuan di pembilangnya dan pecahan itu sendiri di penyebutnya. Misalnya, untuk pecahan tak hingga 3 , 6025635789 . . . kebalikannya adalah 1 3 , 6025635789 . . . .

Demikian pula, untuk bilangan irasional yang sesuai dengan pecahan tak berhingga non-periodik, kebalikannya ditulis sebagai ekspresi pecahan.

Misalnya, kebalikan dari + 3 3 80 adalah 80 + 3 3 , dan kebalikan dari 8 + e 2 + e adalah 1 8 + e 2 + e.

Bilangan timbal balik dengan akar

Jika bentuk dua bilangan berbeda dari a dan 1 a , maka tidak selalu mudah untuk menentukan apakah bilangan-bilangan tersebut saling invers. Hal ini terutama berlaku untuk bilangan yang memiliki tanda akar dalam notasinya, karena biasanya akar penyebutnya dihilangkan.

Mari kita beralih ke latihan.

Mari kita jawab pertanyaannya: apakah angka 4 - 2 3 dan 1 + 3 2 berbanding terbalik.

Untuk mengetahui apakah angka-angka tersebut saling terbalik, kami menghitung produk mereka.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Hasil kali sama dengan satu, artinya bilangan-bilangan tersebut saling berbanding terbalik.

Mari kita pertimbangkan satu contoh lagi.

Contoh. Bilangan timbal balik dengan akar

Tuliskan kebalikan dari 5 3 + 1 .

Anda dapat langsung menulis bahwa kebalikannya sama dengan pecahan 1 5 3 + 1. Namun, seperti yang telah kami katakan, adalah kebiasaan untuk menghilangkan akar penyebut. Untuk melakukannya, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan 25 3 - 5 3 + 1 . Kita mendapatkan:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Angka timbal balik dengan kekuatan

Misalkan ada angka yang sama dengan beberapa kekuatan angka a . Dengan kata lain, bilangan a dipangkatkan n. Kebalikan dari n adalah a - n . Mari kita periksa. Memang: a n a - n = a n 1 1 a n = 1 .

Contoh. Angka timbal balik dengan kekuatan

Temukan kebalikan dari 5 - 3 + 4 .

Sesuai dengan di atas, angka yang diinginkan adalah 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Kebalikan dengan logaritma

Untuk logaritma bilangan a ke basis b, kebalikannya adalah bilangan yang sama dengan logaritma bilangan b ke basis a.

log a b dan log b adalah bilangan yang saling berlawanan.

Mari kita periksa. Dari sifat - sifat logaritma ini , log a b = 1 log b a , yang berarti log a b · log b a .

Contoh. Kebalikan dengan logaritma

Temukan kebalikan dari log 3 5 - 2 3 .

Kebalikan dari logaritma 3 ke basis 3 5 - 2 adalah logaritma dari 3 5 - 2 ke basis 3.

Kebalikan dari bilangan kompleks

Seperti disebutkan sebelumnya, definisi bilangan resiprokal berlaku tidak hanya untuk bilangan real, tetapi juga untuk bilangan kompleks.

Biasanya bilangan kompleks direpresentasikan dalam bentuk aljabar z = x + i y . Kebalikan dari ini akan menjadi pecahan

1 x + i y . Untuk memudahkan, ungkapan ini dapat dipersingkat dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan x - i y .

Contoh. Kebalikan dari bilangan kompleks

Misalkan ada bilangan kompleks z = 4 + i . Mari kita cari kebalikannya.

Kebalikan dari z = 4 + i akan sama dengan 1 4 + i .

Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan 4 - i dan dapatkan:

1 4 + i \u003d 4 - i 4 + i 4 - i \u003d 4 - i 4 2 - i 2 \u003d 4 - i 16 - (- 1) \u003d 4 - i 17.

Selain bentuk aljabar, bilangan kompleks dapat direpresentasikan dalam bentuk trigonometri atau eksponensial sebagai berikut:

z = r cos + i sin

z = r e i

Dengan demikian, nomor timbal balik akan terlihat seperti:

1 r cos (- ) + i sin (- )

Mari kita pastikan ini:

r cos + i sin φ 1 r cos (- ) + i sin (- ) = r r cos 2 + sin 2 = 1 r e i φ 1 r e i (- ) = r r e 0 = 1

Perhatikan contoh-contoh dengan representasi bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri dan eksponensial.

Tentukan invers dari 2 3 cos 6 + i · sin 6 .

Mempertimbangkan bahwa r = 2 3 , = 6 , kami menulis bilangan kebalikan

3 2 cos - 6 + i sin - 6

Contoh. Temukan kebalikan dari bilangan kompleks

Berapa invers dari 2 · e i · - 2 5 .

Jawaban: 1 2 e i 2 5

Jumlah bilangan timbal balik. Ketidaksamaan

Ada teorema tentang jumlah dua bilangan yang saling berlawanan.

Jumlah bilangan yang saling timbal balik

Jumlah dua bilangan bulat positif dan timbal balik selalu lebih besar dari atau sama dengan 2.

Kami menyajikan bukti teorema. Seperti yang Anda ketahui, untuk setiap bilangan positif a dan b, rata-rata aritmatika lebih besar dari atau sama dengan rata-rata geometrik. Ini dapat ditulis sebagai pertidaksamaan:

a + b 2 a b

Jika alih-alih angka b kita mengambil invers dari a , ketidaksetaraan mengambil bentuk:

a + 1 a 2 a 1 a a + 1 a 2

Q.E.D.

Mari kita berikan contoh praktis yang mengilustrasikan properti ini.

Contoh. Tentukan jumlah bilangan timbal balik

Mari kita hitung jumlah bilangan 2 3 dan kebalikannya.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Seperti yang dikatakan teorema, jumlah yang dihasilkan lebih besar dari dua.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Isi:

Kebalikan diperlukan ketika menyelesaikan semua jenis persamaan aljabar. Misalnya, jika Anda perlu membagi satu angka pecahan dengan yang lain, Anda mengalikan angka pertama dengan kebalikan dari yang kedua. Selain itu, timbal balik digunakan ketika menemukan persamaan garis lurus.

Langkah

1 Menemukan kebalikan dari pecahan atau bilangan bulat

1. 1 Temukan kebalikan dari bilangan pecahan dengan membaliknya."Jumlah timbal balik" didefinisikan dengan sangat sederhana. Untuk menghitungnya, cukup hitung nilai dari ekspresi "1 (angka asli)." Untuk bilangan pecahan, kebalikannya adalah bilangan pecahan lain yang dapat dihitung hanya dengan "membalikkan" pecahan (dengan menukar pembilang dan penyebut).
   • Misalnya, kebalikan dari 3/4 adalah 4 / 3 .
2. 2 Tulis kebalikan dari bilangan bulat sebagai pecahan. Dan dalam hal ini, kebalikannya dihitung sebagai 1 (bilangan asli). Untuk bilangan bulat, tulis kebalikannya sebagai pecahan, tidak perlu melakukan perhitungan apa pun dan tulis sebagai desimal.
   • Misalnya, kebalikan dari 2 adalah 1 2 = 1 / 2 .

2 Menemukan kebalikan dari pecahan campuran

1. 1 Apa itu "pecahan campuran"? Pecahan campuran adalah bilangan yang ditulis sebagai bilangan bulat dan pecahan sederhana, misalnya 2 4 / 5. Menemukan kebalikan dari pecahan campuran dilakukan dalam dua langkah, dijelaskan di bawah ini.
2. 2 Tulis pecahan campuran sebagai pecahan biasa. Tentu, Anda ingat bahwa satuan dapat ditulis sebagai (bilangan) / (bilangan yang sama), dan pecahan dengan penyebut yang sama (angka di bawah garis) dapat dijumlahkan. Berikut cara mengerjakannya untuk pecahan 2 4/5 :
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Balikkan pecahan. Ketika pecahan campuran ditulis sebagai pecahan biasa, kita dapat dengan mudah menemukan kebalikannya hanya dengan menukar pembilang dan penyebutnya.
   • Untuk contoh di atas, kebalikannya adalah 14 / 5 - 5 / 14 .

3 Menemukan kebalikan dari desimal

1. 1 Jika memungkinkan, nyatakan desimal sebagai pecahan. Perlu Anda ketahui bahwa banyak desimal dapat dengan mudah diubah menjadi pecahan sederhana. Misalnya, 0,5 = 1/2 dan 0,25 = 1/4. Saat Anda menulis angka sebagai pecahan sederhana, Anda dapat dengan mudah menemukan kebalikannya hanya dengan membalik pecahan.
   • Misalnya, kebalikan dari 0,5 adalah 2 / 1 = 2.
2. 2 Selesaikan masalah menggunakan pembagian. Jika Anda tidak dapat menulis desimal sebagai pecahan, hitung kebalikannya dengan menyelesaikan soal dengan membagi: 1 (desimal). Anda dapat menggunakan kalkulator untuk menyelesaikannya, atau melompat ke langkah berikutnya jika Anda ingin menghitung nilainya secara manual.
   • Misalnya, kebalikan dari 0,4 dihitung sebagai 1 0,4.
3. 3 Ubah ekspresi agar berfungsi dengan bilangan bulat. Langkah pertama dalam pembagian desimal adalah memindahkan titik posisi sampai semua angka dalam ekspresi adalah bilangan bulat. Karena Anda memindahkan koma posisi ke jumlah tempat yang sama baik di dividen maupun pembagi, Anda mendapatkan jawaban yang benar.
4. 4 Misalnya, Anda mengambil ekspresi 1 0,4 dan menulisnya sebagai 10 4. Dalam hal ini, Anda telah memindahkan koma satu tempat ke kanan, yang sama dengan mengalikan setiap angka dengan sepuluh.
5. 5 Selesaikan masalah dengan membagi angka dengan kolom. Menggunakan pembagian dengan kolom, Anda dapat menghitung kebalikan dari suatu angka. Jika Anda membagi 10 dengan 4, Anda akan mendapatkan 2,5, yang merupakan kebalikan dari 0,4.

• Nilai kebalikan negatif akan menjadi kebalikan dari angka dikalikan dengan -1. Misalnya, kebalikan negatif dari 3/4 adalah -4/3.
• Kebalikan dari suatu bilangan kadang-kadang disebut sebagai "timbal balik" atau "timbal balik".
• Angka 1 adalah kebalikannya sendiri karena 1 1 = 1.
• Nol tidak memiliki timbal balik karena ekspresi 1 0 tidak memiliki solusi.