Pada artikel ini, kita akan memahami apa itu derajat. Di sini kami akan memberikan definisi derajat suatu bilangan, sambil mempertimbangkan secara rinci semua kemungkinan eksponen derajat, dimulai dengan eksponen alami, diakhiri dengan eksponen irasional. Dalam materi Anda akan menemukan banyak contoh derajat yang mencakup semua seluk-beluk yang muncul.

Navigasi halaman.

Derajat dengan eksponen alami, kuadrat dari suatu bilangan, pangkat tiga dari suatu bilangan

Mari kita mulai dengan . Melihat ke depan, katakanlah definisi derajat a dengan eksponen alami n diberikan untuk a , yang akan kita sebut dasar derajat, dan n , yang akan kita sebut eksponen. Kami juga mencatat bahwa derajat dengan indikator alami ditentukan melalui produk, jadi untuk memahami materi di bawah ini, Anda harus memiliki gagasan tentang perkalian angka.

Definisi.

Kekuatan bilangan a dengan eksponen alami n adalah ekspresi dari bentuk a n , yang nilainya sama dengan produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a , yaitu .
Secara khusus, derajat suatu bilangan a dengan eksponen 1 adalah bilangan a itu sendiri, yaitu a 1 =a.

Segera perlu disebutkan aturan untuk membaca derajat. Cara universal untuk membaca entri a n adalah: "a pangkat n". Dalam beberapa kasus, opsi seperti itu juga dapat diterima: "a pangkat ke-n" dan "pangkat ke-n dari angka a". Sebagai contoh, mari kita ambil derajat 8 12, ini adalah "delapan pangkat dua belas", atau "delapan pangkat dua belas", atau "kekuatan kedua belas dari delapan".

Kekuatan kedua dari sebuah angka, serta kekuatan ketiga dari sebuah angka, memiliki nama mereka sendiri. pangkat dua suatu bilangan disebut kuadrat dari suatu bilangan, misalnya, 7 2 dibaca sebagai "kuadrat tujuh" atau "kuadrat dari angka tujuh". Kekuatan ketiga dari suatu bilangan disebut nomor kubus, misalnya, 5 3 dapat dibaca sebagai "lima pangkat tiga" atau ucapkan "kubus angka 5".

Saatnya membawa contoh derajat dengan indikator fisik. Mari kita mulai dengan pangkat 5 7 , di mana 5 adalah basis dari pangkat dan 7 adalah eksponen. Mari berikan contoh lain: 4,32 adalah basis, dan bilangan asli 9 adalah eksponen (4,32) 9 .

Harap dicatat bahwa dalam contoh terakhir, basis derajat 4.32 ditulis dalam tanda kurung: untuk menghindari perbedaan, kami akan mengambil dalam tanda kurung semua basis derajat yang berbeda dari bilangan asli. Sebagai contoh, kami memberikan derajat berikut dengan indikator alami , basisnya bukan bilangan asli, jadi ditulis dalam tanda kurung. Nah, untuk kejelasan lengkap pada titik ini, kami akan menunjukkan perbedaan yang terkandung dalam catatan bentuk (−2) 3 dan 2 3 . Ekspresi (−2) 3 adalah pangkat dari 2 dengan pangkat 3 alami, dan ekspresi 2 3 (dapat ditulis sebagai (2 3) ) sesuai dengan angka, nilai dari pangkat 2 3 .

Perhatikan bahwa ada notasi untuk derajat a dengan eksponen n dalam bentuk a^n . Selain itu, jika n adalah bilangan asli multinilai, maka eksponennya diambil dalam tanda kurung. Misalnya, 4^9 adalah notasi lain untuk pangkat 4 9 . Dan berikut adalah contoh penulisan derajat lainnya dengan menggunakan simbol “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Berikut ini, kita akan menggunakan notasi derajat dari bentuk a n .

Salah satu masalah, kebalikan dari eksponen dengan eksponen alami, adalah masalah menemukan basis derajat dari nilai derajat yang diketahui dan eksponen yang diketahui. Tugas ini mengarah ke.

Diketahui bahwa himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan, dan setiap bilangan pecahan dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen bilangan bulat pada paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kami perlu memberikan arti derajat dari angka a dengan eksponen pecahan m / n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ayo lakukan.

Pertimbangkan gelar dengan eksponen pecahan dari bentuk . Agar properti derajat dalam derajat tetap berlaku, kesetaraan harus berlaku . Jika kita memperhitungkan persamaan yang dihasilkan dan cara kita mendefinisikan , maka logis untuk menerima, asalkan untuk m, n dan a yang diberikan, ekspresinya masuk akal.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat valid untuk as (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).

Alasan di atas memungkinkan kita untuk membuat yang berikut: kesimpulan: jika untuk m, n dan a yang diberikan ekspresi masuk akal, maka pangkat dari bilangan a dengan pangkat pecahan m / n adalah akar dari derajat ke-n dari pangkat m.

Pernyataan ini membawa kita mendekati definisi derajat dengan eksponen pecahan. Tetap hanya untuk menggambarkan ekspresi m, n dan a yang masuk akal. Tergantung pada pembatasan yang dikenakan pada m , n dan a, ada dua pendekatan utama.

Cara termudah untuk membatasi a adalah dengan mengasumsikan a≥0 untuk m positif dan a>0 untuk m negatif (karena m≤0 tidak memiliki kekuatan 0 m). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat berikut dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Pangkat bilangan positif a dengan pangkat pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli, disebut akar ke-n dari bilangan a pangkat m, yaitu .

Derajat pecahan nol juga didefinisikan dengan satu-satunya peringatan bahwa eksponen harus positif.

Definisi.

Pangkat nol dengan eksponen positif pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat positif dan n adalah bilangan asli, didefinisikan sebagai .
Ketika derajat tidak ditentukan, yaitu derajat angka nol dengan eksponen negatif pecahan tidak masuk akal.

Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat seperti itu dengan eksponen pecahan, ada satu nuansa: untuk beberapa a negatif dan beberapa m dan n, ekspresi masuk akal, dan kami membuang kasus ini dengan memperkenalkan kondisi a≥0 . Misalnya, masuk akal untuk menulis atau , dan definisi di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa derajat dengan eksponen pecahan dari bentuk tidak ada artinya, karena basisnya tidak boleh negatif.

Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan pangkat pecahan m / n adalah dengan mempertimbangkan secara terpisah pangkat genap dan ganjil dari akar. Pendekatan ini memerlukan kondisi tambahan: derajat bilangan a, yang eksponennya , dianggap derajat bilangan a, eksponennya adalah pecahan tak tereduksi yang sesuai (pentingnya kondisi ini akan dijelaskan di bawah). Artinya, jika m/n adalah pecahan tak tereduksi, maka untuk sembarang bilangan asli k derajatnya terlebih dahulu diganti dengan .

Untuk n genap dan m positif, ekspresi masuk akal untuk sembarang a non-negatif (akar derajat genap dari bilangan negatif tidak masuk akal), untuk m negatif, bilangan a masih harus berbeda dari nol (jika tidak ada akan menjadi pembagian dengan nol). Dan untuk n ganjil dan m positif, bilangan a dapat berupa apa saja (akar derajat ganjil ditentukan untuk sembarang bilangan real), dan untuk m negatif, bilangan a harus berbeda dari nol (sehingga tidak ada pembagian dengan nol).

Alasan di atas membawa kita ke definisi derajat dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Biarkan m/n menjadi pecahan tak tereduksi, m bilangan bulat, dan n bilangan asli. Untuk setiap pecahan biasa yang dapat direduksi, derajatnya diganti dengan . Pangkat a dengan pangkat pecahan tak tereduksi m / n adalah untuk



Mari kita jelaskan mengapa gelar dengan eksponen pecahan yang dapat direduksi pertama-tama diganti dengan gelar dengan eksponen yang tidak dapat direduksi. Jika kita hanya mendefinisikan derajat sebagai , dan tidak membuat reservasi tentang ireduksibilitas pecahan m / n , maka kita akan menghadapi situasi yang mirip dengan berikut: karena 6/10=3/5 , maka persamaan , tetapi , sebuah .

Angka yang dinaikkan menjadi kekuatan memanggil nomor yang dikalikan dengan dirinya sendiri beberapa kali.

Kekuatan angka dengan nilai negatif (sebuah) dapat didefinisikan dengan cara yang sama seperti derajat bilangan yang sama dengan eksponen positif ditentukan (sebuah) . Namun, itu juga membutuhkan definisi tambahan. Rumusnya didefinisikan sebagai:

sebuah = (1 / n)

Sifat-sifat nilai negatif dari kekuatan angka mirip dengan kekuatan dengan eksponen positif. Persamaan yang Diwakili sebuah m / a n = sebuah m-n bisa adil seperti

« Tidak ada tempat, seperti dalam matematika, kejelasan dan keakuratan kesimpulan tidak memungkinkan seseorang untuk menjauh dari jawaban dengan membicarakan pertanyaannya.».

A. D. Alexandrov

pada n lagi m , sebaik m lagi n . Mari kita lihat sebuah contoh: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Pertama, Anda perlu menentukan angka yang bertindak sebagai definisi derajat. b=a(-n) . Dalam contoh ini -n merupakan penunjuk derajat b - nilai numerik yang diinginkan, sebuah - dasar derajat sebagai nilai numerik alami. Kemudian tentukan modulnya, yaitu nilai absolut dari bilangan negatif, yang bertindak sebagai eksponen. Hitung derajat angka yang diberikan relatif terhadap angka absolut sebagai indikator. Nilai derajat ditemukan dengan membagi satu dengan angka yang dihasilkan.

Beras. satu

Pertimbangkan kekuatan angka dengan eksponen pecahan negatif. Bayangkan bahwa angka a adalah angka positif apa pun, angka-angkanya n dan m - bilangan bulat. Menurut definisi sebuah , yang dipangkatkan - sama dengan satu dibagi dengan angka yang sama dengan derajat positif (Gbr. 1). Jika pangkat suatu bilangan adalah pecahan, maka dalam kasus seperti itu hanya bilangan dengan eksponen positif yang digunakan.

Layak untuk diingat bahwa nol tidak pernah bisa menjadi eksponen suatu bilangan (aturan pembagian dengan nol).

Penyebaran konsep seperti angka mulai manipulasi seperti perhitungan pengukuran, serta perkembangan matematika sebagai ilmu. Pengenalan nilai-nilai negatif disebabkan oleh perkembangan aljabar, yang memberikan solusi umum untuk masalah aritmatika, terlepas dari makna spesifiknya dan data numerik awal. Di India, pada abad ke-6-11, nilai negatif angka digunakan secara sistematis saat memecahkan masalah dan ditafsirkan dengan cara yang sama seperti saat ini. Dalam ilmu pengetahuan Eropa, bilangan negatif mulai banyak digunakan berkat R. Descartes, yang memberikan interpretasi geometris bilangan negatif sebagai arah segmen. Descartes-lah yang menyarankan agar angka yang dipangkatkan ditampilkan sebagai formula dua lantai sebuah .

Jelas, angka dengan kekuatan dapat ditambahkan seperti kuantitas lainnya , dengan menambahkannya satu per satu dengan tanda-tandanya.

Jadi, jumlah a 3 dan b 2 adalah a 3 + b 2 .
Jumlah dari 3 - b n dan h 5 -d 4 adalah 3 - b n + h 5 - d 4 .

Kemungkinan kekuatan yang sama dari variabel yang sama bisa ditambah atau dikurangi.

Jadi, jumlah 2a 2 dan 3a 2 adalah 5a 2 .

Jelas juga bahwa jika kita mengambil dua kotak a, atau tiga kotak a, atau lima kotak a.

Tapi derajat berbagai variabel dan berbagai derajat variabel identik, harus ditambahkan dengan menambahkannya ke tanda-tandanya.

Jadi, jumlah a 2 dan a 3 adalah jumlah a 2 + a 3 .

Jelaslah bahwa kuadrat dari a, dan pangkat tiga dari a, bukanlah dua kali kuadrat dari a, tetapi dua kali pangkat tiga dari a.

Jumlah a 3 b n dan 3a 5 b 6 adalah a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pengurangan kekuatan dilakukan dengan cara yang sama seperti penambahan, kecuali bahwa tanda-tanda pengurangan harus diubah sesuai.

Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Perkalian daya

Bilangan dengan pangkat dapat dikalikan seperti besaran lain dengan menuliskannya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda perkalian di antara bilangan tersebut.

Jadi, hasil perkalian a 3 dengan b 2 adalah 3 b 2 atau aaabb.

Atau:
x -3 a m = a m x -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Hasil pada contoh terakhir dapat diurutkan dengan menambahkan variabel yang sama.
Ekspresi akan berbentuk: a 5 b 5 y 3 .

Dengan membandingkan beberapa bilangan (variabel) dengan pangkat, kita dapat melihat bahwa jika dua bilangan dikalikan, maka hasilnya adalah bilangan (variabel) dengan pangkat yang sama dengan jumlah derajat istilah.

Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Di sini 5 adalah pangkat dari hasil perkalian, sama dengan 2 + 3, jumlah pangkat dari suku-sukunya.

Jadi, a n .a m = a m+n .

Untuk a n , a diambil sebagai faktor sebanyak pangkat n;

Dan a m , diambil sebagai faktor sebanyak derajat m sama dengan;

Jadi, pangkat dengan basis yang sama dapat dikalikan dengan menambahkan eksponen.

Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Atau:
4a n 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kalikan (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) (x - y).
Jawaban: x 4 - y 4.
Kalikan (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1).

Aturan ini juga berlaku untuk bilangan yang eksponennya - negatif.

1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini dapat ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jika a + b dikalikan dengan a - b, hasilnya adalah 2 - b 2: yaitu

Hasil perkalian jumlah atau selisih dua bilangan sama dengan jumlah atau selisih kuadratnya.

Jika jumlah dan selisih dua bilangan dipangkatkan menjadi kotak, hasilnya akan sama dengan jumlah atau selisih angka-angka ini dalam keempat derajat.

Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Pembagian derajat

Bilangan dengan pangkat dapat dibagi seperti bilangan lain dengan mengurangkan dari pembagi, atau dengan menempatkannya dalam bentuk pecahan.

Jadi a 3 b 2 dibagi b 2 adalah 3 .

Atau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Menulis 5 dibagi 3 terlihat seperti $\frac(a^5)(a^3)$. Tapi ini sama dengan 2 . Dalam serangkaian angka
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0, a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
setiap nomor dapat dibagi dengan yang lain, dan eksponen akan sama dengan perbedaan indikator bilangan habis dibagi.

Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi..

Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Yaitu, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yaitu, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Atau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Aturan ini juga berlaku untuk angka dengan negatif nilai derajat.
Hasil pembagian -5 dengan -3 adalah -2.
Juga, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Perkalian dan pembagian pangkat perlu dikuasai dengan baik, karena operasi semacam itu sangat banyak digunakan dalam aljabar.

Contoh penyelesaian contoh pecahan yang mengandung bilangan dengan pangkat

1. Kurangi pangkat di $\frac(5a^4)(3a^2)$ Jawaban: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Kurangi eksponen dalam $\frac(6x^6)(3x^5)$. Jawaban: $\frac(2x)(1)$ atau 2x.

3. Kurangi eksponen a 2 / a 3 dan a -3 / a -4 dan bawa ke penyebut yang sama.
a 2 .a -4 adalah pembilang pertama -2.
a 3 .a -3 adalah 0 = 1, pembilang kedua.
a 3 .a -4 adalah -1 , pembilang bersama.
Setelah disederhanakan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .

4. Kurangi pangkat 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa ke penyebut yang sama.
Jawaban: 2a 3/5a 7 dan 5a 5/5a 7 atau 2a 3/5a 2 dan 5/5a 2.

5. Kalikan (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.

6. Kalikan (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kalikan b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .

8. Bagi 4 /y 3 dengan 3 /y 2 . Jawaban: a/y.

9. Bagi (h 3 - 1)/d 4 dengan (d n + 1)/h.

Eksponen digunakan untuk mempermudah penulisan operasi perkalian bilangan dengan bilangan itu sendiri. Misalnya, alih-alih menulis, Anda dapat menulis 4 5 (\displaystyle 4^(5))(penjelasan tentang transisi semacam itu diberikan di bagian pertama artikel ini). Powers memudahkan untuk menulis ekspresi atau persamaan yang panjang atau kompleks; juga, kekuatan mudah ditambahkan dan dikurangkan, menghasilkan penyederhanaan ekspresi atau persamaan (misalnya, 4 2 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Catatan: jika Anda perlu menyelesaikan persamaan eksponensial (dalam persamaan seperti itu, yang tidak diketahui ada dalam eksponen), baca.

Langkah

Memecahkan masalah sederhana dengan kekuatan

Kalikan basis eksponen dengan dirinya sendiri beberapa kali sama dengan eksponen. Jika Anda perlu menyelesaikan masalah dengan eksponen secara manual, tulis ulang eksponen sebagai operasi perkalian, di mana basis eksponen dikalikan dengan dirinya sendiri. Misalnya, diberikan gelar 3 4 (\gaya tampilan 3^(4)). Dalam hal ini, basis derajat 3 harus dikalikan dengan dirinya sendiri 4 kali: 3 3 3 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Berikut adalah contoh lainnya:

Pertama, kalikan dua angka pertama. Sebagai contoh, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 4 4 4 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Jangan khawatir - proses perhitungannya tidak serumit kelihatannya pada pandangan pertama. Pertama kalikan dua empat kali lipat pertama, lalu ganti dengan hasilnya. Seperti ini:

• 4 5 = 4 4 4 4 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Kalikan hasilnya (16 dalam contoh kita) dengan angka berikutnya. Setiap hasil selanjutnya akan meningkat secara proporsional. Dalam contoh kita, kalikan 16 dengan 4. Seperti ini:

   • 4 5 = 16 4 4 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 4 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Teruslah mengalikan hasil perkalian dua angka pertama dengan angka berikutnya sampai Anda mendapatkan jawaban akhir. Untuk melakukan ini, kalikan dua angka pertama, lalu kalikan hasilnya dengan angka berikutnya dalam urutan. Metode ini berlaku untuk tingkat apa pun. Dalam contoh kami, Anda harus mendapatkan: 4 5 = 4 4 4 4 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Selesaikan masalah berikut. Periksa jawaban Anda dengan kalkulator.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\gaya tampilan 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Pada kalkulator, cari kunci berlabel "exp", atau " x n (\gaya tampilan x^(n))", atau "^". Dengan kunci ini Anda akan menaikkan angka menjadi kekuatan. Praktis tidak mungkin menghitung derajat secara manual dengan eksponen besar (misalnya, derajat 9 15 (\displaystyle 9^(15))), tetapi kalkulator dapat dengan mudah mengatasi tugas ini. Di Windows 7, kalkulator standar dapat dialihkan ke mode teknik; untuk melakukan ini, klik "Lihat" -\u003e "Teknik". Untuk beralih ke mode normal, klik "Lihat" -\u003e "Normal".

   • Periksa jawaban yang diterima menggunakan mesin pencari (Google atau Yandex). Dengan menggunakan tombol "^" pada keyboard komputer, masukkan ekspresi ke dalam mesin pencari, yang akan langsung menampilkan jawaban yang benar (dan mungkin menyarankan ekspresi serupa untuk dipelajari).

   Penambahan, pengurangan, perkalian kekuatan

   1. Anda dapat menambah dan mengurangi kekuatan hanya jika mereka memiliki basis yang sama. Jika Anda perlu menambahkan kekuatan dengan basis dan eksponen yang sama, maka Anda dapat mengganti operasi penambahan dengan operasi perkalian. Misalnya, diberikan ekspresi 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Ingatlah bahwa gelar 4 5 (\displaystyle 4^(5)) dapat direpresentasikan sebagai 1 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); dengan demikian, 4 5 + 4 5 = 1 4 5 + 1 4 5 = 2 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(dimana 1 +1 =2). Artinya, hitung jumlah derajat yang sama, lalu kalikan derajat tersebut dan angka ini. Dalam contoh kita, naikkan 4 pangkat lima, lalu kalikan hasilnya dengan 2. Ingat bahwa operasi penjumlahan dapat diganti dengan operasi perkalian, misalnya, 3 + 3 = 2 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Berikut adalah contoh lainnya:

      • 3 2 + 3 2 = 2 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya ditambahkan (basis tidak berubah). Misalnya, diberikan ekspresi x 2 x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Dalam hal ini, Anda hanya perlu menambahkan indikator, tanpa mengubah basisnya. Dengan demikian, x 2 x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Berikut adalah penjelasan visual dari aturan ini:

      Saat menaikkan pangkat menjadi pangkat, eksponen dikalikan. Misalnya diberikan gelar. Karena eksponen dikalikan, maka (x 2) 5 = x 2 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Arti dari aturan ini adalah Anda melipatgandakan kekuatan (x 2) (\displaystyle (x^(2))) pada dirinya sendiri lima kali. Seperti ini:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Karena basisnya sama, eksponennya cukup dijumlahkan: (x 2) 5 = x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Eksponen dengan eksponen negatif harus diubah menjadi pecahan (ke pangkat terbalik). Tidak masalah jika Anda tidak tahu apa itu timbal balik. Jika Anda diberi gelar dengan eksponen negatif, misalnya, 3 2 (\displaystyle 3^(-2)), tulis pangkat ini dalam penyebut pecahan (masukkan 1 ke pembilangnya), dan buat eksponennya menjadi positif. Dalam contoh kami: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2))))). Berikut adalah contoh lainnya:

      Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi (basis tidak berubah). Operasi pembagian adalah kebalikan dari operasi perkalian. Misalnya, diberikan ekspresi 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Kurangi eksponen di penyebut dari eksponen di pembilang (jangan ubah basisnya). Dengan demikian, 4 4 4 2 = 4 4 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Derajat penyebut dapat ditulis sebagai berikut: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2))))) = 4 2 (\displaystyle 4^(-2)). Ingat bahwa pecahan adalah angka (pangkat, ekspresi) dengan eksponen negatif.

   4. Berikut adalah beberapa ekspresi untuk membantu Anda mempelajari cara menyelesaikan masalah daya. Ungkapan di atas mencakup materi yang disajikan dalam bagian ini. Untuk melihat jawabannya, cukup sorot ruang kosong setelah tanda sama dengan.

   Memecahkan masalah dengan eksponen pecahan

   Gelar dengan eksponen pecahan (misalnya, ) diubah menjadi operasi ekstraksi akar. Dalam contoh kami: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Tidak masalah bilangan apa yang ada dalam penyebut pangkat pecahan. Sebagai contoh, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) adalah akar keempat dari "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Jika eksponen adalah pecahan biasa, maka eksponen tersebut dapat didekomposisi menjadi dua pangkat untuk menyederhanakan penyelesaian masalah. Tidak ada yang rumit tentang ini - ingat saja aturan untuk mengalikan kekuatan. Misalnya diberikan gelar. Ubah eksponen tersebut menjadi akar yang eksponennya sama dengan penyebut dari eksponen pecahan, lalu naikkan akar tersebut ke eksponen yang sama dengan pembilang dari eksponen pecahan. Untuk melakukan ini, ingatlah itu 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Dalam contoh kami:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Beberapa kalkulator memiliki tombol untuk menghitung eksponen (pertama Anda harus memasukkan basis, lalu tekan tombol, lalu masukkan eksponen). Dilambangkan sebagai ^ atau x^y.
   3. Ingat bahwa setiap nomor sama dengan dirinya sendiri dengan kekuatan pertama, misalnya, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Selain itu, bilangan apa pun yang dikalikan atau dibagi satu sama dengan dirinya sendiri, misalnya, 5 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) dan 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Ketahuilah bahwa derajat 0 0 tidak ada (derajat seperti itu tidak memiliki solusi). Ketika Anda mencoba menyelesaikan gelar seperti itu di kalkulator atau di komputer, Anda akan mendapatkan kesalahan. Tapi ingat bahwa setiap angka pangkat nol sama dengan 1, misalnya, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Dalam matematika tingkat tinggi, yang beroperasi dengan bilangan imajiner: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), di mana i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e adalah konstanta yang kira-kira sama dengan 2,7; a adalah konstanta arbitrer. Bukti kesetaraan ini dapat ditemukan di semua buku teks tentang matematika tingkat tinggi.

   Peringatan

   • Sebagai eksponen meningkat, nilainya sangat meningkat. Oleh karena itu, jika jawabannya tampak salah bagi Anda, sebenarnya bisa jadi itu benar. Anda dapat memeriksanya dengan memplot fungsi eksponensial apa pun, seperti 2 x .

Mengangkat ke pangkat negatif adalah salah satu elemen dasar matematika, yang sering ditemui dalam menyelesaikan masalah aljabar. Di bawah ini adalah instruksi terperinci.

Bagaimana menaikkan ke kekuatan negatif - teori

Saat kita mengambil angka dengan pangkat biasa, kita mengalikan nilainya beberapa kali. Misalnya, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Dengan pecahan negatif, kebalikannya benar. Bentuk umum menurut rumus adalah sebagai berikut: a -n = 1/a n . Jadi, untuk menaikkan angka menjadi pangkat negatif, Anda perlu membagi satu dengan angka yang diberikan, tetapi sudah menjadi pangkat positif.

Cara menaikkan pangkat negatif - contoh bilangan biasa

Dengan mengingat aturan di atas, mari kita selesaikan beberapa contoh.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Jawaban: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Jawabannya adalah -4 -2 = 1/16.

Tetapi mengapa jawaban pada contoh pertama dan kedua sama? Faktanya adalah bahwa ketika angka negatif dinaikkan menjadi pangkat genap (2, 4, 6, dll.), tandanya menjadi positif. Jika derajatnya genap, maka minusnya dipertahankan:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Cara menaikkan ke pangkat negatif - angka dari 0 hingga 1

Ingatlah bahwa ketika angka antara 0 dan 1 dinaikkan ke pangkat positif, nilainya menurun seiring dengan peningkatan daya. Jadi misalnya 0,5 2 = 0,25. 0,25

Contoh 3: Hitung 0,5 -2
Solusi: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Jawaban: 0,5 -2 = 4

Parsing (urutan tindakan):

• Ubah desimal 0,5 menjadi pecahan 1/2. Itu lebih mudah.
  Naikkan 1/2 ke pangkat negatif. 1/(2) -2 . Bagi 1 dengan 1/(2) 2 , kita mendapatkan 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Contoh 4: Hitung 0,5 -3
Solusi: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Contoh 5: Hitung -0,5 -3
Solusi: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Jawaban: -0,5 -3 = -8

Berdasarkan contoh ke-4 dan ke-5, kita akan menarik beberapa kesimpulan:

• Untuk bilangan positif dalam kisaran dari 0 hingga 1 (contoh 4), dipangkatkan ke pangkat negatif, derajat genap atau ganjil tidak penting, nilai ekspresinya akan positif. Dalam hal ini, semakin besar derajatnya, semakin besar nilainya.
• Untuk bilangan negatif antara 0 dan 1 (contoh 5), dipangkatkan ke pangkat negatif, derajat genap atau ganjil tidak penting, nilai ekspresinya akan negatif. Dalam hal ini, semakin tinggi derajatnya, semakin rendah nilainya.

Cara menaikkan ke pangkat negatif - pangkat sebagai bilangan pecahan

Ekspresi jenis ini memiliki bentuk sebagai berikut: a -m/n , di mana a adalah bilangan biasa, m adalah pembilang derajat, n adalah penyebut derajat.

Pertimbangkan sebuah contoh:
Hitung: 8 -1/3

Solusi (urutan tindakan):

• Ingat aturan untuk menaikkan angka ke pangkat negatif. Kami mendapatkan: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Perhatikan bahwa penyebutnya adalah 8 pangkat pecahan. Bentuk umum menghitung derajat pecahan adalah sebagai berikut: a m/n = n 8 m .
• Jadi, 1/(8) 1/3 = 1/(3 8 1). Kita mendapatkan akar pangkat tiga dari delapan, yaitu 2. Berdasarkan ini, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Jawaban: 8 -1/3 = 2

Dari sekolah, kita semua tahu aturan tentang menaikkan pangkat: bilangan apa pun dengan eksponen N sama dengan hasil perkalian bilangan ini dengan dirinya sendiri N kali. Dengan kata lain, 7 pangkat 3 adalah 7 dikalikan dengan dirinya sendiri tiga kali, yaitu 343. Aturan lain - menaikkan nilai apa pun ke pangkat 0 menghasilkan satu, dan menaikkan nilai negatif adalah hasil dari eksponensial biasa, jika itu genap, dan hasilnya sama dengan tanda minus jika ganjil.

Aturan juga memberikan jawaban tentang cara menaikkan angka ke pangkat negatif. Untuk melakukan ini, Anda perlu menaikkan nilai yang diperlukan dengan modul indikator dengan cara biasa, dan kemudian membagi unit dengan hasilnya.

Dari aturan tersebut menjadi jelas bahwa pelaksanaan tugas nyata dengan jumlah besar akan membutuhkan ketersediaan sarana teknis. Secara manual dimungkinkan untuk mengalikan dengan sendirinya kisaran angka maksimum hingga dua puluh atau tiga puluh, dan kemudian tidak lebih dari tiga atau empat kali. Ini belum lagi fakta bahwa kemudian juga membagi unit dengan hasilnya. Karena itu, bagi mereka yang tidak memiliki kalkulator teknik khusus, kami akan memberi tahu Anda cara menaikkan angka ke pangkat negatif di Excel.

Memecahkan masalah di Excel

Untuk memecahkan masalah dengan eksponensial, Excel memungkinkan Anda untuk menggunakan salah satu dari dua opsi.

Yang pertama adalah penggunaan rumus dengan simbol cap standar. Masukkan data berikut di sel lembar kerja:

Dengan cara yang sama, Anda dapat menaikkan nilai yang diinginkan ke pangkat apa pun - negatif, pecahan. Mari kita lakukan hal berikut dan jawab pertanyaan tentang cara menaikkan angka ke pangkat negatif. Contoh:

Dimungkinkan untuk mengoreksi secara langsung dalam rumus =B2^-C2.

Opsi kedua adalah menggunakan fungsi "Gelar" yang sudah jadi, yang membutuhkan dua argumen wajib - angka dan indikator. Untuk mulai menggunakannya, cukup beri tanda sama dengan (=) di sel bebas mana pun, yang menunjukkan awal rumus, dan masukkan kata-kata di atas. Tetap memilih dua sel yang akan berpartisipasi dalam operasi (atau menentukan nomor tertentu secara manual), dan tekan tombol Enter. Mari kita lihat beberapa contoh sederhana.

			Rumus	Hasil
			KEKUATAN(B2;C2)
			KEKUATAN(B3;C3)	0,002915

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit tentang cara menaikkan angka ke pangkat negatif dan biasa menggunakan Excel. Memang, untuk mengatasi masalah ini, Anda dapat menggunakan simbol "tutup" yang sudah dikenal dan fungsi bawaan program, yang mudah diingat. Ini adalah nilai tambah yang pasti!

Mari kita beralih ke contoh yang lebih kompleks. Mari kita ingat aturan tentang cara menaikkan angka ke pangkat negatif dari karakter pecahan, dan kita akan melihat bahwa tugas ini diselesaikan dengan sangat sederhana di Excel.

Indikator pecahan

Singkatnya, algoritma untuk menghitung angka dengan eksponen pecahan adalah sebagai berikut.

1. Ubah eksponen pecahan menjadi pecahan biasa atau tidak wajar.
2. Naikkan nomor kami ke pembilang dari pecahan yang dikonversi yang dihasilkan.
3. Dari bilangan yang diperoleh pada paragraf sebelumnya, hitung akarnya, dengan syarat indikator akar akan menjadi penyebut pecahan yang diperoleh pada tahap pertama.

Setuju bahwa bahkan ketika beroperasi dengan angka kecil dan pecahan biasa, perhitungan seperti itu bisa memakan banyak waktu. Ada baiknya bahwa prosesor spreadsheet Excel tidak peduli berapa banyak dan sampai tingkat apa untuk dinaikkan. Coba selesaikan contoh berikut di lembar kerja Excel:

Dengan menggunakan aturan di atas, Anda dapat memeriksa dan memastikan bahwa perhitungannya benar.

Di akhir artikel kami, kami akan memberikan dalam bentuk tabel dengan rumus dan hasil beberapa contoh cara menaikkan bilangan ke pangkat negatif, serta beberapa contoh dengan bilangan pecahan dan pangkat.

Contoh tabel

Periksa lembar kerja Excel untuk contoh berikut. Agar semuanya berfungsi dengan benar, Anda perlu menggunakan referensi campuran saat menyalin rumus. Perbaiki nomor kolom yang berisi nomor yang dibangkitkan, dan nomor baris yang berisi indikator. Rumus Anda akan terlihat seperti ini: "=$B4^C$3".

Nomor / Gelar

Harap dicatat bahwa angka positif (bahkan yang bukan bilangan bulat) dihitung tanpa masalah untuk eksponen apa pun. Tidak ada masalah dengan menaikkan angka apa pun ke bilangan bulat. Tetapi menaikkan angka negatif ke pangkat pecahan akan menjadi kesalahan bagi Anda, karena tidak mungkin mengikuti aturan yang ditunjukkan di awal artikel kami tentang menaikkan angka negatif, karena paritas adalah karakteristik dari angka INTEGER eksklusif.

Angka yang dinaikkan menjadi kekuatan memanggil nomor yang dikalikan dengan dirinya sendiri beberapa kali.

Kekuatan angka dengan nilai negatif (sebuah) dapat didefinisikan dengan cara yang sama seperti derajat bilangan yang sama dengan eksponen positif ditentukan (sebuah) . Namun, itu juga membutuhkan definisi tambahan. Rumusnya didefinisikan sebagai:

sebuah = (1 / n)

Sifat-sifat nilai negatif dari kekuatan angka mirip dengan kekuatan dengan eksponen positif. Persamaan yang Diwakili sebuah m / a n = sebuah m-n bisa adil seperti

« Tidak ada tempat, seperti dalam matematika, kejelasan dan keakuratan kesimpulan tidak memungkinkan seseorang untuk menjauh dari jawaban dengan membicarakan pertanyaannya.».

A. D. Alexandrov

pada n lagi m , sebaik m lagi n . Mari kita lihat sebuah contoh: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Pertama, Anda perlu menentukan angka yang bertindak sebagai definisi derajat. b=a(-n) . Dalam contoh ini -n merupakan penunjuk derajat b - nilai numerik yang diinginkan, sebuah - dasar derajat sebagai nilai numerik alami. Kemudian tentukan modulnya, yaitu nilai absolut dari bilangan negatif, yang bertindak sebagai eksponen. Hitung derajat angka yang diberikan relatif terhadap angka absolut sebagai indikator. Nilai derajat ditemukan dengan membagi satu dengan angka yang dihasilkan.

Beras. satu

Pertimbangkan kekuatan angka dengan eksponen pecahan negatif. Bayangkan bahwa angka a adalah angka positif apa pun, angka-angkanya n dan m - bilangan bulat. Menurut definisi sebuah , yang dipangkatkan - sama dengan satu dibagi dengan angka yang sama dengan derajat positif (Gbr. 1). Jika pangkat suatu bilangan adalah pecahan, maka dalam kasus seperti itu hanya bilangan dengan eksponen positif yang digunakan.

Layak untuk diingat bahwa nol tidak pernah bisa menjadi eksponen suatu bilangan (aturan pembagian dengan nol).

Penyebaran konsep seperti angka mulai manipulasi seperti perhitungan pengukuran, serta perkembangan matematika sebagai ilmu. Pengenalan nilai-nilai negatif disebabkan oleh perkembangan aljabar, yang memberikan solusi umum untuk masalah aritmatika, terlepas dari makna spesifiknya dan data numerik awal. Di India, pada abad ke-6-11, nilai negatif angka digunakan secara sistematis saat memecahkan masalah dan ditafsirkan dengan cara yang sama seperti saat ini. Dalam ilmu pengetahuan Eropa, bilangan negatif mulai banyak digunakan berkat R. Descartes, yang memberikan interpretasi geometris bilangan negatif sebagai arah segmen. Descartes-lah yang menyarankan agar angka yang dipangkatkan ditampilkan sebagai formula dua lantai sebuah .