Kita telah mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Mari kita sekarang memperluas metode yang dipelajari ke persamaan rasional.

Apa itu ekspresi rasional? Kami telah menemukan konsep ini. Ekspresi rasional disebut ekspresi yang terdiri dari angka, variabel, derajat dan tanda-tanda operasi matematika.

Dengan demikian, persamaan rasional adalah persamaan dalam bentuk: , di mana - ekspresi rasional.

Sebelumnya, kami hanya mempertimbangkan persamaan rasional yang direduksi menjadi persamaan linier. Sekarang mari kita pertimbangkan persamaan rasional yang dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat.

Contoh 1

Selesaikan persamaan: .

Keputusan:

Suatu pecahan bernilai 0 jika dan hanya jika pembilangnya 0 dan penyebutnya bukan 0.

Kami mendapatkan sistem berikut:

Persamaan pertama dari sistem adalah persamaan kuadrat. Sebelum menyelesaikannya, kami membagi semua koefisiennya dengan 3. Kami mendapatkan:

Kami mendapatkan dua akar: ; .

Karena 2 tidak pernah sama dengan 0, dua kondisi harus dipenuhi: . Karena tidak ada akar persamaan yang diperoleh di atas yang cocok dengan nilai tidak valid dari variabel yang diperoleh saat menyelesaikan pertidaksamaan kedua, keduanya merupakan solusi untuk persamaan ini.

Menjawab:.

Jadi, mari kita merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional:

1. Pindahkan semua suku ke ruas kiri sehingga diperoleh 0 di ruas kanan.

2. Transformasikan dan sederhanakan ruas kiri, bawa semua pecahan ke penyebut yang sama.

3. Samakan pecahan yang dihasilkan dengan 0, sesuai dengan algoritma berikut: .

4. Tuliskan akar-akar yang diperoleh dalam persamaan pertama dan memenuhi pertidaksamaan kedua sebagai jawaban.

Mari kita lihat contoh lain.

Contoh 2

Selesaikan persamaan: .

Keputusan

Pada awalnya, kami mentransfer semua istilah ke sisi kiri sehingga 0 tetap di kanan. Kami mendapatkan:

Sekarang kita bawa ruas kiri persamaan ke penyebut yang sama:

Persamaan ini setara dengan sistem:

Persamaan pertama dari sistem adalah persamaan kuadrat.

Koefisien persamaan ini: . Kami menghitung diskriminan:

Kami mendapatkan dua akar: ; .

Sekarang kita memecahkan pertidaksamaan kedua: produk faktor tidak sama dengan 0 jika dan hanya jika tidak ada faktor yang sama dengan 0.

Dua syarat harus dipenuhi: . Kami mendapatkan bahwa dari dua akar persamaan pertama, hanya satu yang cocok - 3.

Menjawab:.

Dalam pelajaran ini, kita mengingat apa itu ekspresi rasional, dan juga belajar bagaimana menyelesaikan persamaan rasional, yang direduksi menjadi persamaan kuadrat.

Dalam pelajaran berikutnya, kita akan mempertimbangkan persamaan rasional sebagai model situasi nyata, dan juga mempertimbangkan masalah gerak.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Aljabar, kelas 8. - M.: Pencerahan, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dkk Aljabar, 8. Edisi ke-5. - M.: Pendidikan, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Aljabar, kelas 8. Buku teks untuk lembaga pendidikan. - M.: Pendidikan, 2006.

1. Festival ide pedagogis "Pelajaran Terbuka" ().
2. Sekolah.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Pekerjaan rumah

"Persamaan rasional dengan polinomial" adalah salah satu topik yang paling sering ditemui dalam tes USE dalam matematika. Untuk alasan ini, pengulangan mereka harus diberi perhatian khusus. Banyak siswa dihadapkan pada masalah dalam menemukan diskriminan, memindahkan indikator dari ruas kanan ke ruas kiri dan membawa persamaan ke penyebut yang sama, yang mempersulit penyelesaian tugas-tugas tersebut. Memecahkan persamaan rasional dalam persiapan ujian di situs web kami akan membantu Anda mengatasi tugas dengan kompleksitas apa pun dengan cepat dan lulus ujian dengan sempurna.

Pilih portal pendidikan "Shkolkovo" untuk persiapan yang sukses untuk ujian terpadu dalam matematika!

Untuk mengetahui aturan menghitung yang tidak diketahui dan dengan mudah mendapatkan hasil yang benar, gunakan layanan online kami. Portal Shkolkovo adalah platform unik di mana bahan-bahan yang diperlukan untuk mempersiapkan ujian dikumpulkan. Guru kami mensistematisasikan dan menyajikan semua aturan matematika dalam bentuk yang dapat dimengerti. Selain itu, kami mengundang anak-anak sekolah untuk mencoba memecahkan persamaan rasional yang khas, yang dasarnya terus diperbarui dan ditambah.

Untuk persiapan pengujian yang lebih efektif, kami menyarankan Anda mengikuti metode khusus kami dan mulai dengan mengulangi aturan dan memecahkan masalah sederhana, secara bertahap beralih ke yang lebih kompleks. Dengan demikian, lulusan akan dapat menyoroti topik yang paling sulit untuk dirinya sendiri dan fokus pada studi mereka.

Mulailah bersiap untuk pengujian terakhir dengan Shkolkovo hari ini, dan hasilnya tidak akan membuat Anda menunggu! Pilih contoh yang paling mudah dari yang diberikan. Jika Anda dengan cepat menguasai ekspresi, lanjutkan ke tugas yang lebih sulit. Jadi Anda dapat meningkatkan pengetahuan Anda hingga menyelesaikan tugas USE dalam matematika di tingkat profil.

Pendidikan tersedia tidak hanya untuk lulusan dari Moskow, tetapi juga untuk anak sekolah dari kota lain. Luangkan beberapa jam sehari untuk belajar di portal kami, misalnya, dan segera Anda akan dapat mengatasi persamaan dengan kompleksitas apa pun!

Sejauh ini, kita hanya menyelesaikan persamaan bilangan bulat yang berkaitan dengan yang tidak diketahui, yaitu persamaan yang penyebutnya (jika ada) tidak mengandung yang tidak diketahui.

Seringkali Anda harus menyelesaikan persamaan yang penyebutnya tidak diketahui: persamaan seperti itu disebut pecahan.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita mengalikan kedua sisinya dengan polinomial yang mengandung yang tidak diketahui. Apakah persamaan baru akan setara dengan yang diberikan? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, mari selesaikan persamaan ini.

Mengalikan kedua ruas dengan , kita peroleh:

Memecahkan persamaan derajat pertama ini, kami menemukan:

Jadi, persamaan (2) memiliki akar tunggal

Substitusikan ke persamaan (1), kita peroleh:

Oleh karena itu, juga merupakan akar dari persamaan (1).

Persamaan (1) tidak memiliki akar lain. Dalam contoh kita, ini dapat dilihat, misalnya, dari fakta bahwa dalam persamaan (1)

Bagaimana pembagi yang tidak diketahui harus sama dengan dividen 1 dibagi dengan hasil bagi 2, mis.

Jadi, persamaan (1) dan (2) memiliki akar tunggal, sehingga keduanya ekuivalen.

2. Sekarang kita selesaikan persamaan berikut:

Penyebut umum paling sederhana: ; kalikan semua suku persamaan dengan itu:

Setelah reduksi kita peroleh:

Mari kita perluas tanda kurung:

Membawa istilah yang sama, kami memiliki:

Memecahkan persamaan ini, kami menemukan:

Substitusi ke persamaan (1), kita peroleh:

Di sisi kiri, kami menerima ekspresi yang tidak masuk akal.

Oleh karena itu, akar persamaan (1) bukan. Ini menyiratkan bahwa persamaan (1) dan tidak setara.

Dalam hal ini, kita katakan bahwa persamaan (1) telah memperoleh akar asing.

Mari kita bandingkan solusi persamaan (1) dengan solusi persamaan yang kita bahas sebelumnya (lihat 51). Dalam menyelesaikan persamaan ini, kami harus melakukan dua operasi yang belum pernah terlihat sebelumnya: pertama, kami mengalikan kedua sisi persamaan dengan ekspresi yang mengandung yang tidak diketahui (penyebut umum), dan, kedua, kami mengurangi pecahan aljabar dengan faktor yang mengandung yang tidak diketahui.

Membandingkan Persamaan (1) dengan Persamaan (2), kita melihat bahwa tidak semua nilai x yang valid untuk Persamaan (2) berlaku untuk Persamaan (1).

Angka 1 dan 3 bukanlah nilai yang dapat diterima dari yang tidak diketahui untuk persamaan (1), dan sebagai hasil dari transformasi, mereka menjadi dapat diterima untuk persamaan (2). Salah satu dari angka-angka ini ternyata menjadi solusi untuk persamaan (2), tetapi, tentu saja, itu tidak bisa menjadi solusi untuk persamaan (1). Persamaan (1) tidak memiliki solusi.

Contoh ini menunjukkan bahwa ketika mengalikan kedua bagian persamaan dengan faktor yang tidak diketahui, dan ketika mengurangi pecahan aljabar, dapat diperoleh persamaan yang tidak setara dengan yang diberikan, yaitu: akar asing dapat muncul.

Oleh karena itu kami menarik kesimpulan berikut. Saat menyelesaikan persamaan yang berisi penyebut yang tidak diketahui, akar yang dihasilkan harus diperiksa dengan substitusi ke dalam persamaan asli. Akar asing harus dibuang.

Persamaan dengan pecahan sendiri tidaklah sulit dan sangat menarik. Perhatikan jenis-jenis persamaan pecahan dan cara menyelesaikannya.

Bagaimana menyelesaikan persamaan dengan pecahan - x di pembilang

Jika persamaan pecahan diberikan, di mana yang tidak diketahui adalah pembilangnya, solusinya tidak memerlukan kondisi tambahan dan diselesaikan tanpa kerumitan yang tidak perlu. Bentuk umum persamaan tersebut adalah x/a + b = c, di mana x adalah bilangan yang tidak diketahui, a, b dan c adalah bilangan biasa.

Cari x: x/5 + 10 = 70.

Untuk menyelesaikan persamaan, Anda harus menyingkirkan pecahan. Kalikan setiap suku persamaan dengan 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x dan 5 dikurangi, 10 dan 70 dikalikan 5 dan kita mendapatkan: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Cari x: x/5 + x/10 = 90.

Contoh ini adalah versi yang sedikit lebih rumit dari yang pertama. Ada dua solusi di sini.

• Opsi 1: Singkirkan pecahan dengan mengalikan semua suku persamaan dengan penyebut yang lebih besar, yaitu dengan 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• Opsi 2: Tambahkan sisi kiri persamaan. x/5 + x/10 = 90. Penyebutnya adalah 10. Bagi 10 dengan 5, kalikan dengan x, kita dapatkan 2x. 10 dibagi 10, dikalikan dengan x, diperoleh x: 2x+x/10 = 90. Jadi 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Seringkali ada persamaan pecahan di mana x berada pada sisi yang berlawanan dari tanda sama dengan. Dalam situasi seperti itu, perlu untuk mentransfer semua pecahan dengan x ke satu arah, dan angka ke arah lain.

• Cari x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Gerakkan 2x/5 ke kanan dengan tanda yang berlawanan: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Kami mengurangi 5x/5 dan mendapatkan: x = 130.

Bagaimana menyelesaikan persamaan dengan pecahan - x dalam penyebut

Jenis persamaan pecahan ini membutuhkan penulisan kondisi tambahan. Indikasi kondisi tersebut merupakan bagian wajib dan tidak terpisahkan dari keputusan yang tepat. Dengan tidak menghubungkannya, Anda mengambil risiko, karena jawabannya (bahkan jika itu benar) mungkin tidak dihitung.

Bentuk umum persamaan pecahan, di mana x adalah penyebutnya, adalah: a/x + b = c, di mana x adalah bilangan yang tidak diketahui, a, b, c adalah bilangan biasa. Perhatikan bahwa x mungkin bukan bilangan apa pun. Misalnya, x tidak boleh nol, karena Anda tidak dapat membagi dengan 0. Ini justru syarat tambahan yang harus kita tentukan. Ini disebut kisaran nilai yang dapat diterima, disingkat - ODZ.

Cari x: 15/x + 18 = 21.

Kami segera menulis ODZ untuk x: x 0. Sekarang ODZ ditunjukkan, kami menyelesaikan persamaan sesuai dengan skema standar, menghilangkan pecahan. Kami mengalikan semua suku persamaan dengan x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Seringkali ada persamaan di mana penyebut tidak hanya berisi x, tetapi juga beberapa operasi lain dengannya, misalnya, penambahan atau pengurangan.

Cari x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Kita telah mengetahui bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol, artinya x-3 0. Kita pindahkan -3 ke ruas kanan, sambil mengubah tanda “-” menjadi “+” dan diperoleh x 3. ODZ adalah ditunjukkan.

Selesaikan persamaan, kalikan semuanya dengan x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Pindahkan x ke kanan, angka ke kiri: 24 = 3x => x = 8.

Mari berkenalan dengan persamaan rasional rasional dan fraksional, memberikan definisinya, memberikan contoh, dan juga menganalisis jenis masalah yang paling umum.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Persamaan Rasional: Pengertian dan Contoh

Berkenalan dengan ekspresi rasional dimulai di kelas 8 sekolah. Pada saat ini, dalam pelajaran aljabar, siswa semakin mulai memenuhi tugas-tugas dengan persamaan yang mengandung ekspresi rasional dalam catatan mereka. Mari kita segarkan ingatan kita tentang apa itu.

Definisi 1

persamaan rasional adalah persamaan di mana kedua sisi mengandung ekspresi rasional.

Dalam berbagai manual, Anda dapat menemukan kata-kata lain.

Definisi 2

persamaan rasional- ini adalah persamaan, catatan sisi kiri yang berisi ekspresi rasional, dan yang kanan berisi nol.

Definisi yang kami berikan untuk persamaan rasional adalah ekuivalen, karena keduanya memiliki arti yang sama. Kebenaran kata-kata kami dikonfirmasi oleh fakta bahwa untuk ekspresi rasional apa pun P dan Q persamaan P=Q dan P Q = 0 akan menjadi ekspresi yang setara.

Sekarang mari kita beralih ke contoh.

Contoh 1

Persamaan rasional:

x = 1 , 2 x 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Persamaan rasional, seperti persamaan jenis lainnya, dapat berisi sejumlah variabel dari 1 hingga beberapa. Untuk memulainya, kita akan melihat contoh sederhana di mana persamaan hanya akan berisi satu variabel. Dan kemudian kita mulai secara bertahap memperumit tugas.

Persamaan rasional dibagi menjadi dua kelompok besar: bilangan bulat dan pecahan. Mari kita lihat persamaan mana yang akan berlaku untuk masing-masing grup.

Definisi 3

Persamaan rasional akan menjadi bilangan bulat jika catatan bagian kiri dan kanannya berisi seluruh ekspresi rasional.

Definisi 4

Persamaan rasional akan menjadi pecahan jika salah satu atau kedua bagiannya mengandung pecahan.

Persamaan rasional fraksional harus mengandung pembagian oleh variabel, atau variabel hadir dalam penyebut. Tidak ada pembagian seperti itu dalam menulis persamaan bilangan bulat.

Contoh 2

3 x + 2 = 0 dan (x + y) (3 x 2 1) + x = y + 0 , 5 adalah seluruh persamaan rasional. Di sini kedua bagian persamaan diwakili oleh ekspresi bilangan bulat.

1 x - 1 = x 3 dan x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x 1) : 5 adalah persamaan rasional fraksional.

Seluruh persamaan rasional termasuk persamaan linier dan kuadrat.

Memecahkan seluruh persamaan

Solusi dari persamaan tersebut biasanya direduksi menjadi transformasinya menjadi persamaan aljabar yang setara. Hal ini dapat dicapai dengan melakukan transformasi setara dari persamaan sesuai dengan algoritma berikut:

• pertama kita mendapatkan nol di sisi kanan persamaan, untuk ini perlu untuk mentransfer ekspresi yang ada di sisi kanan persamaan ke sisi kiri dan mengubah tanda;
• kemudian kita ubah ekspresi di ruas kiri persamaan menjadi polinomial bentuk standar.

Kita harus mendapatkan persamaan aljabar. Persamaan ini akan setara dengan persamaan aslinya. Kasus mudah memungkinkan kita untuk memecahkan masalah dengan mereduksi seluruh persamaan menjadi persamaan linier atau kuadrat. Dalam kasus umum, kami memecahkan persamaan aljabar derajat n.

Contoh 3

Hal ini diperlukan untuk menemukan akar dari seluruh persamaan 3 (x + 1) (x 3) = x (2 x 1) 3.

Keputusan

Mari kita ubah ekspresi aslinya untuk mendapatkan persamaan aljabar yang ekuivalen dengannya. Untuk melakukan ini, kita akan memindahkan ekspresi yang terdapat di ruas kanan persamaan ke ruas kiri dan mengubah tandanya menjadi kebalikannya. Hasilnya, kita mendapatkan: 3 (x + 1) (x 3) x (2 x 1) + 3 = 0.

Sekarang kita akan mengubah ekspresi di sisi kiri menjadi polinomial dari bentuk standar dan melakukan tindakan yang diperlukan dengan polinomial ini:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Kami berhasil mengurangi solusi persamaan asli menjadi solusi persamaan kuadrat dalam bentuk x 2 5 x 6 = 0. Diskriminan persamaan ini positif: D = (− 5) 2 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Ini berarti akan ada dua akar real. Mari kita cari menggunakan rumus akar persamaan kuadrat:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 atau x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 atau x 2 = - 1

Mari kita periksa kebenaran akar persamaan yang kita temukan dalam penyelesaian. Untuk nomor ini, yang kami terima, kami mengganti ke persamaan asli: 3 (6 + 1) (6 3) = 6 (2 6 1) 3 dan 3 (− 1 + 1) (− 1 3) = (− 1) (2 (− 1) 1) 3. Dalam kasus pertama 63 = 63 , di detik 0 = 0 . Akar x=6 dan x = 1 memang akar dari persamaan yang diberikan dalam kondisi contoh.

Menjawab: 6 , − 1 .

Mari kita lihat apa yang dimaksud dengan "kekuatan seluruh persamaan". Kita akan sering menemukan istilah ini dalam kasus-kasus ketika kita perlu merepresentasikan seluruh persamaan dalam bentuk aljabar. Mari kita definisikan konsepnya.

Definisi 5

Derajat persamaan bilangan bulat adalah derajat persamaan aljabar yang setara dengan seluruh persamaan asli.

Jika Anda melihat persamaan dari contoh di atas, Anda dapat menetapkan: derajat seluruh persamaan ini adalah yang kedua.

Jika kursus kami terbatas pada penyelesaian persamaan tingkat kedua, maka pembahasan topik dapat diselesaikan di sini. Tapi semuanya tidak begitu sederhana. Memecahkan persamaan tingkat ketiga penuh dengan kesulitan. Dan untuk persamaan di atas derajat keempat, tidak ada rumus umum untuk akar sama sekali. Dalam hal ini, penyelesaian seluruh persamaan derajat ketiga, keempat, dan derajat lainnya mengharuskan kita untuk menggunakan sejumlah teknik dan metode lain.

Pendekatan yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional didasarkan pada metode faktorisasi. Algoritma tindakan dalam hal ini adalah sebagai berikut:

• kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan ke sisi kiri sehingga nol tetap berada di sisi kanan catatan;
• kami mewakili ekspresi di sisi kiri sebagai produk dari faktor-faktor, dan kemudian kami beralih ke serangkaian persamaan yang lebih sederhana.

Contoh 4

Temukan solusi dari persamaan (x 2 1) (x 2 10 x + 13) = 2 x (x 2 10 x + 13) .

Keputusan

Kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan catatan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan: (x 2 1) (x 2 10 x + 13) 2 x (x 2 10 x + 13) = 0. Mengonversi ruas kiri ke polinomial bentuk standar tidak praktis karena fakta bahwa ini akan memberi kita persamaan aljabar derajat keempat: x 4 12 x 3 + 32 x 2 16 x 13 = 0. Kemudahan transformasi tidak membenarkan semua kesulitan dengan memecahkan persamaan seperti itu.

Jauh lebih mudah untuk pergi ke arah lain: kita menghilangkan faktor umum x 2 10 x + 13 . Jadi kita sampai pada persamaan bentuk (x 2 10 x + 13) (x 2 2 x 1) = 0. Sekarang kita ganti persamaan yang dihasilkan dengan himpunan dua persamaan kuadrat x 2 10 x + 13 = 0 dan x 2 2 x 1 = 0 dan cari akarnya melalui diskriminan: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Menjawab: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Demikian pula, kita dapat menggunakan metode memperkenalkan variabel baru. Metode ini memungkinkan kita untuk melewati persamaan setara dengan kekuatan lebih rendah daripada yang ada di seluruh persamaan asli.

Contoh 5

Apakah persamaan memiliki akar? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = 2 (x 2 + 3 x 4)?

Keputusan

Jika sekarang kita mencoba mereduksi seluruh persamaan rasional menjadi persamaan aljabar, kita akan mendapatkan persamaan derajat 4, yang tidak memiliki akar rasional. Oleh karena itu, akan lebih mudah bagi kita untuk pergi ke arah lain: perkenalkan variabel baru y, yang akan menggantikan ekspresi dalam persamaan x2 + 3x.

Sekarang kita akan bekerja dengan seluruh persamaan (y + 1) 2 + 10 = 2 (y 4). Kami mentransfer sisi kanan persamaan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan dan melakukan transformasi yang diperlukan. Kita mendapatkan: y 2 + 4 y + 3 = 0. Mari kita cari akar persamaan kuadrat: y = 1 dan y = 3.

Sekarang mari kita lakukan substitusi terbalik. Kami mendapatkan dua persamaan x 2 + 3 x = 1 dan x 2 + 3 x = - 3 . Mari kita tulis ulang menjadi x 2 + 3 x + 1 = 0 dan x 2 + 3 x + 3 = 0. Kami menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat untuk mencari akar-akar persamaan pertama yang diperoleh: - 3 ± 5 2 . Diskriminan persamaan kedua adalah negatif. Ini berarti persamaan kedua tidak memiliki akar real.

Menjawab:- 3 ± 5 2

Persamaan bilangan bulat derajat tinggi cukup sering ditemukan dalam masalah. Tidak perlu takut pada mereka. Anda harus siap untuk menerapkan metode non-standar untuk menyelesaikannya, termasuk sejumlah transformasi buatan.

Penyelesaian persamaan rasional fraksional

Kami memulai pembahasan subtopik ini dengan algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional fraksional dalam bentuk p (x) q (x) = 0 , di mana p(x) dan q(x) adalah ekspresi rasional bilangan bulat. Solusi persamaan rasional fraksional lainnya selalu dapat direduksi menjadi solusi persamaan bentuk yang ditunjukkan.

Metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan p (x) q (x) = 0 didasarkan pada pernyataan berikut: pecahan numerik kamu v, di mana v adalah bilangan yang berbeda dengan nol, sama dengan nol hanya dalam hal pembilang pecahan sama dengan nol. Mengikuti logika pernyataan di atas, kita dapat menyatakan bahwa solusi dari persamaan p (x) q (x) = 0 dapat direduksi menjadi pemenuhan dua kondisi: p(x)=0 dan q(x) 0. Pada ini, sebuah algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional dari bentuk p (x) q (x) = 0 dibangun:

• kami menemukan solusi dari seluruh persamaan rasional p(x)=0;
• kami memeriksa apakah kondisinya terpenuhi untuk akar yang ditemukan selama penyelesaian q(x) 0.

Jika kondisi ini terpenuhi, maka root ditemukan, jika tidak, maka root bukanlah solusi dari masalah.

Contoh 6

Carilah akar-akar persamaan 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Keputusan

Kita berurusan dengan persamaan rasional pecahan dalam bentuk p (x) q (x) = 0 , di mana p (x) = 3 · x 2 , q (x) = 5 · x 2 2 = 0 . Mari kita mulai menyelesaikan persamaan linear 3 x - 2 = 0. Akar persamaan ini adalah x = 2 3.

Mari kita periksa root yang ditemukan, apakah memenuhi kondisi 5 x 2 - 2 0. Untuk melakukan ini, gantikan nilai numerik ke dalam ekspresi. Kami mendapatkan: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 0.

Syaratnya terpenuhi. Ini berarti bahwa x = 2 3 adalah akar dari persamaan awal.

Menjawab: 2 3 .

Ada pilihan lain untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan p (x) q (x) = 0 . Ingatlah bahwa persamaan ini setara dengan seluruh persamaan p(x)=0 pada kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x dari persamaan asli. Hal ini memungkinkan kita untuk menggunakan algoritma berikut dalam menyelesaikan persamaan p(x) q(x) = 0:

• selesaikan persamaannya p(x)=0;
• temukan kisaran nilai yang dapat diterima untuk variabel x ;
• kami mengambil akar yang terletak di wilayah nilai yang dapat diterima dari variabel x sebagai akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli.

Contoh 7

Selesaikan persamaan x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Keputusan

Pertama, mari kita selesaikan persamaan kuadratnya x 2 2 x 11 = 0. Untuk menghitung akarnya, kami menggunakan rumus akar untuk koefisien kedua genap. Kita mendapatkan D 1 = (− 1) 2 1 (− 11) = 12, dan x = 1 ± 2 3 .

Sekarang kita dapat menemukan ODV dari x untuk persamaan aslinya. Ini semua adalah angka yang x 2 + 3 x 0. Ini sama dengan x (x + 3) 0, dari mana x 0, x 3 .

Sekarang mari kita periksa apakah akar x = 1 ± 2 3 yang diperoleh pada tahap pertama dari solusi berada dalam kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x . Kami melihat apa yang masuk. Ini berarti bahwa persamaan rasional pecahan asli memiliki dua akar x = 1 ± 2 3 .

Menjawab: x = 1 ± 2 3

Metode solusi kedua yang dijelaskan lebih sederhana daripada yang pertama dalam kasus di mana luas nilai yang dapat diterima dari variabel x mudah ditemukan, dan akar persamaan p(x)=0 irasional. Misalnya, 7 ± 4 26 9 . Akar bisa rasional, tetapi dengan pembilang atau penyebut yang besar. Sebagai contoh, 127 1101 dan − 31 59 . Ini menghemat waktu untuk memeriksa kondisi. q(x) 0: jauh lebih mudah untuk mengecualikan akar yang tidak sesuai, menurut ODZ.

Ketika akar-akar persamaan p(x)=0 adalah bilangan bulat, lebih bijaksana untuk menggunakan yang pertama dari algoritma yang dijelaskan untuk memecahkan persamaan bentuk p (x) q (x) = 0 . Menemukan akar seluruh persamaan lebih cepat p(x)=0, dan kemudian periksa apakah kondisinya terpenuhi untuk mereka q(x) 0, dan tidak menemukan ODZ, dan kemudian memecahkan persamaan p(x)=0 pada ODZ ini. Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu biasanya lebih mudah untuk melakukan pemeriksaan daripada menemukan ODZ.

Contoh 8

Cari akar persamaan (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Keputusan

Kita mulai dengan mempertimbangkan seluruh persamaan (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 dan menemukan akarnya. Untuk melakukan ini, kami menerapkan metode penyelesaian persamaan melalui faktorisasi. Ternyata persamaan asli ekuivalen dengan himpunan empat persamaan 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, yang tiga di antaranya linier dan satu persegi. Kami menemukan akarnya: dari persamaan pertama x = 1 2, dari yang kedua x=6, dari yang ketiga - x \u003d 7, x \u003d - 2, dari yang keempat - x = 1.

Mari kita periksa akar yang diperoleh. Sulit bagi kita untuk menentukan ODZ dalam kasus ini, karena untuk ini kita harus menyelesaikan persamaan aljabar derajat kelima. Akan lebih mudah untuk memeriksa kondisi di mana penyebut pecahan, yang ada di sisi kiri persamaan, tidak boleh hilang.

Pada gilirannya, gantikan akar di tempat variabel x dalam ekspresi x 5 15 x 4 + 57 x 3 13 x 2 + 26 x + 112 dan hitung nilainya:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 0;

6 5 15 6 4 + 57 6 3 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 0 ;

7 5 15 7 4 + 57 7 3 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = 720 0 ;

(− 1) 5 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Verifikasi yang dilakukan memungkinkan kita untuk menetapkan bahwa akar dari persamaan rasional pecahan asli adalah 1 2 , 6 dan − 2 .

Menjawab: 1 2 , 6 , - 2

Contoh 9

Temukan akar-akar persamaan rasional pecahan 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Keputusan

Mari kita mulai dengan persamaan (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Mari kita temukan akarnya. Lebih mudah bagi kita untuk merepresentasikan persamaan ini sebagai kombinasi persamaan kuadrat dan linier 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 dan x 2 = 0.

Kami menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat untuk mencari akar-akarnya. Kami mendapatkan dua akar x = 7 ± 69 10 dari persamaan pertama, dan dari yang kedua x=2.

Mengganti nilai akar ke dalam persamaan asli untuk memeriksa kondisinya akan cukup sulit bagi kita. Akan lebih mudah untuk menentukan LPV dari variabel x . Dalam hal ini, DPV dari variabel x adalah semua bilangan, kecuali yang memenuhi syarat x 2 + 5 x 14 = 0. Didapatkan: x - , - 7 - 7 , 2 2 , + .

Sekarang mari kita periksa apakah akar yang kita temukan termasuk dalam kisaran nilai yang dapat diterima untuk variabel x.

Akar x = 7 ± 69 10 - termasuk, oleh karena itu, mereka adalah akar dari persamaan asli, dan x=2- bukan milik, oleh karena itu, ini adalah root yang asing.

Menjawab: x = 7 ± 69 10 .

Mari kita periksa secara terpisah kasus-kasus ketika pembilang dari persamaan rasional pecahan berbentuk p (x) q (x) = 0 berisi angka. Dalam kasus seperti itu, jika pembilangnya berisi angka selain nol, maka persamaan tidak akan memiliki akar. Jika angka ini sama dengan nol, maka akar persamaan akan berupa angka apa pun dari ODZ.

Contoh 10

Selesaikan persamaan rasional pecahan - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Keputusan

Persamaan ini tidak akan memiliki akar, karena pembilang pecahan dari ruas kiri persamaan mengandung bilangan bukan nol. Ini berarti bahwa untuk setiap nilai x nilai pecahan yang diberikan dalam kondisi masalah tidak akan sama dengan nol.

Menjawab: tidak ada akar.

Contoh 11

Selesaikan persamaan 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Keputusan

Karena pembilang pecahan adalah nol, solusi persamaan akan berupa nilai x dari variabel ODZ x.

Sekarang mari kita definisikan ODZ. Ini akan mencakup semua nilai x yang untuknya x 4 + 5 x 3 0. Solusi persamaan x 4 + 5 x 3 = 0 adalah 0 dan − 5 , karena persamaan ini setara dengan persamaan x 3 (x + 5) = 0, dan itu, pada gilirannya, setara dengan himpunan dua persamaan x 3 = 0 dan x + 5 = 0 di mana akar ini terlihat. Kami sampai pada kesimpulan bahwa rentang nilai yang dapat diterima yang diinginkan adalah x , kecuali x=0 dan x = -5.

Ternyata persamaan rasional pecahan 0 x 4 + 5 x 3 = 0 memiliki banyak solusi, yang merupakan bilangan apa pun kecuali nol dan - 5.

Menjawab: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Sekarang mari kita bicara tentang persamaan rasional fraksional dari bentuk arbitrer dan metode untuk menyelesaikannya. Mereka dapat ditulis sebagai r(x) = s(x), di mana r(x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, dan setidaknya salah satunya adalah pecahan. Solusi persamaan tersebut direduksi menjadi solusi persamaan bentuk p (x) q (x) = 0 .

Kita sudah tahu bahwa kita bisa mendapatkan persamaan setara dengan mentransfer ekspresi dari sisi kanan persamaan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan. Ini berarti persamaan r(x) = s(x) setara dengan persamaan r (x) s (x) = 0. Kami juga telah membahas bagaimana mengubah ekspresi rasional menjadi pecahan rasional. Berkat ini, kita dapat dengan mudah mengubah persamaan r (x) s (x) = 0 ke dalam pecahan rasional identik dari bentuk p (x) q (x) .

Jadi kita pindah dari persamaan rasional pecahan asli r(x) = s(x) ke persamaan bentuk p (x) q (x) = 0 , yang telah kita pelajari cara menyelesaikannya.

Perlu dicatat bahwa ketika membuat transisi dari r (x) s (x) = 0 ke p (x) q (x) = 0 dan kemudian ke p(x)=0 kami mungkin tidak memperhitungkan perluasan rentang nilai valid dari variabel x .

Cukup realistis bahwa persamaan aslinya r(x) = s(x) dan persamaan p(x)=0 sebagai hasil dari transformasi, mereka akan berhenti menjadi setara. Maka solusi persamaan p(x)=0 dapat memberi kita akar yang akan asing bagi r(x) = s(x). Dalam hal ini, dalam setiap kasus perlu dilakukan pemeriksaan dengan salah satu metode yang dijelaskan di atas.

Untuk memudahkan Anda mempelajari topik, kami telah menggeneralisasi semua informasi ke dalam algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dalam bentuk r(x) = s(x):

• kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan dengan tanda yang berlawanan dan mendapatkan nol di sebelah kanan;
• kami mengubah ekspresi asli menjadi pecahan rasional p (x) q (x) dengan melakukan tindakan secara berurutan dengan pecahan dan polinomial;
• selesaikan persamaannya p(x)=0;
• kami mengungkapkan akar asing dengan memeriksa milik mereka ke ODZ atau dengan mengganti ke persamaan asli.

Secara visual, rangkaian tindakan akan terlihat seperti ini:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → putus sekolah r o n d e r o n s

Contoh 12

Selesaikan persamaan rasional pecahan x x + 1 = 1 x + 1 .

Keputusan

Mari kita beralih ke persamaan x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Mari kita ubah ekspresi rasional pecahan di ruas kiri persamaan ke bentuk p (x) q (x) .

Untuk melakukan ini, kita harus mengurangi pecahan rasional menjadi penyebut yang sama dan menyederhanakan ekspresi:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Untuk mencari akar persamaan - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, kita perlu menyelesaikan persamaan 2 x 1 = 0. Kami mendapatkan satu root x = - 1 2.

Tetap bagi kami untuk melakukan pemeriksaan dengan salah satu metode. Mari kita pertimbangkan keduanya.

Substitusikan nilai yang dihasilkan ke persamaan awal. Kami mendapatkan - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Kami telah sampai pada persamaan numerik yang benar − 1 = − 1 . Ini berarti bahwa x = 1 2 adalah akar dari persamaan awal.

Sekarang kita akan memeriksa melalui ODZ. Mari kita tentukan luas nilai yang dapat diterima untuk variabel x . Ini akan menjadi seluruh himpunan angka, kecuali untuk 1 dan 0 (bila x = 1 dan x = 0, penyebut pecahan hilang). Akar yang kita dapatkan x = 1 2 milik ODZ. Ini berarti bahwa itu adalah akar dari persamaan asli.

Menjawab: − 1 2 .

Contoh 13

Temukan akar-akar persamaan x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Keputusan

Kita berurusan dengan persamaan rasional pecahan. Oleh karena itu, kami akan bertindak sesuai dengan algoritma.

Mari pindahkan ekspresi dari ruas kanan ke kiri dengan tanda yang berlawanan: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Mari kita lakukan transformasi yang diperlukan: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Kami sampai pada persamaan x=0. Akar persamaan ini adalah nol.

Mari kita periksa apakah akar ini adalah akar asing untuk persamaan aslinya. Substitusikan nilai ke persamaan awal: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Seperti yang Anda lihat, persamaan yang dihasilkan tidak masuk akal. Ini berarti bahwa 0 adalah akar asing, dan persamaan rasional pecahan asli tidak memiliki akar.

Menjawab: tidak ada akar.

Jika kita belum memasukkan transformasi ekuivalen lainnya dalam algoritme, ini tidak berarti sama sekali bahwa transformasi tersebut tidak dapat digunakan. Algoritme bersifat universal, tetapi dirancang untuk membantu, bukan membatasi.

Contoh 14

Selesaikan persamaan 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Keputusan

Cara termudah adalah dengan menyelesaikan persamaan rasional fraksional yang diberikan sesuai dengan algoritma. Tetapi ada cara lain. Mari kita pertimbangkan.

Kurangi dari bagian kanan dan kiri 7, kita mendapatkan: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ekspresi penyebut ruas kiri harus sama dengan kebalikan bilangan dari ruas kanan, yaitu 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Kurangi dari kedua bagian 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Dengan analogi 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, dari mana 1 5 - x 2 \u003d 1 3, dan selanjutnya 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Mari kita periksa untuk menentukan apakah akar yang ditemukan adalah akar dari persamaan aslinya.

Menjawab: x = ± 2

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter