X 3 3x 2 10x 24

x 32 x 2

24 10 x

x2 x12

ax 2 bx c , di mana a ,b dan c diberi nomor, dan a 0 .

Kami mengubah trinomial persegi ax 2 bx c sebagai berikut.

x2 :

koefisien

x ):a x

yang merupakan kuadrat dari suatu bilangan

Hasilnya, kita mendapatkan:

Sekarang perhatikan itu

Mendapatkan

4a 2

Contoh. Pilih persegi penuh.

2x12

2x2 4x5 2x2 2x5

2x2 2x1 15

a r 1a r 2a r 1r 2,

3. a r 1r 2 a r 1r 2,

4. abr 1 ar 1 br 1,

r 1

ar 1

br 1

1. Kalikan 8

x3 12x7.

24x23.

8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24

2. Faktorkan

a2x3

3 tahun 3 ;

4 3 85

16 6

2 520 9 519

16 0,25

16 0,25

Definisi

Ekspresi seperti 2 x 2 + 3 x + 5 disebut trinomial persegi. Dalam kasus umum, trinomial persegi adalah ekspresi dari bentuk a x 2 + b x + c, di mana a, b, c a, b, c adalah bilangan arbitrer, dan a 0.

Pertimbangkan trinomial persegi x 2 - 4 x + 5 . Mari kita tuliskan dalam bentuk ini: x 2 - 2 2 x + 5. Mari tambahkan 2 2 ke ekspresi ini dan kurangi 2 2 , kita mendapatkan: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Perhatikan bahwa x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, jadi x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Transformasi yang kami buat disebut "pemilihan persegi penuh dari trinomial persegi".

Pilih kuadrat sempurna dari trinomial kuadrat 9 x 2 + 3 x + 1 .

Perhatikan bahwa 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Kemudian `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Tambahkan dan kurangi ke ekspresi yang dihasilkan `(1/2)^2`, kita mendapatkan

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Mari kita tunjukkan bagaimana metode mengekstraksi persegi penuh dari trinomial persegi digunakan untuk memfaktorkan trinomial persegi.

Faktorkan trinomial persegi 4 x 2 - 12 x + 5 .

Kami memilih persegi penuh dari trinomial persegi: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Sekarang terapkan rumus a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , kita mendapatkan: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1) .

Faktorkan trinomial kuadrat - 9 x 2 + 12 x + 5 .

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Sekarang perhatikan bahwa 9 x 2 = 3 x 2 , - 12 x = - 2 3 x 2 .

Kami menambahkan istilah 2 2 ke ekspresi 9 x 2 - 12 x, kami mendapatkan:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3x - 2 2 .

Kami menerapkan rumus untuk perbedaan kuadrat, kami memiliki:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Faktorkan trinomial bujur sangkar 3 x 2 - 14 x - 5 .

Kami tidak dapat merepresentasikan ekspresi 3 x 2 sebagai kuadrat dari beberapa ekspresi karena kami belum mempelajarinya di sekolah. Anda akan melalui ini nanti, dan sudah di Tugas No. 4 kita akan mempelajari akar kuadrat. Mari kita tunjukkan bagaimana kita dapat memfaktorkan trinomial persegi yang diberikan:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Kami akan menunjukkan bagaimana metode kuadrat penuh digunakan untuk menemukan nilai terbesar atau terkecil dari trinomial kuadrat.
Pertimbangkan trinomial persegi x 2 - x + 3 . Memilih kotak penuh:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Perhatikan bahwa ketika `x=1/2` nilai trinomial kuadrat adalah `11/4`, dan ketika `x!=1/2` sebuah bilangan positif ditambahkan ke nilai `11/4`, jadi kita dapatkan angka yang lebih besar dari `11/4`. Jadi, nilai terkecil dari trinomial kuadrat adalah `11/4` dan diperoleh dengan `x=1/2`.

Temukan nilai terbesar dari trinomial persegi - 16 2 + 8 x + 6 .

Kami memilih persegi penuh dari trinomial persegi: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Dengan `x=1/4` nilai trinomial kuadratnya adalah 7 , dan dengan `x!=1/4` bilangan positif dikurangi dari bilangan 7, yaitu, kita mendapatkan bilangan yang kurang dari 7 . Jadi, angka 7 adalah nilai terbesar dari trinomial kuadrat, dan diperoleh dengan `x=1/4`.

Faktorkan pembilang dan penyebut dari `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` dan batalkan pecahan.

Perhatikan bahwa penyebut pecahan x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 . Kami menguraikan pembilang pecahan menjadi faktor-faktor menggunakan metode mengekstraksi kuadrat penuh dari trinomial kuadrat. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Pecahan ini direduksi menjadi bentuk `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` setelah dikurangi dengan (x - 3) kita mendapatkan `(x+5)/(x-3 )`.

Faktorkan polinomial x 4 - 13 x 2 + 36.

Mari kita terapkan metode kuadrat penuh pada polinomial ini. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

Seperti yang telah saya catat, dalam kalkulus integral tidak ada rumus yang mudah untuk mengintegrasikan pecahan. Dan karena itu, ada tren yang menyedihkan: semakin "mewah" pecahan, semakin sulit untuk menemukan integral darinya. Dalam hal ini, seseorang harus menggunakan berbagai trik, yang sekarang akan saya bahas. Pembaca yang siap dapat segera menggunakan Daftar isi:

• Cara menjumlahkan di bawah tanda diferensial untuk pecahan sederhana

Metode Transformasi Buatan Numerator

Contoh 1

Omong-omong, integral yang dipertimbangkan juga dapat diselesaikan dengan perubahan metode variabel, yang dinotasikan , tetapi penyelesaiannya akan lebih lama.

Contoh 2

Temukan integral tak tentu. Jalankan cek.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Perlu dicatat bahwa di sini metode penggantian variabel tidak akan berfungsi lagi.

Perhatian penting! Contoh No. 1, 2 adalah tipikal dan umum. Secara khusus, integral seperti itu sering muncul dalam penyelesaian integral lain, khususnya, ketika mengintegrasikan fungsi irasional (akar).

Metode di atas juga berfungsi dalam kasus ini jika pangkat tertinggi dari pembilangnya lebih besar dari pangkat tertinggi dari penyebutnya.

Contoh 3

Temukan integral tak tentu. Jalankan cek.

Mari kita mulai dengan pembilangnya.

Algoritma pemilihan pembilang adalah seperti ini:

1) Di pembilang saya perlu mengatur , tapi ada . Apa yang harus dilakukan? Saya lampirkan dalam tanda kurung dan kalikan dengan: .

2) Sekarang saya mencoba membuka tanda kurung ini, apa yang terjadi? . Hmm… sudah lebih baik, tapi tidak ada deuce dengan awalnya di pembilangnya. Apa yang harus dilakukan? Anda perlu mengalikan dengan:

3) Membuka kurung lagi: . Dan inilah kesuksesan pertama! Dibutuhkan ternyata! Tapi masalahnya adalah istilah tambahan telah muncul. Apa yang harus dilakukan? Agar ekspresi tidak berubah, saya harus menambahkan hal yang sama ke konstruksi saya:
. Hidup menjadi lebih mudah. Apakah mungkin untuk mengatur lagi di pembilang?

4) Anda bisa. Kita coba: . Perluas tanda kurung dari suku kedua:
. Maaf, tapi sebenarnya saya sudah di langkah sebelumnya, dan tidak . Apa yang harus dilakukan? Kita perlu mengalikan suku kedua dengan:

5) Sekali lagi, untuk verifikasi, saya membuka tanda kurung di term kedua:
. Sekarang sudah biasa: diperoleh dari konstruksi akhir paragraf 3! Tetapi sekali lagi ada "tetapi" kecil, istilah tambahan telah muncul, yang berarti bahwa saya harus menambahkan ekspresi saya:

Jika semuanya dilakukan dengan benar, maka saat membuka semua kurung, kita harus mendapatkan pembilang asli dari integran. Kami memeriksa:
Bagus.

Dengan demikian:

Siap. Dalam istilah terakhir, saya menerapkan metode membawa fungsi di bawah diferensial.

Jika kita menemukan turunan dari jawabannya dan mengurangi ekspresi menjadi penyebut yang sama, maka kita mendapatkan integran aslinya dengan tepat. Metode ekspansi yang dipertimbangkan menjadi jumlah tidak lebih dari tindakan terbalik untuk membawa ekspresi ke penyebut yang sama.

Algoritme pemilihan pembilang dalam contoh seperti itu paling baik dilakukan pada konsep. Dengan beberapa keterampilan, itu juga akan bekerja secara mental. Saya ingat catatan waktu ketika saya melakukan seleksi untuk kekuatan ke-11, dan perluasan pembilang mengambil hampir dua baris Werd.

Contoh 4

Temukan integral tak tentu. Jalankan cek.

Ini adalah contoh do-it-yourself.

Cara menjumlahkan di bawah tanda diferensial untuk pecahan sederhana

Mari kita beralih ke jenis pecahan berikutnya.
, , , (koefisien dan tidak sama dengan nol).

Faktanya, beberapa kasus dengan arcsine dan arctangent telah dimasukkan ke dalam pelajaran Metode perubahan variabel dalam integral tak tentu. Contoh-contoh tersebut diselesaikan dengan membawa fungsi di bawah tanda diferensial dan kemudian mengintegrasikan menggunakan tabel. Berikut adalah beberapa contoh yang lebih umum dengan logaritma panjang dan tinggi:

Contoh 5

Contoh 6

Di sini disarankan untuk mengambil tabel integral dan mengikuti rumus dan sebagai transformasi terjadi. Catatan, bagaimana dan mengapa kotak disorot dalam contoh-contoh ini. Khususnya, dalam Contoh 6, pertama-tama kita harus menyatakan penyebutnya sebagai , kemudian bawa di bawah tanda diferensial. Dan Anda perlu melakukan semua ini untuk menggunakan rumus tabel standar .

Tapi apa yang harus dilihat, coba selesaikan sendiri contoh No. 7,8, terutama karena cukup singkat:

Contoh 7

Contoh 8

Tentukan integral tak tentu:

Jika Anda juga dapat memeriksa contoh-contoh ini, maka rasa hormat yang besar adalah keterampilan diferensiasi Anda yang terbaik.

Metode pemilihan kotak penuh

Integral bentuk , (koefisien dan tidak sama dengan nol) diselesaikan metode pemilihan kotak penuh, yang sudah muncul di pelajaran Transformasi Plot Geometris.

Faktanya, integral tersebut direduksi menjadi salah satu dari empat integral tabel yang baru saja kita bahas. Dan ini dicapai dengan menggunakan rumus perkalian singkat yang sudah dikenal:

Rumus diterapkan ke arah ini, yaitu, ide metode ini adalah untuk secara artifisial mengatur ekspresi dalam penyebut atau , dan kemudian mengonversinya, masing-masing, menjadi atau .

Contoh 9

Tentukan integral tak tentu

Ini adalah contoh paling sederhana di mana dengan istilah - koefisien satuan(dan bukan angka atau minus).

Kami melihat penyebutnya, di sini semuanya jelas direduksi menjadi kasus. Mari kita mulai mengubah penyebutnya:

Jelas, Anda perlu menambahkan 4. Dan agar ekspresi tidak berubah - empat yang sama dan kurangi:

Sekarang Anda dapat menerapkan rumus:

Setelah konversi selesai SELALU diinginkan untuk melakukan gerakan terbalik: semuanya baik-baik saja, tidak ada kesalahan.

Desain bersih dari contoh yang dimaksud akan terlihat seperti ini:

Siap. Membawa fungsi kompleks "bebas" di bawah tanda diferensial: , pada prinsipnya, dapat diabaikan

Contoh 10

Tentukan integral tak tentu:

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri, jawabannya ada di akhir pelajaran.

Contoh 11

Tentukan integral tak tentu:

Apa yang harus dilakukan ketika ada minus di depan? Dalam hal ini, Anda perlu menghilangkan tanda kurung dan mengatur persyaratan dalam urutan yang kita butuhkan:. Konstan("ganda" dalam hal ini) Jangan sentuh!

Sekarang kita tambahkan satu dalam tanda kurung. Menganalisis ekspresi, kami sampai pada kesimpulan bahwa kami membutuhkannya di belakang braket - tambahkan:

Ini rumusnya, terapkan:

SELALU kami melakukan pemeriksaan pada draft:
, yang akan diverifikasi.

Desain bersih dari contoh terlihat seperti ini:

Kami memperumit tugas

Contoh 12

Tentukan integral tak tentu:

Di sini, dengan istilah, itu bukan lagi koefisien tunggal, tetapi "lima".

(1) Jika konstanta ditemukan di, maka kami segera mengeluarkannya dari tanda kurung.

(2) Secara umum, selalu lebih baik untuk mengeluarkan konstanta ini dari integral, sehingga tidak menghalangi.

(3) Jelas bahwa semuanya akan direduksi menjadi formula. Perlu untuk memahami istilah, yaitu, untuk mendapatkan "dua"

(4) Ya, . Jadi, kita tambahkan ke ekspresi, dan kurangi pecahan yang sama.

(5) Sekarang pilih kotak penuh. Dalam kasus umum, juga perlu untuk menghitung , tetapi di sini kita memiliki rumus logaritma yang panjang , dan tindakan tidak masuk akal untuk dilakukan, mengapa - itu akan menjadi jelas sedikit lebih rendah.

(6) Sebenarnya, kita bisa menerapkan rumus , hanya alih-alih "x" yang kita miliki, yang tidak meniadakan validitas integral tabular. Sebenarnya, satu langkah tidak ada - sebelum integrasi, fungsi seharusnya berada di bawah tanda diferensial: , tetapi, seperti yang telah berulang kali saya catat, ini sering diabaikan.

(7) Dalam jawaban di bawah root, diinginkan untuk membuka kembali semua tanda kurung:

Rumit? Ini bukan yang paling sulit dalam kalkulus integral. Meskipun, contoh-contoh yang dipertimbangkan tidak terlalu rumit karena memerlukan teknik perhitungan yang baik.

Contoh 13

Tentukan integral tak tentu:

Ini adalah contoh do-it-yourself. Jawab di akhir pelajaran.

Ada integral dengan akar di penyebut, yang, dengan bantuan pengganti, direduksi menjadi integral dari jenis yang dipertimbangkan, Anda dapat membacanya di artikel Integral kompleks, tetapi dirancang untuk siswa yang sangat siap.

Menempatkan pembilang di bawah tanda diferensial

Ini adalah bagian terakhir dari pelajaran, namun, integral jenis ini cukup umum! Jika kelelahan sudah menumpuk, mungkin lebih baik membaca besok? ;)

Integral yang akan kita bahas mirip dengan integral paragraf sebelumnya, mereka memiliki bentuk: atau (koefisien , dan tidak sama dengan nol).

Artinya, kita memiliki fungsi linier dalam pembilangnya. Bagaimana cara menyelesaikan integral seperti itu?

Kalkulator daring.
Pemilihan kuadrat binomial dan faktorisasi trinomial kuadrat.

Itu. masalahnya direduksi menjadi menemukan bilangan \(p, q \) dan \(n, m \)

Program tidak hanya memberikan jawaban atas masalah, tetapi juga menampilkan proses solusi.

Program ini dapat bermanfaat bagi siswa SMA dalam persiapan menghadapi ujian dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum UN Unified State, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian berbagai masalah matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikan pekerjaan rumah matematika atau aljabar Anda secepat mungkin? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.

Dengan cara ini, Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau pelatihan adik-adik Anda, sementara tingkat pendidikan di bidang tugas yang harus diselesaikan meningkat.

Jika Anda tidak terbiasa dengan aturan untuk memasukkan trinomial persegi, kami sarankan Anda membiasakan diri dengan mereka.

Aturan untuk memasukkan polinomial persegi

Setiap huruf Latin dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) dll.

Angka dapat dimasukkan sebagai bilangan bulat atau pecahan.
Selain itu, bilangan pecahan dapat dimasukkan tidak hanya dalam bentuk desimal, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.

Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Dalam pecahan desimal, bagian pecahan dari bilangan bulat dapat dipisahkan dengan titik atau koma.
Misalnya, Anda dapat memasukkan desimal seperti ini: 2.5x - 3.5x^2

Aturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat berperan sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat dari suatu pecahan.

Penyebutnya tidak boleh negatif.

Saat memasukkan pecahan numerik, pembilang dipisahkan dari penyebut dengan tanda pembagian: /
Bagian bilangan bulat dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &
Masukan: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Hasil: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

Saat memasukkan ekspresi Anda dapat menggunakan tanda kurung. Dalam hal ini, saat menyelesaikan, ekspresi yang diperkenalkan pertama kali disederhanakan.
Misalnya: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Contoh Solusi Terperinci

Pemilihan kuadrat binomial.$$ ax^2+bx+c \panah kanan a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Menjawab:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorisasi.$$ ax^2+bx+c \panah kanan a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\kiri(x^2+x-2 \kanan) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \kanan) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Menjawab:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.

Karena Ada banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan Anda diantrekan.
Setelah beberapa detik, solusi akan muncul di bawah ini.
Mohon tunggu detik...

Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, maka Anda dapat menulisnya di Formulir Umpan Balik.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke lapangan.

Game, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Ekstraksi binomial persegi dari trinomial persegi

Jika trinomial bujur sangkar ax 2 + bx + c direpresentasikan sebagai a (x + p) 2 + q, di mana p dan q adalah bilangan real, maka mereka mengatakan bahwa dari trinomial persegi, kuadrat binomial disorot.

Mari kita ekstrak kuadrat binomial dari trinomial 2x 2 +12x+14.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Untuk melakukan ini, kami mewakili 6x sebagai produk dari 2 * 3 * x, dan kemudian menambah dan mengurangi 3 2 . Kita mendapatkan:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Itu. kami memilih kuadrat binomial dari trinomial kuadrat, dan menunjukkan bahwa:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktorisasi trinomial persegi

Jika trinomial kuadrat ax 2 +bx+c direpresentasikan sebagai a(x+n)(x+m), di mana n dan m adalah bilangan real, maka operasi tersebut dikatakan dilakukan faktorisasi trinomial persegi.

Mari kita gunakan contoh untuk menunjukkan bagaimana transformasi ini dilakukan.

Mari kita faktorkan trinomial kuadrat 2x 2 +4x-6.

Mari kita ambil koefisien a dari tanda kurung, mis. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Mari kita ubah ekspresi dalam tanda kurung.
Untuk melakukan ini, kami mewakili 2x sebagai perbedaan 3x-1x, dan -3 sebagai -1*3. Kita mendapatkan:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Itu. kami faktorkan trinomial kuadrat, dan menunjukkan bahwa:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Perhatikan bahwa faktorisasi suatu trinomial bujur sangkar hanya mungkin jika persamaan kuadrat yang bersesuaian dengan trinomial ini memiliki akar-akar.
Itu. dalam kasus kami, memfaktorkan trinomial 2x 2 +4x-6 dimungkinkan jika persamaan kuadrat 2x 2 +4x-6 =0 memiliki akar. Dalam proses pemfaktoran, kami menemukan bahwa persamaan 2x 2 +4x-6 =0 memiliki dua akar 1 dan -3, karena dengan nilai-nilai ini, persamaan 2(x-1)(x+3)=0 berubah menjadi persamaan sejati.

Dalam pelajaran ini, kita akan mengingat semua metode pemfaktoran polinomial yang telah dipelajari sebelumnya dan mempertimbangkan contoh penerapannya, selain itu, kita akan mempelajari metode baru - metode kuadrat penuh dan belajar bagaimana menerapkannya dalam menyelesaikan berbagai masalah.

Subjek:Memfaktorkan polinomial

Pelajaran:Faktorisasi polinomial. Metode seleksi persegi penuh. Kombinasi metode

Ingat metode utama untuk memfaktorkan polinomial yang telah dipelajari sebelumnya:

Metode mengeluarkan faktor persekutuan dari kurung, yaitu faktor yang ada di semua anggota polinomial. Pertimbangkan sebuah contoh:

Ingatlah bahwa monomial adalah produk dari kekuatan dan angka. Dalam contoh kita, kedua anggota memiliki beberapa elemen yang sama dan identik.

Jadi, mari kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung:

;

Ingat bahwa dengan mengalikan pengganda yang diberikan dengan tanda kurung, Anda dapat memeriksa kebenaran rendering.

metode pengelompokan. Tidak selalu mungkin untuk mengambil faktor persekutuan dalam polinomial. Dalam hal ini, Anda perlu membagi anggotanya menjadi beberapa kelompok sedemikian rupa sehingga dalam setiap kelompok Anda dapat mengambil faktor persekutuan dan mencoba memecahnya sehingga setelah mengambil faktor dalam kelompok, muncul faktor persekutuan untuk seluruh ekspresi, dan ekspansi dapat dilanjutkan. Pertimbangkan sebuah contoh:

Kelompokkan suku pertama dengan suku keempat, suku kedua dengan suku kelima, dan suku ketiga dengan suku keenam:

Mari kita keluarkan faktor-faktor umum dalam grup:

Ekspresi memiliki faktor yang sama. Mari kita keluarkan:

Penerapan rumus perkalian disingkat. Pertimbangkan sebuah contoh:

;

Mari kita menulis ekspresi secara rinci:

Jelas, kita memiliki sebelum kita rumus untuk kuadrat dari perbedaan, karena ada jumlah kuadrat dari dua ekspresi dan produk ganda mereka dikurangkan darinya. Mari kita gulung dengan rumus:

Hari ini kita akan belajar cara lain - metode pemilihan kotak penuh. Ini didasarkan pada rumus kuadrat jumlah dan kuadrat selisih. Ingat mereka:

Rumus kuadrat jumlah (selisih);

Keunikan formula ini adalah bahwa formula tersebut mengandung kuadrat dari dua ekspresi dan produk gandanya. Pertimbangkan sebuah contoh:

Mari kita tulis ekspresinya:

Jadi ekspresi pertama adalah , dan yang kedua .

Untuk membuat rumus kuadrat dari jumlah atau perbedaan, produk ganda dari ekspresi tidak cukup. Itu perlu ditambahkan dan dikurangi:

Mari kita ciutkan kuadrat penuh dari jumlah:

Mari kita ubah ekspresi yang dihasilkan:

Kami menerapkan perbedaan rumus kuadrat, ingat bahwa perbedaan kuadrat dari dua ekspresi adalah produk dan jumlah dengan perbedaannya:

Jadi, metode ini terdiri, pertama-tama, pada kenyataan bahwa perlu untuk mengidentifikasi ekspresi a dan b yang dikuadratkan, yaitu, untuk menentukan ekspresi mana yang dikuadratkan dalam contoh ini. Setelah itu, Anda perlu memeriksa keberadaan produk ganda, dan jika tidak ada, tambahkan dan kurangi, ini tidak akan mengubah arti contoh, tetapi polinomial dapat difaktorkan menggunakan rumus kuadrat jumlah atau selisih dan selisih kuadrat, jika memungkinkan.

Mari kita beralih ke memecahkan contoh.

Contoh 1 - faktorkan:

Temukan ekspresi yang dikuadratkan:

Mari kita tulis apa produk ganda mereka seharusnya:

Mari kita tambahkan dan kurangi produk ganda:

Mari kita ciutkan kuadrat penuh dari jumlah tersebut dan berikan yang serupa:

Kami akan menulis sesuai dengan rumus selisih kuadrat:

Contoh 2 - selesaikan persamaan:

;

Ada trinomial di sisi kiri persamaan. Anda perlu memfaktorkannya. Kami menggunakan rumus kuadrat selisih:

Kami memiliki kuadrat dari ekspresi pertama dan produk ganda, kuadrat dari ekspresi kedua hilang, mari kita tambahkan dan kurangi:

Mari kita ciutkan kotak penuh dan berikan suku-suku serupa:

Mari kita terapkan rumus selisih kuadrat:

Jadi kita punya persamaan

Kita tahu bahwa hasil kali sama dengan nol hanya jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol. Berdasarkan ini, kami akan menulis persamaan:

Selesaikan persamaan pertama:

Mari selesaikan persamaan kedua:

Jawaban: atau

;

Kami bertindak mirip dengan contoh sebelumnya - pilih kuadrat perbedaannya.