Dasar-dasar penyelesaian persamaan diferensial tak homogen linier orde kedua (LNDE-2) dengan koefisien konstan (PC)

CLDE orde kedua dengan koefisien konstan $p$ dan $q$ memiliki bentuk $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, di mana $f\left( x \kanan)$ adalah fungsi kontinu.

Dua pernyataan berikut ini benar sehubungan dengan LNDE ke-2 dengan PC.

Asumsikan bahwa beberapa fungsi $U$ adalah solusi khusus arbitrer dari persamaan diferensial tak homogen. Mari kita juga mengasumsikan bahwa beberapa fungsi $Y$ adalah solusi umum (OR) dari persamaan diferensial homogen linier (LODE) yang sesuai $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Maka OR dari LNDE-2 sama dengan jumlah dari solusi pribadi dan umum yang ditunjukkan, yaitu $y=U+Y$.

Jika ruas kanan LIDE orde ke-2 adalah jumlah fungsi, yaitu $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right )+...+f_(r) \left(x\right)$, maka pertama-tama Anda dapat menemukan PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ yang sesuai dengan masing-masing dari fungsi $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, dan setelah itu tulis LNDE-2 PD sebagai $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Solusi LNDE orde ke-2 dengan PC

Jelas, bentuk satu atau lain PD $U$ dari LNDE-2 yang diberikan bergantung pada bentuk spesifik dari ruas kanannya $f\left(x\right)$. Kasus pencarian PD LNDE-2 yang paling sederhana dirumuskan sebagai empat aturan berikut.

Aturan nomor 1.

Ruas kanan LNDE-2 berbentuk $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, dengan $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, yaitu disebut a polinomial derajat $n$. Kemudian PR $U$-nya dicari dalam bentuk $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, di mana $Q_(n) \left(x\right)$ adalah yang lain polinomial dengan derajat yang sama dengan $P_(n) \left(x\right)$, dan $r$ adalah jumlah akar nol dari persamaan karakteristik dari LODE-2 yang sesuai. Koefisien polinomial $Q_(n) \left(x\right)$ ditemukan dengan metode koefisien tak tentu (NC).

Aturan nomor 2.

Ruas kanan LNDE-2 berbentuk $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, dimana $P_(n) \left( x\right)$ adalah polinomial dengan derajat $n$. Kemudian dicari PD $U$nya dalam bentuk $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, dimana $Q_(n ) \ left(x\right)$ adalah polinomial lain dengan derajat yang sama dengan $P_(n) \left(x\right)$, dan $r$ adalah jumlah akar dari persamaan karakteristik dari LODE-2 yang sesuai sama dengan $\alfa $. Koefisien polinomial $Q_(n) \left(x\right)$ ditemukan dengan metode NK.

Aturan nomor 3.

Bagian kanan LNDE-2 berbentuk $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, di mana $a$, $b$ dan $\beta $ adalah bilangan yang diketahui. Kemudian dicari PD $U$nya dalam bentuk $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right )\kanan )\cdot x^(r) $, di mana $A$ dan $B$ adalah koefisien yang tidak diketahui, dan $r$ adalah jumlah akar persamaan karakteristik dari LODE-2 yang sesuai sama dengan $i\cdot \beta $. Koefisien $A$ dan $B$ ditemukan dengan metode NDT.

Aturan nomor 4.

Ruas kanan LNDE-2 adalah $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, dengan $P_(n) \left(x\right)$ adalah polinomial berderajat $ n$, dan $P_(m) \left(x\right)$ adalah polinomial berderajat $m$. Kemudian dicari PD $U$nya dalam bentuk $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, dimana $Q_(s) \left(x\right) $ dan $ R_(s) \left(x\right)$ adalah polinomial berderajat $s$, bilangan $s$ adalah maksimum dari dua bilangan $n$ dan $m$, dan $r$ adalah bilangan akar persamaan karakteristik dari LODE-2 yang sesuai, sama dengan $\alpha +i\cdot \beta $. Koefisien polinomial $Q_(s) \left(x\right)$ dan $R_(s) \left(x\right)$ ditemukan dengan metode NK.

Metode NK terdiri dari penerapan aturan berikut. Untuk menemukan koefisien polinomial yang tidak diketahui, yang merupakan bagian dari solusi khusus persamaan diferensial tidak homogen LNDE-2, perlu:

• gantikan PD $U$, yang ditulis dalam bentuk umum, ke bagian kiri LNDE-2;
• di sisi kiri LNDE-2, lakukan penyederhanaan dan kelompokkan suku dengan pangkat yang sama $x$;
• dalam identitas yang dihasilkan, samakan koefisien suku dengan pangkat yang sama $x$ dari ruas kiri dan kanan;
• memecahkan sistem persamaan linear yang dihasilkan untuk koefisien yang tidak diketahui.

Contoh 1

Tugas: temukan OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Juga temukan PR , memenuhi kondisi awal $y=6$ untuk $x=0$ dan $y"=1$ untuk $x=0$.

Tulis LODA-2 yang sesuai: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Persamaan karakteristik: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Akar persamaan karakteristik: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Akar-akar ini nyata dan berbeda. Jadi, OR dari LODE-2 yang sesuai memiliki bentuk: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Bagian kanan dari LNDE-2 ini berbentuk $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Penting untuk mempertimbangkan koefisien eksponen dari eksponen $\alpha =3$. Koefisien ini tidak sesuai dengan salah satu akar persamaan karakteristik. Oleh karena itu, PR dari LNDE-2 ini memiliki bentuk $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Kita akan mencari koefisien $A$, $B$ menggunakan metode NK.

Kami menemukan turunan pertama dari CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \kanan)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\kanan)\cdot e^(3\cdot x) .$

Kami menemukan turunan kedua dari CR:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\kanan)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Kami mengganti fungsi $U""$, $U"$ dan $U$ sebagai ganti $y""$, $y"$ dan $y$ ke dalam LNDE-2 $y""-3\cdot y yang diberikan -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Pada saat yang sama, karena eksponen $e^(3\cdot x) $ disertakan sebagai faktor dalam semua komponen, maka dapat dihilangkan.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\kanan)=36\cdot x+12.$

Kami melakukan tindakan di sisi kiri persamaan yang dihasilkan:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Kami menggunakan metode NC. Kami mendapatkan sistem persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Solusi untuk sistem ini adalah: $A=-2$, $B=-1$.

CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ untuk masalah kita terlihat seperti ini: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ untuk masalah kita terlihat seperti ini: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ kiri(-2\cdot x-1\kanan)\cdot e^(3\cdot x) $.

Untuk mencari PD yang memenuhi kondisi awal yang diberikan, kami menemukan turunan $y"$ ATAU:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Kami mengganti $y$ dan $y"$ kondisi awal $y=6$ untuk $x=0$ dan $y"=1$ untuk $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Kami mendapat sistem persamaan:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Kami menyelesaikannya. Kami menemukan $C_(1) $ menggunakan rumus Cramer, dan $C_(2) $ ditentukan dari persamaan pertama:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ mulai(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\kanan|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\kiri(-3\kanan)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Jadi, PD dari persamaan diferensial ini adalah: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Kami memastikan bahwa, dalam kasus ketika solusi umum persamaan linier homogen diketahui, adalah mungkin untuk menemukan solusi umum persamaan tidak homogen dengan metode variasi konstanta arbitrer. Namun, pertanyaan tentang bagaimana menemukan solusi umum dari persamaan homogen tetap terbuka. Dalam kasus tertentu, ketika dalam persamaan diferensial linier (3) semua koefisien p saya(X)= a i - konstanta, itu diselesaikan dengan cukup sederhana, bahkan tanpa integrasi.

Pertimbangkan persamaan diferensial homogen linier dengan koefisien konstan, yaitu, persamaan bentuk

kamu (n) + a 1 kamu (n – 1) + ... a n – 1 kamu " + a n y = 0, (14)

di mana aku- konstanta (saya= 1, 2, ...,n).

Seperti diketahui, untuk persamaan linier homogen orde 1, penyelesaiannya adalah fungsi dari bentuk e kx. Kami akan mencari solusi untuk Persamaan (14) dalam bentuk j (X) = e kx.

Mari kita substitusikan ke persamaan (14) fungsi j (X) dan turunan ordenya m (1 £ m£ n)j (m) (X) = km e kx. Mendapatkan

(k n + a 1 k n – 1 +… dan n – 1 k + a n)e kx = 0,

tetapi e k x ¹ 0 untuk apa saja X, Itu sebabnya

k n + a 1 k n – 1 + ... a n – 1 k + a n = 0. (15)

Persamaan (15) disebut persamaan karakteristik, polinomial di sisi kiri,- polinomial karakteristik , akarnya- akar karakteristik persamaan diferensial (14).

Kesimpulan:

fungsij (X) = e kx - solusi persamaan homogen linier (14) jika dan hanya jika bilangan k - akar persamaan karakteristik (15).

Dengan demikian, proses penyelesaian persamaan homogen linier (14) direduksi menjadi penyelesaian persamaan aljabar (15).

Ada berbagai kasus akar karakteristik.

1.Semua akar persamaan karakteristik adalah nyata dan berbeda.

Pada kasus ini n akar karakteristik yang berbeda k 1 ,k 2 ,..., k n sesuai n solusi yang berbeda dari persamaan homogen (14)

Dapat ditunjukkan bahwa solusi ini bebas linier dan oleh karena itu membentuk sistem solusi fundamental. Jadi, solusi umum persamaan tersebut adalah fungsi

di mana Dengan 1 , C 2 , ..., ~ n - konstanta arbitrer.

CONTOH 7. Temukan solusi umum persamaan homogen linier:

sebuah) pada¢ ¢ (X) - 6pada¢ (X) + 8pada(X) = 0,b) pada¢ ¢ ¢ (X) + 2pada¢ ¢ (X) - 3pada¢ (X) = 0.

Keputusan. Mari kita buat persamaan karakteristik. Untuk melakukan ini, kami mengganti turunan pesanan m fungsi kamu(x) ke tingkat yang sesuai

k(pada (m) (x) « k m),

sedangkan fungsi itu sendiri pada(X) sebagai turunan orde nol diganti dengan k 0 = 1.

Dalam kasus (a), persamaan karakteristik memiliki bentuk k 2 - 6k + 8 = 0. Akar persamaan kuadrat ini k 1 = 2,k 2 = 4. Karena mereka nyata dan berbeda, solusi umumnya memiliki bentuk j (X)= C 1 e 2X + Dari 2 e 4x.

Untuk kasus (b), persamaan karakteristiknya adalah persamaan derajat ketiga k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Temukan akar persamaan ini:

k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,

t . e . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.

Akar karakteristik ini sesuai dengan sistem dasar solusi persamaan diferensial:

j 1 (X)= e 0X = 1, j 2 (X) = e x, j 3 (X)= e - 3X .

Solusi umum, menurut rumus (9), adalah fungsi

j (X)= C 1 + C 2 e x + C 3 e - 3X .

II . Semua akar persamaan karakteristik berbeda, tetapi beberapa di antaranya kompleks.

Semua koefisien persamaan diferensial (14), dan akibatnya, persamaan karakteristiknya (15)- bilangan real, maka jika c di antara akar karakteristik ada akar kompleks k 1 = a + ib, yaitu, akar konjugasinya k 2 = ` k 1 =- sayaAkar pertama k 1 sesuai dengan solusi persamaan diferensial (14)

j 1 (X)= e (a+ib)X = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)

(kami menggunakan rumus Euler e i x = cosx + isinx). Demikian juga akar k 2 =- saya sesuai keputusan

j 2 (X)= e (a - -ib)X = e a x e - ib x= e kapak(cosbx - isinbx).

Solusi ini kompleks. Untuk mendapatkan solusi nyata dari mereka, kami menggunakan sifat-sifat solusi dari persamaan linier homogen (lihat 13.2). Fungsi

adalah solusi nyata dari persamaan (14). Juga, solusi ini independen linier. Dengan demikian, kesimpulan berikut dapat diambil.

Aturan 1.Sepasang akar kompleks konjugasi a± ib persamaan karakteristik dalam FSR persamaan linier homogen (14) sesuai dengan dua solusi khusus nyatadan .

CONTOH 8. Temukan solusi umum dari persamaan:

sebuah) pada¢ ¢ (X) - 2pada ¢ (X) + 5pada(X) = 0 ;b) pada¢ ¢ ¢ (X) - pada¢ ¢ (X) + 4pada ¢ (X) - 4pada(X) = 0.

Keputusan. Dalam kasus persamaan (a), akar-akar persamaan karakteristik k 2 - 2k + 5 = 0 adalah dua bilangan kompleks konjugasi

k 1, 2 = .

Oleh karena itu, menurut aturan 1, mereka sesuai dengan dua solusi independen linier nyata: dan , dan solusi umum persamaan adalah fungsi

j (X)= C 1 e x cos 2x + C 2 e x dosa 2x.

Dalam kasus (b), untuk mencari akar persamaan karakteristik k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, kita faktorkan ruas kirinya:

k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.

Oleh karena itu, kami memiliki tiga akar karakteristik: k 1 = 1,k2 , 3 = ± 2saya. Cornu k 1 sesuai keputusan , dan sepasang akar kompleks konjugasi k 2, 3 = ± 2saya = 0 ± 2saya- dua solusi nyata: dan . Kami membuat solusi umum persamaan:

j (X)= C 1 e x + C 2 karena 2x + C 3 dosa 2x.

AKU AKU AKU . Di antara akar-akar persamaan karakteristik ada kelipatan.

Biarlah k 1 - akar multiplisitas yang sebenarnya m persamaan karakteristik (15), yaitu di antara akar-akarnya terdapat m akar yang sama. Masing-masing sesuai dengan solusi persamaan diferensial yang sama (14) Namun, sertakan m solusi yang sama dalam FSR tidak mungkin, karena mereka merupakan sistem fungsi yang bergantung secara linier.

Dapat ditunjukkan bahwa dalam kasus akar ganda k 1 solusi persamaan (14), selain fungsi, adalah fungsi

Fungsi-fungsi tersebut bebas linier pada seluruh sumbu bilangan, karena , yaitu, mereka dapat dimasukkan dalam FSR.

Aturan 2 akar karakteristik nyata k 1 banyak m di FSR sesuai m solusi:

Jika sebuah k 1 - akar kompleks dari multiplisitas m persamaan karakteristik (15), maka ada akar konjugasi k 1 banyak m. Dengan analogi, kita mendapatkan aturan berikut.

Aturan 3. Sepasang akar kompleks konjugasi a± ib di FSR sesuai dengan 2m solusi bebas linier nyata:

, , ..., ,

, , ..., .

CONTOH 9. Temukan solusi umum dari persamaan:

sebuah) pada¢ ¢ ¢ (X) + 3pada¢ ¢ (X) + 3pada¢ (X)+ kamu ( X)= 0;b) IV(X) + 6pada¢ ¢ (X) + 9pada(X) = 0.

Keputusan. Dalam kasus (a), persamaan karakteristik memiliki bentuk

k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0

(k + 1) 3 = 0,

yaitu k =- 1 - akar multiplisitas 3. Berdasarkan aturan 2, kami menulis solusi umum:

j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 x 2 .

Persamaan karakteristik dalam kasus (b) adalah persamaan

k 4 + 6k 2 + 9 = 0

atau, sebaliknya,

(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± saya .

Kami memiliki sepasang akar kompleks konjugasi, masing-masing multiplisitas 2. Menurut Aturan 3, solusi umum ditulis sebagai

j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 + C 4 x .

Dari penjelasan di atas, untuk setiap persamaan linier homogen dengan koefisien konstan, dapat ditemukan sistem solusi dasar dan membentuk solusi umum. Oleh karena itu, solusi dari persamaan tidak homogen yang sesuai untuk setiap fungsi kontinu f(x) di sisi kanan dapat ditemukan dengan menggunakan metode variasi konstanta arbitrer (lihat Bagian 5.3).

Contoh r10. Dengan menggunakan metode variasi, cari solusi umum dari persamaan tak homogen pada¢ ¢ (X) - pada¢ (X) - 6pada(X) = x e 2x .

Keputusan. Pertama, kita cari solusi umum dari persamaan homogen yang sesuai pada¢ ¢ (X) - pada¢ (X) - 6pada(X) = 0. Akar persamaan karakteristik k 2 - k- 6 = 0 are k 1 = 3,k 2 = - 2, a solusi umum persamaan homogen - fungsi ` pada ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .

Kami akan mencari solusi untuk persamaan tidak homogen dalam bentuk

pada( X) = Dengan 1 (X)e 3X + C 2 (X)e 2X . (*)

Mari kita cari determinan Vronsky

W[e 3X , e 2X ] = .

Mari kita buat sistem persamaan (12) sehubungan dengan turunan dari fungsi yang tidak diketahui Dengan ¢ 1 (X) dan Dengan¢ 2 (X):

Memecahkan sistem menggunakan rumus Cramer, kami memperoleh

Mengintegrasikan, kami menemukan Dengan 1 (X) dan Dengan 2 (X):

Mengganti fungsi Dengan 1 (X) dan Dengan 2 (X) menjadi persamaan (*), kami memperoleh solusi umum dari persamaan pada¢ ¢ (X) - pada¢ (X) - 6pada(X) = x e 2x :

Dalam kasus ketika sisi kanan persamaan linier tidak homogen dengan koefisien konstan memiliki bentuk khusus, solusi khusus dari persamaan tidak homogen dapat ditemukan tanpa menggunakan metode variasi konstanta arbitrer.

Pertimbangkan persamaan dengan koefisien konstan

kamu (n) + 1 tahun (n– 1) + ... a n – 1 tahun " + a n y = f (x), (16)

f( x) = ekapak(P n(x)cosbx + RM(x)sinbx), (17)

di mana P n(x) dan RM(x) - polinomial derajat n dan m masing-masing.

Keputusan pribadi y*(X) dari persamaan (16) ditentukan oleh rumus

pada* (X) = x se kapak(Tn(x)cosbx + Nr(x)sinbx), (18)

di mana Tn(x) dan N r(x) - polinomial derajat r = maks(n, saya) dengan koefisien tak tentu , sebuah s sama dengan banyaknya akar k 0 = a + ib polinomial karakteristik persamaan (16), sementara itu diasumsikan s = 0 jika k 0 bukan akar karakteristik.

Untuk merumuskan solusi tertentu menggunakan rumus (18), kita perlu menemukan empat parameter: - a, b, r dan s. Tiga yang pertama ditentukan dari ruas kanan persamaan, dengan r- itu sebenarnya yang tertinggi x ditemukan di sisi kanan. Parameter s ditemukan dengan membandingkan bilangan k 0 = a + ib dan himpunan semua (dengan mempertimbangkan multiplisitas) akar karakteristik persamaan (16) yang ditemukan dalam menyelesaikan persamaan homogen yang sesuai.

Mari kita pertimbangkan kasus-kasus tertentu dari bentuk fungsi (17):

1) di sebuah ¹ 0, b= 0f(x)= e kapak P n(x);

2) kapan sebuah= 0, b ¹ 0f(x)= P n(x) denganosbx + RM(x)sinbx;

3) kapan sebuah = 0, b = 0f(x)=Pn(x).

Keterangan 1. Jika P n (x) º 0 atau R m (x)º 0, maka ruas kanan persamaan f(x) = e ax P n (x)с osbx atau f(x) = e ax R m (x)sinbx, yaitu hanya berisi satu fungsi - cosinus atau sinus. Tetapi dalam notasi solusi tertentu, keduanya harus ada, karena, menurut rumus (18), masing-masing dikalikan dengan polinomial dengan koefisien tak tentu dengan derajat yang sama r = max(n, m).

Contoh 11. Tentukan bentuk penyelesaian tertentu dari persamaan linier homogen orde ke-4 dengan koefisien konstan, jika ruas kanan persamaan diketahui f(X) = e x(2xcos 3x +(x 2 + 1)dosa 3x) dan akar persamaan karakteristik:

sebuah ) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;

b ) k 1, 2 = 1 ± 3saya,k 3, 4 = ± 1;

di ) k 1, 2 = 1 ± 3saya,k 3, 4 = 1 ± 3saya.

Keputusan. Di sisi kanan, kami menemukan bahwa dalam solusi tertentu pada*(X), yang ditentukan oleh rumus (18), parameter: sebuah= 1, b= 3, r = 2. Mereka tetap sama untuk ketiga kasus, maka jumlahnya k 0 , yang menentukan parameter terakhir s rumus (18) sama dengan k 0 = 1+ 3saya. Dalam kasus (a) tidak ada bilangan di antara akar-akar karakteristik k 0 = 1 + 3saya, cara, s= 0, dan solusi partikular memiliki bentuk

y*(X) = x 0 mantan(M 2 (x)karena 3x + N 2 (x)dosa 3x) =

= ex( (Kapak 2 + Bx + C)karena 3x +(A 1 x 2 + B 1 x + C 1)dosa 3x.

Dalam kasus (b) nomor k 0 = 1 + 3saya hanya terjadi sekali di antara akar karakteristik, yang berarti bahwa s = 1 dan

y*(X) = x e x((Kapak 2 + Bx + C)karena 3x +(A 1 x 2 + B 1 x + C 1)dosa 3x.

Untuk kasus (c) kita memiliki s = 2 dan

y*(X) = x 2 mantan((Kapak 2 + Bx + C)karena 3x +(A 1 x 2 + B 1 x + C 1)dosa 3x.

Dalam contoh 11, ada dua polinomial derajat ke-2 dengan koefisien tak tentu dalam catatan solusi tertentu. Untuk menemukan solusi, Anda perlu menentukan nilai numerik dari koefisien ini. Mari kita merumuskan aturan umum.

Untuk menentukan koefisien polinomial yang tidak diketahui Tn(x) dan N r(x) persamaan (17) dibedakan beberapa kali, fungsinya disubstitusi y*(X) dan turunannya ke dalam persamaan (16). Membandingkan bagian kiri dan kanannya, diperoleh sistem persamaan aljabar untuk mencari koefisien.

Contoh 12. Temukan solusi untuk persamaan pada¢ ¢ (X) - pada¢ (X) - 6pada(X) = xe 2x, setelah menentukan solusi tertentu dari persamaan tidak homogen dengan bentuk sisi kanan.

Keputusan. Solusi umum dari persamaan tidak homogen memiliki bentuk

pada( X) = ` pada(X)+ y*(X),

di mana ` pada ( X) - solusi umum dari persamaan homogen yang sesuai, dan y*(X) - solusi khusus dari persamaan tak homogen.

Pertama kita selesaikan persamaan homogen pada¢ ¢ (X) - pada¢ (X) - 6pada(X) = 0. Persamaan karakteristiknya k 2 - k- 6 = 0 memiliki dua akar k 1 = 3,k 2 = - 2, karena itu, ` pada ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .

Kami menggunakan rumus (18) untuk menentukan jenis solusi tertentu pada*(X). Fungsi f(x) = xe 2x adalah kasus khusus (a) dari rumus (17), sedangkan a = 2,b= 0 dan r = 1, yaitu k 0 = 2 + 0saya = 2. Membandingkan dengan akar karakteristik, kami menyimpulkan bahwa s = 0. Mengganti nilai semua parameter ke dalam rumus (18), kami memiliki y*(X) = (Ah + B)e 2X .

Untuk menemukan nilai TETAPI dan PADA, tentukan turunan dari orde pertama dan kedua fungsi tersebut y*(X) = (Ah + B)e 2X :

y*¢ (X)= Ae 2X + 2(Ah + B)e 2X = (2Ah + A + 2B)e 2x,

y*¢ ¢ (X) = 2ae 2X + 2(2Ah + A + 2B)e 2X = (4Ah + 4A+ 4B)e 2X .

Setelah menggantikan fungsi y*(X) dan turunannya ke dalam persamaan yang kita miliki

(4Ah + 4A+ 4B)e 2X - (2Ah + A + 2B)e 2X - 6(Ah + B)e 2X =xe 2x Þ Þ A =- 1/4,B =- 3/16.

Dengan demikian, solusi tertentu dari persamaan tidak homogen memiliki bentuk

y*(X) = (- 1/4X- 3/16)e 2X ,

dan solusi umumnya - pada ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .

Catatan 2.Dalam kasus ketika masalah Cauchy untuk persamaan tidak homogen diajukan, pertama-tama kita harus menemukan solusi umum untuk persamaan tersebut

pada( X) = ,

setelah menentukan semua nilai numerik dari koefisien dalam pada*(X). Kemudian gunakan kondisi awal dan, substitusikan ke dalam solusi umum (dan bukan ke y*(X)), temukan nilai konstanta C saya.

Contoh 13. Temukan solusi untuk masalah Cauchy:

pada¢ ¢ (X) - pada¢ (X) - 6pada(X) = xe 2x , kamu(0) = 0, kamu ¢ (X) = 0.

Keputusan. Solusi umum dari persamaan ini

pada(X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X

ditemukan dalam Contoh 12. Untuk menemukan solusi tertentu yang memenuhi kondisi awal dari masalah Cauchy yang diberikan, kita memperoleh sistem persamaan

Memecahkannya, kita punya C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Oleh karena itu, solusi untuk masalah Cauchy adalah fungsi

pada(X) = 1/8e 3X + 1/16e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .

Catatan 3(prinsip superposisi). Jika dalam persamaan linier L n[kamu(x)]= f(x), di mana f(x) = f 1 (x)+ f 2 (x) dan y* 1 (x) - solusi persamaan L n[kamu(x)]= f 1 (x), sebuah y* 2 (x) - solusi persamaan L n[kamu(x)]= f 2 (x), maka fungsinya y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x) adalah solusi persamaan L n[kamu(x)]= f(x).

CONTOH 14. Tunjukkan bentuk solusi umum persamaan linear

pada¢ ¢ (X) + 4pada(X) = x + sinx.

Keputusan. Solusi umum dari persamaan homogen yang sesuai

` pada(x) = C 1 karena 2x + C 2 dosa 2x,

karena persamaan karakteristik k 2 + 4 = 0 memiliki akar k 1, 2 = ± 2saya. Sisi kanan persamaan tidak sesuai dengan rumus (17), tetapi jika kita memperkenalkan notasi f 1 (x) = x, f 2 (x) = sinx dan gunakan prinsip superposisi , maka solusi khusus dari persamaan tidak homogen dapat ditemukan dalam bentuk y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x), di mana y* 1 (x) - solusi persamaan pada¢ ¢ (X) + 4pada(X) = x, sebuah y* 2 (x) - solusi persamaan pada¢ ¢ (X) + 4pada(X) = sinx. Dengan rumus (18)

y* 1 (x) = Kapak + B,y* 2 (x) = Ccosx + Dsinx.

Maka solusi tertentu

y*(X) \u003d Kapak + B + Ccosx + Dsinx,

maka solusi umumnya memiliki bentuk

pada(X) = C 1 karena 2x + C 2 e - 2X + A x + B + Ccosx + Dsinx.

CONTOH 15. Rangkaian listrik terdiri dari sumber arus yang dihubungkan seri dengan emf e(t) = E sinw t, induktansi L dan wadah Dengan, dan

Artikel ini mengungkapkan pertanyaan tentang penyelesaian persamaan diferensial linier tak homogen orde kedua dengan koefisien konstan. Teori akan dipertimbangkan bersama dengan contoh masalah yang diberikan. Untuk menguraikan istilah yang tidak dapat dipahami, perlu merujuk pada topik definisi dasar dan konsep teori persamaan diferensial.

Pertimbangkan persamaan diferensial linier (LDE) orde kedua dengan koefisien konstan bentuk y "" + p y " + q y \u003d f (x) , di mana p dan q adalah bilangan arbitrer, dan fungsi yang ada f (x) adalah kontinu pada interval integrasi x .

Mari kita beralih ke perumusan teorema solusi umum untuk LIDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Teorema solusi umum untuk LDNU

Teorema 1

Solusi umum, terletak pada interval x, dari persamaan diferensial tak homogen dalam bentuk y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) dengan koefisien integrasi kontinu pada interval x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) dan fungsi kontinu f (x) sama dengan jumlah dari solusi umum y 0 , yang sesuai dengan LODE, dan beberapa solusi tertentu y ~ , di mana persamaan inhomogen awal adalah y = y 0 + y ~ .

Ini menunjukkan bahwa solusi dari persamaan orde kedua tersebut memiliki bentuk y = y 0 + y ~ . Algoritme untuk menemukan y 0 dibahas dalam artikel tentang persamaan diferensial homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan. Setelah itu, kita harus melanjutkan ke definisi y ~ .

Pilihan solusi tertentu untuk LIDE tergantung pada jenis fungsi yang tersedia f (x) yang terletak di sisi kanan persamaan. Untuk melakukan ini, perlu untuk mempertimbangkan secara terpisah solusi persamaan diferensial linier tidak homogen orde kedua dengan koefisien konstan.

Ketika f (x) dianggap polinomial dari derajat ke-n f (x) = P n (x) , maka solusi tertentu dari LIDE ditemukan dengan rumus bentuk y ~ = Q n (x ) x , di mana Q n ( x) adalah polinomial berderajat n, r adalah jumlah akar nol dari persamaan karakteristik. Nilai y ~ adalah solusi tertentu y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , maka koefisien yang tersedia, yang didefinisikan oleh polinomial
Q n (x) , kami menemukan menggunakan metode koefisien tak tentu dari persamaan y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Contoh 1

Hitung menggunakan teorema Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Keputusan

Dengan kata lain, perlu untuk meneruskan ke solusi tertentu dari persamaan diferensial linier tak homogen orde kedua dengan koefisien konstan y "" - 2 y " = x 2 + 1 , yang akan memenuhi kondisi yang diberikan y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Solusi umum dari persamaan linier tidak homogen adalah jumlah dari solusi umum yang sesuai dengan persamaan y 0 atau solusi khusus dari persamaan tidak homogen y ~ , yaitu, y = y 0 + y ~ .

Pertama, mari kita cari solusi umum untuk LNDE, dan kemudian solusi khusus.

Mari kita lanjutkan untuk mencari y 0 . Menulis persamaan karakteristik akan membantu menemukan akarnya. Kami mengerti

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Kami menemukan bahwa akarnya berbeda dan nyata. Oleh karena itu, kami menulis

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

Mari kita temukan y ~ . Dapat dilihat bahwa ruas kanan persamaan yang diberikan adalah polinomial derajat kedua, maka salah satu akarnya sama dengan nol. Dari sini kita dapatkan bahwa solusi khusus untuk y ~ adalah

y ~ = Q 2 (x) x \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, di mana nilai A, B, C mengambil koefisien yang tidak ditentukan.

Mari kita cari dari persamaan bentuk y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Kemudian kita mendapatkan bahwa:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Menyamakan koefisien dengan eksponen yang sama x , kita mendapatkan sistem ekspresi linier - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Saat memecahkan dengan salah satu cara, kami menemukan koefisien dan menulis: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 dan y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Entri ini disebut solusi umum dari persamaan diferensial orde kedua tak homogen linier asli dengan koefisien konstan.

Untuk menemukan solusi tertentu yang memenuhi kondisi y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , diperlukan untuk menentukan nilai C1 dan C2, berdasarkan persamaan bentuk y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Kami mendapatkan bahwa:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Kami bekerja dengan sistem persamaan yang dihasilkan dalam bentuk C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , di mana C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Menerapkan teorema Cauchy, kita memilikinya

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Menjawab: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Ketika fungsi f (x) direpresentasikan sebagai produk dari polinomial dengan derajat n dan eksponen f (x) = P n (x) e a x , maka dari sini kita memperoleh bahwa solusi tertentu dari LIDE orde kedua adalah persamaan bentuk y ~ = e a x Q n ( x) · x , di mana Q n (x) adalah polinomial derajat ke-n, dan r adalah jumlah akar persamaan karakteristik yang sama dengan .

Koefisien milik Q n (x) ditemukan dengan persamaan y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Contoh 2

Temukan solusi umum persamaan diferensial berbentuk y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Keputusan

Persamaan umum y = y 0 + y ~ . Persamaan yang ditunjukkan sesuai dengan LOD y "" - 2 y " = 0. Contoh sebelumnya menunjukkan bahwa akarnya adalah k1 = 0 dan k 2 = 2 dan y 0 = C 1 + C 2 e 2 x sesuai dengan persamaan karakteristik.

Dapat dilihat bahwa ruas kanan persamaan adalah x 2 + 1 · e x . Dari sini, LNDE ditemukan melalui y ~ = e a x Q n (x) x , dimana Q n (x) , yang merupakan polinomial derajat kedua, di mana = 1 dan r = 0 , karena persamaan karakteristik tidak memiliki akar sama dengan 1. Oleh karena itu kita mendapatkan itu

y ~ = e a x Q n (x) x = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C adalah koefisien yang tidak diketahui, yang dapat ditemukan dengan persamaan y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Mengerti

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Kami menyamakan indikator untuk koefisien yang sama dan memperoleh sistem persamaan linier. Dari sini kita menemukan A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 A = - 1 B = 0 C = - 3

Menjawab: dapat dilihat bahwa y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 adalah penyelesaian tertentu dari LIDE, dan y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Ketika fungsi ditulis sebagai f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin x , dan 1 dan DALAM 1 adalah bilangan, maka persamaan berbentuk y ~ = A cos x + B sin x x , di mana A dan B dianggap koefisien tak tentu, dan r jumlah akar konjugat kompleks yang terkait dengan persamaan karakteristik, sama dengan ± saya . Dalam hal ini, pencarian koefisien dilakukan dengan persamaan y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Contoh 3

Temukan solusi umum persamaan diferensial berbentuk y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Keputusan

Sebelum menulis persamaan karakteristik, kita cari y 0 . Kemudian

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

Kami memiliki sepasang akar konjugasi kompleks. Mari kita ubah dan dapatkan:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Akar dari persamaan karakteristik dianggap sebagai pasangan konjugasi ± 2 i , maka f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Hal ini menunjukkan bahwa pencarian y ~ akan dilakukan dari y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. koefisien A dan B akan dicari dari persamaan bentuk y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Mari kita ubah:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Kemudian terlihat bahwa

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Hal ini diperlukan untuk menyamakan koefisien sinus dan cosinus. Kami mendapatkan sistem dalam bentuk:

4 A = 3 4 B = 1 A = - 3 4 B = 1 4

Maka y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

Menjawab: solusi umum dari LIDE asli orde kedua dengan koefisien konstan dianggap sebagai

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Ketika f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , maka y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x Kami memiliki bahwa r adalah jumlah pasangan konjugat kompleks akar yang terkait dengan persamaan karakteristik, sama dengan ± i , di mana P n (x) , Q k (x) , L m ( x) dan N m (x) adalah polinomial berderajat n, k, m, dimana m = m a x (n, k). Menemukan koefisien L m (x) dan N m (x) dihasilkan berdasarkan persamaan y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Contoh 4

Temukan solusi umum y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Keputusan

Jelas dari kondisi bahwa

= 3 , = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Maka m = m a x (n , k) = 1 . Kami menemukan y 0 dengan terlebih dahulu menulis persamaan karakteristik dari bentuk:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Kami menemukan bahwa akarnya nyata dan berbeda. Jadi y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Selanjutnya, perlu dicari solusi umum berdasarkan persamaan tak homogen y ~ berbentuk

y ~ = e x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Diketahui A, B, C adalah koefisien, r = 0, karena tidak ada pasangan akar konjugasi yang berhubungan dengan persamaan karakteristik dengan ± i = 3 ± 5 · i . Koefisien ini ditemukan dari persamaan yang dihasilkan:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Menemukan turunan dan suku-suku serupa memberikan

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Setelah menyamakan koefisien, kami memperoleh sistem bentuk

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Dari semua itu berikut ini

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)dosa(5x))

Menjawab: sekarang solusi umum dari persamaan linier yang diberikan telah diperoleh:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritma untuk menyelesaikan LDNU

Definisi 1

Jenis lain dari fungsi f (x) untuk solusi menyediakan algoritma solusi:

• menemukan solusi umum dari persamaan homogen linier yang sesuai, di mana y 0 = C 1 y 1 + C 2 y 2 , di mana y 1 dan y2 adalah solusi khusus yang bebas linier dari LODE, Dari 1 dan Dari 2 dianggap konstanta arbitrer;
• penerimaan sebagai solusi umum dari LIDE y = C 1 (x) y 1 + C 2 (x) y 2 ;
• definisi turunan suatu fungsi melalui sistem berbentuk C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , dan mencari fungsi C1 (x) dan C 2 (x) melalui integrasi.

Contoh 5

Temukan solusi umum untuk y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Keputusan

Kami melanjutkan untuk menulis persamaan karakteristik, setelah sebelumnya menulis y 0 , y "" + 36 y = 0 . Mari kita tulis dan selesaikan:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = dosa (6 x)

Kami memiliki bahwa catatan solusi umum dari persamaan yang diberikan akan mengambil bentuk y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Perlu untuk melewati definisi fungsi turunan C1 (x) dan C2(x) menurut sistem dengan persamaan:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6 x)) " = 0 C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Sebuah keputusan perlu dibuat mengenai C 1 "(x) dan C2" (x) menggunakan metode apapun. Kemudian kita menulis:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Setiap persamaan harus terintegrasi. Kemudian kami menulis persamaan yang dihasilkan:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Maka solusi umum akan memiliki bentuk:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 dosa (6 x)

Menjawab: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Lembaga Pendidikan "Negara Belarusia

akademi pertanian"

Departemen Matematika Tinggi

Pedoman

pada studi topik "Persamaan diferensial linier orde kedua" oleh mahasiswa departemen akuntansi bentuk korespondensi pendidikan (NISPO)

Gorki, 2013

Persamaan diferensial linier

orde kedua dengan konstankoefisien

Persamaan diferensial homogen linier

Persamaan diferensial linier orde kedua dengan koefisien konstan disebut persamaan bentuk

itu. persamaan yang memuat fungsi yang diinginkan dan turunannya hanya sampai derajat pertama dan tidak mengandung produk-produknya. Dalam persamaan ini dan
adalah beberapa angka, dan fungsinya
diberikan pada beberapa interval
.

Jika sebuah
pada interval
, maka persamaan (1) berbentuk

, (2)

dan disebut homogen linier . Jika tidak, persamaan (1) disebut linier tidak homogen .

Pertimbangkan fungsi kompleks

, (3)

di mana
dan
adalah fungsi nyata. Jika fungsi (3) adalah solusi kompleks dari persamaan (2), maka bagian real
, dan bagian imajiner
solusi
diambil secara terpisah adalah solusi dari persamaan homogen yang sama. Jadi, setiap solusi kompleks persamaan (2) menghasilkan dua solusi nyata dari persamaan ini.

Solusi persamaan linier homogen memiliki sifat-sifat berikut:

Jika sebuah adalah solusi untuk persamaan (2), maka fungsi
, di mana Dengan- konstanta sewenang-wenang, juga akan menjadi solusi untuk persamaan (2);

Jika sebuah dan adalah solusi dari persamaan (2), maka fungsi
juga akan menjadi solusi persamaan (2);

Jika sebuah dan adalah solusi dari persamaan (2), maka kombinasi liniernya
juga akan menjadi solusi untuk persamaan (2), di mana dan
adalah konstanta arbitrer.

Fungsi
dan
ditelepon bergantung linier pada interval
jika ada angka seperti itu dan
, yang tidak sama dengan nol pada saat yang sama, bahwa pada interval ini persamaan

Jika persamaan (4) hanya berlaku jika
dan
, maka fungsi
dan
ditelepon bebas linier pada interval
.

Contoh 1 . Fungsi
dan
bergantung linier, karena
sepanjang garis bilangan bulat. Dalam contoh ini
.

Contoh 2 . Fungsi
dan
bebas linier pada sembarang interval, karena persamaan
hanya mungkin jika dan
, dan
.

Konstruksi solusi umum homogen linier

persamaan

Untuk menemukan solusi umum persamaan (2), Anda perlu menemukan dua solusi bebas liniernya dan . Kombinasi linier dari solusi ini
, di mana dan
adalah konstanta arbitrer, dan akan memberikan solusi umum persamaan linier homogen.

Solusi bebas linier dari Persamaan (2) akan dicari dalam bentuk

, (5)

di mana - beberapa nomor. Kemudian
,
. Mari kita substitusikan ekspresi ini ke persamaan (2):

atau
.

Sebagai
, kemudian
. Jadi fungsinya
akan menjadi solusi untuk persamaan (2) jika akan memenuhi persamaan

. (6)

Persamaan (6) disebut persamaan karakteristik untuk persamaan (2). Persamaan ini merupakan persamaan kuadrat aljabar.

Biarlah dan adalah akar dari persamaan ini. Mereka bisa nyata dan berbeda, atau kompleks, atau nyata dan sama. Mari kita pertimbangkan kasus-kasus ini.

Biarkan akarnya dan persamaan karakteristik adalah nyata dan berbeda. Maka solusi persamaan (2) adalah fungsi
dan
. Solusi ini bebas linier, karena persamaan
hanya dapat dilakukan bila
, dan
. Oleh karena itu, solusi umum Persamaan (2) memiliki bentuk

,

di mana dan
adalah konstanta arbitrer.

Contoh 3
.

Keputusan . Persamaan karakteristik untuk diferensial ini akan menjadi
. Memecahkan persamaan kuadrat ini, kami menemukan akarnya
dan
. Fungsi
dan
adalah solusi dari persamaan diferensial. Solusi umum persamaan ini memiliki bentuk
.

bilangan kompleks disebut ekspresi bentuk
, di mana dan adalah bilangan real, dan
disebut satuan imajiner. Jika sebuah
, maka bilangan
disebut imajiner murni. Jika
, maka bilangan
diidentifikasi dengan bilangan real .

Nomor disebut bagian real dari bilangan kompleks, dan - bagian imajiner. Jika dua bilangan kompleks berbeda satu sama lain hanya dalam tanda bagian imajiner, maka mereka disebut konjugat:
,
.

Contoh 4 . Memecahkan persamaan kuadrat
.

Keputusan . Diskriminan persamaan
. Kemudian. Juga,
. Dengan demikian, persamaan kuadrat ini memiliki akar kompleks konjugasi.

Biarkan akar persamaan karakteristik menjadi kompleks, mis.
,
, di mana
. Solusi untuk persamaan (2) dapat ditulis sebagai
,
atau
,
. Menurut rumus Euler

,
.

Kemudian ,. Seperti diketahui, jika suatu fungsi kompleks adalah solusi dari persamaan linier homogen, maka solusi dari persamaan ini adalah bagian real dan imajiner dari fungsi ini. Dengan demikian, solusi dari persamaan (2) akan menjadi fungsi
dan
. Sejak kesetaraan

hanya dapat dilakukan jika
dan
, maka solusi ini bebas linier. Oleh karena itu, solusi umum persamaan (2) memiliki bentuk

di mana dan
adalah konstanta arbitrer.

Contoh 5 . Tentukan solusi umum persamaan diferensial
.

Keputusan . persamaan
adalah karakteristik untuk diferensial yang diberikan. Kami menyelesaikannya dan mendapatkan akar yang kompleks
,
. Fungsi
dan
adalah solusi bebas linier dari persamaan diferensial. Solusi umum persamaan ini memiliki bentuk.

Biarkan akar-akar persamaan karakteristiknya nyata dan sama, mis.
. Maka solusi persamaan (2) adalah fungsi
dan
. Solusi-solusi ini bebas linier, karena ekspresi dapat identik sama dengan nol hanya jika
dan
. Oleh karena itu, solusi umum persamaan (2) memiliki bentuk
.

Contoh 6 . Tentukan solusi umum persamaan diferensial
.

Keputusan . persamaan karakteristik
memiliki akar yang sama
. Dalam hal ini, solusi bebas linier dari persamaan diferensial adalah fungsi
dan
. Solusi umum memiliki bentuk
.

Persamaan diferensial linier orde kedua yang tidak homogen dengan koefisien konstan

dan sisi kanan khusus

Solusi umum persamaan linier tidak homogen (1) sama dengan jumlah solusi umum
persamaan homogen yang sesuai dan solusi tertentu
persamaan tak homogen:
.

Dalam beberapa kasus, solusi tertentu dari persamaan tidak homogen dapat ditemukan cukup sederhana dengan bentuk sisi kanan
persamaan (1). Mari kita pertimbangkan kasus jika memungkinkan.

itu. ruas kanan persamaan tak homogen adalah polinomial derajat m. Jika sebuah
bukan akar dari persamaan karakteristik, maka solusi tertentu dari persamaan tidak homogen harus dicari dalam bentuk polinomial derajat m, yaitu

Kemungkinan
ditentukan dalam proses menemukan solusi tertentu.

Jika
adalah akar dari persamaan karakteristik, maka solusi khusus dari persamaan tidak homogen harus dicari dalam bentuk

Contoh 7 . Tentukan solusi umum persamaan diferensial
.

Keputusan . Persamaan homogen yang sesuai untuk persamaan ini adalah
. persamaan karakteristiknya
memiliki akar
dan
. Solusi umum persamaan homogen memiliki bentuk
.

Sebagai
bukan akar dari persamaan karakteristik, maka kita akan mencari solusi khusus dari persamaan tidak homogen dalam bentuk fungsi
. Temukan turunan dari fungsi ini
,
dan substitusikan ke persamaan ini:

atau . Samakan koefisien di dan anggota gratis:
Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan
,
. Maka solusi khusus dari persamaan tidak homogen memiliki bentuk
, dan solusi umum persamaan homogen ini akan menjadi jumlah solusi umum persamaan homogen yang sesuai dan solusi khusus persamaan homogen:
.

Biarkan persamaan tidak homogen memiliki bentuk

Jika sebuah
bukan akar dari persamaan karakteristik, maka solusi tertentu dari persamaan tidak homogen harus dicari dalam bentuk. Jika
adalah akar dari persamaan multiplisitas karakteristik k (k=1 atau k=2), maka dalam hal ini solusi khusus dari persamaan tak homogen akan berbentuk .

Contoh 8 . Tentukan solusi umum persamaan diferensial
.

Keputusan . Persamaan karakteristik untuk persamaan homogen yang sesuai memiliki bentuk
. akarnya
,
. Dalam hal ini, solusi umum dari persamaan homogen yang sesuai ditulis sebagai
.

Karena angka 3 bukan akar persamaan karakteristik, maka solusi khusus dari persamaan tidak homogen harus dicari dalam bentuk
. Mari kita cari turunan dari orde pertama dan kedua :,

Substitusikan ke persamaan diferensial:
+ +,
+,.

Samakan koefisien di dan anggota gratis:

Dari sini
,
. Maka solusi tertentu dari persamaan ini memiliki bentuk
, dan solusi umum

.

Metode lagrange variasi konstanta arbitrer

Metode variasi konstanta arbitrer dapat diterapkan untuk setiap persamaan linier tidak homogen dengan koefisien konstan, terlepas dari bentuk sisi kanan. Metode ini memungkinkan untuk selalu menemukan solusi umum untuk persamaan tidak homogen jika solusi umum dari persamaan homogen yang sesuai diketahui.

Biarlah
dan
adalah solusi bebas linier dari Persamaan (2). Maka solusi umum untuk persamaan ini adalah
, di mana dan
adalah konstanta arbitrer. Inti dari metode variasi konstanta arbitrer adalah bahwa solusi umum persamaan (1) dicari dalam bentuk

di mana
dan
- fitur baru yang tidak diketahui dapat ditemukan. Karena ada dua fungsi yang tidak diketahui, dua persamaan yang memuat fungsi-fungsi ini diperlukan untuk menemukannya. Kedua persamaan ini membentuk sistem

yang merupakan sistem persamaan aljabar linier terhadap
dan
. Memecahkan sistem ini, kami menemukan
dan
. Mengintegrasikan kedua bagian dari persamaan yang diperoleh, kami menemukan

dan
.

Dengan mensubstitusi ekspresi ini ke dalam (9), kita memperoleh solusi umum dari persamaan linear tak homogen (1).

Contoh 9 . Tentukan solusi umum persamaan diferensial
.

Keputusan. Persamaan karakteristik untuk persamaan homogen yang sesuai dengan persamaan diferensial yang diberikan adalah
. Akarnya kompleks
,
. Sebagai
dan
, kemudian
,
, dan solusi umum persamaan homogen memiliki bentuk Maka solusi umum dari persamaan tak homogen ini akan dicari dalam bentuk dimana
dan
- fungsi yang tidak diketahui.

Sistem persamaan untuk menemukan fungsi yang tidak diketahui ini memiliki bentuk

Memecahkan sistem ini, kami menemukan
,
. Kemudian

,
. Mari kita substitusikan ekspresi yang diperoleh ke dalam rumus solusi umum:

Ini adalah solusi umum dari persamaan diferensial ini yang diperoleh dengan metode Lagrange.

Pertanyaan untuk pengendalian diri atas pengetahuan

Persamaan diferensial manakah yang disebut persamaan diferensial linier orde dua dengan koefisien konstan?

Persamaan diferensial linier manakah yang disebut homogen, dan mana yang disebut tidak homogen?

Apa sajakah sifat-sifat persamaan linier homogen?

Persamaan apa yang disebut karakteristik untuk persamaan diferensial linier dan bagaimana cara mendapatkannya?

Dalam bentuk apa solusi umum persamaan diferensial homogen linier dengan koefisien konstan ditulis dalam kasus akar yang berbeda dari persamaan karakteristik?

Dalam bentuk apa solusi umum persamaan diferensial homogen linier dengan koefisien konstan ditulis dalam kasus akar yang sama dari persamaan karakteristik?

Dalam bentuk apa solusi umum persamaan diferensial homogen linier dengan koefisien konstan ditulis dalam kasus akar kompleks dari persamaan karakteristik?

Bagaimana solusi umum dari persamaan linier tidak homogen ditulis?

Dalam bentuk apa solusi khusus dari persamaan linier tidak homogen dicari jika akar-akar persamaan karakteristik berbeda dan tidak sama dengan nol, dan ruas kanan persamaan adalah polinomial derajat m?

Dalam bentuk apa solusi khusus dari persamaan linier tidak homogen dicari jika ada satu nol di antara akar-akar persamaan karakteristik, dan ruas kanan persamaan adalah polinomial derajat m?

Apa inti dari metode Lagrange?