Hari ini kita berurusan dengan metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier. Anda dapat membaca tentang apa sistem ini di artikel sebelumnya yang ditujukan untuk menyelesaikan SLAE yang sama dengan metode Cramer. Metode Gauss tidak memerlukan pengetahuan khusus, hanya perawatan dan konsistensi yang diperlukan. Terlepas dari kenyataan bahwa dari sudut pandang matematika, persiapan sekolah sudah cukup untuk penerapannya, penguasaan metode ini sering menyebabkan kesulitan bagi siswa. Pada artikel ini, kami akan mencoba menguranginya menjadi nol!

Metode Gauss

M Metode Gauss adalah metode paling universal untuk menyelesaikan SLAE (dengan pengecualian sistem yang sangat besar). Berbeda dengan yang dibahas sebelumnya, ini cocok tidak hanya untuk sistem yang memiliki solusi unik, tetapi juga untuk sistem yang memiliki jumlah solusi tak terbatas. Ada tiga pilihan di sini.

1. Sistem memiliki solusi unik (determinan matriks utama sistem tidak sama dengan nol);
2. Sistem memiliki jumlah solusi yang tak terbatas;
3. Tidak ada solusi, sistem tidak konsisten.

Jadi, kami memiliki sistem (biarkan memiliki satu solusi), dan kami akan menyelesaikannya menggunakan metode Gaussian. Bagaimana itu bekerja?

Metode Gaussian terdiri dari dua tahap - langsung dan terbalik.

Metode Gauss langsung

Pertama, kita menulis matriks yang diperbesar dari sistem. Untuk melakukan ini, kami menambahkan kolom anggota bebas ke matriks utama.

Inti keseluruhan dari metode Gaussian adalah mereduksi matriks ini menjadi bentuk bertahap (atau, seperti yang mereka katakan, segitiga) melalui transformasi dasar. Dalam bentuk ini, seharusnya hanya ada nol di bawah (atau di atas) diagonal utama matriks.

Apa yang bisa dilakukan:

1. Anda dapat mengatur ulang baris matriks;
2. Jika ada baris yang identik (atau proporsional) dalam matriks, Anda dapat menghapus semua kecuali satu;
3. Anda dapat mengalikan atau membagi string dengan angka apa pun (kecuali nol);
4. Garis nol dihapus;
5. Anda dapat menambahkan string dikalikan dengan angka bukan nol ke string.

Metode Gauss terbalik

Setelah kami mengubah sistem dengan cara ini, satu yang tidak diketahui xn menjadi diketahui, dan adalah mungkin untuk menemukan semua yang tidak diketahui yang tersisa dalam urutan terbalik, mengganti x yang sudah diketahui ke dalam persamaan sistem, hingga yang pertama.

Saat Internet selalu tersedia, Anda dapat menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode Gauss on line . Yang harus Anda lakukan adalah memasukkan peluang ke dalam kalkulator online. Tetapi Anda harus mengakui, jauh lebih menyenangkan untuk menyadari bahwa contoh itu diselesaikan bukan oleh program komputer, tetapi oleh otak Anda sendiri.

Contoh penyelesaian sistem persamaan menggunakan metode Gauss

Dan sekarang - sebuah contoh, sehingga semuanya menjadi jelas dan dapat dimengerti. Biarkan sistem persamaan linier diberikan, dan itu perlu diselesaikan dengan metode Gauss:

Pertama, mari kita tulis matriks yang diperbesar:

Sekarang mari kita lihat transformasinya. Ingat bahwa kita perlu mencapai bentuk segitiga dari matriks. Kalikan baris pertama dengan (3). Kalikan baris ke-2 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1 dan dapatkan:

Kemudian kalikan baris ke-3 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2:

Kalikan baris pertama dengan (6). Kalikan baris ke-2 dengan (13). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:

Voila - sistem dibawa ke bentuk yang sesuai. Masih menemukan yang tidak diketahui:

Sistem dalam contoh ini memiliki solusi unik. Kami akan mempertimbangkan solusi sistem dengan serangkaian solusi tak terbatas dalam artikel terpisah. Mungkin pada awalnya Anda tidak akan tahu harus mulai dari mana dengan transformasi matriks, tetapi setelah latihan yang tepat Anda akan mendapatkannya dan akan mengklik Gaussian SLAE seperti kacang. Dan jika Anda tiba-tiba menemukan SLAU, yang ternyata terlalu sulit untuk dipecahkan, hubungi penulis kami! Anda bisa dengan meninggalkan aplikasi di Korespondensi. Bersama-sama kita akan menyelesaikan masalah apa pun!

Metode Gauss bagus untuk memecahkan sistem persamaan aljabar linier (SLAE). Ini memiliki beberapa keunggulan dibandingkan metode lain:

• pertama, tidak perlu menyelidiki sistem persamaan untuk kompatibilitas;
• kedua, metode Gauss dapat digunakan untuk menyelesaikan tidak hanya SLAE yang jumlah persamaannya berimpit dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan matriks utama sistemnya nondegenerate, tetapi juga sistem persamaan yang jumlah persamaannya tidak berhimpitan. dengan jumlah variabel yang tidak diketahui atau determinan matriks utama sama dengan nol;
• ketiga, metode Gauss menghasilkan hasil dengan jumlah operasi komputasi yang relatif kecil.

Review singkat artikel.

Pertama, kami memberikan definisi yang diperlukan dan memperkenalkan beberapa notasi.

Selanjutnya dijelaskan algoritma metode Gauss untuk kasus yang paling sederhana yaitu untuk sistem persamaan aljabar linier, banyaknya persamaan yang berimpit dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem tersebut tidak sama dengan nol. Saat memecahkan sistem persamaan seperti itu, esensi metode Gauss paling jelas terlihat, yang terdiri dari penghapusan variabel yang tidak diketahui secara berurutan. Oleh karena itu, metode Gaussian disebut juga metode eliminasi berurutan dari yang tidak diketahui. Mari kita tunjukkan solusi terperinci dari beberapa contoh.

Sebagai kesimpulan, kami mempertimbangkan solusi Gaussian dari sistem persamaan aljabar linier yang matriks utamanya adalah persegi panjang atau degenerasi. Solusi dari sistem tersebut memiliki beberapa fitur, yang akan kami analisis secara rinci menggunakan contoh.

Navigasi halaman.

Definisi dan notasi dasar.

Pertimbangkan sistem persamaan linier p dengan n tidak diketahui (p bisa sama dengan n ):

Dimana variabel yang tidak diketahui, adalah bilangan (nyata atau kompleks), adalah anggota bebas.

Jika sebuah , maka sistem persamaan aljabar linier disebut homogen, sebaliknya - heterogen.

Himpunan nilai variabel yang tidak diketahui, di mana semua persamaan sistem berubah menjadi identitas, disebut keputusan SLAU.

Jika setidaknya ada satu solusi untuk sistem persamaan aljabar linier, maka itu disebut persendian, sebaliknya - tidak cocok.

Jika SLAE memiliki solusi unik, maka itu disebut yakin. Jika terdapat lebih dari satu solusi, maka sistem tersebut disebut tidak pasti.

Sistem tersebut dikatakan ditulis dalam bentuk koordinat jika memiliki bentuk
.

Sistem ini di bentuk matriks catatan memiliki bentuk , di mana - matriks utama SLAE, - matriks kolom variabel yang tidak diketahui, - matriks anggota bebas.

Jika kita menambahkan ke matriks A sebagai (n + 1)-kolom kolom matriks suku bebas, maka kita mendapatkan apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linier. Biasanya, matriks yang diperbesar dilambangkan dengan huruf T, dan kolom anggota bebas dipisahkan oleh garis vertikal dari kolom lainnya, yaitu,

Matriks persegi A disebut merosot jika determinannya adalah nol. Jika , maka matriks A disebut tidak merosot.

Poin berikut harus diperhatikan.

Jika tindakan berikut dilakukan dengan sistem persamaan aljabar linier:

• tukar dua persamaan,
• kalikan kedua ruas persamaan apa pun dengan bilangan real (atau kompleks) sembarang dan bukan nol k,
• ke kedua bagian persamaan apa pun, tambahkan bagian-bagian yang sesuai dari persamaan lainnya, dikalikan dengan angka k yang berubah-ubah,

kemudian kita mendapatkan sistem ekuivalen yang memiliki solusi yang sama (atau, seperti yang asli, tidak memiliki solusi).

Untuk matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier, tindakan ini akan berarti transformasi dasar dengan baris:

• menukar dua senar
• perkalian semua elemen dari setiap baris matriks T dengan bilangan bukan nol k ,
• menambahkan elemen dari setiap baris matriks elemen yang sesuai dari baris lain, dikalikan dengan angka k .

Sekarang kita dapat melanjutkan ke deskripsi metode Gauss.

Menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier, di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui dan matriks utama sistem adalah nondegenerate, dengan metode Gauss.

Apa yang akan kita lakukan di sekolah jika kita diberi tugas untuk menemukan solusi sistem persamaan? .

Beberapa akan melakukannya.

Perhatikan bahwa dengan menambahkan ruas kiri persamaan pertama ke ruas kiri persamaan kedua, dan ruas kanan ke ruas kanan, Anda dapat menyingkirkan variabel yang tidak diketahui x 2 dan x 3 dan segera menemukan x 1:

Kami mengganti nilai yang ditemukan x 1 \u003d 1 ke dalam persamaan pertama dan ketiga dari sistem:

Jika kita mengalikan kedua bagian dari persamaan ketiga sistem dengan -1 dan menambahkannya ke bagian yang sesuai dari persamaan pertama, maka kita menyingkirkan variabel yang tidak diketahui x 3 dan dapat menemukan x 2:

Kami mengganti nilai yang diperoleh x 2 \u003d 2 ke dalam persamaan ketiga dan menemukan variabel yang tidak diketahui yang tersisa x 3:

Orang lain akan melakukan sebaliknya.

Mari kita selesaikan persamaan pertama sistem sehubungan dengan variabel yang tidak diketahui x 1 dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua dan ketiga dari sistem untuk mengecualikan variabel ini dari mereka:

Sekarang mari selesaikan persamaan kedua sistem terhadap x 2 dan substitusikan hasilnya ke persamaan ketiga untuk mengecualikan variabel x 2 yang tidak diketahui darinya:

Dapat dilihat dari persamaan ketiga sistem bahwa x 3 =3. Dari persamaan kedua kita temukan , dan dari persamaan pertama kita peroleh .

Solusi yang familiar, bukan?

Hal yang paling menarik di sini adalah bahwa metode solusi kedua pada dasarnya adalah metode eliminasi sekuensial yang tidak diketahui, yaitu metode Gauss. Ketika kami menyatakan variabel yang tidak diketahui (pertama x 1 , berikutnya x 2 ) dan mensubstitusikannya ke dalam sisa persamaan sistem, dengan demikian kami mengecualikannya. Kami melakukan pengecualian sampai saat persamaan terakhir hanya memiliki satu variabel yang tidak diketahui. Proses eliminasi berurutan dari yang tidak diketahui disebut metode Gauss langsung. Setelah langkah maju selesai, kami memiliki kesempatan untuk menghitung variabel yang tidak diketahui yang ditemukan dalam persamaan terakhir. Dengan bantuannya, dari persamaan kedua dari belakang, kami menemukan variabel yang tidak diketahui berikutnya, dan seterusnya. Proses berturut-turut menemukan variabel yang tidak diketahui sambil berpindah dari persamaan terakhir ke persamaan pertama disebut metode Gauss terbalik.

Perlu dicatat bahwa ketika kita menyatakan x 1 dalam bentuk x 2 dan x 3 dalam persamaan pertama, dan kemudian mensubstitusi ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua dan ketiga, tindakan berikut menghasilkan hasil yang sama:

Memang, prosedur seperti itu juga memungkinkan kita untuk mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 1 dari persamaan kedua dan ketiga dari sistem:

Nuansa dengan penghapusan variabel yang tidak diketahui dengan metode Gauss muncul ketika persamaan sistem tidak mengandung beberapa variabel.

Misalnya, dalam SLAU pada persamaan pertama, tidak ada variabel x 1 yang tidak diketahui (dengan kata lain, koefisien di depannya adalah nol). Oleh karena itu, kita tidak dapat menyelesaikan persamaan pertama sistem terhadap x 1 untuk mengecualikan variabel yang tidak diketahui ini dari sisa persamaan. Jalan keluar dari situasi ini adalah dengan menukar persamaan sistem. Karena kita sedang mempertimbangkan sistem persamaan linier yang determinan matriks utamanya berbeda dari nol, selalu ada persamaan di mana variabel yang kita butuhkan ada, dan kita dapat mengatur ulang persamaan ini ke posisi yang kita butuhkan. Sebagai contoh kita, cukup menukar persamaan pertama dan kedua dari sistem , maka Anda dapat menyelesaikan persamaan pertama untuk x 1 dan mengecualikannya dari sisa persamaan sistem (walaupun x 1 sudah tidak ada dalam persamaan kedua).

Kami harap Anda mendapatkan intinya.

Mari kita uraikan algoritma metode Gauss.

Misalkan kita perlu menyelesaikan sistem n persamaan aljabar linier dengan n variabel yang tidak diketahui bentuknya , dan biarkan determinan matriks utamanya bukan nol.

Kami akan mengasumsikan bahwa , karena kami selalu dapat mencapai ini dengan mengatur ulang persamaan sistem. Kami mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem, mulai dari yang kedua. Untuk melakukannya, tambahkan persamaan pertama dikalikan dengan persamaan kedua sistem, tambahkan persamaan pertama dikalikan dengan persamaan ketiga, dan seterusnya, tambahkan persamaan pertama dikalikan dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana .

Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menyatakan x 1 dalam bentuk variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan mensubstitusi ekspresi yang dihasilkan ke dalam semua persamaan lainnya. Dengan demikian, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan kedua.

Selanjutnya, kami bertindak serupa, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar

Untuk melakukannya, tambahkan persamaan kedua dikalikan dengan persamaan ketiga sistem, tambahkan persamaan kedua dikalikan dengan persamaan keempat, dan seterusnya, tambahkan persamaan kedua dikalikan dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana . Dengan demikian, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga.

Selanjutnya, kita lanjutkan ke eliminasi x 3 yang tidak diketahui, sambil bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar

Jadi kita lanjutkan perjalanan langsung dari metode Gauss sampai sistem mengambil bentuk

Mulai saat ini, kita mulai kebalikan dari metode Gauss: kita menghitung x n dari persamaan terakhir sebagai , menggunakan nilai yang diperoleh dari x n kita menemukan x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita menemukan x 1 dari persamaan pertama.

Mari kita menganalisis algoritma dengan sebuah contoh.

Contoh.

metode Gauss.

Keputusan.

Koefisien a 11 berbeda dari nol, jadi mari kita lanjutkan ke metode Gauss langsung, yaitu menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem, kecuali yang pertama. Untuk melakukan ini, ke bagian kiri dan kanan persamaan kedua, ketiga dan keempat, tambahkan bagian kiri dan kanan persamaan pertama, dikalikan dengan , masing-masing, dan :

Variabel yang tidak diketahui x 1 telah dihilangkan, mari beralih ke pengecualian x 2 . Ke bagian kiri dan kanan persamaan ketiga dan keempat dari sistem, kami menambahkan bagian kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan dengan dan :

Untuk menyelesaikan jalur maju metode Gauss, kita perlu mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 3 dari persamaan terakhir sistem. Tambahkan ke ruas kiri dan kanan persamaan keempat, masing-masing, ruas kiri dan kanan persamaan ketiga, dikalikan :

Anda dapat memulai kebalikan dari metode Gauss.

Dari persamaan terakhir kita memiliki ,
dari persamaan ketiga kita peroleh ,
dari yang kedua
dari yang pertama.

Untuk memeriksa, Anda dapat mengganti nilai yang diperoleh dari variabel yang tidak diketahui ke dalam sistem persamaan asli. Semua persamaan berubah menjadi identitas, yang berarti bahwa solusi dengan metode Gauss ditemukan dengan benar.

Menjawab:

Dan sekarang kita akan memberikan solusi dari contoh yang sama dengan metode Gauss dalam bentuk matriks.

Contoh.

Temukan solusi untuk sistem persamaan metode Gauss.

Keputusan.

Matriks yang diperluas dari sistem memiliki bentuk . Di atas setiap kolom, variabel yang tidak diketahui ditulis, yang sesuai dengan elemen matriks.

Kursus langsung dari metode Gauss di sini melibatkan membawa matriks diperpanjang dari sistem ke bentuk trapesium menggunakan transformasi dasar. Proses ini mirip dengan pengecualian variabel yang tidak diketahui yang kami lakukan dengan sistem dalam bentuk koordinat. Sekarang Anda akan yakin akan hal itu.

Mari kita ubah matriks sehingga semua elemen di kolom pertama, mulai dari yang kedua, menjadi nol. Untuk melakukan ini, ke elemen baris kedua, ketiga dan keempat, tambahkan elemen yang sesuai dari baris pertama dikalikan dengan , dan pada masing-masing:

Selanjutnya, kami mengubah matriks yang dihasilkan sehingga di kolom kedua, semua elemen, mulai dari yang ketiga, menjadi nol. Ini akan sesuai dengan mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 2 . Untuk melakukan ini, tambahkan ke elemen baris ketiga dan keempat elemen yang sesuai dari baris pertama matriks, dikalikan dengan dan :

Tetap mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 3 dari persamaan terakhir sistem. Untuk melakukan ini, ke elemen baris terakhir dari matriks yang dihasilkan, kami menambahkan elemen yang sesuai dari baris kedua dari belakang, dikalikan dengan :

Perlu dicatat bahwa matriks ini sesuai dengan sistem persamaan linier

yang diperoleh lebih awal setelah direct move.

Saatnya untuk kembali. Dalam bentuk notasi matriks, kebalikan dari metode Gauss melibatkan transformasi matriks yang dihasilkan sedemikian rupa sehingga matriks yang ditandai pada gambar

menjadi diagonal, yaitu, berbentuk

di mana beberapa angka.

Transformasi ini mirip dengan metode Gauss, tetapi tidak dilakukan dari baris pertama ke baris terakhir, tetapi dari baris terakhir ke baris pertama.

Tambahkan ke elemen baris ketiga, kedua dan pertama elemen yang sesuai dari baris terakhir, dikalikan dengan , terus menerus masing-masing:

Sekarang mari kita tambahkan ke elemen baris kedua dan pertama elemen yang sesuai dari baris ketiga, masing-masing dikalikan dengan dan dengan:

Pada langkah terakhir dari gerakan mundur metode Gauss, ke elemen baris pertama, kami menambahkan elemen baris kedua yang sesuai, dikalikan dengan :

Matriks yang dihasilkan sesuai dengan sistem persamaan , dari mana kita menemukan variabel yang tidak diketahui.

Menjawab:

CATATAN.

Ketika menggunakan metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier, perhitungan perkiraan harus dihindari, karena ini dapat menyebabkan hasil yang benar-benar salah. Kami menyarankan Anda untuk tidak membulatkan desimal. Lebih baik pindah dari pecahan desimal ke pecahan biasa.

Contoh.

Memecahkan Sistem Tiga Persamaan dengan Metode Gaussian .

Keputusan.

Perhatikan bahwa dalam contoh ini, variabel yang tidak diketahui memiliki penunjukan yang berbeda (bukan x 1 , x 2 , x 3 , tetapi x, y, z ). Mari kita beralih ke pecahan biasa:

Hilangkan x yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga dari sistem:

Dalam sistem yang dihasilkan, tidak ada variabel y yang tidak diketahui dalam persamaan kedua, dan y ada dalam persamaan ketiga, oleh karena itu, kami menukar persamaan kedua dan ketiga:

Pada titik ini, jalur langsung dari metode Gauss telah berakhir (Anda tidak perlu mengecualikan y dari persamaan ketiga, karena variabel yang tidak diketahui ini tidak ada lagi).

Ayo kembali.

Dari persamaan terakhir kita menemukan ,
dari kedua dari belakang


dari persamaan pertama yang kita miliki

Menjawab:

X=10, y=5, z=-20.

Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier, di mana jumlah persamaan tidak bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui atau matriks utama sistem didegenerasi, dengan metode Gauss.

Sistem persamaan yang matriks utamanya adalah persegi panjang atau degenerasi persegi mungkin tidak memiliki solusi, mungkin memiliki solusi tunggal, atau mungkin memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas.

Sekarang kita akan memahami bagaimana metode Gauss memungkinkan kita untuk menetapkan kompatibilitas atau inkonsistensi sistem persamaan linier, dan dalam kasus kompatibilitasnya, tentukan semua solusi (atau satu solusi tunggal).

Pada prinsipnya, proses menghilangkan variabel yang tidak diketahui dalam kasus SLAE tersebut tetap sama. Namun, ada baiknya memikirkan secara rinci beberapa situasi yang mungkin muncul.

Mari kita beralih ke langkah yang paling penting.

Jadi, mari kita asumsikan bahwa sistem persamaan aljabar linier setelah penyelesaian lari ke depan dari metode Gauss mengambil bentuk dan tidak ada persamaan yang direduksi menjadi (dalam hal ini, kami akan menyimpulkan bahwa sistem tidak konsisten). Sebuah pertanyaan logis muncul: "Apa yang harus dilakukan selanjutnya"?

Kami menulis variabel yang tidak diketahui yang berada di tempat pertama dari semua persamaan sistem yang dihasilkan:

Dalam contoh kita, ini adalah x 1 , x 4 dan x 5 . Di bagian kiri persamaan sistem, kami meninggalkan hanya suku-suku yang berisi variabel yang tidak diketahui yang ditulis x 1, x 4 dan x 5, kami mentransfer suku yang tersisa ke sisi kanan persamaan dengan tanda yang berlawanan:

Mari kita berikan nilai arbitrer ke variabel yang tidak diketahui yang berada di sisi kanan persamaan, di mana - nomor arbitrer:

Setelah itu, angka-angka ditemukan di bagian kanan semua persamaan SLAE kami dan kami dapat melanjutkan ke kebalikan dari metode Gauss.

Dari persamaan terakhir dari sistem yang kita miliki , dari persamaan kedua dari belakang kita temukan , dari persamaan pertama kita peroleh

Solusi dari sistem persamaan adalah himpunan nilai variabel yang tidak diketahui

Memberi angka nilai yang berbeda, kita akan mendapatkan solusi yang berbeda untuk sistem persamaan. Artinya, sistem persamaan kami memiliki banyak solusi.

Menjawab:

di mana - angka sewenang-wenang.

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis secara rinci solusi dari beberapa contoh lagi.

Contoh.

Memecahkan Sistem Homogen Persamaan Aljabar Linier metode Gauss.

Keputusan.

Mari kita keluarkan variabel x yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga dari sistem. Untuk melakukannya, tambahkan masing-masing bagian kiri dan kanan persamaan pertama ke bagian kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan dengan , dan ke bagian kiri dan kanan persamaan ketiga, bagian kiri dan kanan persamaan persamaan pertama, dikalikan dengan :

Sekarang kami mengecualikan y dari persamaan ketiga dari sistem persamaan yang dihasilkan:

SLAE yang dihasilkan setara dengan sistem .

Kami hanya meninggalkan istilah yang mengandung variabel yang tidak diketahui x dan y di sisi kiri persamaan sistem, dan mentransfer istilah dengan variabel yang tidak diketahui z ke sisi kanan:

Kami terus mempertimbangkan sistem persamaan linier. Pelajaran ini adalah yang ketiga tentang topik tersebut. Jika Anda memiliki gagasan yang kabur tentang apa itu sistem persamaan linier secara umum, Anda merasa seperti teko, maka saya sarankan untuk memulai dengan dasar-dasar di halaman Berikutnya, berguna untuk mempelajari pelajaran.

Metode Gauss itu mudah! Mengapa? Matematikawan terkenal Jerman Johann Carl Friedrich Gauss, semasa hidupnya, mendapat pengakuan sebagai matematikawan terhebat sepanjang masa, jenius, dan bahkan julukan "Raja Matematika". Dan segala sesuatu yang cerdik, seperti yang Anda tahu, sederhana! Ngomong-ngomong, tidak hanya pengisap, tetapi juga para jenius yang mendapatkan uang - potret Gauss dipamerkan pada uang kertas 10 Deutschmark (sebelum pengenalan euro), dan Gauss masih secara misterius tersenyum pada orang Jerman dari prangko biasa.

Metode Gauss sederhana karena CUKUP PENGETAHUAN SISWA KELAS LIMA untuk menguasainya. Harus bisa menambah dan mengalikan! Bukan kebetulan bahwa metode eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui sering dipertimbangkan oleh guru di sekolah pilihan matematika. Ini adalah paradoks, tetapi metode Gauss menyebabkan kesulitan terbesar bagi siswa. Tidak ada yang mengejutkan - ini semua tentang metodologi, dan saya akan mencoba memberi tahu dalam bentuk yang dapat diakses tentang algoritme metode ini.

Pertama, kami mensistematisasikan pengetahuan tentang sistem persamaan linear sedikit. Suatu sistem persamaan linear dapat:

1) Memiliki solusi yang unik. 2) Memiliki banyak solusi. 3) Tidak punya solusi (menjadi tidak cocok).

Metode Gauss adalah alat yang paling kuat dan serbaguna untuk menemukan solusi setiap sistem persamaan linier. Seperti yang kita ingat Aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok dalam kasus di mana sistem memiliki banyak solusi atau tidak konsisten. Metode eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui omong-omong membawa kita ke jawabannya! Dalam pelajaran ini, kita akan kembali mempertimbangkan metode Gauss untuk kasus No. 1 (satu-satunya solusi untuk sistem), sebuah artikel dicadangkan untuk situasi poin No. 2-3. Saya perhatikan bahwa algoritma metode itu sendiri bekerja dengan cara yang sama di ketiga kasus.

Mari kita kembali ke sistem paling sederhana dari pelajaran Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear? dan menyelesaikannya dengan menggunakan metode Gaussian.

Langkah pertama adalah menulis sistem matriks diperpanjang: . Dengan prinsip apa koefisien dicatat, saya pikir semua orang bisa melihatnya. Garis vertikal di dalam matriks tidak memiliki arti matematis apa pun - hanya dicoret untuk kemudahan desain.

Referensi : Saya sarankan untuk diingat ketentuan aljabar linier. Matriks Sistem adalah matriks yang hanya terdiri dari koefisien untuk yang tidak diketahui, dalam contoh ini, matriks sistem: . Matriks Sistem yang Diperpanjang adalah matriks yang sama dari sistem ditambah kolom anggota bebas, dalam hal ini: . Matriks mana pun dapat disebut matriks sederhana.

Setelah matriks yang diperluas dari sistem ditulis, perlu untuk melakukan beberapa tindakan dengannya, yang juga disebut transformasi dasar.

Ada transformasi dasar berikut:

1) string matriks bisa mengatur kembali tempat. Misalnya, dalam matriks yang sedang dipertimbangkan, Anda dapat dengan aman mengatur ulang baris pertama dan kedua:

2) Jika ada (atau muncul) baris proporsional (sebagai kasus khusus - identik) dalam matriks, maka berikut: menghapus dari matriks, semua baris ini kecuali satu. Perhatikan, misalnya, matriks . Dalam matriks ini, tiga baris terakhir proporsional, sehingga cukup untuk meninggalkan hanya satu dari mereka: .

3) Jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka itu juga mengikuti menghapus. Saya tidak akan menggambar, tentu saja, garis nol adalah garis di mana hanya nol.

4) Baris matriks dapat menjadi mengalikan (membagi) untuk nomor berapa pun bukan nol. Perhatikan, misalnya, matriks . Di sini disarankan untuk membagi baris pertama dengan -3, dan mengalikan baris kedua dengan 2: . Tindakan ini sangat berguna, karena menyederhanakan transformasi matriks lebih lanjut.

5) Transformasi ini paling banyak menimbulkan kesulitan, tetapi sebenarnya tidak ada yang rumit juga. Ke baris matriks, Anda dapat tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol. Pertimbangkan matriks kami dari contoh praktis: . Pertama, saya akan menjelaskan transformasi dengan sangat rinci. Kalikan baris pertama dengan -2: , dan ke baris kedua kita tambahkan baris pertama dikalikan -2: . Sekarang baris pertama dapat dibagi "kembali" dengan -2: . Seperti yang Anda lihat, baris yang DITAMBAHKAN LI – belum berubah. Selalu garis diubah, UNTUK YANG DITAMBAHKAN UT.

Dalam praktiknya, tentu saja, mereka tidak melukis dengan detail seperti itu, tetapi menulis lebih pendek: Sekali lagi: ke baris kedua menambahkan baris pertama dikalikan dengan -2. Garis biasanya dikalikan secara lisan atau pada konsep, sedangkan perhitungan mental adalah seperti ini:

“Saya menulis ulang matriks dan menulis ulang baris pertama: »

Kolom pertama dulu. Di bawah ini saya harus mendapatkan nol. Oleh karena itu, saya kalikan unit di atas dengan -2:, dan tambahkan yang pertama ke baris kedua: 2 + (-2) = 0. Hasilnya saya tulis di baris kedua: »

“Sekarang kolom kedua. Di atas -1 kali -2: . Saya menambahkan yang pertama ke baris kedua: 1 + 2 = 3. Saya menulis hasilnya ke baris kedua: »

“Dan kolom ketiga. Di atas -5 kali -2: . Saya menambahkan baris pertama ke baris kedua: -7 + 10 = 3. Saya menulis hasilnya di baris kedua: »

Harap pikirkan baik-baik contoh ini dan pahami algoritma perhitungan sekuensial, jika Anda memahami ini, maka metode Gauss praktis "di saku Anda". Tapi, tentu saja, kami masih mengerjakan transformasi ini.

Transformasi dasar tidak mengubah solusi sistem persamaan

! PERHATIAN: dianggap manipulasi tidak bisa menggunakan, jika Anda ditawari tugas di mana matriks diberikan "sendiri". Misalnya, dengan "klasik" matriks dalam hal apa pun Anda tidak boleh mengatur ulang sesuatu di dalam matriks! Mari kita kembali ke sistem kita. Dia praktis hancur berkeping-keping.

Mari kita tulis matriks yang diperbesar dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, perkecil menjadi tampilan melangkah:

(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan dengan -2. Dan lagi: mengapa kita mengalikan baris pertama dengan -2? Untuk mendapatkan nol di bagian bawah, yang berarti menyingkirkan satu variabel di baris kedua.

(2) Bagi baris kedua dengan 3.

Tujuan dari transformasi dasar – mengubah matriks ke bentuk langkah: . Dalam desain tugas, mereka langsung menggambar "tangga" dengan pensil sederhana, dan juga melingkari angka-angka yang terletak di "tangga". Istilah "stepped view" itu sendiri tidak sepenuhnya teoretis; dalam literatur ilmiah dan pendidikan, sering disebut pemandangan trapesium atau tampilan segitiga.

Sebagai hasil dari transformasi dasar, kami memperoleh setara sistem persamaan asli:

Sekarang sistem perlu "dililitkan" ke arah yang berlawanan - dari bawah ke atas, proses ini disebut metode Gauss terbalik.

Dalam persamaan yang lebih rendah, kita sudah memiliki hasil akhir: .

Pertimbangkan persamaan pertama sistem dan substitusikan nilai "y" yang sudah diketahui ke dalamnya:

Mari kita pertimbangkan situasi yang paling umum, ketika metode Gaussian diperlukan untuk menyelesaikan sistem tiga persamaan linier dengan tiga yang tidak diketahui.

Contoh 1

Memecahkan sistem persamaan menggunakan metode Gauss:

Mari kita tulis matriks yang diperbesar dari sistem:

Sekarang saya akan segera menggambar hasil yang akan kita dapatkan selama penyelesaian: Dan saya ulangi, tujuan kita adalah membawa matriks ke bentuk bertahap menggunakan transformasi elementer. Di mana untuk mulai mengambil tindakan?

Pertama, lihat nomor kiri atas: Seharusnya hampir selalu ada di sini satuan. Secara umum, -1 (dan terkadang angka lain) juga cocok, tetapi entah bagaimana secara tradisional terjadi bahwa unit biasanya ditempatkan di sana. Bagaimana cara mengatur unit? Kami melihat kolom pertama - kami memiliki unit yang sudah jadi! Transformasi satu: tukar baris pertama dan ketiga:

Sekarang baris pertama akan tetap tidak berubah sampai akhir solusi. Sekarang baik-baik saja.

Unit di kiri atas diatur. Sekarang Anda perlu mendapatkan nol di tempat-tempat ini:

Nol diperoleh hanya dengan bantuan transformasi "sulit". Pertama, kita berurusan dengan baris kedua (2, -1, 3, 13). Apa yang perlu dilakukan untuk mendapatkan nol di posisi pertama? Membutuhkan ke baris kedua tambahkan baris pertama dikalikan dengan -2. Secara mental atau konsep, kami mengalikan baris pertama dengan -2: (-2, -4, 2, -18). Dan kami secara konsisten melakukan penambahan (lagi secara mental atau draft), ke baris kedua kita tambahkan baris pertama, sudah dikalikan dengan -2:

Hasilnya ditulis di baris kedua:

Demikian pula, kita berurusan dengan baris ketiga (3, 2, -5, -1). Untuk mendapatkan nol di posisi pertama, Anda perlu ke baris ketiga tambahkan baris pertama dikalikan dengan -3. Secara mental atau pada konsep, kami mengalikan baris pertama dengan -3: (-3, -6, 3, -27). Dan ke baris ketiga kita tambahkan baris pertama dikalikan dengan -3:

Hasilnya ditulis di baris ketiga:

Dalam praktiknya, tindakan ini biasanya dilakukan secara lisan dan tertulis dalam satu langkah:

Tidak perlu menghitung semuanya sekaligus. Urutan perhitungan dan "penyisipan" hasil konsisten dan biasanya seperti ini: pertama kita menulis ulang baris pertama, dan membusungkan diri dengan tenang - KONSISTEN dan dengan penuh perhatian:
Dan saya sudah mempertimbangkan jalan pikiran dari perhitungan itu sendiri di atas.

Dalam contoh ini, ini mudah dilakukan, kita membagi baris kedua dengan -5 (karena semua bilangan di sana habis dibagi 5 tanpa sisa). Pada saat yang sama, kami membagi baris ketiga dengan -2, karena semakin kecil angkanya, semakin sederhana solusinya:

Pada tahap akhir transformasi dasar, satu nol lagi harus diperoleh di sini:

Untuk ini ke baris ketiga kita tambahkan baris kedua, dikalikan dengan -2:
Cobalah untuk mengurai tindakan ini sendiri - secara mental kalikan baris kedua dengan -2 dan lakukan penambahan.

Tindakan terakhir yang dilakukan adalah gaya rambut hasilnya, bagi garis ketiga dengan 3.

Sebagai hasil dari transformasi dasar, sistem persamaan linier awal yang setara diperoleh: Dingin.

Sekarang kebalikan dari metode Gaussian mulai berlaku. Persamaan "bersantai" dari bawah ke atas.

Dalam persamaan ketiga, kita sudah memiliki hasil akhir:

Mari kita lihat persamaan kedua: . Arti "z" sudah diketahui, jadi:

Dan akhirnya, persamaan pertama: . "Y" dan "Z" diketahui, masalahnya kecil:

Menjawab:

Seperti yang telah berulang kali dicatat, untuk sistem persamaan apa pun, dimungkinkan dan perlu untuk memeriksa solusi yang ditemukan, untungnya, ini tidak sulit dan cepat.

Contoh 2

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri, contoh penyelesaian dan jawaban di akhir pelajaran.

Perlu dicatat bahwa Anda tindakan mungkin tidak sesuai dengan tindakan saya, dan ini adalah fitur dari metode Gauss. Tapi jawabannya harus sama!

Contoh 3

Memecahkan sistem persamaan linier menggunakan metode Gauss

Kami melihat "langkah" kiri atas. Di sana kita harus memiliki unit. Masalahnya adalah tidak ada yang sama sekali di kolom pertama, jadi tidak ada yang bisa diselesaikan dengan mengatur ulang baris. Dalam kasus seperti itu, unit harus diatur menggunakan transformasi dasar. Ini biasanya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Saya melakukan ini: (1) Ke baris pertama kita tambahkan baris kedua, dikalikan dengan -1. Artinya, kami secara mental mengalikan baris kedua dengan -1 dan melakukan penambahan baris pertama dan kedua, sedangkan baris kedua tidak berubah.

Sekarang di kiri atas "minus satu", yang sangat cocok untuk kita. Siapa yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan gerakan tambahan: kalikan baris pertama dengan -1 (ubah tandanya).

(2) Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.

(3) Baris pertama dikalikan dengan -1, pada prinsipnya ini untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga diubah dan dipindahkan ke tempat kedua, sehingga pada "langkah kedua, kami memiliki unit yang diinginkan.

(4) Baris kedua dikalikan 2 ditambahkan ke baris ketiga.

(5) Baris ketiga dibagi 3.

Pertanda buruk yang menunjukkan kesalahan perhitungan (lebih jarang salah ketik) adalah garis bawah yang "buruk". Artinya, jika kita mendapatkan sesuatu seperti di bawah ini, dan, karenanya, , maka dengan tingkat probabilitas yang tinggi dapat dikatakan bahwa kesalahan telah dibuat selama transformasi dasar.

Kami mengisi gerakan terbalik, dalam desain contoh, sistem itu sendiri sering tidak ditulis ulang, dan persamaan "diambil langsung dari matriks yang diberikan". Gerakan sebaliknya, saya ingatkan, bekerja dari bawah ke atas. Ya, inilah hadiahnya:

Menjawab: .

Contoh 4

Memecahkan sistem persamaan linier menggunakan metode Gauss

Ini adalah contoh untuk solusi independen, ini agak lebih rumit. Tidak apa-apa jika seseorang bingung. Solusi lengkap dan contoh desain di akhir pelajaran. Solusi Anda mungkin berbeda dari saya.

Pada bagian terakhir, kami mempertimbangkan beberapa fitur dari algoritma Gauss. Fitur pertama adalah terkadang beberapa variabel hilang dalam persamaan sistem, misalnya: Bagaimana cara menulis matriks sistem yang diperbesar dengan benar? Saya sudah berbicara tentang momen ini dalam pelajaran. aturan Cramer. Metode matriks. Dalam matriks sistem yang diperluas, kami menempatkan nol di tempat variabel yang hilang: Omong-omong, ini adalah contoh yang cukup mudah, karena sudah ada satu nol di kolom pertama, dan ada lebih sedikit transformasi dasar yang harus dilakukan.

Fitur kedua adalah ini. Dalam semua contoh yang dipertimbangkan, kami menempatkan -1 atau +1 pada "langkah". Mungkinkah ada nomor lain? Dalam beberapa kasus mereka bisa. Pertimbangkan sistemnya: .

Di sini, di "langkah" kiri atas kami memiliki deuce. Tetapi kami memperhatikan fakta bahwa semua angka di kolom pertama habis dibagi 2 tanpa sisa - dan dua dan enam lainnya. Dan deuce di kiri atas cocok untuk kita! Pada langkah pertama, Anda perlu melakukan transformasi berikut: tambahkan baris pertama dikalikan dengan -1 ke baris kedua; ke baris ketiga tambahkan baris pertama dikalikan dengan -3. Dengan demikian, kita akan mendapatkan nol yang diinginkan di kolom pertama.

Atau contoh hipotetis lainnya: . Di sini, rangkap tiga pada "anak tangga" kedua juga cocok untuk kita, karena 12 (tempat di mana kita perlu mendapatkan nol) habis dibagi 3 tanpa sisa. Penting untuk melakukan transformasi berikut: ke baris ketiga, tambahkan baris kedua, dikalikan dengan -4, sebagai hasilnya nol yang kita butuhkan akan diperoleh.

Metode Gauss bersifat universal, tetapi ada satu kekhasan. Anda dapat dengan percaya diri mempelajari cara menyelesaikan sistem dengan metode lain (metode Cramer, metode matriks) secara harfiah sejak pertama kali - ada algoritma yang sangat kaku. Tetapi untuk merasa percaya diri dengan metode Gauss, Anda harus "mengisi tangan Anda" dan menyelesaikan setidaknya 5-10 sepuluh sistem. Oleh karena itu, pada awalnya mungkin ada kebingungan, kesalahan dalam perhitungan, dan tidak ada yang tidak biasa atau tragis dalam hal ini.

Cuaca musim gugur yang hujan di luar jendela .... Oleh karena itu, untuk semua orang, contoh yang lebih kompleks untuk solusi independen:

Contoh 5

Memecahkan sistem 4 persamaan linier dengan empat tidak diketahui menggunakan metode Gauss.

Tugas seperti itu dalam praktiknya tidak jarang. Saya pikir bahkan teko yang telah mempelajari halaman ini secara rinci memahami algoritma untuk memecahkan sistem seperti itu secara intuitif. Pada dasarnya sama - hanya lebih banyak tindakan.

Kasus-kasus ketika sistem tidak memiliki solusi (tidak konsisten) atau memiliki banyak solusi yang tidak terhingga dipertimbangkan dalam pelajaran. Sistem dan sistem yang tidak kompatibel dengan solusi umum. Di sana Anda dapat memperbaiki algoritma yang dipertimbangkan dari metode Gauss.

Semoga Anda beruntung!

Solusi dan jawaban:

Contoh 2: Keputusan : Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap.
Transformasi dasar yang dilakukan: (1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan dengan -2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan dengan -1. Perhatian! Di sini mungkin tergoda untuk mengurangi baris pertama dari baris ketiga, saya sangat tidak menyarankan pengurangan - risiko kesalahan sangat meningkat. Kami hanya melipat! (2) Tanda baris kedua diubah (dikalikan -1). Baris kedua dan ketiga telah ditukar. catatan bahwa pada "langkah" kami puas tidak hanya dengan satu, tetapi juga dengan -1, yang bahkan lebih nyaman. (3) Pada baris ketiga, tambahkan baris kedua, dikalikan dengan 5. (4) Tanda baris kedua diubah (dikalikan -1). Baris ketiga dibagi 14.

Gerakan mundur:

Menjawab : .

Contoh 4: Keputusan : Kami menulis matriks yang diperluas dari sistem dan, menggunakan transformasi dasar, membawanya ke bentuk langkah:

Konversi yang dilakukan: (1) Baris kedua ditambahkan ke baris pertama. Dengan demikian, unit yang diinginkan diatur di "langkah" kiri atas. (2) Baris pertama dikalikan 7 ditambahkan ke baris kedua, baris pertama dikalikan 6 ditambahkan ke baris ketiga.

Dengan "langkah" kedua semuanya menjadi lebih buruk , "kandidat" untuk itu adalah nomor 17 dan 23, dan kita membutuhkan salah satu atau -1. Transformasi (3) dan (4) akan ditujukan untuk mendapatkan unit yang diinginkan (3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan dengan -1. (4) Baris ketiga, dikalikan dengan -3, ditambahkan ke baris kedua. Hal yang diperlukan pada langkah kedua diterima . (5) Baris ketiga ditambah baris kedua, dikalikan 6. (6) Baris kedua dikalikan -1, baris ketiga dibagi -83.

Gerakan mundur:

Menjawab :

Contoh 5: Keputusan : Mari kita tuliskan matriks sistem dan, dengan menggunakan transformasi elementer, buatlah menjadi bentuk bertahap:

Konversi yang dilakukan: (1) Baris pertama dan kedua telah ditukar. (2) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan dengan -2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan dengan -2. Baris pertama ditambahkan ke baris keempat, dikalikan dengan -3. (3) Baris kedua dikalikan 4 ditambahkan ke baris ketiga. Baris kedua dikalikan -1 ditambahkan ke baris keempat. (4) Tanda baris kedua telah diubah. Baris keempat dibagi 3 dan ditempatkan sebagai pengganti baris ketiga. (5) Baris ketiga ditambahkan ke baris keempat, dikalikan dengan -5.

Gerakan mundur:

Menjawab :

Biarkan sistem persamaan aljabar linier diberikan, yang harus diselesaikan (temukan nilai-nilai yang tidak diketahui i yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan).

Kita tahu bahwa sistem persamaan aljabar linier dapat:

1) Tidak memiliki solusi (menjadi tidak cocok).
2) Memiliki banyak solusi.
3) Memiliki solusi yang unik.

Seperti yang kita ingat, aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok dalam kasus di mana sistem memiliki banyak solusi atau tidak konsisten. Metode Gauss – alat yang paling kuat dan serbaguna untuk menemukan solusi untuk setiap sistem persamaan linier, yang dalam setiap kasus membawa kita ke jawabannya! Algoritma metode dalam ketiga kasus bekerja dengan cara yang sama. Jika metode Cramer dan matriks membutuhkan pengetahuan tentang determinan, maka penerapan metode Gauss hanya membutuhkan pengetahuan tentang operasi aritmatika, yang membuatnya dapat diakses bahkan oleh siswa sekolah dasar.

Transformasi matriks yang diperluas ( ini adalah matriks sistem - matriks yang hanya terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, ditambah kolom istilah bebas) sistem persamaan aljabar linier dalam metode Gauss:

1) dengan troky matriks bisa mengatur kembali tempat.

2) jika ada (atau adalah) baris proporsional (sebagai kasus khusus, identik) dalam matriks, maka berikut: menghapus dari matriks, semua baris ini kecuali satu.

3) jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka itu juga mengikuti menghapus.

4) baris matriks dapat mengalikan (membagi) ke nomor apa pun selain nol.

5) ke baris matriks, Anda dapat tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol.

Dalam metode Gauss, transformasi elementer tidak mengubah solusi sistem persamaan.

Metode Gauss terdiri dari dua tahap:

1. "Langkah langsung" - menggunakan transformasi dasar, bawa matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier ke bentuk langkah "segitiga": elemen-elemen dari matriks yang diperluas yang terletak di bawah diagonal utama sama dengan nol (gerakan dari atas ke bawah ). Misalnya, untuk jenis ini:

Untuk melakukannya, lakukan langkah-langkah berikut:

1) Mari kita perhatikan persamaan pertama dari sistem persamaan aljabar linier dan koefisien pada x 1 sama dengan K. Yang kedua, ketiga, dst. kami mengubah persamaan sebagai berikut: kami membagi setiap persamaan (koefisien untuk yang tidak diketahui, termasuk suku bebas) dengan koefisien untuk x 1 yang tidak diketahui, yang ada di setiap persamaan, dan dikalikan dengan K. Setelah itu, kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua ( koefisien untuk yang tidak diketahui dan istilah bebas). Kita mendapatkan di x 1 dalam persamaan kedua koefisien 0. Dari persamaan transformasi ketiga kita kurangi persamaan pertama, jadi sampai semua persamaan, kecuali yang pertama, dengan x 1 yang tidak diketahui tidak akan memiliki koefisien 0.

2) Pindah ke persamaan berikutnya. Biarkan ini menjadi persamaan kedua dan koefisien pada x 2 sama dengan M. Dengan semua persamaan "bawahan", kami melanjutkan seperti dijelaskan di atas. Jadi, "di bawah" x 2 yang tidak diketahui dalam semua persamaan akan menjadi nol.

3) Kami meneruskan ke persamaan berikutnya dan seterusnya sampai satu suku bebas terakhir yang tidak diketahui dan diubah tetap.

1. "Gerakan terbalik" dari metode Gauss adalah untuk mendapatkan solusi sistem persamaan aljabar linier (gerakan "bawah ke atas"). Dari persamaan "lebih rendah" terakhir kita mendapatkan satu solusi pertama - x n yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kami memecahkan persamaan dasar A * x n \u003d B. Dalam contoh di atas, x 3 \u003d 4. Kami mengganti nilai yang ditemukan dalam persamaan "atas" berikutnya dan menyelesaikannya sehubungan dengan yang tidak diketahui berikutnya. Misalnya, x 2 - 4 \u003d 1, mis. x 2 \u003d 5. Dan seterusnya sampai kami menemukan semua yang tidak diketahui.

Contoh.

Kami memecahkan sistem persamaan linier menggunakan metode Gauss, seperti yang disarankan oleh beberapa penulis:

Kami menulis matriks yang diperluas dari sistem dan, menggunakan transformasi dasar, membawanya ke bentuk langkah:

Kami melihat "langkah" kiri atas. Di sana kita harus memiliki unit. Masalahnya adalah tidak ada yang sama sekali di kolom pertama, jadi tidak ada yang bisa diselesaikan dengan mengatur ulang baris. Dalam kasus seperti itu, unit harus diatur menggunakan transformasi dasar. Ini biasanya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Mari kita lakukan seperti ini:
1 langkah . Ke baris pertama kita tambahkan baris kedua, dikalikan dengan -1. Artinya, kami secara mental mengalikan baris kedua dengan -1 dan melakukan penambahan baris pertama dan kedua, sedangkan baris kedua tidak berubah.

Sekarang di kiri atas "minus satu", yang sangat cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan tindakan tambahan: kalikan baris pertama dengan -1 (ubah tandanya).

2 langkah . Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.

3 langkah . Baris pertama dikalikan dengan -1, pada prinsipnya, ini untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga diubah dan dipindahkan ke tempat kedua, sehingga pada "langkah kedua, kami memiliki unit yang diinginkan.

4 langkah . Pada baris ketiga, tambahkan baris kedua, dikalikan 2.

5 langkah . Baris ketiga dibagi 3.

Tanda yang menunjukkan kesalahan dalam perhitungan (lebih jarang salah ketik) adalah garis bawah yang "buruk". Artinya, jika kita mendapatkan sesuatu seperti (0 0 11 | 23) di bawah ini, dan, oleh karena itu, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, maka dengan tingkat probabilitas yang tinggi kita dapat mengatakan bahwa kesalahan telah dibuat selama sekolah dasar. transformasi.

Kami melakukan gerakan terbalik, dalam desain contoh, sistem itu sendiri sering tidak ditulis ulang, dan persamaan "diambil langsung dari matriks yang diberikan". Gerakan sebaliknya, saya ingatkan Anda, bekerja "dari bawah ke atas." Dalam contoh ini, hadiah itu ternyata:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, oleh karena itu x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Menjawab:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Mari kita selesaikan sistem yang sama menggunakan algoritma yang diusulkan. Kita mendapatkan

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Bagi persamaan kedua dengan 5 dan persamaan ketiga dengan 3. Kita peroleh:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Kalikan persamaan kedua dan ketiga dengan 4, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga, kita dapatkan:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Bagi persamaan ketiga dengan 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Kalikan persamaan ketiga dengan 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Kurangi persamaan kedua dari persamaan ketiga, kita mendapatkan matriks augmented "bertahap":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Jadi, karena kesalahan terakumulasi dalam proses perhitungan, kami mendapatkan x 3 \u003d 0,96, atau sekitar 1.

x 2 \u003d 3 dan x 1 \u003d -1.

Memecahkan dengan cara ini, Anda tidak akan pernah bingung dalam perhitungan dan, meskipun ada kesalahan perhitungan, Anda akan mendapatkan hasilnya.

Metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier ini mudah diprogram dan tidak memperhitungkan fitur khusus dari koefisien untuk yang tidak diketahui, karena dalam praktiknya (dalam perhitungan ekonomi dan teknis) kita harus berurusan dengan koefisien non-bilangan bulat.

Semoga Anda beruntung! Sampai jumpa di kelas! Guru.

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Sejak awal abad 16-18, ahli matematika mulai mempelajari fungsi secara intensif, berkat begitu banyak yang telah berubah dalam hidup kita. Teknologi komputer tanpa pengetahuan ini tidak akan ada. Untuk memecahkan masalah yang kompleks, persamaan dan fungsi linier, berbagai konsep, teorema, dan teknik penyelesaian telah dibuat. Salah satu metode dan teknik universal dan rasional untuk menyelesaikan persamaan linier dan sistemnya adalah metode Gauss. Matriks, peringkatnya, determinannya - semuanya dapat dihitung tanpa menggunakan operasi yang rumit.

Apa itu SLAU?

Dalam matematika, ada konsep SLAE - sistem persamaan aljabar linier. Apa yang dia wakili? Ini adalah satu set persamaan m dengan n yang tidak diketahui yang diperlukan, biasanya dilambangkan sebagai x, y, z, atau x 1 , x 2 ... x n, atau simbol lainnya. Menyelesaikan sistem ini dengan metode Gaussian berarti menemukan semua yang tidak diketahui yang tidak diketahui. Jika suatu sistem memiliki jumlah yang tidak diketahui dan persamaan yang sama, maka itu disebut sistem orde ke-n.

Metode paling populer untuk menyelesaikan SLAE

Di lembaga pendidikan pendidikan menengah, berbagai metode penyelesaian sistem semacam itu sedang dipelajari. Paling sering, ini adalah persamaan sederhana yang terdiri dari dua yang tidak diketahui, sehingga metode apa pun yang ada untuk menemukan jawabannya tidak akan memakan banyak waktu. Ini bisa seperti metode substitusi, ketika persamaan lain diturunkan dari satu persamaan dan disubstitusikan ke persamaan aslinya. Atau istilah demi istilah pengurangan dan penambahan. Tetapi metode Gauss dianggap yang termudah dan paling universal. Itu memungkinkan untuk menyelesaikan persamaan dengan sejumlah yang tidak diketahui. Mengapa teknik ini dianggap rasional? Semuanya sederhana. Metode matriks bagus karena tidak perlu beberapa kali untuk menulis ulang karakter yang tidak perlu dalam bentuk yang tidak diketahui, cukup melakukan operasi aritmatika pada koefisien - dan Anda akan mendapatkan hasil yang andal.

Di mana SLAE digunakan dalam praktik?

Penyelesaian SLAE adalah titik potong garis pada grafik fungsi. Di era komputer berteknologi tinggi kita, orang-orang yang terlibat erat dalam pengembangan game dan program lain perlu mengetahui cara memecahkan sistem seperti itu, apa yang diwakilinya, dan bagaimana memeriksa kebenaran hasil yang dihasilkan. Paling sering, programmer mengembangkan kalkulator aljabar linier khusus, ini termasuk sistem persamaan linier. Metode Gauss memungkinkan Anda untuk menghitung semua solusi yang ada. Rumus dan teknik sederhana lainnya juga digunakan.

Kriteria kompatibilitas SLAE

Sistem seperti itu hanya dapat diselesaikan jika kompatibel. Untuk kejelasan, kami menyajikan SLAE dalam bentuk Ax=b. Ini memiliki solusi jika rang(A) sama dengan rang(A,b). Dalam hal ini, (A,b) adalah matriks bentuk diperluas yang dapat diperoleh dari matriks A dengan menulis ulang dengan suku bebas. Ternyata menyelesaikan persamaan linear menggunakan metode Gaussian cukup mudah.

Mungkin beberapa notasi tidak sepenuhnya jelas, jadi perlu untuk mempertimbangkan semuanya dengan sebuah contoh. Katakanlah ada sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Ini hanya terdiri dari dua persamaan di mana ada 2 yang tidak diketahui. Sistem akan memiliki solusi hanya jika pangkat matriksnya sama dengan pangkat matriks yang diperbesar. Apa itu pangkat? Ini adalah jumlah garis independen dari sistem. Dalam kasus kami, pangkat matriks adalah 2. Matriks A akan terdiri dari koefisien yang terletak di dekat yang tidak diketahui, dan koefisien di belakang tanda “=” juga akan masuk ke dalam matriks yang diperluas.

Mengapa SLAE dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks

Berdasarkan kriteria kompatibilitas menurut teorema Kronecker-Capelli yang telah terbukti, sistem persamaan aljabar linier dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Dengan menggunakan metode kaskade Gaussian, Anda dapat memecahkan matriks dan mendapatkan satu-satunya jawaban yang dapat diandalkan untuk keseluruhan sistem. Jika peringkat matriks biasa sama dengan peringkat matriks yang diperluas, tetapi kurang dari jumlah yang tidak diketahui, maka sistem memiliki jumlah jawaban yang tak terbatas.

Transformasi matriks

Sebelum beralih ke pemecahan matriks, perlu diketahui tindakan apa yang dapat dilakukan pada elemen-elemennya. Ada beberapa transformasi dasar:

• Dengan menulis ulang sistem ke dalam bentuk matriks dan melakukan penyelesaiannya, dimungkinkan untuk mengalikan semua elemen deret dengan koefisien yang sama.
• Untuk mengubah matriks ke bentuk kanonik, dua baris paralel dapat ditukar. Bentuk kanonik menyiratkan bahwa semua elemen matriks yang terletak di sepanjang diagonal utama menjadi satu, dan sisanya menjadi nol.
• Elemen-elemen yang bersesuaian dari baris-baris paralel matriks dapat ditambahkan satu ke yang lain.

Metode Jordan-Gauss

Inti dari penyelesaian sistem persamaan linear homogen dan tidak homogen dengan metode Gauss adalah untuk secara bertahap menghilangkan yang tidak diketahui. Katakanlah kita memiliki sistem dua persamaan di mana ada dua yang tidak diketahui. Untuk menemukannya, Anda perlu memeriksa kompatibilitas sistem. Persamaan Gaussian diselesaikan dengan sangat sederhana. Penting untuk menuliskan koefisien yang terletak di dekat setiap yang tidak diketahui dalam bentuk matriks. Untuk menyelesaikan sistem, Anda perlu menulis matriks yang diperbesar. Jika salah satu persamaan berisi jumlah yang lebih kecil dari yang tidak diketahui, maka "0" harus diletakkan di tempat elemen yang hilang. Semua metode transformasi yang dikenal diterapkan ke matriks: perkalian, pembagian dengan angka, menambahkan elemen baris yang sesuai satu sama lain, dan lainnya. Ternyata di setiap baris perlu untuk meninggalkan satu variabel dengan nilai "1", sisanya harus dikurangi menjadi nol. Untuk pemahaman yang lebih akurat, perlu untuk mempertimbangkan metode Gauss dengan contoh.

Contoh sederhana untuk menyelesaikan sistem 2x2

Untuk memulainya, mari kita ambil sistem persamaan aljabar sederhana, di mana akan ada 2 yang tidak diketahui.

Mari kita tulis ulang dalam matriks yang diperbesar.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier ini, hanya diperlukan dua operasi. Kita perlu membawa matriks ke bentuk kanonik sehingga ada unit di sepanjang diagonal utama. Jadi, menerjemahkan dari bentuk matriks kembali ke dalam sistem, kita mendapatkan persamaan: 1x+0y=b1 dan 0x+1y=b2, di mana b1 dan b2 adalah jawaban yang diperoleh dalam proses penyelesaian.

1. Langkah pertama dalam menyelesaikan matriks yang diperbesar adalah sebagai berikut: baris pertama harus dikalikan dengan -7 dan elemen yang sesuai ditambahkan ke baris kedua, masing-masing, untuk menghilangkan satu yang tidak diketahui dalam persamaan kedua.
2. Karena penyelesaian persamaan dengan metode Gauss menyiratkan membawa matriks ke bentuk kanonik, maka perlu untuk melakukan operasi yang sama dengan persamaan pertama dan menghapus variabel kedua. Untuk melakukan ini, kami mengurangi baris kedua dari yang pertama dan mendapatkan jawaban yang diperlukan - solusi SLAE. Atau, seperti yang ditunjukkan pada gambar, kita mengalikan baris kedua dengan faktor -1 dan menambahkan elemen baris kedua ke baris pertama. Ini sama.

Seperti yang Anda lihat, sistem kami diselesaikan dengan metode Jordan-Gauss. Kami menulis ulang dalam bentuk yang diperlukan: x=-5, y=7.

Contoh penyelesaian SLAE 3x3

Misalkan kita memiliki sistem persamaan linier yang lebih kompleks. Metode Gauss memungkinkan untuk menghitung jawaban bahkan untuk sistem yang tampaknya paling membingungkan. Oleh karena itu, untuk mempelajari lebih dalam metodologi perhitungan, kita dapat beralih ke contoh yang lebih kompleks dengan tiga yang tidak diketahui.

Seperti pada contoh sebelumnya, kami menulis ulang sistem dalam bentuk matriks yang diperluas dan mulai membawanya ke bentuk kanonik.

Untuk mengatasi sistem ini, Anda perlu melakukan lebih banyak tindakan daripada pada contoh sebelumnya.

1. Pertama, Anda perlu membuat di kolom pertama satu elemen tunggal dan sisanya nol. Untuk melakukannya, kalikan persamaan pertama dengan -1 dan tambahkan persamaan kedua ke dalamnya. Penting untuk diingat bahwa kami menulis ulang baris pertama dalam bentuk aslinya, dan yang kedua - sudah dalam bentuk yang dimodifikasi.
2. Selanjutnya, kami menghapus yang tidak diketahui pertama yang sama dari persamaan ketiga. Untuk melakukan ini, kami mengalikan elemen baris pertama dengan -2 dan menambahkannya ke baris ketiga. Sekarang baris pertama dan kedua ditulis ulang dalam bentuk aslinya, dan yang ketiga - sudah dengan perubahan. Seperti yang Anda lihat dari hasilnya, kami mendapatkan yang pertama di awal diagonal utama matriks dan sisanya adalah nol. Beberapa tindakan lagi, dan sistem persamaan dengan metode Gauss akan diselesaikan dengan andal.
3. Sekarang Anda perlu melakukan operasi pada elemen baris lainnya. Langkah ketiga dan keempat bisa digabungkan menjadi satu. Kita perlu membagi garis kedua dan ketiga dengan -1 untuk menghilangkan garis negatif pada diagonal. Kami telah membawa baris ketiga ke formulir yang diperlukan.
4. Selanjutnya, kita mengkanonikalisasi baris kedua. Untuk melakukan ini, kami mengalikan elemen baris ketiga dengan -3 dan menambahkannya ke baris kedua matriks. Dapat dilihat dari hasil bahwa baris kedua juga direduksi menjadi bentuk yang kita butuhkan. Tetap melakukan beberapa operasi lagi dan menghapus koefisien yang tidak diketahui dari baris pertama.
5. Untuk membuat 0 dari elemen kedua baris, Anda perlu mengalikan baris ketiga dengan -3 dan menambahkannya ke baris pertama.
6. Langkah menentukan berikutnya adalah menambahkan elemen yang diperlukan dari baris kedua ke baris pertama. Jadi kita mendapatkan bentuk kanonik dari matriks, dan, karenanya, jawabannya.

Seperti yang Anda lihat, solusi persamaan dengan metode Gauss cukup sederhana.

Contoh penyelesaian sistem persamaan 4x4

Beberapa sistem persamaan yang lebih kompleks dapat diselesaikan dengan metode Gaussian menggunakan program komputer. Penting untuk mengarahkan koefisien untuk yang tidak diketahui ke dalam sel kosong yang ada, dan program akan menghitung hasil yang diperlukan langkah demi langkah, menjelaskan setiap tindakan secara rinci.

Petunjuk langkah demi langkah untuk memecahkan contoh seperti itu dijelaskan di bawah ini.

Pada langkah pertama, koefisien bebas dan angka untuk yang tidak diketahui dimasukkan ke dalam sel kosong. Jadi, kita mendapatkan matriks augmented yang sama yang kita tulis dengan tangan.

Dan semua operasi aritmatika yang diperlukan dilakukan untuk membawa matriks yang diperluas ke bentuk kanonik. Harus dipahami bahwa jawaban sistem persamaan tidak selalu bilangan bulat. Terkadang solusinya bisa dari bilangan pecahan.

Memeriksa kebenaran solusi

Metode Jordan-Gauss menyediakan untuk memeriksa kebenaran hasil. Untuk mengetahui apakah koefisien dihitung dengan benar, Anda hanya perlu mengganti hasilnya ke dalam sistem persamaan asli. Ruas kiri persamaan harus sama dengan ruas kanan, yang berada di belakang tanda sama dengan. Jika jawabannya tidak cocok, maka Anda perlu menghitung ulang sistem atau mencoba menerapkan metode lain untuk menyelesaikan SLAE yang Anda ketahui, seperti substitusi atau pengurangan dan penambahan suku demi suku. Bagaimanapun, matematika adalah ilmu yang memiliki sejumlah besar metode penyelesaian yang berbeda. Tapi ingat: hasilnya harus selalu sama, apa pun metode solusi yang Anda gunakan.

Metode Gauss: kesalahan paling umum dalam menyelesaikan SLAE

Selama penyelesaian sistem persamaan linier, kesalahan paling sering terjadi, seperti transfer koefisien yang salah ke bentuk matriks. Ada sistem di mana beberapa yang tidak diketahui hilang dalam salah satu persamaan, kemudian, mentransfer data ke matriks yang diperluas, mereka dapat hilang. Akibatnya, ketika memecahkan sistem ini, hasilnya mungkin tidak sesuai dengan yang sebenarnya.

Kesalahan utama lainnya adalah penulisan hasil akhir yang salah. Harus dipahami dengan jelas bahwa koefisien pertama akan sesuai dengan yang pertama tidak diketahui dari sistem, yang kedua - ke yang kedua, dan seterusnya.

Metode Gauss menjelaskan secara rinci solusi persamaan linier. Berkat dia, mudah untuk melakukan operasi yang diperlukan dan menemukan hasil yang tepat. Selain itu, ini adalah alat universal untuk menemukan jawaban yang andal untuk persamaan dengan kompleksitas apa pun. Mungkin itu sebabnya sering digunakan dalam menyelesaikan SLAE.