Metode Variasi Konstanta Sewenang-wenang
Metode variasi konstanta arbitrer untuk membangun solusi untuk persamaan diferensial linier tidak homogen
sebuah n (t)z (n) (t) + sebuah n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + sebuah 1 (t)z"(t) + sebuah 0 (t)z(t) = f(t)
terdiri dari mengubah konstanta arbitrer c k dalam keputusan umum
z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)
persamaan homogen yang sesuai
sebuah n (t)z (n) (t) + sebuah n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + sebuah 1 (t)z"(t) + sebuah 0 (t)z(t) = 0
untuk fungsi pembantu c k (t) , yang turunannya memenuhi sistem aljabar linier
Determinan sistem (1) adalah Wronskian fungsi z 1 ,z 2 ,...,z n , yang memastikan solvabilitas uniknya sehubungan dengan .
Jika adalah antiturunan untuk diambil pada nilai tetap dari konstanta integrasi, maka fungsi
adalah solusi untuk persamaan diferensial tidak homogen linier asli. Integrasi persamaan homogen dengan adanya solusi umum dari persamaan homogen yang sesuai dengan demikian direduksi menjadi kuadratur.
Metode variasi konstanta arbitrer untuk membangun solusi sistem persamaan diferensial linier dalam bentuk normal vektor
terdiri dalam membangun solusi tertentu (1) dalam bentuk
di mana Z(t) adalah dasar dari solusi persamaan homogen yang sesuai, ditulis sebagai matriks, dan fungsi vektor , yang menggantikan vektor konstanta arbitrer, didefinisikan oleh relasi . Solusi khusus yang diinginkan (dengan nilai awal nol pada t = t 0 memiliki bentuk
Untuk sistem dengan koefisien konstan, ekspresi terakhir disederhanakan:
Matriks Z(t)Z 1 (τ) ditelepon Matriks Cauchy operator L = A(t) .
Metode variasi konstanta arbitrer, atau metode Lagrange, adalah cara lain untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier orde pertama dan persamaan Bernoulli.
Persamaan diferensial linier orde pertama adalah persamaan dalam bentuk y’+p(x)y=q(x). Jika ruas kanan adalah nol: y’+p(x)y=0, maka ini adalah linear homogen persamaan orde 1. Dengan demikian, persamaan dengan ruas kanan bukan nol, y’+p(x)y=q(x), — heterogen persamaan linear orde 1.
Metode variasi konstan sewenang-wenang (metode Lagrange) terdiri dari sebagai berikut:
1) Kami mencari solusi umum untuk persamaan homogen y’+p(x)y=0: y=y*.
2) Dalam solusi umum, C dianggap bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari x: C=C(x). Kami menemukan turunan dari solusi umum (y*)' dan mengganti ekspresi yang dihasilkan untuk y* dan (y*)' ke dalam kondisi awal. Dari persamaan yang dihasilkan, kita menemukan fungsi (x).
3) Dalam solusi umum persamaan homogen, alih-alih C, kami mengganti ekspresi yang ditemukan C (x).
Pertimbangkan contoh tentang metode variasi konstanta arbitrer. Mari kita ambil tugas yang sama seperti di , bandingkan jalannya solusi dan pastikan jawaban yang diterima sama.
1) y'=3x-y/x
Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk standar (berlawanan dengan metode Bernoulli, di mana kita membutuhkan notasi hanya untuk melihat bahwa persamaan tersebut linier).
y'+y/x=3x (I). Sekarang kita berjalan sesuai rencana.
1) Kami memecahkan persamaan homogen y’+y/x=0. Ini adalah persamaan variabel yang dapat dipisahkan. Nyatakan y’=dy/dx, substitusikan: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Kami mengalikan kedua bagian persamaan dengan dx dan membaginya dengan xy≠0: dy/y=-dx/x. Kami mengintegrasikan:
2) Dalam solusi umum persamaan homogen yang diperoleh, kita akan menganggap bukan konstanta, tetapi fungsi dari x: =С(x). Dari sini
Ekspresi yang dihasilkan disubstitusikan ke dalam kondisi (I):
Kami mengintegrasikan kedua sisi persamaan:
di sini C sudah menjadi konstanta baru.
3) Dalam solusi umum persamaan homogen y \u003d C / x, di mana kami mempertimbangkan C \u003d C (x), yaitu, y \u003d C (x) / x, alih-alih C (x) kami mengganti menemukan ekspresi x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x atau y=x²+C/x. Kami mendapat jawaban yang sama seperti ketika memecahkan dengan metode Bernoulli.
Jawaban: y=x²+C/x.
2) y'+y=cosx.
Di sini persamaan sudah ditulis dalam bentuk standar, tidak perlu dikonversi.
1) Kami memecahkan persamaan linier homogen y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Kami mengintegrasikan:
Untuk mendapatkan notasi yang lebih mudah, kita akan mengambil eksponen pangkat C sebagai C baru:
Transformasi ini dilakukan untuk memudahkan pencarian turunan.
2) Dalam solusi umum persamaan homogen linier yang diperoleh, kami menganggap bukan konstanta, tetapi fungsi dari x: =С(x). Di bawah kondisi ini
Ekspresi yang dihasilkan y dan y' diganti ke dalam kondisi:
Kalikan kedua ruas persamaan dengan
Kami mengintegrasikan kedua bagian persamaan menggunakan rumus integrasi-per-bagian, kami mendapatkan:
Di sini C bukan lagi fungsi, tetapi konstanta biasa.
3) Ke dalam solusi umum persamaan homogen
kami mengganti fungsi yang ditemukan (x):
Kami mendapat jawaban yang sama seperti ketika memecahkan dengan metode Bernoulli.
Metode variasi konstanta arbitrer juga berlaku untuk penyelesaian .
y’x+y=-xy².
Kami membawa persamaan ke bentuk standar: y’+y/x=-y² (II).
1) Kami memecahkan persamaan homogen y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Kalikan kedua ruas persamaan dengan dx dan bagi dengan y: dy/y=-dx/x. Sekarang mari kita integrasikan:
Kami mengganti ekspresi yang diperoleh ke dalam kondisi (II):
Menyederhanakan:
Kami mendapat persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan untuk C dan x:
Di sini C sudah merupakan konstanta biasa. Dalam proses integrasi, alih-alih C(x), kami hanya menulis C, agar tidak membebani notasi. Dan pada akhirnya kami kembali ke C(x) agar tidak membingungkan C(x) dengan C baru.
3) Kami mengganti fungsi yang ditemukan (x) ke dalam solusi umum persamaan homogen y=C(x)/x:
Kami mendapat jawaban yang sama seperti ketika memecahkan dengan metode Bernoulli.
Contoh untuk self-test:
1. Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk standar: y'-2y=x.
1) Kami memecahkan persamaan homogen y'-2y=0. y’=dy/dx, maka dy/dx=2y, kalikan kedua ruas persamaan dengan dx, bagi dengan y dan integralkan:
Dari sini kita menemukan y:
Kami mengganti ekspresi untuk y dan y' ke dalam kondisi (untuk singkatnya, kami akan memberi makan C alih-alih C (x) dan C' alih-alih C "(x)):
Untuk mencari integral di ruas kanan, kita menggunakan rumus integral-by-parts:
Sekarang kita substitusikan u, du dan v ke dalam rumus:
Di sini C = konstanta.
3) Sekarang kita substitusikan ke dalam solusi homogen
Kuliah 44. Persamaan linier tak homogen orde kedua. Metode variasi konstanta arbitrer. Persamaan linier tidak homogen orde kedua dengan koefisien konstan. (khusus sisi kanan).
Transformasi sosial. Negara dan Gereja.
Kebijakan sosial kaum Bolshevik sebagian besar ditentukan oleh pendekatan kelas mereka. Dengan dekrit 10 November 1917, sistem perkebunan dihapuskan, pangkat pra-revolusioner, gelar dan penghargaan dihapuskan. Pemilihan hakim telah ditetapkan; sekularisasi negara-negara sipil dilakukan. Mendirikan pendidikan gratis dan perawatan medis (ketetapan 31 Oktober 1918). Perempuan disamakan haknya dengan laki-laki (dekret 16 dan 18 Desember 1917). Dekrit tentang perkawinan memperkenalkan lembaga perkawinan sipil.
Dengan dekrit Dewan Komisaris Rakyat tanggal 20 Januari 1918, gereja dipisahkan dari negara dan dari sistem pendidikan. Sebagian besar properti gereja disita. Patriark Tikhon dari Moskow dan Seluruh Rusia (terpilih 5 November 1917) pada 19 Januari 1918, mengutuk kekuatan Soviet dan menyerukan perang melawan Bolshevik.
Pertimbangkan persamaan orde kedua linier tidak homogen
Struktur solusi umum persamaan tersebut ditentukan oleh teorema berikut:
Teorema 1. Solusi umum dari persamaan tidak homogen (1) direpresentasikan sebagai jumlah dari beberapa solusi khusus dari persamaan ini dan solusi umum dari persamaan homogen yang sesuai
Bukti. Kita perlu membuktikan bahwa jumlah
adalah solusi umum persamaan (1). Mari kita buktikan terlebih dahulu bahwa fungsi (3) adalah solusi dari persamaan (1).
Substitusikan jumlah ke persamaan (1) alih-alih pada, akan memiliki
Karena ada solusi untuk persamaan (2), ekspresi dalam kurung pertama identik sama dengan nol. Karena ada solusi untuk persamaan (1), ekspresi dalam kurung kedua sama dengan f(x). Oleh karena itu, persamaan (4) adalah sebuah identitas. Dengan demikian, bagian pertama dari teorema terbukti.
Mari kita buktikan pernyataan kedua: ekspresi (3) adalah umum solusi persamaan (1). Kita harus membuktikan bahwa konstanta arbitrer yang termasuk dalam ekspresi ini dapat dipilih sehingga kondisi awal terpenuhi:
berapapun jumlahnya x 0, y 0 dan (jika saja x 0 diambil dari area dimana fungsi a 1 , a 2 dan f(x) kontinu).
Memperhatikan bahwa adalah mungkin untuk direpresentasikan dalam bentuk . Kemudian, berdasarkan kondisi (5), kita memiliki
Mari kita selesaikan sistem ini dan temukan Dari 1 dan Dari 2. Mari kita tulis ulang sistemnya sebagai:
Perhatikan bahwa determinan sistem ini adalah determinan Wronsky untuk fungsi 1 dan pada 2 pada intinya x=x 0. Karena fungsi-fungsi ini bebas linier dengan asumsi, determinan Wronsky tidak sama dengan nol; maka sistem (6) memiliki solusi yang pasti Dari 1 dan Dari 2, yaitu ada nilai-nilai seperti itu Dari 1 dan Dari 2, dimana rumus (3) menentukan solusi persamaan (1) yang memenuhi kondisi awal yang diberikan. Q.E.D.
Mari kita beralih ke metode umum untuk menemukan solusi khusus dari persamaan tidak homogen.
Mari kita tulis solusi umum persamaan homogen (2)
Kami akan mencari solusi khusus dari persamaan tidak homogen (1) dalam bentuk (7), dengan mempertimbangkan Dari 1 dan Dari 2 karena beberapa fitur yang belum diketahui dari X.
Mari kita bedakan persamaan (7):
Kami memilih fungsi yang diinginkan Dari 1 dan Dari 2 sehingga persamaan
Jika kondisi tambahan ini diperhitungkan, maka turunan pertama berbentuk
Sekarang dengan membedakan ekspresi ini, kami menemukan:
Substitusi ke persamaan (1), diperoleh
Ekspresi dalam dua tanda kurung pertama menghilang karena y 1 dan y2 adalah solusi dari persamaan homogen. Oleh karena itu, persamaan terakhir berbentuk
Dengan demikian, fungsi (7) akan menjadi solusi persamaan tak homogen (1) jika fungsi-fungsi tersebut Dari 1 dan Dari 2 memenuhi persamaan (8) dan (9). Mari kita buat sistem persamaan dari persamaan (8) dan (9).
Karena determinan sistem ini adalah determinan Vronsky untuk solusi bebas linier y 1 dan y2 persamaan (2), maka tidak sama dengan nol. Oleh karena itu, memecahkan sistem, kita akan menemukan kedua fungsi tertentu dari X:
Memecahkan sistem ini, kami menemukan , dari mana, sebagai hasil integrasi, kami memperoleh . Selanjutnya, kami mengganti fungsi yang ditemukan ke dalam rumus , kami memperoleh solusi umum dari persamaan tidak homogen , di mana adalah konstanta arbitrer.
Sebuah metode untuk memecahkan persamaan diferensial tak homogen linier orde yang lebih tinggi dengan koefisien konstan dengan metode variasi konstanta Lagrange dipertimbangkan. Metode Lagrange juga dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan linear tidak homogen jika sistem dasar solusi persamaan homogen diketahui.
IsiLihat juga:
Metode Lagrange (variasi konstanta)
Pertimbangkan persamaan diferensial tidak homogen linier dengan koefisien konstan dari urutan ke-n yang sewenang-wenang:
(1)
.
Metode variasi konstan, yang kami pertimbangkan untuk persamaan orde pertama, juga berlaku untuk persamaan orde yang lebih tinggi.
Penyelesaian dilakukan dalam dua tahap. Pada tahap pertama, kami membuang ruas kanan dan menyelesaikan persamaan homogen. Hasilnya, kami memperoleh solusi yang mengandung n konstanta sembarang. Pada langkah kedua, kami memvariasikan konstanta. Artinya, kami menganggap bahwa konstanta ini adalah fungsi dari variabel independen x dan menemukan bentuk fungsi-fungsi ini.
Meskipun kami sedang mempertimbangkan persamaan dengan koefisien konstan di sini, tapi metode Lagrange juga dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan linear tidak homogen apa pun. Untuk ini, bagaimanapun, sistem dasar solusi persamaan homogen harus diketahui.
Langkah 1. Solusi persamaan homogen
Seperti dalam kasus persamaan orde pertama, pertama-tama kita mencari solusi umum dari persamaan homogen, menyamakan bagian tidak homogen kanan dengan nol:
(2)
.
Solusi umum dari persamaan tersebut memiliki bentuk:
(3)
.
Berikut adalah konstanta arbitrer; - n solusi independen linier dari persamaan homogen (2), yang membentuk sistem dasar solusi persamaan ini.
Langkah 2. Variasi Konstanta - Mengganti Konstanta dengan Fungsi
Pada langkah kedua, kita akan berurusan dengan variasi konstanta. Dengan kata lain, kita akan mengganti konstanta dengan fungsi dari variabel bebas x :
.
Artinya, kami mencari solusi untuk persamaan asli (1) dalam bentuk berikut:
(4)
.
Jika kita mensubstitusi (4) ke (1), kita mendapatkan satu persamaan diferensial untuk n fungsi. Dalam hal ini, kita dapat menghubungkan fungsi-fungsi ini dengan persamaan tambahan. Kemudian Anda mendapatkan n persamaan, dari mana Anda dapat menentukan n fungsi. Persamaan tambahan dapat ditulis dalam berbagai cara. Tetapi kami akan melakukannya sedemikian rupa sehingga solusinya memiliki bentuk paling sederhana. Untuk melakukan ini, saat membedakan, Anda harus menyamakan dengan nol suku yang mengandung turunan fungsi. Mari kita tunjukkan ini.
Untuk mensubstitusi solusi yang diusulkan (4) ke dalam persamaan awal (1), kita perlu mencari turunan dari n orde pertama dari fungsi yang ditulis dalam bentuk (4). Bedakan (4) dengan menerapkan aturan untuk membedakan jumlah dan produk:
.
Mari kita kelompokkan anggotanya. Pertama, kita tuliskan suku-suku dengan turunan dari , dan kemudian suku-suku dengan turunan dari :
.
Kami memaksakan kondisi pertama pada fungsi:
(5.1)
.
Maka ekspresi untuk turunan pertama terhadap akan memiliki bentuk yang lebih sederhana:
(6.1)
.
Dengan cara yang sama, kami menemukan turunan kedua:
.
Kami memaksakan kondisi kedua pada fungsi:
(5.2)
.
Kemudian
(6.2)
.
Dll. Di bawah kondisi tambahan, kami menyamakan suku yang mengandung turunan fungsi menjadi nol.
Jadi, jika kita memilih persamaan tambahan berikut untuk fungsi:
(5.k) ,
maka turunan pertama sehubungan dengan akan memiliki bentuk paling sederhana:
(6.k) .
Di Sini .
Kami menemukan turunan ke-n:
(6.n)
.
Kita substitusikan ke persamaan awal (1):
(1)
;
.
Kami memperhitungkan bahwa semua fungsi memenuhi persamaan (2):
.
Kemudian jumlah istilah yang mengandung memberikan nol. Hasilnya, kita mendapatkan:
(7)
.
Hasilnya, kami mendapatkan sistem persamaan linier untuk turunan:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .
Memecahkan sistem ini, kami menemukan ekspresi untuk turunan sebagai fungsi dari x . Mengintegrasikan, kita mendapatkan:
.
Di sini, adalah konstanta yang tidak lagi bergantung pada x. Mensubstitusi ke (4), kita memperoleh solusi umum dari persamaan asli.
Perhatikan bahwa kami tidak pernah menggunakan fakta bahwa koefisien a i adalah konstan untuk menentukan nilai turunan. Jadi metode Lagrange dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan linear tidak homogen, jika sistem dasar solusi persamaan homogen (2) diketahui.
Contoh
Memecahkan persamaan dengan metode variasi konstanta (Lagrange).
Solusi dari contoh > > >
Memecahkan persamaan orde tinggi dengan metode Bernoulli
Menyelesaikan Persamaan Diferensial Orde Tinggi Takhomogen Linier dengan Koefisien Konstan dengan Substitusi Linier
