Sekarang kita tahu bahwa laju perubahan sesaat dari fungsi N(Z) pada Z = +2 adalah -0,1079968336. Ini berarti naik/turun selama periode tersebut, jadi ketika Z = +2, kurva N(Z) naik sebesar -0,1079968336. Situasi ini ditunjukkan pada Gambar 3-13.

Ukuran sensitivitas "mutlak" dapat disebut laju perubahan suatu fungsi. Ukuran sensitivitas suatu fungsi pada titik tertentu ("kecepatan sesaat") disebut turunan.

Kita dapat mengukur derajat kepekaan mutlak variabel y terhadap perubahan variabel x jika kita mendefinisikan rasio Ay/Ax. Kerugian dari definisi sensitivitas seperti itu adalah bahwa hal itu tidak hanya bergantung pada titik "awal" XQ, relatif terhadap perubahan argumen yang dipertimbangkan, tetapi juga pada nilai interval Dx, di mana kecepatan ditentukan. . Untuk menghilangkan kekurangan ini, konsep turunan (laju perubahan fungsi pada suatu titik) diperkenalkan. Ketika menentukan laju perubahan suatu fungsi di suatu titik, titik-titik XQ dan xj disatukan, dengan interval Dx yang cenderung nol. Laju perubahan fungsi f (x) di titik XQ dan disebut turunan dari fungsi f (x) di titik x. Arti geometris laju perubahan fungsi di titik XQ adalah ditentukan oleh sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi di titik XQ. Turunan adalah garis singgung dari kemiringan garis singgung grafik fungsi.

Jika turunan y dianggap sebagai laju perubahan fungsi /, maka nilai y /y adalah laju perubahan relatifnya . Oleh karena itu, turunan logaritmik (Dalam y)

Turunan dalam arah - mencirikan laju perubahan fungsi z - f (x, y) pada titik MO (ZhO, UO) dalam arah

Tingkat perubahan fungsi relatif 124.188

Sejauh ini, kami telah mempertimbangkan turunan pertama dari fungsi , yang memungkinkan Anda menemukan laju perubahan fungsi. Untuk menentukan apakah laju perubahannya konstan, turunan kedua dari fungsi tersebut harus diambil. Ini dilambangkan sebagai

Di sini dan di bawah, prima berarti diferensiasi sehingga h adalah laju perubahan fungsi h relatif terhadap peningkatan penawaran berlebih).

Ukuran sensitivitas "mutlak" - laju perubahan fungsi (rata-rata (rasio perubahan) atau marjinal (turunan))

Kenaikan nilai, argumen, fungsi. Tingkat perubahan fungsi

Laju perubahan fungsi pada interval (laju rata-rata).

Kerugian dari definisi kecepatan seperti itu adalah bahwa kecepatan ini tidak hanya bergantung pada titik x0, relatif terhadap perubahan argumen yang dipertimbangkan, tetapi juga pada besarnya perubahan argumen itu sendiri, yaitu. pada nilai interval Dx, di mana kecepatan ditentukan. Untuk menghilangkan kekurangan ini, konsep laju perubahan fungsi pada suatu titik (kecepatan sesaat) diperkenalkan.

Laju perubahan fungsi pada suatu titik (laju sesaat).

Untuk menentukan laju perubahan fungsi di titik J Q, titik-titik x dan x0 dirapatkan, membuat selang Ax menjadi nol. Perubahan fungsi kontinu juga akan cenderung nol. Dalam hal ini, rasio perubahan fungsi yang cenderung nol terhadap perubahan argumen yang cenderung nol memberikan laju perubahan fungsi pada titik x0 (kecepatan sesaat), lebih tepatnya, pada interval yang sangat kecil, relatif terhadap titik xd.

Laju perubahan fungsi Dx) pada titik x0 inilah yang disebut turunan dari fungsi Dx) pada titik xa.

Tentu saja, untuk mengkarakterisasi laju perubahan nilai y, seseorang dapat menggunakan indikator yang lebih sederhana, katakanlah, turunan dari y terhadap L. Elastisitas substitusi o lebih disukai karena fakta bahwa ia memiliki keuntungan besar - konstan untuk sebagian besar fungsi produksi yang digunakan dalam praktik, yaitu tidak hanya tidak berubah ketika bergerak di sepanjang beberapa isokuan, tetapi juga tidak bergantung pada pilihan isokuan.

Ketepatan waktu pengendalian berarti bahwa pengendalian yang efektif harus tepat waktu. Ketepatannya terletak pada kesesuaian interval waktu pengukuran dan penilaian indikator yang dikendalikan, proses kegiatan spesifik organisasi secara keseluruhan. Nilai fisik dari interval tersebut (frekuensi pengukuran) ditentukan oleh kerangka waktu dari proses yang diukur (rencana), dengan mempertimbangkan tingkat perubahan indikator yang dikendalikan dan biaya pelaksanaan operasi kontrol. Tugas paling penting dari fungsi kontrol tetap menghilangkan penyimpangan sebelum mereka membawa organisasi ke situasi kritis.

Untuk sistem homogen pada TV = 0, M = 0 5 juga hilang, sehingga sisi kanan ekspresi (6,20) sama dengan laju perubahan fungsi kesejahteraan total yang dikaitkan dengan heterogenitas.

Arti mekanis dari turunan. Untuk fungsi y = f(x) yang berubah terhadap waktu x, turunan y = f(xo] adalah laju perubahan y pada waktu XQ.

Laju relatif (laju) perubahan fungsi y = f(x) ditentukan oleh turunan logaritmik

Variabel x berarti besarnya perbedaan antara penawaran dan permintaan untuk jenis alat produksi yang sesuai x = s - p. Fungsi x(f) terdiferensialkan secara kontinu terhadap waktu. Variabel x" berarti laju perubahan perbedaan antara penawaran dan permintaan. Lintasan x (t) berarti ketergantungan tingkat perubahan penawaran dan permintaan pada besarnya perbedaan antara penawaran dan permintaan, yang pada gilirannya tergantung tepat waktu Ruang keadaan (ruang fase) dalam kasus kami adalah dua dimensi , yaitu, memiliki bentuk bidang fase.

Sifat-sifat besaran seperti itu menjelaskan fakta bahwa laju perubahan tingkat substitusi marjinal y dicirikan atas dasar itu, dan tidak dengan bantuan indikator lain, misalnya, turunan dari y terhadap x>. Selain itu, untuk sejumlah besar fungsi, elastisitas substitusi konstan tidak hanya di sepanjang isoklin, tetapi juga di sepanjang isokuan. Jadi, untuk fungsi produksi (2,20), menggunakan fakta bahwa, menurut isokli-

Ada banyak trik yang bisa dilakukan dengan tingkat perubahan jangka pendek. Model ini menggunakan satu periode

Banyak yang akan terkejut dengan lokasi tak terduga dari artikel ini dalam kursus penulis saya tentang turunan dari fungsi satu variabel dan aplikasinya. Lagi pula, seperti dari sekolah: buku teks standar, pertama-tama, memberikan definisi turunan, makna geometris, mekanisnya. Selanjutnya, siswa menemukan turunan fungsi menurut definisi, dan, pada kenyataannya, hanya kemudian teknik diferensiasi disempurnakan menggunakan tabel turunan.

Tetapi dari sudut pandang saya, pendekatan berikut ini lebih pragmatis: pertama-tama, disarankan untuk MEMAHAMI limit fungsi dengan BAIK, dan khususnya, sangat kecil. Faktanya adalah bahwa

definisi turunan didasarkan pada konsep limit , yang kurang dipertimbangkan dalam kursus sekolah. Itulah sebabnya sebagian besar konsumen muda pengetahuan granit kurang menembus ke dalam esensi turunannya. Jadi, jika Anda tidak berpengalaman dalam kalkulus diferensial, atau otak yang bijaksana telah berhasil melepaskan diri dari beban ini selama bertahun-tahun, silakan mulai dengan batas fungsi . Pada saat yang sama menguasai / mengingat keputusan mereka.

Arti praktis yang sama menunjukkan bahwa itu menguntungkan terlebih dahulu

belajar menemukan turunan, termasuk turunan dari fungsi kompleks . Teori adalah teori, tetapi, seperti yang mereka katakan, Anda selalu ingin membedakan. Dalam hal ini, lebih baik untuk mengerjakan pelajaran dasar yang terdaftar, dan mungkin menjadi ahli diferensiasi bahkan tanpa menyadari esensi dari tindakan mereka.

Saya sarankan memulai materi di halaman ini setelah membaca artikel. Masalah paling sederhana dengan turunan, di mana, khususnya, masalah garis singgung grafik suatu fungsi dipertimbangkan. Tapi itu bisa ditunda. Faktanya adalah bahwa banyak aplikasi turunan tidak memerlukan pemahaman, dan tidak mengherankan bahwa pelajaran teoretis muncul cukup terlambat - ketika saya perlu menjelaskan menemukan interval kenaikan/penurunan dan ekstrem fungsi. Apalagi dia berada di subjek untuk waktu yang cukup lama " Fungsi dan Grafik”, sampai saya memutuskan untuk memasangnya lebih awal.

Karena itu, teko sayang, jangan buru-buru menyerap esensi turunannya, seperti hewan lapar, karena kejenuhannya akan hambar dan tidak lengkap.

Konsep naik, turun, maksimum, minimum dari suatu fungsi

Banyak tutorial mengarah pada konsep turunan dengan bantuan beberapa masalah praktis, dan saya juga memberikan contoh yang menarik. Bayangkan kita harus melakukan perjalanan ke kota yang bisa dijangkau dengan berbagai cara. Kami segera membuang jalur berliku yang melengkung, dan kami hanya akan mempertimbangkan garis lurus. Namun, arah garis lurus juga berbeda: Anda dapat mencapai kota dengan autobahn datar. Atau di jalan raya berbukit - naik turun, naik turun. Jalan lain hanya menanjak, dan jalan lain menurun sepanjang waktu. Pencari sensasi akan memilih rute melalui ngarai dengan tebing terjal dan tanjakan yang terjal.

Tapi apa pun preferensi Anda, diinginkan untuk mengetahui daerah tersebut, atau setidaknya memiliki peta topografinya. Bagaimana jika tidak ada informasi seperti itu? Lagi pula, Anda dapat memilih, misalnya, jalan datar, tetapi sebagai hasilnya, tersandung lereng ski dengan orang Finlandia yang lucu. Bukan fakta bahwa navigator dan bahkan

citra satelit akan memberikan data yang dapat diandalkan. Oleh karena itu, alangkah baiknya untuk meresmikan relief jalan dengan cara matematika.

Pertimbangkan beberapa jalan (tampilan samping):

Untuk jaga-jaga, saya mengingatkan Anda tentang fakta mendasar: perjalanan terjadi dari kiri ke kanan. Untuk penyederhanaan, kita asumsikan bahwa fungsi tersebut kontinu pada bagian yang ditinjau.

Apa saja fitur grafik ini?

Pada interval fungsinya meningkat, yaitu, setiap nilai berikutnya lebih besar dari yang sebelumnya. Secara kasar, grafik bergerak dari bawah ke atas (kami mendaki bukit). Dan pada interval, fungsinya berkurang - setiap nilai berikutnya lebih kecil dari yang sebelumnya, dan grafik kami bergerak dari atas ke bawah (kami menuruni lereng).

Mari kita juga memperhatikan poin-poin khusus. Pada titik kita

kami mencapai maksimum , yaitu, ada bagian jalur di mana nilainya akan menjadi yang terbesar (tertinggi). Pada titik yang sama, minimum tercapai, dan ada lingkungan di mana nilainya adalah yang terkecil (terendah).

Terminologi dan definisi yang lebih ketat akan dibahas dalam pelajaran ini. tentang ekstrem dari fungsi, tapi untuk sekarang mari kita pelajari satu fitur penting lagi: pada interval fungsinya meningkat, tetapi meningkat pada kecepatan yang berbeda. Dan hal pertama yang menarik perhatian Anda adalah grafik intervalnya naik jauh lebih keren daripada pada interval. Apakah mungkin mengukur kecuraman jalan menggunakan alat matematika?

Tingkat perubahan fungsi

Idenya adalah ini: ambil beberapa nilai

(baca "delta x") , yang akan kita sebutpeningkatan argumen, dan mari kita mulai "mencobanya" ke berbagai titik di jalur kita:

1) Mari kita lihat titik paling kiri: melewati jarak , kita mendaki lereng ke ketinggian (garis hijau). Besaran disebut peningkatan fungsi, dan dalam hal ini kenaikan ini positif (perbedaan nilai sepanjang sumbu lebih besar dari

nol). Mari kita buat rasio , yang akan menjadi ukuran kecuraman jalan kita. Jelas, ini adalah angka yang sangat spesifik, dan karena kedua kenaikannya positif, maka.

Perhatian! Penunjukannya adalah simbol TUNGGAL, yaitu, Anda tidak dapat "merobek" "delta" dari "x" dan mempertimbangkan huruf-huruf ini secara terpisah. Tentu saja, komentar juga berlaku untuk simbol kenaikan fungsi.

Mari kita telusuri sifat pecahan yang dihasilkan lebih bermakna. Biarlah

awalnya kita berada di ketinggian 20 meter (di titik hitam kiri). Setelah melewati jarak meter (kiri garis merah), kita akan berada di ketinggian 60 meter. Maka kenaikan fungsi tersebut adalah

meter (garis hijau) dan:. Jadi

Jadi, pada setiap meter dari bagian jalan ini tinggi badan bertambah rata-rata 4 meter ... apakah Anda lupa peralatan pendakian Anda? =) Dengan kata lain, rasio yang dibangun mencirikan TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA (dalam hal ini, pertumbuhan) fungsi tersebut.

Catatan: nilai numerik dari contoh yang dimaksud sesuai dengan proporsi gambar hanya kira-kira.

2) Sekarang mari kita ambil jarak yang sama dari titik hitam paling kanan. Di sini kenaikannya lebih lembut, jadi kenaikannya

(garis magenta) relatif kecil, dan rasionya

dibandingkan dengan kasus sebelumnya akan sangat sederhana. Secara relatif, meter dan tingkat pertumbuhan fungsi

adalah . Artinya, di sini untuk setiap meter jalan rata-rata ada setengah meter pendakian.

3) Sedikit petualangan di lereng gunung. Mari kita lihat titik hitam atas yang terletak di sumbu y. Mari kita asumsikan bahwa ini adalah tanda 50 meter. Sekali lagi kami mengatasi jarak, akibatnya kami mendapati diri kami lebih rendah - pada level 30 meter. Karena gerakan dilakukan dari atas ke bawah (dalam arah "berlawanan" dari sumbu), final kenaikan fungsi (tinggi) akan menjadi negatif:meter (garis coklat pada gambar). Dan dalam hal ini kita berbicara tentang kecepatan

fungsi turun: , yaitu, untuk setiap meter jalan

Di daerah ini, ketinggiannya berkurang rata-rata 2 meter. Jaga pakaian pada poin kelima.

Sekarang mari kita ajukan pertanyaan: apa nilai terbaik dari "standar pengukuran" untuk digunakan? Jelas bahwa 10 meter sangat kasar. Selusin gundukan yang bagus dapat dengan mudah masuk ke dalamnya. Mengapa ada gundukan, mungkin ada ngarai yang dalam di bawah, dan setelah beberapa meter - sisi lainnya dengan pendakian yang lebih curam. Jadi, dengan sepuluh meter kita tidak akan mendapatkan karakterisasi yang dapat dipahami dari bagian-bagian jalan yang dilalui

hubungan .

Dari pembahasan di atas, berikut kesimpulannya: semakin kecil nilainya, semakin akurat kita akan menggambarkan relief jalan. Apalagi adil

Meja 2

Tabel 1

Konsep limit suatu variabel. Turunan fungsi. Tabel turunan. Aturan diferensiasi

Cara untuk mengatur fungsi. Jenis fungsi dasar

Untuk menentukan fungsi berarti menentukan aturan atau hukum yang dengannya nilai argumen yang diberikan X nilai yang sesuai dari fungsi ditentukan pada.

Mempertimbangkan cara mendefinisikan fungsi .

1. Metode analitis - mengatur fungsi menggunakan rumus. Misalnya, pembubaran zat obat dari tablet dalam persiapan solusi mematuhi persamaan m \u003d m 0 e - kt, di mana m0 dan m- masing-masing, awal dan sisa pada saat pembubaran t jumlah obat dalam tablet, k- beberapa nilai positif konstan.

2. cara grafis - ini adalah tugas fungsi dalam bentuk grafik. Misalnya, dengan menggunakan elektrokardiograf di atas kertas atau di layar monitor komputer, nilai perbedaan biopotensial yang terjadi selama kerja jantung dicatat. kamu sebagai fungsi waktu t: U = f(t).

3. Cara tabel adalah penugasan fungsi menggunakan tabel. Cara pengaturan fungsi ini digunakan dalam eksperimen dan pengamatan. Misalnya, dengan mengukur suhu tubuh pasien pada interval tertentu, dimungkinkan untuk menyusun tabel nilai suhu tubuh. T sebagai fungsi waktu t. Berdasarkan data tabular, terkadang dimungkinkan untuk memperkirakan korespondensi antara argumen dan fungsi dengan rumus. Rumus semacam itu disebut empiris, yaitu. diperoleh dari pengalaman.

Dalam matematika, seseorang membedakan dasar dan kompleks fungsi. Berikut adalah jenis utama dari fungsi dasar:

1. Fungsi daya – y = f(x) = x n, di mana X- argumen n- sembarang bilangan real ( 1, 2, - 2, dll.).

2. fungsi eksponensial – y = f(x) = a x, di mana sebuah adalah bilangan positif konstan selain satu ( a > 0, a 0), Sebagai contoh:

y=10x(a=10);

y = e x ; y \u003d e -x (a \u003d e 2,718 ...)

Kami memilih dua fungsi terakhir, mereka disebut fungsi eksponensial atau peserta pameran dan menggambarkan berbagai proses fisik, biofisik, kimia, dan sosial. Dan y = e x - eksponen naik, y=e-x adalah eksponen menurun.

3. Fungsi logaritma dengan alasan apapun sebuah: y = log x, di mana y adalah pangkat di mana basis fungsi a harus dinaikkan untuk mendapatkan bilangan x yang diberikan, yaitu a y \u003d x.

Jika dasar a = 10, kemudian kamu ditelepon logaritma desimal dari x dan dilambangkan y = log x; jika a=e, kemudian kamu ditelepon logaritma natural dari x dan dilambangkan y \u003d 1n x.

Ingat beberapa aturan logaritma :

Biarkan dua angka diberikan sebuah dan b, kemudian:

· lg (a b) = lg a + lg b;

· lg = lg a - lg b;

· lg ab = b lg a;

Tidak ada yang akan berubah saat mengganti karakter lg pada ln.

Hal ini juga berguna untuk diingat bahwa lg 10 = 1, ln e = 1, lg 1 = ln 1 = 0.

4. Fungsi trigonometri: y=sinx, y=cosx, y=tgx dan sebagainya.

Berikut adalah grafik dari beberapa fungsi dasar (lihat Gambar 1):

Suatu nilai variabel dapat berubah sehingga dalam proses naik atau turunnya mendekati suatu nilai konstanta berhingga, yaitu limitnya.

Prioritas-A limit variabel x adalah nilai konstanta A, yang didekati variabel x dalam proses perubahannya sehingga modulus selisih antara x dan A, yaitu | x - A |, cenderung nol.

Batasi notasi: x → A atau lim x = A(di sini → adalah tanda transisi batas, lim dari bahasa Latin terbatas, diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia - batas). Pertimbangkan contoh dasar:

x: 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999…→ 1, A = 1(lim x = 1), karena

| x - A |: 0.1; 0,01; 0,001; 0,0001…→ 0.

Mari kita perkenalkan konsepnya kenaikan argumen dan kenaikan fungsi.

Jika variabel X mengubah nilainya dari x 1 sebelum x 2, maka selisihnya x 2 - x 1 \u003d x disebut kenaikan argumen, dan x(baca delta X) adalah simbol kenaikan tunggal. Perubahan fungsi yang sesuai y 2 - y 1 \u003d y disebut kenaikan fungsi. Mari kita tunjukkan pada grafik fungsi y = f(x)(Gbr. 2). Secara geometris, kenaikan argumen diwakili oleh kenaikan absis titik kurva, dan kenaikan fungsi adalah kenaikan ordinat titik ini.

Turunan dari fungsi yang diberikan y \u003d f (x) terhadap argumen x adalah limit rasio kenaikan fungsi y terhadap kenaikan argumen x, ketika argumen terakhir cenderung nol (Δx → 0 ).

Turunan dari suatu fungsi dilambangkan (baca " pada stroke") atau , atau dy/dx(baca "de kamu oleh de x"). Jadi turunan dari fungsi y = f(x) adalah sama dengan:

(4)

Aturan untuk mencari turunan dari suatu fungsi y = f(x) dengan argumen X terkandung dalam definisi nilai ini: Anda perlu menentukan kenaikan argumen , cari kenaikan fungsi y, buatlah suatu perbandingan dan tentukan limit dari perbandingan tersebut jika → 0.

Proses mencari turunan disebut diferensiasi fungsi. Ini adalah cabang matematika yang lebih tinggi yang disebut "Kalkulus Diferensial".

Tabel turunan dari fungsi dasar dasar yang diperoleh dari aturan di atas diberikan di bawah ini.

nomor p / p	Jenis fungsi	turunan fungsi
	Konstan y=c	y" = 0
	Fungsi pangkat y = x n (n bisa positif, negatif, bilangan bulat, pecahan)	y" = nx n-1
	Fungsi eksponensial y = a x (a > 0; a 1) y = e x y \u003d e -x, y \u003d e -kx (k \u003d const)	y" = a x log a y" = e x y" \u003d - e -x, y" \u003d -k e -kx
	fungsi logaritma y = log a x (a > 0; a 1) y = log x	y" = y" =
	Fungsi trigonometri: y = sin x y = cos x y = tgx y = ctgx	y" = cos x y" = - sin x y" = y" =

Jika ekspresi yang turunannya akan ditemukan adalah jumlah, selisih, hasil kali, atau hasil bagi beberapa fungsi, misalnya, kamu, v , z, maka aturan diferensiasi berikut digunakan (Tabel 2).

Berikut beberapa contoh penghitungan turunan menggunakan tabel 1 dan 2.

1. (x + sin x)" = (x)" + (sin x)" = 1 + cos x;

2. (x sin x)" = (x)" sin x + x (sin x)" = sin x + x cos x;

4. (5tgx)" = 5(tgx)" = .

Arti fisik dari turunan adalah bahwa ia menentukan kecepatan (laju) perubahan fungsi.

Perhatikan contoh gerak lurus. Kecepatan tubuh sama dengan rasio jalan S dilewatkan oleh tubuh selama ini t, untuk selang waktu ini v = . Jika gerakannya tidak merata, maka rasionya adalah kecepatan rata-rata pada bagian jalan ini, dan kecepatan yang sesuai dengan setiap momen waktu tertentu disebut kecepatan sesaat dan didefinisikan sebagai batas rasio di t→0, yaitu

Meringkas hasil yang diperoleh, dapat dikatakan bahwa turunan dari fungsi f(x) Oleh waktu t adalah laju perubahan fungsi sesaat. Konsep kecepatan sesaat tidak hanya mengacu pada gerakan mekanis, tetapi juga pada setiap proses yang berkembang dalam waktu. Anda dapat menemukan laju kontraksi atau relaksasi otot, laju kristalisasi larutan, laju pengerasan bahan pengisi, laju penyebaran penyakit epidemik, dll.

Nilai percepatan sesaat dalam semua proses ini sama dengan turunan waktu dari fungsi kecepatan:

. (5)

Dalam mekanika, turunan kedua dari lintasan terhadap waktu.

Konsep turunan, sebagai besaran yang mencirikan laju perubahan suatu fungsi, digunakan untuk berbagai ketergantungan. Misalnya, Anda perlu mengetahui seberapa cepat suhu berubah di sepanjang batang logam jika salah satu ujungnya dipanaskan. Dalam hal ini, suhu adalah fungsi dari koordinat x, yaitu T = f(x) dan mencirikan laju perubahan suhu dalam ruang.

Turunan suatu fungsi f(x) terhadap koordinat x disebut gradien fungsi ini(singkatan grad dari lat. gradien sering digunakan). Gradien berbagai variabel adalah besaran vektor, selalu berarah ke arah peningkatan nilai variabel .

Perhatikan bahwa gradien jumlah banyak adalah salah satu akar penyebab proses metabolisme yang terjadi dalam sistem biologis. Ini adalah, misalnya, gradien konsentrasi, gradien potensial elektrokimia (μ adalah huruf Yunani "mu"), gradien potensial listrik.

kecil x dapat ditulis:

. (6)

Idenya adalah ini: ambil beberapa nilai (baca "delta x") , yang akan kita sebut peningkatan argumen, dan mari kita mulai "mencobanya" ke berbagai titik di jalur kita:

1) Mari kita lihat titik paling kiri: melewati jarak , kita mendaki lereng ke ketinggian (garis hijau). Nilai tersebut disebut peningkatan fungsi, dan dalam hal ini kenaikan ini positif (perbedaan nilai sepanjang sumbu lebih besar dari nol). Mari kita buat rasio , yang akan menjadi ukuran kecuraman jalan kita. Jelas, adalah angka yang sangat spesifik, dan karena kedua kenaikannya positif, maka .

Perhatian! Penamaan adalahSATUsimbol, yaitu, Anda tidak dapat "merobek" "delta" dari "x" dan mempertimbangkan huruf-huruf ini secara terpisah. Tentu saja, komentar juga berlaku untuk simbol kenaikan fungsi.

Mari kita telusuri sifat pecahan yang dihasilkan lebih bermakna. Misalkan awalnya kita berada di ketinggian 20 meter (di titik hitam kiri). Setelah melewati jarak meter (kiri garis merah), kita akan berada di ketinggian 60 meter. Maka kenaikan fungsi tersebut adalah meter (garis hijau) dan: . Dengan demikian, pada setiap meter bagian jalan ini tinggi badan bertambahrata-rata sejauh 4 meter…apakah Anda lupa peralatan pendakian Anda? =) Dengan kata lain, rasio yang dibangun mencirikan TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA (dalam hal ini, pertumbuhan) fungsi tersebut.

Catatan : Nilai numerik dari contoh yang dimaksud sesuai dengan proporsi gambar hanya kira-kira.

2) Sekarang mari kita ambil jarak yang sama dari titik hitam paling kanan. Di sini kenaikannya lebih lembut, sehingga kenaikannya (garis merah) relatif kecil, dan rasionya dibandingkan dengan kasus sebelumnya akan cukup sederhana. Secara relatif, meter dan tingkat pertumbuhan fungsi adalah . Artinya, di sini untuk setiap meter jalan ada rata-rata setengah meter ke atas.

3) Sedikit petualangan di lereng gunung. Mari kita lihat titik hitam atas yang terletak di sumbu y. Mari kita asumsikan bahwa ini adalah tanda 50 meter. Sekali lagi kami mengatasi jarak, akibatnya kami mendapati diri kami lebih rendah - pada level 30 meter. Sejak gerakan telah dibuat Perintahkan ke bawah(dalam arah "berlawanan" dari sumbu), maka final kenaikan fungsi (tinggi) akan menjadi negatif: meter (garis coklat pada gambar). Dan dalam hal ini kita berbicara tentang tingkat peluruhan fitur: , yaitu, untuk setiap meter lintasan bagian ini, ketinggiannya berkurang rata-rata sebanyak 2 meter. Jaga pakaian pada poin kelima.

Sekarang mari kita ajukan pertanyaan: apa nilai terbaik dari "standar pengukuran" untuk digunakan? Jelas bahwa 10 meter sangat kasar. Selusin gundukan yang bagus dapat dengan mudah masuk ke dalamnya. Mengapa ada gundukan, mungkin ada ngarai yang dalam di bawah, dan setelah beberapa meter - sisi lainnya dengan pendakian yang lebih curam. Jadi, dengan yang sepuluh meter, kita tidak akan mendapatkan karakteristik yang dapat dipahami dari bagian-bagian jalan yang melalui rasio tersebut.

Dari pembahasan di atas, berikut kesimpulannya: semakin kecil nilainya, semakin akurat kita akan menggambarkan relief jalan. Apalagi fakta-fakta berikut ini benar:

– Untuk apa saja titik angkat Anda dapat memilih nilai (walaupun sangat kecil) yang sesuai dengan batas kenaikan satu atau lainnya. Dan ini berarti bahwa kenaikan tinggi yang sesuai akan dijamin positif, dan pertidaksamaan akan dengan tepat menunjukkan pertumbuhan fungsi pada setiap titik interval ini.

- Juga, untuk apa saja titik kemiringan, ada nilai yang akan cocok sepenuhnya pada kemiringan ini. Oleh karena itu, peningkatan tinggi yang sesuai benar-benar negatif, dan pertidaksamaan akan dengan benar menunjukkan penurunan fungsi pada setiap titik dari interval yang diberikan.

– Yang menarik adalah kasus ketika tingkat perubahan fungsi adalah nol: . Pertama, kenaikan ketinggian nol () adalah tanda jalur genap. Dan kedua, ada situasi aneh lainnya, contohnya Anda lihat pada gambar. Bayangkan bahwa takdir telah membawa kita ke puncak bukit dengan elang yang menjulang tinggi atau dasar jurang dengan kodok yang berkokok. Jika Anda mengambil langkah kecil ke segala arah, maka perubahan ketinggian akan diabaikan, dan kita dapat mengatakan bahwa laju perubahan fungsi sebenarnya nol. Pola yang sama diamati pada titik-titik.

Dengan demikian, kami telah mendekati peluang luar biasa untuk secara akurat mengkarakterisasi laju perubahan suatu fungsi. Bagaimanapun, analisis matematis memungkinkan kita untuk mengarahkan kenaikan argumen ke nol: yaitu, membuatnya kecil sekali.

Akibatnya, pertanyaan logis lain muncul: apakah mungkin menemukan jalan dan jadwalnya? fungsi lain, yang akan memberitahu kami tentang semua dataran, menanjak, menurun, puncak, dataran rendah, serta tingkat kenaikan / penurunan di setiap titik jalan?

Apa itu turunan? Definisi turunan.
Arti geometris turunan dan diferensial

Harap baca dengan cermat dan jangan terlalu cepat - materinya sederhana dan dapat diakses oleh semua orang! Tidak apa-apa jika di beberapa tempat ada sesuatu yang tampak tidak terlalu jelas, Anda selalu dapat kembali ke artikel nanti. Saya akan mengatakan lebih banyak, berguna untuk mempelajari teori beberapa kali untuk memahami semua poin secara kualitatif (nasihat ini sangat relevan untuk siswa "teknis", yang matematika tingkat tinggi memainkan peran penting dalam proses pendidikan).

Mengikuti contoh cerita tentang kontinuitas fungsi, "promosi" topik dimulai dengan studi fenomena pada satu titik, dan hanya kemudian meluas ke interval numerik.

1.1 Beberapa masalah fisika 3

2. Turunan

2.1 Tingkat perubahan fungsi 6

2.2 Fungsi turunan 7

2.3 Turunan dari fungsi daya 8

2.4 Arti geometris dari turunan 10

2.5 Diferensiasi fungsi

2.5.1 Membedakan hasil operasi aritmatika 12

2.5.2 Diferensiasi fungsi kompleks dan fungsi invers 13

2.6 Turunan dari fungsi yang didefinisikan secara parametrik 15

3. Diferensial

3.1 Diferensial dan makna geometrisnya 18

3.2 Sifat Diferensial 21

4. Kesimpulan

4.1 Lampiran 1. 26

4.2 Lampiran 2. 29

5. Daftar literatur yang digunakan 32

1. Perkenalan

1.1Beberapa masalah fisika. Pertimbangkan fenomena fisik sederhana: gerak bujursangkar dan distribusi massa linier. Untuk mempelajarinya, kecepatan gerakan dan kepadatan diperkenalkan, masing-masing.

Mari kita menganalisis fenomena seperti kecepatan gerakan dan konsep terkait.

Biarkan tubuh bergerak dalam garis lurus dan kita tahu jaraknya , dilewatkan oleh tubuh untuk setiap waktu tertentu , yaitu kita mengetahui jarak sebagai fungsi waktu:

persamaan
ditelepon persamaan gerak dan garis yang didefinisikannya dalam sistem poros
- jadwal pergerakan.

Pertimbangkan gerakan tubuh selama interval waktu
dari beberapa saat sampai saat ini
. Pada waktunya, tubuh telah menempuh sebuah jalan, dan pada waktunya, sebuah jalan
. Jadi, dalam satuan waktu ia telah menempuh jarak

.

Jika geraknya beraturan, maka ada fungsi linier:

Pada kasus ini
, dan relasi
menunjukkan berapa banyak unit jalur per unit waktu; pada saat yang sama, ia tetap konstan, terlepas dari momen apa pun diambil, bukan pada penambahan waktu yang diambil . Ini adalah sikap yang permanen ditelepon kecepatan seragam.

Tetapi jika gerakannya tidak merata, maka rasionya tergantung

dari , dan dari . Ini disebut kecepatan rata-rata gerakan dalam selang waktu dari untuk dan dilambangkan dengan :

Selama interval waktu ini, dengan jarak tempuh yang sama, gerakan dapat terjadi dengan cara yang paling beragam; secara grafis, ini diilustrasikan oleh fakta bahwa antara dua titik pada bidang (poin
dalam gambar. 1) Anda dapat menggambar berbagai garis
- grafik gerakan dalam interval waktu tertentu, dan semua gerakan yang berbeda ini sesuai dengan kecepatan rata-rata yang sama .

Khususnya, antar titik melewati garis lurus
, yang merupakan grafik seragam dalam interval
pergerakan. Jadi kecepatan rata-rata menunjukkan seberapa cepat Anda perlu bergerak secara seragam untuk lulus dalam interval waktu yang sama jarak yang sama
.

Meninggalkan yang sama , mari kita kurangi. Kecepatan rata-rata dihitung untuk interval yang diubah
, terletak di dalam interval yang diberikan, tentu saja dapat berbeda dari di; sepanjang interval . Dari sini dapat disimpulkan bahwa kecepatan rata-rata tidak dapat dianggap sebagai karakteristik yang memuaskan dari gerakan: itu (kecepatan rata-rata) tergantung pada interval perhitungan yang dibuat. Berdasarkan fakta bahwa kecepatan rata-rata dalam interval harus dianggap semakin baik mencirikan gerakan, semakin sedikit , Mari kita membuatnya menjadi nol. Jika pada saat yang sama ada batas kecepatan rata-rata, maka itu diambil sebagai kecepatan gerakan saat ini .

Definisi. kecepatan gerak lurus pada saat waktu tertentu disebut batas kecepatan rata-rata yang sesuai dengan interval , ketika cenderung ke nol:

Contoh. Mari kita menulis hukum jatuh bebas:

.

Untuk laju rata-rata jatuh dalam selang waktu, kita memiliki

dan untuk kecepatan saat ini

.

Hal ini menunjukkan bahwa kecepatan jatuh bebas sebanding dengan waktu gerak (jatuh).

2. Turunan

Tingkat perubahan fungsi. Fungsi turunan. Turunan dari fungsi daya.

2.1 Tingkat perubahan fungsi. Masing-masing dari empat konsep khusus: kecepatan gerakan, kepadatan, kapasitas panas,

laju reaksi kimia, terlepas dari perbedaan yang signifikan dalam arti fisiknya, dari sudut pandang matematis, seperti yang mudah dilihat, sama karakteristik fungsi yang sesuai. Semuanya adalah jenis tertentu dari apa yang disebut laju perubahan suatu fungsi, yang didefinisikan, serta konsep-konsep khusus yang terdaftar, dengan bantuan konsep limit.

Oleh karena itu, mari kita menganalisis secara umum pertanyaan tentang laju perubahan fungsi
, mengabstraksi dari arti fisik variabel
.

Biarkan dulu
- fungsi linear:

.

Jika variabel bebas mendapat kenaikan
, maka fungsinya mendapat kenaikan di sini
. Sikap
tetap konstan, terlepas dari fungsi mana yang dipertimbangkan, atau yang mana yang diambil .

Hubungan ini disebut tingkat perubahan fungsi linear. Tetapi jika fungsinya tidak linier, maka relasi

juga tergantung pada , dan dari . Rasio ini hanya "rata-rata" yang mencirikan fungsi ketika variabel independen berubah dari yang diberikan ke
; itu sama dengan kecepatan fungsi linier seperti itu, yang diberikan memiliki kenaikan yang sama
.

Definisi.Sikap diteleponkecepatan rata-rata perubahan fungsi dalam interval
.

Jelas bahwa semakin kecil interval yang dipertimbangkan, semakin baik kecepatan rata-rata yang mencirikan perubahan fungsi, jadi kami memaksa cenderung nol. Jika pada saat yang sama ada batas kecepatan rata-rata, maka itu diambil sebagai ukuran, laju perubahan fungsi untuk suatu , dan disebut laju perubahan fungsi.

Definisi. Tingkat perubahan fungsi dipoin yang diberikan disebut batas laju perubahan rata-rata fungsi dalam interval ketika menuju nol:

2.2 Fungsi turunan. Tingkat perubahan fungsi

ditentukan oleh urutan tindakan berikut:

1) dengan kenaikan , ditugaskan ke nilai ini , temukan kenaikan yang sesuai dari fungsi

;

2) hubungan dibuat;

3) temukan batas rasio ini (jika ada)

dengan kecenderungan sewenang-wenang ke nol.

Seperti yang telah dicatat, jika fungsi ini tidak linier

maka hubungannya juga tergantung pada , dan dari . Batas rasio ini hanya bergantung pada nilai yang dipilih. dan oleh karena itu merupakan fungsi dari . Jika fungsi linier, maka batas yang dipertimbangkan tidak bergantung pada , yaitu, akan menjadi nilai konstan.

Batas ini disebut turunan dari fungsi atau hanya turunan fungsi dan ditandai seperti ini:
.Baca: "ef stroke dari » atau "ef prim dari".

Definisi. turunan dari fungsi ini disebut batas rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan variabel independen dengan aspirasi sewenang-wenang, kenaikan ini menjadi nol:

.

Nilai turunan suatu fungsi pada suatu titik tertentu biasanya dilambangkan
.

Menggunakan definisi turunan yang diperkenalkan, kita dapat mengatakan bahwa:

1) Kecepatan gerak bujursangkar merupakan turunan dari

fungsi pada (turunan dari jalan terhadap waktu).

2.3 Turunan dari fungsi daya.

Mari kita cari turunan dari beberapa fungsi sederhana.

Biarlah
. Kita punya

,

yaitu turunan
adalah nilai konstan sama dengan 1. Ini jelas, karena - fungsi linier dan laju perubahan adalah konstan.

Jika sebuah
, kemudian

Biarlah
, kemudian

Sangat mudah untuk melihat pola dalam ekspresi untuk turunan dari fungsi pangkat
pada
. Mari kita buktikan bahwa, secara umum, turunan dari setiap eksponen bilangan bulat positif adalah sama dengan
.

.

Ekspresi pembilang diubah oleh rumus binomial Newton :

Di sisi kanan persamaan terakhir adalah jumlah istilah, yang pertama tidak bergantung pada , dan sisanya cenderung nol bersama dengan . Jadi

.

Jadi, fungsi pangkat dengan bilangan bulat positif memiliki turunan yang sama dengan:

.

Pada
rumus yang diturunkan di atas mengikuti dari rumus umum yang ditemukan.

Hasil ini berlaku untuk semua indikator, misalnya:

.

Pertimbangkan sekarang secara terpisah turunan dari konstanta

.

Karena fungsi ini tidak berubah dengan perubahan variabel bebas, maka
. Karena itu,

,

t. e. turunan dari konstanta adalah nol.

2.4 Arti geometris turunan.

turunan fungsi memiliki arti geometris yang sangat sederhana dan jelas, yang erat kaitannya dengan konsep garis singgung.

Definisi. Garis singgung
ke garis
pada titiknya
(Gbr. 2). disebut posisi batas garis yang melalui titik, dan poin lainnya
garis ketika titik ini cenderung bergabung dengan titik yang diberikan.

.tutorial

Ada rata-rata kecepatanperubahanfungsi ke arah garis lurus. 1 disebut turunan fungsi dalam arah dan ditunjukkan. Jadi - (1) - kecepatanperubahanfungsi pada titik...

Batas dan kontinuitas suatu fungsi

Belajar

Arti fisik dari turunan. Sifat turunannya kecepatanperubahan satu besaran fisis relatif terhadap ... . Berapa nilai argumen yang sama? kecepatanperubahanfungsi dan Keputusan. , dan dan. Menggunakan arti fisis dari turunan...

Konsep fungsi dari satu variabel dan metode untuk menentukan fungsi

Dokumen

Konsep karakterisasi kalkulus diferensial kecepatanperubahanfungsi; P. adalah fungsi, didefinisikan untuk setiap x ... turunan kontinu (karakterisasi kalkulus diferensial kecepatanperubahanfungsi pada saat ini). Lalu dan...

5 Turunan parsial dari fungsi kompleks Diferensial fungsi kompleks 1 Turunan parsial dari fungsi kompleks

Dokumen

Itu ada dan terbatas) akan menjadi kecepatanperubahanfungsi pada suatu titik dalam arah vektor. Nya ... dan menunjukkan atau. Selain besarnya kecepatanperubahanfungsi, memungkinkan Anda untuk menentukan sifat perubahanfungsi pada suatu titik dalam arah vektor...